›
›
›

Chuyên đề: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

pdf 80 trang thaodu 5290
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_bat_dang_thuc_boi_duong_hoc_sinh_gioi_thcs.pdf

Nội dung text: Chuyên đề: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

  1. Tailieumontoan.com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯƠNG HỌC SINH GIỎI THCS Sưu Tầm
  2. BẤT ĐẲNG THỨC I. BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI 2 DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH 2 DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP. 3 DẠNG 3: QUA MỘT BƢỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI 4 DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐƠI 7 DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP 7 DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐỐN KÊT QUẢ 10 DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN 13 II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 15 III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 18 DẠNG 1: ĐƢA VỀ BÌNH PHƢƠNG 18 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT 20 DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca 22 DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUƠN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH KHƠNG ÂM 22 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1 25 DẠNG 6 : DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU 27 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 75 I. BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI 75 II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 77 III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 77 1
  3. I. BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI 1. Dạng hai số khơng âm xy, Dạng tổng sang tích: x y2 xy . 2 xy xy Dạng tích sang tổng: xy hay xy . 2 2 xy22 Dạng lũy thừa: x22 y2 xy hay xy . 2 Dấu "" xảy ra xy. x2 1 Dạng đặc biệt: xx .1 . 2 2. Dạng ba số khơng âm x,, y z Dạng tổng sang tích: x y z 33 xyz . 3 x y z x y z Dạng tích sang tổng: 3 xyz hay xyz . 3 3 x3 y 3 z 3 Dạng lũy thừa: x3 y 3 z 3 3 xyz hay xyz . 3 Dấu xảy ra x y z . x3 11 Dạng đặc biệt: xx .1.1 . 3 3. Dạng tổng quát với n số khơng âm x12, x , , xn n Dạng tổng sang tích: x1 x 2 xnn n x 1 x 2 x . x x x x x x n n 12 n 12 n Dạng tích sang tổng: x12 x xn hay x12 x xn . n n xn x n x n Dạng lũy thừa: xn x n x n x x x hay x x x 12 n . 1 2nn 1 2 12 n n Dấu xảy ra x12 x xn . xnn 1 Dạng đặc biệt: xx .1.1 1 . n 1 n 4. Bất đẳng thức trung gian 1 1 4 xy 0, 0 . Dấu xảy ra xy. x y x y 1 1 1 9 x 0, y 0, z 0 . Dấu xảy ra x y z . x y z x y z DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH 1 Ví dụ 1. Cho x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 8 x2 4 x 15. 4x2 Lời giải 2
  4. 22 1 Cĩ T 4 x 4 x 1 4 x 2 14 4x 2 2211 21x 4 x 22 14024. x 1416 44xx 1 Vậy MinT 16 khi x 2 1 Ví dụ 2. Cho x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 4 x2 3 x 2011. 4x Lời giải 1 Cĩ M 4 x2 4 x 1 x 2010 4x 2 11 2x 1 x 2010 0 2 x . 2010 2011. 44xx Vậy MinM 2011 khi xy22 Ví dụ 2. Cho xy 0 và xy 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H . xy Lời giải 2 x22 y 22 xy xy xy 4 Cĩ H x y x y 44 x y 2 x y . 4 . x y x y 4 xy x y 2 yx 2 x 3 1 MinH 4 xy Vậy khi 2 . xy 2 xx 2 2 0 y 31 xy 2 DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP. Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh : a b 11 b a ab Lời giải 1 (b 1) b ab Cĩ b 1 1.( b 1) a b 1 ; 2 2 2 ab ab ab V| tƣơng tự: b a 1 a b 1 b a 1 ab đpcm 2 2 2 Dấu ‘=” xảy ra khi a = b = 2 11abc Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ 1. Chứng minh: ab c 1 bc a 9 ca b 4 12 Lời giải: Cĩ: 3
  5. bc ca abc 1 bca 9 cab 4 abc ( 1).1 . ( a 9).9 . ( b 4).4 32 (c 1)1 bc ( a 9)9 ca ( b 4)411 abc ab 2 3 2 2 2 12 Dấu “=” xảy ra khi a = 18, b = 8, c = 2 Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ 2. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: M = a b( a 2 b ) b a ( b 2 a ) Lời giải Xét: 3b ( a 2 b ) 3 a ( b 2 a ) a22 b Mababbabaa.3.3(2)3(2). b . 5 ab 2 2 2 a2 b 2 a 2 b 2 5. 6 M 2 3 22 Vậy MaxM = 2 3 khi a = b = 1 Ví dụ 4. Cho x 0 , y 0 và xy22 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 14 x 10 y y 14 y 10 x Lời giải Xét: P. 24 24 x 14 x 10 y 24 y 14 y 10 x 24x 14 x 10 y 24 y 14 y 10 x 24 xy .1 .1 22 x2 1 y 2 1 x 2 y 2 1 48 24 24 48 PP 4 6 . 2 2 2 24 Vậy MaxP 4 6 khi xy 1. Ví dụ 5. Cho x 0 , y 0 và xy x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y . Lời giải Từ xy x y x y x y 22 2211 4xy x y x y và x y xy x y 4 xy x y 2 2 2 4 2 x y 4 x y 0 x y 4. 22 x y 48 xy x y xy xy 2 Dấu "=" xảy ra khi x y 44 x y xy 4 x , y là hai nghiệm phƣơng trình t2 4 t 2 0 t 2 2 . Do x y x 22 , y 22. Vậy MinP 4 khi x 22, . DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI Ví dụ 1. Cho a , b , c 0 và ab bc ac 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 4
  6. abc P . abc2 1 2 1 2 1 Lời giải Thay 1 ab bc ac , ta đƣợc: abc P a2 ab bc ac b 2 ab bc ac c 2 ab bc ac abc abac babc cacb a a b b c c abac babc cacb a a b b c c abacbabccacb 2 2 2 a b a c b c abab acac bcbc 3 22 3 1 Vậy MaxP khi abc . 2 3 Ví dụ 2. Cho các số dƣơng a , b , c thỏa mãn abc 1. Chứng minh: ab bc ca 3 c ab a bc b ca 2 Lời giải ab bc ca ab bc ca Ta cĩ c ab a bc b ca c.1 ab a .1 bc b .1 ca ab bc ca cabc ab aabc bc babc ca ab bc ac acbc abac bcba a b b c c a accb abac bcba 13 a b b c c a ( đpcm). 22 cacb abac bcab Ví dụ 3. Cho a 0 , b 0, c 0 và ab bc ac 3 abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của a222 b c P . c c2 a 2 a a 2 b 2 b b 2 c 2 Lời giải a222 b c Cĩ P c c2 a 2 a a 2 b 2 b b 2 c 2 5
  7. a2 c 2 c 2 b 2 a 2 a 2 c 2 b 2 b 2 c c2 a 2 a a 2 b 2 b b 2 c 2 1c 1 a 1 b 2 2 2 2 2 2 c c a a a b b b c 1c 1 a 1 b c2c2 a 2 a 2 a 2 b 2 b 2 b 2 c 2 1111111111 ab bc ac 3 . ca2 ab 2 bc 2 2 abc 2 abc 2 3 Vậy MinP khi abc 1. 2 Ví dụ 4. Cho a 0 , b 0, c 0 và abc 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c T . 1 9b2 1 9 c 2 1 9 a 2 Lời giải a 1 9 b2 9 abb 2 1 9 c 2 9 bcc 2 1 9 a 2 9 ca 2 Cĩ T 1 9b2 1 9 c 2 1 9 a 2 9ab2 9 bc 2 9 ca 2 a 2 b 2 c 2 1 9b 1 9 c 1 9 a 9ab2 9 bc 2 9 ca 2 a b c 2 1.9b2 2 1.9 c 2 2 1.9 a 2 3 12 1 abc abbcac abc abc do abc 1 . 2 2 2 1 1 Vậy MinT khi abc . 2 3 1 1 1 1 Ví dụ 5. Cho a , b , c 0 và 2 . Chứng minh: abc . 1 abc 1 1 8 Lời giải 1 1 1 Cĩ 2 1 abc 1 1 1 1 1 b ccosi b c bc 1 1 2 . 2 . 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 b 1 c 1 b 1 c 1 ac 1 ab Tƣơng tự: 2 ; 2 . 1 b 1 a 1 c 1 c 1 a 1 b Nhân các bất đẳng thức dƣơng, cùng chiều ta đƣợc: 18abc 1 hay abc (đpcm). 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 8 6
  8. DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐƠI 1 1 1 Tách x y z x y y z z x . 2 2 2 xyz xy yz zx  x, y , z 0. Ví dụ 1. Cho a 0 , b 0, c 0 và abc2 2 2 1. Chứng minh: ab bc ac bc ca ab a) abc ; b) 3 . c a b a b c Lời giải ab bc ac1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc a) Cĩ c a b2 a b 2 b c 2 c a 1bc ca 1 ca ab 1 ab bc .2 . . . . . abc (đpcm). 2a b 2 b c 2 c a 2 2 2 2 2 2 2 bc ca ab bc ca ab 2 2 2 b) Xét 2 2 2 2 abc a b c a b c 1 bcca2222 1 caab 22 22 1 abbc 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2 b c 2 c a 1bcca2222 1 caab 2222 1 abbc 2222 .2 . .2 . .2 . 2a2 b 2 2 b 2 c 2 2 c 2 a 2 bc ac ab abc2 2 2 23 , do đĩ 3 (đpcm). ab2 Ví dụ 2. Cho abc,, l| độ d|i ba cạnh của ABC . Chứng minh (abcbcacab )( )( ) abc . Lời giải Vì l| độ d|i ba cạnh của nên a bc 0,bca 0,ca b 0 . ()()a b c b c a Cĩ 0 (a b c )( b c a ) b ; 2 ()()b c a c a b 0 (b c a )( c a b ) c ; 2 (c a b) (a b c) 0 (c a b)(a b c) a ; 2 Nh}n ba đẳng thức dƣơng cùng chiều ta đƣợc (abcbcacab )( )( ) abc (điều phải chứng minh). DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đốn giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến. Bước 2: Kẻ bảng xác định số nào sẽ đi với nhau. Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cơ-si. 5 Ví dụ 1. Cho a 2 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức Pa 2 . a Lời giải Phân tích bài tốn 7
  9. a 2 3 4 13 23 37 P 6,5 7,7 9,25 2 3 4 13 Từ bảng thứ nhất dự đo{n minPa 2. 2 1 a a 1 a 2 2 2 1 a 5 5a Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với . a 4 a 4 Trình bày lời giải 55a 3 a 553 a a 3 a 3.213 Cĩ Pa 2  5 5 ( do 2) . aa4 4 4 4 4 4 2 55a 13 Vậy min P khi a 4 a 2 (thỏa mãn). 2 a 2 6 24 Ví dụ 2. Cho xy 0, 0 và xy 6. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức F x y . xy Lời giải Phân tích bài tốn (xy ; ) (1 ; 5) (2 ; 4) (3 ; 3) (4 ; 2) (5 ; 1) 84 39 156 F 16,8 15 16 19,5 31,2 5 2 5 Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n minF 15 khi xy 2, 4. 1 1 x y x y 1 1 2 4 2 4 1 x 6 63xx1 y 24 Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với ; sẽ đi với nên sẽ đi với x 4 x 42y 16 y 24yy 3 . 16 4 Trình bày lời giải Cĩ 6 3x 24 3 y x y F xy2 2 2 2 6 3xy 24 3 1 1 2  2  (x y ) 18 ( x y ) xy2 2 2 2 1 18  6 15 (doxy 6). 2 8
  10. 6 3xy 24 3 x 2 Vậy minF 15 khi ; ; x y 6 (thỏa mãn). xy22 y 4 28 1 Ví dụ 3. Cho xy 0, 0 và xy 3 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x22 y . xy Lời giải Phân tích bài tốn xy; 1;2 2;1 69 P 34,5 24 2 Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n minP 24 khi x 2, y 1. 1 1 x y x y 1 xy 2, 1 2 1 1 2 1 x 28 28x 1 Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với 7x ; se đi với y . x 4 x 4 y Trình bày lời giải Cĩ 28 1 22 P 7 x y 2 x y 7 x y xy 28 1 22 7x y 2(2)(1)( x y x y )9 xy 28 1 2  7xy 2  0 0 3 9 24. xy 28 1 Vậy minP 24 khi 7 x ; y ; x 2 0; y 1 0; x y 3 x 2, y 1. xy Ví dụ 4. Cho 2 x 3,4 y 6,4 z 6 và x y z 12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz . Lời giải Nhận xét: Do y và z vai trị nhƣ nhau nên sử dụng bất đẳng thức Cơ-si đối với tích yz , ta đƣợc 2 yz 1 P x( yz ) x x (12 x )(12 x ) . 24 Đến đ}y ta kẻ bảng để dự đo{n gi{ trị lớn nhất của P x 2 3 243 P 50 60,75 4 243 Từ bảng thứ nhất dự đo{n max P khi x 3. 4 x 12 x x 3 3 9 Từ bảng thứ hai, ta suy ra 3x sẽ đi với 12 x nên ta biến đổi 9
