Đề cương học kỳ II môn Toán Lớp 8 - Nguyễn Thiên Hương

Nội dung text: Đề cương học kỳ II môn Toán Lớp 8 - Nguyễn Thiên Hương

1. 1)33 MỤC LỤC A. ĐỀ BÀI 2 1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 2 2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 3 3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNHV 4 4. DẠNG 4. HÌNH HỌC 5 5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC 7 B. HƯỚNG DẪN GIẢI 8 1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 8 2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 14 3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 19 4. DẠNG 4. HÌNH HỌC 22 5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC 28
2. 2)33 PHÒNG GD & ĐT C ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 HỌC KÌ II TỔ TOÁN Năm học 2018 – 2019 A. ĐỀ BÀI 1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ xxx 113363 Bài 1. Cho biểu thức Q 1: với xx 3; 3 xxx 133 9 x2 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn Q b) Tính giá trị của Q biết 2 6xx2 0 c) Tìm điều kiện của m để luôn có giá trị của x thỏa mãn Qm d) Tìm x để Qx e) Tìm x để Q 1 xxxx22 2216 Bài 2. Cho biểu thức A 22: với x x x 0 ; 2 ; 2 xxxx 442 xx2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A biết 2x 1 3 c) Tìm x để A 0 d) Tìm các giá trị x nguyên để B nhận giá trị nguyên e) Tìm GTNN của A với x 2 9 3x x 5 x 1 7 x 14 Bài 3. Cho biểu thức B : với x 1; x 2; x 5 x22 4 x 515 xx x 1 x 1 2 a) Chứng minh B b) Tính giá trị B biết xx 5 – 9 – 45 0 x 2 3 c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên d) Tìm x để B . 4 2 e) Tìm x để B 0 . f) Tìm GTLN của M biết MB : x 2 g) Với x 2, tìm GTNN của B. 2 x 4 x22 2 x x 3 x Bài 3. Cho biểu thức P 2 : 2 3 với x 0; x 2; x 3 22 xxx 42 x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết x – 5 2 c) Tìm x để P 0 d) Tìm x thỏa mãn P 8 e) Tìm GTNN của P khi x 3 x 2 5 1 Bài 4. Cho biểu thức M với xx 3; 2 xx 32xx2 6 x 4 a) Chứng minh M b) Tìm x biết M 3 x 2
3. 3)33 2 c) Tính giá trị của M biết x x2 x 2 1 3 – 5 d) Tìm giá trị của tham số m để phương trình Mm có nghiệm duy nhất. 1x2 8 4 Bài 5. Cho biểu thức P với x 2 x 2 x32 8 x 2 x 4 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P biết 2 –xx2 6 0 c) So sánh P với 0 d) Tìm GTNN của P 1 x xx2 1 Bài 6. Cho 2 biểu thức A và B với x x x 1 ; 1 ; x 1 1 x2 21x 2 a) Tính giá trị của biểu thức B khi 41x2 b) Rút gọn M A B . c) Tìm giá trị x để M < 1 xx2 2 xx 2216 Bài 7. Cho biểu thức A và B với xx 2 ; 1 x 1 xx 224 x2 a) Tính giá trị của A khi x –1 2 b) Đặt P A B . . Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để P 8 2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài 8. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7 giờ. Tính quãng đường từ bến A đến bến B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 2km/giờ. Bài 9. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 45km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 40km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút. Tính quãng đường AB. Bài 10. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi và về là 5h 50 phút. Bài 11. Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sau đó 30 phút, một xe con xuất phát từ B để đi đến A với vận tốc 60km/h. Biết quãng đường AB dài 80km/h. Hỏi sau bao lâu kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau? Bài 12. Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30km/h. Trên quãng đường từ đền Hùng về Hà Nội, vận tốc ô tô tăng thêm 10km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi 36 phút. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng. Bài 13. Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm trong 1 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm được 80 sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày và còn làm thêm được 40 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch. Bài 14. Một tổ dự định mỗi giờ dệt 28m vải. Nhưng thực tế mỗi giờ, tổ đó đã dệt ít hơn 4m vải. Do vậy, tổ đã làm quá thời gian dự định 2h mà còn thiếu 5m vải nữa mới hoàn thành kế hoạch. Tính số vải tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch.
