Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Bài 1: Đại cương về hàm số

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Bài 1: Đại cương về hàm số

1. CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đ1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Định nghĩa Cho D è Ă , D ạ ặ. Hàm số f xỏc định trờn D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x ẻ D với một và chỉ một số y ẻ Ă . x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giỏ trị của hàm số f tại x . Kớ hiệu: y = f (x). D được gọi là tập xỏc định của hàm số f . 2. Cỏch cho hàm số Cho bằng bảng Cho bằng biểu đồ Cho bằng cụng thức y = f (x). Tập xỏc định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả cỏc số thực x sao cho biểu thức f (x) cú nghĩa. 3. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f (x) xỏc định trờn tập D là tập hợp tất cả cỏc điểm M(x; f (x)) trờn mặt phẳng toạ độ với mọi x ẻ D . Chỳ ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f (x) là một đường. Khi đú ta núi y = f (x) là phương trỡnh của đường đú. 4. Sư biến thiờn của hàm số Cho hàm số f xỏc định trờn K . Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trờn K nếu " x1 ,x2 ẻ K : x1 f (x2 ) 5. Tớnh chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f (x) cú tập xỏc định D . Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với " x ẻ D thỡ - x ẻ D và f (–x)= f (x) . Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với " x ẻ D thỡ - x ẻ D và f (–x)= - f (x) . Chỳ ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tõm đối xứng. 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Định lý: Cho (G) là đồ thị của y = f (x) và p > 0, q > 0 ; ta cú Tịnh tiến (G) lờn trờn q đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x)+ q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x)– q Tịnh tiến (G) sang trỏi p đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x + p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x – p) B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: TèM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRèNH. 1. Phương phỏp giải.
2. Tập xỏc định của hàm số y = f (x) là tập cỏc giỏ trị của x sao cho biểu thức f (x) cú nghĩa Chỳ ý : Nếu P(x) là một đa thức thỡ: 1 * cú nghĩa Û P(x) ạ 0 P(x) * P(x) cú nghĩa Û P(x) ³ 0 1 * cú nghĩa Û P(x) > 0 P(x) 2. Cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau x2 + 1 a) y = x2 + 3x- 4 A. D = Ă B. D = {1;- 4} C. D = Ă \{1;- 4} D. D = Ă \{1; 4} x + 1 b) y = (x + 1)(x2 + 3x + 4) A. D = Ă \{1} B. D = {- 1} C. D = Ă \{- 1} D. D = Ă 2x2 + x + 1 c) y = x3 + x2 - 5x- 2 ỡ ỹ ỡ ỹ ù - 3- 5 - 3+ 5 ù ù - 3- 2 5 - 3+ 2 5 ù A. D = ớ 2; ; ý B. D = Ă \ớ - 2; ; ý ù ù ù ù ợù 2 2 ỵù ợù 2 2 ỵù ỡ ỹ ù - 3- 5 - 3+ 5 ù C. D = Ă D. D = Ă \ớ 2; ; ý ù ù ợù 2 2 ỵù x d) = y 2 (x2 - 1) - 2x2 ỡ ỹ ù 2 2 - 7 2 2 + 7 - 2 - 7 - 2 + 7 ù A. D = Ă \ớ ; ; ; ý ù ù ợù 2 2 2 2 ỵù ỡ ỹ ù 2 - 7 2 + 7 - 2 2 - 7 - 2 2 + 7 ù B. D = Ă \ớ ; ; ; ý ù ù ợù 2 2 2 2 ỵù ỡ ỹ ù 2 - 7 2 + 7 - 2 - 7 - 2 + 7 ù C. D = Ă \ớ ; ; ; ý ù ù ợù 2 2 2 2 ỵù
3. ỡ ỹ ù 2 - 7 2 + 7 - 2 - 7 - 2 + 7 ù D. D = ớ ; ; ; ý ù ù ợù 2 2 2 2 ỵù Lời giải: ùỡ x ạ 1 a) ĐKXĐ: x2 + 3x- 4 ạ 0 Û ớù ợù x ạ - 4 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = Ă \{1;- 4} . b) ĐKXĐ: (x + 1)(x2 + 3x + 4)ạ 0 Û x ạ - 1 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = Ă \{- 1} . ỡ ù x ạ 2 3 2 ù c) ĐKXĐ: x + x - 5x- 2 ạ 0 Û ớ - 3± 5 ù x ạ ợù 2 ỡ ỹ ù - 3- 5 - 3+ 5 ù Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = Ă \ớ 2; ; ý . ù ù ợù 2 2 ỵù 2 d) ĐKXĐ: (x2 - 1) - 2x2 ạ 0 Û (x2 - 2x- 1)(x2 + 2x- 1)ạ 0 ỡ ù 2 ± 7 ỡ 2 ù x ạ ù x - 2x- 1ạ 0 ù Û ớù Û ớù 2 ù 2 ù ợù x + 2x- 1ạ 0 ù - 2 ± 7 ù x ạ ợù 2 Suy ra tập xỏc định của hàm số là ỡ ỹ ù 2 - 7 2 + 7 - 2 - 7 - 2 + 7 ù D = Ă \ớ ; ; ; ý. ù ù ợù 2 2 2 2 ỵù Vớ dụ 2: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau x + 1 a) y = (x- 3) 2x- 1 ổ 1 ử A. D = Ă \{3} B. D = ỗ- ;+ Ơ ữ\{3} ốỗ 2 ứữ ộ ử ổ ử 1 ữ ỗ1 ữ C. D = ờ ;+ Ơ ữ\{3} D. D = ỗ ;+ Ơ ữ\{3} ởờ2 ứữ ốỗ2 ứữ x + 2 b) y = x x2 - 4x + 4
