›
›
›

Đề cương ôn tập Toán Khối 10

doc 25 trang thaodu 5260
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Toán Khối 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_cuong_on_tap_toan_khoi_10.doc

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Khối 10

  1. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 I.ĐẠI SỐ CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Bất phương trình 2. Dấu của một nhị thức bậc nhất Khái niệm bất phương trình. Dấu của một nhị thức bậc nhất. Nghiệm của bất phương trình. Hệ bất phương trình bậc nhất một Bất phương trình tương đương. ẩn. Phép biến đổi tương đương các bất 3. Dấu của tam thức bậc hai phương trình. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai. Bài tập. 1. Xét dấu biểu thức 1 x 2 f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7). m). x 2 3x 5 1 1 g(x)= 3 x 3 x 3. Giải bất phương trình x 3 1 h(x) = -3x2 + 2x – 7 a/ b/ 5x 8 11 k(x) = x2 - 8x + 15 2. Giải bất phương trình c/ 3x 5 2 (5 - x)(x - 7) a) > 0 d/ x 2 2x 3 x 1 b) –x2 + 6x - 9 > 0; e/ 5 x x 3 8 4) Giải hệ bất phương trình sau c) -12x2 + 3x + 1 0 3x 1 2x 7 11x 3 c) 2 0 4x 3 2x 19 h) x 5x 7 x2 3x 2 2x 3 0 1 2 x 1 k) x x 1 d) (x 2)(3 x) l). (1 – x )( x2 + x – 6 ) > 0 0 x 1 1
  2. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 5) Với giá trị nào của m, 7) Tìm m để bpt sau có tập phương trình sau có nghiệm? nghiệm là R: a) a) x2+ (3 - m)x + 3 - 2m = 0. 2x2 (m 9)x m2 3m 4 0 2 b) (m 1)x2 2(m 3)x m 2 0 b) (m 4)x (m 6)x m 5 0 6) Cho phương trình : 8) Xác định giá trị tham số m (m 5)x2 4mx m 2 0 để phương trình sau vô nghiệm: x2 – 2 (m – 1 ) x – m2 – 3m + 1 = 0. Với giá nào của m thì : 9) Cho a) Phương trình vô nghiệm f (x ) = ( m + 1 ) x2 – 2 ( m +1) x – 1 b) Phương trình có các nghiệm trái dấu a) Tìm m để phương trình f (x ) = 0 có nghiệm b). Tìm m để f (x) 0 , x ¡ CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ 1.Bảng phân bố tần số - tần suất. 2. Biểu đồ Biểu đồ tần số, tần suất hình cột. Đường gấp khúc tần số, tần suất. Biểu đồ tần suất hình quạt. 3. Số trung bình Số trung bình. Số trung vị và mốt. 4. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê Bài tập. 1. Cho caùc soá lieäu ghi trong baûng sau Thôøi gian hoaøn thaønh moät saûn phaåm ôû moät nhoùm coâng nhaân (ñôn vò:phuùt) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 a/Haõy laäp baûng phaân boá taàn soá ,baûng phaân boá taàn suaát. b/Trong 50 coâng nhaân ñöôïc khaûo saùt ,nhöõng coâng nhaân coù thôøi gian hoaøn thaønh moät saûn phaåm töø 45 phuùt ñeán 50 phuùt chieám bao nhieâu phaàn traêm? 2
  3. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm): 145 158 161 152 152 167 150 160 165 155 155 164 147 170 173 159 162 156 148 148 158 155 149 152 152 150 160 150 163 171 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175). b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất c) Phương sai và độ lệch chuẩn 3. Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau: 2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau khi đã làm tròn). b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên. 4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau : Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây ) 6.3 6.2 6.5 6.8 6.9 8.2 8.6 6.6 6.7 7.0 7.1 8.5 7.4 7.3 7.2 7.1 7.0 8.4 8.1 7.1 7.3 7.5 8.7 7.6 7.7 7.8 7.5 7.7 7.8 7.2 7.5 8.3 7.6 a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp : [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ] b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh. c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố. 5 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau: Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Số 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880 khách a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn. 3
  4. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Góc và cung lượng giác Bảng các giá trị lượng giác của Độ và rađian. các góc thường gặp. Góc và cung lượng giác. Quan hệ giữa các giá trị lượng Số đo của góc và cung lượng giác. giác. 3. Công thức lượng giác Đường tròn lượng giác. Công thức cộng. 2. Giá trị lượng giác của một Công thức nhân đôi. góc (cung) Công thức biến đổi tích thành Giá trị lượng giác sin, côsin, tổng. tang, côtang và ý nghĩa hình Công thức biến đổi tổng thành học. tích. Bài tập 1. Đổi số đo của các góc sau đây sang ra-đian: 7. Tính sin2a nếu sinα - cosα = 1/5 105° ; 108° ; 57°37'. 2. Một đường tròn có bán kính 8. Chứng minh rằng: 10cm. Tìm độ dài của các cung cos4x - sin4x = cos2x. trên đường tròn có số đo: 7 a) b) 45°. 12 3 3. cho sinα = ; và 5 2 a) Cho Tính cosα, tanα, cotα. b) Cho tanα = 2 và 3 Tính sinα, cosα. 2 4. Chứng minh rằng: a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x 5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sin(A + B) = sinC A B C b) sin = cos 2 2 6. Tính: cos105°; tan15°. 4
  5. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax by c D¹ng a' x b' y c' 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 3 2 x y 1 ( 2 1)x 2y 1 5 3 1) 2) 3 1 4x ( 2 1)y 3 x y 5 7 3 2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh mx 5y 5 (m 5)x 2y m 7 1) 2) 5x my 5 (m 1)x my 3m 3. T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm mx (2m 1)y 3m mx ny m 2 n 2 1) 2) (2m 1)x my 3m 2 nx my 2mn 4. T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng sau song song 1 6x y 4 0 ,(m 1)x y m m 5. T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng sau c¾t nhau trªn Oy x my 2 m , x (2m 3)y 3m ## HÖ gåm mét ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt vµmét ph­¬ng tr×nh bËc hai hai Èn ax by c (1) D¹ng 2 2 cx dxy ey gx hy k (2) PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2). 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 2x 3y 5 3x 4y 1 0 1) 2) 2 2 3x y 2y 4 xy 3(x y) 5 2x 3y 1 3) 2 2 2x 5xy y 10x 12y 100 2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh mx 2y 1 mx 2y 1 1) 2) 2 2 2 2 x 2y 2 x 2y 2 3. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng 8x 8(m 1)y m 0 c¾t parabol 2x 2 y x 0 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. ## HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I 5
