Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Bài 1: Góc và cung lượng giác

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Bài 1: Góc và cung lượng giác

1. CHƯƠNG VI CUNG VÀ GểC LƯỢNG GIÁC. CễNG THỨC LƯỢNG GIÁC Đ1: GểC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Đơn vị đo gúc và cung trũn, độ dài cung trũn a) Đơn vị rađian: Cung trũn cú độ dài bằng bỏn kớnh gọi là cung cú số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Gúc ở tõm chắn cung 1 rađian gọi là gúc cú số đo 1 rađian, gọi tắt là gúc 1 rađian 1 rađian cũn viết tắt là 1 rad. Vỡ tớnh thụng dụng của đơn vị rađian người ta thường khụng viết rađian hay rad sau số đo của cung và gúc.a b) Độ dài cung trũn. Quan hệ giữa độ và rađian: Cung trũn bỏn kớnh R cú số đo a (0 Ê a Ê 2p), cú số đo a0 (0 Ê a Ê 360) và cú độ dài là l thỡ: pa a a l = Ra = .R do đú = 180 p 180 0 ổ180ử p Đặc biệt: 1rad = ỗ ữ , 10 = rad . ốỗ p ứữ 180 2. Gúc và cung lượng giỏc. a) Đường trũn định hướng: Đường trũn định hướng là một đường trũn trờn đú ta đó chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều õm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cựng chiều kim đồng hồ là chiều õm). b) Khỏi niệm gúc, cung lượng giỏc và số đo của chỳng. Cho đường trũn định hướng tõm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường v trũn tại U và V . Tia Om cắt đường trũn tại M , tia Om chuyển động + theo một chiều(õm hoặc dương) quay quanh O khi đú điểm M cũng V chuyển động theo một chiều trờn đường trũn. M • Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trựng với tia Ov O m thỡ ta núi tia Om đó quột được một gúc lượng giỏc tia đầu là Ou , tia cuối là Ov . Kớ hiệu (Ou,Ov) - U u • Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trựng với điểm V thỡ ta núi điểm M đó vạch nờn một cung lượng giỏc điểm đầu ỵ U , điểm cuối V . Kớ hiệu là UV • Tia Om quay đỳng một vũng theo chiều dương thỡ ta núi tia Om quay gúc 3600 (hay ), quay hai vũng thỡ ta núi nú quay gúc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều õm một phần tư vũng ta núi p 25 nú quay gúc - 900 (hay - ), quay theo chiều õm ba vũng bốn phần bảy( vũng) thỡ núi nú 2 7 25 50p quay gúc - .3600 (hay - ) 7 7 ỵ • Ta coi số đo của gúc lượng giỏc (Ou,Ov) là số đo của cung lượng giỏc UV c) Hệ thức Sa-lơ. • Với ba tia Ou, Ov, Ow tựy ý ta cú: Sđ(Ou,Ov)+ Sđ(Ov,Ow)= Sđ(Ou,Ow)+ k2p (k ẻ Z) Sđ(Ou,Ov)- Sđ(Ou,Ow)= Sđ(Ow,Ov)+ k2p (k ẻ Z) • Với ba điểm tựy ý U,V ,W trờn đường trũn định hướng ta cú : ỵ ỵ ỵ SđUV + Sđ VW = SđUW+ k2p (k ẻ Z) ỵ ỵ ỵ SđUV- SđUW = SđWV + k2p (k ẻ Z)
2. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIấN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GểC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương phỏp giải. Ngoài việc sử dụng định nghĩa gúc và cung lượng giỏc, cụng thức tớnh độ dài cung trũn khi biết số đo, mối liờn hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chỳng ta cần lưu ý đến kết quả sau: Nếu một gúc(cung) lượng giỏc cú số đo a0 (hay a rad ) thỡ mọi gúc(cung) lượng giỏc cựng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nú cú số đo dạng dạng a0 + k3600 (hay a + k2p rad , k ẻ Z ), mỗi gúc(cung) ứng với mỗi giỏ trị của k . Từ đú hai gúc lượng giỏc cú cựng tia đầu và tia cuối thỡ sai khỏc nhau một bội của 2p 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: a) Đổi số đo của cỏc gúc 720 ra rađian:. 2p 3p 2p 4p A. B. C. D. 5 5 3 5 b) Đổi số đo của cỏc gúc 6000 ra rađian:. 10p 11p 10p 14p A. B. C. D. 3 3 7 3 c) Đổi số đo của cỏc gúc - 37045'30'' ra rađian:. A.0,6587B. 0,6567C. 0,6687D. 0,4587 5p d) Đổi số đo của gúc sau ra độ:. 18 A. 500 B. 200 C. 550 D. 700 3p e) Đổi số đo của gúc sau ra độ:. 5 A.1500 B. 1200 C. 1080 D. 700 f) Đổi số đo của gúc - 4 sau ra độ:. A. - 2260048' B. - 220048' C. - 226048' D. - 260048' Lời giải: p p 2p p 10p a) Vỡ 10 = rad nờn 720 = 72. = ,6000 = 600. = , 180 180 5 180 3