4. ộ A. D = Ă \{0; 2} B. D = ở- 2;+ Ơ ) ộ C. D = (- 2;+ Ơ )\{0; 2} D. D = ở- 2;+ Ơ )\{0; 2} 5- 3 x c) y = x2 + 4x + 3 ổ 5 5ử A. D = Ă \{- 1} B. D = ỗ- ; ữ\{- 1} ốỗ 3 3ứữ ộ 5 5ự ộ 5 5ự C. D = ờ- ; ỳ D. D = ờ- ; ỳ\{- 1} ởờ 3 3ỷỳ ởờ 3 3ỷỳ x + 4 d) y = x2 - 16 A. D = (- Ơ ;- 2)ẩ(2;+ Ơ ) B. D = Ă \{- 4; 4} C. D=(- 4; 4) D. D = (- Ơ ;- 4)ẩ(4;+ Ơ ) Lời giải: ỡ ỡ ù x ạ 3 ù x ạ 3 ù a) ĐKXĐ: ớ Û ớ 1 ợù 2x- 1> 0 ù x > ợù 2 ổ1 ử Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ỗ ;+ Ơ ữ\{3} . ốỗ2 ứữ ùỡ x ạ 0 ùỡ x ạ 0 ùỡ x ạ 0 ù ù ù ù 2 ù 2 ù b) ĐKXĐ: ớ x - 4x + 4 > 0 Û ớ (x- 2) > 0 Û ớ x ạ 2 ù ù ù ù + ³ ù ù x ³ - 2 ợù x 2 0 ợù x ³ - 2 ợù ộ Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ở- 2;+ Ơ )\{0; 2}. ùỡ 5 5 ùỡ 5 ù - Ê Ê ù Ê ù x ỡ ỡ ù x ù 3 3 ù 5 5 ù 5- 3 x ³ 0 ù 3 ù ù - Ê x Ê c) ĐKXĐ: ớ Û ớ Û ớ x ạ - 1 Û ớ 3 3 ù 2 + + ạ ù ùỡ x ạ - 1 ù ù ợù x 4x 3 0 ù ớù ù ù x ạ - 1 ù ù ù x ạ - 3 ợù ợù ợù x ạ - 3 ù ợù ộ 5 5ự Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ờ- ; ỳ\{- 1} . ởờ 3 3ỷỳ ộx > 4 d) ĐKXĐ: 2 - > Û > Û ờ x 16 0 x 4 ờ ởx < - 4
5. Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = (- Ơ ;- 4)ẩ(4;+ Ơ ). Vớ dụ 3: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau 3 x2 - 1 a) y = x2 + 2x + 3 A. D = (1;+ Ơ ) B. D = Ă C. D = {1; 3} D. D = Ă \{1; 3} x b) y = x- x - 6 ộ ộ A. D = ở0;+ Ơ ) B. D = ở0;+ Ơ )\{9} C. D = {9} D. D = Ă \{9} c) y = x + 2 - x + 3 ộ ộ ộ A. D = ở- 3;+ Ơ ) B. D = ở- 2;+ Ơ ) C. D = Ă D. D = ở2;+ Ơ ) ùỡ 1 ù khi x ³ 1 d) y = ớù x ù ợù x + 1 khi x < 1 ộ ộ A. D = {- 1} B. D = Ă C. D = ở- 1;+ Ơ ) D. D = ở- 1;1) Lời giải: a) ĐKXĐ: x2 + 2x + 3 ạ 0 đỳng với mọi x Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = Ă . ùỡ x ³ 0 ỡ ù ù x ³ 0 ù ùỡ x ³ 0 b) ĐKXĐ: ớ Û ớ x ạ - 2 Û ớù ù x- x - 6 ạ 0 ù ù x ạ 9 ợù ù ợù ợù x ạ 3 ộ Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ở0;+ Ơ )\{9} . ùỡ x + 2 ³ 0 ùỡ x ³ - 2 c) ĐKXĐ: ớù Û ớù Û x ³ - 2 ợù x + 3 ³ 0 ợù x ³ - 3 ộ Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ở- 2;+ Ơ ). 1 d) Khi x ³ 1 thỡ hàm số là y = luụn xỏc định với x ³ 1. x Khi x < 1 thỡ hàm số là y = x + 1 xỏc định khi ùỡ x < 1 ùỡ x < 1 ớù Û ớù Û - 1Ê x < 1 ợù x + 1³ 0 ợù x ³ - 1
6. Do đú hàm số đó cho xỏc định khi x ³ - 1 ộ Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ở- 1;+ Ơ ). mx Vớ dụ 4: Cho hàm số: y = với m là tham số x- m+ 2 - 1 a) Tỡm tập xỏc định của hàm số theo tham số m ộ ộ A. D = ởm+ 2;+ Ơ )\{m- 1} B. D = ởm- 2;+ Ơ )\{m} ộ ộ C. D = ở2m- 2;+ Ơ )\{2m- 1} D. D = ởm- 2;+ Ơ )\{m- 1} b) Tỡm m để hàm số xỏc định trờn (0;1) ổ ự ỗ 3ỳ ự A. m ẻ ỗ- Ơ ; ẩ{2} B. m ẻ (- Ơ ;- 1ỷẩ{2} ốỗ 2ỷỳ ự ự C. m ẻ (- Ơ ;1ỷẩ{3} D. m ẻ (- Ơ ;1ỷẩ{2} Lời giải: ỡ ù x- m+ 2 ³ 0 ùỡ x ³ m- 2 a) ĐKXĐ ớ Û ớù ù ù ợù x- m+ 2 ạ 1 ợù x ạ m- 1 ộ Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ởm- 2;+ Ơ )\{m- 1} . ộ b) Hàm số xỏc định trờn (0;1)Û (0;1)è ởm- 2; m- 1)ẩ(m- 1;+ Ơ ) ộ(0;1)è ộm- 2; m- 1) ộ m = 2 ộm = 2 ờ ở Û ờ Û ờ ờ è - + Ơ ờ - Ê ờ Ê ởờ(0;1) (m 1; ) ởm 1 0 ởm 1 ự Vậy m ẻ (- Ơ ;1ỷẩ{2} là giỏ trị cần tỡm. x Vớ dụ 5: Cho hàm số y = 2x- 3m+ 4 + với m là tham số. x + m- 1 a) Tỡm tập xỏc định của hàm số khi m = 1 ộ 1 ữử ộ1 ữử ộ 1 ữử A. D = ờ- ;+ Ơ ữ B. D = Ă \{0} C. D = ờ ;+ Ơ ữ\{0} D. D = ờ- ;+ Ơ ữ\{0} ởờ 2 ứữ ởờ2 ứữ ởờ 2 ứữ ộ b) Tỡm m để hàm số cú tập xỏc định là ở0;+ Ơ ) 1 2 4 A. m = B. m = C. m = D. m = 1 3 3 3 Lời giải:
7. ỡ ỡ ù 3m- 4 ù 2x- 3m+ 4 ³ 0 ù x ³ ĐKXĐ: ớ Û ớ 2 ợù x + m- 1ạ 0 ù ợù x ạ 1- m ùỡ 1 ù x ³ - a) Khi m = 1 ta cú ĐKXĐ : ớ 2 ù ợù x ạ 0 ộ 1 ữử Suy ra tập xỏc định của hàm số là D = ờ- ;+ Ơ ữ\{0} . ởờ 2 ứữ 3m- 4 6 ộ3m- 4 ữử b) Với 1- m ³ Û m Ê khi đú tập xỏc định của hàm số là D = ờ ;+ Ơ ữ\{1- m} . Do đú 2 5 ởờ 2 ứữ 6 m Ê khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn. 5 6 ộ3m- 4 ữử Với m > khi đú tập xỏc định của hàm số là D = ờ ;+ Ơ ữ. 5 ởờ 2 ứữ 3m- 4 4 Do đú để hàm số cú tập xỏc định là ộ0;+ Ơ )Û = 0 Û m = (thỏa món) ở 2 3 4 Vậy m = là giỏ trị cần tỡm. 3 3. Bài tập luyện tập : Bài 2.0. Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau: 2 x- 1 a) y = . x - 2 ộ ộ A. D = ở1;+ Ơ ) B. D = Ă \{2} C. D = ở1;+ Ơ )\{2} D. D = {2} 2 b) y = x + 2 - . x- 1 A. D = (1;+ Ơ ) B. D = (- 2;+ Ơ ) C. D = Ă D. D = (2;+ Ơ ) 3 x- 1 c) y = . x2 + x + 1 A. D = (1;+ Ơ ) B. D = {1} C. D = Ă D. D = (- 1;Ơ ) x + 1 e) y = . x2 - x- 6 ộ ộ A. D = ở- 1;+ Ơ )\{3} B. D = {3} C. D = Ă \{3} D. D = ở- 1;+ Ơ )
8. ùỡ 1 ù khi x ³ 1 f) y = f (x) = ớù 2- x ù ợù 2- x khi x 1ị TXĐ: D = (1;+ Ơ ) ợù x- 1> 0 ợù x > 1 2 ổ 1ử 3 c) ĐKXĐ: x2 + x + 1ạ 0 Û ỗx + ữ + ạ 0 (đỳng " x )ị TXĐ: D = Ă ốỗ 2ữứ 4 ùỡ x ³ - 1 ùỡ x + 1³ 0 ù ùỡ x ³ - 1 e) ĐKXĐ: ù Û ù ạ - Û ù ị TXĐ: = ộ- + Ơ . ớ 2 ớ x 2 ớ D ở 1; )\{3} ợù x - x- 6 ạ 0 ù ợù x ạ 3 ợù x ạ 3 f) TXĐ: D = Ă \{2} Bài 2.1: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau: a) y = 6- 3x - x- 1 ộ ự ộ ự ộ ự A. D = (1; 2) B. D = ở1; 2ỷ C. D = ở1; 3ỷ D. D = ở- 1; 2ỷ 2- x + x + 2 b) y = x ộ ự ộ ự A. D = (- 2; 2)\{0} B. D = ở- 2; 2ỷ C. D = ở- 2; 2ỷ\{0} D. D = Ă \{0} 3x- 2 + 6x c) y = 4- 3x ộ ử ộ ử ộ ử ổ ử 2 4ữ 1 4ữ 1 2ữ ỗ 4ữ A. D = ờ ; ữ B. D = ờ ; ữ C. D = ờ ; ữ D. D = ỗ- Ơ ; ữ ởờ3 3ứữ ởờ3 3ứữ ởờ3 3ứữ ốỗ 3ứữ 2x + 1 d) y = 6- x + 1+ x- 1 ộ ự ộ ự A. D = (1;+ Ơ ) B. D = ở1;6ỷ C. D = Ă \ở1;6ỷ D. D = (- Ơ ;6)
9. 2x + 9 e) y = (x + 4) x + 3 A. D = Ă \{- 4} B. D = (- 3;+ Ơ ) C. D = Ă D. D = (- 2;+ Ơ ) x2 - 2x + 3 f) y = x- 3 x + 2 A. D = Ă B. D = (0;+ Ơ ) C. D = Ă \{1; 4} D. D = Ă \{- 1; 4} 1 g) f (x) = 1- 1+ 4x ộ 1 ữử ộ 1 ữử ộ 1 ữử A. D = ờ- ;0ữ B. D = ờ- ;1ữ C. D = Ă D. D = ờ- ;0ữ ởờ 2 ứữ ởờ 4 ứữ ởờ 4 ứữ 2x2 h) y = x2 - 3x + 2 A. D = (- Ơ ;1) B. D = (2;+ Ơ ) C. D = (- Ơ ;1)ẩ(2;+ Ơ ) D. D = (1; 2) Lời giải: ộ ử ộ ự ộ ự ờ2 4ữ ộ ự Bài 2.1: a) D = ở1; 2ỷ b) D = ở- 2; 2ỷ\{0} c) D = ; ữ d) D = ở1;6ỷ ởờ3 3ứữ ỡ 2 ỡ 2 ù - + ³ ù x - 2x + 3 ³ 0 ù (x 1) 2 0 ùỡ x ạ 1 e) D = (- 3;+ Ơ ) f) ĐKXĐ: ớù Û ớ Û ớù ù x- 3 x + 2 ạ 0 ù x - 1 x - 2 ạ 0 ợù x ạ 4 ợù ợù ( )( ) Suy ra D = Ă \{1; 4} ùỡ 1> 1+ 4x ùỡ 1- 1+ 4x > 0 ù 1 ộ 1 ử g) ĐKXĐ: ù Û ù Û - Ê < ị = ờ- ữ ớ ớ 1 x 0 D ;0ữ ù 1+ 4x ³ 0 ù x ³ - 4 ởờ 4 ứ ợ ợù 4 h) TXĐ: D = (- Ơ ;1)ẩ(2;+ Ơ ) Bài 2.2: Tỡm giỏ trị của tham số m để: x + 2m+ 2 a) Hàm số y = xỏc định trờn (- 1;0) x- m
10. ộm > 0 ộm ³ 0 A. ờ B. Ê - C. ờ D. ³ ờ m 1 ờ m 0 ởm 0 B. m 0 thỡ (*) Û x ³ m ị D = ởm;+ Ơ ) nờn m > 0 khụng thỏa món ộ Nếu m Ê 0 thỡ (*) Û x ³ 0 ị D = ở0;+ Ơ ) Vậy m Ê 0 là giỏ trị cần tỡm. Bài 2.3: Tỡm giỏ trị của tham số m để: 2x a) Hàm số y = x- m+ 1 + xỏc định trờn (- 1; 3). - x + 2m A. m ³ 4 B. m ³ 2 C. m ³ 3 D. m ³ 1 b) Hàm số y = x + m + 2x- m+ 1 xỏc định trờn (0;+ Ơ ). ộ ự ộ ự ộ ự ộ ự A. m ẻ ở0; 3ỷ B. m ẻ ở1; 2ỷ C. m ẻ ở0;1ỷ D. m ẻ ở0; 2ỷ 1 c) Hàm số y = - x- 2m+ 6 - xỏc định trờn (- 1;0). x + m ộ ự ộ ự ộ ự ộ ự A. m ẻ ở1; 2ỷ B. m ẻ ở0; 2ỷ C. m ẻ ở1; 3ỷ D. m ẻ ở1; 4ỷ Lời giải: ộ ự ộ ự Bài 2.3: a) m ³ 2 , b) m ẻ ở0;1ỷ c) m ẻ ở1; 3ỷ DẠNG TOÁN 2: XẫT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ 1. Phương phỏp giải. * Sử dụng định nghĩa Hàm số y = f (x) xỏc định trờn D :
11. ùỡ " x ẻ D ị - x ẻ D ã Hàm số chẵn Û ớù . ợù f (- x) = f (x) ùỡ " x ẻ D ị - x ẻ D ã Hàm số lẻ Û ớù . ợù f (- x) = - f (x) Chỳ ý : Một hàm số cú thể khụng chẵn cũng khụng lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng * Quy trỡnh xột hàm số chẵn, lẻ. B1: Tỡm tập xỏc định của hàm số. B2: Kiểm tra Nếu " x ẻ D ị - x ẻ D Chuyển qua bước ba Nếu$x0 ẻ D ị - x0 ẽ D kết luận hàm khụng chẵn cũng khụng lẻ. B3: xỏc định f (- x) và so sỏnh với f (x). Nếu bằng nhau thỡ kết luận hàm số là chẵn Nếu đối nhau thỡ kết luận hàm số là lẻ Nếu tồn tại một giỏ trị $x0 ẻ D mà f (- x0 )ạ f (x0 ), f (- x0 )ạ - f (x0 ) kết luận hàm số khụng chẵn cũng khụng lẻ. 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số sau: a) f (x) = 3x3 + 2 3 x A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ b) f (x) = x4 + x2 + 1 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ c) f (x)= x + 5 + 5- x A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ
12. 1 d) f (x) = 2 + x + 2- x A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ Lời giải: a) Ta cú TXĐ: D = Ă 3 Với mọi x ẻ Ă ta cú - x ẻ Ă và f (- x) = 3(- x) + 2 3 - x = - (3x3 + 2 3 x)= - f (x) Do đú f (x) = 3x3 + 2 3 x là hàm số lẻ b) Ta cú TXĐ: D = Ă 4 2 Với mọi x ẻ Ă ta cú - x ẻ Ă và f (- x) = (- x) + (- x) + 1 = x4 + x2 + 1 = f (x) Do đú f (x) = x4 + x2 + 1 là hàm số chẵn ùỡ x + 5 ³ 0 ùỡ x ³ - 5 c) ĐKXĐ: ớù Û ớù Û - 5 Ê x Ê 5 ợù 5- x ³ 0 ợù x Ê 5 ộ ự Suy ra TXĐ: D = ở- 5; 5ỷ ộ ự ộ ự Với mọi x ẻ ở- 5; 5ỷ ta cú - x ẻ ở- 5; 5ỷ và f (- x) = (- x)+ 5 + 5- (- x) = x + 5 + 5- x = f (x) Do đú f (x)= x + 5 + 5- x là hàm số chẵn ùỡ 2 + x ³ 0 ùỡ x ³ - 2 d) ĐKXĐ: ớù Û ớù Û - 2 Ê x 0 ợù x < 2 ộ Suy ra TXĐ: D = ở- 2; 2) Ta cú = - ẻ ộ- nhưng - = ẽ ộ- x0 2 ở 2; 2) x0 2 ở 2; 2) 1 Vậy hàm số f (x) = 2 + x + khụng chẵn và khụng lẻ. 2- x Vớ dụ 2: Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số sau: a) f (x) = x4 - 4x + 2 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ b) f (x)= x + 2 - x- 2
13. A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ x + x2 + 1 c) f (x) = - 2x2 - 1 x2 + 1- x A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ ùỡ - 1 Khi x 0 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ Lời giải: a) Ta cú TXĐ: D = Ă ỡ ù f (- 1)ạ f (1) Ta cú f (- 1)= 7, f (1)= - 1ị ớù ù - ạ - ợù f ( 1) f (1) Vậy hàm số khụng chẵn và khụng lẻ b) Ta cú TXĐ: D = Ă Với mọi x ẻ Ă ta cú - x ẻ Ă và f (- x) = (- x)+ 2 - (- x)- 2 = x- 2 - x + 2 Suy ra f (- x)= f (x) Do đú f (x)= x + 2 - x- 2 là hàm số chẵn. c) Ta cú x2 + 1 > x2 = x ³ x ị x2 + 1- x ạ 0 với mọi x . Suy ra TXĐ: D = Ă Mặt khỏc x2 + 1 > x2 = x ³ - x ị x2 + 1 + x ạ 0 do đú 2 (x + x2 + 1) f (x) = - 2x2 - 1= 2x x2 + 1 ( x2 + 1 + x)( x2 + 1- x) 2 Với mọi x ẻ Ă ta cú - x ẻ Ă và f (- x) = 2(- x) (- x) + 1 = - 2x x2 + 1 = - f (x)
14. x + x2 + 1 Do đú f (x) = - 2x2 - 1 là hàm số lẻ. x2 + 1- x d) Ta cú TXĐ: D = Ă Dễ thấy mọi x ẻ Ă ta cú - x ẻ Ă Với mọi x > 0 ta cú - x 0 suy ra f (- x)= 1, f (x)= - 1ị f (- x)= - f (x) Và f (- 0)= - f (0)= 0 Do đú với mọi x ẻ Ă ta cú f (- x)= - f (x) ùỡ - 1 Khi x 0 x2 (x2 - 2)+ (2m2 - 2)x Vớ dụ 3: Tỡm m để hàm số: f (x)= là hàm số chẵn. x2 + 1- m A. m = 0 B. m = ± 3 C. m = ± 1 D. m = ± 2 Lời giải: ĐKXĐ: x2 + 1 ạ m (*) Giả sử hàm số chẵn suy ra f (- x)= f (x) với mọi x thỏa món điều kiện (*) x2 (x2 - 2)- (2m2 - 2)x Ta cú f (- x)= x2 + 1- m Suy ra f (- x)= f (x) với mọi x thỏa món điều kiện (*) x2 (x2 - 2)- (2m2 - 2)x x2 (x2 - 2)+ (2m2 - 2)x Û = với mọi x thỏa món điều kiện (*) x2 + 1- m x2 + 1- m Û 2(2m2 - 2)x = 0 với mọi x thỏa món điều kiện (*) Û 2m2 - 2 = 0 Û m = ± 1 x2 (x2 - 2) * Với m = 1 ta cú hàm số là f (x)= x2 + 1- 1
15. ĐKXĐ : x2 + 1 ạ 1 Û x ạ 0 Suy ra TXĐ: D = Ă \{0} Dễ thấy với mọi x ẻ Ă \{0} ta cú - x ẻ Ă \{0} và f (- x)= f (x) x2 (x2 - 2) Do đú f (x)= là hàm số chẵn x2 + 1- 1 x2 (x2 - 2) * Với m = - 1 ta cú hàm số là f (x)= x2 + 1 + 1 TXĐ: D = Ă Dễ thấy với mọi x ẻ Ă ta cú - x ẻ Ă và f (- x)= f (x) x2 (x2 - 2) Do đú f (x)= là hàm số chẵn. x2 + 1 + 1 Vậy m = ± 1 là giỏ trị cần tỡm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.4:: Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số sau: x3 + 5x a) f (x)= x2 + 4 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ x2 + 5 b) f (x)= x2 - 1 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ c) f (x)= x + 1- 1- x A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ x- 5 d) f (x)= x- 1 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn
16. C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ e) f (x)= 3x2 - 2x + 1 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ x3 f) f (x)= x - 1 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ x- 1 + x + 1 g) f (x) = 2x- 1 + 2x + 1 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ x + 2 + x- 2 h) f (x) = x- 1 - x + 1 A. hàm số lẻB.hàm số chẳn C.hàm số vừa chẳn vừa lẻD.hàm số khụng chẳn, khụng lẻ Lời giải: Bài 2.4: a) Hàm số lẻ b) Hàm số chẵn ộ ự c) TXĐ: D = ở- 1;1ỷ nờn " x ẻ D ị - x ẻ D f (- x)= 1- x - 1+ x = - f (x), " x ẻ D Vậy hàm số đó cho là hàm số lẻ. d) TXĐ: D = Ă \{1} Ta cú x = - 1ẻ D nhưng - x = 1ẽ D Do đú hàm số khụng chẵn và khụng lẻ e) TXĐ: D = Ă . Ta cú f (1)= 2, f (- 1)= 6 Suy ra f (- 1)ạ f (1), f (- 1)ạ - f (1)
17. Do đú hàm số khụng chẵn và khụng lẻ. f) TXĐ: D = (- Ơ - 1)ẩ(- 1;1)ẩ(1;+ Ơ ) nờn " x ẻ D ị - x ẻ D 3 (- x) x3 f (- x)= = - = - f (x), " x ẻ D - x - 1 x - 1 Vậy hàm số đó cho là hàm số lẻ. g) TXĐ: D = Ă ị " x ẻ D ị - x ẻ D . - x- 1 + - x + 1 f (- x) = = f (x), " x ẻ D - 2x- 1 + - 2x + 1 Vậy hàm số đó cho là hàm số chẵn. ùỡ x- 1ạ x + 1 h) ĐKXĐ: x- 1 ạ x + 1 Û ớù Û x ạ 0 ù - ạ - + ợù x 1 (x 1) TXĐ: D = Ă \{0} ị " x ẻ D ị - x ẻ D - x + 2 + - x- 2 f (- x) = = - f (x), " x ẻ D - x- 1 - - x + 1 Vậy hàm số đó cho là hàm số lẻ. x(x2 - 2)+ 2m- 1 Bài 2.5: Tỡm m để hàm số: y = f (x)= là hàm số chẵn. x- 2m+ 1 1 1 1 A. m = B. m = C. m = 1 D. m = - 3 2 2 Lời giải: 1 Bài 2.5: m = 2 Bài 2.6: Cho hàm số y = f (x), y = g(x) cú cựng tập xỏc định D. Chứng minh rằng a) Nếu hai hàm số trờn lẻ thỡ hàm số y = f (x)+ g(x) là hàm số lẻ b) Nếu hai hàm số trờn một chẵn một lẻ thỡ hàm số y = f (x)g(x) là hàm số lẻ Lời giải:
18. Bài 2.6: a) Ta cú hàm số y = f (x)+ g(x) cú tập xỏc định D . Do hàm số y = f (x), y = g(x) lẻ nờn " x ẻ D ị - x ẻ D và f (- x)= - f (x), g(- x)= - g(x) suy ra - = - + - = - ộ + ự= - y( x) f ( x) g( x) ởờf (x) g(x)ỷỳ y(x) Suy ra hàm số y = f (x)+ g(x) là hàm số lẻ. b) Giả sử hàm số y = f (x) chẵn, y = g(x) lẻ Khi đú hàm số y = f (x)g(x) cú tập xỏc định là D nờn " x ẻ D ị - x ẻ D Ta cú - = - - = ộ- ự= - = - y( x) f ( x)g( x) f (x)ởờ g(x)ỷỳ f (x)g(x) y(x) Do đú hàm số y = f (x)g(x) lẻ. Bài 2.7: a) Tỡm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng y = x3 - (m2 - 9)x2 + (m+ 3)x + m- 3. A. m = 3 B. m = 4 C. m = 1 D. m = 2 b) Tỡm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng y = x4 - (m2 - 3m+ 2)x3 + m2 - 1. A. m = 3 B. m = 4,m = 3 C. m = 1,m = 2 D. m = 2 Lời giải: Bài 2.7: a) Ta cú TXĐ: D = Ă ị " x ẻ D ị - x ẻ D Đồ thị hàm số đó cho nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng khi và chỉ khi nú là hàm số lẻ 3 2 Û f (- x)= - f (x), " x ẻ Ă Û (- x) - (m2 - 9)(- x) + (m+ 3)(- x)+ m- 3 = - ộ 3 - 2 - 2 + + + - ự " ẻ Ă ởờx (m 9)x (m 3)x m 3ỷỳ, x Û 2(m2 - 9)x2 - 2(m- 3)= 0, " x ẻ Ă ùỡ m2 - 9 = 0 Û ớù Û m = 3 ù ợù m- 3 = 0 b) Ta cú TXĐ: D = Ă ị " x ẻ D ị - x ẻ D Đồ thị hàm số đó cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nú là hàm số chẵn Û f (- x)= f (x), " x ẻ Ă 4 3 Û (- x) - (m2 - 3m+ 2)(- x) + m2 - 1= x4 - (m2 - 3m+ 2)x3 + m2 - 1, " x ẻ Ă
19. ộm = 1 Û 2 - + 3 = " ẻ Ă Û 2 - + = Û ờ 2(m 3m 2)x 0, x m 3m 2 0 ờ ởm = 2 ➢ DẠNG TOÁN 3. XẫT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ TRấN MỘT KHOẢNG 1. Phương phỏp giải. C1: Cho hàm số y = f (x) xỏc định trờn K. Lấy x1 ,x2 ẻ K; x1 0 . ã Hàm số nghịch biến trờn K Û T 0 . ã Hàm số nghịch biến trờn K Û T 1, x2 > 1ị < 0 nờn hàm số y = nghịch biến trờn khoảng (1;+ Ơ ). x2 - x1 x- 1 b) Với mọi x1 ,x2 ẻ (1;+ Ơ ), x1 ạ x2 ta cú
20. ổ 1 ữử ổ 1 ữử ổ 1 ữử f (x )- f (x )= ỗx + ữ- ỗx + ữ= (x - x )ỗ1- ữ 2 1 ỗ 2 ữ ỗ 1 ữ 2 1 ỗ ữ ố x2 ứ ố x1 ứ ố x1x2 ứ f (x )- f (x ) 1 Suy ra 2 1 = 1- x2 - x1 x1x2 f (x2 )- f (x1) 1 Vỡ x1 > 1, x2 > 1ị > 0 nờn hàm số y = x + đồng biến trờn khoảng (1;+ Ơ ). x2 - x1 x Vớ dụ 2: Cho hàm số y = x2 - 4 a) Xột chiều biến thiờn cuả hàm số trờn (- Ơ ;0) và trờn (0;+ Ơ ) A. hàm số y = f (x) nghịch biến trờn (- Ơ ;0). B. hàm số y = f (x) đồng biến trờn (0;+ Ơ ). C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai ộ ự b) Lập bảng biến thiờn của hàm số trờn ở- 1; 3ỷ từ đú xỏc định giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trờn ộ ự ở- 1; 3ỷ. A. max y = 5 B. min y = - 4 C.Cả A, B đều đỳngD.Cả A, B đều sai ộ ự ộ ự ở- 1;3ỷ ở- 1;3ỷ Lời giải: TXĐ: D = R a) " x1 ,x2 ẻ Ă ,x1 0 2 2 2 2 Ta cú T = f (x2 )- f (x1)= (x2 - 4)- (x1 - 4)= x2 - x1 = (x2 - x1).(x1 + x2 ) Nếu x1 ,x2 ẻ (- Ơ ;0)ị T 0 . Vậy hàm số y = f (x) đồng biến trờn (0;+ Ơ ). 2 ộ ự b) Bảng biến thiờn của hàm số y = x - 4 trờn ở- 1; 3ỷ x - 1 0 3 - 3 5 y = x2 - 4 - 4