  11. 33 1 1 x 24 1 3 24 243 P [(3 x )(12 x )(12 x )] . 12 12 3 12 3 4 243 9 Vậy maxP khi x 3, y z . 42 DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐỐN KÊT QUẢ Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ. Một số bất đẳng thức trung gian thƣờng dùng: . Với mọi ab, thì 2 a2 b 2 ( a b ) 2 4 ab . Dấu bằng xảy ra khi ab . . Với mọi abc,, thì 3 a2 b 2 c 2 ( abc ) 2 3( abbcca ) . Dấu bằng xảy ra khi abc . 23 a2 b 2 a b a 3 b 3 a b . Với mọi ab, thì a, b ;  a b 0 . Dấu bằng xảy ra khi . 2 2 2 2 1 1 4 . ab 0, 0 . Dấu bằng xảy ra khi . a b a b 1 1 1 9 . abc 0, 0, 0. Dấu bằng xảy ra khi . a b c a b c x 8 xy2 Ví dụ 1. Cho xy 0, 0 và 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K . 2 y yx Lời giải x x8 x 8 x x 1 1 Đặt a , do 2 2 . 4 0 a y 2y 2 y y y 4 4 2 2 2 K a32 a 31 a 2 .32 a 31 a a a a Cĩ 1 33 1 16 31a 16 31. do 0 a 4 4 4 33 1 Vậy MinK khi a hay x2, y 8. 44 2 xy1 xy x y Ví dụ 2. Cho xy0, 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A xy x y xy1 2 2 xy1 xy x y 1 Đặt a xy x yxy1 2 a 22 Do mnp3( mnnppm ) xy 1 3 xyxy a 3 10 Vậy MinA khi a31 x y . 3 xy22 xy Ví dụ 3. Cho xy0, 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của A xy x y Lời giải 10
  12. 222 x y2 xyxy x y xyxy xy Cĩ A 22 xy x y xy x yxy x y x y x y Đặt t, do x y 2 xy 2 t 2 xy xy 1tt22 1 7Cosi 1 7 Ta đƣợc A t22 t 2 2 2 . t 2 2 t8 t 8 8 t 8 t 7 2 7 5 t 222 .2 2 (do t 2 ). 2 8 2 8 2 5 Vậy MinA khi t2 x y . 2 Ví dụ 4. Cho abc0, 0, 0 thỏa mãn b2 c 2 a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P b2 c 2 a 2 a2 b 2 c 2 Lời giải 1 1 1 2bc 2 a22 bc a Cĩ P b2 c 2 a 2 2 a2 b 2 c 2 a 2 bc a 2 bc a2 b 2 c 2 2 bc Dặt t 2 ta đƣợc bc bc bc 1t 1 3 t t 1 3 t 3t 3.2 Pt2 2 2 2 . 2 1 2 1 5 (do t 2 ). t4 t 4 4 t 4 44 bc a Vậy MinP 5 khi bc b2 c 2 a 2 2 11 Ví dụ 5. Cho xy0, 0 và xy1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.1 x22 y xy Lời giải 1 1 1 Cĩ P2 . . 1 x22 y 2 xy x y x. y xy2 11 Đặt a xy , do xy0 a , ta đƣợc 2 4 4 1 1 1 1 1 P2 a 2 16 a 15 a 2 2 .16 a 15 a 2 8 15 a 2. 8 15. 17 do 0 a a a a 44 11 MinP17 khi a hay x y 42 11 Ví dụ 6: Cho x 0, y 0và xy1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P4 xy . x22 y xy Lời giải 11
  13. 1 1 1 1 1 4 Cĩ P4. xy Sử dụng ab,0, ta đƣợc x22 y22 xy xy a b a b 1 1 4 4 4 1 4(do 0 x y 1) . Suy ra P4 4 xy . x2 y 22 xy x 2 y 2 2 xy ( x y ) 2 1 2 2xy xy2 11 Đặt a = xy, do xy0 a ta đƣợc 2 4 4 1 1 1 1 1 P4 4 a 4 8442.848484.7(0 a a a a a do a ) 2a 2 a 2 a 4 4 1 MinP7 khi x y 2 2 112 Ví dụ 7: Cho x,y >0 và xy1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x y xy Lời giải a22 b a b 2 1 1 4 Cách 1: Sử dụng ab, và ab, 0. 2 c a b a b 2 2 11 112 xy xy 2 xy xy14 ta đƣợc K2. 2. x y 2 2 2 xy Đặt a x y , điều kiện 01a , ta đƣợc: 2 2 1 42 1 1 3 1 1 3 K a a2. a 2a 2 a a 2 a a 1 322 1 3 25 25 1 2 . 2 (do 01a ). Vậy, MinK khi xy . 2a 2 1 2 2 2 2 12 1 1 1 1 Cách 2: K x y x22 y4 2. xy 4. x y x22 y xy xy2 11 Đặt a xy,do xy0. a Ta đƣợc: 2 4 4 1 15 1 15 25 1 25 1 K 2. 4 2. 4 do 0 a . Vậy, MinK khi xy . 1 2 4a 24. 2 4 2 2 4 3 113 Ví dụ 8: Cho xy0, 0và xy1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S11 x y xy Lời giải 3 a33 b a b 1 1 4 Sử dụng ab 0 và + ab 0 , ta đƣợc 22 a b a b 12
  14. 3 3 3 11 11 11 xy 11 xy xy xy S 2. 2 22 Đặt a x y , điều kiện 01 a , ta đƣợc 33 3 3 3 1 41 13 1 131313343 S 2 a 2 a 2 2 a . 4 4 4 a 4 a a 4 a a 4 a 4 1 4 343 1 Vậy MinS khi xy 4 2 DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN 24 Ví dụ 1. Cho xy,0 và 2x22 2 xy y 2 x 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 23 x y . xy Lời giải Cĩ 2x2 2 xyyx 2 2 8 x 2 2 xyyx 2 2 2 x 1 9 22 2 2 2 2 x y x 19 , mà x y x y x 1 x y 9 0 x y 3 2 4 2 4 Cĩ P 2 x y 442.22.4() x y x y x y x y x y 8 4(xy ) 8 4.3 4 (do 03 xy ). Vậy MinP 4khi xy 1, 2. Ví dụ 2: Cho abc0, 0, 0 thỏa mãn 2b2 bc c 2 3 3 a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 thức T a b c a b c Lời giải Cĩ 2b2 bc c 2 3 3 a 2 3 a 2 2 b 2 2 bc 2 c 2 9 3a2 2 b 2 2 bc 2 ab 2 ac 2 c 2 2 ab 2 ac 9 a2 b 2 c 22 ab 2 bc 2 ca a 2 b 2 2 ab a 2 c 2 2 ac 9 2 2 2 2 abcabac9 abc 9 0 abc 3 1 1 1 9 18 Sử dụng ta đƣợc T a b c a b c a b c abc Đặt x a b c, 0 x 3, ta đƣợc 18 18 18 T x2 x x 2 .2 x x 12 x 12 3 9 (do 03x ) x x x Vậy MinT 9 khi x 3 hay abc1 Ví dụ 3: Cho ab0, 0 và a33 b68 ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 13 P ab a22 b ab Lời giải 13
  15. Cĩ ab3 36 ab 8 ab 3 3 3 ab 2 3 ab 2 3 abab 2 3 2 6 ab 8 33 ab3 abab 2 8 ab 23 3 abab 2 0 2 a b2 a b 2 a b 4 3 ab a b 2 0 a b2 a22 b ab 2 a 2 b 4 0 a b2 2 a22 2 b 2 ab 4 a 4 b 8 0 2 2 2 a b2 a b a 2 b 2 0 02ab 1 1 5 Cĩ P ab a22 b22 ab ab 1 1 4 Sử dụng xy,0, ta đƣợc: x y x y 1 1 1 4 4 1 (do 02ab ) a2 b 22 ab a 2 2 ab b 2ab2 2 2 5 Suy ra P1 ab 2ab ab2 22 Đặt x ab , do ab1 0 x 1, ta đƣợc: 22 5 5 5xx 3 Px11 2xx 2 2 2 5 5x 3 x 3 x 3.1 9 1 2 . 6 6 (do 01x ) 2x 2 2 2 2 2 9 Vậy MinP khi ab1 2 Ví dụ 4: Cho ab0, 0 và a22 b a b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2020 P a44 b ab2 Lời giải x22 y x y 2 Sử dụng , ta đƣợc 22 2 a22 b a b2 ab a b a b a22 b2. 2 1 0 a b 2 2 2 2 2 2222 2 2 ab 2020ab22 2020ab 2020 P 2. 2 2a b2 2 a b 2 2 a b 2 2 Đặt x a b, ),0 x 4, ta đƣợc: x2020 x 8 2012 x 8 2012 P 2. 2x 2 x x 2 x x 14
  16. 2012 2012 4 4 50 (do 04x ) x 4 Vậy MinP 507 khi x 4 hay ab1 xy22 Ví dụ 5: Cho xy0, 0 và xy1 1 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P yx Lời giải Cĩ x1 y 1 4 xy x y 3 3 xy x .1 y .1 x y x11 y Mà xy x.1 y .1 x y 1, suy ra xy2 2 2 2 x2 y 2 x 2 y 2 Cĩ P y x x y y x y x xy22 2 .y 2 . x x y x y 2 yx Vậy MinP 2 khi xy1 II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 1. Dạng bộ hai số ab; và xy; bất kỳ 2 ax by a2 b 2 x 2 y 2 xy Dấu "" xảy ra ab 22 Đặc biệt x y1. x 1. y 12 1 2 x 2 y 2 2. Dạng bộ ba số abc;; và x; y;z bất kì 2 axbycz a2 b 2 cx 2 2 y 2 z 2 x y z Dấu xảy ra a b c 22 Đặc biệt x y z1. x 1. y 1. z 12 1 2 1 2 x 2 y 2 z 2 3. Dạng tổng quát bộ n số a12;;; a an và x12;;; x xn 2 2 2 2 2 2 2 axax1 1 2 2 axn n aa 1 2 axx n 1 2 x n xx x Dấu xảy ra 12 n a12 a an Quy ƣớc trong dấu xảy ra, nếu mẫu nào bằng 0 thì tử tƣơng ứng bằng 0. Ví dụ 1. Cho 4x + 9y = 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 9y2 Lời giải 15
  17. Bunhia Cĩ 132 = (4x + 9y)2 = (2.2x + 3.3y)2 (22 + 32)(4x2 + 9y2) = 13A A 13 Ví dụ 2. Cho 4x + 3y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 3y2 Lời giải 1 Cĩ 12 = (4x + 3y)2 = (2.2x + 3 . 3 y)2 (4 + 3)(4x2 + 3y2) = 7A A 7 2x 3x 1 = 1 Vậy MinA = khi 3y 3 x = y = 7 7 4x + 3y = 1 Ví dụ 3. Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 v| x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 + z2 Lời giải 4 Cĩ 22 = (1.x + 1.y + 1.z)2 (12 + 12 + 12)( x2 + y2 + z2) = 3A A 3 x yz 4 = 2 Vậy MinA = khi 1 1 1 x = y = 3 3 x + y + z = 2 6 Ví dụ 4. Cho 3x2 + 2y2 = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y 35 Lời giải 2 23 Cĩ S2 = (2x + 3y)2 = . 3x + . 2y 32 4 92 2 35 2 2 35 6 + 3x +2y = 3x +2y . =1 S 1 3 2 6 6 35 3x 2y 4y 4 = 3x 2y x = x = 23 = 9 35 Vậy MaxS = 1 23 32 8y 9 2x + 3y = 1 + 3y = 1 y = 2x + 3y = 1 9 35 1 Ví dụ 5. Cho 4a2 + 25b2 ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 6a – 5b 10 Lời giải Cĩ H2 = (6a – 5b)2 = (3.2a + (–1) .5b)2 1 (9 + 1)(4a2 + 25b2) = 10(4a2 + 25b2) ≤ 10. = 1 H ≤ 1 10 16
  18. 3 2a 5b a = = 2a + 15b = 0 20 Vậy MaxH = 1 3 -1 18a - 15b = 3 1 6a - 5b = 1 b = - 50 3 Ví dụ 6. Cho x2 + y2 + z2 = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z 4 Lời giải Bunhia 19 3 Cĩ P2 = (1.x + 1.y + 1.z)2 (12+ + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) = 3. = P ≤ 4 2 x yz = 3 1 1 1 1 Vậy MaxP = khi x = y = z = 2 3 2 x + y + z = 2 Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x - 1 + 3 - x khi 1 ≤ x ≤ 3 Lời giải 2 22 Cĩ P2 = 1. x - 1 + 1. 3 - x 122 1 x - 1 + 3 - x = 4 P ≤ 2 xx 13 Vậy MaxP = 2 khi x = 2 (thỏa mãn) 11 Ví dụ 8. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 3. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức K = 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5 Lời giải 2 Cĩ K2 = 1. 4a + 5 + 1. 4b + 5 + 1. 4c + 5 (12+ + 12 + 12)( 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5) = 3[4(a + b + c) + 15] = 3(4.3 + 15) = 81 K ≤ 9 4a + 5 4b + 5 4c + 5 == Vậy MaxK = 9 khi 111 a = b = c = 1 a + b + c = 3 Ví dụ 9. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 1. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức P = b + c + c + a + a + b Lời giải 2 Cĩ P2 = 1. b + c + 1. c + a + 1. a + b 2 2 2 (12+ + 12 + 12) b + c + c + a + a + b = 6 (a +b + c) = 6 P 6 17
  19. a + b b + c c + a == 1 Vậy MaxP = 6 khi 1 1 1 a = b = c = 3 a + b + c = 1 Ví dụ 10. Cho a, b, c ≥ 0 v| a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + b b + c c + a M = + + 2 2 2 Lời giải 22Bunhia 22 a + b = 1. a +1. b 1 +1 a+b =2 a+b 22Bunhia Ta cĩ b+ c = 1. b+1. c 122 +1 b+c =2 b+c 22Bunhia c+ a = 1. c+1. a 122 +1 c+a =2 c+a Suy ra a+ b 2(a+b), b+ c 2(b+c), c+ a 2(c+a) 2 a+ b+ c 2 a+b+ b+c+ c+a a+b b+c c+a a + b+ c + + hay M ≥ 3 2 2 2 Vậy MinM = 3 khi a = b = c = 1 III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG A2 ± m ≥ 0 ± m ; - A2 ± m ≤ 0 ± m Dấu “=” xảy ra khi A = 0. A2 + B2 ± m ≥ 0 + 0 ± m; - A2 - B2 ± m ≤ 0 + 0 ± m Dấu “=” xảy ra khi A = 0, B = 0. Ví dụ 1. Cho x ≥ - 2; y ≥ 1. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y - 2 x + 2 - 4 y - 1 + 24 . Lời giải Cĩ A = x + 2 - 2 x + 2 1 + y - 1 - 4 y - 1 4 + 18 22 = x + 2 - 1 + y - 1 - 2 +18 0 + 0 + 18 = 18 x + 2 = 1 x = -1 Vậy MinA = 18 khi ( thỏa mãn) y - 1 = 2 y = 5 1 Ví dụ 2. Cho x ≥ - . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 5x - 6 2x + 7 - 4 3x + 1 + 2 . 3 18
