Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 2: Đại cương về bất phương trình

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 2: Đại cương về bất phương trình

1. §2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa bất phương trình một ẩn Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là D f và Dg . Đặt D = D f ÇDg . Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f (x) g(x), f (x)£ g(x), f (x)³ g(x) được gọi là bất phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình. x0 Î D gọi là một nghiệm của bất phương trình f (x) 0 với mọi x Î D 3) f (x).h(x)> g(x).h(x) nếu h(x)< 0 với mọi x Î D Hệ quả: Cho bất phương trình f (x)< g(x) có tập xác định D . Khi đó 1) f (x)< g(x)Û f 3 (x)< g3 (x) 2) f (x)< g(x)Û f 2 (x)< g2 (x) với f (x)³ 0, g(x)³ 0 , " x Î D Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý • Đặt điều kiện xác định (đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định. • Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực hiện phép biến đổi tương đương nên cần lưyu ý tới điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương đó. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải.
2. - Điều kiện xác định của bất phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f (x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài) - Điều kiện để biểu thức • f (x) xác định là f (x)³ 0 1 • xác định là f (x)¹ 0 f (x) 1 • xác định là f (x)> 0 f (x) 2. Các ví dụ điển hình. Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: 5 a) x + 2 A. í B. í C. x £ 2 D. x ¹ 1- 2 ï ï îï x ¹ 1- 2 îï x ¹ 1- 2 Lời giải: 9 3 a) Điều kiện xác định của bất phương trình là 4x2 - 9 ¹ 0 Û x2 ¹ Û x ¹ ± 4 2 b) Điều kiện xác định của bất phương trình là ì ì ïì 4- 2x ³ 0 ï x £ 2 ï x £ 2 íï Û í Û í ï 2 ï ï îï x - 2x- 1¹ 0 îï x ¹ 1± 2 ïî x ¹ 1- 2 Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó: a) 2x + x- 3 ³ 2 3- x + 3 b) - x2 + 4x- 4 £ 27 - 3x3 1 1 c) x + 4x- 3 - 7 Lời giải: ïì x- 3 ³ 0 ïì x ³ 3 a) Điều kiện xác định của bất phương trình làíï Û íï Û x = 3 îï 3- x ³ 0 îï x £ 3
3. Thử vào bất phương trình thấy x = 3 thỏa mãn Vậy tập nghiệp của bất phương trình là S = {3} b) Điều kiện xác định của bất phương trình là 2 - x2 + 4x- 4 ³ 0 Û - (x- 2) ³ 0 Û x = 2 Thay x = 2 vào thấy thỏa mãn bất phương trình Vậy tập nghiệp của bất phương trình là S = {3} ïì x ³ 0 ïì x ³ 0 c) Điều kiện xác định của bất phương trình là íï Û íï Û x > 2 îï x- 2 > 0 îï x > 2 Với điều kiện đó bất phương trình tương đương với x x + 2 A. x ³ 2 B. x > 2 C. x 2
4. Bài 4.56: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó: a) 2x + 2x- 1 ³ 2 1- 2x + 1 1 1 1 1 A. x = B. x > C. x ³ D. x £ 2 2 2 2 b) - x2 + x- 1 £ 2 A. Vô nghiệm B. ¡ C. ¡ \{1} D. ¡ \{± 1} c) x + 1- x - 7 A. x = 1,x ¹ 2 B. x ¹ 1,x ¹ 2 C. ¡ \{1; 2} D. x = 1,x = 2 Lời giải: 1 Bài 4.56: a) x = b) Vô nghiệm c) 0 £ x £ 1 d) x = 1,x = 2 2 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG. 1. Phương pháp giải. Để giải bất phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về bất phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) cả hai vế của bất phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của bất phương trình ta thu được bất phương trình tương đương bất phương trình đã cho. • Nhân (chia) vào hai vế của bất phương trình với một biểu thức luôn dương(hoặc luôn âm) và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được bất phương trình cùng chiều (hoặc ngược chiều) tương đương với bất phương trình đã cho. • Bình phương hai vế của bất phương trình (hai vế luôn dương) ta thu được bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho. • Lập phương hai vế của bất phương trình ta thu được bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x + 1> 0 (*) : 1 1 x x a) 3x + 1- > - b) 3x + 1+ > x- 3 x- 3 3x + 1 3x + 1