4. 4)33 Bài 15. Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Trước khi thực hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa. Do đó mặc dù mỗi giờ người đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến. Bài 16. Hai công nhân cùng làm một công việc trong 4 ngày thì xong. Biết rằng nếu một mình xong công việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc. Bài 17. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu. Bài 18. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu? Bài 19. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu. Bài 20. Một hình chữ nhật có chu vi là 78cm. Nếu giảm chiều dài đi 3cm và tăng chiều rộng thêm 4 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu. 3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 21. Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1. x 5 x –1 2 x x –1 96 2xx 1 3 1 11. 5 2 2 x 16 x 4 x 4 x2 x x 2 2. – 5 7 – 2 – 5 0 24xx 12. 1 3. 3xx2 – 7 4 0 2x 12 x 1 (2 x 1)(2 x 1) 4. 2 x 3 – x2 – 3 x 0 x 2 1 2 13. 2 3 x x x x 5. x 27 x 3 x – 9 0 22 x x24 x x 5 2 x 3 2 x 1 14. 6. 2x 6 2 x 2 x2 2 x 3 4 3 12 x7 x 5 4 x 2xx 5 4 3 1 15. 8 7. 1 2 3 5 x 3 x2 2 x 3 1 x 16. 3x+ 3 < 5(x + 1) – 2 x 2 3 3 8. 1 2x 3 x 1 1 3 x x 1 x 2 ( x 1)( x 2) 17. 4 3 2 5 xx 32 x 1 9. 2 18. 1 xx 1 x 3 x 1 x 7 x 3 2 10. 2 19. xx 1 3 – 2 0 x 3 x 3 9 x 20. xx– 2 1 0
5. 5)33 21x 21. 2 x 3 4. DẠNG 4. HÌNH HỌC Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 6 cm , AC 8 cm , đường cao AH, phân giác BD cắt nhau tại I. a) Chứng minh: A B H C ” B A c) Chứng minh: A B B I B D H B b) Tính A D, D C d) Tính diện tích BHI Bài 23. Cho góc xOy. Trên Ox lấy 2 điểm A và B sao cho O A c m3 O , B 8 c . m Trên Oy lấy 2 điểm C và D sao cho O C c m4 O , D 6 c . m a) Chứng minh: O A D O” C B b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: I A I D I B I C c) Tính tỉ số diện tích của IAB và ICD Bài 24. Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng: a) AE AB AD AC b) A E D = A CB c) Tính diện tích ABC biết AC 6 cm , BC 5 cm , CD 3 cm d) BE. BA CDCA . BC2 Bài 25. Cho MNP vuông tại M, đường cao MH, trung tuyến MD. Biết MN 6, cm MP 8. cm a) Tính NP, MH b) Chứng minh MHN” PMN c) Chứng minh rằng: MH MP MN PH d) Tính diện tích tam giác MHD Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC, M là 1 điểm tùy ý trên BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đoạn AB tại I và cắt tia CA tại D. Chứng minh rằng: a) ABC ” MDC b) BI BA BM BC c) CI cắt BD tại K . Chứng minh BI BA CI CK không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. d) MAI BDI , từ đó suy ra AB là tia phân giác của góc MAK. Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có AB AC 5 cm , BC 6 cm . Phân giác của góc B cắt AC tại M, phân giác của góc C cắt AB tại N. a) Tính AM, MC b) Tính MN c) Tính tỉ số diện tích của AMN và ABC d) Tính diện tích tam giác BMN Bài 28. Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kì trên cạnh BC. Kẻ tia Ax vuông góc với AE cắt CD tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AFE và kéo dài cắt CD tại K . Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng: a) AE AF b) Tứ giác EGHF là hình thoi c) FIK” FCE