  6. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 f1 (x, y) 0 D¹ng ; víi f i (x, y) = f i (y, x) . f 2 (x, y) 0 x y S 2 PP gi¶i: ®Æt ; S 4P xy P 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x y xy 5 x y xy 11 1) 2) 2 2 2 2 x y xy 7 x y y x 30 1 1 1 x 2 y 2 xy 19 3) 4) x y 2 4 4 2 2 x y x y 931 3 3 x y 243 1 2 2 (x y) 1 5 x y 17 xy 5) 6) x x 5 1 (x 2 y 2 ) 1 49 y y 2 2 2 x y 2. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x 2 y 2 1 x 2 y 2 x y) 8 1) 2) 6 6 x y m (x 1)(y 1)xy m x y 2 m 3. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 2 2 x y xy 3 Gi¶ sö x; y lµ mét nghiÖm cña hÖ. T×m m ®Ó biÓu thøc F= x®¹t2 max,y 2 x®¹ty min. ## HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II f (x, y) 0 D¹ng f (y, x) 0 f (x, y) 0 PP gi¶i: hÖ t­¬ng ®­¬ng f (x, y) f (y, x) 0 f (x, y) f (y, x) 0 hay f (x, y) f (y, x) 0 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh y 2 3y 4x y 2 xy 3x 1) 2) 2 2 x 3x 4y x xy 3y y 3 yx 2 40x y 3 3y 8x 3) 4) 3 2 3 x xy 40y x 3x 8y 2. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. y 2 (x y) 2m y 2 x 3 4x 2 mx 1) 2) ## 2 2 3 2 x (x y) 2m x y 4y my 6
  7. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 HÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp (cÊp 2) ax 2 bxy cy 2 d (1) D¹ng 2 2 a' x b' xy c' y d' (2) PP gi¶i: ®Æt y tx nÕu x 0 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 2x 2 2xy y 2 2 2x 2 3xy y 2 13 1) 2) 2 2 2 2 x 2xy 3y 9 x xy 2y 4 3x 2 4xy 2y 2 17 x 2 5y 2 1 3) 4) 2 2 2 x y 16 7y 3xy 1 2. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 3x 2 2xy y 2 11 x 2 2xy 3y 2 1 1) 2) # 2 2 2 2 x 2xy 3y 17 m x 4xy 5y m Mét sè HÖ ph­¬ng tr×nh kh¸c 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x y 1 x y xy 49 1) 2) 2 2 2 2 x xy y 7 x y y x 180 xy(x y) 2 2xy 1 0 3) 4) 3 3 3 3 x y 7 8(x y ) 9(x y) 0 2 2 x y 1 2y(x 2 y 2 ) 3x 5) 6) 2 2 x 1 y 2 (x y )x 10y 2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x 2 y 2 z 2 14 7x y 2x y 5 2 1) 3) xz y 2x y x y 1 x y z 7 2x y 2 3y 2 2x 3 5 2) 3 3x 2y 5 3. T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung a) xvµ 1 3m x 2 4m 2 12 b) (m 1)x 2 (m 2)x 1 0 vµ x 2 2x m 1 0 4. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x y a(xy 1) x 1 y m x y xy 2 0 y 1 x 1 4. T×m m, n ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nhiÒu h¬n 5 nghiÖm ph©n biÖt 7
  8. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 x 2 nxy y 2 1 ## 2 2 x m(x y) y x y m II.HÌNH HỌC. CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1.Tích vô hướng của hai vectơ. 2. Các hệ thức lượng trong tam giác Định nghĩa Định lí côsin, định lí sin. Tính chất của tích vô hướng. Độ dài đường trung tuyến trong Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. một tam giác. Độ dài của vectơ và khoảng cách Diện tích tam giác. giữa hai điểm. Giải tam giác. CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.Phương trình đường thẳng Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Phương trình tổng quát của đường thẳng. Góc giữa hai vectơ. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng. 2.Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn với tâm cho trước và bán kính cho trước. Nhận dạng phương trình đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 8
  9. Bài tập c) Đi qua điểm P(2;1) và vuông góc với đường thẳng x - y Bài 1. Cho tam giaùc ABC coù + 5 = 0. Aµ 600 , caïnh CA = 8, caïnh AB = 5 1) Tính caïnh BC Bài 5. Cho tam giác ABC biết 2) Tính dieän tích tam giaùc A(-4;1), B(2;4), C(2;-2). ABC Tính khoảng cách từ điểm C đến 3) Xeùt xem goùc B tuø hay nhoïn đường thẳng AB. 4) Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH Bài 6. Cho tam giaùc ABC coù: 5) Tính baùn kính ñöôøng troøn A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Vieát ngoaïi tieáp tam giaùc phöông trình toång quaùt cuûa: Bài 2. Cho tam giaùc ABC coù a a) 3 caïnh AB, AC, BC = 13 ; b = 14 ; c = 15 b) Ñöôøng thaúng qua A vaø song a) Tính dieän tích tam giaùc song vôùi BC ABC c) Trung tuyeán AM vaø ñöôøng b) Goùc B nhoïn hay tuø cao AH cuûa tam giaùc ABC c) Tính baùn kính ñöôøng troøn d) Ñöôøng thaúng qua troïng taâm noäi tieáp r vaø baùn kính G cuûa tam giaùc ABC vaø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R vuoâng goùc vôùi AC cuûa tam giaùc e) Ñöôøng trung tröïc cuûa caïnh d) Tính ñoä daøi ñöôøng trung BC tuyeán ma Bài 7. Cho tam giaùc ABC coù: Bài 3 Cho tam giác ABC có a = 3 A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).: 0 ; b = 4 và góc C = 60 ; Tính các a) Vieát phöông trình toång quaùt góc A, B, bán kính R của đường cuûa 3 caïnh AB, AC, BC tròn ngoại tiếp và trung tuyến b) Viết phương trình đöôøng ma. trung bình song song cạnh AB Bài 4 Viết phương trình tổng c) Viết phương trình đường quát, phương trình tham số của thẳng qua A và cắt hai trục đường thẳng trong mỗi trường tọa độ tại M,N sao cho AM hợp sau: = AN a) Đi qua A(1;-2) và song d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân song với đường thẳng 2x - 3y - đường cao kẻ từ A trong 3 = 0. tam giaùc ABC b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và Bài 8. Viết phương trình đường N(3;2). tròn có tâm I(1; -2) và 9
  10. a) đi qua điểm A(3;5). Bài 15 Tính bán kính đường b) tiếp xúc với đường tròn tâm I(3;5) biết đường thẳng có phương trình x + y = tròn đó tiếp xúc với đường thẳng :3x 4y 4 0 1. Bài 9. Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT x2 + y2 - 4x - 6y + 9 = 0. PHẲNG. Chuyªn ®Ò 1 : VÐc tơ và tọa độ vÐc tơ. Bài 10. Cho đường tròn có phương trình: A. tãm t¾t lÝ thuyÕt. x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. I. Hệ Trục toạ độ II. Tọa độ vÐc tơ. Viết phương trình tiếp 1. Định nghĩa. tuyến của đường tròn tại điểm A(-1;0). u (x; y) u xi y j Bài 11. Vieát phöông trình ñöôøng 2. C¸c tÝnh chất. troøn (C) qua A(5 ; 3) vaø tieáp xuùc vôùi Trong mặt phẳng Oxy cho (d): x + 3y + 2 = 0 taïi u (x; y);v (x '; y ') , ta cã : ñieåm B(1 ; –1) a. u v (x x '; y y ') Bài 12 : Cho đường thẳng d : b. ku (kx;ky) . x 2y 4 0 và điểm A(4;1) a) Tìm tọa độ điểm H là hình c. u.v xx ' yy ' . 2 chiếu của A xuống d d. u x2 x '2 u x2 x '2 . b) Tìm tọa độ điểm A’ đối e. u  v u.v 0 xx ' yy ' 0. xứng với A qua d x y Bài 13 Cho đường thẳng d : f u,v cïng phương . x ' y ' x 2y 2 0 và điểm M(1;4) x x ' a) Tìm tọa độ hình chiếu H g. u v . y y ' của M lên d 3. VÝ dụ. b) Tìm tọa độ điểm M’ đối VÝ dụ 1. T×mm tọa độ cña vÐc tơ sau : xứng với M qua d  1 Bài 14 Cho đường thẳng d có a i; b 5 j; c 3i 4 j; d ( j i);  2 x 2 2t 0 phương trình tham số : e 0,15i 1,3 j; f i (cos 24 ) j. y 3 t VÝ dụ 2. Cho c¸c vÐc tơ : a) Tìm điểm M trên d sao a (2;1);b (3;4);c (7;2) . cho M cách điểm A(0;1) a. T×m toạ độ của vÐc tơ u 2a 3b c. một khoảng bằng 5 b. T×m toạ độ của vÐc tơ x sao cho b) Tìm giao điểm của d và x a b c. đường thẳng c. T×m c¸c số k,l để c ka lb . : x y 1 0 10