  20. Lời giải Cĩ E = 2x + 7 - 6 2x + 7 9 + 3x + 1 - 4 3x + 1 4 - 19 22 = 2x + 7 - 3 + 3x + 1 - 2 - 19 0 + 0 - 19 = - 19 2x + 7 = 3 2x + 7 = 9 Vậy MinA = - 19 khi x = 1 ( thỏa mãn) 3x + 1 = 2 3x + 1 = 4 Ví dụ 3. Cho x 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x x 1 3 x 7 28. Lời giải Xét 2T = 2x 2 x 1 6 x 7 56 x1 2 x 1 1 x 7 6 x 7 9 40 22 x 11 x 73 40004040 T 20 xx 1 1 1 1 Vậy Min T 20 khi x 2 (thỏa mãn) x 73 x 79 Ví dụ 4. Cho x 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x2 x x 2 15 x 3 x 2 15 x 3 38. Lời giải Xét 22F x2 22 x x 2 15 x 32 x 2 15 x 376 x215 x 32 x 2 15 x 3 x 2 152 x 2 151 x 32 x 31 222 x22 15 x 3 x 15 1 x 3 1 42 0 0 42 42 F 21 Vậy Min F 21 khi x2 15 x 3 1 x 4 (thỏa mãn) Ví dụ 5. Cho ab 0, 0,c 0 và abc 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T= a2 4 abb 2 b 2 4 abc 2 c 2 4 caa 2 . Lời giải Chú ý: Với xy 0, 0, ta cĩ 6 x y 2 2 x y 2 6 x y 2 x22 4 xy y 44 xy 6 x22 4. xy y 2 Vận dụng vào bài tốn, ta cĩ a b 6 b c 6 c a 6 T abc 6 6 6 2 2 2 19
  21. Vậy MaxT 66 khi a = b = c =2. Ví dụ 6. Cho ab 0, 0,c 0, x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x2 xyy 2 y 2 yzz 2 z 2 zxz 2 . Lời giải Chú ý: Với xy 0, 0, ta cĩ a b 2 3 a b 2 a b 2 a22 ab b 44 ab a22 ab b 2 x y y z z x Vận dụng vào bài tốn, ta cĩ S x y z 1. 2 2 2 1 Vậy MinS 1 khi x y z . 3 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT m x n x m x n 0. m x n x m x n 0. Ví dụ 1.Cho 2 abc , , 3 và abc2 2 2 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M a b c. Lời giải Vì 23 a nên aa 2 0, 3 0. Suy ra a 2 a 3 0 a22 a 6 0 a a 6. Tƣơng tự, ta cũng tìm đƣợc b b22 6, c c 6 Do đĩ M a b c a2 b 2 c 2 18 22 18 4. aa 2, 3 a b 3, c 2 b 2,b 3 Vậy MinM =4 khi a c 3, b 2 cc 2, 3 b c 3, a 2 abc 4 Ví dụ 2.Cho x 0, y 0,z 0 thỏa mãn x y z 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ax 2 y 2 z 2 . Lời giải  Tìm MinA Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Bunhia 2 Cĩ 62 1.x 1. y 1. z 1 2 1 2 1 2 x 2 y 2 z 2 3 A A 12. x y z Vậy MinA = 12 khi 1 1 1 x y z 2. x y z 6 Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Cơsi – dự đo{n min đạt tại x=y=z=2) 20
  22. Cĩ A x2 y 2 z 2 x 2 4 y 2 4 z 2 4 12 2x2 .4 2 y 2 .4 2 z 2 .4 12 4 x y z 12 4.6 12 12. Vậy MinA 12 Khi x y z 2.  Tìm MaxA Cĩ x, y , z 0 và x y z 6 nên 0 x , y , z 6. x x 6 y y 6 z z 6 0 x2 y 2 z 2 6 x y z 6.6 36 A 36. x 0, x 6 y 0, y 6 Vậy MaxA 36 khi hay x;; y z là hốn vị của 0;0;6 . z 0,z 6 x y z 6 Ví dụ 3.Cho a 0,b 0,c 0 thỏa mãn abc 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K 3 a 1 3 b 1 3 c 1. Lời giải  Tìm MaxK Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) 2 Xét K2 1.3 a 11.3 b 11.3 c 1 Bunhia 1113131319222 a b c a b c 136 K 6. Vậy MaxK 6 khi abc 1. Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Cơsi – dự đo{n min đạt tại a=b=c=1) 1 K 31 a 31 b 31 c 31.4 a 31.4 b 31.4 c 2 1 3143143143a b c a b c 15 3.3 15 6. 2 2 2 2 4 4 Vậy Max K 6 khi abc 1.  Tìm MinA Cĩ a b c33339 a b c 31 a 31 b 3112. c Đặt x 31, a y 31, b z 31 c x ,, y z 1 và x y z 12. Từ x, y , z 1 và x y z 12 1 x , y , z 10 x 10 x1 x 100 x 101 x 100 x . 10 1 yz 10 10 Tƣơng tự yz , , suy ra 10 1 10 1 21
  23. x y z 3 10 12 3 10 x y z K 10 2. 10 1 10 1 Vậy MinK 10 2 khi x,, y z là hốn vị của 1;1;10 nên abc;; hốn vị của 0;0;3 . DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca 0 a , b , c m m a m b m c 0 0 abcm , , mamb mamc mbmc 0 Ví dụ 1. Cho 0 abc , , 2 và abc 3. Chứng minh ab bc ca 2. Lời giải Do 0 abc , , 2 nên 2 abc 2 2 0 8 4 a b c 2 ab bc ca abc 0 8 4.3 2 ab bc ca abc 0 (do abc 3 ) abc abc ab bc ca 2 , mà 22 nên ab bc ca 2 (đpcm). 2 2 Ví dụ 2: Cho a 1, b 1, c 1 và ab+bc+ca =9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =a2 + b2 + c2 Lời giải: * Tìm Min P Cĩ (a –b)2 +(b- c)2 +(c-a)2 0 => a2 +b2 +c 2 ab +bc+ca => P 9. Vậy MinP =9 khi a = b= c = 3 * Tìm MãP Do a 1, b 1, c 1 => (a-1)(b-1) +(b-1)(c-1) +(c-1)(a-1) 0 (ab+ bc +ca) -2(a+b+c) +3 0 a+ b+ c 6 a2 + b2 +c2 +2(ab+bc+ca) 36 P 18 Vậy MaxP=18 khi (a,b,c) là hốn vị của (1;1;4) DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUƠN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH KHƠNG ÂM Tính chất 1: Nếu -1 a 1 thì an a  n N* Dấu “=” xảy ra khi a=0 hoặc a=1 nếu n lẻ, khi a=0 hoặc a= 1 nếu n chẳn Tính chất 2: Nếu hai số a và b cĩ tích ab 0 thì a b a b Tính chất 3: Với ba số x, y, z bất kỳ, luơn tồn tại hai số cĩ tích khơng âm. Bài tốn cơ bản: Cho -1 x, y, z 1, x+ y+ z =0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x y z Lời giải: Với ba số x, y, z bất kỳ, luơn tồn tại hai số cĩ tích khơng âm. Giả sử xy 0 => x y x y z z Nên T 2 z 2 ( do -1 z 1 ). 22
  24. Vậy MaxT =2 khi (x;y;z) là hốn vị (-1;0;1). Ví dụ 1. Cho -2 x, y, z 2, x+ y+ z =0. Chứng minh rằng a4 +b4 +c4 32 Lời giải: aaa Cĩ -2 x, y, z 2 => 1 , , , 1 222 a b c Đặt x ,y ,z 1x,y,z1 và x+y+z=0. 2 2 2 Khi đĩ a4 +b4 +c4 =16(x4 +y4 +z4) 16 x y z . Với ba số x, y, z bất kỳ, luơn tồn tại hai số cĩ tích khơng âm. Giả sử: xy 0 => x y x y z z nên xyz2z2 a4 bc 4 4 32 ( đpcm) 3 Ví dụ 2. Cho 0 x, y, z 1 và x+ y+ z = . 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x2 +y2 +z2 Lời giải: Tìm Min P Cách 1( Sử dụng bất đẳng thúc Bunhia) 2 Bunhia 332 2 2 2 2 2 2 Cĩ (1.x 1.y 1.z) (1 1 1 )(x y z ) 3P P 24 x y z 3 1 1 1 1 Vậy MinP = Khi x y z 4 3 2 x y z 2 1 Cách 2( Sử dụng bất đẳng thức Cơsi – dự đo{n min đạt tại x=y=z= ) 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 CãPxyz x y z 2x.2y.2z. xyz. 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 Vậy MinP = Khi x = y = z = 4 2 Tìm MaxP 3 Cĩ x + y + z = (2x – 1) + (2y – 1) + (2z – 1) = 0 2 Đặt a = 2x – 1, b = 2y – 1, c = 2z – 1. Do (2x – 1) + (2y – 1) + (2z – 1) = 0 nên a + b + c = 0 Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 - 1 ≤ 2x – 1, 2y – 1, 2z – 1 ≤ 1 nên – 1 ≤ a, b, c ≤ 1. 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a2 b 2 c 2 2( a b c ) 3 Cĩ P = 2 2 2 4 abc2 2 2 3 abc 3 = (do 1 a , b , c 1) 44 23
  25. Với ba số a, b, c bất kì, luơn tồn tại hai số cĩ tích khơng âm. Giả sử a.b ≥ 0 thì a b a b c c nên 23c 2 3 5 P ( do c 1) . 4 4 4 5 13 Vậy MaxP = khi (a; b; c) là hốn vị của (- 1; 0; 1) hay (x; y; z) là hốn vị của 0; ; . 4 22 Ví dụ 3: Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 2 v| x + y + z = 3. Tìm gi{ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x4 + y4 + z4 + 12(1 – x)(1 – y)(1 – z). Lời giải Cĩ x + y + z = 3 (x – 1) + (y – 1) + (z – 1) = 0 Đặt a = x – 1, b = y – 1, c = z – 1 - 1 ≤ a, b, c ≤ 1 v| a + b + c = 0 Với a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc Cĩ M = (a + 1)4 + (b + 1)4 + (c + 1)4 – 12abc = (a4 + b4 + c4 ) + 4(a3 + b3 + c3) + 6(a2 + b2 + c2) + 4(a + b + c) – 12abc = (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2). * Cĩ M = (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2) ≥ 0 Vậy Min M = 0 khi a = b = c = 0 x = y = z = 1 * Cĩ M = (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2) ≤ a b c 67 a b c a b c . Với ba số a, b, c bất kì, luơn tồn tại hai số cĩ tích khơng âm. Giả sử ab ≥ 0 a b a b c c a b c 2 c 2 M 14 . Vậy MaxM = 14 khi (a; b; c) là hốn vị của (- 1; 0; 1) hay (x, y, z) là hốn vị của (0; 1; 2). Ví dụ 4: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 4 v| a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca. Lời giải 2 a2 b 2 c 2 abc a 2 b 2 c 2 Cĩ P 18. 2 2 2 abc 2 2 2 Do a + b + c = 6 (a – 2) + (b – 2) + (c – 2) = 0 0 2 2 2 a 2 b 2 c 2 Đặt x ,, y z x + y + z = 0. 2 2 2 abc 2 2 2 Vì 0 ≤ a, b, c ≤ 4 - 2 ≤ a – 2, b – 2, c – 2 ≤ 2 - 1 , , 1. 2 2 2 - 1 ≤ x, y, z ≤ 1. 2x 2 2 2 y 2 2 2 z 2 2 Cĩ P 18 = 2(x2 + y2 + z2) + 4(x + y + z) + 24 2 24
  26. = 2(x2 + y2 + z2) + 24 ≤ 2 x y z 24 Với ba số x, y, z bất kì, luơn tồn tại hai số cĩ tích khơng âm. Giả sử xy ≥ 0 x y x y z z nên P 4 z 24 4 24 28 ( do 1 z 1). Vậy MaxP = 28 khi (x, y, z) là hốn vị của (- 1; 0; 1) nên (a, b, c) là hốn vị của (0; 2; 4). DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1 * Nếu 01 x thì xx . Dấu “” xảy ra khi x 0 hoặc x 1 * Nếu thì xn x  n * . Dấu xảy ra khi hoặc . Ví dụ 1: Cho abc 0; 0; 0 và abc 1 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P b c c a a b . Lời giải * Tìm MaxP Cách 1: ( Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét P22 (1. b c 1. c a 1. a b ) 2 2 2 Bunhia 111222 b c c a a b 6(a b c ) 6( do a b c 1) P 6 1 Vậy Max P 6 khi abc 3 Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đo{n max đạt tại ) 2 2 2 2 Xét P. ( b c ) ( c a ) (a b) 3 3 3 3 2 2 2 (b c ) ( c a ) (a b ) 3 3 3 2 2 2 2 1a b c 2( do a b c 1) P 2 : 6 3 Vậy khi * Tìm MinP Sử dụng tính chất: thì Do abc, , 0 và abc 1 nên 0 a b , b c , c a 1 Cĩ P bc ca abbc ( ) ( ca ) ( ab ) 1 2(a b c ) 2( doa b c 1). Vậy MinP 2 khi (;;)abc là hốn vị (1;0;0) . 25
  27. Ví dụ 2: Cho abc 0; 0; 0 và abc 3 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T b c c a a b . Lời giải * Tìm MaxP Cách 1: ( Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét T22 (1. b c 1. c a 1. a b ) 2 2 2 Bunhia 111222 b c c a a b 6(a b c ) 18( do a b c 3) P 3 2 Vậy MaxT 32 khi abc 1 Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đo{n max đạt tại abc 1 ) Xét T. 2 2(b c ) 2( c a ) 2(a b) 2 (b c ) 2 ( c a ) 2 (a b ) 2 2 2 3a b c 6( doa b c 3) P 6: 2 3 2 Vậy khi * Tìm MinP Sử dụng tính chất: 01 x thì xx abc a b b c c a Do abc, , 0 và abc 31 nên 0 ; ; 1 3 3 3 3 bc ca ab bccaab Cĩ T 33 3 3 3 3 3 3 2(abc ) 3 2 3 (doa b c 3). 3 Vậy MinT 23 khi (;;)abc là hốn vị (3;0;0). Ví dụ 3: Cho và abc 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 3 a 1 3 b 1 3 c 1 . Lời giải: Cách 1: Cĩ a 0; b 0; c 0; a b c 1 0 a , b , c 1 a a2 , b b 2 , c c 2 . Do đĩ : F 313131 a b c a 21 a b 21 b c 21 c . a2 2 a 1 b 2 2 b 1 c 2 2 c 1 a b c 3 4 Vậy MinF 4 khi là hốn vị (0;0;1) Cách 2: Cĩ a b c13333 a b c 3131316 a b c 26
  28. Đặt x 3 a 1; y 3 b 1; z 3 c 1. x, y , z 1 và x y z 6 và F x y z Từ x, y , z 1 và x y z 6 1 x , y , z 4 x 2 x 1 x 4 0 x 3 x 2 0 x 3 yz 22 x y z 6 Tƣơng tự: yz ; , suy ra x y z F 4 33 3 Vậy MinF 4 khi (;;)x y z là hốn vị (1;1;4) nên abc,, là hốn vị (0;0;1) . Ví dụ 4: Cho abc 0; 0; 0 và abc 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 2 a2 3 a 4 2 b 2 3 b 4 2 c 2 3 c 4 . Lời giải: Cĩ a 0; b 0; c 0; a b c 1 0 a , b , c 1 a2 a, b 2 b, c 2 c. Do đĩ : M a2 a 23 a 4 b 2 b 2 3 b 4 c 2 c 2 3 c 4 a2 a3 a 4 b 2 b 3 b 4 c 2 c 3 c 4 . a 2 2 b 2 2 c 2 2 a b c 6 7 Vậy MinM 7 khi (;;)abc là hốn vị . DẠNG 6 : DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU Ví dụ 1: Cho xy;0 thỏa mãn xy 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x44 11 y . Lời giải 2 Cĩ Px 41 y 4 1 xyxy 4444 1 xyxy 4422 2 xy 22 1 2 xy4 4 10 2 xy 2 xy 2 2 1 xy 4 4 2 xy 2 2 40 xy 101. 2 2 xy 10 5 5 Đặt t xy 0 thì xy 0 t 2 2 2 2 5 Ta đƣợc P t42 2 t 40 t 101; 0 t 2 Đến đ}y ta kẻ bảng dự đo{n MinP t 0 1 2 2,5 P 101 64 45 52,5625 Từ bảng trên ta dự đo{n MinP 45 khi t 2 nên ta xét hiệu : 27
