Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất

1. §4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó. a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất (đối với x ) là biểu thức dạng ax + b , trong đó a và b là hai số cho trước với a ¹ 0 . b x = - được gọi là nghiệm cảu nhị thức bậc nhất f (x)= ax + b . 0 a b) Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí: Nhị thức bậc nhất f (x)= ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a x nhỏ hơn nghiệm của nó. 2. Một số ứng dụng. a) Giải bất phương trình tích • Dạng P(x) > 0 (1) (trong đó P(x) là tích các nhị thức bậc nhất.) • Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x) . Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P(x) • Dạng > 0 (2) (trong đó P(x), Q(x) là tích những nhị thức bậc nhất.) Q(x) P(x) • Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q(x) Chú ý: 1) Không nên qui đồng và khử mẫu. 2) Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm). c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) • Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. éA ta có Û ê . B 0 A B B A B A B ê ëA > B B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) - 2x + 3 A. x 3 - ¥ 2 + ¥ - 2x + 3 - 0 - B. x 3 - ¥ 2 + ¥ - 2x + 3 + 0 + C. x 3 - ¥ 2 + ¥ - 2x + 3 - 0 +
2. D. x 3 - ¥ 2 + ¥ - 2x + 3 + 0 - b) 4x- 12 A. x - ¥ 3 + ¥ 4x- 12 - 0 - B. x - ¥ 3 + ¥ 4x- 12 + 0 + C. x - ¥ 3 + ¥ 4x- 12 - 0 + D. x - ¥ 4 + ¥ 4x- 12 - 0 + c) x2 - 4 A. x - ¥ - 2 2 + ¥ x + 2 - 0 - | + x- 2 - | - 0 + x2 - 4 + 0 + 0 + B. x - ¥ - 2 2 + ¥ x + 2 + 0 + | + x- 2 - | - 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + C. x - ¥ - 2 2 + ¥ x + 2 - 0 + | + x- 2 + | - 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + D.
3. x - ¥ - 2 2 + ¥ x + 2 - 0 + | + x- 2 - | - 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + d) - 2x2 + 5x- 2 A. x 1 - ¥ 2 2 + ¥ 1- 2x + 0 - | - x- 2 - | - 0 + - 2x2 + 5x- 2 - 0 + 0 - B. x 1 - ¥ 2 2 + ¥ 1- 2x + 0 + | - x- 2 - | - 0 + - 2x2 + 5x- 2 + 0 + 0 - C. x 1 - ¥ 2 2 + ¥ 1- 2x + 0 + | - x- 2 - | - 0 + - 2x2 + 5x- 2 - 0 + 0 - D. x 1 - ¥ 2 2 + ¥ 1- 2x + 0 - | - x- 2 - | - 0 + - 2x2 + 5x- 2 - 0 + 0 - Lời giải: 3 a) Ta có - 2x + 3 = 0 Û x = , a = - 2 0 . Bảng xét dấu
4. x - ¥ 4 + ¥ 4x- 12 - 0 + c) Ta có x2 - 4 = (x- 2)(x + 2), x- 2 = 0 Û x = 2, x + 2 = 0 Û x = - 2 Bảng xét dấu x - ¥ - 2 2 + ¥ x + 2 - 0 + | + x- 2 - | - 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + éx = 2 2 ê d) Ta có- 2x + 5x- 2 = 0 Û ê 1 êx = ëê 2 æ 1ö Suy ra - 2x2 + 5x- 2 = - 2(x- 2)çx- ÷= (x- 2)(1- 2x) èç 2ø÷ Bảng xét dấu x 1 - ¥ 2 2 + ¥ 1- 2x + 0 - | - x- 2 - | - 0 + - 2x2 + 5x- 2 - 0 + 0 - Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau - 2x + 3 a) x- 2 A. x 3 - ¥ 2 2 + ¥ - 2x + 3 + 0 - | - x- 2 + | - 0 + - 2x + 3 x- 2 - 0 + || - B. x 3 - ¥ 2 2 + ¥ - 2x + 3 + 0 - | - x- 2 - | + 0 + - 2x + 3 x- 2 - 0 + || - C. x 3 - ¥ 2 2 + ¥ - 2x + 3 + 0 - | - x- 2 + | + 0 +
5. - 2x + 3 x- 2 - 0 + || - D. x 3 - ¥ 2 2 + ¥ - 2x + 3 + 0 - | - x- 2 - | - 0 + - 2x + 3 x- 2 - 0 + || - 4x- 12 b) x2 - 4x A. x - ¥ 0 3 4 + ¥ 4x- 12 - | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 4 - | - | + 0 + 4x- 12 2 - - x - 4x || + 0 || + B. x - ¥ 0 3 4 + ¥ 4x- 12 + | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 4 - | - | - 0 + 4x- 12 2 - - x - 4x || + 0 || + C. x - ¥ 0 3 4 + ¥ 4x- 12 - | + 0 + | + x - 0 + | + | + x- 4 - | - | - 0 + 4x- 12 2 - - x - 4x || + 0 || + D. x - ¥ 0 3 4 + ¥ 4x- 12 - | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 4 - | - | - 0 + 4x- 12 2 - - x - 4x || + 0 || +
6. c) x(4- x2 )(x + 2) A. x - ¥ - 2 0 2 + ¥ x - | - 0 + | + 2- x + | + | + 0 - x + 2 - 0 + | + | + x(4- x2 )(x + 2) - 0 - 0 + 0 - B. x - ¥ - 2 0 2 + ¥ x + | - 0 + | + 2- x + | + | + 0 + x + 2 + 0 + | + | + x(4- x2 )(x + 2) - 0 - 0 + 0 - C. x - ¥ - 2 0 2 + ¥ x - | - 0 + | + 2- x + | + | + 0 + x + 2 - 0 + | + | + x(4- x2 )(x + 2) - 0 - 0 + 0 - D. x - ¥ - 2 0 2 + ¥ x + | - 0 + | + 2- x + | + | + 0 - x + 2 - 0 + | + | + x(4- x2 )(x + 2) - 0 - 0 + 0 - 4x2 d) - 1 2 (x + 1) A. x 1 - ¥ - 1 - 1 3 + ¥ 3x + 1 + | - 0 + | + 1- x + | + | + 0 - x + 1 - 0 + | + | + 4x2 - 1 2 - || - 0 + 0 - (x + 1) B.