  11. VÝ dô. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho VÝ dụ 2. Cho ba điểm A( 3;4), B(1;1),C(9; 5) . c¸c vÐc tơ : a (3;2);b ( 1;5);c ( 2' 5) . a. Chứng minh A, B,C th¼ng hàng. b. T×m toạ độ D sao cho A là trung a. T×m to ạ độ cña vÐc t ơ sau u 2a b 4c. v a 2b 5c ; điểm của BD .  c. T×m toạ độ điÓm E trªn Ox sao cho w 2(a b) 4c. A, B, E th¼ng hàng. b. T×m c¸c số x, y sao cho c xa yb. VÝ dụ 3. Cho ba điểm c. TÝnh c¸c tÝch v« hướng A( 4;1), B(2;4),C(2; 2) . a.b;b.c;a(b c);b(a c) a. Chứng minh ba điểm A, B,C tạo 1 thành tam gi¸c. VÝ dụ 4. Cho u i 5 j;v ki 4 j. b. T×m toạ độ trọng t©m ABC . 2 T×m k để u,v cïng phương. c. T×m toạ độ điểm E sao cho ABCE là h×nh b×nh hành. ®­êng th¼ng. III. Toạ độ của điểm. 1. Định nghĩa . Chuyªn ®Ò 1: ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng.   M (x; y) OM (x; y) OM xi y j. A. kiÕn thøc c¬ b¶n. I. VÐc t¬ chØ ph­¬ng vµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn 2. Mối liªn hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ cña ®­êng th¼ng. của vÐc tơ. 1) VÐc t¬ ph¸p tuyÕn: VÐc t¬ n 0 ®­îc Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai gäi lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn ( vtpt ) cña ®­êng th¼ng nÕu nã cã gi¸  . điểm A(x ; y ); B(x ; y );C(x ; y ) . Khi ®ã: 1 1 2 2 3 3 ) VÐc t¬ chØ ph­¬ng: VÐc t¬ u 0 a. 2   ®­îc gäi lµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng( vtcp) cña 2 2 AB (x2 x1; y2 y1) AB (x2 x1) (y2 y1)®­êng th¼ng nÕu nã cã gi¸ song song . hoÆc trïng víi ®­êng th¼ng . b. Toạ độ trung điểm I của đoạn AB là * Chó ý: x x y y - NÕu n;u lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn vµ chØ : I( 1 2 ; 1 2 ) . ph­¬ng cña ®­êng th¼ng th× k 0 c¸c 2 2 c. Toạ độ trọng t©m G của ABC là : vÐc t¬ kn;ku còng t­¬ng øng lµ c¸c vÐc t¬ x x x y y y ph¸p tuyÕn vµ chØ ph­¬ng cña ®­êng th¼ng G( 1 2 3 ; 1 2 3 ) . 3 3 . d. Ba điểm A, B,C thẳng hàng - NÕu n (a;b) lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña   AB, AC cïng phương. ®­êng th¼ng th× vÐc t¬ chØ ph­¬ng lµ 3. VÝ dụ. u (b; a) hoÆc u ( b;a) . VÝ dụ 1. Cho ba điểm - NÕu u (u ;u ) lµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña A( 4;1), B(2;4),C(2; 2) . 1 2 ®­êng th¼ng th× vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ a. Chứng minh ba điểm kh«ng th¼ng n (u ; u ) hoÆc n ( u ;u ) . hàng. 2 1 2 1 b. TÝnh chu vi ABC . c. T×m tọa độ trực t©m H . II. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng. 11
  12. Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho ®­êng th¼ng B. bµi tËp c¬ b¶n. ®i qua M (x ; y ) vµ cã vÐc t¬ ph¸p I. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i 0 0 0 tuyÕn n (a;b) . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh tæng qua M (x0 ; y0 ) vµ cã mét vtcp u (u1;u2 ) . qu¸t cña ®­îc x¸c ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh : VÝ dô 1 : ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng a(x x0 ) b(y y0 ) 0 trong c¸c tr­êng hîp sau : a. §i qua M (1; 2) vµ cã mét (1). ( a 2 b 2 0. ) vtcp u (2; 1) . III. Ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng b. §i qua hai ®iÓm A(1;2) vµ th¼ng. B(3;4) ; A( 1;2) vµ Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho ®­êng th¼ng ®i B( 1;4) ; A(1;2) vµ B(3;2) . qua M (x ; y ) vµ cã vÐc t¬ chØ ph­¬ng 0 0 0 c. §i qua M (3;2) vµ u (u ;u ) . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh tham sè 1 2 x 1 2t cña ®­îc x¸c ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh : // d : (t ¡ ) . y t x x0 u1t (2) . ( t R. ) d. §i qua M (2; 3) vµ y y u t 0 2  d : 2x 5y 3 0 . * Chó ý : NÕu ®­êng th¼ng cã hÖ sè gãc k II. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i th× cã vÐc t¬ chØ ph­¬ng lµ u (1;k) qua M (x0 ; y0 ) vµ cã mét vtpt n (a;b) . IV. ChuyÓn ®æi gi÷a ph­¬ng tr×nh tæng VÝ dô 2 : ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña qu¸t vµ ph­¬ng tr×nh tham sè. ®­êng th¼ng trong c¸c tr­êng hîp sau : a. §i qua M (1;2) vµ cã mét vtpt 1. NÕu ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh n (2; 3) . d¹ng (1) th× n (a;b) . Tõ ®ã ®­êng th¼ng b. §i qua A(3;2) vµ cã vtcp lµ u (b; a) hoÆc u ( b;a) . // d : 2x y 1 0. Cho x x0 thay vµo ph­¬ng tr×nh (2) c. §i qua B(4; 3) vµ y y .Khi ®ã ptts cña lµ : x 1 2t 0  d : (t R¡ ) . y t x x bt III. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i 0 (t ¡ ). qua M (x ; y ) vµ cã hÖ sè gãc k cho tr­íc. y y 0 at 0 0 + Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng cã d¹ng 2. NÕu ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh y kx m . + ¸p dông ®iÒu kiÖn ®i qua d¹ng (2) th× vtcp u (u1;u2 ) . Tõ ®ã ®­êng M (x ; y ) m th¼ng cã vtpt lµ n (u ; u ) hoÆc 0 0 . 2 1 n ( u ;u ) . Vµ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t VÝ dô 3 : ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng 2 1 trong c¸c tr­êng hîp sau : cña ®­îc x¸c ®Þnh bëi : a. §i qua M ( 1;2) vµ cã hÖ sè u (x x ) u (y y ) 0. gãc k 3 . 2 0 1 0 b. §i qua A(3;2) vµ t¹o víi * Chó ý : chiÒu d­¬ng trôc Ox gãc - NÕu u 0 th× pttq cña lµ : 1 450 . x x 0 . 0 III. LuyÖn tËp. - NÕu u2 0 th× pttq cña lµ : 1. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng trong c¸c tr­êng hîp sau : y y0 0. 12
  13. a. §i qua A(3;2) vµ B( 1; 5) ; M ( 3;1) a a NÕu 1 2 th× hai ®­êng th¼ng c¾t vµ N(1; 6) ; b b 1 2 b. §i qua A vµ cã vtcp u , nÕu : nhau. a a c + A(2;3) vµ u ( 1;2) . NÕu 1 2 1 th× hai ®­êng th¼ng b b c + A( 1;4) vµ u (0;1) . 1 2 2 song song nhau. c. §i qua A(3; 1) vµ // d : 2x 3y 1 0 . a a c NÕu 1 2 1 th× hai ®­êng th¼ng d. §i qua M (3;2) vµ n (2;2) . b b c e. §i qua N(1;2) vµ  víi : 1 2 2 trïng nhau. + Trôc Ox . 2. C¸ch 2: + Trôc Oy. XÐt hÖ ph­¬ng tr×nh f. §i qua A(1;1) vµ cã hÖ sè gãc k 2 . a1x b1 y c1 0 g. §i qua B(1;2) vµ t¹o víi chiÒu d­¬ng (1) a2 x b2 y c2 0 0 trôc Ox gãc 60 . NÕu hÖ (1) cã mét nghiÖm th× hai ®­êng 2. ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh ABC biÕt : th¼ng c¾t nhau vµ to¹ ®é giao ®iÓm lµ a. A(2;1); B(5;3);C(3; 4). nghiÖm cña hÖ. b. Trung ®iÓm c¸c c¹nh lµ : NÕu hÖ (1) v« nghiÖm th× hai ®­êng M ( 1; 1); N(1;9); P(9;1). th¼ng song song nhau. c. C( 4; 5) vµ hai ®­êng cao NÕu hÖ (1) nghiÖm ®óng víi mäi x; y (AH ) :5x 3y 4 0;(BK) :3x 8y 13 0 th× hai ®­êng th¼ng trïng nhau. . * Chó ý: NÕu bµi to¸n kh«ng quan t©m ®Õn d. (AB) :5x 3y 2 0 vµ hai ®­êng cao to¹ ®é giao ®iÓm, ta nªn dïng c¸ch 1. (AH ) : 4x 3y 1 0;(BK) : 7x 2y 22 0 . b. bµi tËp c¬ b¶n. e. A(1;3) hai trung tuyÕn I. XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng. (BM ) : x 2y 1 0;(CN) : y 1 0 . VÝ dô 1: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi c¸c cÆp f. C(4; 1) ®­êng cao (AH ) : 2x 3y 0 ®­êng th¼ng sau vµ t×m to¹ ®é giao ®iÓm trung tuyÕn (BM ) : 2x 3y 0. trong tr­êng hîp c¾t nhau: Chuyªn ®Ò 2: vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña a) : x y 2 0; : 2x y 3 0 hai ®­êng th¼ng. 1 2 . b) A. tãm t¾tlÝ thuyÕt. x 1 4t I. Bµi to¸n: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho hai 1 : 2x 4y 10 0; 2 : (t ¡ ) y 2 2t ®­êng th¼ng 1; 2 cã ph­¬ng tr×nh 2 2 ( 1) : a1x b1 y c1 0, a1 b1 0 c) 2 2 x 1 5t x 6 5t ' ( 2 ) : a2 x b2 y c2 0, a2 b2 0 1 : (t  ¡ ) 2 : (t ' ¡ ) Hái: Hai ®­êng th¼ng trªn c¾t nhau, song y 2 4t y 2 4t ' song hay rïng nhau ? Tr¶ lêi c©u hái trªn chÝnh lµ bµi to¸n II. BiÖn luËn theo tham sè vÞ trÝ t­¬ng xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng. ®èi cña hai ®­êng th¼ng. II. Ph­¬ng ph¸p. VÝ dô 1: Cho hai ®­êng th¼ng 2 2 1. C¸ch 1: 1 : (m 3)x 2y m 1 0; 2 : x my (m 1) 0 13