6. 6)33 d) E K B E D K và khi E chuyển động trên BC thì chu vi tam giác ECK không thay đổi Bài 29. Cho tam giác đều ABC. Gọi O là trung điểm của BC. Tại O dựng góc x O y 600 Tia Ox cắt cạnh AB tại M, tia Oy cắt cạnh AC tại N. Chứng minh: a) BOM ” CNO b) B C B2 M C4. N c) BOM ” O N M và OM là phân giác của BMN d) ON2 CN. MN Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi MN, lần lượt là hình chiếu của H trên A B, A . C a) Chứng minh A M H A” H B và A M A. B A H 2 b) Chứng minh AM AB AN AC c) Cho A H c m6 B , C 9 c . m Tính diện tích tam giác AM N d) Gọi P là điểm đối xứng với H qua AB, đường thẳng qua B và vuông góc với BC cắt AP tại I. Chứng minh M N A, ,H C I đồng quy. Bài 31. Cho tam giác ABC AB AC có đường phân giác AD. Hạ BH, CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng: DH BH AB a) BHD” CKD b) AB AK AC AH c) DK CK AC d) Qua trung điểm M của cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AD và cắt cạnh AC tại E, cắt tia BA tại F. Chứng minh BF CE Bài 32. Cho hình chữ nhật ABCD. M là hình chiếu của A trên BD. a) Chứng minh: ∆ ABD đồng dạng với ∆ MAD b) Nếu AB 8 cm , AD 6 cm , tính đoạn DM . c) Đường thẳng AM cắt các đường thẳng DC và BC thứ tự tại N và P. Chứng minh: AM2 MN. MP d) Lấy điểm E trên cạnh AB, F trên cạnh BC, EF cắt BD ở K . Chứng minh: AB BC BD BE BF BK Bài 33. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . D là trung điểm của BC. Đường thẳng qua D và vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC và AB theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh ∆ AEF đồng dạng với ∆ DEC từ đó suy ra EA EC ED EF b) Chứng minh: ADE ECF c) Chứng minh CE CA BA BF BC2
7. 7)33 d) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K bất kì, đường thẳng d tùy ý đi qua K cắt các BK CK đoạn FC và FB lần lượt tại M và N. Chứng minh không phụ thuộc vị BN CM trí điểm K và đường thẳng d. Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Chứng minh ∆ ABH đồng dạng với ∆C A H, từ đó suy ra A H B2 H C H . b) Cho B H c m4 B , C 1 c 3 m . Tính A H A, B c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh: AE CH AH FC d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất. 5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC Bài 29. Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau: a) A x x1 6 – 2 6x 17 g) G 2 b) B 2 x2 6 x 8 x 2 22 c) C x223 y – 2 xy – 2 y 28 xx h) H d) D 2 x22 y 2 xy – 2 x 2 y 2 x2 2 e) E x2 2 y 2 9 z 2 – 2 x 12 y 6 z 24 3xx 6 10 i) I = 2 7 xx 23 f) F = 10xx 2 30 Bài 30. Tìm giá trị của m để: m( x 1) 2 x a) Phương trình 1 có nghiệm lớn hơn 1. x 2 m( x 1) x b) Phương trình 2 có nghiệm nhỏ hơn 1. x 1 Bài 31. Chứng minh với mọi x phương trình x 1 2 – x 4 x2 12 x –10 vô nghiệm. 10xx2 7 5 Bài 32. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 25x Bài 33. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 11 a) P ( a b ) 4 với ab, 0 ab b) a2 b 2 c 2 ab bc ca với a,b,c 1 c) a2 + b2 ≥ với ab 1 2 ∀ d) a22 5 b – 4 ab 2 a – 6 b 2 0  a , b
8. 8)33 a2 b 2 c 2 a b c e) với a, b ,c 0 . b2 c 2 a 2 b c a Bài 34. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: abc 2 bccaab 3 Bài 35. Cho a, b ,c 0 thỏa mãn điều kiện abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1 1 A a b c abc 59 Bài 36. Cho xy 1; 1 và xy 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S 34xy x 11y B. HƯỚNG DẪN GIẢI 1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1. Thiếu Bài 2: Thiếu Bài 3.1 9 3x x 5 x 1 7 x 14 a.B 22 : x 4 x 5 1 x x 5 x 1 2 9 3x x 5 x 1 x 1 x 1 x 1 . x x x 5 1 7 2 9 3x x22 10 x 25 x 1 xx 11 . x 5 x 1 7 x 2 7 xx 5 1 x 1 . x 5 7 x 2 x 2 2 b. x + 5 – 9x – 45 = 0 2 x + 5 – 9 x + 5 = 0 x + 5 x + 5 – 9 = 0 x + 5 x – 4 = 0 x 5 x 4 Kết hợp ĐKXĐ : x 1; x 2; x 5 x = 4 ( thỏa mãn điều kiện)