  29. P 45 t4 2 t 2 40 t 56 t 4 8 t 2 16 10 t 2 40 t 40 2 2 t2 4 4 t 2 0 P 45 xy 10 Vậy MinP 45 khi t 2 xy, là hai nghiệm của phƣơng trình : xy 2 10 2 10 2 10 2 t2 10. t 2 0 t x ; y . 2 2 2 Ví dụ 2: Cho a b 4 ab 4 a22 4 b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 20 a3 b 3 6 a 2 b 2 2013 . Lời giải abab 4 4 a22 4 b abab 4 4 ab 2 2 ab Cĩ : 2 2 2 12ab 4 a b a b , mà 4ab a b hay 12ab 3 a b . 2 2 2 Nên 4 abab 3 ab abab 0 0 ab 1. Đặt x a b thì 01 x và 12ab 4 x2 x A 20 ab 32 3 abab 6 ab 2 ab 2013 Ta cĩ 32 20 a b 60 ab a b 6 a b 12 ab 2013 20x3 5 4 x 2 x x 6 x 2 4 x 2 x 2013 3 x 2 x 2013 Đến đ}y ta kẻ bảng dự đo{n MaxA t 0 1 A 2013 2015 Từ bảng trên ta dự đo{n MaxA 2015 khi x 1 nên ta xét hiệu A 2015 3 x2 x 2 x 1 3 x 2 . Do nên xx 1 3 2 0 , suy ra A 2015 1 Vậy khi hay ab . 2 CÁC BÀI TỐN PHÂN LOẠI VÀO LỚP 10 CÁC TỈNH NĂM 2019-2020 Câu 1: [TS10 TP Hà Nội, 2019-2020] Cho biểu thức P a44 b ab , với a, b là các số thực thỏa mãn a22 ab b 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P Lời giải Ta cĩ: 28
  30. 2 2 Pa 4 b 4 ab a 2 b 2 2ab 2 2 ab 3ab 2ab 2 2 ab 2 7 85 ab 24 2 Ta cĩ: a23 b 2ab3ab 3ab ab 0 ab 3 3 ab a22 b 2ab ab 1 2 7 7 7 1 7 9 1 7 81 Vì: 3 ab 1 ab a 2 2 2 2 2 2 4 2 4 22 81 7 1 7 85 a 1 a 21 4 2 4 2 4 1 P 21 GTLN của P là 21 khi a 3,b 3 hoặc a 3,b 3 GTNN của P là 1 khi a = b = 1. Câu 2: [TS10 Tỉnh Bắc Ninh, 2019-2020] Cho hai số thực khơng âm a, b thỏa mã: a22 b 2. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức a33 b 4 M ab 1 Lời giải Tìm GTNN: AM GM Ta cĩ: a3 b4 3 a 3 b13 3 3ab3. Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1. a33 b 4 3 ab 1 Vì a, b > 0 nên M3 ab 1 ab 1 Do đĩ giá trị nhỏ nhất của biểu thức M l| 3 đạt đƣợc khi a = b = 1. Tìm GTLN: Đặt S a b,P ab 2 2 S2 Vì a2 b 2 2 a b 2ab 2 S 2 2P 2 P . 2 2 Ta cĩ: ab a22 2abb 22ab2 ab 2 Do đĩ S2 29
  31. 2 2 S2 2 S 3. .S 4 a b 3ab a b 4 S2 3PS 4 2 M ab 1 P 1 S22 1 2 S2 6S 8 8 6 8 6 S 2 4 2. SS22S22 ab22 Dấu “=” xảy ra khi a b 0; 2 ; 2;0 ab 0 Vậy giá trị lớn nhất của M là 4 2 2 khi 0; 2 ; 2;0 Câu 3: [TS10 Tỉnh Nghệ An, 2019-2020] Giải phƣơng trình: 5x22 27x255x1 x 4 Lời giải ĐKXĐ: x2 5x22 27x25 5x1 x 4 5x2 27x25 25x1 x 2 4 10 x 2 4x1 2x22 x 2 5 x 4 x 1 0 2x 22 x25x x2x2 3x2 0 Đặt x2 x 2 a 0; x 2 b 2 Phƣơng trình trở thành: 22 ab 2a 5abb 0 2a3bab 0 2a 3b x 1 5 TM Với ab xx222 x2 x2x4 y 1 5 L 1 3 65 x TM Với 2a 3b 4x 22 x2 9x2 4x 13x26 0 8 13 3 65 xL 8 1 3 65 Vậy phƣơng trình cĩ 2 nghiệm: x 1 5; x 8 Câu 4: [TS10 Tỉnh Hải Phịng, 2019-2020] 1 1 1 a) Cho x,, y z là ba số dƣơng. Chứng minh x y z 9  x y z 30
  32. b) Cho abc,, là ba số dƣơng thỏa mãn abc 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab bc ca A  a 3 b 2 c b 3 c 2 a c 3 a 2 b Lời giải a) Ta cĩ 1 1 1 x y z 9 x y z x x y y z z 6 y z x z x y x y y z z x 2 2 2 0 y x z y x z x y 2 y z 2 z x 2 0 x , y , z 0 xy yz zx 1 1 1 Vậy x y z 9 x y z b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta cĩ ab ab9 ab 1 1 1  abc 3 2 9 acbcb 2 9 acbcb 2 ab1 ab ab a  (1) a 3 b 2 c 9 a c b c 2 Chứng minh tƣơng tự ta cĩ: bc1 bc bc b  (2) b 3 c 2 a 9 a b a c 2 ca1 ac ac c  (3) c 3 a 2 b 9 b c a b 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1); (2) và (3) ta cĩ 1 ac bc ab ac bc ab a b c A 92 a b b c c a 1 c a b a b c b c a abc A 92a b b c c a 13 abc 1 3.6 A   1. 9 2 9 2 Dấu “=” xảy ra abc 2. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 đạt đƣợc khi abc 2. 31
  33. Câu 5: [TS10 Tỉnh Thanh Hĩa, 2019-2020] Xét các số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: ab bc ca 4 4 4 4 4 4 1 a b abb c bcc a ca Lời giải 4 4 2 2 Ta cĩ:a b ab(a b)a;b  R Thật vậy: a4 b 4 ab(a 2 b 2 ) a4 b 4 a 3 b ab 3 33 (a b)(a b ) 0 2 2 2 (a b) (a ab b ) 0 (luơn đúng  a; b R ) 4 4 2 2 4 4 2 2 =>a b ab ab(a b ) ab a b ab ab(a b ) abc ( vì a;b;c > 0 và abc = 1) Do đĩ: ab ab 1 1 1 c22 2 c 4 4 2 2 2 22 2 2 2 a b ab ab(a b)ab a b 1 a b 1 1 1 c a b c Tƣơng tự: bc 1 a22 ca 1 b 4 4 2(2); 4 4 2 (3) b c bc a b c c a ca a b c Mặt khác: 2 ab bc ca 2.32 a2 b 2 c 2 6 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cĩ: 2 2 2 a b c a2 b 2 c 2 6 a b c 2 ab bc ca 4 4 4 4 4 4 2 2 1 b c a a c b a b c a b c a b c Vậy b|i to{n đƣợc chứng minh Dấu “=” xảy ra kh a = b = c = 1 Câu 6: [TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c thoả mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 2019 P 2 2 2 a b c ab bc ca Lời giải 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 3 số dƣơng a b c 3 abc; 3 a b c 3 abc 32
  34. 1 1 1 Suy ra a b c 9 * a b c Bất đẳng thức đƣợc chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2 a b c 1 b) Ta cĩ ab bc ca a2 b 2 c 2 ab bc ca 33 2017 Suy ra 6051 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta cĩ 1 1 1 2 2 2 a b c 2ab 2bc 2ca 9 a2 b 2 c 2 ab bc ca ab bc ca 1 2 9 Suy ra 2 2 2 2 9 a b c ab bc ca a b c 1 2019 Do đĩ ta đƣợc P 6060. a2 b 2 c 2 ab bc ca Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6060 1 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Câu 7: [TS10 Tỉnh Bắc Giang, 2019-2020] Cho x, y là các số thực thỏa mãn x22 y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 x 3 y Lời giải Ta cĩ: 18 6 x y 2 xy P 3 x 3 y 9 3 x y xy 2 17 x22 y 6 x y 2 xy 8 x y 2 6 x y 9 22 xy 3 2 4. 2 2 Từ xy22 1chỉ ra đƣợc x y 2 2 x y 2; Suy ra 2 3 xy 3 2 3 0. 33
  35. 2 2 xy 3 23 19 6 2 P 44  2 2 2 19 6 2 2 Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P là khi xy  2 2 Câu 8: [TS10 Tỉnh Vũng T|u, 2019-2020] Cho số thực dƣơng x, y thỏa mãn x y 3 Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 15 P 5xy x 2y 5 Lời giải 151 5 1 5 P = 5xy x 2 y 5 5xy ( x y ) y 5 5 xy y 8 1xy 5 y 8 xy y 8 P 5xy 20 y 8 20 20 xy 1 2 8 xy y 8 y ( x 1) 8 3 Ta lại cĩ: 4 20 20 20 5 Khi đĩ: 1xy 5 y 8 xy y 8 P 5xy 20 y 8 20 20 1 3 3 PP 1 5 5 5 3 x 1 Vậy PMin 5 y 2 Câu 9: [TS10 Tỉnh Bình Định, 2019-2020] xy xy22 Cho xy, là hai số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . xy 1 xy Lời giải Với x y, xy 1, ta cĩ x2 y 2( x y ) 2 2 xy 2 P x y x y x y x y 2 Vì x y x y 0; 0 và xy 1. xy 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dƣơng xy ; , ta cĩ xy 34
  36. 2 2(xy ) xy 2 2 2 2 2 x y x y Suy ra minP 2 2 . 2 Dấu đẳng thức xảy ra x y ( x y )2 2 x y 2 x y 2 . xy 62 y 22 2 Mà xy 1 ( y 2) y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 0 62 y 2 26 26 x x 2 2 Vậy minP 2 2 tại hoặc 26 26 y y . 2 2 Câu 10: [TS10 Tỉnh Đắk Lắk, 2019-2020] Cho ba số thực dƣơng x,y,z thỏa mãn: x 2y 3z 2. xy 3yz 3xz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:S . xy 3z 3yz x 3xz 4y Lời giải Đặt a x;b 2y;c 3z , ta đƣợc: a,b,c 0;a b c 2 . ab bc ac Khi đĩ: S . ab 2c bc 2a ac 2b ab ab ab 1 a b Xét ab2c ab abcc acbc 2acbc ab Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a c b c bc 1 b c ac 1 a c Tƣơng tự ta cĩ: ; . bc2a 2ba ca ac2b 2abcb bcac Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ; . b a c a a b c b 1 a b b c a c 3 Cộng c{c vế ta đƣợc: S . 2 a b b c a c 2 35
  37. 3 2 Vậy gi{ trị lớn nhất củaS bằng khi v| chỉ khi a b c hay gi{ trị lớn nhất củaS bằng khi và 2 3 2 1 2 chỉ khi x ; y ;z . 3 3 9 Câu 11: [TS10 Tỉnh Đắk Nơng, 2019-2020] 1 Cho các số thực dƣơng abc,, thỏa mãn abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức abc P a b a c . Lời giải Ta cĩ: abc a b c 1. Theo bất đẳng thức cơsi ta cĩ: a2 ab ac bc 2a a b c . bc 2 a a b c bc a a b c 1 Đẳng thức xảy ra khi: bc 11 bc Ta thấy hệ cĩ vơ số nghiệm dƣơng chẳng hạn b c 1, a 2 1. Vậy Pmin 2 . Câu 12: [TS10 Tỉnh Đồng Nai, 2019-2020] Cho ba số thực a,, b c . Chứng minh rằng: 3 3 3 a2 bc b 2 ca c 2 ab 3 a 2 bc b 2 ca c 2 ab Lời giải Phƣơng pháp: - Đặt x a2 bcy,, b 2 caz c 2 ab đƣa bất đẳng thức cần chứng minh về x3 y 3 z 3 3. xyz - Chứng minh đẳng thức x3 y 3 z 33 xyz xyzx 2 y 2 z 2 xyyzzx - Từ đĩ đ{nh g{i hiệu x3 y 3 z 3 3 xyz và kết luận. Đặt Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : Ta cĩ: 36
  38. x3 y 3 z 3 33 xyz x 3 y 3 xyz z 3 x y 3 33 xy x y xyz z3 x y 3 z3 3 xy x y z xyz xy 2 xyzz 2 3 xyxyz 2 2 2 xyzx 23 xyy xzyzz xy x y z x2 y 2 z 2 xy yz zx Dễ thấy: 1 x2 y 2 z 2 xy yz zx x 2 2 xy y 2 y 2 2 yz z 2 z 2 2 zx x 2 2 1 2 2 2 x y y z z x 0,  x , y , z 2 Do đĩ ta đi xét dấu của x y z 2 2 2 Ta cĩ: xyz a bcb cac ab 1 2 2 2 abcabbcca2 2 2 ab bc ca 0, a ,b,c 2 Suy ra xyz 00 xyzx 2 y 2 z 2 xyyzzx xyz00 xyzx2 y 2 z 2 xyyzzx x3 y 3 z 3 3 xyz hay 3 3 3 a2 bc b 2 ca c 2 ab 3 a 2 bc b 2 ca c 2 ab (đpcm) Dấu “ =” xảy ra khi a b c Câu 13: [TS10 Tỉnh Hà Nam, 2019-2020] Cho a,b,c l| c{c số thực dƣơng v| thỏa mãn điều kiện abc 1 1 1 1 Chứng minh 1. 2 abc 2 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh 37
  39. b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 ab bc ca4 a b c 12 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 ab bc ca4 a b c 12 1 2 ab bc ca 4 a b c 8 ab bc ca 3 2 Thật vậy {p dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dƣơng ta cĩ ab bc ca 333 abc . Dấu “=” xảy ra khi abc 1. Ho|n tất chứng minh. Câu 14: [TS10 Tỉnh H| Tĩnh, 2019-2020] Cho hai số thực dƣơng ab, thỏa mãn: a b 31 ab . 6ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a22 b . ab Lời giải (a b )2 Ta cĩ: (a b )2 0 a 2 b 2 2 ab (a b ) 2 4 ab ; ab22 2 3 2 Từ giả thiết a b 31 ab a b 1 3 ab 1 a b 4 2 2 3 a b 4 a b 4 0 a b 2 3 a b 2 0 a b (vì a,b 0) 3 3ab 1 ( a b ) 1 3 1 11 a b a b a b 22 2 ab 22 a2 b 2 a 2 b 2 2 9 9 6ab 3 ab 2 7 P a2 b 2 21 a 2 b 2 a b a b 99 7 ab 1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng khi ab . 9 a b 31 ab 3 Câu 15: [TS10 Tỉnh Hải Dƣơng, 2019-2020] Cho các số dƣơng abc,, thỏa mãn điều kiện: abc 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2 aabb2 2 2 2 bbcc 2 2 2 2 ccaa 2 2 2 Lời giải Ta cĩ: 38