7. x 1 - ¥ - 1 - 1 3 + ¥ 3x + 1 - | - 0 + | + 1- x + | + | + 0 - x + 1 - 0 + | + | + 4x2 - 1 2 - || - 0 + 0 + (x + 1) C. x 1 - ¥ - 1 - 1 3 + ¥ 3x + 1 - | - 0 + | + 1- x + | + | + 0 - x + 1 - 0 + | + | + 4x2 - 1 2 + || + 0 + 0 - (x + 1) D. x 1 - ¥ - 1 - 1 3 + ¥ 3x + 1 - | - 0 + | + 1- x + | + | + 0 - x + 1 - 0 + | + | + 4x2 - 1 2 - || - 0 + 0 - (x + 1) Lời giải: a) Bảng xét dấu x 3 - ¥ 2 2 + ¥ - 2x + 3 + 0 - | - x- 2 - | - 0 + - 2x + 3 x- 2 - 0 + || - 4x- 12 4x- 12 b) Ta có = x2 - 4x x(x- 4) Bảng xét dấu x - ¥ 0 3 4 + ¥ 4x- 12 - | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 4 - | - | - 0 + 4x- 12 2 - - x - 4x || + 0 || +
8. 2 c) Ta có x(4- x2 )(x + 2) = x(2- x)(x + 2) Bảng xét dấu x - ¥ - 2 0 2 + ¥ x - | - 0 + | + 2- x + | + | + 0 - x + 2 - 0 + | + | + x(4- x2 )(x + 2) - 0 - 0 + 0 - 2 2 4x2 (x + 1) - 4x (3x + 1)(1- x) d) Ta có - = = 1 2 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) Bảng xét dấu x 1 - ¥ - 1 - 1 3 + ¥ 3x + 1 - | - 0 + | + 1- x + | + | + 0 - x + 1 - 0 + | + | + 4x2 - 1 2 - || - 0 + 0 - (x + 1) - 2x + m Ví dụ 3: Tùy vào m xét dấu các biểu thức sau . x- 2 A. B. C. D. Lời giải: m a) Ta có x- 2 = 0 Û x = 2,- 2x + m = 0 Û x = 2 m TH1: > 2 Û m > 4 : 2 Bảng xét dấu x m - ¥ 2 2 + ¥ - 2x + m + | + 0 - x- 2 - 0 + | + - 2x + m - || + 0 - x- 2 - 2x + m æ mö - 2x + m æm ö Suy ra > 0 Û x Î ç2; ÷ và < 0 Û x Î (- ¥ ; 2)Èç ;+ ¥ ÷ x- 2 èç 2 ø÷ x- 2 èç2 ø÷ m - 2x + m - 2x + 2 TH2: = 2 Û m = 4 : Ta có = = - 2 2 x- 2 x- 2 - 2x + m Suy ra < 0 Û x Î ¡ \{2} x- 2 m TH3: < 2 Û m < 4 : 2 Bảng xét dấu
9. x m - ¥ 2 2 + ¥ - 2x + m + 0 - | - x- 2 - | - 0 + - 2x + m - || + 0 - x- 2 - 2x + m æm ö - 2x + m æ mö Suy ra > 0 Û x Î ç ; 2÷ và < 0 Û x Î ç- ¥ ; ÷È(2;+ ¥ ) x- 2 èç2 ÷ø x- 2 èç 2 ø÷ 2. Bài tập luyện tập. Bài 4.80: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) - 4x + 8 A. x - ¥ 2 + ¥ - 4x + 8 + 0 + B. x - ¥ 2 + ¥ - 4x + 8 - 0 - C. x - ¥ 2 + ¥ - 4x + 8 + 0 - D. x - ¥ 2 + ¥ - 4x + 8 - 0 + b) 3x + 9 A. x - ¥ - 3 + ¥ 3x + 9 - 0 - B. x - ¥ - 3 + ¥ 3x + 9 + 0 + C. x - ¥ - 3 + ¥ 3x + 9 - 0 + D. x - ¥ - 3 + ¥ 3x + 9 + 0 - c) x2 + 4x + 3 A. x - ¥ - 3 - 1 + ¥ x + 2 + 0 + | + x- 2 - | - 0 +
10. x2 - 4 + 0 - 0 + B. x - ¥ - 3 - 1 + ¥ x + 2 - 0 + | + x- 2 - | + 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + C. x - ¥ - 3 - 1 + ¥ x + 2 - 0 + | + x- 2 + | - 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + D. x - ¥ - 3 - 1 + ¥ x + 2 - 0 + | + x- 2 - | - 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + d) - 3x2 + 10x- 3 A. x 1 - ¥ 3 + ¥ 3 1- 3x + 0 - | - x- 3 + | - 0 + - 3x2 + 10x- 3 - 0 + 0 - B. x 1 - ¥ 3 + ¥ 3 1- 3x + 0 + | - x- 3 - | - 0 + - 3x2 + 10x- 3 - 0 + 0 - C. x 1 - ¥ 3 + ¥ 3 1- 3x + 0 - | - x- 3 - | - 0 + - 3x2 + 10x- 3 - 0 + 0 + D. x 1 - ¥ 3 + ¥ 3 1- 3x + 0 - | - x- 3 - | - 0 +