5. Lời giải: 1 Ta có 3x + 1> 0 Û x > - 3 1 1 a) 3x + 1- > - (1) không tương đương 3x + 1> 0 vì x = 3 là nghiệm của bất phương trình x- 3 x- 3 (*) nhưng không là nghiệm của bất phương trình (1). x x 1 b) 3x + 1+ > Û 3x + 1> 0 Û x > - 3x + 1 3x + 1 3 x x Do đó 3x + 1+ > tương đương 3x + 1> 0 . 3x + 1 3x + 1 Ví dụ 2: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm. x x + 1 a) x2 + 2x + 3 £ 0 b) + 0 do đó bất phương trình vô nghiệm. b) ĐKXĐ: x > 0 . x x + 1 x x + 1 Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2 x + 1 x x + 1 x Suy ra bất phương trình vô nghiệm. Ví dụ 3: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x . 1 2 1 a) x- 1 + x2 ³ 2x- 1 b) - (x + 1) £ x2 + 1 x2 + 1 Lời giải: 2 a) BPT Û x- 1 + x2 - 2x + 1³ 0 Û x- 1 + (x- 1) ³ 0 2 2 Do x- 1 ³ 0, (x- 1) ³ 0 với mọi x nên x- 1 + (x- 1) ³ 0 với mọi x . Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . 2 2 b) BPT Û - (x + 1) £ 0 Û (x + 1) ³ 0 (đúng với mọi x ) Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . Ví dụ 4: Bạn Nam giải bất phương trình x + 1 ³ x- 1 như sau 2 2 Bất phương trình tương đương với (x + 1) ³ (x- 1) Û x2 + 2x + 1³ x2 - 2x + 1 Û 4x ³ 0 Û x ³ 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = [0;+ ¥ ) .
6. Theo em ban Nam giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng. Lời giải: Bạn Nam đã mắc sai lầm ở phép biến đổi bình phương hai vế Lời giải đúng là: · Với x 0 : 1 1 3x + 1+ > (I) x + 3 x + 3 3x + 1+ x + 1 > x + 1 (II) A.(I)B.(II) C.(I), (II)D. Không có phương trình nào cả Lời giải: 1 Bài 4.57: Ta có 3x + 1> 0 Û x > - 3 ì ì ï x ¹ - 3 1 1 ï x ¹ - 3 ï 1 I) Ta có 3x + 1+ > Û í Û í 1 Û x > - x + 3 x + 3 îï 3x + 1> 0 ï x > - 3 îï 3 1 1 Do đó 3x + 1+ > tương đương 3x + 1> 0 x + 3 x + 3 ì ì ï x > - 1 ï x + 1> 0 ï 1 II) 3x + 1+ x + 1 > x + 1 Û í Û í 1 Û x > - îï 3x + 1> 0 ï x > - 3 îï 3 Do đó 3x + 1+ x + 1 > x + 1 tương đương 3x + 1> 0 Bài 4.58: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm. a) x + 1 > - x- 4 b) x + 1 £ - x2 + x- 1 Lời giải:
7. ïì x + 1> 0 ïì x > - 1 Bài 4.58: a) ĐKXĐ: íï Û íï không tồn tại giá trị nào của x îï - x- 4 > 0 îï x 0 x2 + 2 b) ³ 2 x2 + 1 Lời giải: 2 Bài 4.59: a) Ta có x + 1 ³ 0, 2x2 - 2x + 1= (x- 1) + x2 ³ 0 Suy ra x + 1 + 2x2 - 2x + 1³ 0 ïì + = ï x 1 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í 2 (vô nghiệm) ï - + 2 = îï (x 1) x 0 Suy ra x + 1 + 2x2 - 2x + 1> 0 với mọi x . Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . x2 + 2 1 1 b) Áp dụng BĐT côsi ta có = x2 + 1 + ³ 2 x2 + 1. = 2 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . Bài 4.60: Bạn Bình giải bất phương trình x + 1( 2x + 2 - 1)³ 0 như sau Bất phương trình tương đương với 1 2x + 2 - 1³ 0 Û 2x + 2 ³ 1 Û 2x + 2 ³ 1 Û x ³ - 2 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = [- ;+ ¥ ) . 2 Theo em ban Bình giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng. Lời giải: Bài 4.60: Bạn Bình đã mắc sai lầm ở phép biến đổi đầu tiên Lời giải đúng là:
8. é + = é = - ê x 1 0 ê x 1 x + 1( 2x + 2 - 1)³ 0 Û ê Û ê ëê 2x + 2 - 1³ 0 ëê 2x + 2 ³ 1 éx = - 1 é x = - 1 ê Û ê Û ê ê 1 ë2x + 2 ³ 1 êx ³ - ëê 2 é 1 ÷ö Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = {- 1} È ê- ;+ ¥ ÷. ëê 2 ø÷