Đề cương ôn tập cả năm môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề cương ôn tập cả năm môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CẢ NĂM – TOÁN 9 NĂM HỌC 2022 – 2023 PHẦN I : ĐẠI SỐ Chương I: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương 1. Định nghĩa căn bậc hai kết quả đó. Với số dương a có hai căn bậc hai đối nhau. * Tổng quát: Với A ≥ 0 v B > 0, ta có : A A a; a .a được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 : là căn bậc hai số học của 0 B B x 0 9. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn x = a 2 2 Với B 0, ta có A B A B x a 2 10. Đưa thừa số vào trong dấu căn * Nhận xét : Với a ≥ 0, ta có: a a2 a Với A 0; B 0, ta có: A B A2 B 2. Định lý 1 : Với hai số a, b không âm, ta có: Với A 0 ta có: 4. Hằng đẳng thức A A = B B A ; A 0 C C( A  B) Định lý : Với mọi số a, ta có a 2 a + VớiA 0 và A B2, ta có: A B A B 2 5. Định lý 2 : Với hai số a và b không âm, ta có : + Với A 0, B 0 và A B, ta có: a.b a. b C C( A  B) 6. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai A B A B phương một tích của các số không âm, ta có thể khai 13. Khái niệm căn bậc ba phương từng thừa số rối nhân các kết quả với nhau * Quy tắc nhân các căn thức bậc hai : Muốn nhân * Định nghĩa : Căn bậc ba của một số a là số x sao 3 các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân cho x = a các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả * Chú ý : ( 3 a)3 3 a 3 a đó. * Nhận xét : * Tổng quát: Với A ≥ 0 và B ≥ 0, ta có : - Căn bậc ba của số dương là số dương A.B A. B - Căn bậc ba của số âm là số âm 7. Định lí 3 : Với số a không âm và số b dương, ta có - Căn bậc ba của số 0 là chính số 0 a a b b * Tính chất căn bậc ba : 8. Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai Căn bậc ba còn có các tính chất sau a phương một thương , trong đó số a không âm và số a) a 3 a 3 b b b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, b) 3 ab 3 a.3 b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai . * Quy tắc chia hai căn thức bậc hai : Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 1
2. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 a 3 a - Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0; trùng c) b 0 : 3 với đường thẳng y = ax, nếu b = 0 b 3 b * Chú ý : Đồ thị của hàm số y = ax + b ( b 0) còn Chương II : HÀM SỐ BẬC NHẤT được gọi là đường thẳng y = ax + b; b đựợc gọi là 1. Khái niệm hàm số tung độ của đường thẳng - Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại luợng thay đổi x * Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được Cách 1: Xác định hai điểm bất kì của đồ thị. chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm Cho x = 0 y = b, đặt A(0 ; b) số của x, và x được gọi là biến số Cho x = 1 y = a + b, đặt B(1 ; a + b) - Khi hàm số được cho bằng công thức y = f(x), ta Vẽ đường thẳng qua điểm A và B ta được đồ thị của hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị mà tại đó hàm số y = ax + b f(x) xác định. Cách 2: Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa - Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f(x), y = độ Ox, Oy g(x), Cho x = 0 y = b, đặt P(0 ; b) b b - Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được Cho y = 0 x , đặt Q ( ;0) gọi là hàm hằng. a a 2. Đồ thị của hàm số Vẽ đường thẳng qua điểm P và Q ta được đồ thị của Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị hàm số y = ax + b tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ 6. Đường thẳng song song.Đường thẳng cắt nhau thị của hàm số y = f(x) Hai đường thẳng d1: y = ax + b (a 0) 3. Hàm số đồng biến, nghịch biến và d2: y = a’x + b’ (a’ 0) . * Tổng quát : Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi * d1 cắt d2 a a’ giá trị của x thuộc R * d1 // d2 a = a’ , b b’ a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng * d1  d2 a = a’ và b = b’ f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là * Chú ý : Khi a a’, b = b’ thì hai đường thẳng cắt hàm số đồng biến trên R( gọi tắt là hàm số đồng biến) nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ chính là b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương b. ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là 7 .Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch (a 0 ) biến) a) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0) với * Với x1, x2 bất kì thuộc R trục Ox. Nếu x f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R y y 4. Hàm số bậc nhất T T * Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax +b, trong đó a, b là các số cho O trước và a 0 A O x A x * Chú ý : Khi b = 0 hàm số có dạng y = ax . a > 0 a 0, là góc nhọn a) Đồng biến trên R khi a > 0 + a < 0, là góc tù b) Nghịch biến trên R, khi a < 0 * a đuợc gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b 5. Đồ thị hàm số bậc nhất * Chú ý: Khi b = 0 thì ta có hàm số y = ax ; a cũng là Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường hệ số góc của đường thẳng y = ax. thẳng: * Bổ sung - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Công thức tính độ dài đoạn thẳng: Với A(xA ; yA); B(xB ; yB) . Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 2
3. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 2 2 a b c Độ dài đoạn thẳng AB = xB - xA + yB - yA d1 // d2 (I) vô nghiệm a' b' c' Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC a b c d1  d2 (I) vô số nghiệm NHẤT HAI ẨN a' b' c' 1. Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn: 6. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax + by = c * Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phương trình đó thành trong đó a, b là các số đã biết (a 0 hoặc b 0) hệ phương trình trong đó có một phương trình một ẩn - Nếu giá trị vế trái tại x = x0 ; y = y0 bằng vế phải thì * Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm (x0, y0 ) là 1 nghiệm của phương trình của hệ đã cho - Các khái niệm : tập nghiệm, phương trình tương 7. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đương, qui tắc chuyển vế, qui tắc nhân: có thể áp đại số dụng cho phương trình bậc nhất hai ẩn * Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích 2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó 1) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đựơc biểu diễn nhau. bởi đường thẳng ax + by = c * Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương 2) Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng đó chính là đồ trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số a c của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình thị của hàm số y x b b một ẩn) + Nếu a 0 và b = 0 thì đường thẳng song song hoặc * Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra trùng với trục tung nghiệm của hệ đã cho. + Nếu a = 0 và b 0 thì đường thẳng song song 8. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. hoặc trùng với trục hoành B1: Lập hệ phương trình 3. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai +Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn ẩn: +Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng : lượng đã biết. +Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ của các ax + by = c (I) đại lượng a'x + b'y = c' B2: Giải hệ phương trình +Nếu hai phương trình này có nghiệm chung (x0 ; y0 B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận. ) thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ (I) + Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a 0). chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 4. Minh họa hình học : 1. Khái niệm hàm số bậc hai: là hàm số cho bởi ax + by = c d 1 công thức có dạng y = ax2(a ≠ 0) Cho hệ phương trình (I) 2. Tính chất của hàm số y = ax2 (a 0) a'x + b'y = c' d2 2 Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp nghiệm của hệ Hàm số y = ax (a 0), xác định với giá trị của x phương trình đuợc biểu diễn bởi tập hợp các điểm thuộc R chung của d1 và d2 Tính chất: + Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 đồng biến khi x > 0 và + Nếu d1 cắt d2 hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất nghịch biến khi x 0 Đồ thị : ax + by = c d1 2 (I) Đồ thị của hàm số y = ax (a 0) là một đường cong a'x + b'y = c' d2 đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. a b Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O d1 cắt d2 (I) có nghiệm duy nhất + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là a' b' điểm thấp nhất của đồ thị. Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 3
4. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 + Nếu a 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt : 2 2 2 2 x1 x2 (x1x2 ) P -b + -b - •Bình phương của hiệu các nghiệm: x1 = và x2 = 2a 2a (x x )2 (x x )2 4x x = S2 – 4P. b 1 2 1 2 1 2 • = 0 : phương trình có nghiệm kép: x =x =- •Tổng lập phương các nghiệm: 1 2 2a x3 x3 (x x )3 3x x (x x ) = S3 – 3PS • 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân nghiệm trái dấu * Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai b' ' b' ' biệt x ; x Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) , a 0 1 a 2 a + Phương trình (1) có nghiệm ≥ 0 • Nếu ’ = 0, phương trình (1) có nghiệm kép + Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b' x1 = x2 = - > 0 hoặc a . c 0 a + Phương trình (1) vô nghiệm < 0 • Nếu ’ < 0, phương trình (1) vô nghiệm + Phương trình (1) có nghiệm kép = 0 6. Hệ thức Vi- ét : + Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P < 0 *) Định lí Vi-ét: + Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu - Nếu x ; x là nghiệm của phương trình ax 2 + bx + 1 2 0 b c c = 0 (a 0) thì : S = x1 + x2 = ; P = x1 . x2 = P 0 a a *) Cách nhẩm nghiệm: + Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có: 0 a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x 1 = 1; S 0 c P 0 x2 = a + Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt 2 + Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có: 0 a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x = -1; 1 S 0 c x2 = P 0 a *) Tìm hai số biết tổng và tích: 7. Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: u v S Tìm hai số u và v biết ax4 + bx2 + c = 0 , a 0 (1) u.v P Cách giải : Đặt t = x2 , t 0 Hai số u và v là nghiệm của phương trình bậc hai: PT trở thành : at2 + bt + c = 0 (2) x2 – Sx + P = 0 Giải phương trình (2) theo ẩn t Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 4
5. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 Lấy giá trị t 0 để thay vào t = x2 rồi tìm x. 10. Giải bài toán bằng cách lập phương trình. 8. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức B1: Lập phương trình Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn B1: Tìm ĐKXĐ B2: Quy đồng và khử mẫu hai vế + Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại B3: Giải phương trình vừa tìm được. lượng đã biết. B4:Đối chiếu nghiệm vừa tìm với ĐKXĐ rồi kết luận. + Lập phương trình biểu thị mối quan hệ của các đại 9. Phương trình tích : lượng A(x) = 0 B2: Giải phương trình A(x) . B(x) = 0 B : Kiểm tra với điều kiện, kết luận. B(x) = 0 3 Các công thức biến đổi, hằng đẳng thức 1/ (a b) 2 a 2 2ab b 2 8/ ( a b) 2 a 2 ab b đk a,b 0 2/ (a b) 2 a 2 2ab b 2 9/ ( a b) 2 a 2 ab b đk a,b 0 3/ a 2 b 2 (a b)(a b) 10/ a b a b a b đk a,b 0 4/ (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 11/ ( a b)3 a a 3a b 3b a b b 5/ (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 12/ ( a b)3 a a 3a b 3b a b b 6/ a 3 b3 a b a 2 ab b 2 13/ a a b b a b a ab b 7/ a 3 b3 a b a 2 ab b 2 14/ a a b b a b a ab b BÀI TẬP PHẦN ĐẠI SỐ I- CĂN THỨC BẬC HAI Bài 1: Đưa các biểu thức sau về dạng bình phương. a) 3 2 2 b) 3 8 c) 9 4 5 d) 23 8 7 2 2 2 2 HD: a) 2 1 b) 2 1 c) 5 2 d) 4 7 Bài 2 Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa a) 2x 7 b) 3x 4 c) 1 x2 Bài 3 : Rút gọn biểu thức 2 2 2 2 a) (4 2) b) (3 3) c) (4 17) d) 2 3 (2 3) e) 4 2 3 f) 23 8 7 7 g) 9 4 5 5 Bài 4: Rút gọn biểu thức a) ( 8 3 2 10) 2 5 b)0,2 ( 10)2 .3 2 ( 3 5)2 c) 2 2 3)2 2.( 3)2 5 ( 1)4 d) ( 6 5)2 120 e)9 17. 9 17 f) 2 2( 3 2) (1 2 2)2 2 6 1 1 1 g) 5 20 5 h) 4,5 12,5 i) 20 45 3 18 72 5 2 2 k) ( 28 2 3 7) 7 84 l) 5 a 4b 25a3 5a 16ab2 2 9a ( Với a > 0, b > 0) Bài 5: Rút gọn biểu thức 2 2 15 5 14 7 15 5 1 a a a) b) c) : d) 1 2 1 3 1 2 1 3 7 5 1 a 2 3 6 216 1 x2 5 6 14 2 2 x2 2 2x 2 e) . f) g) h) i) 2 8 2 3 6 x 5 2 3 28 3 1 3 1 x 2 Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 5
6. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 x x 1 x 1 Bài 6: Cho biểu thức: A = x 1 x 1 9 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị biểu thức A khi x = . 4 x 0 x HD: a) ĐKXĐ là: , rút gọn biểu thức ta có: A = . x 1 x 1 9 b) x = thì A = 3 4 x 1 2 x 2 5 x Bài 7: Cho biểu thức: B = x 2 x 2 x 4 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B. b) Tìm x để B = 2. x 0 3 x HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: B = . b) B = 2 x = 16. x 4 x 2 1 1 a 1 a 2 Bài 8: Cho biểu thức: C = : a 1 a a 2 a 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C. b) Tìm giá trị a để C dương. a 2 HD: a) Điều kiện: a > 0, a 4, a 1 , rút gọn biểu thức ta có: C = b) C dương khi a > 4. 3 a x 1 1 2 Bài 9: Cho biểu thức: P = : x 1 x x x 1 x 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P > 0 c) Tìm x để P = 6. x x x 4 Bài 10: Cho biểu thức D = . x 2 x 2 4x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D. b) Tính giá trị của D khi x = 6 2 5 . x 0 HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: D = x b) D = 5 1 x 4 x x 3 x Bài 11: Cho biểu thức E = x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E. b) Tìm x để E = -1. x 0 3 HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: E = . b) x = 4. x 1 1 x 2 2 x 4 x 4 Bài 12: Cho biểu thức: A = . x 2 x 2 8 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi x = 3 +8 ; c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên ? x 0 x 2 HD: a) ĐKXĐ: , rút gọn biểu thức ta có: A = x 4 x 2 2 b) x = 3+8 3 2 2 2 1 A = 2 2 1 Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 6
7. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 c) Biểu thức A nguyên khi: x 2 4; 2; 1 x = {0; 1; 9; 16; 36} 1 1 a 1 a 2 Bài 13: Cho biểu thức: Q= : a 1 a a 2 a 1 a. Rút gọn Q. b. Tìm giá trị của a để Q dương. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 14: Cho biểu thức: A = x 5 x 6 x 2 3 x a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A. b, Tìm các giá trị của x để A > 1. c, Tìm các giá trị của x Z để A Z. II - HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 15: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất, hãy xác định hệ số a, b và xét xem hàm số nào là hàm số đồng biến, hàm số nào là hàm số nghịch biến ? a) y = 3 – 0,5x b) y = - 1,5x c) y = 5 – 2x2 d) y = (2 1 )x + 1 x 1 2 e) y = 3(x 2) f) y + 2 x 3 g) y = - h) y = +1 i) y = 3x 2 2 2 x 2 Bài 16: a) Cho hàm số y = f(x) = x + 5 với x R. Chứng minh hàm số đồng biến trên R. 3 b) Cho hàm số y = f(x) = (3 2 )x + 1 với x R. Chứng minh hàm số nghịch biến trên R. Bài 17: Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x +5. Xác định m để hàm số: a) đồng biến. b) nghịch biến. Bài 18: Cho ba hàm số y = x (d1); y = 2x (d2); y = - x + 3 (d3) a) Vẽ ba đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Đường thẳng d3 cắt hai đường thẳng d1 và d2 tại hai điểm A và B. Tìm tọa của điểm A và B. Tính diện tích và chu vi tam giác OAB. Bài 19: Cho hàm số y = (a – 1)x + a a) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 b) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3 c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a vừa tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó. Bài 20: Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a biết: a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x b) Đồ thị hàm số qua điểm A (1 2;2 2) Bài 21: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m. c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế 4x y 2 Ví dụ: Giải hệ 8x 3y 5 1 y 2 4 y 1 4x y 2 y 2 x y 2 4x 4 Giải: 1 8x 37 5 8x 3(2 4x) 5 4x 1 1 x x 4 4 Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 7
8. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 - Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số y 1 4x y 2 8x 2y 4 y 1 Ví dụ: Giải hệ 1 8x 3y 5 8x 3y 5 4x y 2 x 4 - Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ Bài 22 : Giải các hệ phương trình sau: x y x 3y 2 3x 2y 11 1 3x y 3 2x 3y 2 a) b) c) 2 3 d) e) 5x 4y 11 4x 5y 3 2x y 7 3x 2y 3 5x 8y 3 1 1 3x 2y 10 1 0,3x 0,5y 3 2(x 2) 3(1 y) 2 x y f) g) 2 1 h) i) 1,5x 2y 1,5 x y 3 3(x 2) 2(1 y) 3 3 4 3 3 5 x y x y 3 7x 3y 3 2x 5y 8 4x 3y 6 3x 2y 4 k) l) m) n) o) 3x 4y 2 4x y 2 2x 3y 0 2x y 4 2x y 5 IV - HÀM SỐ y = ax2 (a 0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A – QUAN HỆ GIỮA PARABOL y = ax2 (a 0) VÀ ĐƯỜNG THẲNG y = mx + n (m 0) 1/ KIẾN THỨC BỔ SUNG a) Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(xA ; yA) và B(xB ; yB). Khi đó 2 2 - Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức AB (xB xA ) (yB yA ) x x y y - Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức x A B ; y A B M 2 M 2 b) Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó y ax2 - Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình y mx n - Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n (*) - Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*) + Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2 (a 0) và (d): y = mx + n (m 0): • Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): cho vế phải của 2 hàm số bằng nhau: ax2 = mx + n đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 • Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. + Nếu = 0 pt có nghiệm kép (d) và (P) tiếp xúc nhau. + Nếu < 0 pt vô nghiệm (d) và (P) không giao nhau. 3 1 Bài 23: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (d). 2 2 1. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 8
9. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 3 1 3 1 HD: 2. PT trình hoành độ giao điểm: x2 = – 2x + x2 + 2x - = 0. 2 2 2 2 1 1 3 Tọa độ giao điểm: ( ; ) và (1 ; ). 3 6 2 2 5 Bài 24: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (d). 3 3 1. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d). 2 5 2 5 HD: 2. PT trình hoành độ giao điểm: x2 = x + x2 - x - = 0. 3 3 3 3 2 5 25 Tọa độ giao điểm: ( 1 ; ) và ( ; ). 3 2 6 Bài 25: Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x 2 và y = - x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số này. 2 3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị : (P): y = ax (a 0) và y = mx + n (m 0) (Dm) theo tham số m: • Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dm): cho vế phải của 2 hàm số bằng nhau: ax2 = mx + n đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0. • Lập (hoặc ' ) của pt hoành độ giao điểm. • Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m. + (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m. + (Dm) và (P) không giao nhau khi 0 m . 2 1 1 2c) m = tọa độ tiếp điểm (-1 ; ). 2 2 2 Bài 27: Cho hai hàm số y = – 2x có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm). 1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Xác định giá trị của m để: 1 a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng . 2 b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 9
10. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 1 1 HD: 1. Tọa độ giao điểm: ( ; ;) và (1 ; – 2). 2 2 2a). m = – 2. 9 2b) m 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x ; x 1 a 2 a b' • Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x x . 1 2 a • Nếu ' 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x ; x 1 2a 2 2a b • Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x x . 1 2 2a • Nếu < 0 phương trình vô nghiệm. Bài 29: Giải các phương trình sau: 1 2 1) 7x2 – 2x + 3 = 0 2) 5x2 +210 x + 2 = 0 3) x2 + 7x + = 0 4) 1,7x2 – 1,2x – 2,1 = 0 2 3 5) 2x2 – 7x + 3 = 0 6) 3x2 + 5x + 2 = 0 7) 6x2 + x – 5 = 0 8) 4x2 + 4x + 1 = 0 9) x2 – 49x – 50 = 0 10) x2 – 7x + 12 = 0 11) x2 + 7x + 12 = 0 12) 3x2 – 46 x + 4 = 0 13) 3x2 – 7x - 10 = 0 14) x2 – 3x + 2 = 0 15) x2 – 4x – 5 = 0 16) 3x2 – 23 x – 3 = 0 Bài 30: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 10
11. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 32 = 0 ; 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 7) (3 + 1)x2 + 23 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 2. Một số hệ thức khi áp dụng định lí Vi-ét: 2 2 2 2 •Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S – 2P. 1 1 x x S •Tổng nghịch đảo các nghiệm: 1 2 . x1 x2 x1x2 P 2 2 2 1 1 x1 x2 S 2P •Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 2 2 2 . x1 x2 (x1x2 ) P 2 2 2 •Bình phương của hiệu các nghiệm: (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 = S – 4P. 3 3 3 3 •Tổng lập phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) = S – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 1 1 2 3 3 a) x1 x2 . b) . c) (x1 x2 ) d) x1 x2 x1 x2 Giải: b S x x 12 1 2 a Phương trình có ' = 1 > 0 pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): . c P x x 35 1 2 a 2 2 2 2 2 a) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S – 2P = 12 – 2.35 = 74. 1 1 x x S 12 b) 1 2 = . x1 x2 x1x2 P 35 2 2 2 2 c) (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 S -4P = 12 – 4.35 = 4. 3 3 3 3 3 d) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) = S – 3PS = 12 – 3.35.12 = 468. Bài 31: Cho phương trình: x2 - 20x + 8 = 0 (1). Không giải phương trình hãy tính: a) x1 + x2 b) x1 . x2 x1 , x2 là nghiệm của phương trình 2 Bài 32: Cho phương trình: x - 5x - 36 = 0 ; với x1; x2 là hai nghiệm số của nó. Tính: a) 2 2 2 2 3 3 x1 + x2 b) x1 - x2 c) x1 + x2 3. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số). * Phương pháp giải: • Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ' 0 ; 0 hoặc a.c < 0). b S x x 1 2 a • Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình . c P x x 1 2 a • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số. Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 1. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 11
12. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải: 1. Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2 0,  m. Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. b 2m 1 S x x 1 2 a 2 2S 2m 1 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): c m 1 2P m 1 P x x 1 2 a 2 2S 2m 1 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm. 4P 2m 2 4. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ' (hoặc ). • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 + c > 0,  m (với c là một số dương) • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m. 5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ' (hoặc ). • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 0,  m. • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m. 6. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ' (hoặc ). • Biện luận: + Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ' > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình có nghiệm kép khi ' = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình vô nghiệm khi ' < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình có nghiệm khi ' 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. * Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. 7. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c. • Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. 8. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. 2 2 Bài 33: Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình 2x – 2(m - 1)x + m -1 = 0. Hãy tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m. Bài 34: Cho phương trình 2x2 + mx – 5 = 0, tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 35: Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + 3 = 0 a) Giải phương trình với m = 2. Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 12
13. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 b) Tìm các giá trị của m để phương trình nhận – 1 làm một nghiệm. Tìm nghiệm còn lại. Bài 36: Cho phương trình x2 – 2mx + (2m – 3) = 0 a) Giải phương trình với m = - 1 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. Bài 37: Cho phương trình: x2 - 2mx + 4m -3 = 0 a) Định m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó. b) Định m để phương trình có nghiệm x1= 4. Tính nghiệm x2. Bài 38: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 x1 1 c 4 x 4 2 a 1 Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4. 2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, m . 3. Hệ thức: 2S + P = – 6 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6. Bài 39: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + m = 0 a) Giải phương trình với m = 0 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm. 2 2 c) Với x1 và x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 40: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 41: Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. 2 2 b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 10 Bài 42: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x + m + 2 = 0 (1) a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 10 b) Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : = x2 x1 3 2 2 2 Bài 43: Cho phương trình: x + mx + 20 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 41 tìm m và các nghiệm của phương trình trên. Bài 44: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = 3. 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m HD: 1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 x1 1 c 3 Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3. x 3 2 a 1 2. = (m – 1)2 0, m . 3. Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 13
14. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 2 m 1 •ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1) > 0 |m – 1| > 0 . m 1 • Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI PT trùng phương: Có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) PP giải: Đặt x2 = t (t 0) đưa PT về ẩn t: at2 + bt + c = 0 Ví dụ: Giải pt: x4 - 13x2 + 36 = 0 Đặt x2 = t (t 0). Ta được pt: t2 – 13t + 36 = 0 = (-13)2 – 4.1.36 = 25 nên = 5 13 5 13 5 t1 = = 9 (TMĐK);t 2 = = 4 (TMĐK) 2 2 2 +) Với t1 = 9 x = 9 x = 3 2 +) Với t2 = 4 x = 4 x = 2 Vậy pt đã cho có 4 nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 3 Bài 45: Giải các phương trình sau (phương trình quy về phương trình bậc hai) PT trùng phương a. x4 – 9x2 + 8 = 0 b. 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 c. x4 – 5x2 + 4 = 0 d. 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 PT chứa ẩn ở mẫu x x 1 4 x2 x 2 2x x 8x 8 e. 10. 3 f. g. x 1 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 4 (x 2)(x 4) PT bậc cao h. x3 3x2 2x 6 0 i. x3 – 7x2 + 6 = 0 j. (4x-5)2 – 6(4x-5) + 8 = 0 k. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 l. 3(x2 + x) – 2 (x2 + x) – 1 = 0 m. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 Giải m) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1) (1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0 x = -2 ; x = 2 ; x = - 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -2 ; x = 2 ; x = - 3 b) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0 Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = 0 2 ( 3) 23 13 Xét = (-3) – 4.5.(-26) = 529 = 23 PT có 2 nghiệm t1 = (thoả mãn t 0) ; 2.5 5 ( 3) 23 t2 = 2 (loại) 2.5 13 13 13 * Với t = x 2 = x = 5 5 5 13 13 Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ; x2 = 5 5 l) Giải phương trình 3(x2 + x) – 2 (x2 + x) – 1 = 0 (4) Đặt x2+x = t . Khi đó (4) 3t2 – 2t – 1 = 0 Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 14
15. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 1 Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = 3 2 2 t1 = 1 x +x = 1 x + x – 1 = 0 2 1 5 1 5 1 = 1 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 = ; x2 = 2 2 1 2 1 2 t2 = x +x = 3x + 3x + 1 = 0 (*) 3 3 2 2 = 3 - 4.3.1 = -3 0 , x tính bằng giờ ) Gọi thời gian vòi sau chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ ) 1 1 giờ vòi đầu chảy được ( bể ) x 1 1 giờ vòi sau chảy được ( bể ) y 1 1 1 giờ hai vòi chảy được + ( bể ) (1) x y Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 15
16. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 15 Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = h 4 15 4 Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy được 1: = ( bể ) ( 2) 4 15 1 1 4 Từ (1) và (2) ta có phương trình + = x y 15 Mặt khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là y - x = 4 Vậy ta có hệ phương trình x 6 1 1 4 x 6 (a) 4x2 14x 60 0 2x2 7x 30 0 y 10 x y 15 x 2,5 y x 4 y x 4 x 2,5 y x 4 y x 4 (b) y 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn Hệ (b) bị loại vì x 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày ) 1 Mỗi ngày đội 1 làm được ( đoạn đường ) 2x 1 Mỗi ngày đội 2 làm được ( đoạn đường ) 2(x 30) 1 Mỗi ngày cả hai đội làm được ( đoạn đường ) 72 1 1 1 Vậy ta có pt : + = 2x 2(x 30) 72 Hay x2 - 42x - 1080 = 0 ' = 212 + 1080 = 1521 = 392 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 0 , y > 0 ) 1 1 1 x y 16 x 24 Ta có hệ pt 3 6 1 y 28 x y 4 Bài 53 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất 2 chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì 5 đầy bể ? Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 16
17. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 Giải : Gọi x , y lần lượt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 ) 1 1 1 3 3 1 x y 6 x y 2 x 10 Ta có hệ pt 2 3 2 2 3 2 y 15 x y 5 x y 5 x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một mình mất 15 giờ . 2/ DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Bài 54: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường, sau 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô. HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h). 3x 3y 156 x 12 ta có hệ phương trình : y x 28 y 40 Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h). Bài 55: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi từ A đến B. HD : Gọi quãng đường AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y (giờ) ; (ĐK : x > 0 ; y > 1). x 2 y 35 x 350 Ta có hệ phương trình : x y 8 y 1 50 Vậy quãng đường AB là 350(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ). Bài 56: Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô (vận tốc ca nô khi nước yên lặng và không đổi) biết rằng vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng là 9km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h. HD : Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô đi xuôi dòng, x > 0. 5 5 x + (x - 9) = 85 x = 30. Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là : 27 km/h. Vận tốc thật của 3 3 ca nô đi ngược dòng là 24km/h. 3/ DẠNG TOÁN KHÁC Bài 57: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. HD : Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y (m). ( x> 0, y > 0). y x 45 x 15 y Diện tích của thửa ruộng là : 900 m2. 2(x y) 2(3x ) y 60 2 Bài 58: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị. HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab (0 a 9,0 b 9 ). a b 11 a 4 Vậy số cần tìm là 47. ba ab 27 b 7 Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 17
18. Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9 Bài 59: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó. HD: • Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N) x y 59 x y 59 • Theo đề bài ta có hệ pt: 2x 7 3y 2x 3y 7 x 34 • Giải hệ ta được: (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25. y 25 Bài 60: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nó. HD: 160 • Nửa chu vi hình chữ nhật: = 80 (m). 2 • Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80). • Kích thước còn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m). • Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2). • Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình: x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 = 0 • Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận). • Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m. Bài 61: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường. HD: • Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170) • Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1). • Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2). x y 170 • Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 3x 4y 20 x 100 • Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK). y 70 Năm học: 2022 – 2023 MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107 18