›
›
›

Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Bài 3: Một số công thức lượng giác

doc 47 trang hangtran11 10/03/2022 3780
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Bài 3: Một số công thức lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_cuong_on_tap_dai_so_lop_10_chuong_6_cung_va_goc_luong_gia.doc

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Bài 3: Một số công thức lượng giác

  1. §3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức cộng: sin(a + b) = sin a.cosb + sin b.cos a sin(a- b) = sin a.cosb- sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cosb - sin a.sin b cos(a- b) = cos a.cosb+ sin a.sin b tan a + tan b tan(a + b) = 1- tan a.tan b tan a- tan b tan(a- b) = 1+ tan a.tan b 2. Công thức nhân đôi, hạ bậc: a) Công thức nhân đôi. sin 2a = 2sina.cosa cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a 2 tana tan 2a = 1- tan2 a b) Công thức hạ bậc. 1- cos 2a sin2 a = 2 1+ cos 2a cos2 a = 2 1- cos 2a tan2 a = 1+ cos 2a 3. Công thức biến đổi tích thành tổng. 1 cos acosb = écos(a + b)+ cos(a- b)ù 2 ë û 1 sin asin b = - écos(a + b)- cos(a- b)ù 2 ë û 1 sin acosb = ésin(a + b)+ sin(a- b)ù 2 ë û 4. Công thức biển đổi tổng thành tích. a + b a- b sin(a + b) cos a + cosb = 2cos .cos tan a + tan b = 2 2 cos a.cosb a + b a- b sin(a- b) cos a- cosb = - 2sin .sin tan a- tan b = 2 2 cos a.cosb a + b a- b sin(a + b) sin a + sin b = 2sin .cos cot a + cot b = 2 2 sin a.sin b a + b a- b sin(b- a) sin a- sin b = 2cos .sin cot a- cot b = 2 2 sin a.sin b B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
  2.  DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos7950 . 6 - 2 6 + 2 6 2 A. B. C. D. 4 4 4 4 b)Tính giá trị lượng giác sau: sin180 5 - 1 5 - 2 5 - 1 5 - 1 A. B. C. D. 2 2 3 4 7p c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan 12 A.- 2- 3 B. - 2 + 3 C. 2- 3 D. - 2- 2 3 5p d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot 8 A. 1- 2 B. 3- 2 C. 2- 2 D. 1- 2 2 Lời giải: a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên 3 2 1 2 6 - 2 cos7950 = cos750 = cos 300 cos 450 - sin 300 sin 450 = . - . = 2 2 2 2 4 b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos 360 Mà cos 360 = cos(2.180 )= 1- 2sin2 180 sin 540 = sin(180 + 360 )= sin180 cos 360 + sin 360 cos180 = sin180.