Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa

Nội dung text: Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN v2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 28/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 1.(7đ).a.Cho dãy số an xác định bởi a1 3, a 2 7, an 2 3 a n 1 a n ,  n * với.Tìm n 1 lim k 1 aaii 1 32 b.Cho dãy số un ; u11 2, u n 3 u n 2 n 9 n 93, n  n *,2 n chứng minh với mọi số p 1 nguyên tố lẻ p thì ui chia hết cho i 1 Bài 2.(7đ).Tìm tất cả các hàm f ; thỏa(y 1)() fx fxfy (.() fxy ( )) yxy ,, Bài 3.(7đ).Cho tam giác không cân ABC trung tuyến AM và các đường cao BB1,(,) CC 1 B 1 AC C 1 AB .Đường thẳng qua A vuông góc AM cắt BB1,(,) CC 1 B 1 AC C 1 AB lần lượt tại E và F.Gọi (k) là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.Giả sử kk12 , là đường tròn tiếp xúc EF đồng thời tiếp xúc cung EF không chứa M của (k) 1)Chứng minh AE=AF 2)Chứng minh nếu cắt tại P,Q thì P,M,Q thẳng hàng. Bài 4.(7đ).Xét dãy số gồm 2021 số 1,2,3, ,2021 1.Mỗi lần lấy ra hai số liền kề nhau bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấy nhưng theo chiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhận được dãy viết theo thứ tự ngược lại 2021;2020; 2;1 hay không? 2.Mỗi lần lấy ra 10 số hạng bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấy nhưng theo chiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhận được dãy viết theo thứ tự 1,2,3, ,2021 như ban đầu hay không? Bài 5(6đ).Giả sử P(x) là 1 đa thức hệ số thực thỏa mãn tính chất với mọi số thực x,y thì x2 P( y ) 2 y khi và chỉ khi y2 P( x ) 2 x .Chứng minh x=0 không phải là nghiệm của phương trình P(x)=0 Bài 6(7đ).Cho p số nguyên tố >3 ,n là số nguyên dương sao cho các số p-1,p,n,n+1 từng đôi một không có ước số chung > 2.Tìm số nguyên dương x,y thỏa xp 1 x p 2 x 2 y n 1
2. Bài 7.(7đ).Cho tam giác ABC nhon AB EMF cân câu b : gọi tiếp điểm của (K1) và (K2) lên EF là G,I, dùng bổ để archimedes => DG HI đồng quy tại M mà MF² = MG.MD=MI.MH => M thuộc trục đẳng phương của (K1) và (K2) nên có dpcm