9. 9)33 4 1 5 Thay x = 4 vào biểu thức B , ta có : B 4 2 2 5 Vậy x = 4 thì B . 2 c. Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên : xx 1 2 3 3 B nhận giá trị nguyên 1 mà 1 x 2 x 2 x 2 x 2 Ư( 3)= 1 ; 3 x   1 ;3;5 Kết hợp ĐKXĐ : x 1; x 2; x 53;5 x  ( thỏa mãn điều kiện) Vậy x 3;5 thì B nhận giá trị nguyên. 3 d. Tìm x để B 4 3132 x B443672 xxxx ( thỏa mãn điều kiện) . 4247 x 2 Vậy x . 7 e. Tìm x để B 2, tìm GTNN của B 9 2 x 4 x22 2 x x 3 x a. P = : x x2 x x 2 x 3 2 4 2 2
10. 10)3 3 22 xxxxx 2422 22 . xxxx 223 xxxxxx222 44444 . xx 23 484xxxxx22 42xx xxxxx 23233 x 52 b. Biết x – 5 2527 xx (tmđk) hoặc x 3( không thỏa mãn x 52 ĐKXĐ). 4 . 72 Thay x 7 vào biểu thức P , ta có : P 4 9 . 73 4x2 c. P00,mà  40303 xxxx2 . x 3 Kết hợp ĐKXĐ : x 0; x 2; x 3, ta có P 0 x 3 . d. Tìm x thỏa mãn P = - 8 4x2 P = 8 8 x 3 4xx2 8 24 0 xx2 2 6 0 2 2 x 1 7 7 x 71 x 71 e. Tìm GTNN của P khi x > 3 2 4x2 4 x 9 36 36 36 P 4 xx 3 4 3 24 x 3 x 3 x 3 x 3 36 Với xx 3 3 0 .Áp dụng BĐT Cô si với hai số không âm : 43 x và , ta có: x 3
11. 11)3 3 3636 43243.2.2.624 xx xx 33 36 4324242448 x x 3 P48 Pm 4 i 8n 36 22 x 6 Dấu “ = ” xảy ra 43393 xx x 3 xl 0 Vậy Pmin 4 8 6 x . Bài 4. x 4 a. Chứng minh M x 2 x 2 5 1 M x 3 x2 x 6 2 x x 2 x 2 5 x 3 xx 32 x22 4 5 x 3 x x 12 xx 34 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 4 x 2 b. Tìm x biết M 3 : x 4 M 3 3 x 2 xx 4 3 6 4x 10 5 x (tmđk) 2 c. Tính giá trị của M biết : 2 x2 2x 1 3x – 5 x22 2x 1 9xx 30 25 8x2 32x 24 0 x22 4xx 3 0 x 4 4 1 0 22 x 2 1= 1 x 21 x 21
12. 12)3 3 x 3 (thỏa mãn ĐKXĐ). x 1 d. Tìm giá trị của tham số m để phương trình M = m có nghiệm duy nhất. x 4 M mm x 2 xmxm42 mxm142(*) Để phương trình M = m có nghiệm duy nhất mm 1 0 1 . 42 m Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là : x . m 1 Bài 5. a, Rút gọn P Có: x22 2 x 4 ( x 8) 4( x 2) P x 2 x2 2 x 4 24x x 2 x2 2 x 4 2(x 2) x 2 x2 2 x 4 2 xx2 24 2 Vậy với xP 2 xx2 24 b, Tính giá trị của P biết 2xx2 6 0 Có: 2x2 x 6 0 x 2 2 x 3 0 x 2 3 (/)tm x 2 21 +) Với xP 2 2 2 2.( 2) 4 2
13. 13)3 3 328 +) Với xP 2 237 33 2.4 22 1 8 Vậy P hoặc P khi 2 6xx 02 2 37 c, So sánh P với 0. 222 Có: P 0  x 2 xx2 243 x 132 Vậy P Px 1 (t/m) 3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 3 Bài 6. 2 a) Tính giá trị của biểu thức B khi 41x 2 11 41x x do x 22 2 11 1 1122 xB 4 Với 1 . 22. 1 2 8 2 b) Rút gọn MAB . 1 x A xx 11 2 xx 1 xx2 xx 1 B xx 11 ; 2xx 1 2 1 21x xx 11 x AB. Vậy x 1
14. 14)3 3 c) Tìm giá trị x để M - 1 và xx 1; để M 0 Hay x > -1. Vậy khi xx 1; 2 thì P 2)
15. 15)3 3 Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x+2(km/h) Vận tốc ngược dòng là x – 2 (km/h) Quãng đường xuôi dòng là 5(x + 2) (km) Quãng đường ngược dòng là 7(x – 2) (km) Vì quãng đường xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình: 5 ( 2xx ) 7 ( 2 ) 5 10xx 7 14 5 7xx 14 10 2 24x x T m1 2 ( / ) Vậy Quãng đường từ A đến B là 5(12+2) = 70 (km) Bài 9: 1 Đổi 10 phút = h 6 Gọi x (km) là khoảng cách từ A đến B. (x > 0). x Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là h 45 x Thời gian người đi xe máy đi từ B về A là h 40 xx1 Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút, nên ta có phương trình: x 60 40 45 6 (tm đk) Vậy quãng đường AB dài 60km. Bài 10. Gọi x (km) là khoảng cách từ A đến B. (x > 0). 35 1 Đổi 5h 50 phút = h, 20 phút = h 6 3 xx Theo giả thiết ta có: tt , AB30 BA 25