11. - 3x2 + 10x- 3 - 0 + 0 - Lời giải: Bài 4.80: a) Ta có - 4x + 8 = 0 Û x = 2 , a = - 4 0 . Bảng xét dấu x - ¥ - 3 + ¥ 3x + 9 - 0 + c) Ta có x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3), x + 1= 0 Û x = - 1, x + 3 = 0 Û x = - 3 Bảng xét dấu x - ¥ - 3 - 1 + ¥ x + 2 - 0 + | + x- 2 - | - 0 + x2 - 4 + 0 - 0 + éx = 3 2 ê d) Ta có- 3x + 10x- 3 = 0 Û ê 1 êx = ëê 3 Suy ra - 3x2 + 10x- 3 = (x- 3)(1- 3x) Bảng xét dấu x 1 - ¥ 3 3 + ¥ 1- 3x + 0 - | - x- 3 - | - 0 + - 3x2 + 10x- 3 - 0 + 0 - Bài 4.81: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau - 2x + 4 a) x- 3 A. x - ¥ 2 3 + ¥ - 2x + 4 + 0 + | - x- 3 + | - 0 + - 2x + 4 x- 3 + 0 + || - B. x - ¥ 2 3 + ¥ - 2x + 4 + 0 - | - x- 3 - | - 0 + - 2x + 4 x- 3 - 0 + || + C. x - ¥ 2 3 + ¥
12. - 2x + 4 + 0 + | - x- 3 - | + 0 + - 2x + 4 x- 3 - 0 + || - D. x - ¥ 2 3 + ¥ - 2x + 4 + 0 - | - x- 3 - | - 0 + - 2x + 4 x- 3 - 0 + || - 4x- 8 b) x2 - 3x A. x - ¥ 0 2 3 + ¥ 4x- 8 - | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 3 - | - | - 0 + 4x- 8 2 - - x - 3x || + 0 || + B. x - ¥ 0 2 3 + ¥ 4x- 8 + | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 3 - | + | + 0 + 4x- 8 2 - - x - 3x || + 0 || + C. x - ¥ 0 2 3 + ¥ 4x- 8 - | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 3 - | + | + 0 + 4x- 8 2 - - x - 3x || + 0 || + D. x - ¥ 0 2 3 + ¥ 4x- 8 - | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 3 + | - | - 0 + 4x- 8 2 - - x - 3x || + 0 || + c) x(9- x2 )(x + 3) A. x - ¥ - 3 0 3 + ¥
13. x + | - 0 + | + 3- x + | + | + 0 - x + 3 - 0 + | + | + x(9- x2 )(x + 3) - 0 - 0 + 0 - B. x - ¥ - 3 0 3 + ¥ x - | + 0 + | + 3- x + | + | + 0 - x + 3 - 0 + | + | + x(9- x2 )(x + 3) - 0 - 0 + 0 - C. x - ¥ - 3 0 3 + ¥ x - | - 0 + | + 3- x + | + | + 0 - x + 3 - 0 + | + | + x(9- x2 )(x + 3) - 0 + 0 + 0 + D. x - ¥ - 3 0 3 + ¥ x - | - 0 + | + 3- x + | + | + 0 - x + 3 - 0 + | + | + x(9- x2 )(x + 3) - 0 - 0 + 0 - x2 d) - 2 1 (x + 1) A. x 1 - ¥ - 1 - + ¥ 2 2x + 1 - | + 0 + x + 1 - 0 + | + x2 - 2 1 - || - 0 + (x + 1) B. x 1 - ¥ - 1 - + ¥ 2 2x + 1 + | - 0 + x + 1 - 0 + | + x2 - 2 1 - || - 0 + (x + 1) C. x 1 - ¥ - 1 - + ¥ 2
14. 2x + 1 - | - 0 + x + 1 + 0 + | + x2 - 2 1 + || - 0 + (x + 1) D. x 1 - ¥ - 1 - + ¥ 2 2x + 1 - | - 0 + x + 1 - 0 + | + x2 - 2 1 - || - 0 + (x + 1) Lời giải: Bài 4.81: a) Bảng xét dấu x - ¥ 2 3 + ¥ - 2x + 4 + 0 - | - x- 3 - | - 0 + - 2x + 4 x- 3 - 0 + || - 4x- 8 4x- 8 b) Ta có = x2 - 3x x(x- 3) Bảng xét dấu x - ¥ 0 2 3 + ¥ 4x- 8 - | - 0 + | + x - 0 + | + | + x- 3 - | - | - 0 + 4x- 8 2 - - x - 3x || + 0 || + 2 c) Ta có x(9- x2 )(x + 3) = x(3- x)(x + 3) Bảng xét dấu x - ¥ - 3 0 3 + ¥ x - | - 0 + | + 3- x + | + | + 0 - x + 3 - 0 + | + | + x(9- x2 )(x + 3) - 0 - 0 + 0 - 2 2 x2 (x + 1) - x 2x + 1 d) Ta có - = = 2 1 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) Bảng xét dấu x 1 - ¥ - 1 - 2 + ¥ 2x + 1 - | - 0 + x + 1 - 0 + | +
