Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 2: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 2: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

1. §2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa. • Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a,b là số thực và a ¹ 0 • Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với a,b,c là số thực và a ¹ 0 2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1). b b • Nếu a ¹ 0 : (1)Û x = - do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = - a a • Nếu a = 0 : phương trình (1) trở thành 0x + b = 0 Th1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R Th2: Với b ¹ 0 phương trình vô nghiệm 3. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 • Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1) • Nếu a ¹ 0 : D = b2 - 4ac - b ± D Th1: D > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2a b TH2: D = 0 phương trình có nghiệm kép x = - 2a Th3: D 0 ï îï S > 0 ïì D ³ 0 ï + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi íï P > 0 ï îï S < 0 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0 . 1. Phương pháp giải. Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở trên. Lưu ý: é a ¹ 0 • Phương trình + = có nghiệm Û ê ax b 0 ê ëa = b = 0
2. ïì a = 0 • Phương trình ax + b = 0 vô nghiệm Û íï îï b ¹ 0 • Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. a) (m- 1)x + 2- m = 0 A. m = 1 : Phương trình vô nghiệm m- 2 B. m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = m- 1 C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai b) m(mx- 1)= 9x + 3 A. m = 3 : Phương trình vô nghiệm B. m = - 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R 1 C. m ¹ ± 3 : Phương trình có nghiệm x = m- 3 D. Cả A, B, C đều đúng c) (m+ 1)2 x = (3m+ 7)x + 2 + m A. m = 3 : Phương trình vô nghiệm B. m = - 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R 1 C. m ¹ 3 và m ¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x = m- 3 D.Cả A, B, C đều đúng Lời giải: a) Phương trình tương đương với (m- 1)x = m- 2 + Với m- 1= 0 Û m = 1: Phương trình trở thành 0x = - 1 Suy ra phương trình vô nghiệm. m- 2 + Với m- 1¹ 0 Û m ¹ 1 : Phương trình tương đương với x = m- 1 Kết luận m = 1 : Phương trình vô nghiệm m- 2 m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = m- 1 b) Ta có m(mx- 1)= 9x + 3 Û (m2 - 9)x = m+ 3 + Với m2 - 9 = 0 Û m = ± 3 : • Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 6 suy ra phương trình vô nghiệm • Khi m = - 3 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R m+ 3 1 + Với m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ± 3 : Phương trình tương đương với x = = . m2 - 9 m- 3 Kết luận: m = 3 : Phương trình vô nghiệm m = - 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R 1 m ¹ ± 3 : Phương trình có nghiệm x = m- 3 c) Phương trình tương đương với é + 2 - - ù = + ëê(m 1) 3m 7ûúx 2 m Û (m2 - m- 6)x = 2 + m
3. ém = 3 + Với 2 - - = Û ê : m m 6 0 ê ëm = - 2 • Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 5 suy ra phương trình vô nghiệm • Khi m = - 2 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R ém ¹ 3 m+ 2 1 + Với m2 - m- 6 ¹ 0 Û ê : Phương trình tương đương với x = = . ê 2 ëm ¹ - 2 m - m- 6 m- 3 Kết luận: m = 3 : Phương trình vô nghiệm m = - 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R 1 m ¹ 3 và m ¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x = m- 3 Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham số. a) a2 (x- a)= b2 (x- b) A. a = b: phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R B. a = - b và b ¹ 0 : phương trình vô nghiệm a2 + ab + b2 C. a ¹ ± b: Phương trình có nghiệm là x = a + b D.Cả A, B, C đều đúng b) b(ax- b + 2)= 2(ax + 1) A. a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm b2 - 2b + 2 B. a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x = a(b- 2) C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai Lời giải: a) Ta có a2 (x- a)= b2 (x- b)Û (a2 - b2 )x = a3 - b3 + Với a2 - b2 = 0 Û a = ± b • Khi a = b : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R • Khi a = - b và b ¹ 0 : Phương trình trở thành 0x = - 2b3 suy ra phương trình vô nghiệm (Trường hợp a = - b,b = 0 Þ a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b ) a3 - b3 a2 + ab + b2 + Với a2 - b2 ¹ 0 Û a ¹ ± b : Phương trình tương đương với x = = a2 - b2 a + b Kết luận a = b: phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R a = - b và b ¹ 0 : phương trình vô nghiệm a2 + ab + b2 a ¹ ± b: Phương trình có nghiệm là x = a + b b) Ta có b(ax- b + 2)= 2(ax + 1)Û a(b- 2)x = b2 - 2b + 2 éa = 0 + Với - = Û ê a(b 2) 0 ê ëb = 2 2 • Khi a = 0 : Phương trình trở thành 0x = b2 - 2b + 2 , do b2 - 2b + 2 = (b- 1) + 1> 0 nên phương trình vô nghiệm. • Khi b = 2 : Phương trình trở thành 0x = 2 suy ra phương trình vô nghiệm ïì a ¹ 0 b2 - 2b + 2 + Với a(b- 2)¹ 0 Û íï : Phương trình tương đương với x = . îï b ¹ 2 a(b- 2) Kết luận