21. Dựa vào bảng biến thiờn ta cú max y = 5 khi và chỉ khi x = 3 , min y = - 4 khi và chỉ khi x = 0 . ộ ự ộ ự ở- 1;3ỷ ở- 1;3ỷ Vớ dụ 3: Xột sự biến thiờn của hàm số y = 4x + 5 + x- 1 trờn tập xỏc định của nú. Áp dụng tỡm số nghiệm a) 4x + 5 + x- 1 = 3 A.1 nghiệm duy nhấtB. 2 nghiệmC.3 nghiệmD.Vụ nghiệm b) 4x + 5 + x- 1 = 4x2 + 9 + x A.1 nghiệm duy nhấtB. 2 nghiệmC.3 nghiệmD.Vụ nghiệm Lời giải: ỡ ỡ ù 5 ù 4x + 5 ³ 0 ù x ³ - * ĐKXĐ: ớ Û ớ 4 Û x ³ 1 ợù x- 1³ 0 ù ợù x ³ 1 ộ Suy ra TXĐ: D = ở1;+ Ơ ) Với mọi ẻ ộ + Ơ ạ ta cú x1 ,x2 ở1; ), x1 x2 f (x2 )- f (x1)= 4x2 + 5 + x2 - 1- 4x1 + 5 - x1 - 1 4(x - x ) x - x = 2 1 + 2 1 4x2 + 5 + 4x1 + 5 x2 - 1 + x1 - 1 ổ ử ỗ 4 1 ữ = - ỗ + ữ (x2 x1)ỗ ữ ỗ ữ ốỗ 4x2 + 5 + 4x1 + 5 x2 - 1 + x1 - 1ứ f (x )- f (x ) 4 1 Suy ra 2 1 = + > 0 x - x 2 1 4x2 + 5 + 4x1 + 5 x2 - 1 + x1 - 1 ộ Nờn hàm số y = 4x + 5 + x- 1 đồng biến trờn khoảng ở1;+ Ơ ). ộ a) Vỡ hàm số đó cho đồng biến trờn ở1;+ Ơ ) nờn Nếu x > 1ị f (x)> f (1) hay 4x + 5 + x- 1 > 3 Suy ra phương trỡnh 4x + 5 + x- 1 = 3 vụ nghiệm Nếu x < 1ị f (x)< f (1) hay 4x + 5 + x- 1 < 3 Suy ra phương trỡnh 4x + 5 + x- 1 = 3 vụ nghiệm
22. Với x = 1 dễ thấy nú là nghiệm của phương trỡnh đó cho Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 1. b) ĐKXĐ: x ³ 1. Đặt x2 + 1= t, t ³ 1ị x2 = t - 1 phương trỡnh trở thành 4x + 5 + x- 1 = 4t + 5 + t - 1 Û f (x)= f (t) Nếu x > t ị f (x)> f (t) hay 4x + 5 + x- 1 > 4t + 5 + t - 1 Suy ra phương trỡnh đó cho vụ nghiệm Nếu x f (y) Û x > y (x < y) và f (x) = f (y) Û x = y " x, y ẻ D . Tớnh chất này được sử dụng nhiều trong cỏc bài toỏn đại số như giải phương trỡnh , bất phương trỡnh , hệ phương trỡnh và cỏc bài toỏn cực trị. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.9: Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số sau: a) y = 4- 3x ổ 4ử A. Hàm số đồng biến trờn ỗ- Ơ ; ữ ốỗ 3ứữ ổ4 ử B. Nghịch biến trờn khoảng ỗ ;+ Ơ ữ ốỗ3 ứữ C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai b) y = x2 + 4x- 5 . A. hàm số nghịch biến trờn (- Ơ ;- 2) B. hàm số đồng biến trờn (- 2;+ Ơ )
23. C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai 2 c) y = trờn (- Ơ ; 2) và trờn (2;+ Ơ ) x- 2 A. hàm số đồng biến trờn (- Ơ ; 2) B. hàm số nghịch biến trờn (2;+ Ơ ) C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai x d) y = trờn (- Ơ ;1) x- 1 A. hàm số nghịch biến trờn (- Ơ ;- 1). B. hàm số đồng biến trờn (- Ơ ;- 1). C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai Lời giải: ổ 4ử ổ4 ử Bài 2.9: a) Hàm số đồng biến trờn ỗ- Ơ ; ữ và nghịch biến trờn khoảng ỗ ;+ Ơ ữ ốỗ 3ứữ ốỗ3 ứữ b) Với mọi x1 ,x2 ẻ Ă , x1 ạ x2 ta cú 2 + - - 2 + - f (x2 )- f (x1) (x2 4x2 5) (x1 4x1 5) K = = = x1 + x2 + 4 x2 - x1 x2 - x1 x1 ,x2 ẻ (- Ơ ;- 2)ị K 0 suy ra hàm số đồng biến trờn (- 2;+ Ơ ) c) Với mọi x1 ,x2 ẻ Ă , x1 ạ x2 ta cú 2 2 2(x - x ) 2 f (x )- f (x )= - = 1 2 ị K = - 2 1 - - x2 2 x1 2 (x2 - 2)(x1 - 2) (x2 - 2)(x1 - 2)
24. Với x1 ,x2 ẻ (- Ơ ; 2)ị K 0 x2 - x1 x2 - x1 Suy ra hàm số đó cho đồng biến trờn Ă ã Ta cú x3 - x = 3 2x + 1 + 1 Û x3 + x = 2x + 1+ 3 2x + 1 Đặt 3 2x + 1 = y , phương trỡnh trở thành x3 + x = y3 + y Do hàm số f (x)= x3 + x đồng biến trờn Ă nờn ộ = - ờ x 1 = ị 3 + = Û 3 - - = Û ờ . x y 2x 1 x x 2x 1 0 ờ 1± 5 ờx = ở 2 Bài 2.11: Cho hàm số y = x- 1 + x2 - 2x