  14. T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng c¾t nhau. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy , gi¶ sö VÝ dô 2: Cho hai ®­êng th¼ng ®­êng th¼ng 1; 2 cã ph­¬ng tr×nh 1 : mx y 1 m 0; 2 : x my 2 0 2 2 ( 1) : a1x b1 y c1 0, a1 b1 0 BiÖn luËn theo m vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña 2 2 ( 2 ) : a2 x b2 y c2 0, a2 b2 0 hai ®­êng th¼ng. III. LuyÖn tËp. Khi ®ã gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng Bµi 1: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi c¸c cÆp ®­êng 1, 2 ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: th¼ng sau vµ t×m to¹ ®é giao ®iÓm trong a a b b cos , 1 2 1 2 tr­êng hîp c¾t nhau: 1 2 2 2 2 2 a) a1 b1 a2 b2 1 :8x 10y 12 0; 2 : 4x 3y 16 0 * NhËn xÐt: §Ó x¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®­êng . th¼ng ta chØ cÇn biÕt vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña b) chóng. x 5 t 1 :12x 6y 10 0; 2 : (t ¡ ) b. bµi tËp c¬ b¶n. y 3 2t I. X¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng. VÝ dô: X¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng c) 1 : 4x 2y 6 0; 2 : x 3y 1 0 x t x 6 5t ' 1 : 1 2 (t  ¡ ) 2 : (t ' ¡ ) x t y t y 2 4t ' 1 :3x 2y 1 0; 2 : t ¡ 10 5 y 7 5t Bµi 2: BiÖn luËn theo m vÞ trÝ c¸c cÆp x t x t ' ®­êng th¼ng sau a) 1 : 1 3 t ¡ 2 : 9 1 t ' ¡ y t y t ' 1 : mx y 2m 0; 2 : x my m 1 0 2 2 5 5 b) II. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ t¹o víi ®­êng 1 : mx y 2 0; 2 : x my m 1 0 th¼ng cho tr­íc mét gãc cho tr­íc. VÝ dô 1: Cho ®­êng th¼ng Chuyªn ®Ò 3: gãc gi÷a hai ®­êng d :3x 2y 1 0 vµ M 1;2 . ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i th¼ng. qua M vµ t¹o víi d mét gãc 45o . A. tãm t¾t lÝ thuyÕt. VÝ dô 2: Cho ABC c©n ®Ønh A . BiÕt I. §Þnh nghÜa: Gi¶ sö hai ®­êng th¼ng AB : x y 1 0; BC : 2x 3y 5 0 . 1; 2 c¾t nhau. Khi ®ã gãc gi÷a 1; 2 lµ ViÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AC biÕt nã ®i qua M 1;1 . gãc nhän vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ: 1, 2 . * §Æc biÖt: VÝ dô 3: Cho h×nh vu«ng ABCD biÕt o A 3; 2 vµ BD : 7x y 27 0 . - NÕu 1, 2 90 th× 1  2 . - NÕu , 0o th× // hoÆc ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh vµ c¸c 1 2 1 2 ®­êng chÐo cßn l¹i. 1  2 . III. LuyÖn tËp. II. C«ng thøc x¸c ®Þnh gãc gi÷a hai Bµi 1: X¸c ®Þnh gãc gi÷a c¸c cÆp ®­êng ®­êng th¼ng trong mÆt ph¼ng to¹ ®é. th¼ng sau 14
  15. a) 1 : x 2y 5 0; 2 2.:3 Phx ươy ng 0 tr×nh tæng qu¸t. b) Là phương tr×nh cã dạng : x2 y2 2Ax 2By C 0 1 : x 2y 4 0; 2 : 2x y 6 0 2 2 c) VớiA B C . Khi ®ã t©m I( A; B) , 2 2 1 : 4x 2y 5 0; 2b¸n: x kÝnh3y R1 0 A B C . Bµi 2: Cho hai ®­êng th¼ng 3. Bài to¸n viết phương tr×nh đường trßn. 1 : 3x y 7 0; 2 : mx y 1 0 VÝ dụ 1. Viết phương tr×nh đường trßn o đường kÝnh AB , với A(1;1), B(7;5) . T×m m ®Ó 1, 2 30 . §¸p số : (x 4)2 (y 3)2 13 hay Bµi 3: Cho ®­êng th¼ng d : 2x y 3 0 x2 y2 8x 6y 12 0. vµ M 3;1 . ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i VÝ dụ 2. Viết phương tr×nh đường trßn o qua M vµ t¹o víi d mét gãc 45 . ngoại tiếp ABC , với Bµi 4: Cho ABC c©n ®Ønh A , biÕt: A( 2;4), B(5;5),C(6; 2) . AB : 2x y 5 0 ; AC :3x 6y 1 0 §¸p số : x2 y2 4x 2y 20 0 . ViÕt ph­¬ng tr×nh BC ®i qua M 2; 1 . VÝ dụ 3. Viết phương trình đường tròn có Bµi 5: Cho h×nh vu«ng t©m I 2;3 vµ tâm I( 1;2) và tiếp xóc với đường thẳng : x 2y 7 0 . AB : x 2y 1 0 . 2 2 4 ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh, c¸c ®­êng §¸p số : (x 1) (y 2) . 5 chÐo cßn l¹i . Bµi 6: Cho ABC c©n ®Ønh A , biÕt: VÝ dụ 4. Viết phương tr×nh đường trßn qua A( 4;2) và tiếp xóc với hai trục toạ độ. AB :5x 2y 13 0 ; BC : x y 4 0 §¸p số : (x 2)2 (y 2)2 4 hoặc 2 2 ViÕt ph­¬ng tr×nh AC ®i qua M 11;0 . (x 10) (y 10) 100. Bµi 7: Cho ABC ®Òu, biÕt: A 2;6 vµ 4. Bài toán tìm tham số để phương trình BC : 3x 3y 6 0 dạng x2 y2 2Ax 2By C 0 là ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh cßn l¹i. phương trình của một đường tròn. §­êng trßn. A. Tãm tắt lý thuyết. Điều kiện : A2 B2 C . 1. Phương tr×nh chÝnh tắc. VÝ dụ 1. Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y, Trong mặt phẳng Oxy cho đường trßn t©m phương tr×nh nào là phương tr×nh của một I(a;b) b¸n kÝnh R . Khi đã phương tr×nh đường trßn. X¸c định t©m và tÝnh b¸n kÝnh. 2 2 chÝnh tắc của đường trßn là : a. x y 4x 2y 6 0 . c. x2 y2 6x 8y 16 0 . 2 2 2 (x a) (y b) R . b. x2 y2 4x 5y 1 0 . d. 2x2 2y2 3x 2 0 15
  16. §¸p số : c ) I( 3;4), R 3 . d) b. Tiếp xóc với trục tung và tại gốc O 3 5 và cã R 2 . I( ;0), R . 4 4 c. Ngoại tiếp OAB với VÝ dụ 2. Cho phương tr×nh : A(4;0), B(0; 2) . x2 y2 6mx 2(m 1)y 11m2 2m 4 0 d. Tiếp xóc với Ox tại A(6;0) và qua . B(9;3) . a. T×m điều kiện của m để pt trªn là đường trßn. 3. Cho hai đi ểm A( 1;6), B( 5;2) . Lập b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn. phương tr×nh đường trßn (C) , biết : a. Đường kÝnh AB . VÝ dụ 3. Cho phương tr×nh 2 2 b. T©m O và đi qua A ; T ©m O và đi x y (m 15)x (m 5)y m 0 . qua B . a. T×m điều kiện của m để pt trªn là c. (C) ngoại tiếp OAB . đường trßn. b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn. 4. Viết phương tr×nh đường trßn đi qua ba điểm : VÝ dụ 4. Cho phương tr×nh (Cm ) : a. A(8;0) , B(9;3) , C(0;6) . x2 y2 2(m 1)x 2(m 3)y 2 0. b. A(1;2) , B(5;2) , C(1; 3) . a. T×m m để (Cm ) là phương tr×nh của B. Bài tập cơ bản. một đường trßn. 1. Viết phương tr×nh đường trßn (C) cã t©m b. T×m m để (Cm ) là đường trßn t©m là điểm I(2;3) và thoả m·n điều kiện sau I(1; 3). Viết phương tr×nh đường : trßn này. a. (C) cã b¸n kÝnh R 5. c. T×m m để (C ) là đường trßn cã m b. (C) tiếp xóc với Ox . b¸n kÝnh R 5 2. Viết phương tr×nh c. (C) đi qua gốc toạ độ O . đường trßn này. d. (C) tiếp xóc với Oy . d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn e. tiếp xóc với đường th¼ng (C ) . (C) m : 4x 3y 12 0. II. BÀI TẬP. 2. Cho ba điểm A(1;4) , B( 7;4) , C(2; 5) . a. Lập phương tr×nh đường trßn (C) 1. T×m phương tr×nh đường trßn (C) biết ngoại tiếp ABC . rằng : b. T×m toạ độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh. a. (C) tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã 3. Cho đường trßn (C) đi qua điểm b¸n kÝnh R 3 . A( 1;2) , B( 2;3) và cã t©m ở trªn đường b. (C) tiếp xóc với Ox tại A(5;0) và thẳng :3x y 10 0 . cã b¸n kÝnh R 3 . a. T×m toạ độ t©m của đường trßn (C) . c. Tiếp xóc với Oy tại B(0;5) và đi b. TÝnh b¸n kÝnh R . qua C(5;2) . c. Viết phương tr×nh của (C) . 4. Lập phương tr×nh đường trßn (C) đi qua 2. T×m phương tr×nh đường trßn (C) biết hai điểm A(1;2) , B(3;4) và tiếp xóc với rằng : đường thẳng :3x y 3 0 . a. T×m I(1; 5) và qua gốc toạ độ. 5. Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB trong c¸c trường hợp sau : 16