16. 16)3 3 Vì tổng thời gian từ khi đi từ A đến lúc quay về A là 5h 50 phút (tính cả thời gian 20 phút nghỉ tại B) nên ta có phương trình: 35135 xx tttx 75 ABBBA 6303256 Chú ý: Bài này cần sửa đề thành tổng thời gian từ khi đi từ A đến lúc quay về A là 5h 50 phút chứ 35 nếu chỉ ghi là thời gian cả đi và về là 5h50 phút, học sinh sẽ nhầm là tt . ABBA 6 Bài 11: Gọi thời gian kể từ khi xe khách khởi hành đến khi hai xe gặp nhau là x (h), (x > 0,5) Ta có quãng đường xe khách đi được là 50 x (km) Thời gian xe con đi từ B đến khi gặp xe khách là x - 0,5 (h) Quãng đường xe con đi được là 60 (x - 0,5) km Vì hai xe gặp nhau nên hai xe phải đi hết quãng đường 80 km nên ta có phương trình 50xx 60 0,5 80 50xx 60 30 80 110x 110 x 1 (thỏa mãn) Vậy sau một giờ kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau. Bài 12: Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là x (km), ( x 0 ) x Ta có thời gian ô tô đi là (h) 30 x Thời gian ô tô về là (h) 40 36 3 Vì thời gian về ngắn hơn thời gian đi 36 phút (h) nên ta có phương trình 60 5 xx3 4x 3 x 72 x 72 (thỏa mãn) 30 40 5 Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là 72 km Bài 13: Sản phẩm Năng suất Thời gian
17. 17)3 3 Kế hoạch x 60 x 60 Thực tế x 40 80 x 40 80 Gọi số sản phẩm mà anh công nhân phải làm theo kế hoạch là: x (sản phẩm) x * Số sản phẩm anh công nhân đã làm được trong thực tế là: x 40 (sản phẩm) x Thời gian mà anh công nhân phải làm theo kế hoạch là: (ngày) 60 x 40 Thời gian mà anh công nhân đã làm được trong thực tế là: (ngày) 80 Vì anh công nhân đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình: xx 40 2 60 80 4xx 3 40 2 xx 120 480 600 (thỏa mãn) 240 Vậy số sản phẩm mà anh công nhân phải làm theo kế hoạch là: 600 sản phẩm. Bài 14: Số vải Năng suất Thời gian Kế hoạch x 28 x 28 Thực tế x 5 28 4 24 x 5 24 Gọi số vải mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là: x (m) x 5 Số số vải mà tổ đó đã dệt được trong thực tế là: x 5 (m) Trong thực tế, mỗi giờ tổ đó dệt được: 28 4 24 (m) x Thời gian mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là: (giờ) 28 x 5 Thời gian mà tổ đó đã dệt được trong thực tế là: (giờ) 24 Vì tổ đó đã làm quá thời gian quy định 2 giờ nên ta có phương trình:
18. 18)3 3 xx 5 2 24 28 xx 5 275633635336371 xxxx (thỏa mãn) 2428 Vậy số vải mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là: 371 m Bài 15, Bài 16. Chưa giải Bài 17. Nửa chu vi của hình chữ nhật là 4 8:2 2 4 . m Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (đơn vị : m ). Điều kiện 0 24 .x Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 2 4 . xm Sau khi tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chiều rộng mới là: 4 2 4 xm 3xm. và chiều dài mới là: Theo bài ra, chu vi của khu vườn 162m , nên ta có phương trình: 4 24 xx 3 .2 162 Hay 96 4x 3 x 81 x 15. Ta thấy giá trị x 15 thỏa mãn điều kiện đặt ra. Do đó chiều dài của hình chữ là 15m , chiều rộng của nó là 9m . Vậy diện tích khu vườn ban đầu 15.9 135 m2 . Bài 18. Gọi số sản phẩm mà tổ I được giao là x x N * . Thì số sản phẩm được giao của tổ II là 600 x . Vì tổ I sản xuất vượt mức so với kế hoạch là 18% nên số sản phản vượt mức là 18%xx 0,18 . Vì tổ II sản xuất vượt mức so với kế hoạch là 21% nên số sản phản vượt mức là 21% 600 xx 126 0,21 . Theo bài ra ta có phương trình: 0,18x 126 0,21 x 120 0,03 x 6 x 200 (thoả mãn). Vậy số sản phẩm của tổ I được giao là 200 (sản phẩm). Vậy số sản phẩm của tổ II được giao là 400 (sản phẩm).
