Đề cương môn Toán luyện thi vào Lớp 10 THPT

39 trang thaodu 3090

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương môn Toán luyện thi vào Lớp 10 THPT", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_on_luyen_vao_lop_10_thpt_mon_toan.doc

Nội dung text: Đề cương môn Toán luyện thi vào Lớp 10 THPT

TT MH: ANH NGỮ QUỐC TẾ VÀ BỒI DƯỠNG. VĂN HÓA: VĂN, TOÁN, LÝ, HÓA, ANH ĐT NÓNG: 0917188926 Cơ sở 1: Số 43A, đường Nguyễn Huy Oánh, Phường Trường Thi, tp Vinh, Nghệ An. Cơ sở 2: Số 22, đường Thái Phiên, phường Hồng Sơn, thành phố Vinh, Nghệ An. Cơ sở 3: Xã Nghi Phong, huyện Nghi Lộc, tỉnh Nghệ An. Cơ sở 4: Xã Nghi Ân, Tp Vinh, Nghệ An. PHẦN I: HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9 CHUYÊN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ: * BiÕn ®æi ®¬n gi¶n biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai a, §a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n: Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã A2 B A B , tøc lµ + NÕu A 0 vµ B 0 th× A2 B A B ; + NÕu A 0, ta cã B B C C( A B) - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A B2 , ta cã A B A B2 C C( A B) - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A B , ta cã A B A B e, C¨n bËc ba - Kh¸i niÖm c¨n bËc ba:C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a; Víi mäi a th× ( 3 a)3 3 a3 a a 3 a - TÝnh chÊt: Víi a < b th× 3 a 3 b ; Víi mäi a, b th× 3 ab 3 a.3 b ; Víi mäi a vµ b 0 th× 3 b 3 b f, KiÕn thøc bæ xung (*) Dµnh cho häc sinh kh¸ giái, häc sinh «n thi chuyªn 1. C¨n bËc n: C¨n bËc n (2 n N ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a a. C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1) - Mäi sè ®Òu cã mét vµ chØ mét c¨n bËc lÎ - C¨n bËc lÎ cña sè d¬ng lµ sè d¬ng - C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m - C¨n bËc lÎ cña sè 0 lµ sè 0 b. C¨n bËc ch½n (n = 2k ) - Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n - C¨n bËc ch½n cña sè 0 lµ sè 0 - Sè d¬ng cã hai c¨n bËc ch½n lµ hai sè ®èi nhau kÝ hiÖu lµ 2k a vµ 2k a c. C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc. - 2k 1 A. x¸c ®Þnh víi A 2k A. x¸c ®Þnh víi A 0 - 2k 1 A2k 1 A víi  A 2k A2k A víi  A - 2k 1 A.B 2k 1 A.2k 1 B víi  A, B 2k A.B 2k A .2k B víi  A, B mµ A.B 0 - 2k 1 A2k 1.B A.2k 1 B víi  A, B 2k A2k .B A .2k B víi  A, B mµ B 0 A 2k 1 A A 2k A - 2k 1 víi  A, B mµ B 0 2k víi  A, B mµ B 0, A.B 0 B 2k 1 B B 2k B m - m n A mn A víi  A, mµ A 0 m An A n víi  A, mµ A 0 1
CHUYÊN ĐỀ II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. §Þnh nghÜa : Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 bx c 0 trong ®ã x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè vµ a 0 II. C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai : Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac b b *) NÕu 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x ;x 1 2a 2 2a b *) NÕu 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x 1 2 2a *) NÕu 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. III. C«ng thøc nghiÖm thu gän : Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 bx c 0(a 0) vµ b 2b' ' b'2 ac b' ' b' ' *) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x ;x 1 a 2 a b' *) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x 1 2 a *) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. IV. HÖ thøc Vi - Et vµ øng dông : b 2 x1 x2 1. NÕu x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax bx c 0(a 0) th× : a c x x 1 2 a 2. Muèn t×m hai sè u vµ v, biÕt u + v = S, uv = P, ta gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 Sx P 0 (§iÒu kiÖn ®Ó cã u vµ v lµ S2 4P 0 ) c 3. NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : x 1;x 1 2 a c NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : x 1;x 1 2 a IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: 1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) 0 2. V« nghiÖm 0 5. Hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ P > 0 6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu > 0 vµ P 0 vµ P > 0 8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0) 0; S 0 9. Hai nghiÖm ®èi nhau 0 vµ S = 0 10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau 0 vµ P = 1 11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n a.c 0 CHUYÊN ĐỀ III: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT) A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Hµm sè bËc nhÊt a. Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b. Trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tríc vµ a 0 b. TÝnh chÊt: Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R vµ cã tÝnh chÊt sau: 2
- §ång biÕn trªn R khi a > 0 - NghÞch biÕn trªn R khi a 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x 0 + NÕu a 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - §å thÞ hµm sè y = ax2 (a 0) lµ mét Parabol ®i qua gèc täa ®é nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa dêi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ KiÕn thøc bæ xung C«ng thøc tÝnh to¹ ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A víi B víi A(x1, y1) vµ B(x2, y2). Khi ®ã 2 2 - §é dµi ®o¹n th¼ng AB ®îc tÝnh bëi c«ng thøc AB (xB xA ) (yB yA ) x x y y - Täa ®é trung ®iÓm M cña AB ®îc tÝnh bëi c«ng thøc x A B ; y A B M 2 M 2 Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã y ax2 - Täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh y mx n - Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Mét sè phÐp biÕn ®æi ®å thÞ Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ (C) - §å thÞ (C1): y = f(x) + b ®îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trôc tung b ®¬n vÞ - §å thÞ (C2): y = f(x + a) ®îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trôc hoµnh –a ®¬n vÞ - §å thÞ (C3): y = f(|x|) gåm hai phÇn + Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn ph¶i Oy, bá phÇn (C) n»m bªn tr¸i Oy + LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn ph¶i Oy qua Oy - §å thÞ (C4): y = |f(x)| gåm hai phÇn + Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn trªn Ox, bá phÇn (C) n»m bªn díi Ox + LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn trên Ox qua Oy. III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai. 3
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã: Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. CHUYÊN ĐỀ IV: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương pháp chung: Bước 1: Gọi ẩn phù hợp, đơn vị tính, điều kiện cho ẩn nếu có. Bước 2: Biểu đạt các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết. Bước 3: Lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 4: Giải phương trình, hệ phương trình lập được ở bước 3. Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận. CHUYÊN ĐỀ V: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A.1 HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c víi a, b, c R (a2 + b2 0) TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: Ph¬ng tr×nh bËc nh©t hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm. TËp nghiÖm cña nã ®îc biÓu diÔn bëi ®êng th¼ng (d): ax + by = c a c - NÕu a 0, b 0 th× ®êng th¼ng (d) lµ ®å thÞ hµm sè y x b b - NÕu a 0, b = 0 th× ph¬ng tr×nh trë thµnh ax = c hay x = c/a vµ ®êng th¼ng (d) song song hoÆc trïng víi trôc tung - NÕu a = 0, b 0 th× ph¬ng tr×nh trë thµnh by = c hay y = c/b vµ ®êng th¼ng (d) song song hoÆc trïng víi trôc hoµnh b. HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax by c HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ R a ' x b' y c ' Minh häa tËp nghiÖm cña hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Gäi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi ®ã ta cã  (d) // (d’) th× hÖ v« nghiÖm  (d)  (d’) = A th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  (d)  (d’) th× hÖ cã v« sè nghiÖm HÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng HÖ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm c. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ Quy t¾c thÕ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng tr×nh míi trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn  Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã råi suy ra nghiÖm cña hÖ d. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè Quy t¾c céng Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Nh©n hai vÕ cña mçi ph¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh b»ng nhau hoÆc ®èi nhau  ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (ph¬ng tr×nh mét Èn) 4
 Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho A.2 HÖ ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai - NÕu hai sè x vµ y tháa m·n x + y = S, x.y = P (víi S2 4P) khi ®ã hai sè x, y lµ ngh cña pt: x2 + SX + P = 0 A.3 KiÕn thøc bæ xung 1. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1 a. §Þnh nghÜa: HÖ hai ph¬ng tr×nh hai Èn x vµ y ®îc gäi lµ ®èi xøng lo¹i 1 nÕu ta ®æi chç hai Èn x vµ y ®ã th× tõng ph¬ng tr×nh cña hÖ kh«ng ®æi C¸ch gi¶i: §Æt S = x + y, P = x.y, §k: S2 4P Gi¶i hÖ ®Ó t×m S vµ P Víi mçi cÆp (S, P) th× x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 – St + P = 0 x y xy 7 x y xy 1 0 x y x2 y2 8 VÝ dô: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ; ; 2 2 2 2 x y xy 13 x y x y 22 xy(x 1)(y 1) 12 A.2 HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2 b. §Þnh nghÜa: HÖ hai ph¬ng tr×nh hai Èn x vµ y ®îc gäi lµ ®èi xøng lo¹i 2 nÕu ta ®æi chç hai Èn x vµ y th× ph¬ng tr×nh nµy trë thµnh ph¬ng tr×nh kia vµ ngîc l¹i C¸ch gi¶i: Trõ vÕ theo vÕ hai ph¬ng tr×nh trong hÖ ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh hai Èn BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh hai Èn võa t×m ®îc thµnh ph¬ng tr×nh tÝch Gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch ë trªn ®Ó biÓu diÔn x theo y (hoÆc y theo x) ThÕ x bëi y (hoÆc y bëi x) vµo 1 trong 2 ph¬ng tr×nh trong hÖ ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh mét Èn Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa t×m ®îc rßi suy ra nghiÖm cña hÖ 2x y2 4y 5 x3 13x 6y VÝ dô: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 3 2y x 4x 5 y 13y 6x A.3 HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2 ax2 bxy cy2 0 c. §Þnh nghÜa: - HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai cã d¹ng: 2 2 a ' x b' xy c ' y 0 d. C¸ch gi¶i - XÐt xem x = 0 cã lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng - NÕu x 0, ta ®Æt y = tx råi thay vµo hai ph¬ng tr×nh trong hÖ - Khö x råi gi¶i hÖ t×m t - Thay y = tx vµo mét trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh mét Èn (Èn x) - Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn trªn ®Ó t×m x tõ ®ã suy ra y dùa vµo y = tx * Lu ý: ta cã thÓ thay x bëi y vµ y bëi x trong phÇn trªn ®Ó cã c¸ch gi¶i t¬ng tù e. VÝ dô x2 4xy y2 1 2x2 3xy y2 3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 2 2 y 3xy 4 x 2xy 2y 6 CHUYÊN ĐỀ VI: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng: a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx ; b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz ; c) x2 + y2 + z2 +3 2 (x + y + z) a b a’) x 2 y 2 2xy ; b’) x 2 y 2 xy dÊu( = ) khi x = y = 0 ; c’) x y 2 4xy ; d’) 2 b a a a a a n 2)BÊt ®¼ng thøc Cauchy (Cosi): 1 2 3 n a a a a Víi a 0 n 1 2 3 n i 2 2 2 2 2 2 2 3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski (BCS) a2 a2 an . x1 x2 n a1x1 a2 x2 an xn a b c aA bB cC a b c A B C 4) BÊt ®¼ng thøc Trª- B-SÐp: NÕu . A B C 3 3 3 a b c aA bB cC a b c A B C a b c NÕu . .DÊu b»ng x¶y ra khi A B C 3 3 3 A B C HÌNH HỌC 9 5
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. CHUYÊN ĐỀ VII: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Phần I: Lý thuyết cần nhớ: A I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Trong một tam giác vuông: a.AH 2 BH.CH Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền. b.AH.BC AB.AC Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền vớiB đườngH cao tương ứng.C c.AB2 BC.BH, AC 2 BC.HC Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu tương ứng của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. 1 1 1 d. Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh AH 2 AB2 AC 2 góc vuông. A II. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. AC AB Sin ,Cos BC BC 1. Các tỉ số lượng giác. AC AB tg ,Cotg B C AB AC Mẹo nhớ: “Sin Đi – Học, Cos Không – Hư, tg Đoàn – Kết, Cotg Kết – Đoàn” 2. Một số tính chất và đẳng thức lượng giác cần nhớ: a. Với góc nhọn (0o 90o ) thì 0 sin ,cos 1 sin cos 1 1 b. tg ,cot g ; c. tg ,cot g tg .cot g 1 cos sin cot g tg d. sin2 cos2 1 sin 1 cos2 ,cos 1 sin2 (Các bạn nhớ chỉ được lấy giá trị dương vì tuân theo tính chất a ở mục này) e. Với góc nhọn và sin sin   1 1 f. 1 tg 2 ,1 cot g 2 (Công thức này thầy đã chứng minh cho các bạn) cos2 sin2 3. Mối quan hệ lượng giác của các góc phụ nhau. A Nếu  90o thì các giá trị lượng giác của và  chéo nhau, tức là: s in c o s  , c o s s in  , tg c o t g  , c o t g tg  c b 4. Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. b a . sin B a . c o s C B a C c a . sin C a . c o s B b c.tg B c. c o t g C c b.tg C b. c o t g B Vậy: Trong một tam giác vuông: a. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với sin góc đối hoặc cos góc kề. b. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh góc vuông còn lại với tg góc đối hoặc cotg góc kề. Chú ý: Giải tam giác là khái niệm của việc đi tính số đo của các góc nhọn, độ dài các cạnh của một tam giác vuông. CHUYÊN ĐỀ VIII: GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN §êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®iÓm 0 cho tríc mét kho¶ng c¸ch R > 0 kh«ng ®æi gäi lµ ®êng trßn t©m 0 b¸n kÝnh R . KÝ hiÖu : ( 0 ; R) 2, VÞ trÝ t¬ng ®èi:* Cña mét ®iÓm víi mét ®êng trßn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× VÞ trÝ t¬ng ®èi HÖ thøc 6
M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn( O ; R ) hay M thuéc( O ; R) OM = R M n»m trong ( O ; R ) OM R * Cña hai ®êng trßn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc Hai ®êng trßn c¾t nhau 2 R – r R + r +®êng trßn lín ®ùng ®êng trßn nhá : d < R -r 3 . TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn : a. §Þnh nghÜa : ®êng th¼ng d ®îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn nÕu nã chØ cã mét ®iÓm chung víi ®êng ®ã . b, TÝnh chÊt : + TÝnh chÊt 1 : NÕu mét ®êng th¼ng lµ mét tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm . + TÝnh chÊt 2 : NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th× giao ®iÓm nµy c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm vµ tia kÎ tõ giao ®iÓm ®ã qua t©m ®êng trßn lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn . c, C¸ch chøng minh : C¸ch 1 : chøng minh ®êng th¼ng ®ã cã mét ®iÓm chung víi ®êng trßn ®ã . C¸ch 2 : chøng minh ®êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã t¹i mét ®iÓm vµ ®iÓm ®ã thuéc ®êng trßn . 4 . Quan hÖ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y cung : * §Þnh lÝ 1 : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy ra thµnh hai phÇn b»ng nhau . * §Þnh lÝ 2 : §g kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy. 5 . Quan hÖ gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m : * §Þnh lÝ 1 : Trong mét ®êng trßn hai d©y cung b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m . * §Þnh lÝ 2 : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau cña mét ®êng trßn, d©y cung lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n . CHUYÊN ĐỀ IX: GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒN 1, C¸c lo¹i gãc trong ®êng trßn: - Gãc ë t©m ; - Gãc néi tiÕp ; - Gãc cã ®Ønh ë bªn trong hay bªn ngoµi ®êng trßn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * §Þnh lÝ 1: §èi víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn: a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr¬ng hai cung b»ng nhau. * §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n. 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tø gi¸c néi tiÕp mét ®êng trßn lµ tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn . §¬ng trßn ®ã ®îc gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c. b, C¸ch chøng minh : * C¸ch 1: chøng minh bèn ®Ønh cña tø gi¸c cïng thuéc mét ®êng trßn * C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800 * C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau nh×n c¹nh ®èi diÖn díi cïng mét gãc. 4, Chu vi, diÖn tÝch h×nh trßn: 7
