Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh

Nội dung text: Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 22/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 1. (5 điểm) 2 Cho a 2và xx12, là hai nghiệm của phương trình x ax 10 . nn Đặt Sn x12 x, n 1,2, S a) Chứng minh dãy n là dãy giảm. S n 1 n 1 SSS b) Tìm tất cả các giá trị a sao cho 12 n n 1 với mọi n=1,2, SSS2 3n 1 Bài 2. (5 điểm) Cho đa thức P(x) có các hệ số nguyên, giả sử các phương trình P(x)=1,P(x)=2 và P(x)=3 theo thứ tự mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên theo lần lượt x1,, x 2 x 3 a) Chứng minh rằng: x1,, x 2 x 3 là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên. b) Chứng minh rằng: phương trình P(x)=5 không có hơn một nghiệm nguyên. Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H, tâm ngoại tiếp O. Các điểm K,L lần lượt đối xứng với O qua AC,AB. Đường thẳng CK cắt đường tròn (AHK) tại M khác K. Đường thẳng BL cắt đường tròn (AHL) tại N khác L. HM cắt AC tại E và HN cắt AB tại F. Đường thẳng EF cắt BC tại D. a) Chứng minh rằng tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAM. b) Chứng minh rằng đường thẳng HD vuông góc với đường thẳng OA. Bài 4. (5 điểm) An và Bình cùng chơi trò chơi với ba đống sỏi, mỗi đống có một số viên sỏi, Mục tiêu của hai người chơi là chiếm lấy viên sỏi cuối cùng và giành chiến thắng. Hai người chơi lần lượt, An là người chơi trước. Mỗi lượt chơi, người chơi có quyền chọn ra một đống sỏi bất kỳ và lấy đi một số viên sỏi từ đống đó (lấy ít nhất một viên và có thể lấy hết số sỏi của đống). Hỏi ai là người có chiến thuật để giành chiến thắng nếu: a) Ba đống sỏi có số viên lần lượt là 1,2,3 viên. b) Ba đống sỏi có số viên lần lượt là 2020,2021,2022 viên. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 23/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút
2. Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 5. (5 điểm) a.Tìm tất cả đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn với mọi số nguyên dương n và mọi số nguyên dương x thì Pn () x x chia hết cho n với Pn ( x ) P ( P ( P ( x ) )có n ngoặc đơn. nn32n 31 b.Tìm tất cả n nguyên dương sao cho là số nguyên 32n Bài 6. (5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O).Đường tròn (J) qua B,C cắt AB,CA tại E,F tương ứng .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại D. a.Gọi P,Q là giao điểm DE,DF với (O).Chứng minh rằng các đường thẳng PC,BQ,AO đồng quy. b.Gỉa sử EF cắt BC tại K.Gọi OO12, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và KFB.Chứng minh AB đi qua trực tâm tam giác OOO12 Bài 7. (5 điểm) Cho 2n điểm phân biệt trong không gian với n 2sao cho trong chúng không có 3 điểm thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên 1 mặt phẳng.Xétn2 1 đoạn thẳng bất kỳ ,mỗi đoạn có hai đầu mút là 2 trong 2n điểm trên.Chứng minha.có ít nhất 1 tam giác tạo thành từ n2 1đoạn thẳng trênb.có ít nhất 1 tam giác tạo thành từn2 1đoạn thẳng trên