  40. 52 3 2 5 2 22a22 ab b a b a b a b 4 4 4 5 22a22 ab b a b 2 Tƣơng tự: 55 2bbcc2 2 2 bc ; 2 ccaa 2 2 2 ca 22 5 5 5 P a b b c c a 5 a b c 2 2 2 P 2019 5 2019 Dấu “=” xảy ra abc 673 3 Vậy minP 2019 5 a b c 673 Câu 16: [TS10 Tỉnh Hậu Giang, 2019-2020] x2 3x 2019 Với x0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 Lời giải Điều kiện x0 x2 3x 2019 3 2019 Ta cĩ A1 x22 x x 1 Đặt t t 0 ta đƣợc: x 22 22 1 2 1 1 1 A 1 3t 2019t 2019 t t 1 2019 t 2t 2019 1 673 1346 1346 1346 2 1 2689 2689 2019 t với mọi t thuộc R 1346 2692 2692 1 2689 1 Dấu “=” xảy ra khi t tm . Vậy min A khi t x 1346 tm 1346 2692 1346 Câu 17: [TS10 Tỉnh Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số thực dƣơng a, b thỏa mãn a + b = 4ab ab1 Chứng minh rằng: 4ba22 1 4 1 2 Lời giải 1 Từ a + b = 4ab 42ab ab ab 4 39
  41. 2 ab22 ab Chứng minh đƣợc BĐT: Với x, y >0 ta cĩ (*) x y x y Áp dụng (*) ta cĩ 2 a b a22 b ab 41414b2 a 2 aba 2 4 abb 2 4()() abab ab a b4 ab 1 1 = 1 4ab 1 4 ab 1 4 ab 1 2 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi ab 2 Câu 18: [TS10 Tỉnh Hƣng Yên, 2019-2020] Cho các số thực dƣơng x, y, z thỏa mãn: x2 y 2 z 2 3 xyz x2 y 2 z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x4 yz y 4 xz z 4 xy Lời giải x y z x2 y 2 z 2 33 xyz yz xz xy xy x y x y 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dƣơng ; ta cĩ: 2. yz xz yz xz yz x z y z22 z x Tƣơng tự ta cũng cĩ: ; xz xy x xy yz y x y y z z x 2 2 2 yz xz xz xy xy yz z x y x y z 1 1 1 1 1 1 3 yzzxxy x yz x yz x2 1 1 1 1 1 1 1 Lại cĩ: x4 yz 2 x 4 yz 2 x 2 yz .2. . ( ) x4 yz2 yz44 y z y z yz221 1 1 1 1 1 Tƣơng tự ( ); ( ) y44 xz44 x z z xy x y Suy ra x2 y 2 z 2 1 2 2 2 1 1 1 1 3 P ()() xyzyxzzxy4 4 4 4 xyz 2 xyz 2 3 P 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3/2 khi x = y = z = 1. Câu 19: [TS10 Tỉnh Kon Tum, 2019-2020] 1 1 1 Chứng minh 38 . 2 3 400 40
  42. Lời giải 1 1 1 1 1 1 2 2 3 400 2 2 3 3 400 400 1 1 1 2 2 1 3 2 400 399 1 1 1 Ta cĩ : 2 2 1 3 2 400 399 2 1 3 2 400 399 2 1 400 38 1 1 1 Vậy 38 2 3 400 Câu 20: [TS10 Tỉnh Lai Châu, 2019-2020] Cho c{c số thực dƣơng a, b, c. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 ()a b c a b 2 c b c 2 a c a 2 b 4 Lời giải 1 1 1 1 Ta chứng minh bất đẳng thức với x, y > 0. x y4 x y Thậy vậy, với x, y > 0 thì: 1 1 1 1 1 xy 2 2 2 (x y ) 4 xy x 2 xy y 4 xy 0 x y44 x y x y xy x2 2 xy y 2 0 ( x y ) 2 0 (luơn đúng) Do đĩ: với x, y > 0. Áp dụng bất đẳng thức trên ta cĩ: 1 1 1 1 1ab ab 1 1 () abcacbc 2 ( ) ( ) 4 acbc abc 2 4 acbc bc bc 11 b c 24 a b a c a Tƣơng tự ta cĩ: ca ca 11 c a 24 b c b a b Cộng vế với vế c{c bất đẳng thức với nhau ta đƣợc: ab bc ca ab 1 1 bc 1 1 ca 1 1 abcbcacab 2 2 2 4 acbc 4 baca 4 cbab 41
  43. 1 ab ab bc bc ca ca 4 acbcbacacbab 1 ab bc ab ca bc ca 1 b ( a c ) a ( b c ) c ( b a ) 1 ()a b c 4 ac cb ba 4 ac cb ba 4 1 Do đĩ VT VP (đpcm). 4 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Câu 21: [TS10 Tỉnh Lạng Sơn, 2019-2020] Cho ba số thực khơng âm a, b, c và thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: a 2 b c 4(1 a )(1 b )(1 c ) Lời giải Ta cĩ abc 2 4(1 a )(1 b )(1 c ) abc 2 4( bcacab )( )( ) Áp dụng bất đẳng thức cơ si ta cĩ abbc 2( abbc )( )(2 abc )4(22 abbc )( )(2 abcac )( )4( abbcac )( )( ) Áp dụng bất đẳng thức cơ si a 2 b c a c 2( a b c ) (2)()abcac (2)()1(2)() abcac abcac 22 1(2)()abcac abcabcac 2 (2)()2 a 2 b c 4( a b )( a c )( b c ) Câu 22: [TS10 Tỉnh Nam Định, 2019-2020] Xét c{c số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2. 1 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P (x y z)2 4(x 2 y 2 z 2 xyyzzx) 2 Lời giải Ta cĩ: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2  [(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2  (x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2  (x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2  (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2  (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2  x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0 Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z  x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0  x + y + z t Đặt x + y + z = t (t > 0)  x² + y² + z² - xy - xz – yz khi đĩ ta cĩ 2 22 12 2 2 2 t 8 t 8 P (xyz)4(x yzxyyzzx) 2 2 2 2 t 2 t 42
  44. tt22 Áp dụng BĐT Cơ si ta cĩ: 2 2 .2 2t (dấu bằng xảy ra  t = 2) 22 88 2t 2 2t. 8 (dấu bằng xảy ra  t = 2) tt  P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6. Câu 23: [TS10 Tỉnh Ninh Bình, 2019-2020] 1. Tìm tất cả c{c số nguyên tố p sao cho tổng c{c ƣớc nguyên dƣơng của p2 l| một số chính phƣơng. 2. Cho x, y , z l| c{c số thực dƣơng thỏa mãn x y z 2019 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y 2 z 2 T . x yz y zx z xy Lời giải 1. Ta cĩ p là số nguyên tố ( p * ) p2 là số cĩ c{c ƣớc dƣơng l| 1;pp ; 2 Theo đề bài ta cĩ tổng c{c ƣớc nguyên dƣơng của là một số chính phƣơng 1 p p2 k 2 ( k * ) 4k22 4 4 p 4 p 4kp2 2 1 2 3 4kp2 2 1 2 3 2k 2 p 1 2 k 2 p 1 3 (*) Ta cĩ k, p * 2210;221221 k p k p k p 2k 2 p 1 1 2 k 2 p 2 k 1 (thỏa mãn) (*) 2k 2 p 1 3 2 k 2 p 2 p 0 (không thỏa mãn) Vậy khơng cĩ số nguyên tố nào thỏa mãn đề bài 2 a2 b 2 c 2 a b c 2. Ta chứng minh bất đẳng thức với a,b,c,x,y,z 0 x y z x y z a b c ; x , ; y , ; z Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số x y z 2 2 2 2 22 a b c a b c 2 2 2 ta cĩ x y z x y z x y z x y z 2 a b c 2 . x . y . z a b c x y z 2 a2 b 2 c 2 a b c (*) x y z x y z 43
  45. a b c Dấu “=” xảy khi khi x y z y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta cĩ yz ; zx ; xy 2 2 2 x2 y 2 z 2 T y z z x x y x y z 2 2 2 2x2 2y 2 2z 2 2x yz x2yz x y2z x2 y 2 z 2 2 2x yz x2yz x y2z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cĩ 2 x y z x y z 2019 T2 4 x y z 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x y z 673 2019 Vậy gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức T khi 2 Câu 24: [TS10 Tỉnh Phú Thọ, 2019-2020] xy22 4 xy 11 Giải hệ phƣơng trình sau xy 22 yx . xy 11 Lời giải ĐKXĐ: x - 1; y 1 Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình: xy22 1 1 1 1 11 4 xy 4 xy 11 xy 11 xy 1 1 1 1 11 yx xy 2 xy 11 xy 11 1 1 Đặt xa ; yb x 1 y 1 Hệ phƣơng trình đã cho trở th|nh: a b 41 a a b 23 b + Với a = 1 ta cĩ: 44
  46. 1x ( x 1) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x x 1 x 1 x 0 ( t / m ) + Với b = 3 ta cĩ: 1y ( y 1) 1 3.( y 1) y 3 y 1 y 1 y 1 y22 y1 3 y 3 y 4 y 4 0 y 2 ( t / m ) Vậy hệ phƣơng trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất (x; y) =(0; 2) Câu 25: [TS10 Tỉnh Quảng Nam, 2019-2020] Cho hai số thực xy, thỏa mãn xy 3; 3. 11 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức T 21 x 3 y yx Lời giải 21 3x 62 3 21 7 2 T 21 x 3 y x y y y x3 3 x y 3 3 x 3 21 7 62 2 y x y 2 14 62 2 80 3xy 3 3 3 x 3 Dấu “” xảy ra y 3 Vậy gi{ trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3. Câu 26: [TS10 Tỉnh Quảng Ngãi, 2019-2020] Cho hình vuơng ABCD. Gọi S1 là diện tích phần giao của hai nửa đƣờng trịn đƣờng kính AB và AD. S2 là diện tích phần cịn lại của hình vuơng nằm S ngồi hai nửa đƣờng trong nĩi trên (như hình vẽ bên).Tính 1 S2 Lời giải. 45
  47. B C S3 S2 S4 S1 A D Gọi a l| cạnh hình vuơng ABCD. Ta cm đƣợc: 2 a 90 2 2 2 11 aa SS34  360 2 2 4 4 2 a2 1 a 2 1 a 2 1 SSS1 3 4 4 4 2 4 4 2 2 4 2 22 12 aa 1 3 Sa2 2 2 4 2 2 2 4 a2 1 S1 2 4 2 2 Do đĩ S a2 3 6 2 2 2 4 Câu 27: [TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020] Cho x, y, z l| c{c số thực dƣơng thỏa mãn . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 P x 2 y 2 z 2 xy yz zx Lời giải. x y z 3 1 2017 Ta cĩ xy yz zx nên 6051 3 3 xy yz zx 1 1 1 Áp dụng BĐT x y z 9 , ta cĩ: x y z 1 1 1 ( x 2 y 2 z 2 ) ( xy yz zx) ( xy yz zx) 9 x 2 y 2 z 2 xy yz zx xy yz zx Hay 1 1 1 ( x 2 y 2 z 2 2xy 2yz 2zx) 9 2 2 2 x y z xy yz zx xy yz zx 1 2 9 x 2 y 2 z 2 xy yz zx 46
  48. 1 2 2017 Từ đĩ ta cĩ: P 9 6051 6060 x 2 y 2 z 2 xy yz zx xy yz zx 1 P 6060 Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi x y z 3 Câu 28: [TS10 Tỉnh Sơn La, 2019-2020] Giải phƣơng trình 33 x x x Lời giải. Điều kiện 09 x Bình phƣơng hai vế phƣơng trình đã cho, ta đƣợc: 3 x x2 .( 3 x ) x32 3. x x 3 2 3 3 321 1 1 1 x 3. x . 3. x . 3 3 3 3 3 3 1 10 10 3 x 3 3 3 9 1 10 3 x 3 3 9 10 3 3 x 3 (thỏa mãn điều kiện) 93 10 3 3 Vậy phƣơng trình đã cho cĩ 1 nghiệm x 3 93 Câu 29: [TS10 Tỉnh Vĩnh Long, 2019-2020] Cho xy, là các số thực dƣơng thỏa xy 1. 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 x22 y x 1. x Lời giải. Ta cĩ: x y 11 y x thay v|o A ta đƣợc: 11 A 2 x2 y 2 x 1 2 x 2 (1 x ) 2 x 1 xx 11 2x2 x 2 2 x 1 x 1 x 2 2 x x xx 2 2 1 1 1 1 1 1 x x 44 x x x 4 xx 4 2 4 47
  49. 2 1 Dễ thấy xx 0,  2 11 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta cĩ 4xx 2 4 . 4 xx 2 1 1 1 1 15 Suy ra xx 4 0 4 2 x 4 4 4 1 Dấu "=" xảy ra khi x 2 15 1 Vậy Amin khi x . 4 2 Câu 30: [TS10 Tỉnh Thái Nguyên, 2019-2020] Cho a , b , c là các số thực dƣơng thỏa mãn a b c ab bc ac 6 . Chứng minh rằng: abc3 3 3 3. b c a Lời giải abc3 3 3 Đặt P . b c a Cĩ , , là các số thực dƣơng, theo bất đẳng thức AM-GM cĩ: 3 a 2 ab2 a b 3 3 3 3 b a b c 2 2 2 bc2 b2 . P 2 a b c ab bc ac , mà a b c ab bc ac 6 . c b c a 3 c 2 ac2 c a P 26 a2 b 2 c 2 a b c . 222 2 Cĩ a b b c a c 0 22 a2 b 2 c 2 ab bc ca 3 a2 b 2 c 2 a b c . 2 2 Suy ra P a b c a b c 6 . 3 2 Cĩ ab bc ca a2 b 2 c 2 3 ab bc ac a b c . 1 2 1 2 Do đĩ 6 abcabbcacabc abc a b c a b c 60 . 3 3 2 a b c 3 , a b c 9 . 48
  50. 2 Suy ra P .9 3 6 3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c . 3 abc3 3 3 Vậy 3. b c a Câu 31: [TS10 Tỉnh Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho ba số thực dƣơng a, b, c. Chứng minh: 2 6a 3 b 6 2 bc 16 2a b 2 2 bc 2b2 2 a c 2 3 Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta cĩ: 2 2 1 a2 c 2 2 bc VT 3 3 3 2a b 2 2 bc 22a b b c a b c Mặt kh{c theo BĐT Bu-nhi-a-cốp –xki thì: 222 16 2b22 2 ac 1 1 bac 1. bac 1. bacVP abc 3 Vậy ta chỉ cần chứng minh: 1 16 2 3 abc 1 0 1 a b c a b c 3 Ta cĩ (1) đúng hiển nhiên do đĩ bất đẳng thức đƣợc chứng minh. 1 a b c 1 ac Dấu “=” bằng xảy ra khi: bc2 4 1 b a c b 2 ĐÁP ÁN CÁC CÂU PHÂN LOẠI CHYÊN NĂM 2019-2020 Câu 32: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Cho x, y là các số thực dƣơng thỏa mãn: 4x22 4y 17xy 5x 5y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 17x22 17y 16xy Lời giải 2 Ta cĩ: 4x22 4y 17xy5x5y 1 4x y 9xy5x y 1 Đặt t x y, t 0, theo bất đẳng thức AM-GM, ta cĩ: 49