25. ộ a) Xột sự biến thiờn của hàm số đó cho trờn ở1;+ Ơ ) ộ A. hàm số đó cho nghịch biến trờn ở1;+ Ơ ) ộ B. hàm số đó cho đồng biến trờn ở1;+ Ơ ) C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai ộ ự b) Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trờn đoạn ở2; 5ỷ A. max y = 17 ,B. min y = 1 C.Cả A, B đều đỳngD.Cả A, B đều sai ộ ự ộ ự ở2;5ỷ ở2;5ỷ Lời giải: Bài 2.11: a) Với mọi ẻ ộ + Ơ ạ ta cú x1 ,x2 ở1; ), x1 x2 - = - + 2 - - - + 2 - f (x2 ) f (x1) ( x2 1 x2 2x2 ) ( x1 1 x1 2x1) x2 - x1 = + (x2 - x1)(x2 + x1 - 2) x2 - 1 + x1 - 1 f (x )- f (x ) 1 Suy ra 2 1 = + x + x - 2 > 0 x - x 2 1 2 1 x2 - 1 + x1 - 1 ộ Do đú hàm số đó cho đồng biến trờn ở1;+ Ơ ) ộ ộ ự b) Hàm số đó cho đồng biến trờn ở1;+ Ơ ) nờn nú đồng biến trờn ở2; 5ỷ Vậy max y = y(5)= 17 Û x = 5 , min y = y(2)= 1 Û x = 2 ộ ự ộ ự ở2;5ỷ ở2;5ỷ ➢ DẠNG TOÁN 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Phương phỏp giải. ã Cho hàm số y = f (x) xỏc định trờn D . Đồ thị hàm số f là tập hợp tất cả cỏc điểm M(x; f (x)) nằm trong mặt phẳng tọa độ với x ẻ D . Chỳ ý : Điểm M(x0 ; y0 ) ẻ (C)_ đồ thị hàm số y = f (x) Û y0 = f (x0 ) . ã Sử dụng định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số 2. Cỏc vớ dụ minh họa.
26. ùỡ x2 + 1 khi x > 2 ù Vớ dụ 1: Cho hai hàm số f (x)= 2x2 + 3x + 1 và g(x)= ớù 2x- 1 khi - 2 Ê x Ê 2 . ù ù - 2 ù x > 2 * Với x > 2 ta cú g(x)= 1 Û ớ 2 Û ớ vụ nghiệm ợù x + 1= 1 ợù x = 0 ùỡ - 2 Ê x Ê 2 ùỡ - 2 Ê x Ê 2 Với - 2 Ê x Ê 2 ta cú g(x)= 1 Û ớù Û ớù Û x = 1 ợù 2x- 1= 1 ợù x = 1 ùỡ x < - 2 ùỡ x < - 2 Với x < - 2 ta cú g(x)= 1 Û ớù Û ớù vụ nghiệm ợù 6x- 5 = 1 ợù x = 1
27. Vậy g(x)= 1 Û x = 1. Vớ dụ 2: Cho hàm số y = mx3 - 2(m2 + 1)x2 + 2m2 - m a) Tỡm m để điểm M(- 1; 2) thuộc đồ thị hàm số đó cho A. m = 1 B. m = - 1 C. m = - 2 D. m = 2 b) Tỡm cỏc điểm cố định mà đồ thị hàm số đó cho luụn đi qua với mọi m . A. N(1; 2) B. N(2;- 2) C. N(1;- 2) D. N(3;- 2) Lời giải: a) Điểm M(- 1; 2) thuộc đồ thị hàm số đó cho khi và chỉ khi 2 = - m- 2(m2 + 1)+ 2m2 - m Û m = - 2 Vậy m = - 2 là giỏ trị cần tỡm. b) Để N(x; y) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đó cho luụn đi qua, điều kiện cần và đủ là y = mx3 - 2(m2 + 1)x2 + 2m2 - m, " m Û 2m2 (1- x2 )+ m(x3 - 1)- 2x2 - y = 0, " m ùỡ 1- x2 = 0 ù ỡ ù 3 ù x = 1 Û ớ x - 1 Û ớù ù ù y = - 2 ù 2 + = ợù ợù 2x y 0 Vậy đồ thị hàm số đó cho luụn đi qua điểm N(1;- 2). n n- 1 Chỳ ý: Nếu đa thức anx + an- 1x + + a1x + a0 = 0 với mọi x ẻ K khi và chỉ khi an = an- 1 = = a0 x2 - x + 1 Vớ dụ 3: Chứng minh rằng trờn đồ thị (C) của hàm số y = tồn tại hai điểm A(x ; y ) và x + 1 A A ùỡ 2x + y = 3 B(x ; y ) thỏa món: ớù A A . B B ù + = ợù 2xB yB 3 Lời giải: 2 2 xA - xA + 1 xB - xB + 1 Ta cú A ẻ (C)Û yA = , B ẻ (C)Û yB = xA + 1 xB + 1 ùỡ x2 - x + 1 ù 2x + A A = 3 ùỡ 2x + y = 3 ù A x + 1 Do đú ớù A A Û ớù A (*) ù + = ù 2 ù 2xB yB 3 ù x - x + 1 ợ ù 2x + B B = 3 ù B + ợù xB 1
28. Với xA ạ - 1, xB ạ - 1 ta cú ỡ ù 1± 7 2 ù x = ùỡ 3x - 2x - 2 = 0 ù A (*)Û ớù A A Û ớù 3 (thỏa món) ù 2 ù ù 3xB - 2xB - 2 = 0 ù 1± 7 ợ ù = ù xB ợù 3 ùỡ 2x + y = 3 Suy ra tồn tại hai điểm A(x ; y ) và B(x ; y ) thuộc đồ thị (C) thỏa món: ớù A A . A A B B ù + = ợù 2xB yB 3 Vớ dụ 4: Tỡm trờn đồ thị hàm số y = - x3 + x2 + 3x- 4 hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. A. (1;- 1) và (- 1;- 5).B. (2;- 2) và (- 2; 2).C. (3;- 13) và (- 3; 23). D. Khụng tồn tại Lời giải: Gọi M,N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . M(x0 ; y0 )ị N(- x0 ;- y0 ) ùỡ y = - x3 + x2 + 3x - 4 Vỡ M, N thuộc đồ thị hàm số nờn ớù 0 0 0 0 ù - = 3 + 2 - - ợù y0 x0 x0 3x0 4 ùỡ y = - x3 + x2 + 3x - 4 ùỡ y = - x3 + x2 + 3x - 4 Û ớù 0 0 0 0 Û ớù 0 0 0 0 ù 2 - = ù = ± ợù 2x0 8 0 ợù x0 2 ùỡ x = 2 ùỡ x = - 2 Û ớù 0 hoặc ớù 0 ù = - ù = ợù y0 2 ợù y0 2 Vậy hai điểm cần tỡm cú tọa độ là (2;- 2) và (- 2; 2). Vớ dụ 5: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = x2 + 1 liờn tiếp sang phải hai đơn vị và xuống dưới một đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào? A. y = 2x2 + 2x + 2 B. y = x2 + 4x + 6 C. y = x2 + 2x + 2 D. y = x2 + 4x + 2 b) Nờu cỏch tịnh tiến đồ thị hàm số y = - 2x2 để được đồ thị hàm số y = - 2x2 - 6x + 3 . 1 5 A. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = - 2x2 đi sang bờn trỏi đơn vị và lờn trờn đi đơn vị 2 2 3 15 B. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = - 2x2 đi sang bờn phải đơn vị và xuống dưới đi đơn 2 2 vị 3 15 C. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = - 2x2 đi sang bờn trỏi đơn vị và xuống dưới đi đơn 4 4 vị