4. a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm b2 - 2b + 2 a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x = a(b- 2) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất. a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 A. m ¹ - 2 và m ¹ 2 B. m ¹ - 1 và m ¹ - 2 C. m ¹ - 1 và m ¹ 2 D. m ¹ - 1 và m ¹ - 3 b) m(4mx- 3m+ 2)= x(m+ 1) 1± 7 1± 17 1± 17 2 ± 17 A. m ¹ B. m ¹ C. m ¹ D. m ¹ 8 2 8 8 Lời giải: a) Ta có (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 Û (m2 - m- 2)x = m2 - 1 ïì m ¹ - 1 Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay m2 - m- 2 ¹ 0 Û íï îï m ¹ 2 Vậy với m ¹ - 1 và m ¹ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất b) Ta có m(4mx- 3m+ 2)= x(m+ 1) Û (4m2 - m- 1)x = 3m2 - 2m 1± 17 Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay 4m2 - m- 1¹ 0 Û m ¹ 8 1± 17 Vậy với m ¹ thì phương trình có nghiệm duy nhất 8 Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau y = (m+ 1)x2 + 3m2x + m và y = (m+ 1)x2 + 12x + 2 . A. m = - 3 B. m = - 1 C. m = - 2 D. m = 2 Lời giải: Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình (m+ 1)x2 + 3m2x + m = (m+ 1)x2 + 12x + 2 vô nghiệm Û 3(m2 - 4)x = 2- m vô nghiệm ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Û íï Û íï Û m = - 2 ï ï îï 2- m ¹ 0 îï m ¹ 2 Vậy với m = - 2 là giá trị cần tìm. 3. Bài tập luyên tập. Bài 3.5: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. a) (2m- 4)x + 2- m = 0 A. m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x B. m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1 C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai b) (m+ 1)x = (3m2 - 1)x + m- 1 2 A. m = - : Phương trình vô nghiệm 3 B. m = 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x 2 - 1 C. m = - và m = 1: Phương trình có nghiệm x = 3 3m+ 2 D.Cả A, B, C đều đúng Lời giải:
5. Bài 3.5: a) Phương trình tương đương với (2m- 4)x = m- 2 + Với 2m- 4 = 0 Û m = 2 : Phương trình trở thành 0x = 0 Suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x . + Với 2m- 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 : Phương trình tương đương với x = - 1 Kết luận m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1 b) Phương trình tương đương với (3m2 - m- 2)x = 1- m é m = 1 2 ê + Với 3m - m- 2 = 0 Û ê 2 : êm = - ëê 3 • Khi m = 1: Phương trình trở thành 0x = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x . 2 5 • Khi m = - : Phương trình trở thành 0x = suy ra phương trình vô nghiệm 3 3 ïì m ¹ 1 ï 1- m - 1 + Với 2 - - ¹ Û ï : PT Û = = . 3m m 2 0 í 2 x 2 ï m ¹ - 3m - m- 2 3m+ 2 îï 3 Kết luận: 2 m = - : Phương trình vô nghiệm 3 m = 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x 2 - 1 m = - và m = 1: Phương trình có nghiệm x = 3 3m+ 2 Bài 3.6: Giải và biện luận các phương trình sau: x + a- b x + b- a b2 - a2 a) - = (1) a b ab A. Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a). B. Với b = a, phương trình có vô số nghiệm C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai 2 ax- 1 2 a(x + 1) b) + = (2) x- 1 x + 1 x2 - 1 a + 3 A. Với a ¹ - 1 và a ¹ - 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = a + 1 B. Với a = - 1 hoặc a = - 2 thì phương trình vô nghiệm. C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai Lời giải: Bài 3.6: a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0. (1) Û b(x + a- b)- a(x + b- a)= b2 - a2 Û bx + ab- b2 - ax- ab + a2 = b2 - a2 Û (b- a)x = 2(b- a)(b + a) 2(b- a)(b + a) -Nếu b – a ≠ 0 Þ b ¹ a thì x = = 2(b + a) b- a -Nếu b – a = 0 Þ b = a thì phương trình có vô số nghiệm. Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a). -Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
6. b) ĐKXĐ: x ¹ ± 1 Û (ax- 1)(x + 1)+ 2(x- 1)= a(x2 + 1) Û ax2 + ax- x- 1+ 2x- 2 = ax2 + a Û (a + 1)x = a + 3 a + 3 -Nếu a + 1¹ 0 Þ a ¹ - 1 thì x = a + 1 -Nếu a + 1= 0 Þ a = - 1 thì phương trình vô nghiệm. a + 3 Vậy: -Với a ¹ - 1 và a ¹ - 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = a + 1 -Với a = - 1 hoặc a = - 2 thì phương trình vô nghiệm. Bài 3.7: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm. a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 A. m = 4 B. m = 2 C. m = 3 D. m = 1 b) m2 (x- m)= x- 3m+ 2 A. m = - 34 B. m = - 1 C. m = 12 D. m = - 3 Lời giải: Bài 3.7: a) Ta có (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 Û (m2 - m- 2)x = m2 - 1 ïì a = 0 ïì m2 - m- 2 = 0 Phương trình vô nghiệm Û íï hay íï Û m = 2 ï ï 2 îï b ¹ 0 îï m - 1¹ 0 Vậy với m = 2 thì phương trình vô nghiệm b) Ta có PT Û (m2 - 1)x = m3 - 3m+ 2 ïì a = 0 ïì m2 - 1= 0 Phương trình vô nghiệm Û íï hay íï Û m = - 1 ï ï 3 îï b ¹ 0 îï m - 3m+ 2 ¹ 0 Vậy với m = - 1 thì phương trình vô nghiệm. Bài 3.8: Tìm điều kiện của a,b để phương trình sau có nghiệm . a) a(bx- a + 2)= (a + b- 1)x + 1 A. a ¹ 1 B. b ¹ 1 C. a ¹ 1,b ¹ 4 D. a ¹ 1,b = 4 2x- a 2x- b b) - b = - a (a,b ¹ 0) a b A. a ¹ 1 B. b ¹ 1 C. a ¹ 1,b ¹ 4 D. a ¹ 0,b ¹ 0 Lời giải: Bài 3.8: a) Ta có a(bx - a + 2)= (a + b- 1)x + 1 Û (ab- a- b + 1)x = a2 - 2a + 1 2 Û (a- 1)(b- 1)x = (a- 1) é - - ¹ ê(a 1)(b 1) 0 éïì a ¹ 1 ê êíï Phương trình có nghiệm Û êïì (a- 1)(b- 1)= 0 Û êï b ¹ 1 Û a ¹ 1 êï êîï í 2 ê êï - = êa = 1 ëêîï (a 1) 0 ë Vậy a ¹ 1 là điều kiện cần tìm. b) Phương trình tương đương với b(2x- a)- ab2 = a(2x- b)- a2b Û 2(a- b)x = ab(a- b)
7. é a- b ¹ 0 ê é ¹ êì êa b Phương trình có nghiệm Û êï a- b = 0 Û đúng với mọi a,b íï êa = b êï - = ë ëêîï ab(a b) 0 Vậy với mọi a,b khác không thì phương trình có nghiệm. ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax2 + bx + c = 0 . 1. Phương pháp giải. Để giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 ta làm theo như các bước đã nêu ở trên. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. a) x2 - x + m = 0 1 1± 1- 4m A. m : Phương trình vô nghiệm 4 D. Cả A, B, C đều đúng b) (m+ 1)x2 - 2mx + m- 2 = 0 3 A. m = - 1 : phương trình có nghiệm là x = 2 B. m = - 2 : phương trình có nghiệm là x = 2 , m - 2 và m ¹ - 1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m+ 1 D. Cả A, B, C đều đúng c) (2m2 + 5m+ 2)x2 - 4mx + 2 = 0 1 2 A. m = - 2 phương trình có nghiệm x = - , m > - phương trình vô nghiệm. 4 5 1 2 B. m = - phương trình có nghiệm x = - 1, m = - phương trình có nghiệm (kép) x = - 5 2 5 2 1 C. m 0 Û 1- 4m > 0 Û m : Phương trình vô nghiệm 4 Kết luận 1 1± 1- 4m m < : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4 2 1 1 m = : Phương trình có nghiệm kép x = 4 2
8. 1 m > : Phương trình vô nghiệm 4 3 b) + TH1: Với m+ 1= 0 Û m = - 1 khi đó phương trình trở thành 2x- 3 = 0 Û x = 2 + TH2: Với m+ 1¹ 0 Û m ¹ - 1 khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai Ta có D ' = m2 - (m- 2)(m+ 1)= m+ 2 m± m+ 2 Khi D > 0 Û m+ 2 > 0 Û m > - 2 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m+ 1 Khi D = 0 Û m+ 2 = 0 Û m = - 2 khi đó phương trình có nghiệm là x = 2 Khi D - 2 và m ¹ - 1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m+ 1 m 0 Û - 2(5m+ 2)> 0 Û m - phương trình vô nghiệm. 5 Kết luận 1 m = - 2 phương trình có nghiệm x = - 4 1 m = - phương trình có nghiệm x = - 1 2 2 m = - phương trình có nghiệm (kép) x = - 5 5 2m± - 2(5m+ 2) x = 2m2 + 5m+ 2
9. 2 m > - phương trình vô nghiệm. 5 Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham số. ax2 - 2(a + b)x + a + 2b = 0 A. a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x B. a = 0 và b ¹ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 a + b C. a ¹ 0 và b = 0 phương trình có nghiệm kép x = a a + 2b D. a ¹ 0 và b ¹ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = và x = 1 a E. Cả A, B, C đều đúng Lời giải: + TH1: Với a = 0 phương trình trở thành - 2bx + 2b = 0 Û bx = b Khi b = 0 phương trình là 0x = 0 do đó phương trình nghiệm đúng với mọi x Khi b ¹ 0 phương trình có nghiệm là x = 1 + TH2: Với a ¹ 0 phương trình là phương trình bậc hai 2 Ta có D ' = (a + b) - a(a + 2b)= b2 a + b Khi b = 0 phương trình có nghiệm kép x = a é a + b + b a + 2b êx = = ê Khi b ¹ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là ê a a ê a + b- b ê x = = 1 ëê a Kết luận a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x a = 0 và b ¹ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 a + b a ¹ 0 và b = 0 phương trình có nghiệm kép x = a a + 2b a ¹ 0 và b ¹ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = và x = 1 a Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx2 + x + m+ 1= 0 a) Có nghiệm kép. 1 1 A. m = B. m = - C. m = 3 D. m = 1 2 2 b) Có hai nghiệm phân biệt 1 A. m ¹ 1 và m ¹ B. m ¹ 0 và m ¹ 1 2 3 1 C. m ¹ 1 và m ¹ D. m ¹ 0 và m ¹ 2 2 Lời giải: a) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1= 0 suy ra m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m ¹ 0 m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và chỉ khi ì ïì m ¹ 0 ïì a ¹ 0 ï m ¹ 0 ïì m ¹ 0 ï 1 íï Û íï Û íï Û í Û m = ï ï - + = ï 2 ï 1 îï D = 0 îï 1 4m(m 1) 0 îï 4m - 4m+ 1= 0 ï m = 2 îï 2 1 Vậy m = thì phương trình có nghiệm kép 2 b) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1= 0 suy ra m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