(1- 2sin2 180 )+ 2sin180 cos2 180 = sin180.(1- 2sin2 180 )+ 2sin180 (1- sin2 180 ) = 3sin180 - 4sin3 180 Do đó 3sin180 - 4sin3 180 = 1- 2sin2 180 Û (sin180 - 1)(4sin2 180 + 2sin180 - 1)= 0 5 - 1 5 + 1 Û sin180 = 1 hoặc sin180 = hoặc sin180 = 2 2 5 - 1 Vì 0 < sin180 < 1 nên sin180 = . 2
  3. p p tan + tan 7p æp pö 3 + 1 c) tan = tanç + ÷= 3 4 = = - 2- 3 12 èç3 4ø÷ p p 1- tan tan 1- 3 3 4 5p æp pö p d) cot = cotç + ÷= - tan 8 èç2 8 ø÷ 8 p p æ pö 2 tan Ta lại có = = ç ÷= 8 suy ra 1 tan tanç2. ÷ 4 è 8 ø 2 p 1- tan 8 p p p p 1- tan2 = 2 tan Û tan2 + 2 tan - 1= 0 8 8 8 8 p p Û tan = - 1- 2 hoặc tan = - 1+ 2 8 8 p p Do tan > 0 nên tan = - 1+ 2 8 8 5p Vậy cot = 1- 2 8 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin 22030'cos 202030' 2 2 2 3 2 A.- B. - C. - D- 4 5 3 4 p p b) B = 4sin4 + 2cos 16 8 6 + 2 5+ 2 3+ 2 6- 2 A. B. C. D. 4 4 4 4 p 2p sin - sin c) C = 5 15 p 2p cos - cos 5 15 A.- 3 B. 3 C. - 3 3 D. - 2 3 p 5p 7p d) D = sin - sin + sin 9 9 9 A.0 B. 3 C. - 3 3 D. - 2 3 Lời giải: a) Cách 1: Ta có cos 202030' = cos(1800 + 22030')= - cos 22030' 1 2 Do đó A = - sin 22030'cos 22030' = - sin 450 = - 2 4
  4. 1 é 0 0 0 0 ù 1 é 0 0 ù Cách 2: A = êsin(22 30'+ 202 30')+ sin(22 30'- 202 30')ú= êsin 225 + sin(- 180 )ú 2 ë û 2 ë û 1 é 0 0 0 ù 1 0 2 = êsin(180 + 45 )- sin180 ú= - sin 45 = - 2 ë û 2 4 2 2 æ p ö p é æ p öù p b) = ç 2 ÷ + = ê - ç ÷ú + B ç2sin ÷ 2cos ê1 cosç2. ÷ú 2cos è 16ø 8 ë è 16øû 8 p 2 1+ cos 1+ p p p 6 + 2 = 1- 2cos + cos2 + 2cos = 1+ 4 = 1+ 2 = 8 8 8 2 2 4 æ ö æ ö p 2p 1 çp 2p÷ 1 çp 2p÷ p sin - sin 2cos ç + ÷sin ç - ÷ cos 2 èç5 15 ø÷ 2 èç5 15 ø÷ p c) C = 5 15 = = - 6 = - cot = - 3 p 2p 1 æp 2pö 1 æp 2pö p 6 cos - cos - 2sin ç + ÷sin ç - ÷ sin 5 15 2 èç5 15 ø÷ 2 èç5 15 ø÷ 6 æ p 7pö 5p 4p p 5p 4p 5p d) D = çsin + sin ÷- sin = 2sin .cos - sin = sin - sin = 0 èç 9 9 ø÷ 9 9 3 9 9 9 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: 1 1 a) A = + cos 2900 3 sin 2500 4 3 3 2 3 3 A. B. C. D. 3 2 3 3 b) B = (1+ tan 200 )(1+ tan 250 ) A.2B.1C.3D.5 c) C = tan 90 - tan 270 - tan 630 + tan 810 A.2B.4C.3D.5 p 2p p 2p d) D = sin2 + sin2 + sin sin 9 9 9 9 3 1 A.2B. C. D.5 4 2 Lời giải: a) Ta có cos 2900 = cos(1800 + 900 + 200 )= - cos(900 + 200 )= sin 200 sin 2500 = sin(1800 + 900 - 200 )= - sin(900 - 200 )= - cos 200 3 0 1 0 0 0 cos 20 - sin 20 1 1 3 sin 20 - sin 20 C = - = = 4 2 2 sin 200 3 cos 200 3 sin 200.cos 200 3.2.sin 200.cos 200