15. x2 - 2 1 - || - 0 + (x + 1) ➢DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) (x- 1)(2- 3x)³ 0 é ù æ ö é ö æ ù 2 ç2 ÷ 2 ÷ ç2 A. S = ê ;1ú B. S = ç ;1÷ C. S = ê ;1÷ D. S = ç ;1ú ëê3 ûú èç3 ÷ø ëê3 ø÷ èç3 ûú b) (x- 2)(x2 - 5x + 4)< 0 A. S = (- ¥ ;1) B. S = (2; 4) C. S = Æ D. S = (- ¥ ;1)È(2; 4) c) (2x- 1)(x3 - 1)£ 0 æ ö é ù é ö æ ù ç1 ÷ 1 1 ÷ ç1 A. S = ç ;1÷ B. S = ê ;1ú C. S = ê ;1÷ D. S = ç ;1ú èç2 ø÷ ëê2 ûú ëê2 ø÷ èç2 ûú d) x( 3x- 3)(3- x2 )£ 0 A. S = (- ¥ ;- 3] B. S = [0;+ ¥ ) C. S = Æ D. S = (- ¥ ;- 3]È[0;+ ¥ ) Lời giải: é = êx 1 a) Ta có (x- 1)(2- 3x)= 0 Û ê 2 êx = ëê 3 Bảng xét dấu x 2 - ¥ 1 3 + ¥ x- 1 - | - 0 + 2- 3x + 0 - | - (x- 1)(2- 3x) - 0 + 0 - é2 ù Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S = ê ;1ú. ëê3 ûú b) Ta có (x- 2)(x2 - 5x + 4)= (x- 2)(x- 1)(x- 4) Bảng xét dấu x - ¥ 1 2 4 + ¥ x- 1 - 0 + | + | + x- 2 - | - 0 + | + x- 3 - | - | - 0 + (x- 2)(x2 - 5x + 4) - 0 + 0 - 0 + Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ;1)È(2; 4).
16. c) Ta có (2x- 1)(x3 - 1)£ 0 Û (2x- 1)(x- 1)(x2 + x + 1)£ 0 2 æ 1ö 3 Û (2x- 1)(x- 1)£ 0 (vì x2 + x + 1= çx + ÷ + > 0 ) èç 2ø÷ 4 Bảng xét dấu x 1 - ¥ 1 2 + ¥ x- 1 - | - 0 + 2x- 1 - 0 + | + (x- 1)(2- 3x) + 0 - 0 + é1 ù Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S = ê ;1ú. ëê2 ûú d) Ta có x( 3x- 3)(3- x2 )£ 0 Û x 3(x- 3)( 3 - x)( 3 + x)£ 0 é 2 ê x = 3 Û - 3x(x- 3) (x + 3)£ 0 Û ê êx x + 3 ³ 0 ëê ( ) Bảng xét dấu x - ¥ - 3 0 + ¥ x - | - 0 + x + 3 - 0 + | + (x- 1)(2- 3x) + 0 - 0 + Suy ra x(x + 3)³ 0 Û x Î (- ¥ ;- 3]È[0;+ ¥ ) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- ¥ ;- 3]È[0;+ ¥ ) Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau - 2x + 4 a) £ 0 (2x- 1)(3x + 1) 1 1 A. S = (- ; ) B. S = [2;+ ¥ ) 3 2 1 1 C. S = (- ; )È[2;+ ¥ ) D. S = Æ 3 2 (x- 3)(x + 2) b) < 1 x2 - 1 A. S = (1;+ ¥ ) B. S = (- 5;- 1) C. S = (- 5;- 1)È(1;+ ¥ ) D. S = Æ 1 1 c) £ 2 (x- 2) x + 4 A. B.S = [4;+ ¥ ) S = (- 4;0] C. S = (- 4;0]È[4;+ ¥ ) D. S = Æ Lời giải: a) Bảng xét dấu
17. x 1 1 - ¥ - 2 3 2 + ¥ 3x + 1 - 0 + | + | + 2x- 1 - | - 0 + | + - 2x + 4 + | + | + 0 - - 2x + 4 (2x- 1)(3x + 1) + || - || + 0 - 1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- ; )È[2;+ ¥ ) 3 2 (x- 3)(x + 2) (x- 3)(x + 2) x + 5 b) Ta có 0 Û > 0 x2 - 1 x2 - 1 (x- 1)(x + 1) Bảng xét dấu x - ¥ - 5 - 1 1 + ¥ x + 5 - 0 + | + | + x + 1 - | - 0 + | + x- 1 - | - | - 0 + x + 5 (x- 1)(x + 1) - 0 + || - || + Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- 5;- 1)È(1;+ ¥ ) ïì x ¹ 2 c) ĐKXĐ: íï îï x ¹ - 4 1 1 1 1 Ta có £ Û - ³ 2 2 0 (x- 2) x + 4 x + 4 (x- 2) x2 - 4x x(x- 4) x(x- 4) Û ³ Û ³ Û ³ 2 0 2 0 0 (x + 4)(x- 2) (x + 4)(x- 2) (x + 4) Bảng xét dấu x - ¥ - 4 0 4 + ¥ x + 4 - 0 + | + | + x - | - 0 + | + x- 4 - | - | - 0 + x(x- 4) - || + 0 - 0 + (x + 4) Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (- 4;0]È[4;+ ¥ ) Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) 2x + 1 3 A. B.S = (- ¥ ;- 3) S = (0;1) C. S = (4;+ ¥ ) D. S = (- ¥ ;- 3)È(0;1)È(4;+ ¥ )