  51. 2 xy t2 9 2 2 2 2 2 2 xy . Do đĩ: 4t22 t 5t 1 t hay x y . 44 455 2 Ta cĩ: P 17x22 17y 16xy 17 x y 18xy 2 2 22 xy 25 25 2 2 2 17xy18 xy 642 4 4 4 5 21 Dấu “=” xảy ra khi xy 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 4 2 Câu 33: [TS10 Chuyên Sƣ Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xyx 2 y 6 13x22 4y 26x 24y 46 Lời giải Ta cĩ: P xyx 2 y 6 13x22 4y 26x 24y 46 x2 2xy 2 6y 13x 2 2x 4y 2 6y 46 2 2 2 2 x1 1 y3 913x1 14y3 946 Đặt a x 1, b y 3 , khi đĩ: P a2 1b 2 9 13a 2 1 4b 2 9 46 a2 b 2 9a 2 b 2 9 13a 2 13 4b 2 36 46 4a2 3b 2 a 2 b 2 6 6 a 0 x 1 0 Dấu “=” xảy ra khi x 1,y 3 b 0 y 3 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6. Câu 34: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dƣơng thỏa mãn: ab bc ca abc 4 1 1 1 1) Chứng minh rằng: 1 a 2 b 2 c 2 1 1 1 2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P. 2ab 2 2 4 2bc 2 2 4 2ca 2 2 4 Lời giải 1) Ta cĩ: 50
  52. 1 1 1 1 a 2 b 2 c 2 b2c2 a2c2 b2a2 a2b2c2 ab bc ca 4a b c 12 abc 2ab bc ca 4a b c 8 4 ab bc ca. Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tƣơng đƣơng, do đĩ đẳng thức đã cho đƣợc chứng minh. 2) Với x, y dƣơng ta cĩ bất đẳng thức: 2 2 x22 y x y (*) 1 1 1 1 ( ) x y 4 x y Thật vậy: 2 * x y 0 (luơn đúng) xy 1 22 * * x y 4xy x y 0 (luơn đúng) 4xy x y Các bất đẳng thức (*), ( ) xảy ra dấu “=” khi x = y. Lần lƣợt áp dụng (*) và ( ) ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 2 a22 b 4 a b 4 a 2 b 2 4 a 2 b 2 Tƣơng tự: 1 1 1 1 1 1 1 1 ;; 2 b2 c 2 44 b 2 c 2 2 c 2 a 2 4 4 c 2 a 2 Cộng theo vế ta đƣợc: 1 1 1 1 1 1 P .1 . 2 a 2 b 2 c 2 2 2 D}u “=” xảy ra khi a = b = c 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 Câu 35: [TS10 Chuyên Tốn Hà Nội, 2019-2020] Cho K ab 4ac 4bc với a,b,c 0 và a + b + 2c = 1. 1 1) Chứng minh rằng: K 2 2) Tìm giá trị lớn nhất của K. Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ: 51
  53. 22 b 2c a b 2c 1 1 4bc 2 2 4bc 2 2 2 2 1 Mặt khác: a,b,c 0 K ab 4ac 4bc 4bc 2 11 Dấu “=” xảy ra khi a 0,b ,c . 24 Cách khác: Ta cĩ: K ab4ca b ab21a ba b ab 2 a b 2 a22 b 2b22 a 2 b 2a 2a Do đĩ: 2b22 a2b2a2a K 0* Để tồn tại K thì phƣơng trình (*) Phải cĩ 2 nghiệm: 2 0 a 2 4.2. 2a 2a2 K 0 8K 20a 17a2 4. Vì a,b,c 0 và a b 2c 1 0 a 1 . Do đĩ: 2a 17a2 a 20 17a a 20 17.1 3a 0 1 Do đĩ 8K 4 K 2 11 Dấu “=” xảy ra khi a 0,b ,c . 24 2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ: 2 a b 2c 1 a b 2c . 24 2 a b 2c 1 Mặt khác: a,b,c 0 K ab 4ac 4bc ab 4ac 2ab 4ac 2a b 2c . Dấu “=” 22 xảy ra khi: 11 a b 2c,a b 2c 1,bc 0,ab 0 a ,b 0,c 24 1 Vậy giá trị lớn nhất của K là 2 Câu 36: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] 52
  54. 1 0 a,b,c Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a 3b 4c 3 2 9 8 P a3b 4c 2 b4a 8c 3 c2a 3b 1 Lời giải Ta cĩ: 2 9 8 P a 3b 4c 2 b 4a 8c 3 c 2a 3b 1 2 9 8 a 3 2a 2 b 6 6b 3 c 3 4c 1 2 3 4 a 1 2a b 1 2b c 1 2c 2a 3b2 4c 2 2 2 a 1 2a b 1 2b c2 1 2c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ: 2 2 a a 1 2a 1 a 1 2a 3 27 1 1 Tƣơng tự: b2 1 2b ; c2 1 2c 27 27 Suy ra: P 27 2a 3b 4c 81 1 Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 81. Câu 37: [TS10 Chuyên Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số dƣơng a, b thỏa mãn: a + b = 4ab. Chứng minh rằng: a b 1 4b22 1 4a 1 2 Lời giải Ta cĩ: 2 ab4ab ab abab1 0 ab1ab0 Lại cĩ: a 4ab22 4ab a a a ab 4b22 1 4b 1 4b b 4a22 b 4a b b b a ab 4a22 1 4a 1 4a 53
  55. a b a b 1 1 Do đĩ: 22 a b 2ab a b a b 4b 1 4a 1 2 2 2 1 Dấu “=” xảy ra khi ab 2 Câu 38: [TS10 Chuyên Hƣng Yên, 2019-2020] Cho các số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn: x2 y 2 z 2 3y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4 8 P 2 2 2 x 1 y 2 z 3 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta cĩ: 2 1 1 1 1 1 8 2 2 2 (*) ab2 a b ab Áp dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc: 1 1 8 8 8 64 P.2 2 2 2 2 2 x 1 y z 3 y z 3 y 1 x 2 x z 5 2 2 2 Mặt khác: 2 3y y2 x z 2 x2 z 2 2 3y y 2 . 2 64 64 P122 112 2 6 2y y 8 y 2 22 Dấu “=” xẩy ra khi x,y,z 1,2,1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1. Câu 39: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] 1 1 1 Cho các số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 1 b 1 c 1 a3 b 3 c 3 P a2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2 Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 9 (với x,y,z 0 ) (*) x y z x y z 1 1 1 Thật vậy: (*) a b c 9 a b c 54
  56. Áp dụng AM – GM ta đƣợc: 1 1 13 3 a b c 3 abc. 9 a b c 3 abc Vậy bất đẳng thức (*) đƣợc chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z. Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc: 1 1 1 9 1 a b c 3 9 a b c 6 a 1 b 1 c 1 a b c 3 b3 c 3 a 3 Đặt Q 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a Ta cĩ: a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 PQ a2 abb 2 b 2 bcc 2 c 2 caa 2 aba 2 abb 2 bcb 2 bcc 2 cac 2 caa 2 aabb2 2 bbcc 2 2 ccaa 2 2 a b b c c a 0 Do đĩ: P = Q 1 Mặt khác: x2 xy y 2 x 2 xy y 2 * * 3 Thật vậy: 1 2 x2 xy y 2 x 2 xy y 2 3x 2 3xy 3y 2 x 2 xy y 2 2 x y 0 3 Sử dụng ( ) ta đƣợc: a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 PQ a2 abb 2 b 2 bcc 2 c 2 caa 2 aba 2 abb 2 bcb 2 bcc 2 cac 2 caa 2 aabb2 2 bbcc 2 2 ccaa 2 2 1 1 1 a b b c c a 3 3 3 22 a b c .6 4 33 Mà P Q P 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2. Câu 40: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c dƣơng thỏa mãn abc a b c 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 55
  57. Lời giải. Từ abc a b c 2 abb1c1 a1b1 b1c1 c1a1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 x,y,z 0 Đặt x, y, z a 1 b 1 c 1 x y z 1. 1 xy z z x x y Khi đĩ: a ; b ;c x x y z 1 1 1 1 1 1 1 Nên P a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 ab bc ca 1 xyy z z x 2 yzzx zxxy xyyz 1 yy x z x z 2 yzzx zxxy xyyz 1 yy x z x z 22 yzzx zxxy xyyz 1 xyy z z x 3 2 22 xyxy yzyz zxzx 4 Dấu “=” xảy ra khi x y z hay a b c 32 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là khi a = b = c = 2. 4 Câu 41: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho x, y, z là các số thực dƣơng thỏa mãn 5x 2 y 2 z 2 9xy z 18yz 0. Tìm giá trị lớn nhất 2x y z của biểu thức: Q. yz Lời giải Ta cĩ: 5x 2 y 2 z 2 9xyz 18yz 0 2 5x2 9xy z 5y z 28yz 0 56
  58. 22 5x2 9x y z 5 y z 7.4yz 7 y z 2 5x2 9x y z 2 y z 0 2 xx 5 9. 2 0 y z y z x Đặt: t t 0 khi đĩ: yz 5t2 9t20 5t1t2 0 t 2 do 5t 1 0 x 2 yz 2x y z x Ta cĩ: Q 2. 1 2.2 1 3 y z y z x Dấu “=” xảy ra khi y z . 4 Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3. Câu 42: [TS10 Chuyên Bắc Ninh , 2019-2020] Cho x, y, z khơng âm thỏa mãn x y z 3. Tìm GTLN. GTNN của biểu thức M x2 6x25 y 2 6y25 z 2 6z25 Lời giải Ta cĩ: M x2 6x25 y 2 6y25 z 2 6z25 2 2 2 3x 16 3y 16 3z 16 a b c 6 Đặt a 3 x,b 3 y,c 3 z, Khi đĩ: 0 a,b,c 3 M a2 16 b 2 16 c 2 16 Tìm GTNN: Theo bất đẳng thức Minkowski ta cĩ: 22 M a162 b16 2 c16 2 abc 444 65 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 Tìm GTLN a 12 Sử dụng phƣơng ph{p UCT với điều kiện 0 a 3 ta đƣợc a2 16 * 3 Thật vậy: 57
  59. 2 * 9a 22 16 a12 8a 24a0 aa3 0 (đúng) Ho|n to|n tƣơng tự và suy ra: M 14 Đẳng thức xảy ra khi a,b,c 0,3,3 và các hĩa vị. Câu 43: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020] Cho x, y,z là các số dƣơng thỏa mãn xy yz zx 1 . Chứng minh rằng: 3 1 1 1 2 xy z (1) 1 x2 1 y 2 1 z 2 3 2 2 2 1 x 1 y 1 z Lời giải Ta cĩ: 1x 22 xyyzzxx xyxz Tƣơng tự: 1y 22 xyyz;1z xzyz Do đĩ: 1 1 1 2 x y z VT 1 xyxz xyyz xzzy xyyzzx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta cĩ: 2 xyy z x z x y z 2 2 2 1 x2 1 y 2 1 z 2 1 x 1 y 1 z xzy x y z xyyz xyyz xzzy 2 x y z xy yz zx x y y z z x 2 x y z . x y y z z x Suy ra: 4 x y z xzy VP . 1 3 x y y z z x 2 2 2 1 x 1 y 1 z Nhƣ thế để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh: xy z 3 2 1 x2 1 y 2 1 z 2 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ: x x 1 x x 1x 2 x y x z 2 x y x z 58
  60. y1 y y z 1 z z Tƣơng tự: ; 1 y222 x y y z 1 z 2 z x y z Cộng theo vế 3 bất đẳnng thức trên ta đƣợc bất đẳng thức (2). B|i to{n đƣợc chứng minh. 1 Dấu “=” xảy ra khi x y z 3 Câu 44: [TS10 Chuyên TP. Hồ Chí Minh, 2019-2020] Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn 0; 2 thỏa mãn điều kiện: x y z 3. a) Chứng minh rằng: x2 y 2 z 2 6 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x3 y 3 z 3 3xyz Lời giải a) Ta cĩ: 2 x 2 y 2 z 0 8 4 x y z 2 xy yz zx xyz 0 x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 8 4 x y z 2 xy yz zx xyz 2 x y z 4 x y z 8 xyz 9 4.3 8 xyz 5 xyz 5 6 b) Ta cĩ: P x3 y 3 z 3 3xyz x y z x 2 y 2 z 2 xy yz zx 312 2 2 2 2 2 3 x y z x y z 2xy yz zx 22 3 2 3 x2 y 2 z 2 x y z 2 3 3.5 9 2 9 Dấu “=” xảy ra khi x,y,z 2,1,0 và các hốn vị. Câu 45: [TS10 Chuyên Hịa Bình, 2019-2020] Cho x, y, z là các số thực dƣơng thỏa mãn: xy yz 4zx 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 16y 2 16z 2 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ: x2 8y2 4xy 2 x2 8z2 4xz 2 8y22 8z 16yz 59
  61. Cộng theo vế ta đƣợc: P x2 16y 2 16z 2 4 xy xz 4yz 128 8 6 2 6 Dấu “=” xảy ra khi x = 4y = 4z , thay v| điều kiện ta đƣợc: x ; y z 33 Câu 46: [TS10 Chuyên Quốc Học Huế, 2019-2020] Cho ba số dƣơng x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh rằng: x2y 4z 1 2x2 y 2 56y 2 z 2 6 3z 2 4x 2 16 2 Lời giải Ta cĩ: +) 2x2 y 2 5x 2 y 2 x 2 142xy2x4 x x x 2x22 y 5 2xy 2x 4 2 xy x 2 ) 6y2 z 2 6 4y 2 z 2 2y 2 2 4 4yz 4y 4 2y 2y y 6y22 z 6 4yz 4y 4 2 yz y 1 Do đĩ: xzy VT 2 xy x 2 2 yz y 1 zx 2z 2 x y yz 2 xy x xyz 2 yz y 1 xyz 2yz 2y 1 y yz 2yzy1 2yzy1 2yzy1 yz y 1 2 yz y 1 1 2 Dấu “=” xảy ra x = y = 1, z = 2. Câu 47: [TS10 Chuyên Tin Hịa Bình, 2019-2020] Cho các số thực dƣơng x, y thỏa mãn: x y 1. 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 x22 y xy Lời giải Theo AM-GM ta cĩ: 1 1 1 1xy2xy xy xy 4 2 4 xy 60