a) Độ dài đường tròn, cung tròn. * Độ dài đường tròn: C = 2 R. Rn * Trên đường tròn bán kính R, độ dài  của cung tròn n là:  180 Diện tích hình tròn và quạt tròn. Diện tích hình tròn: S = R2 R 2 n  R Diện tích hình quạt tròn bán kính R cung n0 S = hay S = 360 2 B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI MẪU: CHUYÊN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 3- 3 3+ 3 5 + 5 - 1 Bài 1: Tính: a. A= + ; b. B = + ; c. C= 5. + . 20+ 5 2- 3 + 2 2 2+ 3 - 2 2 5 - 5 + 2 3 - 3 3 + 3 2( 3 - 3) 2( 3 + 3) HƯỚNG DẪN GIẢI:a. A = + = + 2- 3 + 2 2 2+ 3 - 2 2 4- 2 3 + 4 4+ 2 3 - 4 2( 3 - 3) 2( 3 + 3) 2( 3 - 3)2 + 2( 3 + 3)2 24 2 = + = = = - 4 2 3 - 1+ 4 3 + 1- 4 3- 9 - 6 5 + 5 - (5 + )2 + (5 - )2 25 + 10 + 5 + 25 - 10 + 5 60 b. B = + = = = = 3 5 - 5 + (5 - )(5 + ) 25 - 5 20 1 1 5 2 c. C = 5. + . 20 + 5 = 5. + . 4.5 + 5= 5 + 5 + 5 = 3 5 2 2 5 2 1 1 x 1 Bài 2: Cho biểu thức A = : 2 x x x 1 x 1 1 a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A b, Tim giá trị của x để A = . 3 b) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x x 1 x 1 x 1 HƯỚNG DẪN GIẢI:a). Đk 0 x 1 ; Với đk đó, ta có: A : 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 3 9 9 1 b). Để A = thì x x (thỏa mãn điều kiện). Vậy x thì A = 3 x 3 2 4 4 3 x 1 1 c). Ta có P = A - 9x = 9 x 9 x 1 x x 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x 2 9 x. 6 x x 1 1 Suy ra: P 6 1 5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x x x 9 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P 5 khi x 9 x 4 Bài 3: 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên 8
36 4 10 5 HƯỚNG DẪN GIẢI: 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 36 2 8 4 x( x 4) 4( x 4) x 2 (x 16)( x 2) x 2 2) Với x 0, x 16 ta có : B = = x 16 x 16 x 16 (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 3) Ta có: ( 1) . 1 . . B A x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B(A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18  x y xy Bài 4: Cho biÓu thøc: P ( x y )(1 y ) x y ) x 1 x 1 1 y a). T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P. b). T×m x,y nguyªn tháa m·n ptr×nh P = 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 . x(1 x) y(1 y ) xy x y (x y) x x y y xy x y P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x x 1 y x 1 y 1 x 1 x x y 1 x 1 y 1 x 1 y x y y y x x 1 y 1 y y 1 y x xy y. 1 y 1 y VËy P = x xy y. b) ĐKXĐ: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 ; P = 2 x xy y. = 2 x 1 y y 1 1 x 1 1 y 1 Ta cã: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ x=4, y=0 vµ x=2, y=2 (tho¶ m·n). 2 x 9 2 x 1 x 3 Bài 5:Cho biÓu thøc M = . a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót x 5 x 6 x 3 2 x gän M; b, T×m x ®Ó M = 5 ; c, T×m x Z ®Ó M Z. 2 x 9 2 x 1 x 3 HƯỚNG DẪN GIẢI: M = x 5 x 6 x 3 2 x 2 x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 a.§K x 0; x 4; x 9 Rót gän M = x 2 x 3 x x 2 x 1 x 2 x 1 BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = = M x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 9
x 1 b. . M 5 5 x 3 x 1 5 x 3 x 1 5 x 15 16 4 x 16 x 4 x 16 4 §èi chiÕu §K:x 0; x 4; x 9 VËy x = 16 th× M = 5 x 1 x 3 4 4 c. M = 1 x 3 x 3 x 3 Do M z nªn x 3 lµ íc cña 4 x 3 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 LËp b¶ng gi¸ trÞ ta ®îc: x 1;4;16;25;49 v× x 4 x 1;16;25;49 1 Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 a) Rút gọn biểu thức P ; b, Tìm a để P 0 và a ≠ 1 2 2 a 1 a 1 a 1 P ( )2 .( ) 2 2 a a 1 a 1 a a 1 ( a 1)2 ( a 1)2 P ( )2 . 2 a ( a 1)( a 1) a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 P ( )2 . 2 a a 1 (a 1)4 a 1 a P 4a a Vậy P = 1 a Víi a > 0 và a ≠ 1. Tìm a để P 0 và a ≠ 1 nên a > 0 a 1 - a => P = 1 ( TMĐK) a a b Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) : a - a) Rút gọn Q ; b, Xác định giá trị của Q khi a = 3b a a b a + a a - a b a - b ()2 HƯỚNG DẪN GIẢI:a, Rút gọn: Q = - ( 1 + ) : = - . = - = = = a - b b, Khi có a = 3b ta có: Q = = = 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 Bài 8: Cho biểu thức A . : 3 3 x y x y x y x y xy a ) Rút gọn A;b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > 0 , y > 0; a) 3 3 1 1 2 1 1 x y x x y y x y 2 x y x y x xy y xy x y A . : . : 3 3 xy x y x y x y x y xy xy x y xy x y 2 2 x y x y x y x y xy x y : . . xy xy xy x y xy x y xy 1 0
2 b) Ta có x y 0 x y 2 xy 0 x y 2 xy . x y 2 xy 2 16 Do đó A 1 ( vì xy = 16 ) xy xy 16 x y Vậy min A = 1 khi x y 4. xy 16 1 x 3 2 x 2 Bài 9: Cho biểu thức: P x x 1 x 1 2 2 x 2x x a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn bthức P. c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 . x 0 x 0 x 1 HƯỚNG DẪN GIẢI: a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : x 1 0 x 1 x 2 x 2 2 x 0 x 3 x 3 x 1 2 0 1 x 3 2 x 2 b) Đkxđ : x 1;x 2;x 3 ; P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 x x 1 x 3 x 1 2 2 x . . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x c) Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta có: x 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 x 8x x 1 2 Bài 10: Cho biểu thức: P =( ) : ( ) ; a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của 2 x 4 x x 2 x x x để P = -1; c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x 3)P x 1 HƯỚNG DẪN GIẢI: a, Ta có: x 2 x x( x 2) x 0 x 0 x 0 4 x 8x x 1 2 + ĐKXĐ: ; + Với x > 0 và x 4 ta có: P = ( ) : ( ) 4 x 0 x 4 2 x x 4 x ( x 2) x x 2 0 4 x ( x 2) 8x x 1 2( x 2) : ( x 2)( x 2) x ( x 2 ) 4x 8x 8x x 1 2 x 4 : ( x 2)( x 2) x ( x 2) 4 x 8 x x 3 : ( x 2 )( x 2 ) x ( x 2 ) 4 x( x 2) x( x 2) . ( x 2)( x 2) 3 x 4 x. x( x 2) 1 (3 x)( x 2) 1 4x x 3
( Đk: x 9) 4x a, Với x > 0 , x 4, x 9 thì P = x 3 4x a) P = - 1 1 ( ĐK: x > 0, x 4, x 9 ) x 3 4x 3 x b) Đặt x y đk y > 0. 4x 3 x 0 2 Ta có ptr: 4y y 3 0 Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0 3 y1 1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), y ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0) 2 4 3 9 Với y x thì x = ( thoả mãn đkxđ) 4 16 9 Vậy với x = thì P = - 1 16 c) m( x 3)P x 1 (đk: x > 0; x 4, x 9 ) 4 x m ( x 3) x 1 x 3 m.4 x x 1 x 1 m 4 x ( Do 4x > 0) x 1 x 1 1 1 Xét 4 x 4 x 4 x 4 4 x Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ) 1 1 ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn) x 9 1 1 4 x 3 6 1 1 1 1 4 4 x 4 3 6 1 1 5 4 4 x 1 8 5 x 1 18 4x 5 Theo kết quả phần trên ta có : m x 1 18 m 4x 5 Kết luận: Với m , x 9 thì m( x 3)P x 1 18 CHUYÊN ĐỀ II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ Bµi 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a / 2x2 8 0 ; b / 3x2 5x 0 ; e / x3 3x2 2x 6 0 x 2 6 c / 2x2 3x 5 0 ; d / x4 3x2 4 0 ; f / 3 x 5 2 x 1 2