  17. a. A( 1;1) , B(5;3) . b. A( 1; 2) , B(2;1) . Ph­¬ng tr×nh bËc hai & 6. Lập phương tr×nh đường trßn (C) tiếp hÖ thøc Vi-Ðt xóc với c¸c trục toạ độ và đi qua điểm Bµi tËp 1 : §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng M (4;2) . tr×nh 7. T×m tọa độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh của c¸c x2 m(m 1)x 5m 20 0 đường trßn sau : Cã mét nghiÖm x = - 5 . T×m nghiÖm kia. 2 2 2 2 a. (x 4) (y 2) 7 Bµi tËp d. 2 x: Cho y ph­¬ng10x 1 0tr×nhy 5 5 b. (x 5)2 (y 7)2 15 e. x 2 y 2 8 x 6xy2 m8 x 03 0 (1) c. x2 y2 6x 4y 36 .a) §Þnh f. x2 my ®Ó2 ph­¬ng4x 10y tr×nh 15 cã0 hai nghiÖm ph©n 8. Viết phương tr×nh đường trßn đường biÖt. kÝnh AB trong c¸c trường hợp sau : b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã a. A(7; 3) , B(1;7) mét b. A nghiÖm( 3;2) , Bb»ng(7; 41?) T×m nghiÖm kia. 9. Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp Bµi tËp 3 : Cho ph­¬ng tr×nh ABC biết : A(1;3) , B(5;6) , C(7;0) x2 8x m 5 0 (1) 10. Viết phương tr×nh đường trßn (C) tiếp a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n xóc với c¸c trục toạ độ và : biÖt. a. Đi qua A(2; 1). b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã b. Cã t©m thuộc đường th¼ng mét nghiÖm gÊp 3 lÇn nghiÖm kia? T×m c¸c :3x 5y 8 0 . nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trong tr­êng hîp nµy. 11. Viết phương tr×nh đường trßn (C) tiếp Bµi tËp 4 : Cho ph­¬ng tr×nh xóc với trục hoành tại điểm A(6;0) và đi (m 4)x2 2mx m 2 0 qua điểm B(9;9). (1) 12. Viết phương tr×nh đường trßn (C) đi a) m = ? th× (1) cã nghiÖm lµ x = 2 . qua hai điÓm A( 1;0) , B(1;2) và tiếp xóc b) m = ? th× (1) cã nghiÖm kÐp. với đường thẳng : x y 1 0 . Bµi tËp 5 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x m 4 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m. b) m =? th× (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . c) Gi¶ sö x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) CMR : M = 1 x2 x1 1 x1 x2 kh«ng phô thuéc m. Bµi tËp 6 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x m 3 0 (1) a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi m. 2 2 b) §Æt M = x1 x2 (x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)). T×m min M. Bµi tËp 7: Cho 3 ph­¬ng tr×nh 17
  18. x2 ax b 1 0(1); mx2 2(m 4)x m 7 0 x2 bx c 1 0(2); (1) a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n x2 cx a 1 0(3). biÖt x , x . Chøng minh r»ng trong 3 ph­¬ng tr×nh Ýt nhÊt 1 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mét ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. x , x tho¶ m·n x 2x 0 . Bµi tËp 8: Cho ph­¬ng tr×nh 1 2 1 2 2 2 c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x , x ®éc lËp víi m. x (a 1)x a a 2 0 1 2 (1) Bµi tËp 14: Cho ph­¬ng tr×nh a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi a. x2 (2m 3)x m2 3m 2 0 (1) b)x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) . a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm T×m min B = x2 x2 . víi mäi m. 1 2 b) T×m m ®Ó ph­ong tr×nh cã hai nghiÖm ®èi Bµi tËp 9: Cho ph­¬ng tr×nh nhau . x2 2(a 1)x 2a 5 0 c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. (1) Bµi tËp 15: Cho ph­¬ng tr×nh a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a. b) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x , x tho¶ m·n 1 2 (m 2)x2 2(m 4)x (m 4)(m 2) 0 (1) x 1 x . 1 2 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) c) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n cã nghiÖm kÐp. 2 2 b) Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , x . x1 x2 = 6. 1 2 T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. Bµi tËp 10: Cho ph­¬ng tr×nh 1 1 2 c) TÝnh theo m biÓu thøc A; 2x (2m 1)x m 1 0 x1 1 x2 1 (1) d) T×m m ®Ó A = 2. a) m = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n Cho ph­¬ng tr×nh 3x1 4x2 11. Bµi tËp 16: 2 b) Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiÖm d­¬ng. x mx 4 0 (1) a) CMR ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc m. víi mäi . b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc Gîi ý: Gi¶ sö (1) cã hai nghiÖm d­¬ng -> v« lý 2(x x ) 7 Bµi tËp 11: Cho hai ph­¬ng tr×nh A 1 2 . x2 x2 x2 (2m n)x 3m 0(1) 1 2 2 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho hai nghiÖm cña x (m 3n)x 6 0(2) ph­¬ng tr×nh ®Òu lµ nghiÖm nguyªn. T×m m vµ n ®Ó (1) vµ (2) t­¬ng ®­¬ng . Bµi tËp 17: Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 12: Cho ph­¬ng tr×nh x2 kx 7 0 cã hai nghiÖm h¬n kÐm nhau 2 ax bx c 0(a 0) (1) mét ®¬n vÞ. ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia lµ kb2 (k 1)2 ac 0(k 0) Bµi tËp 13: Cho ph­¬ng tr×nh 18
  19. Bµi tËp 18: Cho ph­¬ng tr×nh d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x2 (m 2)x m 1 0 ®èi nhau. (1) Bµi tËp 24: Cho ph­¬ng tr×nh a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i (m 2)x2 2mx m 4 0 dÊu. (1) b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d­¬ng a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh ph©n biÖt. bËc hai. c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m. 3 b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = . Bµi tËp 19: Cho ph­¬ng tr×nh 2 x2 (m 1)x m 0 (1) c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm a) CMR ph­¬ng r×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n ph©n biÖt kh«ng ©m. biÖt víi mäi m Bµi tËp 25: Cho ph­¬ng tr×nh 2 b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . x px q 0 (1) 2 2 TÝnh x1 x2 theo m. a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi p = 3 3 ; q = c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 3 3 . x , x tho¶ m·n x2 x2 = 5. 1 2 1 2 b) T×m p , q ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai Bµi tËp 20: Cho ph­¬ng tr×nh nghiÖm : x1 2, x2 1 2 2 x (2m 1)x m 3m 0 c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiÖm d­¬ng (1) x , x th× ph­¬ng tr×nh qx2 px 1 0 cã hai a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -3. 