10. Với m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 1 D > 0 Û 1- 4m(m+ 1)> 0 Û 4m2 - 4m+ 1> 0 Û (2m- 1) > 0 Û m ¹ 2 1 Vậy m ¹ 0 và m ¹ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 3. Bài tập luyện tập Bài 3.9: Tìm m để phương trình x2 - 3mx + (2m2 - m- 1) = 0 có nghiệm kép A. m = - 5 B. m = - 2 C. m = - 4 D. m = - 3 Lời giải: Bài 3.9: D = 9m2 - 4(2m2 - m- 1)= 9m2 - 8m2 + 4m+ 4 = (m+ 2)2 Phương trình có nghiệm kép khi D = (m+ 2)2 = 0 Þ m = - 2 3m - 6 Nghiệm kép đó là x = x = = = - 3 . 1 2 2 2 Bài 3.10: Cho phương trình: mx2 - 2mx + m+ 1= 0 a) Giải phương trình đã cho khi m = - 2 . 2 ± 3 2 2 ± 2 2 ± 2 1± 2 A. x = B. x = C. x = D. x = 2 2 4 2 b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm A. m 0 Lời giải: Bài 3.10: a) Với m = - 2 ta có phương trình: - 2x2 + 4x- 1= 0 Û 2x2 - 4x + 1= 0 , phương trình này 2 ± 2 có hai nghiệm phân biệt x = . 2 b) Với m = 0 ta thấy phương trình vô nghiệm Với m ¹ 0 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ' = m2 - m(m+ 1)³ 0 Û m phương trình vô nghiệm., m = 2 phương trình có một nghiệm x = 4 3 17 10 B. m = phương trình có nghiệm kép x = . 4 3 ïì 17 ï m < 2m- 1± - 4m+ 17 C. í 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = .D.Cả, A, B, C ï 2(m- 2) îï m ¹ 2 đều đúng Lời giải:
11. 1 Bài 3.11: a) * m- 2 = 0 Û m = 2 : Pt Û - 6x- 3 = 0 Û x = - 2 * m- 2 ¹ 0 Û m ¹ 2 : D ' = (m+ 1)2 - (m- 2)(m- 5) = 9m- 9 = 9(m- 1) + D ' 0 Û 9(m- 1) > 0 Û m > 1: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt é ê m+ 1+ 3 m- 1 êx = Û ê m- 2 ê m+ 1- 3 m- 1 êx = ëê m- 2 Kết luận: + m Þ D 0 Þ (1) có hai nghiệm phân biệt 4 2m- 1+ - 4m+ 17 2m- 1- - 4m+ 17 x = ; x = . 1 2(m- 2) 2 2(m- 2) 4 Kết luận: * m = 2 phương trình có một nghiệm x = 3 17 * m > phương trình vô nghiệm. 4 17 10 * m = phương trình có nghiệm kép x = . 4 3 ïì 17 ï m < 2m- 1± - 4m+ 17 * í 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = . ï 2(m- 2) îï m ¹ 2 Bài 3.12: Tùy thuộc vào giá trị của tham số m , hãy tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng d : y = 2x + m và Parabol (P): y = (m – 1)x2 + 2mx + 3m – 1. A. Nếu m Î (- ;0)È(1;+ ) thì ' < 0 nên (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao điểm B. Nếu m = 0 thì ' = 0 và (*) có một nghiệm x = - 1
12. m(1- m) C. Nếu m Î (0;1) thì ' > 0 và (*) có hai nghiệm phân biệt x = 1± D.Cả, A, B, C 1,2 m- 1 đều đúng Lời giải: Bài 3.12: Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol (P) là nghiệm của : (m- 1)x2 + 2mx + 3m- 1= 2x + m Û (m- 1)x2 + 2(m- 1)x + 2m- 1= 0 (*) • Với m = 1 ta thấy (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao điểm • Với m ¹ 1 thì (*) là phương trình bậc hai có 2 • D ' = (m – 1) –(m – 1)(2m – 1)= –m(m – 1) Do đó ta có các trường hợp sau: TH1: Nếu m Î (- ;0)È(1;+ ) thì ' 0 và (*) có hai nghiệm phân biệt x = 1± 1,2 m- 1 ➢ DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT. Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử. Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 - mx + 5 = 0 . Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm m 3 13 1 13 A. m = B. m = C. m = D. m = - 2 2 2 2 Lời giải: 5 Cách 1: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có x x = 1 2 2 5 Giả sử x = 2 suy ra x = . 1 2 4 m 5 m 13 Mặt khác x + x = Þ 2 + = Þ m = . 1 2 2 4 2 2 13 5 Vậy m = và nghiệm còn lại là 2 2 13 Cách 2: Thay x = 2 vào phương trình ta được 8- 2m+ 5 = 0 Û m = . 2 5 5 Theo hệ thức Viét ta có x x = mà x = 2 nên x = . 1 2 2 1 2 4 13 5 Vậy m = và nghiệm còn lại là . 2 2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f (x) = 3x2 - 14x + 8 A. (3x- 2)(x- 1) B. (3x- 1)(x- 4) C. (3x- 2)(x- 4) D. (3x- 2)(2x- 4) b) g(x) = - x4 + 5x2 - 4
13. A. - (x- 1)(x + 1)(x- 2)(x + 2) B. - (x- 1)(x + 3)(x- 2)(x + 2) C. - (x- 3)(x + 1)(x- 2)(x + 2) D. - (x- 1)(x + 1)(x- 2)(x + 2) c) P(x; y) = 6x2 - 11xy + 3y2 . A. (3x- y)(2x- 3y) B. (3x- y)(x- 3y) C. (3x- y)(2x + 3y) D. (3x- y)(2x- y) d) Q(x; y) = 2x2 - 2y2 - 3xy + x- 2y . A. (x + 2y)(2x + y + 1) B. (x- 2y)(2x + y- 1) C. (x- 2y)(2x + y + 1) D. (x- 2y)(x- y + 1) Lời giải: é 2 êx = a) Phương trình 3x2 - 14x + 8 = 0 Û ê ê 3 ëêx = 4 æ 2ö Suy ra f (x) = 3çx- ÷(x- 4)= (3x- 2)(x- 4) èç 3ø÷ 2 2 éx = 1 b) Phương trình - x4 + 5x2 - 4 = 0 Û - x2 + 5x2 - 4 = 0 Û ê ( ) ê 2 ëêx = 4 Suy ra g(x) = - (x2 - 1)(x2 - 4)= - (x- 1)(x + 1)(x- 2)(x + 2) c) Xét phương trình 6x2 - 11xy + 3y2 = 0 ẩn x . 2 2 2 D x = (11y) - 4.18y = 49y é y êx = 11y ± 7y ê Suy ra phương trình có nghiệm là x = Û ê 3 12 ê 3y êx = ëê 2 æ öæ ö ç y÷ç 3y÷ Do đó P(x; y) = 6çx- ÷çx- ÷= (3x- y)(2x- 3y) èç 3ø÷èç 2 ø÷ d) Xét phương trình 2x2 - 2y2 - 3xy + x- 2y = 0 ( ẩn x ) Û 2x2 + (1- 3y)x- 2y2 - 2y = 0 2 2 2 2 D x = (1- 3y) - 8(- 2y - 2y)= 25y + 10y + 1= (5y + 1) é = 3y- 1± (5y + 1) ê x 2y Suy ra phương trình có nghiệm là x = Û ê - y- 1 4 êx = ëê 2 æ ö ç - y- 1÷ Do đó Q(x; y) = 2(x- 2y)çx- ÷= (x- 2y)(2x + y + 1) èç 2 ø÷ Ví dụ 3: Phân tích đa thức f (x)= x4 - 2mx2 - x + m2 - m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x .