  5. sin 600 cos 200 - cos600 sin 200 4sin 400 4 3 = 4 = = 3 sin 400 3 sin 400 3 æ 0 öæ 0 ö 0 0 0 0 ç sin 20 ÷ç sin 25 ÷ sin 20 + cos 20 sin 25 + cos 25 b) Cách 1: Ta có B = ç1+ ÷ç1+ ÷= . èç cos 200 ø÷èç cos 250 ø÷ cos 200 cos 250 sin 200 cos 450 + cos 200 sin 450 sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450 = 2. . 2. cos 200 cos 250 sin 650 sin700 = 2 = 2 cos 200 cos 250 tan 200 + tan 250 Cách 2: Ta có tan 450 = tan(200 + 500 )= 1- tan 200 tan 250 tan 200 + tan 250 Suy ra 1= Û tan 200 + tan 250 + tan 200 tan 250 = 1 1- tan 200 tan 250 Û (1+ tan 200 )(1+ tan 250 )= 2 . Vậy B = 2 c) C = tan 90 + tan 810 - (tan 270 + tan 630 ) sin 90 cos810 + sin 810 cos90 sin 270 cos630 + sin 630 cos 270 = - cos90 cos810 cos 270 cos630 0 0 1 1 2 2 2(sin 54 - sin18 ) = - = - = cos90 sin 90 cos 270 sin 270 sin180 sin 540 sin180 sin 540 4cos 360.sin180 = = 4 sin180.sin 540 2 p 2p p 2p æ p 2pö p 2p d) D = sin2 + sin2 + sin sin = çsin + sin ÷ - sin sin 9 9 9 9 èç 9 9 ø÷ 9 9 2 æ p p ö 1 æ p pö p 1 æ1 pö = ç2sin cos ÷ + çcos - cos ÷= cos2 + ç - cos ÷ èç 6 18ø÷ 2 èç 3 9 ø÷ 18 2 èç2 9 ø÷ p 1+ cos 1 æ1 pö 3 = 9 + ç - cos ÷= 2 2 èç2 9 ø÷ 4 Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng é ù ê1 3 ú p • sin x ± 3 cos x = 2 ê sin x ± cos xú= 2sin(x ± ) ëê2 2 ûú 3 é ù ê 3 1 ú p • 3 sin x ± cos x = 2 ê sin x ± cos xú= 2sin(x ± ) ëê2 2 ûú 6
  6. é 1 1 ù p • ± = ê ± ú= ± . sin x cos x 2 ê sin x cos xú 2 sin(x ) ë 2 2 û 4 Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: p p p p a) A = sin cos .cos .cos 32 32 16 8 3 2 3 12 2 A. B. C. D. 16 16 16 16 b) B = sin10o.sin 30o.sin 50o.sin70o 1 3 1 A. B. C. D.5 16 4 2 p 3p c) C = cos + cos 5 5 3 1 A.2B. C. D.5 4 2 p 2p 3p d) D = cos2 + cos2 + cos2 7 7 7 3 5 A.2B. C. D.5 4 4 Lời giải: 1 æ p p ö p p 1 p p p 1 p p 1 p 2 a) A = ç2sin cos ÷.cos .cos = sin .cos .cos = sin .cos = sin = 2 èç 32 32ø÷ 16 8 2 16 16 8 4 8 8 8 4 16 1 b) Ta có B = cos 200 cos 400 cos80o do đó 2 16sin 200.B = 8sin 200 cos 200 cos 400 cos80o = 4sin 400 cos 400 cos80o = 2sin 800 cos800 = sin1600 sin1600 1 Suy ra B = = . 