Gi¶i: a / 2x2 8 0 2x2 8 x2 4 x 2 . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 2 x 0 x 0 2 5 b / 3x 5x 0 x(3x 5) 5 . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 0;x 3x 5 0 x 3 3 c / 2x2 3x 5 0 5 5 NhÈm nghiÖm : Ta cã : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x 1;x 1 2 2 2 d / x4 3x2 4 0 . §Æt t x2 (t 0) . Ta cã ph¬ng tr×nh : t2 3t 4 0 a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 4 => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : t 1 0 (tháa m·n); t 4 0 (lo¹i) 1 2 1 Với: t 1 x2 1 x 1 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 1 e / x3 3x2 2x 6 0 (x3 3x2 ) (2x 6) 0 x2 (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x2 2) 0 x 3 0 x 3 x 3 2 2 x 2 0 x 2 x 2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 3;x 2 x 2 6 f / 3 (§KX§ : x 2;x 5 ) x 5 2 x x 2 6 Ph¬ng tr×nh : 3 x 5 2 x (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) 4 x2 6x 3x2 30 15x 6x 30 4x2 15x 4 0 152 4.( 4).4 225 64 289 0; 17 15 17 1 => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x (tháa m·n §KX§) 1 2.( 4) 4 15 17 x 4 (tháa m·n §KX§) 2 2.( 4) Bµi 2. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : x2 mx m 3 0 (1) a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 2. 2 2 3 3 b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. TÝnh x1 x2 ;x1 x2 theo m. 2 2 c/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x2 9 . d/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5. e/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = - 3. TÝnh nghiÖm cßn l¹i. f/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m. HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ Thay m = - 2 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã ph¬ng tr×nh : x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1 0 x 1 VËy víi m = - 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. 1 3
b/ Ph¬ng tr×nh : x2 mx m 3 0 (1) Ta có: m2 4(m 3) m2 4m 12 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : x1x2 m 3 (b) 2 2 2 2 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 ( m) 2(m 3) m 2m 6 3 3 3 3 3 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m c/ Theo phÇn b : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 2 2 2 Khi ®ã x1 x2 m 2m 6 2 2 2 2 Do ®ã x1 x2 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0 2 '(m) ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; (m) 4 1 4 1 4 => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : m 5;m 3 1 1 2 1 Thö l¹i : +) Víi m 5 7 0 => lo¹i. +) Víi m 3 9 0 => tháa m·n. 2 2 VËy víi m = - 3 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x2 9 . d/ Theo phÇn b : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : x1x2 m 3 (b) HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5 (c) Tõ (a) vµ (c) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : x1 x2 m 3x1 3x2 3m x1 3m 5 x1 3m 5 2x1 3x2 5 2x1 3x2 5 x2 m x1 x2 2m 5 x1 3m 5 Thay vµo (b) ta cã ph¬ng tr×nh : x2 2m 5 ( 3m 5)(2 m 5) m 3 6 m 2 15m 10 m 25 m 3 6 m 2 26 m 28 0 3m 2 13m 14 0 2 ( m ) 13 4.3.14 1 0 13 1 m 2 1 2.3 => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 13 1 7 m 2 2.3 3 Thö l¹i : +) Víi m 2 0 => tháa m·n. 7 25 +) Víi m 0 => tháa m·n. 3 9 7 VËy víi m 2;m ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5. 3 2 e/ Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x1 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6 Khi ®ã : x1 x2 m x2 m x1 x2 6 ( 3) x2 3 VËy víi m = 6 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = - 3. f/ Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3 VËy víi m < - 3 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. 1 4
g/ Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2. Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã : x1 x2 m m x1 x2 x1 x2 x1x2 3 x1x2 m 3 m x1x2 3 Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0 Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè m); a) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm b) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm duy nhÊt? t×m nghiÖm duy nhÊt ®ã? c) T×m m ®Ó (1) cã 1 nghiÖm b»ng 2? khi ®ã h·y t×m nghiÖm cßn l¹i(nÕu cã)? HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 a) + NÕu m-1 = 0 m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 x = (lµ nghiÖm) 2 + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) cã nghiÖm ’ = 3m-2 0 m 3 2 + KÕt hîp hai trêng hîp trªn ta cã: Víi m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 3 3 b) + NÕu m-1 = 0 m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 x = (lµ nghiÖm) 2 + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) cã nghiÖm duy nhÊt ’ = 3m-2 = 0 m = (tho¶ m·n m ≠ 1) 3 1 1 Khi ®ã x = 3 2 m 1 1 3 3 +VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2 2 víi m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3 3 c) Do ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 2 nªn ta cã: 3 (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m = 4 3 1 Khi ®ã (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) 4 4 3 3 Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = 12 x 6 m 1 1 2 4 3 VËy m = vµ nghiÖm cßn l¹i lµ x2 = 6 4 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m 2 2 d) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 +x2 10. e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 1 5
2 1 15 a) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = m 2 4 2 1 15 Do m 0 víi mäi m; 0 > 0 víi mäi m 2 4 Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Hay ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm) b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a.c -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Khi ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m S 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 (m 3) 0 m 3 VËy m < -3 d) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) 2 2 2 2 2 Khi ®ã A = x1 +x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 = 4(m-1) +2(m+3) = 4m – 6m + 10 Theo bµi A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0 m 0 m 0 3 m 3 2m 3 0 2 m 2 m 0 m 0 m 0 2m 3 0 3 m 2 3 VËy m hoÆc m 0 2 e) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 x2 2(m 1) x1 x2 2m 2 Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: . x1.x2 (m 3) 2x1.x2 2m 6 x1 + x2+2x1x2 = - 8 VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc m 8 x2 f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1 1 2x2 8 x2 1 VËy x1 (x2 ) 1 2x2 2 Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m lµ tham sè) a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n 3x1+2x2 = 1 1 1 c) LËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y1 x1 ; y2 x2 víi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ë x2 x1 trªn HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau ' 0 2 m 0 m 2 m 2 P 1 m 1 1 m 2 VËy m = 2 b) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 0 2 – m 0 m 2 (*) 1 6
Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3) x1 x2 2 2x1 2x2 4 x1 5 x1 5 Tõ (1) vµ (3) ta cã: 3x1 2x2 1 3x1 2x2 1 x1 x2 2 x2 7 ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho¶ m·n (*)) VËy m = -34 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m d) Víi m 2 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) 1 1 x1 x2 2 2m Khi ®ã:y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 (m≠1) x1 x2 x1 x2 m 1 1 m 1 1 1 1 m 2 y1 y2 (x1 )(x2 ) x1 x2 2 m 1 2 (m≠1) x2 x1 x1 x2 m 1 m 1 2 2 2m m y1; y2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: y - .y + = 0 (m≠1) 1 m m 1 Ph¬ng tr×nh Èn y cÇn lËp lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0 CHUYÊN ĐỀ III: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT) Baøi taäp 1: Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä cho Parabol (P) y 2x2 vaø ñöôøng thaúng (d) y=(m-2)x+1 vaø (d’)y=-x+3 (m laø tham soá ) . Xaùc ñònh m ñeå (P) ,(d) vaø (d’) coù ñieåm chung . 3 Giaûi: Ptrình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d’): 2x2=-x+3 2x2+x-3=0 (a+b+c=0) x 1; x 1 2 2 3 9 +Khi x=1 thì y=2 ; +Khi x thì y 2 2 3 9 Vaäy (d’) caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät A 1;2 & B ; 2 2 2 (m 2).1 1 m 3 A d Ñeå (P) ,(d) vaø (d’) coù ñieåm chung thì 9 3 1 B d (m 2)( ) 1 m 2 2 3 1 Vaäy vôùi m=3 hay m= thì (P) ,(d) vaø (d’) coù 1 ñieåm chung 3 Baøi taäp 2: Trong cuøng maët phaúng toaï ñoä , cho (P) : y x2 vaø ñöôøng thaúng (d) : y=mx+1 (m laø tham soá ).Xaùc ñònh m ñeå : a) (d) tieáp xuùc (P) b)(d) caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät . c) (d) vaø (P) khoâng coù ñieåm chung . Giaûi : Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø : x2+mx+1=0 (*) m2 4 2 m 2 a) (d) tieáp xuùc (P)khi phöông trình (*) coù nghieäm keùp 0 m 4 0 m 2 2 m 2 b) (d) caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät khi (*) coù 2 nghieäm phaân bieät 0 m 4 0 m 2 c) (d) vaø (P) khoâng coù ñieåm chung khi (*) voâ nghieäm 0 m2 4 0 2 m 2 x2 m 3 Baøi taäp 3: Cho (P) : y vaø (d) : y (m 1)x (m R) 2 2 2 2 Xaùc ñònh m ñeå (d) caét (P)taïi 2 ñieåm A(xA; yA) ; B(xB; yB) sao cho : x A x B 10 Giaûi: Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d)laø : 1 7
x2 3 m m 2 x (*) x2 2(m 1)x 3 m 0 2 2 2 2 1 15 1 15 ' m m m 0 4 4 2 4 Vaäy phöông trình (*) coù 2 nghieäm phaân bieät laø xA ; xB xA xB 2(m 1) Theo Vieùt ta coù : xA.xB 3 m 2 2 2 Dox A x B 0 xA xB 2xA.xB 0 4m2 6m 0 2m(m 3) 0 m 0;m 3 m 3 m 0;m 3 m 0 m 3 Vaäy vôùi thì (P) caét (d) taïi 2 ñieåm phaân bieät A;B m 0 x 2 Baøi taäp 4: Trong cuøng maët phaúng toaï ñoä , cho (P) : y , ñieåm M(0;2). 2 Ñöôøng thaúng (D) ñi qua M vaø khoâng truøng vôùi Oy . Chöùng minh raèng (d) caét (P)taïi 2 ñieåm phaân bieät sao cho A·OB 90o Giaûi: - Vì (D) ñi qua M(0;2) vaø khoâng truøng vôùi Oy neân coù daïng y=ax+b - M (D) neân: 2=a.0+b b=2 vaø (D): y=ax+2 2 x 2 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (D) laø : ax 2 x 2ax 4 0(*) 2 Vì phöông trình (*) coù heä soá a=1 ; c—4 (a.c<0) neân (*) coù 2 nghieäm phaân bieät xA xB 2a A(xA; yA) ; B(xB; yB) Theo heä thöùc Vieùt ta coù: xA.xB 4 x2 x2 Vì A (P) y A ;B (P) y B A 2 B 2 4 4 2 2 x 2 2 x OA2 x 0 y 0 x2 A ;OB2 x 0 y 0 x2 B A A A 4 B B B 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 x A x B 2 2 x A x B AB x A xB yA yB x A xB x A x B 2 2 4 x 4 x 4 Ta coù OA 2 OB 2 x 2 x 2 A B A B 4 Vaäy : OA 2 OB 2 AB 2 AOBvuoâng taïi O CHUYÊN ĐỀ IV: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP P.TRÌNH; HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Tìm vaän toác vaø chieàu daøi cuûa 1 ñoaøn taøu hoaû bieát ñoaøn taøu aáy chaïy ngang qua vaên phoøng ga töø ñaàu maùy ñeán heát toa cuoái cuøng maát 7 giaây . Cho bieát saân ga daøi 378m vaø thôøi gian keå töø khi ñaàu maùy baét ñaàu vaøo saân ga cho ñeán khi toa cuoái cuøng rôøi khoûi saân ga laø 25 giaây. HD Giaûi: 1 8
+/ Goïi x (m/s)laø vaän toác cuûa ñoaøn taøu khi vaøo saân ga (x>0) Goïi y (m) laø chieàu daøi cuûa ñoaøn taøu (y>0) +/ Taøu chaïy ngang ga maát 7 giaây nghóa laø vôùi vaän toác x (m/s) taøu chaïy quaõng ñöôøng y(m) maát 7 giaây. Ta coù phöông trình : y=7x (1) +/ Khi ñaàu maùy baét ñaàu vaøo saân ga daøi 378m cho ñeán khi toa cuoái cuøng rôøi khoûi saân ga maát 25 giaây nghóa laø vôùi vaän toác x (m/s) taøu chaïy quaõng ñöôøng y+378(m) maát 25giaây . Ta coù phöông trình : y+378=25x (2) y 7x +/ Kết hợp (1) và (2) ta ñöôïc heä phöông trình : y+378=25x +/ Giaûi ra ta coù : x=21 ; y= 147 (thoaû ÑKBT) Vaäy vaän toác cuûa ñoaøn taøu laø 21m/s; Chieàu daøi cuûa ñoaøn taøu laø : 147m Bài 2: Moät chieác thuyeàn xuoâi, ngöôïc doøng treân khuùc soâng daøi 40km heát 4h30 phuùt . Bieát thôøi gian thuyeàn xuoâi doøng 5km baèng thôøi gian thuyeàn ngöôïc doøng 4km . Tính vaän toùc doøng nöôùc ? HD Giaûi: +/ Goïi x (km/h)laø vaän toác cuûa thuyeàn khi nöôùc yeân laëng. Goïi y(km/h) laø vaät toác doøng nöôùc (x,y>0) 5 4 +/ Vì thôøi gian thuyeàn xuoâi doøng 5km baèng thôøi gian thuyeàn ngöôïc doøng 4km neân ta coù pT: x y x y 9 40 40 9 +/ Vì chieác thuyeàn xuoâi, ngöôïc doøng treân khuùc soâng daøi 40km heát 4h30 phuùt (= h) neân ta coù pt: 2 x y x y 2 5 4 Ta coù heä phöông trình : x y x y 40 40 9 x y x y 2 +/ Giaûi ra ta coù : x=18 ; y= 2(tmđk). Vaäy vaän toác doøng nöôùc laø 2 km/h Bài 3: Treân moät ñöôøng troøn chu vi 1,2 m, ta laáy 1 ñieåm coá ñònh A. Hai ñim chuyeån ñoäng M , N chaïy treân ñöôøng troøn , cuøng khôûi haønh töø A vôùi vaän toác khoâng ñoåi . Neáu chuùng di chuyeån traùi chieàu nhau thì chuùng gaëp nhau sau moãi 15 giaây. Neáu chuùng di chuyeån cuøng chieàu nhau thì ñieåm M seõ vöôït Nñuùng 1 voøng sau 60 giaây.Tìm vaän toác moãi ñieåm M, N ? HD Giaûi: +/ Goïi x(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm M Goïi y(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm N (x>y>0) +/ Khi chuùng di chuyeån traùi chieàu nhau , chuùng gaëp nhau sau moãi 15 giaây neân ta coù phöông trình : 15x+15y=1,2 (1) +/ Khi M,N di chuyeån cuøng chieàu nhau thì ñieåm M seõ vöôït N ñuùng 1 voøng sau 60 giaây neân ta coù phöông trình : 60x-60y=1 (2) 15x+15y=1,2 Ta coù heä phöông trình : 60x+60y=1 +/ Giaûi heä phöông trình ta coù x=0,05 ;y= 0,03 (thoaû ÑKBT) Vaäy vaän toác ñieåm M laø : 0,05m/s vaø vaän toác ñieåm N laø : 0,03m/s Bài 4: Moät chieác moâtoâ vaø oâtoâ cuøng ñi töø M ñeán K vôùi vaän toác khaùc nhau .Vaän toác moâtoâ laø 62 km/h coøn vaän toác oâtoâ laø 55 km/h . Ñeå 2 xe ñeán ñích cuøng 1 luùc ngöôøi ta ñaõ cho oâtoâ chaïy tröôùc 1 thôøi gian . Nhöng vì 1 lí do ñaëc bieät neân khi chaïy ñöôïc 2/3 quaõng ñöôøng oâtoâ buoäc phaûi chaïy vôùi vaän toác 27,5 km/h .Vì vaäy khi coøn caùch K 124km thì moâtoâ ñuoåi kòp oâtoâ . Tính khoaûng caùch töø M ñeán N . HD Giải: 1 9
+/ Goïi khoaûng caùch MK laø x km Goïi thôøi gian döï ñònh oâtoâ ñi tröôùc moâtoâ laø y (giôø) x x y 62 55 +/ Ta coù : 2 x x 124 3 3 x 124 y 65 27,5 62 94 +/ Giaûi heä naøy ta ruùt ra : x= 514km ; y 1 (h) 1705 Bài 5: Cho 3 voøi A,B,C cuøng chaûy vaøo 1 beå . Voøi A vaø B chaûy ñaày beå trong 71 phuùt Voøi A vaø C chaûy ñaày beå trong 63 phuùt .Voøi C vaø B chaûy ñaày beå trong 56 phuùt . a. Moãi voøi laøm ñaày beå trong bao laâu ? Caû 3 voøi cuøng môû 1 luùc thì ñaày beå trong bao laâu ? b. Bieát voøi C chaûy 10lít ít hôn moãi phuùt so vôùi voøi A vaø B cuøng chaûy 1 luùc . Tính söùc chöùa cuûa beå vaø söùc chaûy cuûa moãi voøi ? HD Giaûi: a) Voøi A laøm ñaày beå trong x phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/x beå ) Voøi B laøm ñaày beå trong y phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/y beå ) Voøi C laøm ñaày beå trong z phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/z beå ) 1 1 72 1 x y 1 1 Ta coù heä phöông trình : 63 1 x z 1 1 56 1 z y +/ Giaûi heä phöông trình ta ñöôïc : x=168 ; y=126 ; z=504/5 5 4 3 12 Neáu 3 voøi cuøng môû 1 luùc thì sau moãi phuùt ñaày beå. 504 504 504 3 voøi cuøng laøm ñaày beå sau : 42 phuùt 12 3 4 b)Goïi dung tích cuûa beå laø t phuùt thì moãi phuùt voøi C chaûy 5/504.t lít , voøi A vaø B chaûy ( ).t lít 504 504 5 3 4 5040 .Theo ñeà baøi ta coù phöông trình : t 10 t t 2520(l) 504 504 504 2 3.2520 Söùc chaûy voøi A : 15l / p 504 4.2520 Töông töï söùc chaûy voøi B : 20l / p 504 5.2520 söùc chaûy voøi C : 25l / p 504 Bài 6: Nhaân ngaøy 1/6 moät phaân ñoäi thieáu nieân ñöôïc taëng moät soá keïo .Soá keïo naøy ñöôïc chia heát va chia ñeàu cho caùc ñoäi vieân .Ñeå ñaûm baûo nguyeân taéc chia aáy , phaân ñoäi tröôûng ñeà xuaát caùch nhaän quaø nhö sau: Baïn thöù nhaát nhaän 1 caùi keïo vaø 1/11 soá keïo coøn laïi .Cöù tieáp tuïc nhö theá ñeán baïn cuoái cuøng thöù n nhaän nhaän n caùi keïo va. Hoûi phaân ñoäi thieáu nieân noùi treân coù bao nhieâu ñoäi vieân ? Moãi ñoäi vieân nhaän ñöôïc bao nhieâu caùi keïo ? 2 0