19. 19)3 3 Bài 19, Bài 20. Chưa giải 3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 21: Giải các phương trình sau: 1. xxxxxxx 5 1 2 1 1 5 2 0 xx 1 5 0 x 1 hoac x 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 1;5  2 2. 57250572557250 xxxxxxxxx2 2 22 x 1 x 2 xxxxxxxx2232712012340 x 3 x 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 1;2  ;3;4 x 1 3. 3x2 7 x 4 0 x 1 3 x 4 0 4 x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 3;2  2 x 3 4. 2 x 3 x 3 x 0 2 x 3 x x 3 0 x 3 2 x 0 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 3;2  5. x32 27 x 3 x 9 0 x 3 x 3 x 9 x 3 x 9 0 x 3 x22 3 x 9 x 9 0 x 3 x 2 x 0 x 0 x x x x 3 2 0 3 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 0; 3;2  x 5 2 x 3 2 x 13 xx 5 4 2 3 2 x 1 6. 4 3 12 12 12 12 3 x 542321382 x x x x x 11512 7 x 28 x 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 4 
20. 20)3 3 25431xx 7. 1 ĐKXĐ: xx 1; 3 xxxx 3231 2 251234313xxxxxx 2 2255234393393(koxxxxxxxxxx222 t/m) Vậy tập nghiệm của phương trình là:S=  x 233 8. 1 ĐKXĐ: xx 1; 2 xxxx 1212 xxxxx2231312 1 xxxxxx224333242t/m DK 2 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=  2  xx 32 9. 2 ĐKXĐ: xx 1; 0 xx 1 xx 3 xx 1221 xx xxxx2 3 2 22202 xxx 2 Vậy phương trình vô nghiệm. x 1 x 7 x 3 10. ; dkxd: x 3 x 3 x 3 9 x2 xxxx1 3 3(73) x xxxx22 43 33700 xx Vậy phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn đk x 3 96 2xx 1 3 1 11. 5 ; DKXD: x 4 x2 16 x 4 x 4 5 x2 169621 x x 431 x x 4 5x2 80 96 2 x 2 9 x 4 3 x 2 11 x 4 2 x 16 x 8 t/m dk Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 8 
21. 21)3 3 241xx 12. 1; DKXD:x 212121212xxxx 2212121214422414xxxxxxxxxxx 222 x 1(t/m) x 10 2 2301xxxx (23)0 3 230x x t/m 2 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1;  2 x 212 13. ; DKXD: 0;2 xx xxxx 222 x 22 0 (ko t/m DK) x xxxxxxxx222222010 x xtm 1/ Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1 x x24 x 14. ; DKXD: x 3;x 1 2x 6 2 x 2 x2 2 x 3 xx 1 xx 3224 x xxxxx2 2 3482680 xx 2 x 1/ t m xx 1 2 8 0 x 4/ t m Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1; 4  x7 x 5 4 x 15 x10 7x 5 24 x 240 15. 8 2 3 5 30 30 30 30 190 15x 70 x 50 24 x 240 79 x 190 x 79 190 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x| x 79 16. 335x x 12 35 x x 523 2 x 0 x 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x|0 x  2x 3 x 1 1 3 x 15 2x 3 20 x 1 30 12 3 x 17. 4 3 2 5 60 60 60 60 59 15 2x 3 20 x 1 30 12 3 x 30 x 45 20 x 20 30 36 12 x 59 2 x x 2
22. 22)3 3  59 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S x x | 2 x 1 18. 1; DKXD: 3 x x 3 xxxx 13132 000303(/) xxtm xxxx 3333 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S x x  |3 1 9 . 1 3xx 2 0 Vì xxxx22  0 11 Vậy để : xx2 1 3 2 0 2 3 2xx 0 3 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x| x 3 20. xx 2 1 0 xx 2 0 2 xx 1 0 1 x 2 xx 2 0 2 x 1 xx 1 0 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x| x 1; x 2  2x 1 2 x 123 x 2 x 1 2 x 6 21. 2;DKXD: x 3 0 0 x 3 x 3 x 3 x 3 5 0 x 3 0 x 3 ( t / m ) x 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x|3 x  4. DẠNG 4. HÌNH HỌC Bài 22.