16sin 200 16 p 2p p c) Ta có C = 2cos cos . Vì sin ¹ 0 nên 5 5 5 p p p 2p 2p 2p 4p 2sin .C = 4sin cos cos = 2sin cos = sin 5 5 5 5 5 5 5 1 Suy ra C = 2 2p 4p 6p 1+ cos 1+ cos 1+ cos 3 1 æ 2p 4p 6pö c) D = 7 + 7 + 7 = + çcos + cos + cos ÷ 2 2 2 2 2 èç 7 7 7 ø÷
  7. 2p 4p 6p p Xét T = cos + cos + cos , vì sin ¹ 0 nên 7 7 7 7 p p 2p p 4p p 6p 2sin T = 2sin cos + 2sin cos + 2sin cos 7 7 7 7 7 7 7 æ 3p pö æ 5p 3pö æ 5pö = çsin - sin ÷+ çsin - sin ÷+ çsin p - sin ÷ èç 7 7 ø÷ èç 7 7 ø÷ èç 7 ÷ø p = - sin 7 1 Suy ra T = - . 2 3 1 æ 1ö 5 Vậy D = + .ç- ÷= . 2 2 èç 2÷ø 4 2 6 Ví dụ 5: Cho a ,b thoả mãn sina + sin b = và cosa + cosb = . 2 2 a) Tính cos(a - b) . 3 5 A.0B. C. D.5 4 4 b) Tính sin(a + b). 3 5 3 A.2B. C. D. 4 4 2 Lời giải: 2 1 • Ta có sina + sin b = Û sin2 a + sin2 b + 2sina sin b = (1) 2 2 6 3 cosa + cosb = Û cos2 a + cos2 b + 2cosa cosb = (2) 2 2 Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2sina sin b + 2cosa cosb = 2 Û 2 + 2(sina sin b + cosa cosb)= 2 Û 2cos(a - b)= 0 Vậy cos(a - b)= 0 2 6 • Từ giả thiết ta có (sina + sin b)(cosa + cosb)= . 2 2 3 Û sina cosa + sina cosb + sin b cosa + sin b cosb = 2 1 3 Û (sin 2a + sin 2b)+ sin(a + b)= 2 2 Mặt khác sin 2a + sin 2b = 2sin(a + b)cos(a - b)= 0 (Do cos(a - b)= 0 )
  8. 3 Suy ra sin(a + b)= 2 3. Bài tập rèn luyện. p Bài 6.26: a)Tính giá trị lượng giác sau sin 8 1- 2 2- 2 3- 2 2- 2 2 A. B. C. D. 2 2 2 2 p b) Tính giá trị lượng giác sau sin 16 2- 2 2 + 2 2- 2 + 2 2 + 2 + 2 2- 2 + 2 A. B. C. D. 2 3 7 2 11p c) Tính giá trị lượng giác sau cot 12 A.- 2- 3 B. - 2 + 3 C. 2- 3 D. - 2- 2 3 Lời giải: Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính được p p 2- 2 p 2- 2 2sin2 = 1- cos = Þ sin = 8 4 2 8 2 p p 2 + 2 p 2- 2 + 2 2sin2 = 1- cos = 1- Þ sin = 16 8 2 16 2 p p 1+ tan tan 11p p æp pö 1+ 3 cot = - cot = - cotç - ÷= - 3 4 = - = - 2- 3 12 12 èç3 4ø÷ p p tan - tan 3 - 1 3 4 Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau: a) A = 4sin 450 cos120 cos 30 - sin 540 - sin 360 1+ 3 1+ 2 3 1- 3 1+ 3 A. B. C. D. 2 2 2 3 b) B = (1- cot 230 )(1- cot 220 ) A.2B.3C.4D.5 p 5p 7p c) C = cos + cos + cos 9 9 9 A.0B.3C.4D.5