HD Giaûi: +/ Goïi soá ngöôøi trong phaân ñoäi laø a Soá keïo trong phaân ñoäi ñöôïc taëng laø x (a,x>0) x 1 +/ Ngöôøi thöù nhaát nhaän ñöôïc : 1 (keïo ) 11 x 1 x 2 1 1 1 Ngöôøi thöù hai nhaän ñöôïc : 2 (keïo ) 1 1 x 1 x 2 1 x 1 00 1 2 +/ Vì hai soá keïo baèng nhau vaø coù a ngöôøi neân ta coù : 11 11 x 1 a(1 ) x 11 +/ Giaûi heä naøy ta ñöôïc x=100 ; a=10 Bài 7: 12 ngöôøi aên 12 caùi baùnh .Moãi ngöôøi ñaøn oâng aên 2 chieác , moãi ngöôøi ñaøn baø aên 1/2 chieác vaø moãi em beù aên 1/4 chieác.Hoûi coù bao nhieâu ngöôøi ñaøn oâng , ñaøn baø vaø treû em ? HD Giaûi: +/ Goïi soá ñaøn oâng , ñaøn baø vaø treû em laàn löôït laø x,y,z.(Đơn vị: Người, x,y,z laø soá nguyeân döông vaø nhoû hôn 12) +/ Soá baùnh hoï laàn löôït aên heát laø : 2x ; y/2 ; z/4 (Bánh) x y z 12 2x 2y 2z 24 1 +/ Theo ñeà baøi ta coù heä phöông trình : y z 2x 12 8x 2y z 48 2 2 4 +/ Laáy (2) tröø (1) ta ñöôïc : 6x-z=24 (3) Vì x, z Z , 6x vaø 24 chia heát cho 6 , z cuõng chia heát cho 6 .Keát hôïp vôùi ñieàu kieän 0 0) 30 55 Löôïng axit nitôric chöùa trong dung dòch loaïi 1 laø x vaø loaïi 2 laø y 100 100 x y 100 +/ Ta coù heä phöông trình : 30 55 x y 50 100 100 +/ Giaûi heä naøy ta ñöôïc : x=20 ;y=80 12 Bài 9:Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì 5 người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? HD Giải: 12 Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK x 5 Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) 1 1 Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cv), người thứ hai làm được (cv) x x 2 2 1
12 12 5 Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được 1: = (cv) 5 5 12 1 1 5 x 2 x 5 Do đó ta có phương trình 5x 2 – 14x – 24 = 0 x x 2 12 x(x 2) 12 7 13 6 7 13 20 ’ = 49 + 120 = 169, , 13 => x (loại) và x 4 (TMĐK) 5 5 5 5 Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ. CHUYÊN ĐỀ V: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 6x 3 2y 5 y 1 x 1 Bài 1: Giải hệ phương trình:a. 4x 2 4y 2 y 1 x 1 u 2 2x 1 y 3u 2v 5 +/ Đặt u ,v . Hệ đã cho trở thành 1 y 1 x 1 2u 4v 2 v 2 2x 1 2 x 0 y 1 2x 2y 1 +/ Ta được hệ phương trình: 1 y 1 x 2y 1 y 2 x 1 2 1  Vậy S 0;  2  x(y 2) (x 2)(y 4) xy 2x xy 2y 4x 8 x y 4 x -2 b. Vậy hệ (x 3)(2y 7) (2x 7)(y 3) 2xy 6y 7x 21 2xy 7y 6x 21 x y 0 y 2 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (-2; 2) 2x y 3 Bài 2: (2,0 điểm) a, Giải hệ phương trình: x 3y 4 (m 2)x (m 1)y 3 b, Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm: ( m là tham số) x 3y 4 HD Giải: 2x y 3 2x y 3 5y 5 x 1 a) Giải hệ phương trình: x 3y 4 2x 6y 8 x 3y 4 y 1 Vậy, hệ phương trình có một nghiệm là: (1;1) m 2 m 1 m 2 m 1 3 1 3 3m 6 m 1 5 b) Hệ phương trình vô nghiệm khi: m 1 3 4 m 1 3 4m 4 9 2 3 4 Vậy m = -5/ 2 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3: 3x 2y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1. 3x y 4m 1 Giải: 2 2
Bài 3: (1,5 điểm) 3x 2y 1 3 3y 2 2y 1 7y 7 y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 x 3y 2 x 3y 2 x 1 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1. 3x y 4m 1 2x y m 1 5x 5m x m x m 3x y 4m 1 2x y m 1 2m y m 1 y m 1 Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0. Vậy với m > 0 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1. (m 1)x (m 1)y 4m Bài 4. (2,0 điểm) Cho hệ phương trình , với m R x (m 2)y 2 a. Giải hệ đã cho khi m –3 b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. HD Giải: Bài 4. a. Giải hệ đã cho khi m –3 2x 2y 12 x y 6 x 7 Ta được hệ phương trình x 5y 2 x 5y 2 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y với 7;1 b. Điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình: m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 1 m 2 m 1 m 2 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 Vậy phương trình có nghiệm khi m 1 và m 1 (m 1)x (m 1)y 4m m 1 Giải hệ phương trình khi x (m 2)y 2 m 1 4m 4m 2 4m x y x (m 1)x (m 1)y 4m x y m 1 m 1 m 1 . x (m 2)y 2 2 2 x (m 2)y 2 y y m 1 m 1 4m 2 2 Vậy hệ có nghiệm (x; y) với ; m 1 m 1 2x y 5m 1 Bài 5 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( m là tham số) x 2y 2 a) Giải hệ phương trình với m 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn: x2 2y2 1 . HD Giải: 2x y 4 4x 2y 8 5x 10 x 2 a) 1,0 điểm Với m 1 ta có hệ phương trình: x 2y 2 x 2y 2 x 2y 2 y 0 2x y 5m 1 4x 2y 10m 2 b) 1,0 điểm Giải hệ: x 2y 2 x 2y 2 2 3
5x 10m x 2m x 2y 2 y m 1 Có: x2 2y2 1 2m 2 2 m 1 2 1 2m2 4m 3 0 2 10 2 10 Tìm được: m và m 2 2 CHUYÊN ĐỀ VI: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC Bài 1:  x, y, z chøng minh r»ng: a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx 2 2 2 2 2 2 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 2 (x + y + z) Gi¶i: 1 a) Ta xÐt hiÖu x2 + y2 + z2 - xy – yz - zx= .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 2 1 =(x y) 2 (x z) 2 (y z) 2  0 ®óng víi mäi x;y;z R 2 V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx. DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz )= x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2 0 ®óng víi mäi x;y;z R VËy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z R . DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z )= x2 - 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2 -2z +1 = (x-1)2 + (y-1) 2 +(z-1)2 0. DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a b a b c a b c Bài 2: chøng minh r»ng : a) b) 2 2 3 3 Gi¶i 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 2 a b a 2ab b 1 2 2 2 2 a) Ta xÐt hiÖu = = 2a 2b a b 2ab 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 a b a b = a b 0 . VËy . DÊu b»ng x¶y ra khi a=b 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 1 2 2 2 b)Ta xÐt hiÖu =  a b b c c a  0 3 3 9 2 a 2 b 2 c 2 a b c VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c 3 3 Bài 3: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b 2 a) a 2 ab 4 b) a 2 b 2 1 ab a b c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e Gi¶i: b 2 a) a 2 ab 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 2 0 (bÊt ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng) 4 b 2 VËya 2 ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 4 b) a 2 b 2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b) a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng. 2 4
