Đề cương môn Hình học Lớp 9 - Chương trình cả năm - Thầy Thiên

Nội dung text: Đề cương môn Hình học Lớp 9 - Chương trình cả năm - Thầy Thiên

1. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM MỤC LỤC CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Trang 2 CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN Trang 14 CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Trang 27 Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 1
2. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG LÝ THUYẾT Cho ∆ABC vuông ở A có đường cao AH A B H C a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng trên hình. Chứng minh b) Chứng minh các hệ thức sau: • AB2 BH.BC và AC2 CH.BC • AB2 AC2 BC2 • AH2 HB.HC • AH.BC AB.AC 1 1 1 • AB2 AC2 AH2 Ví dụ. Cho ∆ABC vuông ở A có đường cao AH. Biết BH = 12,5cm và CH = 72cm. Tính AH, AB, AC Giải Ta có BC = BH + CH = 12,5 + 72 = 84,5cm (H nằm giữa B và C) Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông ở A có đường cao AH, ta có: AH2 = HB.HC = 12,5.72 = 900 AH = 30cm (do AH > 0) AB2 = BH.BC = 12,5.84,5 = 1056,25 AB = 32,5cm (do AB> 0) AC2 = CH.BC = 72.84,5 = 6084 AC = 78cm (do AC > 0) Vậy AH = 30cm, AB = 32,5cm, AC = 78cm BÀI TẬP Bài 1. Cho ∆ABC vuông ở A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, HB, HC hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết: a) AB = 6cm và AC = 8cm b) AB = 15cm và HB = 9cm c) AC = 44cm và BC = 55cm d) AC = 40cm và AH = 24cm e) AH = 9,6cm và HC = 12,8cm f) AB =15cm và HC = 16cm g) BC = 25cm và AH = 12cm (AB < AC) Bài 2. Cho ∆ABC có đường cao AH, trung tuyến AM và AB =5cm; AC = 12cm; BC = 13cm. Tính AM; AH Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ Dˆ 900 ) có AC vuông góc với BD tại H. Biết HB = 8cm, HD = 18cm. Tính diện tích hình thang AD 8 Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo DB = 68cm và . Tính độ dài các cạnh của hình chữ AB 15 nhật Bài 5. HB 9 a) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính các cạnh của ∆ABC biết và AH = 48cm HC 16 AB 3 b) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính AH, biết và BC =125cm AC 4 Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 2
3. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM Bài 6. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM AB 3 a) Biết và AH = 42cm. Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông trên cạnh huyền AC 7 AH 40 AB b) Biết và AB < AC. Tính tỉ số AM 41 AC Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao, phân giác AD. Biết BD = 15cm, DC = 20cm. Tính AD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm, AC = 12cm. Tính diện tích hình thang ABCD Bài 9. Cho ∆ABC có các trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm. Tính diện tích ∆ABC Bài 10. Cho ∆ABC có AH là đường cao (H nằm giữa B và C). Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của H xuống AB và AC a) Chứng minh rằng: AB.AM = AC.AN EH FH b) Tia phân giác của góc HAC cắt HN, HC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng . 1 EN FC Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH  AC tại H, tia BH cắt đường thẳng DC tại I và cắt đường thẳng AD tại K 2 a) Chứng minh: AH.AC = BH.BK b) Chứng minh: BH = HI.HK Bài 12. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ Dˆ 900 ) có AC  BD tại H. Chứng minh rằng: AB.DC = AH.AC Bài 13. Cho hình thang ABCD có AB//CD và hai đường chéo vuông góc. Biết BD = 15cm và đường cao hình thang bằng 12cm. Tính diện tích hình thang ABCD HC 9 DC Bài 14. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao, phân giác AD. Biết . Tính HB 4 DB Bài 15. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao. Trên cạnh AC lấy điểm S, vẽ AT  BS tại T. Chứng minh: a) THˆ S TCˆ S b) AB + AC < AH + BC Bài 16. Cho ∆ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C) a) Nếu AB2 = BH.BC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông b) Nếu AH2 = HB.HC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông c) Nếu AH.BC = AB.AC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông 1 1 1 d) Nếu . Khi đó chứng minh ∆ABC vuông AH2 AB2 AC2 Bài 17. Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC, AH là đường cao và CH = 9cm, AB = 2 13 cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC a) Tính DE b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Tính diện tích tứ giác DENM Bài 18. Cho hình thang ABCD vuông tại A có AB//CD và AB < CD. Kẻ AH  BD tại H. Tính BH và diện tích hình thang ABCD nếu biết BC = 13cm, CD = 14cm và DB = 15cm Bài 19. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax AB vàB y  AB . Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho COˆ D 900 a) Chứng minh: AB2 = 4AC.BD b) M là một điểm thuộc CD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên OC, OD. Chứng minh: MC.MD = EO.EC + FO.FD Bài 20. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AD. Biết BC = a, AC = b, AB = c, AD = h a) Chứng minh rằng số đo độ dài h; b + c và a + h là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông b2c bc2 b) Vẽ DE  AB tại E, DF  AC tại F. Chứng minh rằng: AE và AF b2 c2 b2 c2 Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 3
4. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM BE c3 c) Chứng minh rằng: d) Chứng minh rằng: BC.BE.CF = EF3 CF b3 e) Chứng minh rằng BE CD CF BD AD BC Bài 21. Cho ∆ABC nhọn có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AMˆ C 900 ANˆ B . Chứng minh: AM = AN Bài 22. Cho ∆ABC vuông cân tại A có đường trung tuyến BM. Kẻ CD  BM tại D và DH  AC tại H. Chứng minh AH = 3HD Bài 23. Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc cạnh BC khác B và C. Gọi N là giao điểm của hai đường 1 1 1 thẳng AM và DC. Chứng minh rằng: AB2 AM2 AN2 Bài 24. Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD  CD và AD = CD. Vẽ đường cao BH. Gọi E là giao điểm của hai 1 1 1 đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng: CD2 CE 2 CB2 1 1 1 Bài 25. Cho hình thoi ABCD có ABˆ C 900 và BH là đường cao. Chứng minh rằng: BH2 AC2 BD2 Bài 26. a) Cho ∆ABC cân tại A có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Biết AH = 14cm và BH = 30cm. Tính AB b) Cho ∆ABC vuông tại A có AB > AC và AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của HB, HA, CE cắt AD tại F và gọi I là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh: CˆIH CBˆ I Bài 27. Xét các ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao và cạnh huyền BC = 2a. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC AH3 a) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài DE b) Chứng minh S (ký hiệu S là diện tích) ADHE BC c) Tính giá trị lớn nhất của SADHE BÀI 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN LÝ THUYẾT I. KHÁI NIỆM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN C F A B D E AC DF Hai tam giác vuông ABC và DEF Aˆ Dˆ 900 đồng dạng khi Bˆ Eˆ hoặc AB DE Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh (góc vuông) kề của một góc nhọn trong tam giác vuông đặc trưng cho độ lớn của góc nhọn đó Tương tự, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, cạnh kề và cạnh huyền trong tam giác vuông cũng gắn với độ lớn của góc nhọn trong tam giác vuông ấy Chúng ta gọi chung những tỉ số như vậy là tỉ số lượng giác của góc nhọn II. ĐỊNH NGHĨA Cho góc nhọn . Vẽ một tam giác vuông có góc nhọn . Khi đó: * Tỉ số của cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc , ký hiệu: sinα Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 4
5. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM * Tỉ số của cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc , ký hiệu: cosα * Tỉ số của cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc , ký hiệu: tgα (hay tanα ) * Tỉ số của cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc , ký hiệu: cotgα (hay cotα ) Với hình vẽ sau: A β α B O AB sinα cosβ cosα β OA tgα β cotgα β * Lưu ý Nếu hai góc nhọn α và β có sinα sinβ (hoặc cosα cosβ , tgα tgβ hoặc cotgα cotgβ ) thì α β vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng III. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU Nếu hai góc nhọn α và β phụ nhau thì chúng là hai góc nhọn của một tam giác vuông. Ta có đính lý sau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia IV. BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT 300 450 600 Tỉ số lượng giác 1 2 3 sinα 2 2 2 3 2 1 cosα 2 2 2 3 tgα 1 3 3 3 cotgα 3 1 3 * Lưu ý Từ nay, khi viết các tỉ số lượng giác của một góc trong tam giác, ta bỏ ký hiệu “ ” đi Ví dụ. sinA thay vì sinAˆ ; cotgB thay vì cotgBˆ V. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn, ta sẽ chứng minh được các tính chất sau: sinα * 0 sinα 1 * 0 cosα 1 * tgα cosα cosα * cotgα * tgα .cotgα 1 * sin 2α cos2α 1 sinα Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 5
6. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM BÀI 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG LÝ THUYẾT I. CÁC HỆ THỨC Định lý Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: C a b A c B a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề b a.sinB a.cosB c a.sinC a.cosB b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề b c.tgB c.cotgC c b.tgC b.cotgB II. GIẢI MỘT TAM GIÁC VUÔNG Giải một tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc của tam giác vuông ấy nếu biết hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn Ví dụ 1. Giải ∆ABC Aˆ 900 biết AB = 5cm, AC = 8cm Giải B 5cm A 8cm C • ∆ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago ta có: BC2 AB2 AC2 52 82 89 BC 89cm (do BC > 0) AB 5 • tgC 0,625 Cˆ 320 AC 8 Bˆ 900 Cˆ 900 320 580 Ví dụ 2. Giải ∆DEF Dˆ 900 biết DE = 100cm và Eˆ 510 Giải Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 6
7. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM E 510 D F • ∆DEF vuông tại D nên Eˆ Fˆ 900 510 Fˆ 900 Fˆ 900 510 390 DF DE • ∆DEF vuông tại D nên tgE tg510 1,235 và cosE cos510 0,6293 DE EF DE 100 EF 159cm 0,6293 0,6293 BÀI TẬP Bài 28. a) Cho ∆ABC vuông tại A, có BC = 3AB. Tính Cˆ (làm tròn đến độ) b) Cho ∆ABC cân tại A, có đường cao AH và AH = 2BC. Tính Bˆ (làm tròn đến độ) c) Cho ∆ABC cân tại A, có AB = 3BC. Tính Bˆ (làm tròn đến độ) Bài 29. Rút gọn biểu thức: sin 200 cos700 tg500 a) sin500 cos400 b) c) tg350 cotg550 d) cos700 sin 200 cotg400 Bài 30. Tính góc nhọn α . Biết sinα cosα Bài 31. Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Tính các tỉ số lượng giác của góc C, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc B, nếu biết rằng: a) AB = 16cm, AC = 12cm b) AB = 4cm, BC = 6cm c) AC = 13cm, CH = 5cm d) BH = 3cm, CH = 4cm Bài 32. Cho ∆ABC vuông tại A. Không dùng bảng lượng giác và máy tính, hãy: 8 a) Tính sinB, tgB, cotgB nếu biết cosB = 0,8 b) Tính cosC, tgC, cotgC nếu biết sinC 17 5 c) Tính sinC, cosC, cotgC nếu biết tgC 0,75 d) Tính sinB, cosB, tgB nếu biết cotgB 12 Bài 33. Cho ∆ABC vuông tại A. Không dùng bảng lượng giác và máy tính, hãy: sinB cosB 4cosB 2sinB 3 a) Tính M nếu biết tgB = 2 b) Tính N nếu biết cotgB sinB cosB cosB 3sinB 2 Bài 34. Tính độ dài các cạnh của các tam giác sau theo a A D G 0 a 30 a a 600 B H C E F H I H.1 H.2 H.3 Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 7
8. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM Bài 35. Giải ∆ABC vuông ở A (góc làm tròn đến độ và độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai), biết: a) AC = 100cm, Cˆ 300 b) AB = 50cm, Cˆ 450 c) BC = 40cm, Bˆ 350 d) AB = 70cm, AC = 60cm Bài 36. Một chiếc đò đang ở điểm A muốn băng ngang qua sông theo đường AH nhưng bị nước cuốn đi nên tấp vào bờ ở điểm B cách H là 50m (BH = 50m). Tìm chiều rộng con sông (AH) và quãng đường đò đã đi (AB) (hình sau) H B 300 A Bài 37. Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 2cm, HC = 64cm. Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ) Bài 38. Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 64mm, HC = 81mm. Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ) và tính AB; AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài 39. Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao 900m. Một người quan sát nhìn chiếc máy bay đó dưới góc 400 (hình sau). Tính khoảng cách từ người quan sát đến máy bay (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) B 400 H A Bài 40. A 820 100m H B Từ vị trí A ở đỉnh một ngọn hải đăng cao 100m so với mặt nước biển, người quan sát nhìn thấy một con tàu (vị trí B) theo một góc 820 so với phương thẳng đứng (hình trên). Tính khoảng cách từ A đến con tàu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài 41. Cho ∆ABC có Bˆ 600 ; AB = 15cm, BC = 20cm. Tính các góc và các cạnh còn lại của tam giác (góc làm tròn đến độ và độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài 42. Cho ∆ABC, có đường cao AH. Biết AB = 25cm, Bˆ 700 ;Cˆ 500 . Tính độ dài AH và BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 8
9. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM Bài 43. Cho ∆ABC có BC = 12cm, Bˆ 600 ,Cˆ 400 a) Tính chiều cao CH và AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) b) Tính diện tích ∆ABC Bài 44. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn BC a) Chứng minh: sinA + cosA > 1 b) Vẽ đường cao AH. Chứng minh: AH cotgB cotgC c) Biết BC = 12cm, Bˆ 600 ,Cˆ 450 . Tính diện tích ∆ABC Bài 45. Cho ∆ABC vuông tại A, có BC = a, đường cao AH. Chứng minh: 1 a) 1 tg 2B b) AH a.sinB.cosB;BH a.cos2B và CH a.sin 2B cos2B c) AB2 BC.BH;AB.AC BC.AH và AH2 HB.HC (dùng tỉ số lượng giác để chứng minh) Bài 46. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BH và CK a) Dùng tỉ số lượng giác để chứng minh ∆AHK ∽ ∆ABC ˆ 0 b) Biết A 45 . Chứng minh rằng SAHK SBCHK Bài 47. Cho 00 α β 900 . Chứng minh: a) sinα tgα b) cosα cotgα c) sinα sinβ d) cosα cosβ e) tgα tgβ f) cotgα cotgβ Bài 48. So sánh (không dùng bảng lượng giác và máy tính): a) sin300 và sin 600 b) cos700 và cos200 c) sin360 và cos440 d) sin360 và cos360 e) tg200 và tg500 f) tg580 và cotg460 g) tg460 và cotg580 h) sin 400 và tg420 i) cos240 và tg500 j) sin580 và cotg450 Bài 49. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không dùng bảng lượng giác và máy tính): a) cos220 ,sin350 ,cos370 ,sin440 và cos630 b) tg820 ,cotg360 ,cotg270 và tg120 c) sin350 ,cotg450 ,tg550 và cos650 d) cotg400 ,sin500 ,tg700 và cos550 Bài 50. Cho ∆ABC có Aˆ 900 ,AC b,AB c 1 a) Chứng minh S bcsinA b) Công thức trên sẽ thay đổi ra sao nếu Aˆ 900 ,Aˆ 900 ABC 2 Bài 51. a) Chứng minh rằng nếu a, b là độ dài hai cạnh của một hình bình hành có góc nhọn α thì diện tích S của hình bình hành bằng S ab.sinα b) Cho ∆ABC vuông tại A. Từ điểm D trên cạnh AC, vẽ DE  BC tại E. Chứng minh AB.AD EB.ED sinB AB.EB AD.ED Bài 52. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AB = c, AC = b, BC = a a b c a) Chứng minh rằng: b) Cho biết 2a = b + c. Chứng minh 2sinA = sinB + sinC sinA sinB sinC Bài 53. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng: a 2 b2 c2 2bc.cosA Bài 54. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, Bˆ Cˆ , đường cao AH và đường trung tuyến AM. Đặt HAˆ M α . Chứng cotgC cotgB minh rằng: tgα 2 C AB Bài 55. Cho ∆ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: tg 2 AC BC Bài 56. Chứng minh: Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 9
10. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM a) sin 6 x cos6 x 1 3sin 2 x.cos2 x b) sin2x 2cosx.sinx (x 450 ) 2tgx c) cos2x cos2 x sin 2 x (x 450 ) d) tg2x (x 450 ) 1 tg 2 x Bài 57. Tính các tỉ số lượng giác sau (không dùng bảng lượng giác và máy tính) a) tg150 ,sin150 b) sin22030';tg22030' c) cos360 Bài 58. Dựng góc nhọn biết: 2 3 3 a) sinα b) cosα 0,6 c) tgα d) cotgα 3 4 2 ÔN TẬP HÌNH HỌC Bài 59. Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn (giải thích) a) sin350 ,sin600 ,cos250 ,cos780 b) tg220 ,cotg380 ,cotg260 ,tg820 c) sin250 ,tg350 ,cotg500 ,cos750 Bài 60. 20 a) Cho góc nhọn α , biết cosα . Không dùng bảng và máy tính, hãy tính sinα , tgα , cotgα 29 b) Cho ∆ABC vuông tại A, có tgB = 0,75. Hãy tính tỉ số lượng giác của góc C sin 3B cos3B c) Cho ∆ABC vuông tại A, có tgB = 3. Hãy tính: M sin 3B cos3B Bài 61. Giải ∆ABC vuông tại A, biết: a) AB = 9cm và Bˆ 600 b) BC = 8cm và Cˆ 300 c) AB = 15cm và AC = 20cm Bài 62. Giải ∆ABC biết Aˆ 1050 ,Bˆ 450 và BC 4 2 3cm Bài 63. Cho góc nhọn α a) Chứng minh: cos3 cos cos .sin 2 b) Rút gọn các biểu thức sau: A 2012 sin 2α cos2α B cos2α tg2α.cos2α Bài 64. Không dùng bảng và máy tính, hãy tính: a) A sin 2 430 sin 2 440 sin 2 450 sin 2 460 sin 2 470 b) B cos2 250 cos2 350 cos2 450 cos2 550 cos2 650 c) C tg360.tg450.tg440.tg460.tg540 3tg650 d) D sin 2 550 sin 2 350 tg150.tg750 cotg250 Bài 65. Cho góc nhọn α . Chứng minh: 1 cosα sinα sin 4α cos4α a) b) tg 2α sin 2α tg 2α.sin 2α c) sinα cosα sinα 1 cosα sinα cosα Bài 66. Cho góc nhọn α biết sinα cosα 2 . Tính α Bài 67. Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác AD. Tính HB, HC biết DB = 51cm và DC 85cm Bài 68. Cho ∆ABC có Bˆ 600 ,Cˆ 450 và BC = 12cm. Tính diện tích ∆ABC Bài 69. Cho ∆ABC vuông tại A a) Chứng minh: AB.sinC + AC.cosC = BC AF.AC AE b) Vẽ AH  BC tại H. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Chứng minh: EF.BC AC c) Chứng minh AH3 BC.BE.CF BC.AE.AF Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 10
11. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM Bài 70. Cho ∆ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C và AB 1 d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Tia FE cắt BC tại D. Chứng minh: DE.DF = DB.DC = DH2 Bài 71. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy điểm E và F sao cho AE = BF; tia AF cắt DE tại H và cắt đường thẳng DC tại G 1 1 1 1 a) Chứng minh: DE  AF b) Chứng minh: AE2 DG 2 HA 2 HD2 c) Nếu cho AE 3 5cm và HA = 6cm. Khi đó hãy chứng minh rằng các độ dài HE, HA, HD, HG lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 4; 8 d) Nếu cho E là trung điểm của AB. Khi đó, tính cosEDˆ F Bài 72. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M, K, N lần lượt là trung điểm của AH, ED, BC a) Chứng minh: M, K, N thẳng hàng b) Tính MDˆ N c) AH cắt BC tại F. Ký hiệu S là diện tích. Chứng minh: 2 2 2 2 2 SAED SABC.cos A ; SBEDC SABC.sin A và SEDF 1 cos A cos B cos C .SABC d) Chứng minh cos2A cos2B cos2C 1 và 2 sin 2A sin 2B sin 2C 3 HD DE e) Cho biết BAˆ C 450 . Khi đó hãy tính tỉ số và HC BC Bài 73. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và AD là đường phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, BAˆ C vẽ tia Cx sao cho BCˆ x , Cx cắt tia AD ở E 2 a) Chứng minh AD2 AB.AC DB.DC b) Vẽ DT  AB tại T và DS  AC tại S. Chứng minh TS AD.sinBAˆ C c) So sánh diện tích tứ giác ATES và diện tích ∆ABC Bài 74. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, độ dài BC = a và H là trực tâm, tia BH và tia CH lần lượt cắt AC và AB tại M và N a) Chứng minh: AMˆ N ABˆ C b) Chứng minh: BH.BM CH.CN a 2 c) Cho biết MHˆ N 1200 . Tính MN và AH theo a d) Chứng minh sinABˆ C.sinACˆ B cosABˆ C.cosACˆ B cosBAˆ C e) Bỏ giả thiết MHˆ N 1200 . Cho biết Aˆ 2ABˆ C . Khi đó chứng minh: AC2 AB.AC a 2 Bài 75. Cho ∆ABC vuông tại A có ABˆ C 750 . Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng BC, AC và AB lần lượt tại M, N và K. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BN và KC AN a) Chứng minh: MA = MI b) Tính c) Tính tgACˆ B NC Bài 76. Cho ∆ABC có ACˆ B 450 ,ACˆ B BAˆ C 2ABˆ C và BC = a. Đường trung trực của AB cắt BC tại M a) Tính MAˆ C b) Tính diện tích ∆ABC theo a c) N là một điểm nằm trong ∆ABM. Gọi y, z, t lần lượt là khoảng cách từ N đến các cạnh BM, MA, AB tương ứng. Cho biết y = 1, z = 2, t = 3. Hãy tính diện tích ∆AMC Bài 77. Cho hình vuông ABCD và điểm M di động trên đường chéo AC. Vẽ ME  AD tại E và gọi F là trung điểm của AM a) Chứng minh: AF.AC = AE.AD Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 11
12. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM FD b) Chứng minh: EDˆ F ECˆ M và tỉ số có giá trị không đổi khi M di động trên đường chéo AC EC 1 1 c) N là một điểm di động trên cạnh BC, tia AN cắt đường thẳng DC tại G. Chứng minh tổng AN2 AG 2 không đổi 1 1 d) Trên tia CG lấy điểm H sao cho CH AB , BH cắt AG tại I. Chứng minh AˆIC 900 nếu BN BC 2 3 HB 9 Bài 78. Cho ∆ABC có AB = 3cm, AC = 4cm. Đường cao AH (H nằm giữa B và C và ) HC 16 a) Tính tgB b) Vẽ phân giác AD, trung tuyến AM của ∆ABC. Tính diện tích ∆MAC, ∆DAM c) Cho biết ACˆ B α,AMˆ B β . Chứng minh rằng: sinα cosα 2 1 sinβ d) Không sử dụng giả thiết về số đo độ dài. Cho biết ∆ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: 2 1 1 AD AC AB Bài 79. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AD. Vẽ DE  AB tại E, DF  AC tại F AC2 .AB a) Chứng minh rằng: AE b) Chứng minh rằng: 3 BC2 3 BE2 3 CF2 AC2 AB2 c) Chứng minh rằng ED.EB FD.FC AD.BC d) Vẽ trung tuyến AM của ∆ABC. Chứng minh 4AM2 2AB2 2AC2 BC2 Bài 80. Cho ∆ABC nhọn có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và BC = a. Cho biết tgBAˆ C cotgBAˆ C 2 a) Tính EF theo a b) Chứng minh cotgABˆ C 1 cotgACˆ B 1 2 Bài 81. Cho ∆ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại F. Cho biết tanABˆ C tanACˆ B 2tanBAˆ C . Tính tanABˆ C.tanACˆ B Bài 82. Cho ∆ABC nhọn, các đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau a) Giả sử AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài BC? 2 b) Chứng minh: cotgB cotgC 3 Bài 83. Cho ∆ABC có đường phân giác AD, đường cao BH và đường trung tuyến CE đồng qui. Chứng minh: AC.cosA BC.cosC EF 2 Bài 84. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và hai đường cao BE; CF cắt nhau tại H. Biết , AB 5 3cm BC 2 và ACˆ B 600 a) Chứng minh AF.AB = AE.AC b) Tính BAˆ C c) Tính CH d) Tính diện tích ∆ABC; diện tích ∆BFN (với N là trung điểm của BC) Bài 85. Cho ∆ABC có AB 2a,Bˆ 600 ,Cˆ 450 , 3 đường cao AD, BE, CF đồng qui tại trực tâm H. Tính chu vi và diện tích ∆HBC theo a Bài 86. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng qui tại trực tâm H. Cho BH a 6 2 , CH a 2 3 2 và BC = 2a a) Tính các góc của ∆ABC b) Tính chu vi và diện tích ∆AEF theo a Bài 87. Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH  BC tại H. Gọi T, S lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Cho biết BC = 2a và ABˆ C 600 a) Tính theo a diện tích ∆ATS b) Đường thẳng ST cắt đường thẳng BC tại K. Tính KC theo a Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 12
13. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM Bài 88. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao. Cho biết chu vi ∆ABH là 320 (đvđd) và chu vi ∆ACH là 600(đvđd). Tính chu vi và diện tích ∆ABC Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 13
14. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN LÝ THUYẾT I. Định nghĩa đường tròn Đường tròn tâm O, bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R Ký hiệu: (O; R) hoặc (O) R O M • Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm O cố định bằng R không đổi (với R > 0) là đường tròn tâm O, bán kính R II. Ba vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O; R) • M thuộc đường tròn (O; R) OM = R • M nằm ngoài đường tròn (O; R) OM > R • M nằm trong đường tròn (O; R) OM < R * Hình tròn là tập hợp các điểm bên trong đường tròn và các điểm của chính đường tròn đó III. Định lý (về sự xác định một đường tròn) 1) Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn qua 3 điểm đó A O x x B C • Tâm của đường tròn này là giao điểm 3 đường trung trực của 3 cạnh ∆ABC • Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. [Ký hiệu: (ABC)]; còn ∆ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn 2) a) Nếu một tam giác nội tiếp đường tròn, có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông A B C O Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 14
15. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền là đường kính và tâm là trung điểm của cạnh huyền IV. Tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng: M A B O M' 1) Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn này 2) Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn V. So sánh độ dài của đường kính và dây Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính B A C D O • AB là dây không qua tâm O, CD là đường kính AB < CD VI. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây M O A H B N * Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy • ON  AB ở H H là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây) * Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy • ON cắt dây AB ở H là trung điểm của AB ON  AB tại H (đường kính đi qua trung điểm dây không qua tâm) Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 15
16. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY LÝ THUYẾT Định lý 1 * Trong một đường tròn: C I D O B H A a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau • OH  AB; OI  CD; ta có: AB = CD OH = OI Định lý 2 * Trong 2 dây của một đường tròn: C I D O B H A a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn • OH  AB; OI  CD; ta có: AB > CD OH < OI BÀI TẬP Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường kính BC với AB < AC. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AO cắt AB, AC lần lượt tại H và T. Chứng minh 3 điểm H, I, T thẳng hàng Bài 2. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB và điểm M thuộc đường tròn sao cho MA < MB (M ≠ A và M ≠ B). Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.NB cắt (O) tại C, AC cắt BM tại E a) Chứng minh: EM.EB = EC.EN b) Chứng minh AE.AC + BE.BM = 4R2 Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC. Đường tròn (M) đường kính AB và đường tròn (N) đường kính AC cắt nhau tại H (H ≠ A) a) Chứng minh AH  BC b) Chứng minh 4 điểm A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn c) Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E và cắt đường tròn (N) tại D. Chứng minh DA.DE = DC2 Bài 4. Cho ∆ABC nhọn có các đường cao BE, CF cắt nhau ở H a) Chứng minh 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn; xác định tâm O của đường tròn đó b) Chứng minh EF < BC c) Gọi O’ là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆AEH. Chứng minh: OO’  EF 2 2 2 2 d) Ký hiệu S là diện tích. Chứng minh SBCEF SABC.sin A và 2 sin A sin B sin C 3 Bài 5. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là trung điểm của AO. Vẽ dây CD  AO tại M a) Tứ giác OCAD là hình gì? Chứng minh Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 16
17. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM b) Tính các góc của ∆ABC và diện tích ∆BCD theo R c) CO cắt DB ở I. Xác định tâm S của đường tròn ngoại tiếp ∆MOI d) Chứng minh: MA 2 MB2 MC2 MD2 4R 2 Bài 6. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có hai đường cao BM, CN cắt nhau ở H. Vẽ đường kính AD của (O) a) Chứng minh BHCD là hình bình hành b) Vẽ OI  BC tại I. Chứng minh AH = 2OI c) Chứng minh O, H và trọng tâm G của ∆ABC thẳng hàng (đường thẳng này được gọi là đường thẳng Euler của ∆ABC) Bài 7. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BI cắt nhau tại H. Gọi D, E, F lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp ∆AIH, ∆AKC, ∆BKI a) Chứng minh OEDF là hình bình hành b) CH cắt AB ở J. Chứng minh: i) AK.BI.CJ AB.BC.CA.sinBAˆ C.sinACˆ B.sinCBˆ A ii) AK.BI.CJ AB.BC.CA.cosCAˆ K.cosABˆ I.cosBCˆ J c) Chứng minh sinABˆ C.sinACˆ B cosABˆ C.cosACˆ B cosBAˆ C Bài 8. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O; R). Hai đường cao BM, CN cắt nhau ở H. Gọi I là trung điểm của AB a) Cho A, B cố định và C di động trên cung lớn AB. Gọi E là điểm đối xứng của O qua I. Chứng minh điểm H di động trên đường tròn (E; R) b) i) AH cắt BC tại D. Chứng minh rằng: tanABˆ C.tanACˆ B 2 H là trung điểm của AD ii) Chứng minh: tanABˆ C.tanACˆ B n 1 AH = n.HD (với n > 0) c) Chứng minh: cotBAˆ C.cotABˆ C cotABˆ C.cotACˆ B cotACˆ B.cotBAˆ C 1 d) Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BNM. Tính số đo góc BAC nếu biết ∆SNM đều Bài 9. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đoạn OB lấy một điểm H sao cho HB = 2HO. Đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nửa đường tròn (O) tại D. Vẽ đường tròn (S) đường kính AO cắt AD tại C a) Chứng minh 4 điểm C, D, H, O cùng thuộc một đường tròn và DB = 2OC b) Chứng minh CB  DO Bài 10. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, AD và BC lần lượt lấy các điểm I, K và S sao cho AI = AK = BS, AS cắt DI tại T a) Chứng minh 4 điểm C, K, T, S cùng thuộc một đường tròn 1 1 1 b) Tia AS cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh AD2 AS2 AN2 c) Cho biết DN = 16,9cm và AS 269cm . Tính diện tích hình vuông ABCD Bài 11. Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của OB, N là trung điểm của CD a) Chứng minh AMˆ N 900 b) Chứng minh AN > MD Bài 12. Cho đường tròn (O; R); vẽ hai dây AB và CD sao cho AB = CD và tia AB cắt tia CD tại M ở ngoài (O) a) Chứng minh MO là tia phân giác của AMˆ C b) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân Bài 13. Cho đường tròn (O; R); vẽ hai dây AB và CD sao cho AB > CD và tia AB cắt tia CD tại M ở ngoài (O) a) Chứng minh MC + MD < MA + MB b) Chứng minh MC.MD = MA.MB c) So sánh MB và MD BÀI 4, 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN LÝ THUYẾT I. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 17
18. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM O O O d R d = R d A H B a H a H Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R 1) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) 2 d R II. Định lý * Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm • a là tiếp tuyến tại H của (O) a  OH O a H III. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn - Cách 1: Chứng minh a  OI tại I và OI = R - Cách 2: Chứng minh a  OI tại I mà I (O) BÀI 6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU LÝ THUYẾT I. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu 2 tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: * Điểm đó cách đều hai tiếp điểm * Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến * Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm A M O B Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 18
19. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM MA và MB là tiếp tuyến của (O) (A, B là tiếp điểm) MA MB AMˆ O BMˆ O ˆ ˆ MOA MOB II. Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác * Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác, có tâm là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó (hoặc ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (I)) * Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần nối dài của 2 cạnh kia, có tâm là giao điểm của một phân giác trong của 1 góc của tam giác với 2 phân giác ngoài tại 2 đỉnh còn lại A I B C K BÀI TẬP Bài 14. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Lấy điểm H cố định trên đoạn thẳng AO (H ≠ A, H ≠ O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ AB (D ≠ K, D ≠ B). Đường thẳng HK cắt các đường thẳng AD, BD lần lượt tại E và F. Đường thẳng BE cắt đường tròn tại điểm thứ hai C a) Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆CED b) Chứng minh FA.cosFAˆ B FB.cosFBˆ A 2R và AE.AD BE.BC 4R 2 c) Chứng minh ID tiếp xúc đường tròn (O) d) Vẽ đường tròn (O’) đường kính AF, (O’) cắt đoạn thẳng BE tại N. (O) cắt đoạn thẳng FE tại M. Chứng minh AM = AN e) Khi D di động trên cung nhỏ KB, chứng minh đường thẳng DC luôn đi qua một điểm cố định ˆ 0 ˆ 0 f) Cho ABC 15 và DAB 30 . Tính SODB ,SACDB theo R Bài 15. Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Vẽ đường tròn (O; R) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Vẽ đường cao AH cắt BF tại I a) Chứng minh E, I, C thẳng hàng b) Gọi M là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆AEF. Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn (M) c) Tính diện tích ∆ABC theo R nếu biết ABˆ C 600 và ACˆ B 450 d) Vẽ ON  EF tại N. Cho B, C cố định và dây cung EF di động sao cho EF R 2 . Chứng minh điểm di động trên một đường cố định Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 19
20. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM AI BI CI e) Chứng minh HE + HF CD và tia AB cắt tia CD tại M ở ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến MT của (O) (T là tiếp điểm) a) Chứng minh MT2 = MA.MB b) S là một điểm thuộc (O) sao cho S ≠ T và MS2 = MC.MD. Chứng minh MS là tiếp tuyến của đường tròn (O) Bài 17. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi (O; R) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. d cắt đường thẳng BC tại S và cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C theo thứ tự ở D và E BC2 a) Chứng minh DE = BD + CE b) Chứng minh BD.CE và EA.DS = ES.DA 4 c) Chứng minh ∆ABC ∽ ∆ODE d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE e) Tia CA cắt BD tại T, tia BA cắt CE tại S. Chứng minh D là trung điểm của BT và tính diện tích ∆TAS theo R, nếu biết AC R 3 Bài 18. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M là một điểm di động trên (O) (M khác A và B). Đường thẳng qua O song song với MB và đường thẳng qua O song song MA cắt tiếp tuyến tại M của (O) lần lượt tại C và D. MA cắt OC tại E, MB cắt OD tại F a) Chứng minh trung điểm I của EF di động trên một đường cố định khi M di động trên nửa đường tròn (O) b) Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. MN cắt AB ở K. Chứng minh: MN  AB và MN = NK 1 1 2 c) Chứng minh: d) Tính độ dài MN, CD theo R nếu biết 64MN 2 CD2 16R 2 AC BD MK e) Chứng minh tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó Bài 19. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của (O), vẽ CE  BD tại E, AD cắt CE tại I a) Chứng minh AC.CD = CE.AO b) Chứng minh I là trung điểm của CE c) Biết OA = 2R. Khi đó chứng minh ∆ABC đều và tính diện tích ∆BCE theo R d) Trên tia đối của BC lấy điểm S. Từ S vẽ 2 tiếp tuyến SM và SN của đường tròn (O). Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng Bài 20. Từ điểm A cố định ở ngoài (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Qua M trên cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến cắt AB và AC ở D và E a) Chứng minh chu vi ∆ADE không phụ thuộc vị trí điểm M 1 b) Chứng minh BOˆ C 2DOˆ E c) Chứng minh DE AB AC 2 d) Ký hiệu S là diện tích và cho biết SOBAC 4.SDOE . Chứng minh AD + AE = 3DE Bài 21. Cho ∆ABC vuông tại A; đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Gọi HD là đường kính của đường tròn đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E a) Chứng minh rằng BE tiếp xúc với đường tròn (A) tại một điểm gọi là I và IA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC b) EA cắt đường tròn (A) tại T và S (ET < ES) và cắt DI tại N. Chứng minh T là tâm đường tròn nội tiếp của ∆EDI và TN.SE = TE.SN c) Đường thẳng vuông góc với ED tại E cắt đường thẳng AI tại M. Chứng minh AE2 = 2AI.AM Bài 22. Cho (O; R) đường kính AB và dây BM = R. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB tại C và cắt tiếp tuyến tại A ở D. Tia phân giác của MCˆ A ở OM tại I a) Chứng minh rằng (I; IM) tiếp xúc đường thẳng AB b) Chứng minh ∆AMD đều và tính SADM theo R c) Đường tròn (I; IM) cắt MA, MO, MB lần lượt tại E, F, K. Chứng minh E, I, K thẳng hàng và EF//OD Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 20
21. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM d) Vẽ MT vuông góc AB tại T. Chứng minh rằng DB đi qua trung điểm S của MT e) Bỏ giả thiết BM = R và cho điểm M di động trên một nửa đường tròn (M ≠ A, M ≠ B) i) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định H và tích HM.HN không đổi khi M di động ii) Gọi giao điểm của đường thẳng NK và NE với đường thẳng HA và HB lần lượt là X và Y. Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác NXHY lớn nhất và tính diện tích đó theo R Bài 23. Cho ∆ABC vuông tại A có Bˆ 600 và BC = 2a. Vẽ đường tròn (E) đường kính AB và đường tròn (F) đường kính AC; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là H a) Chứng minh rằng B, H, C thẳng hàng b) AH cắt EF tại K. Tính AF và SΔAKF theo a c) Chứng minh A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn và đường tròn này đi qua trung điểm của BC d) Đường thẳng d qua A cắt (E) tại M và cắt (F) tại N sao cho A nằm giữa M và N. Chứng minh: M, N luôn cách đều một điểm cố định khi d quay quanh A Bài 24. Cho ∆ABC cân tại A, có O là trung điểm BC và BC = 2a. Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại H và T, qua D trên cung nhỏ HT, kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB và AC ở M và N a) Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆AHT b) Chứng minh MOˆ N ABˆ C c) Tính tích BM.CN theo a d) Định vị trí của MN sao cho BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất Bài 25. Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c và (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a) S = p.r; trong đó S là diện tích; p là nửa chu vi ∆ABC b) AB + AC – BC = 2AE, AE = p – a; BF = p – b; CD = p – c 1 1 1 1 c) (h1,h 2 ,h 3 là các chiều cao của ∆ABC) r h1 h 2 h 3 Bài 26. Cho ∆ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH và đường tròn (I; r) nội tiếp ∆ABC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên các cạnh BC, CA, AB. Đặt AF = x, BD = y, CE = z a) Viết một hệ thức liên hệ giữa x, y, z b) Chứng minh AB + AC – BC = 2r c) Chứng minh AB.AC = 2DB.DC d) Gọi I1;r1 ; I2 ;r2 thứ tự là đường tròn nội tiếp ∆ABH; ∆ACH. Chứng minh r r1 r2 AH 2 2 2 e) Chứng minh r r1 r2 f) Cho BC cố định, A di động trên cung BC. Xác định vị trí điểm A để bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R BÀI 7, 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN LÝ THUYẾT Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R ≥ R’). Độ dài đoạn nối tâm là OO’ Ta xét vị trí tương đối của 2 đường tròn bằng cách so sánh OO’ với R – R’ và R + R’ I. HAI ĐƯỜNG TRÒN KHÔNG GIAO NHAU (KHÔNG CÓ ĐIỂM CHUNG) 1) Hai đường tròn ở ngoài nhau OO’ > R + R’ (có 4 tiếp tuyến chung) O O' R R' 2) Đường tròn lớn dựng đường tròn nhỏ OO’ R’) Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 21
22. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM O O' O Hai đường tròn đồng tâm II. HAI ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC NHAU (CHỈ CÓ MỘT ĐIỂM CHUNG) 1) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài OO’ = R + R’ R A R' O O' A O O' Có 3 tiếp tuyến chung Có 1 tiếp tuyến chung 2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm của hai đường tròn nằm trên đường nối tâm (O) và (O’) tiếp xúc nhau ở A O; A; O’ thẳng hàng III. HAI ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU (CÓ HAI ĐIỂM CHUNG) Hai đường tròn cắt nhau R – R’ < OO’ < R + R’ A R R' O H O' B Chú ý: Khi hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung (O) và (O’) cắt nhau tại A và B OO’ là trung trực của AB (OO’  AB tại H và HA = HB) BÀI TẬP Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 22
23. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM Bài 27. Cho hai đường tròn (O; R)và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A. Qua A kẻ đường thẳng m cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D (m không qua O). Vẽ đường thẳng d1 là tiếp tuyến của (O) tại C và d2 là tiếp tuyến của (O’) tại D a) Chứng minh d1//d2 b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ OO’ không chứa C, vẽ hai bán kính OE và O’F sao cho OE // O’F (F khác D). Tính EAˆ F c) Đường thẳng OO’ cắt đường thẳng EF tại H. Tính OH theo R và R’ d) Vẽ đường kính FI của (O’). Chứng minh CE // ID Bài 28. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (B (O), C (O’)) a) Chứng minh ∆ABC vuông b) OO’ cắt (O) tại D và cắt (O’) tại E (D, E khác A). Đường thẳng DB cắt đường thẳng EC tại F. Chứng minh FA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn 2 2 SBDEC R RR' R' c) Chứng minh BC 2 RR' và 2 SFDE R R' d) Vẽ AK  BC tại K. Chứng minh rằng ba đường thẳng CO, O’B, AK đồng quy tại trung điểm của AK Bài 29. Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) (R1 > R2) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B (O1); C (O2)). Gọi D là trung điểm của BC a) Chứng minh ∆BAC vuông, ∆O1DO2 vuông b) Gọi I là giao điểm của O1D và AB, K là giao điểm của O2D và AC. Chứng minh: DH.DO1 + DK.DO2 = 2R1R2 ˆ c) Tính sinBO1A theo R1 và R2 d) Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với (O1), (O2) và tiếp xúc với đường thẳng BC. 1 1 1 Chứng minh: R R1 R 2 Bài 30. Cho hai đường tròn (O; R = 16cm); (O’; R’ = 12cm); OO’ = 20cm a) Chứng minh (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại C (C ≠ A); tia CB cắt (O’) tại D (D ≠ B). Chứng minh A, O’, D thẳng hàng c) Xác định tâm E và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆AOB d) Đường thẳng vuông góc với EA tại A cắt (O) và (O’) lần lượt tại F và G (khác A). Chứng minh AF = AG e) Đường thẳng vuông góc với AO’ tại O’ cắt OB ở H. Đường vuông góc với AO tại O cắt đường thẳng O’B tại I. Chứng minh I, H, E thẳng hàng Bài 31. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm khác phía với AB và OAˆ O' 900 ). Vẽ hình bình hành OAO’E a) Chứng minh OEBO’ là hình thang cân b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABE c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt (O) tại C (C ≠ A), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt (O’) tại D (D ≠ A). Gọi F là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh 4 điểm A, C, F, D cùng thuộc một đường tròn OO'2 AB2 d) Chứng minh S (ký hiệu S là diện tích) OAO'B 4 Bài 32. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ở ngoài nhau (R > R’). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ OO’ vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN (M (O), N (O’)). Gọi P là điểm đối xứng của M qua OO’. Đường thẳng PN cắt (O) ở E và cắt (O’) ở F. Chứng minh PE = NF ÔN TẬP Bài 33. Cho đường tròn (O; R) và dây AB không qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C. Vẽ CH  OM tại H, CH cắt AB tại N và cắt (O) theo thứ tự tại E và F Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 23
24. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM a) Chứng minh ME, MF là tiếp tuyến của (O) b) OC cắt AB tại T. Chứng minh MA.MB = MN.MT c) Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt MF tại S và ME tại V. Tính diện tích ∆MSV theo R nếu biết R OH 2 d) Xác định vị trí của M để diện tích ∆MSV có giá trị nhỏ nhất Bài 34. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED, lấy điểm N bất kỳ và vẽ đường tròn (N; NA), đường tròn này cắt OA tại I (I khác A) và cắt đường tròn (O) tại T, S a) Chứng minh B, I, C thẳng hàng b) Chứng minh NS, NT là tiếp tuyến của (O) Bài 35. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AB với (O). Vẽ dây cung BC  OA tại H a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) Vẽ cát tuyến ANM không qua tâm O (N, M (O); N nằm giữa A và M). Chứng minh tiếp tuyến tại N, tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) và đường thẳng BC đồng quy Bài 36. Cho đường tròn (O; R) có dây CD cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia CD lấy điểm S (S khác C). Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SB với đường tròn (O) (A và B là các tiếp điểm, CA > CB). Gọi H là trung điểm của CD và K là giao điểm của AB và CD 2 1 1 a) Chứng minh SK SC SD b) Đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng OB cắt (O) tại điểm thứ hai F. Xác định vị trí của điểm S trên tia đối của tia CD để SAFB là hình bình hành c) OH cắt AB tại N, NC cắt SB, SA lần lượt tại T, E. Vẽ TM  OS tại M. Chứng minh OM.OE > R2 Bài 37. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của (O), AD cắt đường tròn (O) tại F và cắt BC tại T, BF cắt OA tại S, OF cắt ST tại N a) Chứng minh N là trung điểm của TS b) Gọi G là trung điểm của DF, đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H. Chứng minh HD là tiếp tuyến của (O) Bài 38. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của (O), BC cắt OA ở E và cắt tiếp tuyến tại D của (O) ở H a) Chứng minh AD  OH b) Gọi I là trung điểm của AE. Đường thẳng BI cắt (O) tại K. Chứng minh EK  BI Bài 39. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của (O) a) Đường thẳng vuông góc với BD vẽ từ O cắt AD tại V và cắt đường thẳng DC tại X. Chứng minh V là trung điểm của OX b) BC và AC lần lượt cắt tiếp tuyến tại D của (O) ở H và T, OH cắt DC tại I, vẽ IS  BD tại S. Chứng minh OT, AD, IS đồng qui Bài 40. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của (O), AD cắt (O) tại điểm thứ hai F a) Đường thẳng vuông góc với BD tại E vẽ từ C cắt AD tại M và cắt đường thẳng BF tại S. Chứng minh: DCˆ M DFˆC b) Chứng minh NM // BD c) Chứng minh C là trung điểm của ES Bài 41. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của (O), AD cắt (O) tại điểm thứ hai F. Trên tia đối của tia EB lấy điểm F sao cho E là trung điểm của BF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BA tại K. Cạnh FK cắt đường thẳng DC tại M a) Chứng minh MK = MF Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 24
25. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM b) Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt OA tại I, OE cắt BC tại S. Chứng minh SI // EA Bài 42. Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm B, bán kính BA và đường tròn tâm O đường kính AC, đường tròn (O) cắt BC tại H, AH cắt đường tròn (B) tại D. Qua H, vẽ đường thẳng song song với AB cắt BD tại S và vẽ đường thẳng song song với BD cắt DC tại N. AN cắt (O) tại T. Chứng minh S, T,C thẳng hàng Bài 43. Cho đường tròn (O; R) và một điểm N ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến NM (M là tiếp điểm), NO cắt đường tròn (O) tại A và B (B nằm giữa O và N). Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt đường thẳng NM lần lượt tại C và D. Gọi S là trung điểm của AC a) Chứng minh AD, BC, NS đồng qui tại một điểm gọi là H b) NS cắt BD tại T. Chứng minh NS.TH = NT.HS và IH là đường phân giác của ∆SIT Bài 44. Cho đường tròn (O; R); đường kính AB. Lấy C (O) sao cho AC > BC. Tiếp tuyến tại C của đường thẳng AB tại I. Gọi (d) là một cát tuyến qua I cắt (O) tại E và F (E FI và E ≠ B) a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆OCI đi qua trung điểm N của EF b) Kẻ CH  AB tại H, CH cắt EF tại T. Chứng minh IT.IN = IE.IF IC BH BH c) Chứng minh và AH.BI = AI.BH IO CH IC d) Chứng minh IHˆ E OEˆ F e) Cho AC R 3 . Trên cạnh AC, lấy điểm S sao cho BS R 2 . Tính ABˆ S và tgABˆ S Bài 45. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D a) Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD b) Vẽ MH  AB tại H. Chứng minh BC, AD, MH đồng qui 2 3r 3 4 c) Cho biết chu vi tứ giác ABDC bằng (đvđd). Tính độ dài CM và DM theo R 3 Bài 46. Cho đường tròn (O; R); đường kính AB. M là một điểm trên (O) sao cho MA BC. Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại B và D. Đường cao CH của ∆ABC cắt AD tại I. Tính độ dài AC theo R, nếu biết 4IC = 3DB Bài 49. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên AO lấy điểm H và vẽ dây CD  OA tại H. Gọi F là điểm đối xứng của A qua H, DF cắt BC tại E. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh AE, CF, BM đồng qui Bài 50. Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B và C vẽ tiếp tuyến BD, CD với đường tròn (A). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt đường tròn (A) tại M và N a) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh M, I, N thẳng hàng c) Chứng minh BE, CD, MN đồng qui Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 25
26. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM Bài 51. Cho ∆ABC vuông tại A (AB R2 . Vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính AC của (O), MC cắt (O) tại điểm thứ hai D, AB cắt OM tại H a) Chứng minh MOˆ D MCˆ H b) Chứng minh OMˆ D DBˆ M c) Đường kính AC cắt tia MB tại K. Vẽ BN  AC tại N, BN cắt MC tại I, KI cắt AM tại S. Chứng minh S là trung điểm AM Bài 55. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên d lấy điểm D (D ≠ A), kẻ tiếp tuyến DB của (O) (B là tiếp điểm, B ≠ A). Trên tia đối của tia BA lấy điểm C. Kẻ DH  OC tại H. Gọi M là giao điểm của DH với cung nhỏ AB của (O) a) Chứng minh rằng CM là tiếp tuyến của (O) b) Gọi E là giao điểm của DH và CA, F là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp ∆OHB và đường tròn ngoại tiếp ∆OMC. Chứng minh rằng O, E, F thẳng hàng Bài 56. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi T và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. Gọi H là trực tâm của ∆BTS a) Chứng minh H là trung điểm của OA b) Xác định vị trí của đường kính CD để ∆BTS có diện tích nhỏ nhất Bài 57. Cho ∆ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Các đường thẳng qua A song song với BE, CF lần lượt cắt CF, BE tại T, S. Chứng minh rằng TS vuông góc với đường trung tuyến AM của ∆ABC Bài 58. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại A và C cắt tiếp tuyến tại B theo thứ tự ở M và N. Vẽ đường cao BH của ∆ABC. Chứng minh: a) BOˆ C 2BAˆ H b) HA.BN = HC.BM c) HB là phân giác của MHˆ N Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 26
27. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1. GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG BÀI 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY LÝ THUYẾT I. GÓC Ở TÂM Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn A m B C D O O n - AOˆ B : góc ở tâm chắn cung A¼mB - COˆ D : góc ở tâm chắn nửa đường tròn ()00 AOˆ B 1800 ()COˆ D 1800 Khi nói “góc ở tâm AOˆ B chắn cung A»B ” thì ta hiểu là góc ở tâm chắn cung nhỏ A»B - Số đo của góc ở tâm không quá 1800 II. SỐ ĐO CUNG Định nghĩa: Cho A, B (O) (A¼mB là cung nhỏ, A¼nB là cung lớn) Số đo của cung AB (ký hiệu là sđ A»B ) được xác định như sau: a) sđ A¼mB = sđ A·OB b) sđ C»D = 1800 (với CD là đường kính) c) sđ A¼nB = 3600 - sđ A¼mB Chú ý: - Cung nhỏ là cung có số đo nhỏ hơn 1800 - Cung lớn là cung có số đo lớn hơn 1800 - Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo 00 - Cung cả đường tròn có số đo là 3600 III. SO SÁNH HAI CUNG Định nghĩa: Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo (độ) sđ A»B = sđ C»D A¼B = ¼CD b) Cung lớn hơn nếu có số đo (độ) lớn hơn sđ A»B > sđ C»D A¼B > ¼CD IV. KHI NÀO THÌ sđ A»B = sđ A»C + sđ C»B? C A B Định lý: Nếu C là điểm nằm trên cung A»B thì » » » sđ AB = sđ AC + sđ CB O Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 27
28. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM V. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG A Định lý 1: Đối với 2 cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: B a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b) Đảo lại: hai dây bằng nhau căng hai cung bằng O C nhau Với A, B, C, D O : A»B = C»D AB = CD D E F Định lý 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn O Với M, N, F, E O : M¼N > E»F MN > EF M N M Định lý 3: Trong một đường tròn: A B a) Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung H thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy MN là đường kính và M¼A = M¼B HA = HB O b) Đường kính đi qua trung điểm một dây không qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy MN là đường kính và HA = HB ¼MA = M¼B N Đường kính vuông góc với dây (*) Đường kính đi qua (*) Đường kính đi qua điểm trung điểm của dây chính giữa của cung (*): dây không qua tâm Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 28
29. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM A B Định lý 4: Trong một đường tròn; hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau O AB//CD A¼C = B»D Chú ý: Điều ngược lại không đúng C D BÀI 3. GÓC NỘI TIẾP BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA - Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó - Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến của cạnh kia chứa dây cung A A x m O O B C y B x H.1 y H.2 • Ở H.1, B·AC là góc nội tiếp chắn cung B»C • Ở H.2, góc B·Ax là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB chắn cung A¼mB . (Cung A¼mB nằm trong góc B·Ax ) II. ĐỊNH LÝ - Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn - Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn III. HỆ QUẢ Trong một đường tròn: 1) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau 2) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau 3) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 29
30. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM B A A B C O O F C E D E D H.3 H.4 4) Góc nội tiếp không quá 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung 5) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn A A O B C O E D H.5 H.6 1 B·AC = B·OC (góc nội tiếp và góc ở tâm · 0 2 BAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) (H.6) cùng chắn B»C ) (H.5) 6) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau: C O B y A x H.7 Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 30
31. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM 1 x·AB=·ACB= A·OB 2 * Chú ý: Các khái niệm: góc nội tiếp (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung), cung, góc ở tâm là một “bộ ba” tương ứng. Khi giải toán cần xét quan hệ của “bộ ba” này 7) Định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Nếu góc BAx có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn · 1 »  xAB= sđAB 2  Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) (Định lý đảo của góc tạo bởi tia tiếp » · mà ABbên trong xAB tuyến và dây cung) BÀI 5. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN LÝ THUYẾT I. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn A · - AEB là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, D m ¼ ¼ chắn hai cung AmB và CnD O sđA·mB+sđC·nD E A· EB= n 2 F C B II. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn F$ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung A¼mB và C¼nD sđA·mB-sđC·nD F$= 2 III. TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT A A D O m O F n m n F B B sđA·mB-sđB·nD sđA·mB-sđA· nB F$= F$= 2 2 Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 31
32. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM BÀI 6. CUNG CHỨA GÓC LÝ THUYẾT I. ĐỊNH LÝ M y O Quỹ tích (tập hợp) các điểm M nhìn một đoạn thẳng AB cố định dưới một góc không đổi 00 900 , 2 cung chứa góc là 2 cung nhỏ AB * HỆ QUẢ. Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB BÀI TẬP Bài 1. Cho đường tròn (O; R) và A O . Vẽ liên tiếp các cung A»B,B»C,C»D sao cho: AB = R; BC = R2 ; CD = R 3 a) Tính số đo các cung nhỏ: A»B,B»C,C»D,D»A b) Các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở M. Tính OM và diện tích theo R c) Chứng tỏ rằng tứ giác ABCD là hình thang cân và tính diện tích theo R d) I, H là các điểm thuộc cung AD sao cho AH = DI và hai dây AH, DI cắt nhau ở N. Chứng minh rằng ON  AD Bài 2. Cho ∆ABC vuông ở A có Bµ = 600 và đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, I lần lượt là giao điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC với (O) a) Tính số đo các cung nhỏ: M¼N, NºI,I»M b) Tính độ dài FD, DE và diện tích ∆DEF theo R Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M, vẽ tiếp tuyến MT và hai cát tuyến MAB, MCD của (O). Chứng minh MT2 = MA.MB = MC.MD = OM2 – R2 Bài 4. Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên cung AB của (O’) nằm tròn (O) lấy điểm M, vẽ tiếp tuyến xMy của (O’). AM và BM cắt (O) tại C và D Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 32
33. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM a) Chứng minh CD // xy b) Gọi TS là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, T (O), S (O’). AB cắt TS tại I. Chứng minh I là trung điểm của TS c) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆BTS và V là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn (K). Chứng minh I là trung điểm của AV Bài 5. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC, điểm A di động sao cho B·AC= 600 và các đoạn thẳng AB, AC lần lượt cắt đường tròn tại 2 điểm D, E. BE cắt CD ở H a) Chứng minh H· ED =·HAD b) Tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (O) cắt nhau tại I. Chứng minh I AH c) Tính diện tích ∆DOE theo R và chứng minh rằng khi điểm A di động thì đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định d) Vẽ BM và CN lần lượt vuông góc với DE tại M và N. Chứng minh M, N nằm ngoài đường tròn (O) và OM = ON e) Xác định vị trí điểm A để tích BM.CN đạt giá trị lớn nhất Bài 6. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O); tia phân giác góc A cắt (O) ở S và cắt BC ở D a) Chứng minh OB2 – OD2 = DB.DC b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho BE = CF. Vẽ tiếp tuyến EM, FN của đường tròn (O). Chứng minh EM = FN 1 1 1 c) Nếu B·SC 600 . Chứng minh: + AD AB AC Bài 7. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Tia phân giác góc A cắt BC ở E và tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt (O) tại F. a) Chứng minh AB.AC – EB.EC = AE2 b) FO cắt (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh FD  BC và BD2 = AD.ED c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) nội tiếp ∆ABC. Chứng minh OI2 = R2 – 2Rr Bài 8. Cho A, B, C (O). Vẽ một đường thẳng song song với tiếp tuyến xy tại A, đường thẳng này cắt đoạn thẳng AB ở M và cắt đoạn thẳng AC ở N a) Chứng minh AB.AM = AC.AN b) Vẽ phân giác của B·AC cắt (O) ở D. Tiếp tuyến của (O) qua D cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở E và F. Chứng minh BC // EF c) Chứng minh ∆ADB ∽ ∆DFC d) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ADE Bài 9. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính AD; đường cao AH cắt (O) tại E, tia phân giác B·AC cắt (O) tại F a) Chứng minh AF là phân giác E·AD và BD = EC abc b) Chứng minh S = với S là diện tích và a, b, c là độ dài 3 cạnh của ∆ABC ABC 4R BC AC AB c) Chứng minh = = =2R sinB·AC sinA·BC sinB·CA d) Nếu cho BC cố định và A di động. Xác định vị trí điểm A để tích AB.AC lớn nhất e) Nếu cho A cố định và BC di động sao cho AB.AC = 3R2. Chứng minh BC luôn tiếp xúc với một đường cố định Bài 10. Cho đường tròn (O) và A là một điểm ở ngoài (O) (OA < 2R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của (O). (B và C là 2 tiếp điểm). Qua B, vẽ đường thẳng song song với AC cắt (O) ở D. AD cắt (O) ở E; BE cắt AC ở F, OA cắt BC ở S. Chứng minh: a) Chứng minh đường thẳng CE chứa phân giác B·EA b) Chứng minh F là trung điểm của AC c) Chứng minh AF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABE Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 33
34. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM d) Chứng minh A· SE = D· EO e) Gọi (O’) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C. Chứng minh E (O’) Bài 11. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài các đường cao này lần lượt cắt (O) tại G, I, K a) Chứng minh ∆KAI cân và BC là phân giác góc HBG b) Chứng minh OC  IG và OA  EF c) Vẽ hình bình hành BHCL. Chứng minh: L (O) d) Nếu AH = R. Khi đó hãy tính số đo góc B·AC e) Tính góc A·CB nếu CH = AB AG BI CK AH BH CH f) Chứng minh + + = 4 và + + 3 AD BE CF BC AC AB Bài 12. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB R. Vẽ tia tiếp tuyến Bx sao cho: A· Bx >900 . Trên tia Bx, lấy BC = BA; AC cắt (O) tại D. Từ D vẽ đường thẳng song song BC cắt (O) tại E a) Chứng minh DE là phân giác A·DB b) BD cắt EC tại I. Chứng minh OI  BD c) Vẽ đường cao BK của ∆OBC. Chứng minh: CK.CO = CD.CA Bài 15. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên cung AB lấy điểm C sao cho CA < CB. Vẽ tiếp tuyến xy tại C. Tia Cx cắt đường thẳng AB ở M. Đường cao CH của ∆ACB cắt (O) ở K a) Chứng minh MK là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) Chứng minh CB là tia phân giác của K· Cy c) Gọi S là diện tích của tứ giác MCBK. Chứng minh: MB+CK 2 2S d) Vẽ cát tuyến MDE của đường tròn (O) (D A»K ; D nằm giữa M và E). Gọi N là trung điểm của DE. 1 Chứng minh CD.KE = CK.DE 2 e) Cho biết O·AC= 600 ) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MCK và số đo góc ONC nếu cát tuyến MDE không qua tâm Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 34
35. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM 1 1  ) Xác định vị trí của cát tuyến MDE để + có giá trị nhỏ nhất NK NC Bài 16. Cho ∆ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). M là một điểm di động trên cung BC. AM cắt BC tại I 1 1 1 a) Chứng minh = + b) Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 MI MB MC c) Xác định vị trí của M để: ) MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất  ) IA.IM đạt giá trị lớn nhất Bài 17. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài (O). Vẽ đường tròn (O’) đường kính OA cắt (O) tại 2 điểm B và C a) Chứng minh: AB, AC là tiếp tuyến của (O) b) Vẽ đường kính CD của (O). DB cắt (O’) ở E. Tính số đo góc CAE và độ dài AE theo R c) Vẽ cát tuyến AFG của (O) cắt (O) tại H (F nằm giữa A và G). Chứng minh H là trung điểm của GF và HA là phân giác của B·HC d) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng EO với đường tròn (O). Chứng minh EO; BI lần lượt là tia phân giác của B·EC;C·BE e) Cho biết AB = R3 và J là giao điểm của OE với AB. Tính tỉ số diện tích ∆BJE và diện tích ∆AJO Bài 18. Cho đường tròn (O) và A là một điểm ở ngoài (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC của (O). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng OM, nó cắt các đường thẳng MB, MC lần lượt ở D, E. Chứng minh: a) Bốn điểm D, E, B, C cùng thuộc một đường tròn b) BE, OM, CD đồng qui tại một điểm là I và I (O) Bài 19. Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau ở I. Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp ∆AIB và đường tròn (O’) ngoại tiếp ∆DIC. Chứng minh rằng (O) và (O’) tiếp xúc nhau Bài 20. Cho đường tròn (O) và A là một điểm ở ngoài (O). Vẽ đường tròn (O’) đường kính OA cắt (O) ở B và C, vẽ dây AM của (O’) cắt (O) ở N. Chứng minh rằng MN2 = MB.MC Bài 21. Trên cạnh CD của hình vuông ABCD ta lấy một điểm M (khác C và D). Các đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại một điểm thứ hai N (khác D). Tia DN cắt BC tại S. Chứng minh AC  SM Bài 22. Trên đường tròn (O); đặt các cung liên tiếp A»B;B»C;C»D có số đo lần lượt là 600; 900; 1200. Kéo dài CB, DA cắt nhau ở I a) Chứng minh AC  BD b) Tính A· IB c) Chứng minh ABCD là hình thang cân và tính các góc của hình thang d) Biết chiều cao hình thang ABCD là h. Tính SABCD theo h Bài 23. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định. M là một điểm di động trên nửa đường tròn. Trên tia MA lấy điểm N và trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho: MN = MK = MB. Chứng minh rằng khi M di động trên nửa đường tròn thì: a) K di động trên một đường cố định b) N di động trên một đường cố định BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp) II. ĐỊNH LÝ Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 35
36. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM - Thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 0 hai góc đối diện bằng 180 A ABCD nội tiếp đường tròn (O) B µ µ 0 A +C=180 µ µ 0 B+ D =180 - Đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối O diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được x đường tròn D C Aµ+Cµ=1800 ABCD nội tiếp đường tròn (O) III. CÁC CÁCH CHỨNG MINH MỘT TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1) Chứng minh 4 đỉnh tứ giác cách đều một điểm xác định. Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác A 2) Chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác B bằng 1800 α 3) Chứng minh các góc ngoài tại một đỉnh bằng α góc trong của đỉnh đối diện B·Cx =µA tứ giác ABCD nội tiếp (góc ngoài O bằng góc trong đối diện) 4) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc D C (cung chứa góc) D·AC= D· BC tứ giác ABCD nội tiếp (2 đỉnh kề nhau cùng nhìn DC dưới 2 góc bằng nhau) IV. CHÚ Ý • Hình thang nội tiếp được khi và chỉ khi nó là hình thang cân • Khi giải toán có tứ giác nội tiếp ta nên nghĩ đến: - Các cặp góc đối bù nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau BÀI 8. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA 1) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn 2) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 36
37. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM II. ĐỊNH LÝ B A C R Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một r đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường H D tròn nội tiếp O G E F Lưu ý: * Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau * Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều * Tâm của đa giác đều là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh kề bất kỳ của đa giác ấy * Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt: Aµ 300 450 600 1 2 3 sinA 2 2 2 3 2 1 cosA 2 2 2 3 tgA 1 3 3 III. CÁCH DỰNG CÁC ĐA GIÁC ĐỀU THƯỜNG GẶP (TAM GIÁC ĐỀU, HÌNH VUÔNG, LỤC GIÁC ĐỀU) B H R 2 1) Dựng hình vuông nội tiếp (O; R) - Dựng đường tròn (O; R) A C - Dựng hai đường kính vuông góc với nhau O - Nối các đỉnh liên tiếp của 2 đường kính D Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 37
38. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM B A R C 2) Dựng lục giác đều nội tiếp (O; R) R - Dựng đường tròn (O; R) 600 - Dùng compa, bán kính R; dựng liên tiếp các điểm A, B, C, D, E, F trên đường tròn với AB = O BC = CD = DE = EF = R - Nối các điểm đó được lục giác đều F D E B 3) Dựng tam giác đều nội tiếp (O; R) - Dựng đường tròn (O; R) R - Dựng các đỉnh A, B, C, D, E, F của lục giác đều 1200 (như trên) - Nối các đỉnh cách nhau bởi một đỉnh khác của O lục giác đều ta được tam giác đều A R 3 C BÀI 9. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN BÀI 10. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN LÝ THUYẾT I. CÔNG THỨC VỀ ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN Gọi C là chu vi đường tròn (O; R) [hoặc độ dài đường tròn (O; R)]; l là độ dài một cung n0 C Ta có: = π [π đọc là pi (là số vô tỉ)]. π 3,141592 2R 22 Trong thực hành người ta thường lấy π 3,14 hay π 7 * Độ dài C của một đường tròn (O; R): C= 2πR 2πR πR O * Cung 10 có độ dài là: = 360 180 R πRn * Cung n0 có độ dài l là: l B 180 A n0 II. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 38
39. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM 1) Diện tích hình tròn (O; R) là: S= πR 2 O 2) Hình quạt (hình quạt tròn) là phần hình tròn bao gồm giữa một cung tròn và hai bán kính đi A n0 qua 2 mút của cung đó * Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n 0 πR 2n là: S(quạt AOB) = 360 O B Cũng có thể tính diện tích hình quạt tròn theo R độ dài l của cung A»B là: πR 2n πRn R R S(quạt AOB) = = . = l. 360 180 2 2 O 3) Hình viên phân là phần hình tròn bao gồm B giữa một cung và dây trương cung ấy n0 A Bài 24. Cho ∆ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Nối FE, ED, DF a) Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Các đường cao AD, BE, CF lần lượt cắt (O) tại A’, B’, C’. Chứng minh: * BH.BE + CH.CF = BC2 * H và A’ đối xứng qua BC * B’C’ // EF * DE.DF = DC.DB c) Xác định điểm K trên cung nhỏ BC để cho BHCK là hình bình hành d) Với K tìm được ở câu c. Gọi I là giao điểm của AK với EF. Chứng minh I·KE = I·CE Bài 25. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có B·AC= 450 và BC = 4cm. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H a) Tính diện tích ∆BOC b) Chứng minh tứ giác BFOE là hình thang cân c) Cho biết thêm A·CB = 750 . Tính diện tích ∆ABC và diện tích ∆AEF Bài 26. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho O·AO'>900 . Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt tại C và C’. Đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt tại D và D’ a) Chứng minh ba đường thẳng AB, DC, C’D’ đồng quy tại một điểm H và C·HD'= C·'BD' b) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BC’D c) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆BC’D Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 39
40. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM d) Chứng minh D, O, B, O’, C’ cùng thuộc một đường tròn e) Nếu sđ B»C = 900 và bán kính đường tròn (O’) là a. Tính BC’ theo a Bài 27. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) có các đường cao AD, BE, CF a) Chứng minh OA  EF b) Nếu dây cung AB cố định và C di động trên (O) sao cho ∆ABC vẫn nhọn. Khi đó chứng minh rằng đường thẳng đi qua C vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định 1 1 AB.BC.AC c) Ký hiệu S là diện tích, P là chu vi. Chứng minh rằng: S = R.P = . ABC 2 DEF 4 R Bài 28. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AD là đường cao. Qua D kẻ DE  AB, DF  AC (E AB, F AC) a) Chứng minh OA  EF b) AO cắt BC tại I. Qua I kẻ IM  AB, IN  AC (M AB, N AC). Chứng minh AD, EF, MN đồng quy Bài 29. Cho đường tròn (O) và I (O). Vẽ đường cao tâm I cắt đường tròn (O) tại A và B. Vẽ cát tuyến chung CAD, GAH, EBF sao cho: C, G, E (O); D, H, F (I). (A nằm giữa C và D; A nằm giữa G và H; B nằm giữa E và F). Các đường thẳng GC và DH cắt nhau tại M. Chứng minh: a) CE // DF b) Tứ giác MCBD nội tiếp c) ∆AEF cân Bài 30. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA > 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C (O)). Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D, AD cắt (O) tại E và cắt BC tại K. Gọi Ex là tia đối của tia EC a) Chứng minh Ex là tia phân giác góc B·EA b) Gọi S là trung điểm của DE. Tia BS cắt (O) tại T khác B. Chứng minh tứ giác SECT là hình bình hành c) BE cắt AC tại M. Gọi I là giao điểm của đường thẳng MK và DB, H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh I, O, C thẳng hàng và tứ giác HEMC nội tiếp d) Tính diện tích ∆BDC theo R, nếu biết OA = 3R Bài 31. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (B, C tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Đoạn thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (E khác D). Gọi H là giao điểm của OA và BC, I là trung điểm của DE. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt tia CB tại F a) Chứng minh 3 điểm O, I, F thẳng hàng b) Vẽ đường kính EM của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm B, I, M thẳng hàng c) Tia EH cắt đường tròn (O) tại T (T khác E). Chứng minh ba điểm B, O, T thẳng hàng d) Gọi S là trung điểm của HA. Chứng minh ba điểm B, E, S thẳng hàng Bài 32. Cho đường tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB của (O) và cát tuyến SCD (C nằm giữa S và D). Vẽ AE // CD (E (O)) a) Chứng minh BE đi qua trung điểm I của CD b) Gọi H là giao điểm của AB và OS. Chứng minh S·HC=·OHD c) Chứng minh tiếp tuyến tại C, tiếp tuyến tại D và AB đồng qui d) Vẽ tia SB cắt tia AD tại F biết D là trung điểm của AF. Chứng minh AB = CD Bài 33. Cho đường tròn (O) và S là một điểm ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B là các tiếp điểm), OS cắt AB tại H. Qua S vẽ cát tuyến SCE của đường tròn (O) (C, E (O); C nằm giữa S và E) sao cho đường thẳng SE cắt đoạn thẳng AH. Qua C kẻ đường thẳng song song với AE, đường thẳng này cắt SA, AB lần lượt tại M, N. Chứng minh: CM = CN Bài 34. Cho đường tròn (O) và S là một điểm ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B là các tiếp điểm), OS cắt AB tại H. Qua S vẽ cát tuyến SCE của đường tròn (O) (C, E (O); C nằm giữa S và E) sao cho đường thẳng SE cắt đoạn thẳng HB tại D. Đường thẳng SO cắt đường tròn (O) tại F, V (F nằm giữa S và V) a) Chứng minh FS.VH = EH.SC b) Đường thẳng đi qua D và song song với CH cắt SO tại T, ET cắt CH tại N. Chứng minh AN // CB Bài 35. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ một điểm M thuộc tia đối của tia AB, vẽ tiếp tuyến MC, MD (C, D (O)). Vẽ CE  DB tại E. Gọi F là trung điểm của CE, BF cắt (O) tại điểm thứ hai G. Gọi H là giao điểm của AB và CD. Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 40
41. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM a) Chứng minh tứ giác CGHF nội tiếp b) Chứng minh tứ giác MGHD nội tiếp c) Chứng minh BM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆MGC d) Cho CG cắt MH tại S. Chứng minh S là trung điểm của MH Bài 36. Cho ∆ABC có Bµ và Cµ là các góc nhọn (AB < AC); đường cao AH và trung tuyến AM; biết B·AH = M· AC . Gọi E là trung điểm của AB a) Chứng minh AEHM là tứ giác nội tiếp b) Trung trực của BC cắt AC ở D. Chứng minh ADMB là tứ giác nội tiếp và AB2 + AC2 = 2AC.DC c) Gọi F là điểm đối xứng của D qua A, gọi N là giao điểm của MA và BF. Chứng minh BN = AC Bài 37. Cho đường tròn (O) và S là một điểm ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B là các tiếp điểm), OS cắt AB tại H. Qua S vẽ cát tuyến SCD của đường tròn (O) (C, D (O); C nằm giữa S và D) sao cho đường thẳng SD cắt đoạn thẳng HB tại T. Vẽ OI  CD tại I. Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại M và N (I nằm giữa O và M), MT cắt (O) tại V a) Chứng minh S, V, N thẳng hàng b) HI cắt BD và AC lần lượt tại E và K. Chứng minh BE.KC = DE.KA Bài 38. Cho ∆ABC cân ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc AC tại C. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H (D thuộc cung nhỏ BC) a) Chứng minh HO.HA = HD.HE b) Chứng minh ADOE là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh B·AD = C·AE d) AE cắt (O) tại F, FH cắt (O) tai I. Chứng minh A, D, I thẳng hàng Bài 39. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên cung AB và một điểm C nằm giữa A và B. Đường thẳng vuông góc với MC tại M cắt 2 tiếp tuyến Ax, By của (O) theo thứ tự tại P, Q. Gọi giao điểm của AM với CP, BM với CQ theo thứ tự là R, S a) Chứng minh RS // AB b) Chứng minh rằng nếu RC.RP = SC.SQ thì ∆RMS vuông cân c) Xác định vị trí điểm C trên AB để cho tứ giác ARSC là hình bình hành Bài 40. Cho đường tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB của (O) và cát tuyến SCD. Vẽ OI  CD ở I. M là một điểm thuộc dây cung AB (M ≠ A; M ≠ B). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt SA, SB lần lượt tại E, F SC AC2 a) Chứng minh SA2 =SI2 -IC2 và = SD AD2 b) Chứng minh M là trung điểm của EF c) N là điểm thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến tại N cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. OP và OQ cắt AB lần lượt tại T và V. Chứng minh tứ giác TPQV nội tiếp d) Chứng minh ON, PV, QT đồng quy Bài 41. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC; M là một điểm thuộc cung AC. Gọi H, I, K thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC, BC a) Chứng minh 3 điểm H, I, K thẳng hàng (đường thẳng HIK gọi là đường thẳng Simson) b) N là một điểm di động trên cung BC cố định không chứa A. Gọi D, E thứ tự là chân các đường vuông góc vẽ từ N đến AB, AC. Xác định vị trí của N để DE lớn nhất Bài 42. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm di động trên cung nhỏ B»C . Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, BC, CA. Chứng minh rằng: a) D, E, F thẳng hàng b) Đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di động Bài 43. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) a) Chứng minh AD.BC + AB.CD = AC.B (Địh lý Ptolémée) b) Trong các tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) cố định. Tìm tứ giác có giá trị của tổng AB.CD + AD.BC lớn nhất c) Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD bất kỳ thì: AD.BC + AB.CD ≥ AC.BD (bất đẳng thức Ptolémée) Bài 44. Cho đường tròn (O) và BC là dây cung cố định không qua O. Xác định điểm A thuộc cung lớn BC để: Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 41
42. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM a) AB + AC lớn nhất b) AB + 2AC lớn nhất Bài 45. Gọi N là một điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB cố định. Vẽ nửa đường tròn (I; R) đường kính AN và nửa đường tròn (J; R’) đường kính BN. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài CD của (I) và (J) (C (I); D (J)). Tia AC và tia BD cắt nhau tại M a) Chứng minh rằng M di động trên một đường cố định khi N di động trên AB (N ≠ A, N ≠ B) b) Chứng minh tứ giác ACDB nội tiếp c) Tính diện tích tứ giác ICDJ theo R và R’; biết R < R’ d) Vẽ đường tròn (O; r) tiếp xúc với CD và tiếp xúc với hai đường tròn (I), (J). Tính r theo R và R’ Bài 46. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB không qua O có I là trung điểm của AB. Qua I, vẽ hai dây cung CD, EF sao cho CE, FD lần lượt cắt dây cung AB tại G, H. Chứng minh rằng: a) IG = IH (đây là bài toán “con bướm” đối với đường tròn) c) CE = DF khi và chỉ khi EG = DH Bài 47. a) Cho ∆ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, G là trọng tâm. Chứng minh rằng O, H, G thẳng hàng (đường thẳng này được gọi là đường thẳng Euler của ∆ABC) b) Trong ∆ABC, chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh, các chân đường cao, các trung điểm của các đoạn thẳng nối từ trực tâm tới mỗi đỉnh thuộc một đường tròn (đường tròn này được gọi là đường tròn chín điểm Euler của ∆ABC) c) Chứng minh rằng trong ∆ABC, đường thẳng Euler đi qua tâm đường tròn chính điểm Euler d) Gọi (O; R) là đường tròn ngoại tiếp và (I; r) là đường tròn nội tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng R 2 -2Rr = OI2 . (Hệ thức này được gọi là hệ thức Euler của ∆ABC). Suy ra rằng: R ≥ 2r Bài 48. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O); có cạnh 3cm a) Tính bán kính đường tròn (O) b) Tính cạnh lục giác đều ngoại tiếp đường tròn (O) Bài 49. Một đa giác đều nội tiếp (O; R = 2cm). Biết độ dài mỗi cạnh của nó là 2 3 cm. Tính diện tích của đa giác đều đó Bài 50. Cho đường tròn (O; R). Cho một dây cung AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và một dây cung BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (C và A ở cùng một phía với BO). Tính các cạnh của ∆ABC và đường cao AH của tam giác BAC theo R) Bài 51. Cho ∆ABC nội tiếp (O; R) có AB = R; AC = R2 (A B»C ). Vẽ đường cao BK của ∆ABC a) Tính BC, AK theo R b) Đường vuông góc với BC vẽ từ A cắt (O) ở D. Tính diện tích tứ giác ABDC theo R Bài 52. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, có cạnh là a a) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của lục giác b) Gọi M là một điểm bất kỳ trong ∆AOB. Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên OA, OB, CF. Chứng minh ∆HIK là tam giác đều Bài 53. Cho đường tròn (O; R) và điểm M sao cho OM = 4R. Vẽ tiếp tuyến MA (với A là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O; 2R) cắt tiếp tuyến MA tại B và C (B nằm giữa M và C) a) Tính sđ B»C và tính MB theo R b) Vẽ cát tuyến MNK của (O; 2R) sao cho N nằm giữa M và K; NK = 2R2 . Tính diện tích ∆MNO theo R Bài 54. Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R 3 a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB theo R b) Trên cung lớn A»B lấy điểm M (khác A và B). Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp ∆MAB. Chứng minh 4 đỉnh A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn Bài 55. Cho đoạn thẳng AH cố định và góc x·Ay = 600 quay quanh A (H  Ax, Ay). Đường thẳng qua H vuông góc với Ax tại D cắt Ay ở B và đường thẳng qua H vuông góc với Ay tại E cắt Ax ở C a) Chứng minh rằng DE và BC có độ dài không đổi khi x·Ay quay quanh A b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M thuộc một đường tròn cố định Bài 56. Cho ∆ABC nhọn, Aµ= 600 .Vẽ đường tròn (O; R) đường kính BC; (O) cắt AB tại E và AC tại D Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 42
43. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM a) Tính độ dài dây DE và độ dài cung nhỏ D»E theo R b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ D»E theo R Bài 57. Cho đường tròn (O; R); đường kính AB, vẽ dây AC = R3 ; dây AD = R2 sao cho C; D ở hai nửa đường tròn khác nhau đường kính AB. Tia AC, AD lần lượt cắt tiếp tuyến tại B ở E; F a) Tính độ dài cung A»C;B»D theo R b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c) Tính EF theo R d) Tính diện tích phần của ∆ABF nằm ngoài hình tròn (O) e) Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở I. Tính IC và diện tích phần của ∆AIC nằm ngoài hình tròn (O) Bài 58. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB = R2 của (O). Từ A, B vẽ các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C a) Tính độ dài cung nhỏ A»B và diện tích phần của tứ giác AOBC nằm ngoài hình tròn (O) b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ A»B và dây AB c) OC cắt cung nhỏ A»B tại I. Chứng minh: - AI là cạnh của hình bát giác đều nội tiếp (O; R) và tính độ dài cạnh này theo R - I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC và tính bán kính của I theo R d) Vẽ đường tròn (O’) đường kính AB. Tính diện tích phần hình tròn (O’) ở ngoài hình tròn (O) theo R Bài 59. Cho đường tròn (O); bán kính OA = R. Vẽ dây AC = R3 và cung AB có sđ A»B=300 (AC và AB ở hai bên AO) a) Tính độ dài cung A»C và độ dài cung B»C theo R b) Tính S∆AOB và độ dài dây AB theo R c) Chứng minh: OB // AC và tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ B»C theo R d) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ A»C theo R Bài 60. Cho nửa đường tròn (O; R); đường kính AB. Vẽ dây AC = R3 . Vẽ ra phía ngoài ∆ABC các nửa đường tròn (I) đường kính AC và (K) đường kính BC a) Tính SABC theo R b) Tính tổng diện tích 2 hình viên phân giới hạn bởi cung A»C , dây AC và cung B»C , dây BC của (O) theo R c) Tính tổng diện tích 2 hình trăng khuyết giới hạn bởi cung A»C của (O); nửa đường tròn (I) và cung B»C của (O); nửa đường tròn (K) theo R Bài 61. Trên một đường tròn (O; R), lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ một điểm A; các cung A»B,B»C,C»D sao cho sđ A»B= 600 , sđ B»C=900 , sđ C»D =1200 . Hai đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau tại I. Vẽ đường tròn tâm K đường kính BC a) Chứng minh I (K) b) Tính theo R diện tích hình tạo bởi đoạn AI, cung IºB của (K) và cung A»B của (O) c) Cho biết diện tích tứ giác ABCD bằng 50cm 2. Tính chu vi đường tròn (O), chu vi tứ giác ABCD theo cm Bài 62. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’) cắt nhau tại A và B có dây chung AB = R3 và O’A  OA. Vẽ đường kính AC của (O’). Tính theo R diện tích: a) Hình tròn (O’) b) Hình quạt BO’C c) Tứ giác OAO’B phần nằm ngoài hình tròn (O) d) Phần chung của hai hình tròn (O) và (O’) Bài 63. Cho đường tròn (O; R) và điểm S cố định sao cho OS = 2R. Vẽ các tiếp tuyến SA, SB (với A, B là các tiếp điểm) a) Tính chu vi đường tròn nội tiếp ∆SAB theo R b) Qua S vẽ đường thẳng d cắt (O) tại C, D (C nằm giữa S và D). Gọi E là trung điểm của CD. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp ∆ABE theo R Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 43
44. ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 CẢ NĂM c) Gọi I là tâm của đường tròn đường kính SC, J là tâm của đường tròn đường kính SD. Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng chu vi của hai đường tròn (I) và (J) đạt giá trị: * lớn nhất * nhỏ nhất Trong mỗi trường hợp, hãy tính tổng chu vi của (I) và (J) Thầy Thiên (zalo 0944158005) Trang 44