1 2 nghiÖm d­¬ng x , x b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ 3 4 tÝch hai nghiÖm ®ã b»ng 4. T×m hai nghiÖm d) LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ ®ã . 1 1 x1 x2 3x1va3x2 ; 2 vµ 2 ; vµ Bµi tËp 21: Cho ph­¬ng tr×nh x1 x2 x2 x1 x2 12x m 0 (1) Bµi tËp 26: Cho ph­¬ng tr×nh 2 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 to¶ x (2m 1)x m 0 (1) 2 a) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm m·n x2 x1 . Bµi tËp 22: Cho ph­¬ng tr×nh ph©n biÖt víi mäi m. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ (m 2)x2 2mx 1 0 (1) m·n : x1 x2 1 ; a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2. 2 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. c) T×m m ®Ó x1 x2 6x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n nhÊt. biÖt . Bµi tËp 27: Cho ph­¬ng tr×nh 2 d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x 2 x 2(m 1)x 2m 10 0 (1) tho¶ m·n 1 2x1 1 2x2 1 . a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -6. Bµi tËp 23: Cho ph­¬ng tr×nh b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x2 2(m 1)x m 3 0 x , x . T×m GTNN cña biÓu thøc (1) 1 2 A x2 x2 10x x a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 5. 1 2 1 2 b) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªmBµi tËp 28: Cho ph­¬ng tr×nh ph©n biÖt víi mäi m. 1 1 (m 1)x2 (2m 3)x m 2 0 (1) c) TÝnh A = 3 3 theo m. x1 x2 a) T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. 19
  20. b) T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm x1, x2 . H·y tÝnh nghiÖm nµy theo nghiÖm kia. Bµi tËp 29: Cho ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 36: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 5x 1 0 (1) 2 2 x 2(m 2)x (m 2m 3) 0 (1) TÝnh x1 x2 x2 x1 ( Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt cña ph­¬ng tr×nh) Cho ph­¬ng tr×nh 1 1 x1 x2 Bµi tËp 37: tho¶ m·n 2 (2m 1)x 2mx 1 0 (1) x1 x2 5 Bµi tËp 30: Cho ph­¬ng tr×nh a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x2 mx n 0 cã 3m2 = thuéc kho¶ng ( -1; 0 ). 16n. b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 2 2 CMR hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , cã mét x1, x2 tho¶ m·n x1 x2 1 nghiÖm gÊp ba lÇn nghiÖm kia. 2 Bµi tËp 31 : Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ngBµi tËp 38 : Cho phương trình x - (2k - 1)x +2k -2 tr×nh 2x2 3x 5 0 . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh , h·y= 0 (k là tham số). 1 1 2 tÝnh : a) ; b) (x1 x2 ) ; c) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn x x 1 2 có nghiệm. x 3 x 3 d) x1 x2 1 2 Bµi tËp 32 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c Bµi tËp 39: nghiÖm b»ng : T×m c¸c gi¸ rÞ cña a ®Ó ptr×nh : (a 2 a 3)x 2 a 2 x 3a 2 0 a) 3 vµ 23 ; NhËn x=2 lµ nghiÖm .T×m nghiÖm cßn l¹i cña b) 2 - 3 vµ 2 + 3 . ptr×nh ? Bµi tËp 33 : CMR tån t¹i mét ph­¬ng tr×nh cã c¸cBµi tËp 40 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m trong ph­¬ng hÖ sè h÷u tû nhËn mét trong c¸c nghiÖm lµ : tr×nh bËc hai : 3 5 2 3 2 a) ; b) ; x 8x m 0 3 5 2 3 ®Ó 4 + 3 lµ nghiÖm cña ph­¬ng c) 2 3 tr×nh . Víi m võa t×m ®­îc , ph­¬ng tr×nh ®· Bµi tËp 33 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c cho cßn mét nghiÖm n÷a . T×m nghiÖm cßn nghiÖm b»ng : l¹i Êy? a) B×nh ph­¬ng cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 2x 1 0 ; Bµi tËp 41: Cho ph­¬ng tr×nh : 2 b) NghÞch ®¶o cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nhx 2(m 1)x m 4 0 (1) , (m lµ tham sè). x2 mx 2 0 Bµi tËp 34 : X¸c ®Þnh c¸c sè m vµ n sao cho c¸c 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -5. nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 2) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x , x ph©n biÖt mäi m. x2 mx n 0 còng lµ m vµ n. 1 2 Bµi tËp 35: Cho ph­¬ng tr×nh 3) T×m m ®Ó x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (x1, x2 lµ x2 2mx (m 1)3 0 (1) hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = -1. 2/ ) . b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt , trong ®ã mét nghiÖm Bµi tËp 42: b»ng b×nh phu¬ng nghiÖm cßn l¹i. Cho phương trình 20
  21. 1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2 T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai ®óng mét nghiÖm chung. nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1 Bµi tËp 49: Bµi tËp 43: Cho ph­¬ng tr×nh : 2 2 Cho phương trình x – 2mx + m – m + 1 = 0 với m x2 2(m 1)x m2 1 0 víi x lµ Èn , m lµ là tham số và x là ẩn số. tham sè cho tr­íc a) Giải phương trình với m = 1. 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho kho m = 0. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai biệt x1 ,x2. nghiÖm d­¬ng x1, x2 ph©n biÖt tho¶ c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu m·n ®iÒu kiÖn x2 x2 4 2 thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 Bµi tËp 44: Bµi tËp 50: Cho ph­¬ng tr×nh : Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + 2 m – 3 = 0 2 m 2 x 1 2m x m 3 0 ( x 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3 lµ Èn ; m lµ tham sè ). 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt 9 Bµi tËp 45: Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x2 - 2mx 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - 2 2 1 + m – = 0 (1) 2) CMR ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm 2 víi mäi m. 1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho nghiÖm vµ c¸c nghiÖm cña ptr×nh cã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm Êy lµ sè ®o cña Bµi tËp 52: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 . 2 c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 3. hai nghiÖm tr¸i dÊu . Bµi tËp 46: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b) Gäi x lµ nghiÖm ©m cña ph­¬ng nguyªn cã hai nghiÖm lµ: 1 4 4 tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : x x 8 1 vµ 2 P x 10x 13 x 3 5 3 5 1 1 1 4 4 4 4 1) TÝnh : P = Bµi tËp 53: Cho ph­¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x: 3 5 3 5 x2 - 2(m – 2 ) x + m - 2 =0. (1) Bµi tËp 47: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp. x 2 2x x 1 m 0 cã ®óng hai nghiÖm ph©n TÝnh nghiÖm kÐp ®ã. biÖt. Bµi tËp 48: Cho hai ph­¬ng tr×nh sauBµi : tËp 54: x2 (2m 3)x 6 0 Cho ph­¬ng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - 5 =0. ( x lµ Èn , m lµ tham sè ) 2 (1) 2x x m 5 0 a) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. 21