3. 0 0 0 ổ45ử ổ 30 ử ổ4531ử 4531 p - 37045'30'' = - 370 - ỗ ữ - ỗ ữ = ỗ ữ = . ằ 0,6587 ốỗ60ứữ ốỗ60.60ứữ ốỗ 120 ứữ 120 180 0 0 0 ổ180ử 5p ổ5p 180ử 3p ổ3p 180ử b) Vỡ 1rad = ỗ ữ nờn = ỗ . ữ = 50o , = ỗ . ữ = 108o , ốỗ p ứữ 18 ốỗ18 p ứữ 5 ốỗ 5 p ứữ 0 0 ổ 180ử ổ720ử - 4 = - ỗ4. ữ = - ỗ ữ ằ - 2260048' . ốỗ p ứữ ốỗ p ứữ Vớ dụ 2: Một đường trũn cú bỏn kớnh 36m. Tỡm độ dài của cung trờn đường trũn đú cú số đo là 3p a) 4 A.84,8mB. 84,2mC. 84,7mD. 84,4m b) 510 A.32,04mB. 32,4mC. 32,7mD. 32,09m 1 c) 3 A.12B.14C.14,5D.11 Lời giải: pa Theo cụng thức tớnh độ dài cung trũn ta cú l = Ra = .R nờn 180 3p a) Ta cú l = Ra = 36. = 27p ằ 84,8m 4 pa p51 51p b) Ta cú l = .R = .36 = ằ 32,04m 180 180 5 1 c) Ta cú l = Ra = 36. = 12m 3 Vớ dụ 3: Cho hỡnh vuụng A0 A1A2 A4 nội tiếp đường trũn tõm O (cỏc đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược ỵ ỵ chiều quay của kim đồng hồ). Tớnh số đo của cỏc cung lượng giỏc A0 Ai , Ai Aj ( i, j = 0,1,2,3,4,i ạ j ). Lời giải: ỵ ã A1 A0 Ta cú A0OA0 = 0 nờn sđ A0 A0 = k2p , k ẻ Z ã p ỵ p A0OA1 = nờn sđ A0 A1 = + k2p , k ẻ Z 2 2 O ã ỵ A0OA2 = p nờn sđ A0 A1 = p + k2p , k ẻ Z ã p ỵ p 3p A2 A3 A OA = nờn sđ A A = 2p - + k2p = + k2p , k ẻ Z 0 3 2 0 3 2 2 ỵ ip Như vậy sđ A A = + k2p , i = 0,1,2,3 , k ẻ Z 0 i 2 ỵ ỵ ỵ p Theo hệ thức salơ ta cú sđ A A =sđ A A - sđ A A + k2p = (j- i). + k2p , k ẻ Z . i j 0 j 0 i 2 Vớ dụ 4: Tỡm số đo a của gúc lượng giỏc (Ou,Ov) với 0 Ê a Ê 2p , biết một gúc lượng giỏc cựng tia đầu, tia cuối với gúc đú cú số đo là: 33p a) 4 p 3p 11p 7p A. B. C. D. 4 4 4 4
4. 291983p b) - 3 p p p p A. B. C. D. 3 5 7 6 c) 30 A.4,867B. 4,67C. 4,87D. 4,86 Lời giải: 33p a) Mọi gúc lượng giỏc (Ou,Ov) cú số đo là + k2p, k ẻ Z 4 33p 33 Vỡ 0 Ê a Ê 2p nờn 0 Ê + k2p Ê 2p, k ẻ Z Û 0 Ê + k2 Ê 2, k ẻ Z 4 4 33 25 Û - Ê k Ê - , k ẻ Z Û k = - 4 8 8 33p p Suy ra a = + (- 4).2p = 4 4 291983p b) Mọi gúc lượng giỏc (Ou,Ov) cú số đo là - + k2p, k ẻ Z 3 291983p 291983 Vỡ 0 Ê a Ê 2p nờn 0 Ê - + k2p Ê 2p, k ẻ Z Û 0 Ê - + k2 Ê 2, k ẻ Z 3 3 291983 291989 Û Ê k Ê , k ẻ Z Û k = 6 6 291983p p Suy ra a = - + 48664.2p = 3 3 c) Mọi gúc lượng giỏc (Ou,Ov) cú số đo là 30 + k2p, k ẻ Z 15 Vỡ 0 Ê a Ê 2p nờn 0 Ê 30 + k2p Ê 2p, k ẻ Z Û 0 Ê + k Ê 1, k ẻ Z p 15 p - 15 Û - Ê k Ê , k ẻ Z Û k = - 4 p p Suy ra a = 30 + (- 4).2p = 30- 8p ằ 4,867 . p 29p 22 6p 41p Vi dụ 5: Cho gúc lượng giỏc (Ou,Ov) cú số đo - . Trong cỏc số - ; - ; ; , những số 7 7 7 7 7 nào là số đo của một gúc lượng giỏc cú cựng tia đầu, tia cuối với gúc đó cho? 29p 41p 29p 22 22 41p 6p 41p A. - ; B. - ; - C. - ; D. ; 7 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải: Hai gúc cú cựng tia đầu, tia cuối thỡ sai khỏc nhau một bội của 2p do đú 29p ổ pử 22 ổ pử 6p ổ pử 41p ổ pử Vỡ - - ỗ- ữ= (- 2).2p , - - ỗ- ữ= - 3p , - ỗ- ữ= p và - ỗ- ữ= 3.2p nờn cỏc số 7 ốỗ 7 ứữ 7 ốỗ 7 ứữ 7 ốỗ 7 ứữ 7 ốỗ 7 ứữ 29p 41p - ; là số đo của một gúc lượng giỏc cú cựng tia đầu, tia cuối với gúc đó cho. 7 7 Vớ dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov)= a và sđ (Ou', Ov')= b . Chứng minh rằng hai gúc hỡnh học uOv, u'Ov' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k ẻ Z . Lời giải: Ta cú sđ(Ou, Ov)= a và sđ(Ou', Ov')= b suy ra tồn tại a0 , p < a0 Ê p , f 0 , p < b0 Ê p và số nguyờn k0 ,l0 sao cho a = a0 + k0 2p, b = b0 + l0 2p . ã ã Khi đú a0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u'Ov' .
