Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam

Nội dung text: Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ NAM THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 22/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 2033 x 1 9 Bài 1. (4,0 điểm) Cho dãy số ()xn thỏa mãn 9 x x2 11 x 8,  n * n 1 2 n n a) Chứng minh rằng dãy số là dãy số tăng. n 1 b) Với mỗi số nguyên dương n, đặtun  .Tính lim un . k 1 9xk 10 Bài 2. (5,0 điểm) Cho hàm số f :* thỏa mãn f( x f ( y ) x f ( y ),  x , y * a) Chứng minh rằng f(),* x x  x b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện nêu trên. Bài 3. (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB, AC. Tiếp tuyến tại B C, của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB.Đường thẳng qua P song song với AO cắt OM ,ON lần lượt tại K và L. a) Gọi J là trực tâm của tam giác OKL. Chứng minh rằng đường thẳng AP đi qua trung điểm của OJ. b) Gọi S là giao điểm thứ hai khác A của đường tròn (O) là S. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN tiếp xúc với đường tròn (O). Bài 4. (5,0 điểm) Với X là tập hợp các số thực, kí hiệu S(X) là tổng các phần tử thuộc tập hợp X. Một tập hợp A gồm các sốnguyên dương được gọi là tập hợp “nguyên tố” nếu với mọi tập con B khác rỗng của tập hợp A thì gcd (S(A); S(B)) =1. ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a b, . a) Tìm một tập hợp “nguyên tố” gồm 6 phần tử. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với mỗi n tồn tại a,bđể tập hợp A ( a b ),(2 a 2), ,( b 2 a nb ) 2là tập hợp nguyên tố.
2. Bổ đề. Cho tam giác ABC có trung điểm AC,AB là M,N. Gọi đường thẳng qua A song song BC cắt (O) tại P. AD là đường cao tam giác ABC. PD cắt lại (O) tại S khác P. Khi đó: (SMN) tiếp xúc (O).
3. Bài 2 ảo v :)) nếu f(y) 0 để f(a)=0. Cho y=a thì f(x)=x , mâu thuẫn. :)) suy ra f(y) >= 0. Suy ra f(x+f(y))= x+f(y) .
4. Bài hình có thể giải như sau: (Thực ra thì ta có thể làm thẳng với tam giác OKL, nhưng để phục vụ cho việc định nghĩa điểm dùng trong ý b, mình sẽ làm trên tam giác ABC. Ở đây, OKL và ABC đồng dạng nghịch, mình chỉ dựng ảnh mà tương ứng thôi.) Gọi H, Q, W, T, Y là trực tâm ABC, giao của tiếp tuyến tại A của (O) với BC, trung điểm BC, OJ và AH. Cấu hình (OKL, J, P, T) và (ABC, H, Q, Y) đồng dạng nghịch. Để chỉ ra AP đi qua T, ta chỉ cần chỉ ra AP là ảnh của QY qua phép đồng dạng kể trên. Thật vậy: WY//OA vuông AQ nên Y là trực tâm AQW. Có (QY, QA) = (AW, AO) = (AH, AP) = (PO, PA). Hoàn tất ý a. Gọi X là trung điểm AQ. AP vuông OQ nên OAT và AQO đồng dạng thuận. Gấp đôi cạnh OT và chia đôi cạnh AQ ta được OAJ và AXO đồng dạng thuận nên OX vuông AJ. Suy ra XS = XA và kết hợp việc X thuộc MN có điều phải chứng minh.