  62. Do đĩ: 1 1 2 1 P 1 x2 y 2 1 x 2 y 2 2 xy x yxy xy Suy ra: 1 1 15 1 15 P 2 xy 2 xy 2 2 .xy xy 16xy 16xy 16xy 16xy 1 15 P 2 .4 17 2 16 1 Dấu “=” xảy ra khi xy 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17 Câu 48: [TS10 Chuyên Tiền Giang, 2019-2020] 2 Cho hai số dƣơng x, y thỏa mãn 2x 33 y 6xyxy2 xy xy4 1x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T1 2 y x Lời giải Ta cĩ: 2 2x 33 y 6xyxy2 xy xy4 32 2xy 12xy xy xy4 Đặt a x y,b xya,b 0 khi đĩ: 2a3 12b a 2 b 4 b a 2 12 2a 3 4a 2 Do VT > 0 nên 2a3 4a 2 0 2aa2 2 0 a2 Ta cĩ: 1x y 1 x22 y xy 1a 2 a1a12a1 2 4 2 T 1 1 32 2yx 2 xy 2b 2b24a 8a 2 5 Ta sẽ chứng minh: T 2 2 2 5 a42 12a a 6 a Thật vậy: T 3 0 (luơn đúng  a2 ) 2 4a3 8a 2 4a 2 a 2 Dấu “=” xảy ra khi a = 6, b = 6 hay x 3 3,y 3 3 hoặc x 3 3,y 3 3 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 61
  63. Câu 49: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] Cho các số thực dƣơng x, y. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y2 xy P2 yx22 xy Lời giải Ta cĩ: x2 y2xy x 4 2x 2 y 2 y 4 xy P2 y2 x 2x y x 2 y 2 x y 2 x2 y 2xy x 2 y 2 xy xy x y xy x y 2 xy22 xy xy xy P 2 2 2 xy x y xy x y xy xy 1 1 1 Đặt t .Theo AM – GM thì: x y 2 xy t 2 xy x y 2 2 t Khi đĩ: 1 t t 1 15 P t 2 2 t2 22 16t 2 16t 2 t t 1 15 3 2 3 . .2 .2 2 2 216t 16 1 15 3. 2 44 5 2 Dấu “=” xảy ra khi x = y 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 Câu 50: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Với x, y là các số thực thỏa mãn 1 y 2 và xy 2 2y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x42 M y12 Lời giải. Theo giải thiết ta cĩ: 4xy 8 8y. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta cĩ: 4x22 y 4xy. Suy ra: 4x22 y 8 4xy 8 8y. Do đĩ: 4x 2 4 88yy 2 4y 2 1 5y22y 4y 2 1. 62
  64. x42 Suy ra: x22 4 y 1 M 1 y12 Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1. Câu 51: [TS10 Chuyên Hƣng Yên, 2019-2020] 9 Với x, y là cá số thực thỏa mãn 2 x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 A x4 4x 3 6x 2 4x 2 y 4 8y 3 24y 2 32y17. Lời giải Ta cĩ: A x4 4x 3 6x 2 4x2 y 4 8y 3 24y 2 32y17 44 1 x 1 1 y 2 Đặt a x 1, b y 2 , ta đƣợc A 1 a44 1 b 95 Từ giả thiết ta đƣợc: a 1 b 1 a b ab 44 Theo AM – GM ta cĩ: 4a2 1 4a 1 22 2 a b a b (1) 4b 1 4b 2 1 a2 b 2 2ab a 2 b 2 ab 2 2 3 1 5 1 3 1 Cộng theo vế (1) v| (2) ta đƣợc: a2 b 2 a b ab a 2 b 2 2 2 4 2 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc: 2 22 A1a1b 4 4 11ab 2 2 ab 2 2 4 2 1 17 4 22 1 1 5 Dấu “=” xảy ra khi a b x ,y . 2 2 2 17 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 Câu 52: [TS10 Chuyên Bình Thuận, 2019-2020] 1 Cho các số dƣơng x, y, z thỏa xyz . Chứng minh rằng: 2 yzzx xy xy yz zx. x2 y z y 2 z x z 2 x y 63
  65. Dấu “=” xảy ra khi nào: Lời giải Ta cĩ: yzzx xy xy yz zx x2 y z y 2 z x z 2 x y 111 2 xz22y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x y z y z x z x y 1 1 1 Đặt a ,b ,c abc 2 x y z Khi đĩ ta cần chứng minh: a2 b 2 c 2 a b c b c a c a b 2 Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: 2 a2 b 2 c 2 a b c a b c VT VP (đpcm) b c a c a b2 a b c 2 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z. Câu 53: [TS10 Chuyên Hải Phịng, 2019-2020] Cho x; y;z là ba số thực dƣơng thỏa mãn x(x z) y(y z) 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 y3 x 2 y 2 4 P 2 2 2 2 x z y z xy Lời giải x3 xz 2 xz 2 z Áp dụng bất đẳng thức Cơsi x x x . x2 z 2 x 2 z 2 2xz 2 y3 z x22 y 4 Tƣơng tự y . Suy ra P x y z . yz22 2 xy xy22 4 Theo gt z P x y 4 . xy xy Vậy Pmin 4 x y z 1. Câu 54: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho ba số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 1a b51b2 c51c 2 a5 2 P ab a 4 bc b 4 ca c 4 Lời giải 64
  66. 221xy 1 1 1 1 Với x, y dƣơng ta cĩ: x y 0 x y 4xy (*) x y 4xy x y 4 x y Dấu “=” xảy ra khi x = y. Ta cĩ: 2 2 1 a b 5a22 b 2a 6 2ab 2a 6 2 ab a 4 2 2 2 aba4 aba4 aba4 aba4 aba4 2222 1 b c 522 1 c a 5 Tƣơng tự: 2 ; 2 bc b 4 bc b 4 ca c 4 ca c 4 1 1 1 Do đĩ: P 6 2 6 2Q ab a 4 bc 4 4 ca c 4 1 1 1 1 1 Áp dụng (*) ta đƣợc: . ab a 4 ab a 1 3 4 ab a 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Tƣơng tự: ; bc b 4 4 bc b 1 3 ca c 4 4 ca c 1 3 Do đĩ: 1 1 1 1 1 1 1 1 Q 1 2Q 1 4 ab a 1 bc b 1 ca c 1 2 ab a 1 bc b 1 ca c 1 1 1 1 1 P 6 1 2 ab a 1 bc b 1 ca c 1 1 c ac 1 61 2 abc ac c bc.ac abc 1 ca c 1 1 c ac 1 61 2ca c1 ca c1 ca c1 1 6 .2 2 5 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5. Câu 55: [TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020] ab bc ca 1 Cho các số thực dƣơng a, b, c. Chứng minh rằng: a b c a b 2c b c 2a c a 2b 4 Lời giải 221xy 1 1 1 1 Với x, y dƣơng ta cĩ: x y 0 x y 4xy (*) x y 4xy x y 4 x y Dấu “=” xảy ra khi x = y. ab ab ab 1 1 Sử dụng (*) ta đƣợc: a b 2c a c b c 4 a c b c 65
  67. bc bc 1 1 ca ca 1 1 Tƣơng tự: ; bc2a 4baac ca2b 4cbba Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta đƣợc: ab bc ca a b2c bc2a ca2b ab1 1 bc1 1 ca1 1 4acbc 4baac 4cbba 1 ab bc ab ca bc ca 4 c a b c a b 1 b a c a b c c a b 4 a c b c a b 1 a b c dpcm 4 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Câu 56: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn: abc 1. Chứng minh rằng: a b c 3 b ac c ab a bc 2 Lời giải Ta cĩ: a c a 2b c a 2b c b ac b b ac 2 2 2 Mặt khác: 1 2 a a2 22a 42a b aca 2b c b ac a 2b c 4 a 2b c a 2b c 4 4 4 2a 12 2a abc3abc3 3 abc 4 3 a2bc47a10b7c a b c VT 12 2 7a 10b 7c 7b 10c 7a 10a 7b 7c Do đĩ: 2 a b c 12 2 7a 2 b 2 c 2 17ab bc ca 2 a2 b 2 c 2 abbcca 7a 2 b 2 c 2 17abbcca 8abc 22 Mặt khác: 122abc 122abc 3 dpcm 2 2 2 2 7a b c 17ab bc ca 8 a b c 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 66
  68. Câu 57: [TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn a b c 4 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a a b b c c P . a 3 b b 3 c c 3 a Lời giải Ta cĩ: a a b b c c P a 3 b b 3 c c 3 a a2 b 2 c 2 a 3ab b 3bc c 3ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: a2 b 2 c 2 P a 3ab b 3bc c 3ac 2 a b c a b c 3 ab bc ca a b b c c a Mặt khác theo AM-GM: ab bc ca a b c 2 2 2 2 a b c a b c Do đĩ: P1 a b c 3 a b c 4 4 Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1. Câu 58: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] a b c a b c Cho các số dƣơng a, b, c. Chứng minh: 4 . b c a 3. a2 b 2 c 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: 2 a2 b 2 c 2 a b c a b c ab bc ca VT ab bc ca3. a2 b 2 c 2 ab bc ca a 2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 ab bc ca 2 ab bc ca a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 1 ab bc ca 1 ab bc ca a 2 b 2 c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca 22a b c a b c 2 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta đƣợc: 67
  69. a2 b 2 c 2 1 abbcca1 abbcca 1 3 VT 3 .2 2 2 . 2 2 2 2 2 ab bc ca 2a b c 2 a b c 2 31 2 4 dpcm 22 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Câu 59: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020] Cho a, b, c là các số thực dƣơng thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng: a b2 1 b c 2 1 c a 2 1 2 Dấu “=” xảy ra khi nào? Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc: 2 2 2 ab1bc1ca12 2 2 ab a 2 bc b 2 ca c 2 2 2 2 abbcca a bc abbcca 3abbcca 1 3 2 dpcm 1 Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 Câu 60: [TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020] Cho a, b, c là các số dƣơng thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c R 1 b2 1 c 2 1 a 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: a ab22 ab ab a a a 1 b22 1 b 2b 2 b bc c ca Tƣơng tự: b ; c 1 c2222 1 a Cộng theo vế 3 bất đẳng trên ta đƣợc: a b c ab bc ca R a b c 1 b2 1 c 2 1 a 2 2 2 a b c 332 a b c 3 6 6 2 1 Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của R là 2 Câu 61: [TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020] 68
  70. 3 Cho x, y, z là số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện x y z . Chứng minh rằng: 2 x 2xy 4xyz 2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: 1 x 2xy 4xyz x x.4y z 2 22 1 3 1 x x. y z x x x 2 2 2 22 x x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 1 x2 2x 2 2 x 2 x 1 2 3 2 Do x y z 0 x 2 x 2 0 . Vì thế: x 2xy 4xyz x 2 x1 2 2 (đpcm) 2 1 Dấu “=” xảy ra khi x 1,y ,z 0 2 Câu 62: [TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020] Cho a, b, c là các số thực dƣơng thỏa mãn a b b c c a 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 1 thức: P 3 abc a 2b b 2c c 2a Lời giải. Trƣớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 8 abbcca abcabbcca 9 Thật vậy: abbcca abcabbcca abc abbcca abbcca Lại theo BĐT AM-GM ta cĩ: abc ab. bc. ca . . 2 2 2 8 Suy ra: abbcca abcabbcca abc a b b c c a a b c ab bc ca 8 8 Suy ra đpcm: abbcca abcabbcca 9 9 ab bc ca a b c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta cĩ: 69
  71. 1 1 1 9 3 ab bc ca a2bb2cc2a 3 a b c abc 3 2 Lại cĩ: ab bc ca 3 ab2 c a 2 bc abc 2 3abc a b c 2 92 1 a b c 1 a b c 2 3abc a b c a b c abc 273 abc 3 1 1 1 1 a b c 3 Suy ra: P2 3 abc a2bb2cc2a 3 abc a b b c c a 8 Dấu “=” xảy ra khi: a b c a b c 1 3 a b c a b c 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi a = b = c = 1. Câu 63: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] 1 1 1 Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P a2 ab 3b 2 1 b 2 bc 3c 2 1 c 2 ca 3a 2 1 Lời giải Ta cĩ: a2 ab3b 2 1 a 2 2abb 2 ab b 2 1 b 2 2 ab ab b2 1 b 2 b 2 ab2bbab2 11 a22 ab 3b 1 b a b 1 a22 ab 3b 1 b a b 1 1 1 1 1 Tƣơng tự: ; b2 bc 3c 2 1c b c 2 c 2 ac 3a 2 1 a c a 2 221xy 1 1 1 1 Với x, y dƣơng ta cĩ: x y 0 x y 4xy (*) x y 4xy x y 4 x y Dấu “=” xảy ra khi x = y. Cộng theo vế và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: 70
