Đề cương luyện thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Bùi Anh Trang

Nội dung text: Đề cương luyện thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Bùi Anh Trang

1. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM LỚP HỌC KÈM TOÁN – LÝ – HÓA – ANH THẦY BÙI ANH TRANG – ĐT :0907.45.45.18 PHẦN ĐẠI SỐ LỚP 9 Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ 1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho xa2 . Cho số thực không âm. Căn bậc hai số học của kí hiệu là a là một số thực không âm mà bình phương của nó bằng : a 0 x 0 2 ax xa Với hai số thực không âm ab, ta có: a b a b . Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: A A 0 + AA2 nếu A A 0 + ABABAB2 với AB,0 ; ABABAB2 với AB 0; 0 AABAB + với AB 0, B 0 BBB2 MMA. + với A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) A A M MAB + với ABAB, 0, (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu) AB AB 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3. Kiến thức cần nhớ: Căn bậc 3 của một số kí hiệu là 3 a là số sao cho xa3 3 Cho a R; 33 a x x3 a a Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc 3. Nếu a 0 thì 3 a 0 . Nếu a 0 thì 3 a 0 . Nếu a 0 thì 3 a 0 . aa3 3 với mọi b 0 . b 3 b 3ab 3 a. 3 b với mọi . a b 33 a b . ABAB3 3 3 . LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 1
2. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM A3 AB2 3 với B 0 BB 3 AA 3 BB3 1 33A223 AB B với AB . 33AB AB 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n. Cho số a R, n N ; n 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc của nó bằng a. Trường hợp là số lẻ: n 2 k 1, k N Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 21k a x x21k a , nếu a 0 thì 21k a 0 , nếu a 0 thì 21k a 0 , nếu a 0 thì 21k a 0 Trường hợp là số chẵn: n 2, k k N . Mọi số thực đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a , 2k a x x 0 và xa2k ; 2k a x x 0 và . Mọi số thực đều không có căn bậc chẵn. Một số ví dụ : Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích: 4 3 42 a)4 P x b) P 8 x 3 3 c)1 P x x Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức: 1 a) A x x x khi x 0 . 4 1 b) B 4 x 2 4 x 1 4 x 2 4 x 1 khi x . c)C 9 5 3 5 8 10 7 4 3 4 Ví dụ 3) Chứng minh: a) A 7 2 6 7 2 6 là số nguyên. 84 84 b) B 3311 là một số nguyên (chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). 99 a 1 8 a 1 a 1 8 a 1 1 c)Chứng minh rằng: x 33 a a với a là số tự nhiên. 3 3 3 3 8 d)Tính xy biết x x22 2015 y y 2015 2015. Ví dụ 4) x4 4 x 3 x 2 6 x 12 a)Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức: P . xx2 2 12 b)Cho x 123 . Tính giá trị của biểu thức B x4 2 x 4 x 3 3 x 2 1942.(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016). 33 5 4 3 2 c)Cho x 1 2 4 . Tính giá trị biểu thức: P x 4 x x x 2 x 2015 Ví dụ 5) Cho x, y , z 0 và xy yz zx 1. LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 2
3. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 1 y2 1 z 2 1 z 2 1 x 2 1 x 2 1 y 2 a)Tính giá trị biểu thức: P x y z 111 x2 y 2 z 2 x y z2 xy b)Chứng minh rằng: 2 2 2 1 x 1 y 1 z 1 x2 1 y 2 1 z 2 Ví dụ 6) 2 2 2 2 2 21 2 2 2 a)Tìm x12, x , , xn thỏa mãn: x1 1 2 x 2 2 n xnn n x 1 x 2 x 2 4nn 42 1 b)Cho fn() với n nguyên dương. Tính f(1) f (2) f (40) . 2nn 1 2 1 Ví dụ 7) 1 1 1 a)Chứng minh rằng: 4 . Đề thi chuyên ĐHSP 2011 1 2 3 4 79 80 1 1 1 1 1 b)Chứng minh rằng: 2 1 . 1 2 2 3 3 4n n 1 n 1 1 1 1 1 1 c)Chứng minh: 2nn 2 2 1 với mọi số nguyên dương n 2 . 1 2 3 4 n Ví dụ 8) 3 a)Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn a1 b2 b 1 c 2 c 1 a 2 . 2 3 Chứng minh rằng: abc2 2 2 . 2 b)Tìm các số thực x,, y z thỏa mãn điều kiện: x1 y2 y 2 z 2 z 3 x 2 3. (ĐHSP Hà Nội 2014) x x 4 x 4 x 4 x 4 Ví dụ 9) Cho A với x 4 xx2 8 16 a)Rút gọn A .Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. b)Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) 2 x xx 1 2 1 Với x 0 , cho hai biểu thức A và B . x x x x A 3 1)Tính giá trị biểu thức khi x 64 . 2)Rút gọn biểu thức B . 3)Tính để . B 2 Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội) x 4 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của biểu thức . x 2 xx4 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với xx 0, 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các biểu thức và nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức BA 1 là số nguyên. Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội). LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 3
4. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM xx10 5 Cho A , với xx 0, 25. xx 55x 25 1 1)Rút gọn biểu thức A 2)Tính giá trị của A khi x 9 . 3)Tìm x để A . 3 Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội). x2 x 3 x 9 Cho P , với xx 0, 9 . xx 33x 9 1 1)Rút gọn P . 2)Tìm giá trị của để P . 3)Tìm giá trị lớn nhất của . 3 Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)Thu gọn các biểu thức sau: 5 5 5 3 5 x 1 2 6 a) A b) B :1 x 0 . 5 2 5 1 3 5 x 3 x x 3 x x 3 x Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM) Thu gọn các biểu thức sau: xx33 a) A . với . xx 33x 9 22 b) B 212 3 3 5 62 3 3 5 1515 . xx2 2 2 Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)Rút gọn P , với xx 0, 2. 22xx x 2 Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định) 1 1 1 1 11 Cho A và B 1 . 1 2 2 3 3 4 120 121 2 35 Chứng minh rằng BA . x33 y x y Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)Cho biểu thức P ., x y . x2 xy y 2 x 2 y 2 a)Rút gọn biểu thức . b)Tính giá trị của khi x 7 4 3 và y 4 2 3 . Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN) Cho các số thực dương ab, ; ab . ab 3 3 b b2 a a ab 33a ab Chứng minh rằng: 0 . a a b b ba Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ) x x 6 x 7 x 19 x 5 x A ; x 0, x 9 . x 9 x x 12 x 4 x Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh) 1 1 2 x 1 Cho biểu thức A xx 0, 4 . Rút gọn và tìm để A . 22 xx4 x 3 Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi). 33x x x 1) Cho biểu thức P . Tìm tất cả các giá trị của để P 2 . x 3 x x 3 x x 1 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 4
5. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho P : y x2 và đường thẳng d :1 y mx ( m là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của , đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12, thỏa mãn xx12 2 . Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) a 22 Cho biểu thức C . a 16 aa 44 1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn . 2) Tính giá trị của biểu thức khi a 9 4 5 . Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh) 2 3 5xx 7 2 3 Cho biểu thức A : xx 0, 4 . x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x 1)Rút gọn biểu thức A . 2)Tìm x sao cho nhận giá trị là một số nguyên. Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A , khi x 9 . x 1 xx 2 1 1 2) Cho biểu thức P . với x 0 và x 1. x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh rằng P . b)Tìm các giá trị của để 2Px 2 5 . x Câu 17) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3 . Chứng minh rằng aa2 2 2 0 . Câu 18) Cho a 4 10 2 5 4 10 2 5 . a2 4 a 3 a 2 6 a 4 Tính giá trị của biểu thức: T . aa2 2 12 Câu 19) Giả thiết x, y , z 0 và xy yz zx a . a y2 a z 2 a z 22 a x a x 2 a y 2 Chứng minh rằng: x y z 2 a . a x2 a y 2 a z 2 Câu 20. Cho a 2 7 3 61 46 5 1. a)Chứng minh rằng: aa42 14 9 0. b)Giả sử f x x5 2 x 4 14 x 3 28 x 2 9 x 19. Tính fa . Câu 21. Cho a 3338 17 5 38 17 5 . 2016 Giả sử có đa thức f x x3 3 x 1940 . Hãy tính . 2n 1 n n 1 Câu 22. Cho biểu thức fn .Tính tổng S f 1 f 2 f 3 f 2016 . nn 1 1 1 1 1 5 Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:1 . 12 2 2 3 2n 2 3 1 1 1 1 65 Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3, ta có . 13 2 3 3 3n 3 54 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 5
6. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 43 1 1 1 44 Câu 25) Chứng minh: 442 1 1 2 3 2 2 3 2002 2001 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1 1 . 22113322 n 1 n 1 n n n 1 1 4 7 10 3nn 2 3 1 1 Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 , ta có: . . . . . 3 6 9 12 3nn 3 3 31n Chủ đề 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2 Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: + Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y ax b trong đó a và b là các số thực cho trước và a 0. + Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax , biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa y và x . 2. Tính chất: a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị xR . b) Trên tập số thực, hàm số đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0 . 3. Đồ thị hàm số với a 0 . + Đồ thị hàm số là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại b điểm có hoành độ bằng . a + gọi là hệ số góc của đường thẳng 4. Cách vẽ đồ thị hàm số . + Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm. b + Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là A ;0 , B 0; b . a + Chú ý: Đường thẳng đi qua Mm ;0 song song với trục tung có phương trình: xm 0 , đường thẳng đi qua Nn 0; song song với trục hoành có phương trình: yn 0 5. Kiến thức bổ sung. 22 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A x1;,; y 1 B x 2 y 2 thì AB x2 x 1 y 2 y 1 . Điểm x x y y M x; y là trung điểm của AB thì xy 1 2; 1 2 . 22 6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc. Cho hai đường thẳng d1 : y ax b và đường thẳng d2 :'' y a x b với aa, ' 0 . (d12 ) / /( d ) a a ' và bb ' . ()()'d12 d a a và bb '. d1 cắt d2 a a'. (d12 ) ( d ) a . a ' 1 Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox , nếu thì tan a . Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN Ta có các kết quả quan trọng sau: LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 6
7. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM + Xét hàm số y f() x ax b với m x n khi đó GTLN, GTNN của hàm số sẽ đạt được tại xm hoặc xn . Nói cách khác: minf ( x ) min f m ; f n  và maxf ( x ) max f m ; f n . Như vậy để m x n m x n tìm GTLN, GTNN của hàm số với ta chỉ cần tính các giá trị biên là f m , f n và so sánh hai giá trị đó để tìm GTLN, GTNN. + Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y f x ax b có f m ,0 f n thì fx 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện: . Vấn đề 2: Hàm số bậc 2 Kiến thức cần nhớ. Hàm số y ax2 a 0 : Hàm số xác định với mọi số thực Tính chất biến thiên: +) Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . y y O x y= ax2 Với a>0 y= a x2 Với a<0 O x +) Nếu a 0 thì hàm đồng biến khi , nghịch biến khi . Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi thì Parabol có bề lõm quay lên trên, khi thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới. Phương trình bậc hai và định lý Viet Kiến thức cần nhớ: Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 00 a có biệt thức b2 4 ac. b + Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép x 2a b b + Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x ; x . 1 2a 2 2a Công thức nghiệm thu gọn : Khi bb 2', ta xét '' b2 ac . Khi đó: + Nếu '0 thì phương trình vô nghiệm. b' + Nếu '0 thì phương trình có nghiệm kép x . a b'' b'' + Nếu '0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x ; x . 1 2a 2 2a SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Để chứng minh một phương trình bậc 2 có nghiệm. Thông thường ta chứng minh: 0 dựa trên các kỹ thuật như biến đổi tương đương để đưa về dạng Ax B 2 0, kiến thức về bất đẳng thức , bất phương trình, trong một số bài toán khó ta cần nắm bắt được những tính chất đặc biệt của tam thức bậc 2 để vận dụng. Ngoài các kiến thức cơ sở trong SGK ta cần nắm thêm một số kết quả, bổ đề quan trọng sau: LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 7
8. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM + Mọi tam thức bậc 2: f x ax2 bx c với a 0 đều có thể phân tích thành dạng 2 b 2 f x a x với b 4 ac . 24aa + Để chứng minh một phương trình bậc hai f x ax2 bx c 00 a có nghiệm ngoài cách chứng minh 0 ta còn có cách khác như sau:”Chỉ ra số thực sao cho af.0 hoặc hai số thực , sao cho: ff  .0 ”. Thật vậy ta có thể chứng minh điều này như sau: 2 22 2 b bb + Ta có a.0 f a 2 22 0 0 0 suy 24aa 2a 4 a 4 a 2 a ra phương trình có nghiệm. + Xét a. f a . f  a2 f . f  0 trong hai số af và af  có một số không dương, tức là af 0 hoặc af  0 phương trình có nghiệm. Một số ví dụ Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất 22 Ví dụ 1) Cho đường thẳng d1 :2 y x và đường thẳng d2 :2 y m m x m m . a) Tìm m để (dd12 ) / /( ) . b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng ()d1 có hoành độ x 2 . Viết phương trình đường thẳng ()d3 đi qua vuông góc với . c) Khi . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (dd12 ), . d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng và tính diện tích tam giác OMN với MN, lần lượt là giao điểm của với các trục tọa độ Ox, Oy . Ví dụ 2.Cho đường thẳng mx 2 3 m y m 1 0 ()d . a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. b) Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất. c) Tìm để đường thẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại AB, sao cho tam giác OAB cân. Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng ():dmxmym12 ( 1) 2 10,():(1 d mxmym ) 4 10 a) Tìm các điểm cố định mà , ()d2 luôn đi qua. b) Tìm để khoảng cách từ điểm P(0;4) đến đường thẳng là lớn nhất. c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I .Tìm quỹ tích điểm khi thay đổi. d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB với lần lượt là các điểm cố định mà dd12 , đi qua. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN Ví dụ 1: Cho các số thực 0 x , y , z 2. Chứng minh rằng: 24 x y z xy yz zx . Ví dụ 2: Cho các số thực không âm x,, y z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm GTLN của biểu thức: P xy yz zx 2 xyz . Ví dụ 3: Cho các số thực dương abc,, thỏa mãn điều kiện: abc 1. Chứng minh rằng: 5 a2 b 2 c 2 6 a 3 b 3 c 3 1. LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 8
9. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Vấn đề 2: Hàm số bậc hai Ví dụ 1. a) Hãy xác định hàm số y f x ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A 2;4 . b) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho c) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16. d) Tìm m sao cho B m; m3 thuộc Parabol. e) Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ. Ví dụ 2: Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 25 m( Bỏ qua độ dày của cổng). 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabo P : y ax2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1. 2) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016) Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng dy:1 và điểm F 0;1 . Tìm tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ đến d bằng IF . Ví dụ 4. a) Xác định điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 sao cho độ dài đoạn IM là nhỏ nhất, trong đó I 0;1 . b) Giả sử điểm A chạy trên Parabol . Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn OA . Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và B chạy trên parabol sao cho ABO, 0;0 và OA OB. Giả sử là trung điểm của đoạn AB . a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm của đoạn . b) Đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định. c) Xác định tọa độ điểm và sao cho độ dài đoạn nhỏ nhất. Ví dụ 5) Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol , trên P lấy hai điểm AB 1;1 , 3;9 . a) Tính diện tích tam giác OAB . b) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ của sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. Ví dụ 6) Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d :6 y x và parabol . a) Tìm tọa độ các giao điểm của d và . b) Gọi AB, là hai giao điểm của và . Tính diện tích tam giác OAB . (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Hà Nội năm 2014) Vấn đề 3: Phương trình bậc hai Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 2 2 1) xx 5 6 0 2) 2xx 3 1 0. 3) xx2 2 3 2 3 0 c) x22 2 m 1 x m m 0 . Ví dụ 2. Cho phương trình: m 1 x2 2 m 1 x m 3 0 (1) 1. Giải phương trình (1) khi m 2 2. Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép. 3. Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 9
10. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Ví dụ 3. Cho a b 0, b c 0, a c 0. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: abcx 2 2 3 abcxabc 3 3 3 2 2 2 0 . Ví dụ 4: Cho phương trình: ax2 bcx b 3 c 3 40 abc (1), a 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: ax2 bx c 0 2 và ax2 cx b 0 (3). Ví dụ 5. a)Cho các số dương abc,, thỏa mãn điều kiện a 2 b 3 c 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm 4x22 4 2 a 1 x 4 a 192 abc 1 0 và 4x22 4 2 b 1 x 4 b 96 abc 1 0 . b)Cho các số thỏa mãn điều kiện abc 6 . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm : x2 ax 1 0; x22 bx 1 0; x cx 1 0 c)Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: ax2 20 bx c (1) 2 2 ; bx 20 cx a (2) cx 20 ax b (3). Ví dụ 6) a) Cho tam thức bậc hai f x x2 bx c trong đó bc, là các số nguyên. Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên k để được f k f 2015 . f 2016 . b) Cho tam thức bậc hai . Giả sử phương trình f x x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f f x x có 4 nghiệm nếu: b 1 2 4 b c 1 . Ví dụ 7: Cho là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: axaxc bxcxa cxaxb 0 (1) Ví dụ 8: Cho a,b,c thỏa mãn:3a 4 b 6 c 0.CHứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: f x ax2 bx c 0 abc Ví dụ 9: Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m; mp n2 và 0. Chứng minh rằng m n p phương trình: f x ax2 bx c 0 (1) có nghiệm x 0;1 VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN (Phương pháp miền giá trị hàm số) ax2 bx c Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức y với mx2 nx p 0  x . mx2 nx p Phương pháp: ax2 bx c Gọi y là một giá trị của biểu thức: Khi đó y ymaxynbxypc 2 0 . 0 0mx2 nx p 0 0 0 (*) Ta xét 2 trường hợp: a a + Nếu y m a 0 y thay vào * ta tìm được x suy ra y là một giá trị của biểu thức. 00m 0 m a + Nếu y m a 0 y thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn . Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 00m 0 . Từ đó ta suy ra điều kiện của . Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức. LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 10
11. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM + Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau: Ta có: 22 22 bb a. f x a x 2 a x . Từ đó suy ra Nếu 0 thì a. f x 0 a , f x 2a 4 a 2 a 4 luôn cùng dấu. Một kết quả thường xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : f x ax2 bx c có a 0, 0 f x 0,  x.” Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: x2 xx2 87 2x22 2 xy 9 y a) y . b) P . c) A với y 0 . xx2 57 x2 1 x22 25 xy y 2x2 12 xy d) A biết xy22 1 (Đề TS ĐH khối B- 2008) 1 2xy 2 y2 xy yz zx 8 Ví dụ 2: Cho các số thực x,, y z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của x . x y z 5 Ví dụ 3) Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm GTLN của biểu thức: P 9 xy 10 yz 11 zx . 9 Ví dụ 4) Cho các số thực dương abc,, sao cho abc 3. Chứng minh rằng: a ab 2 abc . 2 ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: b xx12 2 a Định lý Viet: Nếu xx12, là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0, a 0 thì (*) c xx. 12 a Ghi chú: Trước khi sử dụng định lý Viet, chúng ta cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, nghĩa là 0 . Một số ứng dụng cơ bản của định lý Viet + Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai: c Nếu abc 0 thì phương trình có hai nghiệm là xx 1; . 12a c Nếu a b c 0 thì phương trình có hai nghiệm là xx 1; . 12a + Tính giá trị của biểu thức g x12, x trong đó là biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm của phương trình (*): Bước 1: Kiểm tra điều kiện , sau đó áp dụng định lý Viet. Bước 2: Biểu diễn biểu thức theo S x1 x 2,. P x 1 x 2 từ đó tính được . Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp: 2 22 2 x1 x 2 x 1 x 2 22 x 1 x 2 S P ; 3 33 3 xx1 2 xx 1 2 33 xxxx 1 2 1 2 S SP ; 44222 222 242 2 xxxx1 2 1 2 2 xxS 1 2 2 PPSSPP 2 4 2 ; 22 2 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 S 4 P , + Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là cho trước: LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 11
12. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Bước 1: Tính S x1 x 2; P x 1 x 2 . 2 Bước 2: Phương trình bậc hai nhận hai nghiệm xx12, là XSXP .0 . + Tìm điều kiện để phương trình bậc hai (*) ( abc,, phụ thuộc vào tham số m ), có hai nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước h x12,0 x (1) Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình (*) có nghiệm, nghĩa là 0 . Sau đó áp dụng định lý Viet để tính b c S x x (2) và P x. x (3) theo . 12 a 12 a Bước 2: Giải hệ phương trình (1),(2),(3) (thường sử dụng phương pháp thế) để tìm , sau đó chú ý kiểm tra điều kiện của tham số ở bước 1. + Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì 2 ax bx c a x x12 . x x . + Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc 2 ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau: Nếu: x1 m x 2 x 1 m x 2 m 0. x12 x2 m Nếu m x12 x x12 m x m 0 x12 x2 m Nếu x12 x m x12 m x m 0 Một số ví dụ: Ví dụ 1. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm a) xx2 13 20 0 c) 5xx2 7 1 0 b) 3xx2 5 2 0 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x 3 x2 5 x 2 b) g x x42 54 x c) P x; y 6 x22 11 xy 3 y d) Q x; y 2 x22 2 y 3 xy x 2 y . Ví dụ 3: Phân tích đa thức f x x4 2 mx 2 x m 2 m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x . Ví dụ 4: a) Cho phương trình 2x2 mx 5 0 , với la tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2 , tìm và tìm nghiệm còn lại. b) Cho phương trình x22 2 m 1 x m 1 0, với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm dương. c) Cho phương trình x2 4 x 2 x 2 m 5 , với là tham số. Xác định để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Ví dụ 5) a) Tìm m để phương trình 3x22 4 m 1 x m 4 m 1 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 1 1 1 xx12 . xx122 b) Chứng minh rằng phương trình: ax2 bx c 00 a (1) có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp kk 1 lần nghiệm kia khi và chỉ khi 1 k 2 ac kb2 . LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 12
13. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 22 c) Tìm các giá trị của m để phương trình x mx m m 30 có hai nghiệm xx12, là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC , biết độ dài cạnh huyền BC 2. Ví dụ 7: Cho phương trình x4 mx 3 m 1 x 2 m m 1 x m 1 2 0 . a) Giải phương trình khi m 2. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình có bốn nghiệm đôi một phân biệt. Ví dụ 8) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình: 2 a) mx 2 m 1 x 3 m 2 0 có hai nghiệm xx12, thỏa mãn xx12 21. 22 b) x 2 m 1 x m 2 0 có hai nghiệm thỏa mãn 3x1 x 2 5 x 1 x 2 7 0 . 2 22 c) x 30 x m có hai nghiệm thỏa mãn x1 1 x 2 x 2 1 x 1 19. 22 1 1 1 d) 3x 4 m 1 x m 4 m 1 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn xx12 . xx122 Ví dụ 9) Cho phương trình x22 m 1 m m 2 0 , với là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi . 33 xx b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là . Tìm để biểu thức A 12 đạt giá xx21 trị lớn nhất. Ví dụ 10) Cho phương trình 2x22 2 mx m 2 0 , với là tham số. Gọi là hai nghiệm của phương trình. a) Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào . 23xx12 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A 22 x1 x 2 21 x 1 x 2 Ví dụ 11) Cho phương trình x22 2 m 1 x 2 m 3 m 1 0 , với là tham số. Gọi là nghiệm của 9 phương trình. Chứng minh rằng: x x x x . 1 2 1 2 8 Ví dụ 13) Cho phương trình x22 2 m 1 x m 1 0, với là tham số. tìm tất cả các giá trị m để xx phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức P 12 có giá trị là số nguyên. xx12 Ví dụ 14) 2 22 a) Tìm m để phương trình x x m 0 có hai nghiệm và biểu thức: Q x1 x 1 11 x 2 x 2 đạt giá trị lớn nhất. b) Cho phương trình x22 2 m 1 x m 2 0, với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho P x1 x 2 26 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Gọi là hai nghiệm của phương trình: 2x2 3 a 1 x 2 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 32 xx12 1 1 thức: P x12 x 2 22 xx12 Ví dụ 14: Giả sử phương trình x2 ax b 0 có 2 nghiệm lớn hơn 1. Chứng minh rằng: a2 a22 b b . ba 1 1 b LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 13
14. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Ví dụ 15: Giả sử phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm thuộc 0;3 . Tìm giá trị lớn nhất và 18a22 9 ab b giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q 93a2 ab ac Ví dụ 16: Cho phương trình f x ax2 bx c 0, trong đó a,b,c là các số nguyên và a 0 , có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;1). Tìm giá trị nhỏ nhất của a. nn 3 5 3 5 Ví dụ 17: Chứng minh: a 2 là số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ. n 22 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Kiến thức cần nhớ: Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng d và Parabol ():P y ax2 ta cần chú ý: a) Nếu đường thẳng là ym (song song với trục Ox ) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào ax2 m. b) Nếu đường thẳng d : y mx n ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của P và là: ax22 mx n ax mx n 0 từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình ax2 mx n 0 bằng cách xét dấu của . Trong trường hợp đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt AB, thì A x1;,; mx 1 n B x 2 mx 2 n khi đó ta có: AB xxmxx 2 22 2 m 14 xx 2 xx . Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm xx, 2 1 2 1 1 2 1 2 12 ta đều quy về định lý Viet. Chú ý: Đường thẳng có hệ số góc a đi qua điểm M x00; y thì có dạng: y a x x00 y Ví dụ 1) Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I 0;1 và cắt parabol ():P yx 2 tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN 2 10 . (Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 2000-2001). 1 1 Ví dụ 2: Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d :1 y mx m2 m . 2 2 a) Với m 1, xác định tọa độ giao điểm và và . b) Tìm các giá trị của m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho xx12 2 . (Trích đề tuyển sinh lớp 10 – thành phố Hà Nội năm 2014). 1 Ví dụ 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P : y x2 , điểm Mm ;0 với là tham số khác 2 0 và điểm I 0; 2 .Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm MI, . Chứng minh rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt với độ dài đoạn AB 4 . x2 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol có phương trình y . Gọi là đường 2 thẳng đi qua và có hệ số góc k . a) Viết phương trình đường thẳng . Chứng minh đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt khi thay đổi. LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 14
15. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM b) Gọi HK, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của AB, trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I . Ví dụ 4: Cho Parabol ():P y x2 và đường thẳng (d ): y mx 4 . a) Chứng minh đường thẳng ()d luôn cắt đồ thị ()P tại hai điểm phân biệt .Gọi xx12, là hoành 27 xx12 độ của các điểm . Tìm giá trị lớn nhất của Q 22 . xx12 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 . Ví dụ 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x y a2 0 và parabol P : y ax2 (a 0) . a)Tìm a để d cắt P tại hai điểm phân biệt . Chứng minh rằng A và B nằm bên phải trục tung. 41 b)Gọi xxAB, là hoành độ của và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . (Trích Đề xABAB x x. x thi vòng 1 THPT chuyên – TP Hà Nội năm học 2005-2006) Ví dụ 6) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d :1 y mx . a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị . b) Gọi A x11; y và B x22; y là các giao điểm của và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M y12 11 y . (Trích đề TS lớp 10 Trường THPT chuyên ĐH sư phạm Hà Nội năm 2009) BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Cho phương trình x22 2 m 1 x m m 8 0 có nghiệm x 2 . Tìm các giá trị của và tìm nghiệm còn lại của phương trình. 2) Cho phương trình xx2 3 2 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi các nghiệm của phương trình là . Không tính giá trị của , hãy tính các giá trị của biểu thức sau: 22 33 11 A x12 x B x12 x C xx12 11 2 3) Cho phương trình bậc hai x2 2 m 2 x 1 m 0 , là tham số. a) Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi hai nghiệm phân biệt là . Tính giá trị của biểu thức P sau theo : 23xx12 P 22 . Từ đó tìm các giá trị của để đạt giá trị lớn nhất và tìm các giá trị x1 x 2 21 x 1 x 2 của để đạt giá trị nhỏ nhất. 4) Cho phương trình x22 2 2 m 1 x 4 m 4 m 3 0. Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. 5) Cho phương trình x2 20 x m , là tham số. tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn xx12 21. 6) Cho phương trình x2 2 mx 5 m 4 0 , với là tham số. Xác định các giá trị của để phương trình có: a) Nghiệm bằng 0 . b) Hai nghiệm phân biệt trái dấu. LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 15
16. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM c) Hai nghiệm phân biệt cùng dương. 7) Cho phương trình x2 x 30 m , với m là tham số. Xác định các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa mãn xx12 1 . 8) Cho các phương trình x2 ax b 0 (1); x2 cx d 0 (2), trong đó các hệ số a,,, b c d đều khác 0 . Biết ab, là nghiệm của phương trình (2) và cd, là nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng a2 b 2 c 2 d 2 10 . 9) 2 a) Cho phương trình ax bx c 00 a có hai nghiệm thỏa mãn ax12 bx c 0 Chứng minh rằng ac a c 30 b b3 . b) Giả sử pq, là hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm x22 px q 0; x qx p 0 . 10) Tìm các số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) Hai phương trình x2 ax 11 0 và x2 bx 70 có nghiệm chung; b) ab bé nhất. 11) 6 a) Cho các số abc,, thỏa mãn a 0, bc 4 a2 ,2 a b c abc . Chứng minh rằng a . 2 b) Cho là ba số khác nhau và c 0. Chứng minh rằng nếu các phương trình x2 ax bc 0 và x2 bx ac 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của phương trình x2 cx ab 0. 12) a) Cho f x ax2 bx c a 0 , biết rằng phương trình f x x vô nghiệm. chứng minh rằng phương trình af2 x bf x c x vô nghiệm. 2 b) Cho các số a1,,, a 2 b 1 b 2 sao cho các phương trình sau vô nghiệm: x a11 x b 0 và 11 x2 a x b 0. Hỏi phương trình x2 a a x b b 0 có nghiệm hay không? Vì 22 221 2 1 2 sao? 13) Cho phương trình x2 2 mx m 2 0 ( x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi . 24 b) Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm để biểu thức M 22 đạt giá trị nhỏ x1 x 26 x 1 x 2 nhất. 14) Cho phương trình x22 2 m 2 x m 0 , với là tham số. 1) Giải phương trình khi m 0. 2) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với xx12 , tìm tất cả các nghiệm của sao cho xx12 6 . 15) Cho phương trình x22 2 x 3 m 0 , với là tham số 1) Giải phương trình khi m 1. 2) Tìm tất các các giá trị của để phương trình có hai nghiệm xx12,0 và thỏa điều kiện xx8 12 . xx213 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 16
17. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 16) Cho phương trình bậc hai: x22 2 mx m m 1 0 ( m là tham số). a) Giải phương trình khi m 2 . 22 b) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa mãn: x1 x 2 31 x 1 x 2 . 17) Cho phương trình: x2 2 m 1 x 2 m 4 m 2 0 ( là tham số). a) Giải phương trình khi m 1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi . 18) Cho phương trình: x22 2 m 1 x m 4 0 ( là tham số) a) Giải phương trình với . 22 b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 2 m 1 x 3 m 16. 19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d :3 y mx tham số và parabol P : y x2 . a) Tìm để đường thẳng d đi qua điểm A 1;0 . b) Tìm để đường thẳng cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là thỏa mãn xx12 2 . 20) Cho phương trình: x2 x m 50 (1) ( là tham số, x là ẩn) 1) Giải phương trình (1) với m 4 . 2) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xx12,0 thỏa mãn: 66 m x m x 10 12 . xx213 21) Cho phương trình: x2 2 x m 3 0 ( là tham số). 1) Tìm để phương trình có nghiệm x 3. Tìm nghiệm còn lại. 33 2) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn xx12 8. 22) Chứng minh rằng phương trình: x2 2 m 1 x m 4 0 luôn có hai nghiệm phân biệt và biểu thức M x1 11 x 2 x 2 x 1 không phụ thuộc vào . 23) Cho phương trình x22 2 m 1 x m 3 m 2 0 (1) ( là tham số). 1) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 22 2) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn xx12 12 . 21 24) Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng d :1 y m x ( 33 là tham số). 1) Chứng minh rằng mỗi giá trị của thì và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi là hoành độ giao điểm và , đặt f x x32 m 1 x x. 1 3 Chứng minh rằng: f x f x x x .(Trích đề thi vào lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà 1 22 1 2 Nội 2013) Chủ đề 3: Hệ phương trình BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ ax by c Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: . a''' x b y c LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 17
18. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM + Cặp số xy00; được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó. + Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình. + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để khử bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được hệ. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xác định các hệ số ab, của hàm số y ax b để: 1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm AB 1;3 , 2;4 2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 . Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau: 11 xy 1 2x 1 2 3 3 xy xy 11 xy a) b) c) 32 xy3 1 1 1 2 2x 1 1 xy xy 11 xy xy 25 1 Ví dụ 3. Cho hệ phương trình: mx y 4 2 a) Giải hệ phương trình với m 2 . b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy, trong đó xy, trái dấu. c) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; thỏa mãn xy . x my m 1 1 Ví dụ 4. Cho hệ phương trình: mx y 31 m 2 a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất? b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo . c) Tìm số nguyên sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà đều là số nguyên. d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất thì điểm M x, y luôn chạy trên một đường thẳng cố định. e) Tìm để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho xy. đạt giá trị nhỏ nhất. x my 24 m Ví dụ 5. Cho hệ phương trình: . Chứng minh rằng với mọi hệ phương trình luôn có mx y 31 m 22 nghiệm. Gọi là một cặp nghiệm của phương trình: Chứng minh: x0 y 0 5 x 0 y 0 10 0. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015). x my 3 (1) Ví dụ 6. Cho hệ phương trình: mx y 21 m (2) Hệ có nghiệm duy nhất , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây: a) P x223 y (1). b)Q x44 y (2). LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 18
19. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM mx m 11 y Ví dụ 7.Cho hệ phương trình: . Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất xy; và m 1 x my 8 m 3 tìm GTLN của biểu thức P x22 y 4 2 3 y . Chủ đề 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần). Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập. Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời. CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG: Kiến thức cần nhớ: + Quãng đường = Vận tốc . Thời gian. + Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được: + Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe. + Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB + Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý: Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước. Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước. Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0) Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Ví dụ 2: Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ đi về . Sauk hi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô. (Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013). 3 Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được xe bị hỏng phải 4 dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 1 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên 4 quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015) Ví dụ 4. Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dong 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. Ví dụ 3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng hơn 3 giờ so với dự định. tính độ dài quãng đường AB. LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 19
20. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Chú ý rằng: Trong bài toán này, vì các dữ kiện liên quan trực tiếp đến sự thay đổi của vận tốc và thời gian nên ta chọn là ẩn và giải như trên. Nếu đặt độ dài quãng đường và vận tốc dự định là ẩn số ta cũng lập được hệ hai phương trình hai ẩn và vẫn giải được bài toán, tuy nhiên sẽ khó khăn hơn. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG, CÔNG VIỆC. Ta cần chú ý: Khi giải các bài toán liên quan đến năng suất thì liên hệ giữa ba đại lượng là: Khối lượng công việc = năng suất lao động thời gian Ví dụ 1) Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Quảng Ngãi 2015) Ví dụ 2) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2015) Ví dụ 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm. Ví dụ 4. Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu? Nhận xét: Bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung – làm riêng để hoàn thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người (hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1. + Năng suất công việc =1: thời gian. + Năng suất chung = Tổng năng suất riêng. Ví dụ 5. Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở để chảy vào bể này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Ví dụ 6. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1). Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB. 2). Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30km/h. 3). Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau ở thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ô tô và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi. 4). Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3 km. người thứ ba đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính thời gian chạy hết quãng đường đua của các tay đua. 5). Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tằng 20km/h thì đến sớm 1 giờ, nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính quãng đường AB. 2 6). Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với vận tốc bằng vận tốc ô tô thứ 3 nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu? LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 20
21. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 7). Hai bến sông A và B cách nhau 40km. cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sauk hi đến bến B, ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8km. tính vận tốc riêng của ca nô. 8) Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày. 9) Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả là hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh dự thi? 10) Có hai loại quặng sắt. quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa 50% sắt. người ta trộn một lượng 8 quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa sắt. Nếu lấy tăng hơn lúc đầu là 10 tấn 15 17 quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp quặng chứa sắt. Tính 30 khối lượng quặng mỗi loại đem trộn lúc đầu. Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3. Ta thường biến đổi phương trình đó về một trong các dạng đặc biệt đó là: 1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình: fx 0 F x 0 f x . g x 0 gx 0 Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng: a2 b 2 0, a 3 b 3 0, Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu xa là một nghiệm của phương trình fx 0 thì ta luôn có sự phân tích: f x x a g x . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau: Chú ý: Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn. Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau: Phương trình dạng: x42 ax bx c Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: 2mx22 m khi đó phương trình trở thành: (x2 m ) 2 (2 m a ) x 2 bx c m 2 Ta mong muốn vế phải có dạng: ()Ax B 2 20ma m b22 4(2 m a )( c m ) 0 Phương trình dạng: x4 ax 3 bx 2 cx d 2 2 a Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng: x x m 2 Bằng cách khai triển biểu thức: 2 2 2aa 4 3 2 2 x xm xax 2 m xamxm . Ta thấy cần thêm vào hai vế một lượng: 24 2 a 22 2m x amx m khi đó phương trình trở thành: 4 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 21
22. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 2 2 2aa 2 2 x xm 2 m bx ( amcxmd ) 24 a2 20mb 4 Bây giờ ta cần: 2 m ? 22 a VP (am c ) 4 2 m b m d 0 4 Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 1) Giải các phương trình: a) x42 10 x x 20 0 . b) x42 22 x 8 x 77 0 c) x4 6 x 3 8 x 2 2 x 1 0 . d) x4 2 x 3 5 x 2 6 x 3 0 . Ví dụ 2) a) Giải phương trình: x42 4 x 12 x 9 0 (1). b) Giải phương trình: x42 13 x 18 x 5 0 c) Giải phương trình: 2x4 10 x 3 11 x 2 x 1 0 (4) 2. Phương pháp đặt ẩn phụ: a)Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương trình bậc cao cũng vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao về phương trình bậc thấp hơn. b)Một số dạng sau đây ta thường dùng đặt ẩn phụ. Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax42 bx c 00 a (1) Với dạng này ta đặt t x2 ,0 t ta chuyển về phương trình: at2 bt c 0 (2) Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm của (2) Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): ax4 bx 3 cx 2 kbx k 2 a 00 k . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho xx2 0 ta được: 2 2 2 2 kk k 22kk a x 2 b x c 0 . Đặt tx với tk 2 ta có: x 2 x 22 k t k thay xx x xx vào ta được phương trình: a t2 20 k bt c Dạng 3: Phương trình: x a x b x c x d e,trong đó a+b=c+d 22 Phương trình x abxabx cdxcd e . Đặt t x2 a b x , ta có: t ab t cd e Dạng 4: Phương trình x a x b x c x d ex2 , trong đó ab cd . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho . Phương trình tương đương: 2 2 2 ab cd a) x abxabx cdxcd ex x abx cd e xx ab cd Đặt t x x . Ta có phương trình: t a b t c d e xx 44 ab Dạng 5: Phương trình x a x b c . Đặt xt ta đưa về phương trình trùng phương 2 Ví dụ 1: Giải các phương trình: 44 1) 2x4 5 x 3 6 x 2 5 x 2 0 2) xx 1 3 2 3) x x 1 x 2 x 3 24 4) x 2 x 3 x 4 x 6 6 x2 0 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 22
23. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Ví dụ 2) 2 a) Giải phương trình: 3 x23 x 1 2 x 1 2 5 x 1 b) Giải phương trình: x6 3 x 5 6 x 4 21 x 3 6 x 2 3 x 1 0 c) Giải phương trình: x 1 x 2 x 3 2 x 4 x 5 360 3 d) Giải phương trình: x33 5 x 5 5 x 24 x 30 0. Dạng 6: ax bx a) Phương trình: c với abc 0. x22 mx p x nx p Phương pháp giải: Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình. ab Với x 0 , ta chia cả tử số và mẫu số cho x thì thu được: c . pp x m x n xx kk2 Đặt t x t22 x 2 k 2 k 2 k . Thay vào phương trình để quy về phương trình bậc 2 theo t . xx2 2 2 ax b) Phương trình: xb với a 0, x a . xa Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức a22 b a b 2 2 ab . Ta viết lại phương trình thành: 2 2 ax x2 x 2 x 2 x2 x 2 a . b 2 a b 0 . Đặt t quy về phương trình bậc 2. x a x a x a x a xa Ví dụ 1) Giải các phương trình: 25x2 a) x2 11 . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013). x 5 2 12xx 3 b) 1. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010). x22 4 x 2 x 2 x 2 x2 c) 3xx2 6 3(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008). x 2 2 xx323 d) x3 20 x 1 3 x 1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau: 1) x22 x 2 x x 3 6. 2) 6x 7 2 3 x 4 x 1 1. 3) xx 1 44 3 82 . 4) x 1 x 2 x 4 x 5 10. 5) x2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 . 22 6) x 2 x 1 x 8 x 4 4 x2 . 7)3 x2 2 x 1 2 x 2 3 x 1 5 x 2 0 . 4 3 2 8)3x4 4 x 3 5 x 2 4 x 3 0. 9) 2x 21 x 34 x 105 x 50 0. 1 1 1 1 1 x 4 x 4 x 8 x 8 8 10) 0. 11) . x x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 1 x 2 x 2 3 x 1 x 6 x 2 x 5 12) . x x 2 x2 12 x 35 x 2 4 x 3 x 2 10 x 24 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 23
24. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM x2 x 1 x 2 2 x 2 x 2 3 x 3 x 2 4 x 4 43xx 13) 0 . 14) 1 x 1 x 2 x 3 x 4 4x22 8 x 7 4 x 10 x 7 15) 2x2 3 x 1 2 x 2 5 x 1 9 x 2 . 16) x22 5 x 1 x 4 6 x 1 2 . 2 4 3 2 x 12 17) x 9 x 16 x 18 x 4 0. 18) 3xx2 6 3. x 2 2 2xx 13 2 4 2 19) 22 6 . 20) x x 1 x 2 1 0 . 3x 5 x 2 3 x x 2 22 x 2 x 2 x2 4 21) 20 5 202 0. x 1 x 1 x 1 CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ gx( ) 0 1. Phương trình vô tỷ cơ bản: f()() x g x 2 f()() x g x Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) x2 2 x 6 2 x 1 b) 2x 1 x 4 x 9 II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP 1. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: Dấu hiệu: + Khi ta gặp các bài toán giải phương trình dạng: nmf( x ) g ( x ) h ( x ) 0 Mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích hoặc giải trực tiếp khó khăn. + Nhẩm được nghiệm của phương trình đó: bằng thủ công ( hoặc sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp: Đặt điều kiện chặt của phương trình ( nếu có) Ví dụ: Đối phương trình: x22 3 3 2 x 7 2 x . + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: Phương trình xác định với mọi xR . Nhưng đó chưa phải là điều kiện chặt. Để giải quyết triệt để phương trình này ta cần đến điều kiện chặt đó là: + Ta viết lại phương trình thành: x22 3 2 x 7 2 x 3 3 Để ý rằng: xx22 3 2 7 0 do đó phương trình có nghiệm khi 2xx 3 0 2 Nếu phương trình chỉ có một nghiệm x0 : Ta sẽ phân tích phương trình như sau: Viết lại phương trình thành: nmnm fx() fx ()0 gx () gx ()()()0 0 hxhx 0 Sau đó nhân liên hợp cho từng cặp số hạng với chú ý: + 33a b 33 a2 ab b 2 a b 3 + a b a b a b2 + Nếu hx( ) 0 có nghiệm xx 0 thì ta luôn phân tích được h()()() x x x0 g x LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 24
25. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Như vậy sau bước phân tích và rút nhân tử chung xx 0 thì phương trình ban đầu trở thành: xx 0 0 (x x0 ) A ( x ) 0 Ax( ) 0 Việc còn lại là dùng hàm số , bất đẳng thức hoặc những đánh giá cơ bản để kết luận Ax( ) 0 vô nghiệm. Nếu phương trình có 2 nghiệm xx12, theo định lý viet đảo ta có nhân tử chung sẽ là: 2 x (). x1 x 2 x x 1 x 2 Ta thường làm như sau: + Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong n fx() ta trừ đi một lượng ax b . Khi đó nhân tử chung sẽ là kết quả sau khi nhân liên hợp của n f()() x ax b + Để tìm ab, ta xét phương trình: n f( x ) ( ax b ) 0 . Để phương trình có hai nghiệm ta cần tìm n ax11 b f() x sao cho n ax22 b f() x + Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại: Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) 5x3 1 3 2 x 1 x 4 0 b) x 2 4 x 2 x2 5 x 3 Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối cùng vô nghiệm ta thường dùng các ước lượng cơ bản: A AB 0 ABA với B 0 từ đó suy ra 1 với mọi số AB, thỏa mãn AB B 0 Ví dụ 2: Giải các phương trình: a) 3 x23 12 x x b) 3 x2 23 x x 4 x 7 3 x 28 0 Ví dụ 3: Giải các phương trình: 2x 11 a) 4x 3 19 3 x x2 2 x 9 b) 3xx 8 1 5 37x2 x32 5 x 4 x 2 c) x (ĐHQG Hà Nội 2012) d) xx2 2 xx21 xx2 23 Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: 33 a) x 15 2 x 8 3 x b) 3x 1 x 3 1 x 0 2. Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của phương trình: Ta thường gặp phương trình dạng này ở các dạng biến thể như: + ax2 bx c d px 3 qx 2 rx t (1) + ax2 bx c d px 4 qx 3 rx 2 ex h (2) + A ax2 bx c B ex 2 gx h C rx 2 px q (*) Thực chất phương trình khi bình phương 2 vế thì xuất hiện theo dạng (1) hoặc (2). Để giải các phương trình (1), (2). Phương pháp chung là: + Phân tích biểu thức trong dấu thành tích của 2 đa thức P( x ), Q ( x ) + Ta biến đổi ax2 bx c mP()() x nQ x bằng cách đồng nhất hai vế. Khi đó phương trình trở thành: mPx( ) nQx ( ) d PxQx ( ). ( ) LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 25
26. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Chia hai vế cho biểu thức Qx( ) 0 ta thu được phương trình: P()() x P x Px() m n d . Đặt t 0 thì thu được phương trình: mt2 dt n 0 . Q()() x Q x Qx() Một cách tổng quát: Với mọi phương trình có dạng: aPxn() bQx n () cP n k ()() xQx k d2n PxQx ().()0 thì ta luôn giải được theo cách trên. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) 2(x23 3 x 2) 3 x 8 b) x 1 x2 4 x 1 3 x c) 4x2 3 x 2 x x 1 2 x 3 1 Ví dụ 2: Giải các phương trình: a) 4(2x2 1)3( x 2 2)2 x x 1 2( x 3 5) x b) 5x22 4 x x 3 x 18 5 x c) 5x22 14 x 9 x x 20 5 x 1 Ví dụ 3: Giải các phương trình: a) x22 2 x 2 x 1 3 x 4 x 1 b) x3 3 x 2 2 ( x 2) 3 6 x 0 Ví dụ 4: Giải các phương trình: a) 2x3 x 2 3 x 1 x 5 x 4 1 b)5x42 8 x 4 x 8 Ví dụ 5: Giải các phương trình: a) (x 2)(2 x 32 x 1) 2 x2 5 x 310 b) (x22 4) 2 x 4 3 x 6 x 4 2 2 2 c) (x 6 x 11) x x 1 2( x 4 x 7) x 2 2. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. + Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp chọn một số hạng trong phương trình để đặt làm ẩn sau đó ta quy phương trình ban đầu về dạng một phương trình bậc 2: mt2 g( x ) t h ( x ) 0 ( phương trình này vẫn còn ẩn x ) + Vấn đề của bài toán là phải chọn giá trị m bằng bao nhiêu để phương trình bậc 2 theo ẩn t có giá trị 2 chẵn Ax() như thế viêc tính theo sẽ được dễ dàng. + Thông thường khi gặp các phương trình dạng: ax22 bx c ( dx e ) px qx r 0 thì phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn tỏ ra rất hiệu quả: + Để giải các phương trình dạng này ta thường làm theo cách: - Đặt f()() x t t2 f x - Ta tạo ra phương trình: 2 2 2 Ta có gx() 4.() mhx fmx1 () gmxhm 1 () 1 () . Để có dạng Ax() thì điều kiện cần và đủ là 2 m g1( m ) 4 f 1 ( m ). g 1 ( m ) 0 m Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải các phương trình: 22 2 a) x 1 ( x 1) x 2 x 3 0 b) 2 2x 4 4 2 x 9 x 16 c) (2x 7) 2 x 7 x2 9 x 7 (Trích đề TS lớp 10 Chuyên Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội 2009). Ví dụ 3: Giải các phương trình: a)10x22 9 x 8 x 2 x 3 x 1 3 0 b) x3 6 x 2 2 x 3 (5 x 1) x 3 3 0 c) 4x 1 1 3 x 2 1 x 1 x2 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 26
27. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Ví dụ 4) Giải các phương trình: a) 55 xx 2 b) x42 2 3 x x 3 3 0 c)8x22 3 x 4 x x 2 x 4 4 Ví dụ 5: Giải các phương trình: a) 3( 2x22 1 1) x (1 3 x 8 2 x 1) b) x22 3 x 6 2 x 1 3 x 1 SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Dấu hiệu: Các bài toán giải được bằng hằng đẳng thức thường có dạng: ax32 bx cx d e fx h px q hoặc ax3 bx 2 cx d e3 px 3 qx 2 rx s Phương pháp chung để giải các bài toán này là: Đặt n f x y với n 2 hoặc n 3. Đưa phương trình ban đầu về dạng m Ax B 3 n Ax B my3 ny Giải: Những phương trình có dạng: ax32 bx cx d ex h px q (1) Hoặc: ax3 bx 2 cx d e3 px 3 qx 2 rx h (2) ta thường giải theo cách: yp2 Đối với (1): Đặt px q y khi đó x thay vào phương trình ta đưa về dạng: q ax3 bx 2 cx d Ay 3 By . Sau đó biến đổi phương trình thành: A.().() u x3 B u x Ay3 By Đối với (2): Đặt g3 px32 qx rx h y sau đó tạo ra hệ tạm: 32 ax bx cx d s. y 3 3 2 3 cộng hai phương trình ta thu được: g px qx rx h y 3 2 3 Ax Bx Cx D s. y y sau đó đưa phương trình về dạng: u().(). x3 s u x y3 s y Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: 32 3 3 23 2 a) 8x 36 x 53 x 25 3 x 5 b) 8x 13 x 7 x 2 x 3 x 3 c) 3 24x 11 16 x 2 x 1 1 0 . d) xx3 63 6 4 4 3 3 2 e) xx 1 2 2 1 f) 4x 1 x 3 x 5 2 x Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 3 x33 x x3 x 2 23 2 3x3 4 x 2 1 3 x 6 2 x 3 x 2 2x 3 a) 7x 13 x 8 2 x x (1 3 x 3 x ) b) c) 22 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Những kỹ thuật qua trọng để giải phương trình giải bằng phương pháp đánh giá ta thường sử dụng là: 2 2 2 + Dùng hằng đẳng thức: AAAAAA1 2 nn 0 1 2 0 + Dùng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, Bất đẳng thức hình học + Dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN : Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 4x2 3 x 3 4 x x 3 2 2 x 1 . b)13xx 1 9 1 0 . LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 27
28. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 1 x 5 x3 2 2 2 x 1 1 0 (chuyên Amsterdam 2014). b) x 1 2 y 4 3 z 9 x y z c) 2 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 433 4 23 3 2 a)16x 5 6 4 x x b) 4x x 3 x 4 3 16 x 12 x c)96x 20 x 2 x 8 x 1 3 4 x (8 x 1) 0 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 1 1 2 1 1 1 1 a) b) 3 2xx 14 4 3 x x2 x 1 4 x 1 5 x 2 4xx 1 5 2 44xx 21 44 d) x22 4 x 21 x 3 x 10 2 c) 33 Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: 1 a) 3x2 1 x 2 x x x 2 1 7 x 2 x 4 22 17 1 b) 13x2 6 x 10 5 x 2 13 x 17 x 2 48 x 36 36 x 8 x 2 21 22 c) x2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) 3 14 x32 x 2(1 x 2 x 1) b) x x x 12 12( 5 x 4 x ) MỘT SỐ CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ KHÁC 1) Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về phương trình một ẩn. + Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải chọn một biểu thức fx() để đặt f() x t sao cho phần còn lại phải biểu diễn được theo ẩn t . Những bài toán dạng này nói chung là dễ. + Trong nhiều trường hợp ta cần thực hiện phép chia cho một biểu thức có sẵn ở phương trình từ đó mới phát hiện ẩn phụ. Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình ta có thể chia cho gx() phù hợp (thông thường ta chia cho xk với k là số hữu tỷ) + Đối với những bài toán mà việc đưa về một ẩn dẫn đến phương trình mới phức tạp như: Số mũ cao, căn bậc cao thì ta có thể nghỉ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy về hệ phương trình hoặc dựa vào các hằng đẳng thức để giải toán. Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 2 23 4 2 a) x (1 x )(2 x 3 x 3) b) x x x 21 x 1 c) x 1 x2 4 x 1 3 x d) x2 2 x x 3 x 1. x Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) (134)2 x x 3(4 x 3)52 x 2816 x 4 x2 15 b) 7 3x 7 (4 x 7) 7 x 32. 2)Đặt ẩn phụ hoàn để quy về hệ đối xứng loại 2: Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với các phương trình dạng: ax2 bx c d ex h hoặc ax32 bx cx d e3 gx h Với mục đích tạo ra các hệ đối xứng hoặc gần đối xứng ta thường làm theo cách: Đối với những phương trình dạng: . Ta đặt my n ex h thì thu được quan hệ: LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 28
29. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM ax22 bx c d( my n ) ax bx dmy c dn 0 2 2 2 2 2 2 m y 2 mny n ex h m y 2 mny ex n h 0 a b dm c dn Ta mong muốn có quan hệ xy . Nếu điều này xảy ra thì từ hệ trên ta sẽ có: (*) . m222 mn n h Công việc còn lại là chọn mn, chẵn thỏa mãn (*) Đối với những phương trình dạng: ax32 bx cx d e3 gx h ax32 bx cx d e() my n 3 3 2 2 2 2 3 my 33 mny mny n gxh Ta đặt: my n 3 gx h thì thu được hệ: ax32 bx cx emy d en 0 3 3 2 2 2 2 3 my 3 mny 3 mny gxn h 0 a b c em d en Để thu được quan hệ ta cần: m333 m 2 n mn 2 g n 3 h Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 2 22 37 a) 2x 6 x 1 4 x 5 b) 4x 1 9 x 26 x 0 33 3 32 3 32 c) 3x 5 8 x 36 x 53 x 25 d) 27 81x 8 27 x 54 x 36 x 54 Chú ý: n + Với những phương trình dạng:  f()() x b an af x b (*) tn b ay Bằng phép đặt t f( x ); y n af ( x ) b ta có hệ đối xứng loại 2 là: n y b at + Trong phương trình (*) nếu ta thay a, b bởi các biểu thức chứa x thì cách giải phương trình vẫn như trên. Những phương trình dạng này thường có hình thức và lời giải khá đẹp. * Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) 4x22 11 x 6 ( x 1) 2 x 6 x 6 b)8x32 13 x 7 ( x 1)3 3 x 2 . 3) Một số cách đặt ẩn phụ khác: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 3 3 3 2 2 2 a) xx 6 6 6 b) 2(x x 1) 2 x 2 x 3 4 x 5 0 . Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 4 1 5 2x2 4 x 7 x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 7 b) x x 2 x a) x x x 6 2xx 6 2 8 d) 2(5x 3) x 1 5( x 1) 3 x 3(5 x 1) c) 55 xx3 Khi gặp các phương trình dạng: abcfxnm .().() dehfx g ta có thể đặt ẩn phụ theo cách: ubn vem Đặt n b c.()() f x u f x , m e h.()() f x v f x c h au dv g Từ đó ta có hệ phương trình: unm b v e 0 ch LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 29
30. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 3 24 xx 12 6 b) 1 x22 4 x x 1 6 1 x 1 2 c) 11 x x2 x x d) 3x 1 3 x 2 3 2 x 3 3 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 51 a) 7x 7 7 x 6 2 49 x2 7 x 42 181 14 x b)5xx 2 4 2 x 2x 3 x 3 x3 1 x 2 x 2 1 x 2 d) x 1 x 3 2 x 1 8 c) x 1 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Giải các phương trình sau: xx2 22 1) x2 x 6 2 x x 3 4 x x 3 (1). 2) x 2 . 21x 2) x 1 2 x 1 x 1 1 x 3 1 x2 . 3) x x 1 x x 2 x x 3 . 4)Tìm tất cả các số nguyên dương p 1 sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất 32 1 x px p 1 x 1 0 p 1 5) 3 x22 4 x 31 x 4 x 1. 6) xx42 2016 2016 . 2 2 2 7)Tìm k để phương trình sau có nghiệm: x 2 x 2 x 2 k 1 5 k 6 k 3 2 x 1. Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Amsterdam 2002). 8)Cho phương trình m x64 1 3 x 2 a)Giải phương trình với m 10 . b)Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm. 9) x2 2 x 1 x 2 1 3 x 2 6 x 1 0 . 10) x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 4 x 1 . 4 1 5 22 11) x x 2 x (*). 12) xx 9 . x x x x 1 13) x 3 x 1 x x 1 2 x2 (1). 14) 4x 1 x2 5 x 14 . 33 15) x 2 x 2 1 x2 7 x 10 3 16) 12 4xx22 4 (*). xx22 17) x 3 x 1 x 1 1(THPT chuyên KHTN-ĐHQG Hà Nội 2011-2012). 3 18)Giải bất phương trình: 3 25x 2 x2 9 4 x . vòng 2, THPT chuyên Hà Nội Amsterdam 2004-2005 x 3 x2 1 19) x4 x 2 11 x x 2 x 20) 4 x 2 4 x 44 x 2 4 x 6 x 3 x x3 30 x 21) x 1 2 x22 2 x 2 x 3 x 2 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014) 22) 2x 1 1 2 x22 2 x x . (Trích đề tuyển sinh lớp 10 PTNK- ĐHQG Tp Hồ Chí Minh 2015). 2 22 23) 8x 16x 20 x 15 0 24) 4x 11x 10 (x 1)2x 6x 2 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 30
31. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 23 4 2 x 3x 1 x x 1 2 25) 3 26) 2x 1 35 x 3x 30x 71 0 22 2x 4x 1 2x1 4x 7x 3 33 3 27) 28) x 1 x 2 2x 3 22 1 x 5 1 x x 20 32 x22 1 x 2x 2 5 x 1 2 x 2 29) 1x 30) 333322 3 2 3 2x2 2x1 2x 2x 1 32) x 6x 2x3 5x1x 3 31) x2 x 1 2 x42 x4 2 2 18x x1 34) 25x 9 9x2 4 x 2 33) x1 20x2 80x 125 2x 1 4 3x 6 13 x2 x 4 9 x 2 x 4 16 35) 36) CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi b) Tính chất Nếu xy00, là một nghiệm thì hệ yx00, cũng là nghiệm S x y c) Cách giải: Đặt điều kiện SP2 4 quy hệ phương trình về 2 ẩn SP, P x. y Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ từ đó suy ra qua hệ xy, . Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 33 x y 22 xy xy 19 a) 33 b) xy 8 x y 82 xy 3322 23 x y x y xy x y xy 3 c) d) 3 3 xy 1 1 4 xy 6 Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau: 222xy x22 y 2 xy 8 2 xy 1 a) c) xy xy 4 2 x y x y 1 xy 15 3 2 2 3 xy x y 1 y x y 2 y xy 30 0 b) d) 1 x22 y x1 y y y 11 0 xy22 19 22 xy II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 Một hệ phương trình 2 ẩn được gọi là đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình ta đổi vai trò cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia. + Tính chất.: Nếu xy00; là 1 nghiệm của hệ thì yx00; cũng là nghiệm LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 31
32. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM + Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng xy 0 x y f x;0 y . f x;0 y Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 2 22 3 x x2 y x 1 y 6 y x 1 x 3 x 1 2 x 1 y a) b) c) 2 22 3 y y2 x y 1 x 6 x y 1 y 3 y 1 2 y 1 x HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp + Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp. Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như: ax 22 bxy cy d ax22 bxy cy dx ey ax22 bxy cy d + , + , + 22 22 3 2 2 3 ex gxy hy k gx hxy ky lx my gx hx y kxy ly mx ny Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng này là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo n n k k n ra phương trình đẳng cấp bậc n : a1 x akn x. y a y 0 Từ đó ta xét hai trường hợp: y 0 thay vào để tìm x n n k + y 0 ta đặt x ty thì thu được phương trình: a1 t akn t a 0 + Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm xy, Chú ý: ( Ta cũng có thể đặt y tx ) Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 33 2 2 3 x 82 x y y 5x y 4 xy 3 y 2 x y 0 a) b) xy, xy22 3 3 1 22 2 xy x y 2 x y Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau: 12x xy 2 x 2 y 3 2 y 3 0 2 a) b) 3x 3 y 2 x y 2 2y33 x 3 y x 12 6 x x 1 2 0 2 2x y 2 x 6 y Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau: 33 1 3xy x2 y 1 2 xy 2 x 1 a) xy b) 3 22 x 3 x 3 xy 6 xy 1 Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau 2 2 x xy x 30 xy x y 2 a) b) 2xy2 ( x 3 2 x 3) y x 3 3 (x 1)22 3( y 1) 2 xy x y 2 y 0 Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình sau LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 32
33. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 8xy xy22 16 23 xy x y 3 x 1 3 x y ( 1 x 1) a) b) x22 x x 3 x 2 y 8x22 3 xy 4 y xy 4 y 8yy 3 3 4 2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: Thế, biến đổi các phương trình về dạng tích,cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả có dạng đặc biệt * Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau x 1 4 2 y 5 2 y ( x 1)2 5 (1) x3 12 x y 3 6 y 2 16 a) b) 4 2 3 2 22 3x ( x y ) 6 x y y (2) x y xy 4 x 6 y 9 0 2 2xy x 2 y 3 y 7 x 6 3 y ( x 6) 1 c) 3 3 2 d) x 4 y 3 x 6 y 4 2 2(x y ) 6 x 2 y 4 y x 1 Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau x22 (2 y 2) x 3 y 0 x22 2 xy 2 y 2 y 0 a) 2 2 3 2 b) 3 2 2 x 2 xy ( y 3) x 2 y 6 y 1 0 x x y 2 y 2 y 2 x 0 xy2 3 x 3 y 4 yx 2 y 3 x 2 0 c) 22 3x y y 3 xy 1 0 Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau 32 3 x 2 x y 15 x 6 y (2 x 5 4 y ) 1 xy 1 2 a) b) 2 3 2 2 4 3 x2 x x x y x y 99 y x y y 8yy 3 3 4 2 3x 6 2 x 4 4 3 y 9 2 y x3 y 8 y 4 3 x 2 y 4 c) d) 3 2 2 2 2 6x 3 x y 2 xy 4 y 4 x 6 x 22xy y y Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau 2 3y22 1 2 y x 1 4 y x 2 y 1 2x 3 2 xy y 3 a) b) 2 3 2 2 y y x 33 y 2x x y 2 x y 7 xy 6 42 x 2 xy 6 y 7 2 y x 9 c) 23 2yx x 10 Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình sau xy x y 1 xy x 24 y a) 3 2 3 b) 3 2 3 4x 12 x 9 x y 6 y 7 4x 24 x 45 x y 6 y 20 2 3 13 x 3 22 xy y x y x 3 x2 2 c) d) 2xy xy22 41 2 14 xy 22 y xy 1 xx2 Ví dụ 7) Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực: LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 33
34. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM x22 2 y 2 x 8 y 6 0 2x2 2 xy y 5 0 b) 2 2 x xy y 4 x 1 0 y xy 5 x 7 0 Nhận xét: Khi gặp các hệ phương trình dạng: 22 ax1 axy 2 ay 3 ax 4 ay 5 a 6 0 22 bx1 bxy 2 by 3 bx 4 by 5 b 6 0 + Ta đặt x u a, y v b sau đó tìm điều kiện để phương trình không có số hạng bậc 1 hoặc không có số hạng tự do . + Hoặc ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2) sau đó chọn k sao cho có thể biễu diễn được x theo y . Để có được quan hệ này ta cần dựa vào tính chất. Phương trình ax2 bx c biểu diễn được thành dạng: (Ax B )2 0 Đối với các hệ đại số bậc 3: Ta có thể vận dụng các hướng giải + Biến đổi hệ để tạo thành các hằng đẳng thức + Nhân các phương trình với một biểu thức đại số sau đó cộng các phương trình để tạo ra quan hệ tuyến tính. Ví dụ 8) Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực: x32 3 xy 49 x32 3 x y 6 xy 3 x 49 a) c) 22 22 x 8 xy y 8 y 17 x x 6 xy y 10 y 25 x 9 33 xy 35 xy 34 x y b) d) 2x22 3 y 4 x 9 y 7x3 11 3 x y x y 1 (1) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đặt ẩn phụ là việc chọn các biểu thức f( x , y ); g ( x , y ) trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm đơn giản cấu trúc của phương trình, hệ phương trình. Qua đó tạo thành các hệ phương trình mới đơn giản hơn, hay quy về các dạng hệ quen thuộc như đối xứng, đẳng cấp Đễ tạo ra ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt các phương trình trong hệ thông qua các kỹ thuật: Nhóm nhân tử chung, chia các phương trình theo những số hạng có sẵn, nhóm dựa vào các hằng đẳng thức, đối biến theo đặc thù phương trình Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 2x22 2 xy y 2 x4 4 x 2 y 2 6 y 9 0 b) 3 2 2 3 22 2x 3 x 3 xy y 1 0 x y x 2 y 22 0 Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau 19 x22 y 60 xy 22 2 x y x y 1 25 y 1 xy 8 a) b) 22 15 x xy 2 y x 8 y 9 20y xy 4 Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau 22 2 2 2 x17 4 x y 19 9 y 3 x x y 4 y y 1 0 a) b) 22 xy x2 y 2 1 4 x 3 y 3 0 17 4x 19 9 y 10 2 x 3 y Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 34
35. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM xy5 4 3 2 2 4 6x x x y y 12 x 6 22 x y x y a) b) 4 22 2 2 xy22 5 5x x 1 . y 11 x 5 55xy xy Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình sau yx2 xy 38 22 x y 9xy 2 4 xy xy1 b) 22 2xy xy 1 1 4 1 9 18 a) 22 yx Ví dụ 6: Giải các hệ phương trình sau 22 2 3 4 6 x x 6 y x 3 7 xy 22x y y x x a) b) 2 2 2 2 2 x x 3 y y 6 x y 2 x 2 y 1 x 1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến đổi theo các hằng đẳng thức: Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 3 x 2 x 2 y 2 y 1 0 a) b) 3 xy 2 2 2 5 Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau 5 4 10 6 3 2 3 x xy y y 2x 4 x 3 x 1 2 x 2 y 3 2 y a) b) 2 3 4xy 5 8 6 x 2 14 x 3 2 y 1 Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau 3 (17 3x ) 5 x (3 y 14) 4 y 0 (1) x x y x y 2 y 2 y 1 a) b) 2 22x y 533211 x y x 613 x (2) 22 3 x y 5 x 7 x y 4 6 xy x 1 KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x hoặc y ta có thể nghỉ đến các hướng xử lý như sau: * Nếu chẵn, ta giải theo rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp * Nếu không chẵn ta thường xử lý theo cách: + Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức + Dùng điều kiện 0 để tìm miền giá trị của biến xy, . Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị vừa tìm được: Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau x 3 2 3 y x y 1 a) x 5 3y 2 xy 2 y 2 2 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 35
36. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 2y2 7 y 10 x y 3 y 1 x 1 4x y 3 y 4 x 1 b) 3 c) y 12 x y 2 3y 4 x y (5 x y ) x (4 x y ) 1 x 1 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ xy, Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp. Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 1 1 2 3 2 2 2 2 1 2xy22 1 2 12 xy x x y x 2 x y b) . 2 223 x 1 2 x y 1 2 y 76x 20 y 2 4 x 8 x 1 9 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1.Một số hệ thi vào 10 Chuyên ĐHQG Hà Nội 22 22 22 22 x y2 x 21x y y x x y xy 1 3x 8 y 12 xy 23 3 (2008) .b) c) (2009) .d) (2010) xy 11 3 87xy33 33x y y2 xy22 2 a) 22 2 2 2 2 5x 2 y 2 xy 26 x y2 x y x22 y 24 y (2010) . f) (2011) . g) ( 2012) 3x 2 x y x y 11 x y14 xy x22 y 24x y xy e) x22 y xy 1 2x22 3 y xy 12 2x 3 y 5 xy h) (2014) . i) (2014) k) (2015) . 22 22 2 2 2 x xy 24 y 6x x y 12 6 y y x 45x y xy 2x 2 y xy 5 ( 2015) . 27 x y y3 7 26 x 3 27 x 2 9 x l) Bài 2.Một số hệ thi vào 10 Chuyên một số tỉnh x 4 y 1 2 y 3 . (Amsterdam và Chu Văn An năm 2014) x2 x 2 12 y 4 y 2 9 a) xy221 22 b) yx 11 2 (Phan Bội Châu – Nghệ An 2014) 31xy x y 3 x 24 y x y (chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014) 3 xy 6 2 2 c) 22 2x 3 xy 2 y 5 2 x y 0 ( chuyên Thái Bình 2014) . x22 2 xy 3 y 15 0 d) xy 34 x y x2 y 22 x 2 y 2 x22 xy y 1 7x3 11 3 x y x y 1 y 8 x22 y 3 x 5 x 7 xy 2y3 x y e) f) g) LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 36
37. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 22 22 x y x y 2 2 2 3 x y x y 15 xy 1 x y 1 15 y 4 4 2 2 5 y y4 x x y x y x y 22 x y34 1 xy h) i) k) 45xy22 22 22 xy 2 x y xy 3 15xy33 12xy 40 x4 y 4 6 x 2 y 2 8 xy 16 27x3 6 y 2 x 2 y 3 30 x 2 y l) m) n) yx x x 28 y xy22 9 2 1 1 1 2 1 1 1 1 x 2 y 1 23 22 22 x y x y x y x y 16 1 xy x y o) p) 8xy 17 x y 21 22 x 4 y 3 y 1 x 2 7 6 x y6 xy 8 y x 4 12x y 4 4 2 y x 2 5 xy xy 16 9 7 q) s) xy 3 13 2 5 2 yz 3 13 2 5 x32 7 y x y x y 7 x 4 zx 3 13 2 5 22 t) u) 3x y 8 y 4 8 x 3 3x 2 y 3 x y 5 x 2 2 y 1 x 20 y 28 v) xy, x) 22x y y x2 x 2 3 x y 2 x 3 y 4 2 2 x y x y 4 x y 3y 9 y 1 x 2 y 1 x 2 y y) xy, z) 2 x 16 2 y 3 x x x 2 y x 3 y 2 Bài 3.Một số hệ thi vào 10 Chuyên một số tỉnh x x22 y 9x 22 x x22 y 5 (x 3) y 8 y 20 ( y 4) x 6 x 10 0 2 xx35 4(x 5) 6 y 11 33 2 y 5 a) yy30 6 b) 2 2 2 2x3 xy 2 x 2 2 y 4 2y ( x 3)(2 y 3) x y 12 xy 11 y 8 (,)xy d) 2x22 xy 2 y 2 y 4 2 c) y6 x 13 y y 1 3 2 2 24x x y 3 3 2 x y 3 y 3 x 2 2 f) 3 2x 2 2 2 y 22 xy x 1 x 3 2 y y 2 e) y 3 2 3 227 2x 4 x 3 x 1 2 x 2 y 3 2 y 2x 1 2 y 1 xy g) h) 2 x 2 3 14 x 3 2 y 1 22 x y xy 7 x 6 y 14 0 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 37
38. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 32 16x 24 x 14 x 3 2 y 3 y 2 13x 4 y 2 2 x y 5 i) 4 4xy 2 2 4 6 2x y x 2 y 2 k) 22 3 3 3 x x 1 y y 1 1 8x y 27 18 y 3 x 2 x 2 y 2 y 1 0 m) 22 y 35 46x y x y 3 xy 2 2 2 5 y l) n) 2 x 1 12 32 xy 38 22 x y x4 x 3 3 x 2 4 y 1 0 x 12 z 48 z 64 0 32 xy1 p) x2 4 y 2 x 2 2 xy 4 y 2 y 12 x 48 x 64 0 xy 2 22 x32 12 y 48 y 64 0 0) xy 1 1 4 23 q) 3x y 2 x 7 10 2 2 2 3 x 2 y y 1 x 2 y y 0 11 2 xy 2 2x xy 2 ( x 2) y 4 x 4 0 s) t) x 33 y x y 3 2 2 2y ( x 4) y 8 y x 4 x 0 2 (x y ) x y y x ( y 1) 11 x v) 2 32 x 2 y 3 4( x 1) 8 y 3x 4 x y 4 y 7 u) 22 5 8(x22 y ) 4 xy 13 3 2 2 2 2y ( x 4) y 4 y x 2 x 0 ()xy y) 2 3x 14( 3 x y 1)(1)8 x y 1 1 x) 21x xy 22 3 3 2 2 x2 y y 2 x 2 x y 7 x y xy 8 xy 2 x y z) (x y )3 12( x 1)( y 1) xy 9 w) y 2 x 3 6 2 x CHỦ ĐÊ 8 - BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI) Cho các số thực không âm abc,, khi đó ta có: 1. a b2 ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . 2. a b c 33 abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực không âm. (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy . Ta cần nắm chắc những kết quả sau: 2 1 1 4 2 2 xy22 xy 1 1 1 9 3 3 1) ; 2) a b a b ab22 a b a b a b c a b c abc2 2 2 3 1 3 1 3 1 3) a2 ab b 2 ()()() a b 2 a b 2 a b 2 4) a2 ab b 2 ()()() a b 2 a b 2 a b 2 4 4 4 4 4 4 2 2 abc x2 y 2 z 2 x y z 5) ab bc ca a2 b 2 c 2 6) 3 a b c a b c 2 3 2 44 ab 2 ab ()()a b a b 7) ab33 8) 2(a4 b 4 ) a 2 b 2 a 4 b 4 4 2 4 8 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 38
39. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 1 9) Với ab,0 thì am n b m n () a m b m (*) Thật vậy BĐT cần chứng minh tương đương với 2 (an b n )( a m b m )( a n b n ) 0 điều này là hiển nhiên đúng. n ann b a b ( ) Tổng quát ta có 22 n an b n a b a n 11 b n a b Thật vậy áp dụng (*) ta có 2 2 2 2 1 10) Với abc, , 0 thì amnmnmn b c ( a mmmnnn b c )( a b c ) (*) 3 Thật vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (ababmmnn )( )( bcbc mmnn )( )( caca mmnn )( )0 mà điều này là hiển nhiên đúng. n an b n c n a b c Tổng quát ta có: . Thật vậy áp dụng (*) ta có: 33 2 abcn n n abcabc n 1 n 1 n 1 abca n 2 b n 2 c n 2 .Áp dụng bất đẳng thức 3 3 3 3 3 này ta có: n nabbnnn n n n abc n n n abcabc n n n 3 3 3 3 n 1 1 1 1 1 1 an b n c n a b c Tương tự ta có: 33 n 1 1 1 9 1 1 1 3 Do suy ra n n n 3 . a b c a b c a b c a b c 1 1 2 1 1 2 11) với mọi ab,1 Tổng quát: với ta có nn n ab 111 ab (1 ab ) (1 ) 1 ab 1 1 2 12) Với 0 ab , 1 thì ab 111 ab 1 1 2 Tổng quát: Với ab,  0;1 ta có: nn11 abn 1 ab 13) Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức Cô si. + a3 b 3 x 3 y 3 m 3 n 3 axm byn 3 (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a3 x 3 m 3 3 axm 3 3 3 3 3 3 a b x y m n 3 a3 b 3 x 3 y 3 m 3 n 3 b3 y 3 n 3 3 byn 3 3 3 3 3 3 a b x y m n 3 a3 b 3 x 3 y 3 m 3 n 3 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 39
40. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 33axm byn Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra: 3 3 a3 b 3 x 3 y 3 m 3 n 3 a3 b 3 x 3 y 3 m 3 n 3 axm byn 3 . + Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: a3 b 3 c 3 x 3 y 3 z 3 m 3 n 3 p 3 axm byn czp 3 . BÀI TẬP Ví dụ 1: Cho các số thực không âm abc,, . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a33 b ab a b . b) . Với (abc , , 0) a) a3 b 3 abc b 3 c 3 abc c 3 a 3 abc abc 8 a b b c c a 8 abc . d) abbcca abcabbcca . c) 9 3 e)Cho a b b c c a 1. Chứng minh: ab bc ca ( chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015) 4 Ví dụ 2: a) Cho các số thực dương sao cho a b c ab bc ca 6. Chứng minh rằng: abc2 2 2 6 . Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013. 11 b) Cho các số thực dương ab, sao cho : 2. Chứng minh: ab 1 1 1 Q Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi- Hải a4 b 2 2 ab 2 b 4 a 2 2 a 2 b 2 Dương 2013). c) Cho các số thực dương sao cho ab 2 . Chứng minh: 22 ab 11 2 ab 6 9 22 10 . b a a b d) Cho các số thực dương thỏa mãn abc 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2 a bc 2 b ac 2 c ab . Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014. ab e) Cho các số thực không âm sao cho ab22 4 . Tìm GTLN của P . Trích đề tuyển ab 2 sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015. MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI. 1.Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất đẳng thức Cô si. Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để ta phân tích các số hạng sao cho khi áp dụng bất đẳng thức Cô si thì dấu bằng phải đảm bảo. Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho xy, là các số dương thỏa mãn xy 2 . Chứng minh x2 y 2 x 2 y 2 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Ví dụ 2: a) Cho là các số không âm thỏa mãn ab22 2 . Chứng minh rằng: a3 a a 2 b b 3 b b 2 a 6. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008- 2009). LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 40
41. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM b) Với ba số dương x,, y z thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q . (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014) x xyz y yzxz zxy Ví dụ 3: Cho c 0 và a, b c. Chứng minh rằng c a c c b c ab . x2 y 2 z 2 Ví dụ 4: Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1. x2 2 yz y 2 2 zx z 2 2 xy 1 Ví dụ 5: Cho xy,0 và xy 1. Chứng minh rằng 85 xy44 . xy Ví dụ 6) Cho abc,, là các số dương thỏa mãn abc 3. Chứng minh rằng: 9abc2 2 2 a2 b b 2 c c 2 a . 12 abc2 2 2 x3 y 3 x 2 y 2 Ví dụ 7) Cho xy,1 . Chứng minh rằng: 8 . xy 11 Ví dụ 8: Cho x, y , z 0 thỏa mãn: xy yz zx 1. Tìm GTNN của P x2 y 2 2 z 2 Ví dụ 9) Cho thỏa mãn: x y z 3. Tìm GTNN của P x2 y 2 z 3 Ví dụ 10) Cho các số thực dương thỏa mãn: a2 2 b 2 3 c 2 1. Tìm GTNN của P 2 a3 3 b 3 4 c 3 Ví dụ 11) Cho các số thực dương a,,, b c d thỏa mãn: abc bcd cda dab 1. Tìm GTNN của P 49 a3 b 3 c 3 d 3 .(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2012) 2.Kỹ thuật ghép đối xứng Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để bài toán trở nên đơn giản hơn. ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp hai dạng sau: Dạng 1: Chứng minh XYZABC ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XYA 2 . Sau đó, tương tự hóa đẻ chỉ ra YZB 2 và ZXC 2 (nhờ tính đối xứng của bài toán). Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh. Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với XYZ, , 0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A2 . Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra YZ B2 và ZX C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có: XYZ A2 B 2 C 2 ABC ABC . Ví dụ 1. Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 2xxyy2 2 2 2 yyzz 2 2 2 2 zzxx 2 2 2 5 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Bình năm 2005-2006) Ví dụ 2. Cho các số thực dương sao cho ab bc ca 1. Chứng minh rằng: 5 2abcabc ab4 2 bc 4 2 ca 4 2 . (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG 9 Hà Nội 2014). 1 1 1 1 Ví dụ 3) Cho ba số dương thỏa 2 . Chứng minh rằng xyz . 1 x 1 y 1 z 8 LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 41
42. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 1 1 1 Ví dụ 4. Cho x, y , z 2 và 1. Chứng minh rằng x 2 y 2 z 2 1 x y z (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006). Ví dụ 5) Cho x,, y z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz1 1 1 P . y z2 z x 2 x y 2 3.Kỹ thuật cô si ngược dấu: a b c 3 Ví dụ 1. Cho abc, , 0 và abc 3. Chứng minh rằng: . b333 ab c bc a ca 2 a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 Ví dụ 2) Cho a, b , c 0, a b c 9 . Chứng minh: 9. ab 9 bc 9 ac 9 x y z Ví dụ 3) Cho x, y , z 0 và x y z 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 1 y2 1 z 2 1 x 2 4.Phương pháp đặt ẩn phụ: Kỹ thuật đặt ẩn phụ là một kỹ thuật rất đặc biệt trong chứng minh bất đẳng thức: Việc chọn ẩn phụ thích hợp sẽ giúp bài toán trở nên đơn giản hơn: Một số kỹ thuật hay gặp như sau: 1 1 1 1. Khi có giả thiết : a b c abc ta có thể biến đổi thành: 1 đặt ab bc ca 1 1 1 x; y ; z xy yz zx 1. a b c ab ac bc ba ac cb 2. Khi gặp giả thiết abc 1 ta có thể viết thành: . . . 1. Đặt c b a c b a ab bc ca x, y , z xy yz zx 1. c a b 1 1 1 3. Khi gặp giả thiết: ab bc ca abc 4. Ta có thể viết thành: 1. Đặt abc 2 2 2 1 1 1 x ; y ; z x y z 1. a 2 b 2 c 2 4. Từ điều hiển nhiên: x y z 1 1 1 + 11 . Đặt y z z x x y x y z x y z x y z 1 1 1 xyz y z z x x y 1 1 1 a ;; b c ta suy ra 12 abc a b c . Từ đó suy ra x y z abc 1 1 1 khi gặp giả thiết: abc a b c 2 ta có thể đặt: 1 1 1 + Nếu đổi abc,,;; ta có: tương đương với ab bc ca 21 abc . abc x y z Vì vậy khi gặp giả thiết ta có thể đặt a ;; b c . y z z x x y 1 1 1 Một cách tổng quát: Khi gặp giả thiết: 1 khi khai triển thu gọn ta có: k a k b k c LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 42
43. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM k3 3 k 2 k 2 2 kabc k 1 abbcca abc 0 . Suy ra tồn tại các số x,, y z sao cho 1x 1 y 1 z ;; . Như vậy: Với các số thực dương abc,, thỏa kaxyzkbxyzkcxyz 1 1 1 mãn: 1. Thì tồn tại các số m, n , p 0 sao cho: k a k b k c m n p m n p m n p a k;; b k c k . m n p 2m 2 n 2 p + Nếu abc, , 0 và ab bc ca abc 4 thì ta có thể đặt a ;; b c . n p p m m n n p p m m n + Nếu và a b c 14 abc thì ta có thể đặt a ;; b c 2m 2 n 2 p a2 b 2 c 2 5. Khi gặp giả thiết: xyz 1. Ta có thể chọn các phép đặt: x; y ; z abc 1; b c a a2 b 2 c 2 x y z x;; y z hoặc abc ;; bc ac ab y z x 6. Đặt: xabcybcazcab ;; hoặc đặt x a b;; y b c z c a Ví dụ 1: Cho là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x y z xyz . Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1 biểu thức P . 1 x2 1 y 2 1 z 2 yz zx xy Ví dụ 2) Cho x, y , z 0 và x y z 3 xyz .Chứng minh: 1. x3 z 2 y y 3 x 2 z z 3 y 2 x Ví dụ 3: Cho là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: abcbcacab abc . 1 1 1 Ví dụ 4. Cho x, y , z 2 và 1. Chứng minh rằng x 2 y 2 z 2 1 x y z Ví dụ 5. Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: ab bc ca 3. Phần 2: BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR Cho là các số thực không âm và số thực dương t . Khi đó ta có: xxyxzt( )( ) yyzyx t ( )( ) zzyzx t ( )( )0 (*) Đây là bất đẳng thức có khá nhiều ứng dụng và tương đối chặt nhiều bài toán Bđt chỉ là hệ quả của BĐT này. Việc chứng minh (*) khá đơn giản: t t t Giả sử: xyz (*) xyxxzyyx ()() zzyzx ()()0 . Điều này là hiển nhiên. Dấu bằng xảy ra khi cả 3 số bằng nhau hoặc hai số bằng nhau, một số bằng 0. Các bất đẳng thức suy ra từ BĐT SCHUR khi t 1 là: 3 3 3 3 1) a b c 3 abc abab ( ) bcbc ( ) cac ( a ) . 2) a b c 9 abc 4( a b c )( ab bc ca ). 9abc abc ( abcbcacab )( )( ). 4) a2 b 2 c 2 2( ab bc ca ) .5) 3) abc a b c4 abc 2. bccaab ( abbcca )( )( ) Các BĐT (4) (5) còn gọi là BĐT SCHUR dạng phân thức khi . LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 43
44. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM 2 Ngoài ra cần chú ý biến đổi: a3 b 3 c 3 33 abc abc abc abbcca .Hoặc: 3 3 3 2 2 2 a b c3 abc abca b c abbcca Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1) Cho abc,, là ba số thực không âm và abc 1 . Chứng minh rằng: 9abc 4 ab bc ca 1 Ví dụ 2) Cho các số thực dương sao cho ab bc ca abc 4. Chứng minh: a2 b 2 c 2 abc 2 abbcca .(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015). Ví dụ 3) Cho là các số thực không âm sao cho . Chứng minh rằng 4 a3 b 3 c 3 15 abc 1. 2 Ví dụ 4) Cho các số thực không âm . Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 33 abc ab bc ca (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014) Ví dụ 5) Cho là các số thực dương có tổng bằng 1.Chứng minh rằng 6 a3 b 3 c 3 1 5 a 2 b 2 c 2 . Ví dụ 7) Cho là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1. Chứng minh rằng a3 b 3 c 3 6 abc a b c . BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN 13 Câu 1) Cho x . Chứng minh rằng: 3 4xx 1 4 2. 44 x22 y x y Câu 2) Chứng minh rằng với mọi số thực khác không xy, , ta có: . y22 x y x x22 y x y Câu 3). Chứng minh rằng với mọi số thực khác không ta có: 22 43 . y x y x Câu 4) Cho xy 1, 1. Chứng minh rằng x y 11 y x xy . 4x2 y 2 x 2 y 2 Câu 5) Cho hai số thực khác 0 . Chứng minh rằng: 2 22 3. xy22 yx a22 b22 a ab Câu 6. Cho các số thực dương ab, . Chứng minh bất đẳng thức sau: 2a3 b 3 3 2 a 2 b 2 2ab a22 b a b Câu 7) Cho các số thực dương . Chứng minh bất đẳng thức ab . ab 22 Câu 8) Cho abc, ,  1;2 và abc 0 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2abc a b c 2 abc 2; 2 2 2 a) abc 6 ; b) c) a b c 8 abc . Câu 9) Cho các số thực không âm . Chứng minh rằng a b c 3 a3 b 3 c 3 24 abc . a bc b ca c ab 3 Câu 10) Cho abc,, thỏa mãn . Chứng minh rằng a bc b ca c ab 2 2 abc3 3 3 9 abc 2 Câu 11) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng 33. abc a2 b 2 c 2 2 Câu 12) Cho các số thực . Chứng minh rằng a2 b 2 c 2 3 a 3 b b 3 c c 3 a . LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 44
45. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM Câu 13) Cho các số x, y , z 0 và x y z 1.Chứng minh rằng x 2 y z 4 1 x 1 y 1 z . 23ab b2 Câu 14) Cho các số thực dương a,b . Chứng minh: a2 4 b 2 3 a 2 2 b 2 5 ab 16 1 1 Câu 15) Cho các số thực dương ab, . Chứng minh bất đẳng thức 22 5 . b a a b a b 3a22 2 ab 3 b Câu 16) Cho các số thực dương . Chứng minh bất đẳng thức sau: 22 ab22 . ab Câu 17) Giả sử xy, là những số thực không âm thỏa mãn: x3 y 3 xy x 2 y 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 12 xx biểu thức: P . 21 yy Câu 18) Cho abc,, dương thỏa mãn: 6a 3 b 2 c abc .Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 3 B . a2 1 b 2 4 c 2 9 2 Câu 19) Cho các số không âm. Chứng minh rằng a2 b 2 c 2 33 abc ab bc ca .Đẳng thức xảy ra khi nào? 11 Câu 20) Cho các số thực dương sao cho ab 1 b . Tìm GTNN của P a b2 . ab2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO Câu 1) Cho x,, y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x yz y zx z xy . Câu 2) Cho là ba số thực dương và xyz 1. 11 x2 y 2 y 2 z 2 1 zx22 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . xy yz zx Câu 3) Cho x 2, y 3, z 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: xy z 4 yz x 2 zx y 3 P xyz Câu 4) Cho là các số dương sao cho . Tìm GTLN của biểu thức P x xy 3 xyz . x y xy Câu 5) Cho xy,0 và thỏa mãn điều kiện 3 . Tìm GTNN của biểu thức P 27 x33 8 y . 2 3 6 Câu 6) Cho là các số thực dương và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x3 y 3 z 3 P . 1 x 1 y 1 z 1 x 1 x 1 y Câu 7) Cho là 3 số dương và thỏa mãn điều kiện x y z 3. x3 y 3 z 3 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy yz zx . y3 8 z 3 8 x 3 8 27 x 1 y 1 z 1 Câu 8) Cho là ba số dương và .Tìm GTNN của biểu thức P y2 1 z 2 1 x 2 1 Câu 9) Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 45
46. Địa chỉ :118/14 Ni Sư Huỳnh Liên ,P.10,Q.Tân Bình,Tp.HCM x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 1 y2 1 z 2 1 x 2 Câu 10) Cho x,, y z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z 3. x2 y 2 z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . x 2 y3 y 2 z 3 z 2 x 3 x2 y 2 z 2 Câu 11) Cho x, y , z 0 thỏa mãn điều kiện .Tìm GTNN P . x 2 y y 2 z22 z 2 x 1 1 1 Câu 12) Cho là ba số thực dương và .Tìm GTNN P . x2 1 y 2 1 z 2 1 Câu 13) Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 8. x 2 y 2 z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 1 y 1 z 1 Câu 14) Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1. 111 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3 y z y 3 z 1 z 3 x y Câu 15) Cho x, y , z 0 và thỏa mãn điều kiện x y z 1. 1 x 1 y 1 z y z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 . 1 x 1 y 1 z x y z Câu 16) Cho là các số thực dương. x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P . x xyxz y yzyxz zxzy Câu 17) Cho là ba số dương và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P (1) xx5 2 3 xy 6 yy 5 2 3 yz 6 zz 5 2 3 xy 6 Câu 18) Cho và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z xy yz zx . Câu 19) Cho là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 y 2 z 2 3 . x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . x2 2 y 3 y 2 2 z 3 z 2 2 x 3 Câu 20) Cho là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x2 y 2 z 3 thức P 1 x3 1 y 3 1 y 3 1 z 3 1 z 3 1 x 3 Câu 21) Cho là các số thực dương x3 y 3 z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . x3 y z 333 y 3 z x z 3 x y Câu 22) Cho và thỏa mãn điều kiện x Y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz P . 1 y2 z 2 1 z 2 x 2 1 x 2 y 2 Câu 23) Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . LUYỆN THI PTQG - VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN –LÝ – HÓA 46