  9. p p 2sin + 2 sin d) D = 5 20 p p 2cos - 2 sin 5 20 A.1B.3C.4D.5 Lời giải: Bài 6.27:a) 4sin 450 cos120 cos 30 - sin 540 - sin 360 = 2sin 450 (cos150 + cos90 )- 2sin 450 cos90 1+ 3 2sin 450 cos150 = sin 300 + sin 600 = 2 æ 0 öæ 0 ö 0 - 0 0 - 0 ç cos 23 ÷ç cos 22 ÷ 2 sin(23 45 ). 2 sin(22 45 ) b) C1: B = ç1- ÷ç1- ÷= = 2 èç sin 230 ø÷èç sin 220 ø÷ sin 230 sin 220 cot 220 cot 230 - 1 C2: 1= cot 450 = cot(220 + 230 )= Þ B = 2 cot 220 + cot 230 3p 2p 7p 2p 7p c) C = 2cos cos + cos = cos + cos = 0 9 9 9 9 9 p p p p 3p p p p 2sin + 2sin cos 2sin + sin - sin 2sin cos d) D = 5 20 4 = 5 10 5 = 4 10 = 1 p p p p 3p p p p 2cos - 2sin sin 2cos + cos - cos 2cos cos 5 20 4 5 10 5 4 10 Bài 6.28: Tính: p a) Tính giá trị lượng giác của góc cos 12 2 + 6 1+ 2 3 1- 3 1+ 3 A. B. C. D. 4 2 2 3 p p b) cos4 - sin4 24 24 2 + 6 1+ 2 3 1- 3 1+ 3 A. B. C. D. 4 2 2 3 c) cos 360 - cos720 2 + 6 1+ 2 3 1 1+ 3 A. B. C. D. 4 2 2 3 d) sin100 sin 500 sin700 2 + 6 1 1 1+ 3 A. B. C. D. 4 8 2 3
  10. Lời giải: p æp pö p p p p 2 + 6 Bài 6.28: a) cos = cosç - ÷= cos cos + sin sin = 12 èç3 4ø÷ 3 4 3 4 4 p 6 - 2 p p Tương tự sin = ,tan = 2- 3,cot = 2 + 3 12 4 12 12 p p æ p p öæ p p ö p 2 + 6 b) cos4 - sin4 = çcos2 + sin2 ÷çcos2 - sin2 ÷= cos = 24 24 èç 24 24ø÷èç 24 24ø÷ 12 4 2(cos 360 - cos720 )(cos 360 + cos720 ) c) cos 360 - cos720 = = 2(cos 360 + cos720 ) 2cos2 360 - 2cos2 720 cos720 - cos1440 1 = = 2(cos 360 + cos720 ) 2(cos 360 + cos720 ) 2 d) 8sin 200 sin100 sin 500 sin700 = 8sin 200 cos 200 cos 400 cos800 = 4sin 400 cos 400 cos800 = 2sin 800 cos800 = sin1600 = sin 200 1 Þ sin100 sin 500 sin700 = 8 Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = cos2 730 + cos2 470 + cos730 cos 470 3 1 1 1+ 3 A. B. C. D. 4 8 2 3 b) B = sin 60 sin 420 sin 660 sin780 1 1 1 1+ 3 A. B. C. D. 16 8 2 3 p 4p 5p c) C = cos cos cos 7 7 7 1 1 1 1+ 3 A. B. C. D. 16 8 2 3 1 d) D = - 4sin700 sin100 1 1 1 A. B. C. D. 2 16 8 2 Lời giải:
  11. 2 2 1 Bài 6.29: a) A = (cos730 + cos 470 ) - cos730 cos 470 = (2cos600 cos180 ) - (cos1200 + cos 360 ) 2 1+ cos 360 1 cos 360 3 = + - = 2 4 2 4 sin120 sin 240 sin 480 sin 960 1 b) B = sin 60 cos 480 cos 240 cos120 = . . . = 2cos60 2sin120 2sin 240 2cos 480 16 2p 4p 8p sin sin sin p 4p 2p 1 c) C = - cos cos cos = - 7 . 7 . 7 = 7 7 7 p 2p 4p 8 2sin 2sin 2sin 7 7 7 0 0 1- 4sin700 sin100 1+ 2(cos80 - cos60 ) d) D = = = 2 sin100 sin100 Bài 6.30: Cho a ,b thoả mãn sina + sin b = m và cosa + cosb = n , mn ¹ 0 . Tính cos(a - b) m2 + n2 3m2 + n2 m2 - n2 m2 + n2 A. - 1 B. - 2m C. - 1 D. - 2n 2 2 2 2 Tính cos(a + b) n2 - m2 3m2 + n2 m2 - n2 m2 + n2 A. B. - 2m C. - 1 D. - 2n m2 + n2 2 2 2 Tính sin(a + b). n2 - m2 2mn m2 - n2 m2 + n2 A. B. C. - 1 D. - 2n m2 + n2 m2 + n2 2 2 Lời giải: 2 2 Bài 6.30: + Ta có (sina + sin b) + (cosa + cosb) = m2 + n2 Û sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2sina sin b + 2cosa cosb = m2 + n2 m2 + n2 Û cos(a - b)= - 1 2 2 2 + (cosa + cosb) - (sina + sin b) = n2 - m2 Û cos 2a + cos 2b + 2cos(a + b)= n2 - m2 Û a + b a - b + a + b = 2 - 2 Û a + b é a - b + ù= 2 - 2 2cos( )cos( ) 2cos( ) n m 2cos( )ëêcos( ) 1ûú n m m2 + n2 n2 - m2 Suy ra 2cos(a + b). = n2 - m2 Þ cos(a + b)= 2 m2 + n2 + (sina + sin b)(cosa + cosb)= mn
  12. Û sina cosa + sina cosb + sin b cosa + sin b cosb = mn 1 Û (sin 2a + sin 2b)+ sin(a + b)= mn Û sin(a + b)cos(a - b)+ sin(a + b)= mn 2 m2 + n2 2mn sin(a + b)= mn Þ sin(a + b)= 2 m2 + n2 Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau: p 7p 13p 19p 25p a) A = sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30 1 1 1 1 A. B. C. D. 32 2 4 8 b) cos 24o + cos 48o - cos84o - cos12o 1 1 1 1 A. B. C. D. 32 2 4 8 p 2p 3p c) cos - cos + cos 7 7 7 1 1 1 1 A. B. C. D. 32 2 4 8 Lời giải: 1 1 1 Bài 6.31: a) b) c) 32 2 2 Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau: p 4p 5p a) A = cos .cos .cos 7 7 7 1 3 1 1 A. B. C. D. 8 8 16 32 b) B = cos100.cos 500.cos700 1 3 1 1 A. B. C. D. 8 8 16 32 c) C = sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin78o 1 3 1 1 A. B. C. D. 8 8 16 32
  13. 2p 4p 8p 16p 32p d) E = cos .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31 1 3 1 1 A. B. C. D. 8 8 16 32 e) F = sin 5o.sin15o.sin 25o sin75o.sin 85o 1 3 1 2 A. B. C. D. 8 8 16 512 Lời giải: 1 3 1 1 Bài 6.32: a) b) c) d) e) 8 8 16 32 Bài 6.33: Tính A = (1+ tan10 )(1+ tan 20 ) (1+ tan 450 ) 3 2 A. 223 B. C. 224 D. 8 512 Lời giải: 2 cos(450 - k0 ) Bài 6.33: 1+ tan k0 = Þ (1+ tan k0 )(1+ tan(450 - k0 ))= 2 cos k0 Do đó A = 223 2p Bài 6.34: Tính A = cosa cos 2a cos 3a cos999a với a = 1999 1 2 A. 223 B. C. 224 D. 2999 512 Lời giải: Bài 6.34: Đặt B = sina sin 2a sin 3a sin 999a khi đó 2999 A.B = sin 2a sin 4a sin1998a = a a a é- p - a ù é- p - a ù= (sin 2 sin 4 sin 998 ).