5. ộa = b Hai gúc hỡnh học uOv, u'Ov' bằng nhau khi và chỉ khi a = b Û ờ 0 0 0 0 ờa = - b ở 0 0 Û b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k ẻ Z . 3. Bài tập luyện tập. Bài 6.0: a) Đổi số đo của gúc sau ra rađian: 200 .( chớnh xỏc đến 0,001 ) A.0,349B. 0,391C. 0,493D. 0,342 a) Đổi số đo của gúc sau ra rađian: 40025' .( chớnh xỏc đến 0,001 ) A.0,705B. 0,732C. 0,752D. 0,051 a) Đổi số đo của gúc sau ra rađian: - 270 .( chớnh xỏc đến 0,001 ) A.- 0,471 B. - 0,477 C. - 0,432 D. - 0,472 p b) Đổi số đo của gúc sau ra độ: . 17 A. 10035'58'' B. 1003'58'' C. 1006'58'' D. 10035'8'' 2p b) Đổi số đo của gúc sau ra độ: - . 7 A. - 51024'7'' B. - 5024'9'' C. - 5104'9'' D. - 51024'9'' b) Đổi số đo của gúc sau ra độ: - 5 . A. - 286028'4'' B. - 28602'44'' C. - 28028'44'' D. - 286028'44'' Lời giải: Bài 6.0: a) 200 ằ 0,349, 40025' ằ 0,705, - 270 ằ - 0,471 p 2p b) = 10035'58'', - = - 51024'9'',- 5 = - 286028'44'' 17 7 39p mp Bài 6.1: Hai gúc lượng giỏc cú số đo và ( m là số nguyờn ) cú thể cựng tia đầu, tia cuối được 7 9 khụng? A.KhụngB.Cú C. Cú thể cú D. A, B, C đều sai Lời giải: mp 39p Bài 6.1: Giả sử hai gúc cú cựng tia đầu, tia cuối khi đú - = k2p , k ẻ Z 9 7 351 Hay 7m- 9.39. = 9.7.k2 Û 7(m- 18k)= 351 Û m- 18k = với k,m ẻ Z . 7 Vỡ vế trỏi là một số nguyờn, vế phải là số thập phõn nờn dẫn tới vụ lớ. 39p mp Vậy hai gúc lương giỏc và ( m là số nguyờn ) khụng thể cựng tia đầu, tia cuối. 7 9 Bài 6.2: Một đường trũn cú bỏn kớnh 25m . Tỡm độ dài của cung trờn đường trũn đú cú số đo là 3p a) 7 A.33,66mB. 33,6mC. 34,66mD. 35,66m b) 490 A.21,38mB. 21,8mC. 21,3mD. 21,21m 4 c) 3 A.33,333mB. 33,673mC. 33,443mD. 33,356m Lời giải: 3p Bài 6.2: a) Ta cú l = Ra = 25. ằ 33,66m 7 pa p49 b) Ta cú l = .R = .25 ằ 21,38m 180 180
6. 4 c) Ta cú l = Ra = 25. ằ 33,333m 3 Bài 6.3: Tỡm số đo a0 của gúc lượng giỏc (Ou,Ov) với 0 Ê a Ê 360 , biết một gúc lượng giỏc cựng tia đầu, tia cuối với gúc đú cú số đo là: a) 3950 A. 350 B. 950 C. 300 D. 460 b) - 10520 A. 280 B. 870 C. 220 D. 80 0 c) (20p) 0 0 0 0 A. (31p) B. (25p) C. (29p) D. (20p) Lời giải: 0 Bài 6.3: a) 350 b) 280 c) (20p)