18. c) x + 1 - x- 2 ³ 3 A. B.S = [1;+ ¥ ) C.S = D.[3 ;+ ¥ ) S = [2;+ ¥ ) S = [4;+ ¥ ) Lời giải: 1 a) Với x ³ - ta có bất phương trình tương đương với 2x + 1 1 2 1 Kết hợp với điều kiện x ³ - suy ra bất phương trình có tập nghiệm là (1;+ ¥ ) 2 1 1 Với x - 2 5 1 Kết hợp với điều kiện x 3 ê2x- 1 > 7 b) Ta có 2x- 1 - 4 > 3 Û ê Û ê ëê2x- 1 - 4 é > ê 2x 1 7 êx 4 ê ê Û ê 2x- 1< - 7 Û êx < - 3 ê ê ëê- 1< 2x- 1< 1 ëê0 < x < 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- ¥ ;- 3)È(0;1)È(4;+ ¥ ) . c) Bảng xét dấu x - ¥ - 1 2 + ¥ x + 1 - 0 + | + x- 2 - | - 0 + Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau Với x < - 1 ta có bất phương trình tương đương với - (x + 1)+ (x- 2)³ 3 Û - 3 ³ 3 (vô nghiệm) Với - 1£ x < 2 ta có bất phương trình tương đương với (x + 1)+ (x- 2)³ 3 Û x ³ 2 Kết hợp với điều kiện - 1£ x < 2 suy ra bất phương trình vô nghiệm Với x ³ 2 ta có bất phương trình tương đương với (x + 1)- (x- 2)³ 3 Û 3 ³ 3 Kết hợp với điều kiện x ³ 2 suy ra bất phương trình có nghiệm là x ³ 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [2;+ ¥ ) . Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau: x- 2 - x a) < 1 x 2 A. B.S = ( ;+ ¥ ) S = (- ¥ ;0) 3 2 C. S = (- ¥ ;0)È( ;+ ¥ ) D. S = Æ 3 x- 1 - 1 b) ³ 0 x4 - x2 A. B.S = (- ¥ ;- 1)È(0;+ ¥ )\{- 1} S = (- ¥ ;- 1) C. S = (0;+ ¥ )\{1} D. S = (- ¥ ;- 1)È(0;+ ¥ )\{1}
19. ( x + 1- 2x- 1)( x + 1- 2) c) £ 0 x- 1 A. B.S = [3;+ ¥ ) S = (1; 2] C. D.S = (1; 2]È[3;+ ¥ ) S = Æ Lời giải: a) Với x ³ 2 ta có bất phương trình tương đương với x- 2- x - 2 - 2 x x Kết hợp điều kiện x ³ 2 suy ra tập nghiệm bất phương trình là S1 = [2;+ ¥ ) Với x 0 Û > 0 x x x x Bảng xét dấu x 2 - ¥ 0 3 + ¥ x - 0 + | + 3x- 2 - | - 0 + 3x- 2 x + || - 0 + 2 Kết hợp điều kiện x 0, x + 1- 2 > 0 nên bất phương trình tương đương với
20. ( x + 1- 2x- 1)( x + 1 + 2x- 1)( x + 1- 2)( x + 1 + 2) £ 0 x- 1 (- x + 2)(x- 3) Û £ 0 x- 1 Bảng xét dấu x - ¥ 1 2 3 + ¥ x- 1 - 0 + | + | + - x + 2 + | + 0 - | - x- 3 - | - | - 0 + (- x + 2)(x- 3) + || - 0 + 0 - x- 1 Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2]È[3;+ ¥ ) . Nhận xét: * Đối với bất phương trình phức tạp chúng ta nên đặt điều kiện xác định sau đó rồi rút gọn cho biểu thức chung hoặc rút gọn biểu thức luôn xác định một dấu. * Nhiều khi chúng ta cần phải nhân hay chia với một biểu thức luôn xác định một dấu nhằm khử đi căn thức hay dấu giá trị tuyệt đối thì bài toán trở nên đơn giản hơn. ïì - - ï (x 2)(2 2x) ï ³ 0 (1) Ví dụ 5: Cho hệ bất phương trình íï ï (2x- 1)(x + 2) ï îï mx > 2 (2) a) Giải hệ bất phương trình khi m = - 1 æ 1ö A. B.S = Æ C.S = (- ¥ ;- 2) D.S = ç- 2; ÷È{ 2} S = ¡ èç 2ø÷ b) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm A. - 1 2 . B. - 1 3 . C. - 21 12 . D. - 1 2 . Lời giải: ïì x ¹ - 2 ï ĐKXĐ: í 1 ï x ¹ îï 2 é 2 x- 2 2 - x ê x = 2 ( )( ) ê Ta có (1)Û ³ 0 Û ê 1 (2x- 1)(x + 2) £ 0 ê - + ëê(2x 1)(x 2) Bảng xét dấu x 1 - ¥ - 2 2 + ¥ x + 2 - 0 + | + 2x- 1 - | - 0 + 1 (2x- 1)(x + 2) + || - || +