ëê sin(2 1002 )ûú ëê sin(2 1998 )ûú B 1 Suy ra A = . 2999  DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN. 1. Các ví dụ minh họa. 4 p p Ví dụ 1: Cho cos 2x = - , với < x < . 5 4 2
  14. a) Tính sin x, . 2 3 1 2 A. B. C. D. 3 10 10 10 10 b) Tính cos x . 2 3 1 2 A. B. C. D. 3 10 10 10 10 æ pö c) Tính sinçx + ÷. èç 3ø÷ 3+ 3 2 + 3 1+ 2 3 1+ 3 A. B. C. D. 2 10 2 10 2 10 2 10 æ pö d) Tính cosç2x- ÷. èç 4ø÷ 2 3 3 2 A.- B. C. - D. 10 10 10 10 Lời giải: p p Vì 0, cos x > 0 . 4 2 Áp dụng công thức hạ bậc, ta có : 1- cos 2x 9 3 sin2 x = = Þ sin x = 2 10 10 1+ cos 2x 1 1 cos2 x = = Þ cos x = 2 10 10 Theo công thức cộng, ta có æ ö ç p÷ p p 3 1 1 3 3+ 3 sinçx + ÷= sin xcos + cos xsin = . + . = èç 3ø÷ 3 3 10 2 10 2 2 10 æ ö ç p÷ p p 4 2 2 3 1 2 cosç2x- ÷= cos 2xsin + cos sin 2x = - . + .2. . = - èç 4ø÷ 4 4 5 2 2 10 10 10 p Ví dụ 2: Cho cos 4a + 2 = 6sin2 a với < a < p . Tính tan 2a . 2 A. tan 2a = - 3 3 B. tan 2a = - 2 3 C. tan 2a = - 3 D. tan 2a = 3 Lời giải: Ta có cos 4a + 2 = 6sin2 a Û 2cos2 2a - 1+ 2 = 3(1- cos 2a)
  15. 1 Û 2cos2 2a + 3cos 2a - 2 = 0 Û (2cos 2a - 1)(cos 2a + 2)= 0 Û cos 2a = (Vì cos 2a + 2 > 0 ) 2 1 1 Ta có 1+ tan2 2a = Þ tan2 2a = - 1= 3 cos2 2a cos2 2a p Vì 0 do đó tan 2a < 0 2 Vậy tan 2a = - 3 1 1 1 1 Ví dụ 3: Cho + + + = 7 . Tính cos 4a . tan2 a cot2 a sin2 a cos2 a 7 7 7 7 A. cos 4a = - B. cos 4a = - C. cos 4a = - D. cos 4a = - 10 11 12 9 Lời giải: 1 1 1 1 Ta có + + + = 7 tan2 a cot2 a sin2 a cos2 a sin2 a + 1 cos2 a + 1 Û + = 7 cos2 a sin2 a sin2 a (sin2 a + 1)+ cos2 a (cos2 a + 1) Û = 7 sin2 a cos2 a Û sin4 a + cos4 a + 1= 7 sin2 a cos2 a 2 Û (sin2 a + cos2 a) - 2sin2 a cos2 a + 1= 7 sin2 a cos2 a Û 2 = 9sin2 a cos2 a 2 Û 8 = 9(2sina cosa) Û 8 = 9sin2 2a Û 16 = 9(1- cos 4a) 7 Û cos 4a = - 9 7 Vậy cos 4a = - 9 a æa + 2013pö Ví dụ 4: Cho sina + cosa = cot với 0 < a < p . Tính tanç ÷. 2 èç 2 ø÷ 1 A.- 1 B.1 C. 0 D. 2 Lời giải: a a a a a sin 2 tan Ta có sina = 2sin cos = 2cos2 . 2 = 2 2 2 2 a 2 a cos tan + 1 2 2