14. A. f (x)= (m- x2 - x- 2)(m+ x2 + x) B. f (x)= (m- x2 - x- 1)(m- x2 + x) C. f (x)= 2(m- x2 - x- 2)(m- x2 + x) D. f (x)= (m- x2 - 2x- 1)(m- x2 - 2x) Lời giải: Ta có f (x)= 0 Û x4 - 2mx2 - x + m2 - m = 0 Û m2 - (2x2 + 1)m+ x4 - x = 0 2 2 4 2 2 D m = (2x + 1) - 4(x - x)= 4x + 4x + 1= (2x + 1) é 2x2 + 1+ 2x + 1 ê = = 2 + + êm x x 1 Suy ra f (x)= 0 Û ê 2 ê 2x2 + 1- 2x- 1 ê m = = x2 - x ëê 2 Vậy f (x)= (m- x2 - x- 1)(m- x2 + x). Loại 2: Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x1 ,x2 của phương trình bậc hai. Ví dụ 4: Cho phương trình x2 - 2(m+ 1)x + m2 + 2 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho 3 3 a) x1 + x2 = 2x1x2 (x1 + x2 ) 1 A. m = 2 B. m = C. m = 1 D. m = 4 ± 10 2 4 4 2 b) x1 - x2 = 16m + 64m 1 A. m = 2 B. m = C. m = 1 D. m = 4 ± 10 2 c) A = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 đạt giá trị nhỏ nhất 1 A. m = 2 B. m = C. m = 1 D. m = 4 ± 10 2 2 2 d) B = 2(x1 + x2 )+ 16 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất 1 A. m = 2 B. m = C. m = 1 D. m = 4 ± 10 2 Lời giải: Ta có phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Û D ' ³ 0 2 1 Û (m+ 1) - (m2 + 2)³ 0 Û m ³ (*) 2 ïì x + x = 2m+ 2 Theo Viet ta có: íï 1 2 ï = 2 + îï x1.x2 m 2 3 3 3 a) Ta có x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 3x1x2 (x1 + x2 ) 3 3 3 Suy ra x1 + x2 = 2x1x2 (x1 + x2 )Û (x1 + x2 ) - 3x1x2 (x1 + x2 )= 2x1x2 (x1 + x2 )
15. é 2 ù Û (x + x )ê(x + x ) - 5x x ú= 0 1 2 ë 1 2 1 2 û é 2 ù Suy ra (2m+ 2)ê(2m+ 2) - 5(m2 + 2)ú= 0 Û 2(m+ 1)(- m2 + 8m- 6)= 0 ë û é m+ 1= 0 é m = - 1 Û ê Û ê ê 2 ê ë- m + 8m- 6 = 0 ëêm = 4 ± 10 Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m = 4 ± 10 thỏa mãn Vậy m = 4 ± 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. é 2 ù b) Ta có x4 - x4 = (x2 + x2 )(x2 - x2 ) = ê(x + x ) - 2x x úx - x x + x 1 2 1 2 1 2 ë 1 2 1 2 û 1 2 1 2 Mà 2 2 2 2 x1 - x2 = (x1 - x2 ) = (x1 + x2 ) - 4x1x2 = (2m+ 2) - 4(m + 2) = 8m- 4 Suy ra é 2 ù x4 - x4 = ê(2m+ 2) - 2(m2 + 2)ú 8m- 4 2m+ 2 1 2 ë û = (2m2 + 8m) 8m- 4 2m+ 2 4 4 2 2 2 Suy ra x1 - x2 = 16m + 64m Û (2m + 8m) 8m- 4 2m+ 2 = 16m + 64m Û (m2 + 4m)( 8m- 4 2m+ 2 - 8)= 0 é 2 ê m + 4m = 0 (1) Û ê ëê 8m- 4 2m+ 2 = 8 (2) ém = 0 Ta có Û ê (loại) (1) ê ëm = - 4 2 (2)Û (8m- 4)(2m+ 2) = 64 Û 32m3 + 48m2 - 80 = 0 Û m = 1(thỏa mãn (*)) Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 2 c) Ta có A = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 = m + 2- 2(2m+ 2)- 6 = m - 4m- 8 2 Þ A = (m- 2) - 12 ³ - 12 Suy ra min A = - 12 Û m = 2 , m = 2 thỏa mãn (*) Vậy với m = 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2 d) B = 2(x1 + x2 )+ 16 - 3x1x2 = 2(x1 + x2 ) - 4x1x2 + 16 - 3x1x2 2 = 2(2m+ 2) - 4(m2 + 2)+ 16 - 3(m2 + 2)= 4m2 + 16m+ 16 - 3(m2 + 2) = 2m+ 4- 3(m2 + 2)= - 3m2 + 2m- 2 1 Xét hàm số y = - 3m2 + 2m- 2 với m ³ 2 Bảng biến thiên x 1 + ¥ 2 y 7 - 4 - ¥
16. 7 1 Suy ra giá trị max y = - khi m = 1 4 2 m³ 2 7 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là - khi m = . 4 2 Ví dụ 5: Cho phương trình x2 - mx + m- 1= 0 với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m A. x1x2 = 2x1 + x2 - 1 B. x1x2 = x1 + x2 - 2 C. x1x2 = x1 + 2x2 - 1 D. x1x2 = x1 + x2 - 1 2x x + 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức = 1 2 A 2 2 x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) 3 1 A. max A = 1, min A = - B. max A = 2 , min A = - 2 2 1 1 C. max A = 1, min A = - D. max A = 1, min A = - 4 2 Lời giải: 2 a) Ta có D = m2 - 4(m- 1)= (m- 2) ³ 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m b) Theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = m và x1x2 = m- 1 Suy ra hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m là x1x2 = x1 + x2 - 1 2 2 2 2 c) Ta có x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 = m - 2m+ 2 . 2x x + 3 2m+ 1 Suy ra = 1 2 = A 2 2 2 x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2 2 2m+ 1 2m+ 1- m2 - 2 (m- 1) Vì A- 1= - 1= = - £ 0," m Þ A £ 1," m m2 + 2 m2 + 2 m2 + 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 1 2 2 1 2m+ 1 1 2(2m+ 1)+ m + 2 (m+ 2) 1 Và A + = + = = ³ 0, " m Þ A ³ - , " m 2 m2 + 2 2 2(m2 + 2) 2(m2 + 2) 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = - 2 1 Vậy max A = 1 khi và chỉ khi m = 1, min A = - khi và chỉ khi m = - 2 2 2m+ 1 Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ta làm như sau m2 + 2