21. æ 1ö Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là = ç- ÷È S1 ç 2; ÷ { 2} èç 2ø÷ a) Khi m = - 1 ta có bất phương trình (2) trở thành - x > 2 Û x 2 suy ra bất phương trình vô nghiệm do đó hệ bất phương trình vô nghiệm 2 • Với m > 0 bất phương trình (2)Û x > m Đối chiếu với điều kiện ta có 2 1 æ2 ö Nếu ³ Û m £ 4 thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S = ç ;+ ¥ ÷ m 2 2 èçm ø÷ ïì 0 2 îï m î 2 1 æ2 ö ïì 1ïü Nếu thì tập nghiệm bất phương trình (2) là = ç + ¥ ÷ ï ï m 4 S2 ç ; ÷\í ý m 2 èçm ø÷ îï 2þï ïì m > 4 ì ï ï m > 4 Hệ bất phương trình có nghiệm Û S1 ÇS2 ¹ 0 Û í 2 Û í Û m > 4 ï 2 îï m î 2 • Với m - 2 Û m > - 1 thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S = ç- ¥ ; ÷\{- 2} m 2 èç mø÷ ì ï - 1 - 2 îï m > - 1 îï m 2 æ 2 ö Nếu £ - 2 Û m £ - 1 thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S = ç- ¥ ; ÷ m 2 èç mø÷ ì ï m £ - 1 ì ï ï m £ - 1 Hệ bất phương trình có nghiệm Û S1 ÇS2 ¹ 0 Û í 2 Û í (loại) ï > - 2 îï m > - 1 îï m Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi - 1 2 . 3. Bài tập luyện tập Bài 4.82: Giải các bất phương trình sau: a) 3x2 - 10x + 3 ³ 0 1 A. B.T = (- ¥ ; ] T = [3;+ ¥ ) 3 1 C. T = Æ D. T = (- ¥ ; ]È[3;+ ¥ ) 3 b) ( 2 - x)(x2 - 2)(2x- 4)< 0
22. A. B.T = (2;+ ¥ ) T = (- ¥ ;- 2) C. T = Æ D. T = (- ¥ ;- 2)È(2;+ ¥ ) 1 1 1 c) - > x + 9 x 2 é- 9 ê x > ê x > ê x ³ ê ê ê ê A. B.ê 2 C.ê D. 3 ê 3 ê 2 ê 1 ê 1 ê 1 ê 1 ê- 1 1 2x 1 1 A. B.0 C.- D. , - < x £ 0 S = Æ 3 3 3 3 x2 - 2x- 3 h) ³ 0 3 3x- 1 + 3 4- 5x é3 ê < x £ 3 3 A. B.ê2 C. <D.x Vô£ 3 nghiệm x £ - 1 ê 2 ëê x £ - 1 Lời giải: Bài 4.82: a) BXD : x 1 - ¥ 3 3 + ¥ VT + 0 - 0 + 1 Tập nghiệm : T = (- ¥ ; ]È[3;+ ¥ ) 3 b) T = (- ¥ ;- 2)È(2;+ ¥ )
23. (x + 3)(x + 6) é- 9 Û ê 0 ê x(x + 9) ë- 3 8x- 1 ê d) bpt Û £ 0 Û ê 2 (2x- 1)(x + 1) ê 1 ê- 1 - 0 Û 3- 2x > 0 suy ra 3 3x- 1 + 3 4- 5x cùng dấu với 3- 2x é3 x2 - 2x- 3 (x + 1)(x- 3) ê 4 7 7 A. B.x D. Vô nghiệm x 3 3 c) 2x + 3 - 3x + 4 ³ - 5 A. B.- 6 £ x C.x £ D.4 Vô nghiệm - 6 £ x £ 4 Lời giải: 4 7 Bài 4.83: a) d) 3 3 - 6 £ x £ 4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN TỔNG HỢP LẦN 1. Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Câu 1. Số x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. 5- x x .D. 2x- 1> 3. Câu 2. Số x = - 1 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. 3- x 0 . x- 1> 0 1- x x- 1 Câu 3. Số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình > ? 3- x 3- x 3 A. 2 .B. 1 .C. 0 .D. . 2 Câu 4. Số x = - 1 là nghiệm của bất phương trình m- x2 < 2 khi và chỉ khi