  72. 1 1 1 P bab2 cbc2 aca2 2 2 2 4b a b 2 4c b c 2 4a c a 2 AM GM 1 1 1 1 1 1 4b a b 2 4c b c 2 4a c a 2 1 1 1 1 1 1 1 4abc ab2bc2ca2 Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc: 1111 111111111 P 4abc 4ab2 4bc2 4ca2 3111111 111 111 4 8 8 8 16 a b 16 b c 16 c a 3 3 1 1 1 1 4 8 8 a b c 3 3 3 3 4 8 8 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 3 Vậy giá trị nhỏ là P là . 2 Câu 64: [TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020] 3 Chứng minh a b c 9abc 4 a b c ab bc ca với x, y, z là các số thực khơng }m. Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c là số thực khơng âm thì: aabac bbcba ccacb 0 Biến đổi ta đƣợc hệ quả: a3 b 3 c 3 3abcabc 2 bca 2 cab 2 3 Mặt kh{c ta cĩ đẳng thức: abc a3 bc3abbcca 3 3 3 Khi đĩ ta cĩ: abc 9abc a3 b 3 c 3 9abc3abbcca Do đĩ: VTabc 2 bca 2 cab 2 9abc3abbcca Ta l| cĩ 2 đẳng thức: ) abc2 bca 2 cab 2 9abc abcabbcca ) abc a b b c c a a b c ab bc ca 71
  73. Do đĩ: abc2 bca 2 cab 2 9abc3abbcca 4abcabbcca Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Câu 65: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho 3 số dƣơng x, y, z. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yz zx P 2xz2yz 2yx2zx 2zy2xy Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta đƣợc: 2 2xz2yz xxzyzy xy zx yz Do đĩ: xy xy xy xy 2x z 2y z 2x z 2y z 2 xy yz zx xy yz zx yz yz zx zx Tƣơng tự: ; 2yx2zx xy zx yz 2zy2xy xy zx yz xy zx yz Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta đƣợc: P1 xy zx yz Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Vậy giá trị lớn nhất của P là 1. Câu 66: [TS10 Chuyên Bình Phƣớc, 2019-2020] 1) Cho x, y là các số dƣơng thỏa mãn xy 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x 1 y 1 xy 3 2) Cho x, y là các số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện: x y 4xy 12 11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2018xy 1 x 1 y Lời giải 1) Ta cĩ: 72
  74. 1 1 2 1 1 1 1 0 1 x 1 y1 xy 1 x 1 xy 1 y 1 xy 1 xy 1 x 1 xy 1 y 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy xy x 1 y xy y 1 x 0 1 x 1 y 1 xy x y x 1 y y x y 1 x 0 1 x 1 y 1 xy y x x y x y x y 0 1 x 1 y 1 xy y x x y xy y x 0 1 x 1 y 1 xy y x y x xy 1 0 1 x 1 y 1 xy 2 y x xy 1 0 (đúng  xy 1 ) (1) 1 x 1 y 1 xy Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. Bất đẳng thƣc (1) đúng c{c phép biến đổi l| tƣơng đƣơng nên b|i to{n đƣợc chứng minh. 2) Sử dụng AM-GM ta cĩ: 3 3 12 x y 4xy 2 xy 4xy 8xy xy 4xy Đặt xy t t 0 , khi đĩ: 8t3 4t 2 120 2t 3 t 2 30 2t 3 2t 2 3t 2 30 2tt122 3t1t1 0 t12t 3t3 0 t1 Áp dụng bất đẳng thức ở ý 1 ta cĩ: 1 1 2 2 P 2018xy 2018xy 2018t2 1 x 1 y1 xy 1 t 2 Ta sẽ chứng minh: 2018t2 2019 * 1t Thật vậy: 73
  75. 2 2 * 1 2018 t 1 0 1t 1t 2018 t 1 t 1 0 1t 1 1 t 2018 t 1 0 (đúng do 0 t 1 ) 1t Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. Vậy giá trị lớn nhất của P là 2019. Câu 67: [TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020] Cho 3 số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn a2 b 2 c 2 3. Chứng minh rằng: a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 2 a 2b b 2c c 2a Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: a3 b 3 c 3 a 4 b 4 c 4 ) a 2b b 2c c 2a a2 2ab b 2 2bc c 2 2ca 22 a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca a2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 3 32 b3 c 3 a 3 b 4 c 4 a 4 ) a 2b b 2c c 2a ab 2b2 bc 2c 2 ca 2a 2 22 a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 abbcca2a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2a 2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 3 32 a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 Cộng theo vế ta đƣợc: 2 (đpcm) a 2b b 2c c 2a 2 Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 Câu 68: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3; y 3. 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 21 x 3 y . yx Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta cĩ: 74
  76. 1 1 x 3 7y 21 62 2 T 21 x 3 y x y y x 3 x 3 y 3 3 x 37y 21 62 2 2 . 2 . .3 .3 3 x 3 y 3 3 2 2.7 62 2 80 Dấu “=” xảy ra khi x = y = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80. HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I. BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI 1 Bài 1. Cho x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 8 x2 4 x 15 . 4x2 1 Bài 2. Cho x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 4 x2 3 x 2011. 4x xy22 Bài 3. Cho xy 0 và xy 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H . xy Bài 4. Cho a 1; b 1. Chứng minh a b 11 b a ab . 11abc Bài 5. Cho a 9; b 4; c 1. Chứng minh ab c 1 bc a 9 ca b 4 . 12 Bài 6. Cho a 0; b 0; a22 b 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M a b a 22 b b a b a . Bài 7. Cho x 0; y 0; x22 y 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 14 x 10 y y 14 y 10 x . Bài 8. Cho x 0; y 0 và xy x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y . Bài 9. Cho abc, , 0 và ab bc ca 1. abc Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P . abc2 1 2 1 2 1 Bài 10. Cho các số dƣơng a,, b c thỏa mãn abc 1 ab bc ca 3 chứng minh c ab a bc b ca 2 Bài 11. Cho a 0, b 0, c 0 và ab bc ca 3 abc a222 b c Tìm giá trị nhỏ nhất của P c c2 a 2 a a 2 b 2 b b 2 c 2 Bài 12. Cho và a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 1 9b2 1 9 c 2 1 9 a 2 75
  77. 1 1 1 1 Bài 13. Cho abc, , 0 và 2 . Chứng minh rằng abc . 1 abc 1 1 8 Bài 14. Cho a 0, b 0, c 0 và abc2 2 2 1. Chứng minh : ab bc ca bc ca ab a) abc b) 3 c a b a b c Bài 15. Cho a,, b c l| độ dài ba cạnh của ABC . Chứng minh abcbcacab abc 5 Bài 16. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa 2 . a 6 24 Bài 17. Cho x 0, y 0 và xy 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y . xy 28 1 Bài 18. Cho và xy 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x22 y . xy Bài 19. Cho 2 x 3, 4 y 6, 4 z 6 và x y z 12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz . x 8 xy2 Bài 20. Cho và 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K . 2 y yx 2 xy 1 xy x y Bài 21. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . xy x y xy 1 2 xy22 xy Bài 22. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . xy x y Bài 23. Cho thỏa mãn b2 c 2 a 2 . 12 2 2 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 b c a 2 2 . a b c 11 22 Bài 24. Cho và xy 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 x y . xy 11 Bài 25. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 xy . x22 y xy 2 2 11 Bài 26. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x y . xy 3 3 11 Bài 27. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 11 x y . xy Bài 28. Cho và 2x22 2 xy y 2 x 8. 24 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 23 x y . xy Bài 29. Cho a 0, b 0, c 0 thỏa mãn 2 b2 bc c 2 3 3 a 2 . 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b c . a b c Bài 30. Cho a 0, b 0 và a33 b 68 ab . 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab. a22 b ab 76
  78. Bài 31. Cho a 0, b 0 và a22 b a b . 2020 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a44 b . ab 2 Bài 32. Cho x 0, y 0 và xy 1 1 4. xy22 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . yx II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA Bài 1. Cho 4xy 9 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 49 x22 y . Bài 2. Cho 4xy 3 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 43 x22 y . Bài 3. Cho x 0, y 0, z 0 và x y z 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y 2 z 2 . 6 Bài 4. Cho 32xy22 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 23 x y . 35 1 Bài 5. Cho 4ab22 25 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H 65 a b . 10 3 Bài 6. Cho x2 y 2 z 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z . 4 Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 13 x khi 13 x . Bài 8. Cho a 0, b 0, c 0 và abc 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K 4 a 5 4 b 5 4 c 5 . Bài 9. Cho và abc 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P b c c a a b . Bài 10. Cho abc, , 0 và abc 3. a b b c c a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M . 2 2 2 III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bài 1. Cho x2 , y1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Axy2x24y124 . 1 Bài 2. Cho x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E 5x 62x 7 43x1 2 3 Bài 3. Cho x1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T x x 1 3 x 7 28 . Bài 4. Cho x 15 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Fx 2 x x15x3 2 x15 2 x338 . Bài 5. Cho a 0,b 0,c 0 và a b c 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T a2 4ab b 2 b 2 4bc c 2 c 2 4ca a 2 . Bài 6. Cho x 0,y 0,z 0,x y z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S x2 xyy 2 yyzz 2 2 zzxx 2 2 . Bài 7. Cho 2 a,b,c 3 và a2 b 2 c 2 22 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M a b c. Bài 8. Cho x 0, y 0,z 0 thỏa mãn x y z 6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A x2 y 2 z 2 . 77
  79. Bài 9. Cho a,b,c 0 và a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: K 3a 1 3b 1 3c 1 . Bài 10. Cho 0 a,b,c 2 và a b c 3 . Chứng minh: ab bc ca 2 . Bài 11. Cho a 1,b 1,c 1 và ab bc ca 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P a2 b 2 c 2 . Bài 12. Cho 1 x, y,z 1, x y z 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T x y z . Bài 13. Cho 2 a,b,c 2 và a b c 0. Chứng minh: a4 b 4 c 4 32. 3 Bài 14. Cho 0 x, y,z 1 và x y z . 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P x2 y 2 z 2 . Bài 15. Cho 0 x, y,z 2 và x y z 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: Mx 4 y 4 z 4 121x1y1z . Bài 16. Cho 0 a,b,c 4 và a b c 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P a2 b 2 c 2 ab bc ca . Bài 17. Cho a 0,b 0,c 0 và a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P b c c a a b . Bài 18. Cho và a b c 3 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 19. Cho và a b c 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: F 3a 1 3b 1 3c 1 . Bài 20. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2a2 3a 4 2b 2 3b 4 2c 2 3c 4 . Bài 21. Cho x, y 0 thỏa mãn: x y 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x44 1 y 1 . Bài 22. Cho a b 4ab 4a22 4b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 20 a3 b 3 6 a 2 b 2 2013 . Hết 78