17. - km2 + 2m- 2k2 + 1 Xét A- k = . Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì tử số là biếu m2 + 2 thức f (m)= - km2 + 2m- 2k2 + 1 phải biểu diễn được dưới dạng bình phương hay é = ê k 1 2 ê D m = 0 Û 1+ k(1- 2k)= 0 Û - 2k + k + 1= 0 Û 1 . Vì vậy ta mới đi xét như trên. êk = - ëê 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f (x) = 2x2 - 5x + 3 A. f (x) = (2x- 3)(2x- 1) B. f (x) = (2x- 3)(x- 2) C. f (x) = (2x- 4)(x- 1) D. f (x) = (2x- 3)(x- 1) b) g(x) = 2x4 - 14x2 - 36 A. g(x) = 2(x2 + 1)(x- 3)(x + 3) B. g(x) = (x2 + 2)(x- 2)(x + 3) C. g(x) = 2(x2 + 2)(x- 3)(x + 3) D. g(x) = 2(x2 + 2)(x- 3)(x + 2) c) P(x; y) = 3x2 - 5xy- 2y2 . A. P(x; y) = (x- 2y)(x + y) B. P(x; y) = (x- 2y)(3x + 2y) C. P(x; y) = (x- 2y)(3x + y) D. P(x; y) = (2x- 2y)(3x + y) d) Q(x; y) = x2 - 2y2 - xy- 3y- 1. A. Q(x; y) = (x- y- 1)(x + y + 1) B.Q(x; y) = (2x- 2y- 1)(x + y + 1) C. Q(x; y) = (x- 2y- 1)(x + y + 1) D. Q(x; y) = (x- 2y- 2)(x + y + 2) Lời giải: é 3 êx = Bài 3.13: a) Phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0 Û ê ê 2 ëêx = 1 Suy ra f (x) = (2x- 3)(x- 1) b) g(x) = 2(x2 + 2)(x2 - 9)= 2(x2 + 2)(x- 3)(x + 3) c) P(x; y) = (x- 2y)(3x + y) d) Q(x; y) = (x- 2y- 1)(x + y + 1) Bài 3.14: Phân tích đa thức f (x)= 2x3 + (m+ 1)x2 + 2mx + m2 + m (biến x với tham số m ) thành tích một đã thức bậc hai và một bậc nhất. A. f (x)= (x2 + m)(2x + m+ 2) B. f (x)= (x2 + 2m)(2x + 2m+ 1) C. f (x)= (x2 + m)(2x + 3m+ 1) D. f (x)= (x2 + m)(2x + m+ 1) Lời giải: Bài 3.14: f (x)= (x2 + m)(2x + m+ 1) 2 Bài 3.15: Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình: - x + 3x + 1= 0 . Tính giá trị của các biểu thức:
18. 1 1 = 2 + 2 ; = 3 - + 3 - ; = - . A x1 x2 B x1 (x1 1) x2 (x2 1) C 2 2 x1 x2 A. A = 11 B. B = 83 C. C = 3 13 D.Cả A, B, C đều đúng Lời giải: 2 Bìa 3.15: Ta có = 3 + 4 = 13 > 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 Theo định lí Viét ta có: x1 + x2 = 3,x1x2 = - 1. Khi đó: A = 11, B = 83 ,C = 3 13 . 2 2 Bài 3.16: Tìm m để phương trình 3x + 4(m- 1)x + m - 4m+ 1= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 1 1 1 thỏa mãn: + = (x1 + x2 ). x1 x2 2 A. m = 1,m = 2 B. m = 1,m = 5 C. m = 1,m = 3 D. m = 1,m = 4 Lời giải: Bài 3.16: Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên: ïì 2 ï D ' = m + 4m+ 1> 0 ì 2 ï ï m + 4m+ 1> 0 í 2 Û í (*) . ï c m - 4m+ 1 ï 2 ï = ¹ 0 îï m - 4m+ 1¹ 0 îï a 3 4(1- m) m2 - 4m+ 1 Khi đó theo định lí Viet ta có: x + x = ; x x = 1 2 3 1 2 3 1 1 1 Ta có: + = (x1 + x2 ) Û (x1 + x2 )(x1x2 - 2)= 0 (Do x1x2 ¹ 0 ) x1 x2 2 éx + x = 0 ém = 1 Û ê 1 2 Û ê Û m = 1,m = - 1,m = 5. ê - = ê 2 - - = ëx1x2 2 0 ëêm 4m 5 0 Thay vào (*) ta thấy m = - 1 không thỏa mãn Vậy m = 1,m = 5 là giá trị cần tìm. Bài 3.17: Cho phương trình x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho a) x1 + x2 = 2x1x2 ém = - 1 ém = - 2 ém = - 1 ém = - 1 A. ê B. ê C. ê D. ê ê ê ê ê ëm = 3 ëm = 2 ëm = 2 ëm = 3 2 2 b) A = 2(x1 + x2 )- x1x2 đạt giá trị lớn nhất 4 2 1 3 A. m = B. m = C. m = D. m = 5 5 5 5 x x c) = 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất B 2 2 x1 + x2 - x1x2 2 1 3 A. m = 1 B. m = C. m = D. m = 5 5 5 Lời giải: Bài 3.17: Ta có phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Û D ' ³ 0 2 Û (m- 1) - (m2 - 3)³ 0 Û m £ 2 (*)
19. ïì x + x = 2m- 2 Theo Viet ta có: íï 1 2 ï = 2 - îï x1.x2 m 3 ém = - 1 a) x + x = 2x x Û 2m- 2 = 2 m2 - 3 Û ê (thỏa mãn (*)) 1 2 1 2 ( ) ê ëm = 2 2 2 b) A = 2(x1 + x2 ) - 5x1x2 = 2(2m- 2)- 5(m - 3) 2 æ 2ö = - 5m2 + 4m+ 11= - 5çm- ÷ + 3 £ 3 èç 5ø÷ 2 Đẳng thức xảy ra Û m = 5 x x m2 - 3 m2 - 3 c) B = 1 2 = = 2 2 2 m2 - 8m+ 13 (x1 + x2 ) - 3x1x2 (2m- 2) - 3(m - 3) 1 Suy ra min B = - khi và chỉ khi m = 1 3 ➢ DẠNG TOÁN 4: Một số bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. 1. Phương pháp giải và các ví dụ minh họa. • Bài toán 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 và a/ x2 + b/ x + c/ = 0 có nghiệm chung. Chúng ta làm như sau: ïì 2 + + = ï ax0 bx0 c 0 Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x thì í 0 ï / 2 + / + / = îï a x0 b x0 c 0 Giải hệ tìm được x0 ,suy ra giá trị của tham số Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận. Ví dụ 1:Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x2 + ax + 1= 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung A. a = 2 B. a = - 2 C. a = - 3 D. a = - 1 Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 thì ïì 2 + + = ï x0 ax0 1 0 í Þ (a- 1)x + 1- a = 0 ï 2 + + = 0 îï x0 x0 a 0 Nếu a = 1 thay vào hai phương trình ta thấy chúng vô nghiệm Nếu a ¹ 1 thì x0 = 1Þ a = - 2 Điều kiện đủ: Với a = - 2 thì hai phương trình trở thành x2 - 2x + 1= 0 và x2 + x- 2 = 0 Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là x = 1 Vậy a = - 2 là giá trị cần tìm Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (x2 - 2mx + m- 1)(x2 - 3x + 2m) = 0 có bốn nghiệm phân biệt 5 9 A. m < và m ¹ 1 .B. m < và m ¹ - 1 4 8 9 9 .C. m < và m ¹ 1 . D. m < - và m ¹ - 2 . 8 8 Lời giải: é 2 êx - 2mx + m- 1= 0 (1) Phương trình tương đương với ê 2 - + = ëêx 3x 2m 0 (2)
20. Phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình (1)và(2) mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung. 2 æ 1ö 3 * Ta có D ' = m2 - m+ 1= çm- ÷ + > 0, " m nên phương trình (1) có nghiệm với mọi m . 1 èç 2ø÷ 4 9 Do đó điều kiện để cả hai phương trình (1)và(2)có hai nghiệm phân biệt là D = 9- 8m > 0 Û m < . 2 8 * Giả sử hai phương trình (1)và(2)có nghiệm chung là x0 thì ïì 2 - + - = 2 ï x0 2mx0 m 1 0 2 2 3x0 - x0 í Þ x - (3x - x ).x + - 1= 0 ï 2 - + = 0 0 0 0 2 îï x0 3x0 2m 0 3 2 Þ 2x0 - 5x0 + 3x0 - 2 = 0 Þ x0 = 2 Þ m = 1 éx = 0 Với = phương trình (1) trở thành 2 - = Û ê , phương trình (2) trở thành m 1 x 2x 0 ê ëx = 2 éx = 1 2 - + = Û ê do đó = thì hai phương trình có nghiệm chung. x 3x 2 0 ê m 1 ëx = 2 Suy ra để khi hai phương trình (1)và(2) không có nghiệm chung là m ¹ 1 . 9 Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt thì m < và m ¹ 1 . 8 • Bài toán 2: Chứng minh trong các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có nghiệm Để giải quyết bài toán này chúng ta sẽ đi chứng minh tổng các biệt thức Delta là một số không âm. Ví dụ 3: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn diệu kiện a + 2b + 3c = 1.Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm 4x2 - 4(2a + 1)x + 4a2 + 192abc + 1= 0 4x2 - 4(2b + 1)x + 4b2 + 96abc + 1= 0 Lời giải: / / Hai phương trình trên lần lượt có D 1 = 16a(1- 48bc),D 2 = 16b(1- 24ac) / / Vì a,b là các số dương nên D 1 ,D 2 lần lượt cùng dấu với 1- 48bc và 1- 24ac 2 Mặt khác ta lại có 1- 48bc + 1- 24ac = 2- 24c(a + 2b)= 2- 24c(1- 3c)= 2(6c- 1) ³ 0 / / Dẫn đến D 1 + D 2 ³ 0 Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm Ví dụ 4: Cho các số a,b,c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 .Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm x2 + ax + 1= 0 x2 + bx + 1= 0 x2 + cx + 1= 0 Lời giải: 2 2 2 Ba pt trên lần lượt có D 1 = a - 4, D 2 = b - 4 , D 3 = c - 4 2 2 2 Þ D 1 + D 2 + D 3 = a + b + c - 12 2 (b + c) Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau b2 + c2 ³ 2 2 2 (b + c) (6- a) Suy ra D + D + D ³ a2 + - 12 = a2 + - 12 1 2 3 2 2
21. 2 2 (6- a) 3(a- 2) Mặt khác a2 + - 12 = ³ 0 Þ D + D + D ³ 0 2 2 1 2 3 Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức D 1 ,D 2 ,D 3 không âm Vậy với a,b,c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 thì có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm • Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức có chứa các hệ số của phương trình bậc hai với nghiệm của nó có điều kiện. Để làm xuất hiện điều kiện ràng buộc đối với hệ số phương trình bậc hai ta thường dựa trên + Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx+ c= 0 có nghiệm thực thì D ³ 0Û b2 ³ 4ac . + Sử dụng định lí Viét và điều kiện nghiệm của đề bài đã cho để suy ra ràng buộc của hệ số a,b,c . 2 Ví dụ 5: Cho phương trình x - bx+ c= 0 có hai nghiệm thực dương x1 ,x2 thoả mãn x1 + x2 £ 1.Chứng minh rằng. 1 a) c £ . 4 b) b(c+ 1)³ 5c. Lời giải: Chứng minh. 2 æx + x ö 1 a) Ta có = £ ç 1 2 ÷ £ c x1x2 ç ÷ . èç 2 ø÷ 4 c) Thay b= x1 + x2 ,c= x1x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 1 (x1 + x2 )(x1x2 + 1)³ 5x1x2 Û + + x1 + x2 ³ 5 x1 x2 1 1 1 1 3 æ1 1 ÷ö 3 4 Ta c ó: + + x + x = x + + x + + ç + ÷³ 1+ 1+ ³ 5. 1 2 1 2 ç ÷ x1 x2 4x1 4x2 4 èx1 x2 ø 4 x1 + x2 2 Ví dụ 6: Cho phương trình x - bx+ c= 0 có hai nghiệm thực dương x1 ,x2 thoả mãn x1 + x2 ³ 1. 1 a) Chứng minh rằng: b2 - 2c³ . 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= 2bc- b3 - 3b+ 1. Lời giải: a) Thay b= x1 + x2 ,c= x1x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 2 1 1 (x + x ) - 2x x ³ Û x2 + x2 ³ 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 Ta có: x2 + x2 ³ (x + x ) ³ . 1 2 2 1 2 2 b2 b3 1 5 b) Theo giả thiết ta có: b³ 1,c£ nên P£ - - 3b+ 1£ - - 3+ 1= - . 4 2 2 2 5 1 Vậy P = - khi b= 1,c= . MAX 2 4 2. Bài tập luyện tập.