24. A. m > 3 .B. m 2 x- 1 Û x > 0 .B.Sa i x + x + 1 > x + 1 Û x > 0 .Đúng 2 C. ( 2x- 3) £ 2 Û 2x- 3 £ 2 . Sai D. x + x- 1 > x- 1 Û x > 0 . Sai Câu 7. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình 2x> 1 ? 1 1 A. 2x + x- 2 > 1+ x- 2 .B. 2x- > . 1- x- 3 x- 3 C. 4x2 > 1.D. 2x + x + 2 > 1+ x + 2 . Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình 3 - 2x 3(2- x) là A. (1;+ ¥ ).B. (- ¥ ; .-C.5 ) . (5;+ ¥ ) D. . (- ¥ ; 5) 1 Câu 10. Tập xác định của hàm số y = là: 2- 3x æ ù æ ö æ ù æ ö ç 2 ç 2÷ ç 3 ç 3÷ A. ç- ¥ ; ú.B. ç- ¥ ; ÷.C. .D.ç- ¥ ; ú . ç- ¥ ; ÷ èç 3ûú èç 3ø÷ èç 2ûú èç 2ø÷ Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình 5x - 2(4- x) > 0 là: æ8 ö æ8 ö æ 8ö æ 8 ö A. ç ;+ ¥ ÷.B. ç ;+ ¥ .C.÷ . ç- ¥ ; ÷D. . ç- ;+ ¥ ÷ èç7 ø÷ èç3 ø÷ èç 7ø÷ èç 7 ø÷ Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình 3x là 5- x 5- x ù A. (- ¥ ; 2).B. (2 .;C.¥ ) .D. ( .2; 5) (- ¥ ; 2û Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình 3- 2x + 2- x < x + 2- x là ù A. (1; 2).B. (1; 2û.C. .D. (- ¥ ;1 .) (1;+ ¥ )
25. 6- x 2x + 3 Câu 17. Phương trình = có bao nhiêu nghiệm ? 1- 4x 1- 4x A. 0 .B. .C. . 1 D. nhiều2 hơn . 2 Câu 18. Tập hợp các giá trị của m để bất phương trình (m2 + 2m)x £ m2 thoả mãn với mọi x là é ù A. (- 2;0).B. {- 2;0} .C. .D. {0} . ë- 2;0û Câu 19. Tập hợp các giá trị của m để bất phương trình (m2 - m)x - 6 .C. .D. m 6 Câu 21. Phương trình x2 - 2mx + m2 + 3m- 1= 0 có nghiệm khi và chỉ khi 1 1 1 1 A. m .B. m .D. . m > - 3 2 2 2 Câu 23. Phương trình x2 + 4mx + 4m2 - 2m- 5 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi - 5 - 5 5 - 5 A. m ³ .B. . m > C. .D. m ³ . m £ 2 2 2 2 ïì 3x + 2 > 2x + 3 Câu 24. Tập nghiệm của hệ bất phương trình íï là: îï 1- x > 0 æ1 ö A. ç ;1÷ .B. .C. (- ¥ ;1) (1;+ ¥ ).D. Æ ( tập rỗng ). èç5 ø÷ 2x- 1 Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình 3x- 2 Câu 26. Tập nghiệm của hệ bất phương trình íï là îï - x- 3 < 0 A. (- 3;+ ¥ ) .B. (- ¥ ; 3).C. (- 3; 3).D. (- ¥ ;- 3)U(3;+ ¥ ). ïì 2x- 5 ³ 0 Câu 27. Tập nghiệm của hệ bất phương trình íï là îï 8- 3x ³ 0 é5 8ù é3 2ù é8 5ù é8 ÷ö A. ê ; ú .B. ê ; ú.C. ê ; ú.D. . ê ;+ ¥ ÷ ëê2 3ûú ëê8 5ûú ëê3 2ûú ëê3 ø÷
26. 1 Câu 28. Tập xác định của hàm số y = + 2x- 1 là: 2- 3x é ö é ö æ ö é ö 1 2÷ 1 3÷ ç2 ÷ 1 ÷ A. ê ; ÷.B. . ê ; ÷C. . ç ;+ D.¥ ÷ . ê ;+ ¥ ÷ ëê2 3ø÷ ëê2 2ø÷ èç3 ø÷ ëê2 ø÷ Câu 29. Tập xác định của hàm số y = 2x- 3 + 4- 3x là é3 4ù é2 3ù é4 3ù A. ê ; ú .B. .C. ê ; ú ê ; ú.D. Æ. ëê2 3ûú ëê3 4ûú ëê3 2ûú Câu 30. Hai đẳng thức: 2x- 3 = 2x- 3; 3x- 8 = 8- 3x cùng xảy ra khi và chỉ khi: 8 2 3 8 8 3 A. £ x £ .B. £ x £ .C. .D.x £ . x ³ 3 3 2 3 3 2 Câu 31. Tập xác định của hàm số y = 3- 2x + 5- 6x là æ 5ù æ 6ù æ 3ù æ 2ù A. ç- ¥ ; ú.B. . ç- ¥ ; úC. . ç- ¥ ; úD. . ç- ¥ ; ú èç 6ûú èç 5ûú èç 2ûú èç 3ûú Câu 32. Tập xác định của hàm số y = 4x- 3 + 5x- 6 là æ ö é ö é ö é ù ç6 ÷ 6 ÷ 3 ÷ 3 6 A. ç ;+ ¥ ÷.B. ê ;+ ¥ ÷.C. .D.