23. 23)3 3 a) Chứng minh: A B H C ∽ B A C - Do AH là đường cao của A B C  A H B 90 Xét ABH và CBA , ta có: Bchung  H  ABHCBAgg∽ D AHBCAB  90  I b) Tính A D, D C A B Xét ABC vuông tại A , ta có: B C A222 B A C (định lý pytago) BCBCcm222 6810010 - Ta có : BD là phân giác của B DC BC 10 5 (tính chất đường phân giác trong tam giác) DA AB 63 5 DC DA 3 58 Mà DC DA AC DA DA 8 DA 8 DA 3 cm 33 DC AC DA 8 3 5 cm c) Chứng minh: AB BI BD HB Ta có BD là tia phân giác của B CBD ABD hay HBI ABD Xét ABD và HBI ta có : HBI ABD cmt   ABD∽ HBI g g BAD BHI 90   AB BD AB BI BD HB (đpcm) HB BI d) Tính diện tích BHI 11 AB. AC 6.8 Ta có: S AB AC AH BC AB. AC AH . BC AH 4,8 cm ABC 22 BC 10
24. 24)3 3 Xét A H B vuông tại H ta có : A B222 A H H B (định lý pytago) HBABAHHBcm22222 64,812,963,6 11 Mà SABADcm 6.39 2 ABD 22 2 2 S ABD AB 625 Lại có : A B D H∽ B I c m t SHB 3,69 HBI Bài 23, 24. 25: Chưa giải
25. 25)3 3 Bài 26. C M A I B K D 0 a) Xét ABC và MDC có : B A C D M C 9 0 ; góc C chung nên A B C M∽ D C g g . b) Xét ABC và M BI có: B A C B M I 9 00 ; góc B chung nên : AB BC ABC ∽ MBI g . g BI . BA BM . BC (1) BM BI c) Vì AB CD; DM  BC I là trực tâm CDB CK  DB tại K. Xét CIM và CBK có: CMI CKB 900 ; góc C chung nên : CI CM CIM ∽ CBK g . g CI . CK CM . BC (2) CB CK 2 Từ (1)(2) suy ra BI BA CI CK BM BC CM BC BC BM CM BC Vậy BI BA CI CK không phụ thuộc vào vị trí điểm M. d) Xét IMB và IAD có: IMB IAD 900 ; AID MIB ( đối đỉnh) IM IB Suy ra IMB∽ IAD g. g IA ID IM IB Xét IMA và IBD có: (cmt) và AIM DIB ( đối đỉnh) IA ID Suy ra IMA∽ IBD c g c MAI BDI Xét DBA và DCK có: DAB DKC900 ; D chung nên DBA∽ DCK g. g DA DB DK DC
26. 26)3 3 DA DB Xét DAK và DBC có: ; D chung nên DK DC DAKDBCc∽ g cDAKDBC Chứng minh tương tự: DBCMACDAKMAC∽∽ Suy ra K A D M A C mà KADKAIMACMAIMAIMAI 900 Vậy AB là tia phân giác của góc MAK. Bài 27. Chưa giải Bài 28: Giải a. Xét A D F và ABE có: BD 90o AD AB AA12 (cùng phụ với góc ADE ) ADF ABE g ; c g AF AE BE FD b. Ta có: AEF cân tại A EA FA AI FE ( AI và là trung tuyến vừa là đường cao) hay GK FE Xét GIE và KIF có: EF11 (so le trong) EI FI ( AI là trung tuyến AEF ) II12 (đối đỉnh) GIE KIF( ) g c g GE FK (cạnh tương ứng) Mà GE FK gt và GK FE() cmt EGFK là hình thoi. c. Xét FIK và FCE có:
27. 27)3 3 IC 90o F chung FIK∽ FCE g. g d. + Ta có: FKFDDKBEDKBEDF Mà F K K E ( E G F K là hình thoi) KE BE DK + Chu vi ECKECEKCK ECBEDKCKEKBEDK ECBEDKCKBCDC không đổi. chu vi ECK không đổi khi E chuyển động trên BC . Bài 29. Chưa giải Bài 30 a) Xét AMH và AHB có: H M900 ( gt ) A chung AMH AHB g g AM AH AH2 AM. AB AH AB b) Xét ANH và AHC có: H N900 ( gt ) A chung AN AH ANH AHC g g AH2 AN. AC AH AC Mà AH2 AM. AB (cmt) AN. AC AM .AB c) *Tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên AH=MN. 1 * S AH. BC 27 cm2 ABC 2
28. 28)3 3 ANAM Ta có : ANACAM AB ABAC Xét AMN và ACB có: A chung AN AM AB AC A M N A CB (cgc) SMN AMN 22 644 2 ()()12 SScm AMNABC sBC ACB 999 d) BI cắt AC tại K. Ta có:AM là trung trực của PH(gt) => A H P cân tại A P A M H A M Mà I B A B A H ( so le trong) I B A I A B IAB cân tại I I A I B 1 Tương tự IAK cân tại I. I A I K 2 Từ 1 và 2 : IA=IB=IK Giả sử CI cắt AH tại E. HE CE EA Ta có: AH//BK BI CI IK HE EA hay E là trung điểm của AH. Dễ chứng minh E cũng là trung điểm MN. MN,AH,CI đồng qui. Bài 31, 32, 33, 34 : Chưa giải 5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC Bài 29. 2 a) A 1 6 x x2 10 x 3 10 với mọi x . Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi x 3. Vậy A đạt GTLN là 10 x 3. 2 2 25 3 25 b) B 2 x 6 x 8 2. x với mọi x . 2 2 2 3 25 3 Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi x . Vậy B đạt GTLN là x . 2 2 2 2 22 12 1 1 c) C x3 y 2 xy 2 y x y 2 y với mọi x . 2 2 2 1 1 1 Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi xy . Vậy C đạt GTNN là xy . 2 2 2