22. Bài 3.18: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 - 2mx- 4m+ 1= 0 (1) và x2 + (3m+ 1)x + 2m+ 1= 0 (2). A. m = 1 B. m = - 2 C. m = - 1 D. m = 2 Lời giải: Bài 3.18: • Giả sử hai phương trình đã cho có nghiệm chung x0 , thế thì ta phải có: ïì 2 + ï x0 1 2 ï m = ïì x ¹ - 2 ïì - - + = ï ï 0 ï x0 2mx0 4m 1 0 ï 2x0 + 4 ï íï Û íï với í ï 2 ï 2 ï 2 ï x0 + (3m+ 1)x0 + 2m+ 1= 0 ï - x - x - 1 ï x ¹ - îï ï m = 0 0 îï 0 3 ï + îï 3x0 2 2 2 x0 + 1 - x0 - x0 - 1 2 Suy ra = Û (x0 + 1)(5x0 + 3x0 + 6)= 0 Û x0 = - 1Þ m = 1 2x0 + 4 3x0 + 2 • Với m = 1 ta thấy (1) và (2) có nghiệm chung là x = - 1. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Bài 3.19: Chứng minh rằng nếu hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + mx + n = 0 có nghiệm chung 2 thì (n- b) = (m- a)(an- bm). Lời giải: Bài 3.19: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. ïì 2 + + = ï x0 ax0 b 0 Ta có: í Þ (a- m)x = n- b (*). ï 2 + + = 0 îï x0 mx0 n 0 +) Nếu a- m = 0 Û a = m , từ (*)Þ n- b = 0 Û b = n Þ đúng. n- b +) Nếu m ¹ a , từ (*) Þ x = thay vào một trong hai phương trình ban đầu ta được: 0 a- m 2 æn- b ö æn- b ö 2 ç ÷ + aç ÷+ b = 0 Û (n- b) = (m- a)(an- bm) èça- mø÷ èça- mø÷ Bài 3.20: Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0 (1); bx2 + 2cx + a = 0 (2); cx2 + 2bx + b = 0 (3). Lời giải: Bài 3.20: • Nếu trong ba số a, b, c có một số bằng 0, chẳng hạn a = 0 Þ (2) có nghiệm x = 0 . • abc ¹ 0 , khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có biệt thức: 2 2 2 D '1 = b - ac; D '2 = c - ab; D '3 = a - bc . 2 2 2 Ta có: D '1+ D '2 + D '3 = a + b + c - ab- bc- ca 1 é 2 2 ù = ê(a- b))2 + (b- c) + (c- a) ú³ 0 . 2 ë û Suy ra trong ba số D '1 ; D '2 ; D '3 có ít nhất một số không âm hay ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm. Vậy ta có điều phải chứng minh. 2 Bài 3.21: Cho phương trình x + bx+ c= 0 có hai nghiệm thực dương x1 ,x2 thoả mãn x1 x2 ³ 1. a) Chứng minh rằng: b2 ³ 4.
23. 3b2 - 4c+ b+ 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= . b2 + 1 Lời giải: 2 2 Bài 3.21: a) Ta có: b = (x1 + x2 ) ³ 4x1x2 ³ 4. 2 b) Do phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1 ,x2 thoả mãn x1 x2 ³ 1 nên b ³ 4c , và b £ - 2 suy ra 2b2 + b+ 2 P³ . Ta có b2 + 1 2 2 8 5(2b + b+ 2)- 8(b + 1) 2b2 + 5b + 2 (b + 2)(2b + 1) P- = = = ³ 0 với mọi b £ - 2 . 5 b2 + 1 b2 + 1 b2 + 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b= - 2,c= 1. 8 Vậy P = khi b= - 2,c= 1. min 5 Bài 3.22: Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc [0; 3]. Tìm giá trị lớn nhất 18a2 - 9ab + b2 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 9a2 - 3ab + ac Lời giải: ïì b ï x + x = - ï 1 2 Bài 3.22: Gọi x ,x là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có: íï a . 1 2 ï c ï x x = îï 1 2 a 2 b æb÷ö 18- 9 + ç ÷ 2 a èçaø÷ 18 + 9(x + x )+ (x + x ) Ta có: Q = = 1 2 1 2 . b c 9 + 3(x + x )+ x x 9- 3 + 1 2 1 2 a a • Ta tìm Max của Q. 2 Ta đánh giá (x1 + x2 ) qua x1x2 với điều kiện x1 ,x2 Î [0; 3] . ïì 2 £ ï x1 x1x2 Giả sử 0 £ x £ x £ 3 Þ í 1 2 ï 2 £ îï x2 9 2 2 2 Suy ra (x1 + x2 ) = x1 + x2 + 2x1x2 £ 9 + 3x1x2 18 + 9(x + x )+ 3x x + 9 Þ Q £ 1 2 1 2 = 3 . 9 + 3(x1 + x2 )+ x1x2 éx = x = 3 ïì b = - 6a ïì b = - 3a Đẳng thức xảy ra Û ê 1 2 .Hay là: íï hoặc íï . ê = = ï = ï = ëx1 0; x2 3 îï c 9a îï c 0 · Ta tìm Min của Q 3(x + x )+ x2 + x2 Ta có: Q- 2 = 1 2 1 2 ³ 0 Þ Q ³ 2 . 9 + 3(x1 + x2 )+ x1x2 Đẳng thức xảy ra Û x1 = x2 = 0 Û b = c = 0 . Vậy maxQ = 3 và minQ = 2 .
24. 2 Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax - x+ c= 0 có hai nghiệm thực dương x1 ,x2 thoả a2 - c mãn x + x £ 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 1 2 a2c- a3 Lời giải: 1 Bài 3.23: Từ giả thiết của bài toán suy ra: a³ 1,0 0 do đó 3 (a- 1)(4a - a- 1) 1 ³ 0 Þ P ³ - 1. Dấu đẳng thức xẩy ra khi: a= 1,c= . a2 (1- 4a2 ) 4