ê ;+ ¥ ÷ . ê ; ú èç5 ø÷ ëê5 ø÷ ëê4 ø÷ ëê4 5ûú 1- x x- 1 Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình > là 3- x 3- x A. Æ . B. (1; 3).C. (- ¥ ;1).D. . (- ¥ ; 3) 1 Câu 34. Tập xác định của hàm số y = x- 1 + là x + 4 é é A. ë1;+ ¥ ).B. ë1;+ ¥ )\{4} .C. (1;+ ¥ ) .D.\{ 4} . (- 4;+ ¥ ) Câu 35. Tập hợp nghiêm của bất phương trình x- 1 y? îï x- y = 2a- 1 1 1 1 1 A. a > .B. . a > C. . a > - D. . a 0 Câu 38. Hệ phương trình íï vô nghiệm khi và chỉ khi îï x- m < 3 5 5 7 5 A. m < - .B. m £ - .C. .D. m < . m ³ - 2 2 2 2 ïì x + m £ 0 (1) Câu 39. Cho hệ bất phương trình íï . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: îï - x + 5 < 0 (2)
27. A. m - 5C. . m > 5 D. . m - .B. m .D. . m > - 4 4 4 4 x- 1 Câu 42. Tập nghiệm của bất phương trình > 1 là x- 3 A. Æ . B. ¡ .C. (3;+ ¥ ).D. . (- ¥ ; 5) ïì 2x- 1> 0 Câu 43. Hệ bất phương trình íï có nghiệm khi và chỉ khi îï x- m - .D. . m ³ - 2 2 2 2 ïì 2x- 1³ 3 Câu 44. Tập hợp các giá trị m để hệ bất phương trình íï có nghiệm duy nhất là îï x- m £ 0 é ù A. Æ.B. {2} .C. .D. ë2;+ ¥ . ) (- ¥ ; 2û ïì x + y = 2 Câu 45. Hệ phương trình íï có nghiệm (x; y) với x C. . a .B. m ³ .C. .D. m là 3- x 3- x é A. (- ¥ ; 3) .B. .C. (1; 3) ë1; 3).D. (- ¥ ;1). Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất Câu 50. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x nhỏ hơn 2 ? A. f (x)= 3x + 6 .B. f (x)= 6 .C.– 3 x f (x)= 4 – 3x .D. f (x)= 3x – 6 . 2 Câu 51. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi số x nhỏ hơn - ? 3
28. A. f (x)= - 6x – 4 .B. f (x)= 3x + 2 .C. f (x)= - 3x .D.– 2 f (x)= . 2x + 3 3 Câu 52. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi số x nhỏ hơn - ? 2 A. f (x)= 2x + 3 .B. f (x)= - 2 . x- C.3 f (x)= - 3 . x –D.2 f (x)= - 2 .x + 3 Câu 53. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x lớn hơn 2 ? A. f (x)= 2x – 1 .B. f (x)= .C.x – 2 f (x)= 2x + 5 .D. f (x)= 6- 3x . Câu 54. Nhị thức - 5x + 1 nhận giá trị âm khi 1 1 1 1 A. x - .D. x > . 5 5 5 5 Câu 55. Nhị thức - 3x + 2 nhận giá trị dương khi 3 2 3 2 A. x - . x > 2 3 2 3 Câu 56. Nhị thức - 2x- 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi 3 2 3 2 A. x - D. . x > - 2 3 2 3 Câu 57. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị dương với mọi x nhỏ hơn 2 ? A. f (x)= 3x + 6 .B. f (x)= 6 – 3x .C. f (x)= 4 .D.– 3 x f (x .)= 3x – 6 x2 + 1 Câu 58. Tập xác định của hàm số y = là 1- x ù A. (- ¥ ;1û .B. .C. (1;¥ ) ¡ \{1} .D. (- ¥ ;1). é ù Câu 59. Tập xác định của hàm số y = x- 2m - 4- 2x là ë1; 2û khi và chỉ khi 1 1 1 A. m = - .B. m = 1.C. m = .D. . m > 2 2 2 Câu 60. Tập xác định của hàm số y = x- m - 6- 2x là một đoạn trên trục số khi và chỉ khi 1 A. m = 3 B. m 3 m 2 m > - .D. m > - 2 . 2