  22. b) T×m m ®Ó 2 nghiÖm x1, x2 cña (1) tho¶ m·n : 2 2 Bµi tËp 60: x1 x2 14 . a) Cho ph­¬ng tr×nh :x2 2mx m2 1 0 ( Bµi tËp 55: m lµ tham sè ,x lµ Èn sè). T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ a) Cho a = 11 6 2 ,b 11 6 2 . CMR nguyªn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm a, ,b lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2000 x1 x2 2007 hÖ sè nguyªn. b) Cho a, b, c, d R . CMR Ýt nhÊt mét b) Cho c 3 6 3 10,d 3 6 3 10 . CMR trong 4 ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm 2 c2 ,d 2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi ax 2bx c 0; hÖ sè nguyªn. bx2 2cx d 0; Bµi tËp 56: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai : cx2 2dx a 0; x2 2(m 1)x m2 m 1 0 (x dx2 2ax b 0; lµ Èn, m lµ tham sè). 1) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m. Bµi tËp 61: 2) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó 1) Cho a, b , c, lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x , x tho¶ m·n : 1 2 ®¼ng thøc a2 b2 ab c2 . CMR ph­¬ng tr×nh x x 3 2 1 2 . x 2x (a c)(b c) 0 cã hai nghiÖm ph©n 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó biÖt. tËp gi¸ trÞ cña hµm sè Cho ph­¬ng tr×nh x2 x p 0 cã hai nghiÖm y= x2 2(m 1)x m2 m 1 chøa ®o¹n 2;3 . d­¬ng x1, x2 . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña p khi Bµi tËp 57:Cho ph­¬ng tr×nh : x4 x4 x5 x5 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0. 1 2 1 2 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.Bµi tËp 62: Cho ph­¬ng tr×nh : 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nµy (m + 1 ) x – ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , víi m lµ tham b»ng b×nh ph­¬ng nghiÖm kia. sè. a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n Bµi tËp 58: Cho ph­¬ng tr×nh :biÖt sao cho nghiÖm nµy gÊp 4 lÇn nghiÖm kia. x2 6x 6a a2 0. 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh Bµi cã tËp 63: Cho ph­¬ng tr×nh nghiÖm. 2 2 : x 3y 2xy 2x 10y 4 0 (1) 2) Gi¶ sö x , x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy. 1 2 1) T×m nghiÖm ( x ; y ) cña ph­¬ng tr×nh ( 3 x x 8x 2 2 H·y t×m gi¸ trÞ cña a sao cho 2 1 1 1 ) tho¶ m·n x y 10 Bµi tËp 59: Cho ph­¬ng tr×nh : 2) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh mx2 -5x – ( m + 5) = 0 (1) trong ®ã (1). m lµ tham sè, x lµ Èn. Bµi tËp 64: Gi¶ sö hai ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 5. : b) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m. a x2 b x c 0 vµ a x2 b x c 0 c) Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã hai 1 1 1 2 2 2 Cã nghiÖm chung. CMR nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 , h·y tÝnh theo m gi¸ trÞ 2 2 2 : a1c2 a2c1 a1b2 a2b1 b1c2 b2c1 . cña biÓu thøc B = 10x1x2 3(x1 x2 ) . T×m m ®Ó B = 0. Bµi tËp 65: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 22
  23. x2 2(m 1)x 2m2 3m 1 0 x 2 48 x 4 i) 10( ) a) Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ 3 x 2 3 x khi 0 m 1 Bµi tËp 72. gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau. b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , chøng a) x2 -5 x - 5 =0 b) 9 -5 .x2- 2 x +1=0 minh : x1 x2 x1x2 8 c) ( 1 -3)x 2 ( 3 1) 3 0 Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : Bµi tËp 66: 4 2 2 2 d)5x - 7x +2 = 0 2x 2mx m 2 0 e) (x2 +2x +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = 0 f) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 b) Gäi x , x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , t×m 1 2 g) 2x2+ 2x = x 2 x +1 . gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : Bµi tËp 73.Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai 4x2-5x+1=0 (*) A 2x1x2 x1 x2 4 . cã hai nghiÖm lµ x1 , x2 . Bµi tËp 67: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 1/ kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c 2 (m 1)x 2(m 1)x m 3 0 víi biÓu thøc sau: m 1. (1) 1 1 4 x1 4 x2 a) CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi A 2 2 ; B 2 2 ; x x x x m. 1 2 1 2 5 5 7 7 b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) , C x1 x2 ; D x1 x2 t×m m ®Ó x x 0 vµ x 2x 2/ lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng: 1 2 1 2 a) u = 2x - 3, v = 2x -3 Bµi tËp 68: Cho a , b , c lµ ®ä dµi 3 c¹nh cña 1 tam 1 2 1 1 gi¸c . CMR ph­¬ng tr×nh b) u = , v = . 2 x 1 x 1 x (a b c)x ab bc ac 0 1 2 2 v« nghiÖm . Bµi tËp 74 . Cho hai ph­¬ng tr×nh : x - mx +3 = 0 vµ 2 Bµi tËp 69: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : x - x +m+2= 0 . a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ax2 bx c 0(1); chung. cx2 dx a 0(2). b) T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng. BiÕt r»ng (1) cã c¸c nghiÖm m vµ n, (2) cã c¸c Bµi tËp 75. Cho ph­¬ng tr×nh (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = 0 nghiÖm p vµ q. CMR : m2 n2 p2 q2 4 . . a) t×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm Bµi tËp 70: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : ph©n biÖt x , x . 2 1 2 x bx c 0 cã c¸c nghiÖm x1, x2 ; ph­¬ng 1 1 b) T×m a sao cho + <3 . tr×nh xcã2 c¸cb2 xnghiÖm bc 0 . x , x 3 4 x1 x 2 BiÕt x3 x1 x4 x2 1 . X¸c ®Þnh b, c. c) T×m mét hÖ thøc ®éc lËp gi÷a x1, x2. 2 Bµi tËp 71 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau Bµi tËp 76. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: x +(m+2)x +m= a) 3x4 - 5x2 +2 = 0 0 . b) x6 -7x2 +6 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m =- 2 . 2 2 2 c) (x +x +2) -12 (x +x +2) +35 = 0 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2. d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24 2 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C x1 x2 2 2 e) 3x + 3x = x x +1 Bµi tËp 77: 1 1 f) (x + ) - 4 ( x ) +6 =0 Cho ph­¬ng tr×nh: x x mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1) 2 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã g) 1 2x x 1 nghiÖm h) 4x 20 x 20 23