VËy a 2 b 2 1 ab a b . DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1 c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4a b c d e a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c 2 0 BÊt ®¼ng thøc ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Bài 4: Chøng minh r»ng: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 Gi¶i: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 a12 a10b 2 a 2b10 b12 a12 a8b 4 a 4b8 b12 a8b 2 a 2 b 2 a 2b8 b 2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 BÊt ®¼ng thøccuèi ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. x 2 y 2 Bài 5: Cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh 2 2 x y Gi¶i: x 2 y 2 2 2 v× :x y nªn x- y  0 x2+y2 2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 2 x+2 2 y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2 y -2 0 x2+y2+(2 )2- 2 2 x+2 2 y -2xy 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 (x-y-2 )2 0 §iÒu nµy lu«n lu«n ®óng . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Bài 6: Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: C¸ch 1:Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: x y 2 4xy Tacã a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. Vậy a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 a3 b3 c3 1 Bài 7: Cho a>b>c>0 vµ a 2 b 2 c 2 1 chøng minh r»ng b c a c a b 2 Gi¶i: 2 2 2 a b c Do a,b,c ®èi xøng ,gi¶ sö a b c a b c b c a c a b a b c a 2 b 2 c 2 a b c 1 3 1 ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã a 2 . b 2 . c 2 . . =. = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a 3 b3 c 3 1 1 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c= b c a c a b 2 3 Bài 8: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1. Chøng minh r»ng: a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 Gi¶i: Ta cã a 2 b 2 2ab ; c 2 d 2 2cd 1 Do abcd =1 nªn cd = ab 1 Ta cã a 2 b 2 c 2 2(ab cd) 2(ab ) 4 (1) ab 1 1 1 MÆt kh¸c: a b c b c d d c a =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = ab ac bc 2 2 2 ab ac bc Bài 9: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2 5
Gi¶i: Ta có: a c 2 b d 2 a 2 b 2 2 ac bd c 2 d 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 c 2 d 2 Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski Tacã ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2 (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Bài 10: Chøng minh r»ng a 2 b 2 c 2 ab bc ac Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã: 12 12 12 (a 2 b 2 c 2 ) 1.a 1.b 1.c 2 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ac a 2 b 2 c 2 ab bc ac §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c a b c d Bài 11: Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng 1 2 a b c b c d c d a d a b Gi¶i : a a a d Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã 1 (1) a b c a b c a b c d a a MÆt kh¸c : (2) a b c a b c d a a a d Tõ (1) vµ (2) ta cã (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i 0 a b c a2 a(b c) 2 a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0 b a c b b(a c) 2 0 c a b c c(a b) Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã a2+b2+c2 b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b2 b2 (c a)2 > 0 c > a-b c2 c2 (a b)2 0 Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®îc a 2b 2 c 2 a 2 b c 2 b 2 c a 2 c 2 a b 2  a 2b 2 c 2 a b c 2 b c a 2 c a b 2 abc a b c . b c a . c a b a b c 3 Bài 12: Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng (1) b c c a a b 2 Gi¶i : y z x z x y x y z §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= ; b = ; c = 2 2 2 2 6
y z x z x y x y z 3 y z x z x y ta cã (1) 1 1 1 3 2x 2y 2z 2 x x y y z z y x z x z y ( ) ( ) ( ) 6 x y x z y z y x z x z y BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng v× ( 2; 2 ; 2 nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh x y x z y z 1 1 1 Bài 13: Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c 0 x y z 1 1 1 1 Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã x y z 3.3 xyz ; 3. . 3 x y z xyz 1 1 1 1 1 1 x y z . 9 Mµ x+y+z y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng 8 x y 2 Gi¶i : 2 Ta cã x2 y 2 x y 2 2xy x y 2 2 (v× xy = 1) x2 y 2 x y 4 4. x y 2 4 Do ®ã B§T cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi 2 x y 4 4 x y 2 4 8. x y 2 x y 4 4 x y 2 4 0  x y 2 2 0 B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 1 1 2 Bài 15: Cho xy 1 .Chøng minh r»ng 1 x2 1 y 2 1 xy Gi¶i : 2 2 1 1 2 1 1 1 1 xy x xy y Ta cã 0 0 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 xy 1 x 1 y 1 y 1 xy 1 x . 1 xy 1 y . 1 xy x(y x) y(x y) y x 2 xy 1 0 0 1 x2 . 1 xy 1 y 2 . 1 xy 1 x2 . 1 y 2 . 1 xy B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 1 Bài 16: a. Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1. Chøng minh r»ng a2 b2 c2 3 1 1 1 b. Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh r»ng a b c . 9 a b c Gi¶i : a. ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c) 1 Ta cã 1.a 1.b 1.c 2 1 1 1 . a2 b2 c2 a b c 2 3. a2 b2 c2 a2 b2 c2 3 (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 1 1 1 a a b b c c a b a c b c b. a b c . 9 1 1 1 9 3 9 a b c b c a c a a b a c a c b x y ¸p dông B§T phô 2 Víi x,y > 0 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng y x 2 7
1 1 1 VËy a b c . 9 (®pcm) a b c Bài 17: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i : Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Vµ x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4 Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 4 (2) DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3 Bài 18: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1 Gi¶i : 1 1 V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã x+ y + z 33 xyz 3 xyz xyz 3 27 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã x y . y z . z x 33 x y . y z . x z 2 33 x y . y z . z x 1 8 1 8 DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z= VËy S . 3 27 27 729 8 1 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ khi x=y=z= 729 3 Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4 y4 z4 Gi¶i : ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z) 2 2 Ta cã xy yz zx 2 x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 (1) Ap dông B§T Bunhiacèpski cho (x2 , y2 , z2 ) vµ (1,1,1) (x2 y2 z2 )2 (12 12 12 )(x4 y4 z4 ) Ta cã (x2 y2 z2 )2 3(x4 y4 z4 ) 1 Tõ (1) vµ (2) 1 3(x4 y4 z4 ) x4 y4 z4 3 1 3 VËy x4 y4 z4 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi x=y=z= 3 3 Bµi 20: T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 Gi¶i : V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 0 2 2 2 y 3y 2 x xy 3y 3 z 2z 1 0 4 4 2 2 y y 2 x 3 1 z 1 0 (*) 2 2 2 2 y y 2 Mµ x 3 1 z 1 0 x, y R 2 2 2 8
y x 0 2 2 2 x 1 y y 2 y x 3 1 z 1 0 1 0 y 2 2 2 2 z 1 z 1 0 x 1 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ y 2 z 1 CHUYÊN ĐỀ VII: BÀI TẬP HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF HD GIẢI: A N 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: 0 0  CEH = 90 , CDH = 90 ( V× BE, AD lµ ®êng cao) 1 =>  CEH +  CDH = 1800 E P F 1 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã 2 CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp O H 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC - => BEC = 900. 1 ( B C 0 D 2 ( CF lµ ®êng cao => CF  AB => BFC = 90 . - Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC. M VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C 1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E 1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. 2 9
Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, A c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. 1 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . O 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 1 1 2 3. Chøng minh ED = BC. E 2 H 3 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. B 1 D C HD GIẢI: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao)  CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 4. V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mµ E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C vµ D. C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. y 1. Chøng minh AC + BD = CD. x D 0 2. Chøng minh COD = 90 . / AB2 I 3. Chøng minh AC. BD = . M 4 / 4. Chøng minh OC // BM C 5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh N CD. 6. Chøng minh MN  AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá A O B nhÊt. HD GIẢI: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3 0
3. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, AB2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K A lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. I 1 1 B 2 C H o K HD GIẢI: 1. V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B Do ®ã BI  BK hayIBK = 900 . T¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. 0 0 C2 + I1 = 90 (2) ( v× IHC = 90 ). I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 0 Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña 3 1
NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  d A MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña P OM vµ AB. K D 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. N 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn H O M mét ®êng trßn . I 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. C 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. B 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d HD GIẢI: 1. (HS tù lµm). 2. V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®êng kÝnh Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh vËy K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d lµ nöa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. VÏ E D ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng A AI = AH. I 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn 1 (A; AH). 2 4. Chøng minh BE = BH + DE. B H C HD GIẢI: 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tuyÕn cña BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax 3 2
vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp X N J tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. P 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®îc mét ®êng 1 trßn. I 2. Chøng minh BM // OP. M 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. K BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. 2 A 1 ( 1 ( O B HD GIẢI: 1. (HS tù lµm). 2. Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m AOM ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  2 AOM AOP = (2) 2 Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3. XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng X bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax I t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. F 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2 2) Chøng minh r»ng: AI = IM . IB. M 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. H E 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng K trßn. 1 2 2 1 A O B HD GIẢI: 3 3
1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). => KMF + KEF = 180 0 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D 2. Chøng minh  ABD =  DFB. thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). tiÕp. HD GIẢI: 1. C thuéc nöa ®êng trßn nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => BC  AE. X ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c E ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ), mµ AB lµ ®êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. C D F A O B 2. ADB cã ADB = 90 0 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ). => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . 3 4
ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 180 0 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn sao cho AM SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AMS = 900 . Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AS. VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H =>MM’// SS’(cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 0 0 mµ M3 + M2 = AMB = 90 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M. Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi A ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. D F BD BM O 4. CB CF HD GIẢI: I B M E C 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD s® cung DF DEF => DF // BC. AB AC 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn . 4. XÐt tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). 3 5
BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM  BDM  CBF => CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M C (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn ë P. Chøng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. M O 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn A B ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo. N A' P D B' HD GIẢI: 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 90 0; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC  NDC CM CO => => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi CD CN => CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. ®êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. ®iÓn A , VÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t 3. AE. AB = AF. AC. AB t¹i E, Nöa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa t¹i F. ®êng trßn HD GIẢI: 3 6
1. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) A => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) E => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) I 1 1 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) 2 ( F Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc 1 vu«ng). )1 2 B O1 H O2 C 2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn =>F 1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) 0 => B 1= F 1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 180 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) => AE AF AEF  ACB => AC AB => AE. AB = AF. AC. * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. 0 0 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 90 => E1 + E2 = O1EF = 90 => O1E EF . Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). 1. Chøng minh EC = MN. 2. Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng E trßn (I), (K). N 3. TÝnh MN. 3 1 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn H 2 1 M 1 2 1 A I C O K B HD GIẢI: 1. Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m K) => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) 0 0 Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 90 => N3 + N2 = MNK = 90 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, 3 7
VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). 3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã: 2 2 2 2 2 2 S(o) = .OA = 25 = 625 ; S(I) = . IA = .5 = 25 ; S(k) = .KB = . 20 = 400 . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC. ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. HD GIẢI: C C 2 1 1 2 3 O O D 3 E 2 S 1 1 E 2 S M D 2 M 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 90 0 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). ¼ ¼ D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. ¼ ¼ 4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => C»E C»S S¼M E¼M => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §êng trßn ®êng EBD. kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®êng thẳng CD, AE 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i F, G.Chøng minh : 3. AC // FG. 3 8
4. C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. HD GIẢI: 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c B ABC vu«ng t¹i A); DEB = 90 0 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB  CAB . 2. Theo trªn DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (v× hai gãc kÒ bï); O BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC E 0 + DAC = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi 1 tiÕp . F 1 G D 1 S A C * BAC = 90 0 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) hay BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 90 0 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. 3 9