29. 3 15 D. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = - 2x2 đi sang bờn trỏi đơn vị và lờn trờn đi đơn vị 2 2 Lời giải: 2 a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y = x2 + 1 sang trỏi hai đơn vị ta được đồ thị hàm số y = (x- 2) + 1 rồi 2 tịnh tiến lờn trờn một đơn vị ta được đồ thị hàm số y = (x- 2) hay y = x2 - 4x + 4 . Vậy hàm số cần tỡm là y = x2 + 4x + 6 . 2 ổ 3ử 15 b) Ta cú - 2x2 - 6x + 3 = - 2ỗx + ữ + ốỗ 2ứữ 2 Do đú tịnh tiến đồ thị hàm số y = - 2x2 để được đồ thị hàm số y = - 2x2 - 6x + 3 ta làm như sau 3 15 Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = - 2x2 đi sang bờn trỏi đơn vị và lờn trờn đi đơn vị. 2 2 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.12: Cho hàm số y = f (x)= - 3x2 + m2x + m+ 1(với m là tham số) a) Tỡm cỏc giỏ trị của m để f (0)= 5 . A. m = 2 B. m = 3 C. m = 4 D. m = 5 b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để đồ thị của hàm số y = f (x)đi qua điểm A(1;0). A. m = - 2,m = 1 B. m = 3 C. m = 4,m = 1 D. m = 5,m = - 3 Lời giải: Bài 2.12: a) f (0)= 5 Û m+ 1= 5 Û m = 4 b) Đồ thị của hàm số y = f (x)đi qua điểm A(1;0) khi và chỉ khi ộm = 1 = - + 2 + + Û 2 + - = Û ờ 0 3 m m 1 m m 2 0 ờ ởm = - 2 Bài 2.13: Tỡm cỏc điểm cố định mà đồ thị hàm số sau luụn đi qua với mọi m. a) y = x3 + 2(m- 1)x2 + (m2 - 4m+ 1)x- 2(m2 + 1) A. A(2;0) B. A(3; 4) C. A(2; 2) D. A(1;0) (m- 1)x + m+ 2 b) y = x + m+ 2
30. A. A(4;13), B(1; 4) B. A(4;- 3), B(3;- 1)C. A(- 4; 3), B(0;1) D. A(- 4;- 1), B(2;1) Lời giải: Bài 2.13: a) Ta cú y = x3 + 2(m- 1)x2 + (m2 - 4m+ 1)x- 2(m2 + 1) Û m2 (x- 2)+ m(2x2 - 4x)+ x3 - 2x2 + x- 2- y = 0 Tọa độ điểm cố định mà họ đồ thị đồ thị luụn đi qua là nghiệm của hệ ỡ ù x- 2 = 0 ù ùỡ x = 2 ớù 2x2 - 4x = 0 Û ớù ù ù = ù 3 2 ùợ y 0 ợù x - 2x + x- 2- y = 0 Vậy điểm cần tỡm là A(2;0). b) Điểm cố định là A(- 4; 3), B(0;1) Bài 2.14: Cho hàm số f (x) = 2x4 + (m- 1)x3 + (m2 - 1)x2 + 2(m2 - 3m+ 2)x- 3 . Tỡm m để điểm M(1;0) thuộc đồ thị hàm số đó cho 4 ± 3 5± 13 5 A. m = B. m = 1,m = - 1 C. m = D. m = 3 6 6 Lời giải: Bài 2.14: Điểm M(1;0) thuộc đồ thị hàm số đó cho khi và chỉ khi f (1)= 0 Û 0 = 2 + (m- 1)+ (m2 - 1)+ 2(m2 - 3m+ 2)- 3 5± 13 Û 3m2 - 5m+ 1= 0 Û m = 6 5± 13 Vậy m = là giỏ trị cần tỡm. 6 1 Bài 2.15: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = - x2 + 2 liờn tiếp sang trỏi 2 đơn vị và xuống dưới đơn vị ta 2 được đồ thị của hàm số nào? 2 2 A. y = - (x + 2) + 1 B. y = - (x + 2) + 2 2 1 2 5 C. y = - (x- 2) + D. y = - (x + 2) + 2 2 b) Nờu cỏch tịnh tiến đồ thị hàm số y = x3 để được đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 6 . A. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = x3 đi sang bờn phải 1 đơn vị và lờn trờn đi 5 đơn vị.
31. B. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = x3 đi sang bờn trỏi 1 đơn vị và xuống dưới đi 5 đơn vị. C. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = x3 đi sang bờn trỏi 2 đơn vị và lờn trờn đi 4 đơn vị. D. Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = x3 đi sang bờn trỏi 1 đơn vị và lờn trờn đi 5 đơn vị. Lời giải: Bài 2.15: a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y = - x2 + 2 sang trỏi 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số 2 1 2 1 y = - (x + 2) + 2 rồi tịnh tiến lờn trờn đơn vị ta được đồ thị hàm số y = - (x + 2) + 2 + . 2 2 2 b) Ta cú x3 + 3x2 + 3x + 6 = (x + 1) + 5 Do đú tịnh tiến đồ thị hàm số y = x3 để được đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 6 ta làm như sau Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y = x3 đi sang bờn trỏi 1 đơn vị và lờn trờn đi 5 đơn vị.