  24. b) T×m m ®Ó PT(1) cã hai nghiÖm tr¸i b) Víi GT nµo cña a th× tæng c¸c b×nh dÊu . Khi ®ã trong hai nghiÖm nµo ph­¬ng c¸c nghiÖm cã GTNN cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ? Bµi 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) . Kh«ng gi¶i c) X¸c ®Þnh m ®Ó nghiÖm x1 ; x2 cña PT PT lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm y1 ; (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 + 4x2 y2 = 3 a) §Òu lµ sè ®èi c¸c nghiÖm cña PT d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 (1) kh«ng phô thuéc vµo m b) §Òu lín h¬n c¸c nghiÖm c¶u PT(1) lµ 2 Bµi tËp 78: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 – 2( m -2) x + (mBµi tËp 87. Cho Ph­¬ng tr×nh x2 – (m – 1) x – m2 – 3) = T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm x1 ;x2 cña PT+m – 2 = 0 2 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 + x2 = 1 a) Gi¶i PT khi m = 2 Bµi tËp 79: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ m ®Ó PT sau cã hai b) C/mr phg­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i ®Êu nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi GT cña m 2 (m – 1)x – 2x + 3 = 0 c) Gäi hai nghiÖm c¶u PT ®· cho lµ x1 ; 2 2 Bµi tËp 80 Cho PT : x – 2(m-2) x + ( m + m – 3) = x2 .T×m m ®Ó hai nghiÖm ®ã tho¶ m·n 0 3 3 x1 x2 T×m c¸c GT cña m ®Ó PT cã hai nghiÖm x1; x2 ®¹t GTLN x x tho¶ m·n : 2 1 : Cho Ph­¬ng tr×nh : x2 – mx – m – 1 = 0 1 1 x1 x2 Bµi tËp 88 (*) x1 x2 5 2 a) C/mr PT (*) cã nghiÖm x1 ; x2 víi mäi GT Bµi tËp 81 .Cho PT : x – (m+2) x + ( 2m – 1) = 0 cã cña m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã ) cña PT c¸c nghiÖm x1; x2 . LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1; vµ GT m t­¬ng ­íng . x2 ®éc lËp víi m . b) §Æt A = x 2 + x 2 – 6x .x 2 1 2 1 2 Bµi tËp 82Cho PT x – 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1) 1) Chøng minh A = m2 -8m + 8 a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi a 2) T×m m sao cho A= 8 b) Víi mäi gi¸ trÞ cña a th× (1) cã hai 3) T×m GTNN cña a vµ GT m t­¬ng nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2 øng . c) Víi GT nµo cña a th× (1) cã hai nghiÖm : Cho ph­¬ng tr×nh x2 – 2(a- 1) x + 2a – 5 2 2 Bµi tËp 89 x1; x2 tho¶ m·n x1 + x2 = 6. 2 2 = 0 (1) Bµi tËp 83: Cho PT : x – 10x – m = 0 (1) a) C/mr PT(1) cã nghiÖm víi mäi a 2 mx + 10x – 1 = 0 (2) ( m kh¸c b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× (1) cã nghiÖm x kh«ng ) 1 ,x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2 1) Chøng minh r»ng nghiÖm PT (1) lµ nghÞch c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh (1) ®¶o c¸c nghiÖm cña PT hai cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 2) Víi GT nµo cña m th× PT (1) cã hai nghiÖm 2 2 x1 + x2 =6 x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 6x1 + x2 = 5 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m+1)x + m – 4 2 2Bµi tËp 90 Bµi tËp 84: Cho Ph­¬ng tr×nh x – 2(m+1) x – 3m= 0 ( *) – 2m – 1 = 0 (1) a) Chøng minh (*) cã hai nghiÖm víi mäi m 1) C/mr víi mäi m PT lu«n cã hai nghiÖm b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó PT (*) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu tr¸i d¸u 2) T×m GT cña m ®Ó PT (1) cã mét nghiÖm x c) Gi¶ sö x1 ; x2 lµ nghiÖm cña PT (*) = -1 Chøn minh r»ng : M = (1 – x ) x + (1 3) T×m c¸c GT cña m ®Ó PT (1) cã hai 1 2 – x2)x1 nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 + 3x2 = 5 Bµi tËp 91: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – (1- 2n) x + n – 5 4) T×m c¸c GT m ®Ó PT (1) cã hai nghiÖm x1 2 2 2 = 0 ; x2 tho¶ m·n x1 + x2 = m – 2m + 3 . 2 a) Gi¶i PT khi m = 0 Bµi tËp 85: Cho PT : x – (a- 1) x + a = 0 b) Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi a) T×m c¸c GT cña a sao cho tæng lËp ph­¬ng gi¸ trÞ cña n c¸c nghiÖm b»ng 9 24
  25. c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm c¶u PT ®· cho b) T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng Chøng minh r»ng biÓu thøc : x1(1 + x2) + ®­¬ng 2 x2(1 +x1) Bµi tËp 102: Cho ph­¬ng tr×nh: x – 2( a + b +c) x + 3( Bµi tËp 92: C¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 + ax + bab + +1 bc+ ca) = 0 (1) = 0 (b kh¸c -1) lµ nh÷ng sè nguyªn a) C/mr ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm Chøng minh r»ng a2 + b2 lµ hîp sè Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm Bµi tËp 93: Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c .C/m: kÐp x¸c ®Þnh a,b,c .BiÕt a2 + b2 + c2 = 14 x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0 Bµi tËp 103: Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh :x2 + v« nghiÖm ax + b = 0 vµ x2 + cx + d = 0 cã nghiÖm chung th× : (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) = 0 Bµi tËp 94: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( Bµia.c tËp 104: Cho ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 .C/mr 2 0) vµ cx + dx + a = 0 cã c¸c nghiÖm x1; x2 vµ y1 nÕu; b > a + c th× ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n 2 2 2 2 y2 t­¬ng ­íng C/m x1 + x2 + y1 + y2 4 biÖt 2 Bµi tËp 95: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh x + bx +c =0 (1) vµBµi tËp 105: G/s x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña hai ph­¬ng 2 2 x +cx +b = 0 (2) tr×nh x + ax + bc = 0 vµ x2 , x3 lµ hai nghiÖm cña 1 1 1 ph­¬ng tr×nh x2 + bx + ac = 0 ( víi bc kh¸c ac ) . Chøng Trong ®ã 2 b c 2 minh x1, x3 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x + cx + ab = 0 . Bµi tËp 96: Cho p,q lµ hai sè d­¬ng .Gäi x1 ; x2 lµ hai 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 106: Cho ph­¬ng tr×nh x + px + q = 0 (1) .T×m 2 p,q vµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) biÕt r»ng khi px + x +q = 0 vµ x3 ; x4 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh qx2 + x + p = 0 thªm 1 vµo c¸c nghiÖm cña nã chóng chë thµnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : x2 – p2x + pq = 0 C/m : x .x x .x 2 1 2 3 4 Bµi tËp 107: Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh : Bµi tËp 97: Cho a,b,c lµ ba sè thùc bÊt kú .Chøng minh (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0 r»ng Ýt nhÊt mét trong ba ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : Lu«n cã nghiÖm víi mäi a,b,c. 2 2 2 x ax b 1 0; x bx c 1 0; x cx a 1 0Bµi tËp 108: Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0 Bµi tËp 98: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai :x2 + (m+2) x + T×m GTLN cña biÓu thøc A = 2m = 0 (1) x1x2 2x1 2x2 a) C/m ph­¬ng tr×nh lu«n lu«n cã Bµi tËp 109: Cho a 0 .G/s x1 ; x2 lµ nghiÖm cña nnghiÖm 2 1 b) Gäi x ; x lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x ax 0 1 2 2a2 ph­¬ng tr×nh . T×m m ®Ó 2(x 2 + x 2 1 2 4 4 ) = 5x1x2 Chøng minh r»ng : x 1 x2 2 2 2 2 Bµi tËp 99: Cho ph­¬ng tr×nh x + a1x + b1 = 0 (1) ; x 1 Bµi tËp 110 Cho ph­¬ng tr×nh x2 ax 0 .Gäi + a2x + b2 = 0 (2) a2 Cã c¸c hÖ sè tho¶ m·n a1a2 2 b1 b2 .Cmrx1 ; x 2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 4 4 Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh trªn cã T×m GTNN cña E = x1 x2 nghiÖm Bµi tËp 111: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + 2(a + 3) x + 4( a + Bµi tËp 100: Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh : 3) = 0 a2 x2 b2 a2 c2 x b2 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b) X¸c ®Þnh a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm V« nghiÖm lín h¬n – 1 NÕu a + b > c vµ a b c Bµi tËp 101: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 + mx + 1 = 0 (1) x2 + x + m = 0 (2) a) T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung 25