29. 29)3 3 22 d) Dxyxyxyxyx 22222312322 với mọi x . Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi x 2 ; y 3. Vậy D đạt GTNN là 3 x 2 ; y 3. 222 e) Exyzxyzxyz 222 29212624412.3314 với mọi x . 1 Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi x 1; y 3 và z . 3 1 Vậy E đạt GTNN là 4 x 1; y 3 và z . 3 77 f) F 2 . 1030xx 2 55x 2 11 x Vì 5 5 5 0 x với mọi nên 2 55 x 5 77 F 2 55 x 5 7 Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi x 5. Vậy F đạt GTNN là x 5. 5 6x 17 g) G . Vì x2 20 với mọi x nên x2 2 17 Khi x thì 6x 17 0 G 0 6 1xx2 2 17 6 17 361 17 19 1 và 2. 0 nên 09 G (1). G6 x 17 18 36 36. 6 x 17 18 36 9 6x 17 3612 1 Ta có G 9 6 x 17 361 x 36 36. 6x 17 3 17 Khi x thì 6x 17 0 6xx 17 6 17 , do đó G 0 6 và 1x2 2 17 6 x 17 361 17 6 x 17 361 17 19 2. 2 0 G6 x 17 18 36 36. 6 x 17 18 36 36. 6 x 17 18 36
30. 30)3 3 1 nên G 0 (2). 2 6170x 1 6170x Ta có G 617361x 2 617196xx 2 617361x 3636. 617 x 1 1 Vậy G đạt GTLN là 9 x . Và G đạt GTNN là x 6 . 3 2 22 2.8 xx161016 xx24 h) Với x 0 thì Hx 10102.418 2 xxx222 16 Ta có Hxxx 1842 22 . Vậy H đạt GTNN là $18$ x 2 . x2 2 3xx 6 10 1 2 11 i) I 2 3 2 . Ta có 2 1 2 0 x nên 0 2 . xx 23 21 x 21 x 2 1 1 7 x Do đó I 33 2 . Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi 1. 21 x 22 7 Vậy I đạt GTLN là x 1. 2 Bài 30. m x 12 x a) Với x 2 , ta có 1 m 12 x m . x 2 m 1 m 1 Phương trình có nghiệm lớn hơn 1 m 2 3 m 10 m 1 1 0 m 1 m 1 m x 1 x b) Với x 1, ta có 2 m 12 x m . x 1 m 1 m 1 Phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 m 2 3 m 10 m 1 1 0 m 1 m 1 Bài 31.
31. 31)3 3 x 1 2 – x 4 x2 12 x –10 2 Ta có 4x12x104x12x912x31022  xR. (1) Mà x 1 2 x 0  xR (2) Từ (1) và (2) ta có với mọi x phương trình xxxx 1 2 –412–10 2 vô nghiệm. Bài 32. 107540xx2 Ax 59 2525xx Để A có giá trị nguyên thì 2x 5 là ước của 40. Ta có: 2x 5 1 x 3 2x 5 1 x 2 7 2x 5 2 x (Loại) 2 3 2x 5 2 x (Loại) 2 9 2x 5 4 x (Loại) 2 1 2x 5 4 x (Loại) 2 2x 5 5 x 5 2x 5 5 x 0 13 2x 5 8 x (Loại) 2 3 2x 5 8 x (Loại) 2 15 2x 5 10 x (Loại) 2 5 2x 5 10 x (Loại) 2
32. 32)3 3 25 2x 5 20 x (Loại) 2 15 2x520x (Loại) 2 45 2x 5 4 0 x (Loại) 2 35 2x540x (Loại) 2 Vậy x 0 ;x 5 ;x 2 ;x 3 thì A nhận giá trị nguyên. 11 abab Bài 33. Ta có Pab ()222.4 abbaba Dấu “=” xảy ra khi a=b. a) Ta có a2 b 2 2 ab ; b 2 c 2 2 bc ; c 2 a 2 2 ac ; Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được 2a2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 bc 2 ac Suy ra a2 b 2 c 2 ab bc ac Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 11 b) Ta có a22 a 0; b b 0 44 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đượ 11 a22 a b b 0 44 1 a22 b ( a b ) 0 2 1 ab22 1 0 (doa b 1) 2 1 ab22 2 1 Dấu “=” xảy ra khi ab . 2 c) Ta có a22 5 b 4 ab 2 a 6 b 2
33. 33)3 3 (41442)(21)ababbabb22 2 (21)(1)0abb 22 Dấu “=” xảy ra khi a=b=1. a b c e) Đặt x y,, z . Suy ra xyz 1. Cần chứng minh x y222 z x y z b c a Do xyz 1 nên ta có các trường hợp sau: + Nếu xyzxxyyzzxyzxyz,,012;12;1232 222222 xyzxyzxyzxyzxyz 333 Suy ra x y222 z x y z + Nếu có một số dương (giả sử x 0 ), hai số âm yz,0 thì: Do xyz 1 nên luôn có một số có giá trị tuyệt đối 1 -Nếu x 1 xxyz2 ; 2 2 yzDoyz , 0 xyzxyz2 2 2 - Nếu giả sử yx 1; 1 xyz 0 xyzxyz2 2 2