  16. æ a ö a ç 2 ÷ - 2 a a a ç sin ÷ 1 tan 2 2 2 ç 2 ÷ 2 cosa = cos - sin = cos ç1- ÷= 2 2 2 ç 2 a ÷ 2 a ç cos ÷ tan + 1 èç 2 ø÷ 2 a a 2 tan 1- tan2 a 1 Do đó sina + cosa = cot Û 2 + 2 = 2 2 a 2 a a tan + 1 tan + 1 tan 2 2 2 a æ a a ö a a a a Û tan ç1+ 2 tan - tan2 ÷= 1+ tan2 Û tan3 - tan2 - tan + 1= 0 2 èç 2 2 ø÷ 2 2 2 2 2 æ a ö æ a ö a Û çtan - 1÷ çtan + 1÷= 0 Û tan = ± 1 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 2 a p a a a Vì 0 0 nên tan = 1Þ cot = 1 2 2 2 2 2 æa + 2013pö æa pö a Ta có tanç ÷= tanç + 2006p + ÷= - cot = - 1 èç 2 ÷ø èç2 2ø÷ 2 æa + 2013pö Vậy tanç ÷= - 1 èç 2 ø÷ a Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sina ,cosa ,tana ,cota qua t = tan như sau: 2 2t 1- t2 2t 1- t2 sina = ,cosa = ,tana = ,cota = với a làm các biểu thức có nghĩa. 1+ t2 1+ t2 1- t2 2t 1 Ví dụ 5: Cho sin(a + b)= , tana = - 2 tan b . 3 æ 3pö æ pö æ 5pö æ p ö Tính A = sinça + ÷cosça + ÷+ sinçb - ÷sinçb - ÷. èç 8 ø÷ èç 8 ø÷ èç 12 ø÷ èç 12ø÷ - 1 1 2 4 A. B. C. D. 3 3 3 7 Lời giải: 1 1 Ta có sin(a + b)= Û sina cosb + cosa sin b = (1) 3 3 tana = - 2 tan b Û sina cosb = - 2sin b cosa (2) ïì 1 ïì 1 ïì 1 ï cosa sin b = - ï cos2 a sin2 b = ï 1- sin2 a sin2 b = ï ï ï ( ) Từ (1) và (2) ta được íï 3 Þ íï 9 Þ íï 9 ï 2 ï 4 ï 4 ï sina cosb = - ï sin2 a cos2 b = ï sin2 a (1- sin2 b)= îï 3 îï 9 îï 9
  17. ì ï 2 2 1 ï (1- sin a)sin b = æ ö ï 9 2 1 2 1 Þ í Þ ç1- sin b - ÷sin b = ï 1 èç 3÷ø 9 ï sin2 a - sin2 b = îï 3 2 2 1 æ 1ö 1 Þ sin4 b - sin2 b + = 0 Þ çsin2 b - ÷ = 0 Þ sin2 b = 3 9 èç 3ø÷ 3 1 2 Do đó sin2 a = sin2 b + = 3 3 æ ö æ 3pö æ pö 1 é æ pö p ù 1 ç 2 ÷ Ta có ça + ÷ ça + ÷= ê ç a + ÷- ú= ç a - ÷ sinç ÷cosç ÷ êsinç2 ÷ sin ú çcos 2 ÷ è 8 ø è 8 ø 2 ë è 2ø 4 û 2 èç 2 ÷ø æ ö æ ö + 1 ç 2 2 ÷ 1 ç 2 2 ÷ 2 3 2 = ç1- 2sin a - ÷= ç1- 2. - ÷= - 2 èç 2 ø÷ 2 èç 3 2 ø÷ 12 æ p ö æ 5pö 1 é æ pö p ù 1 é 3 ù çb - ÷ çb - ÷= ê ç b - ÷+ ú= ê- b + ú sinç ÷cosç ÷ êsinç2 ÷ sin ú ê cos 2 ú è 12ø è 12 ø 2 ë è 2ø 3 û 2 ëê 2 ûú æ ö æ ö - + 1 ç 2 3 ÷ 1 ç 1 3 ÷ 2 3 2 = ç- 1+ 2sin b + ÷= ç- 1+ 2. + ÷= 2 èç 2 ø÷ 2 èç 3 2 ø÷ 12 2 + 3 2 - 2 + 3 2 1 Do đó A = - + = - 12 12 3 2. Bài tập luyện tập. 3 3p Bài 6.35: Cho cos 2x = (với 0, cos x < 0 . 4 Áp dụng công thức hạ bậc, ta có : 1- cos 2x 1 1 sin2 x = = Þ sin x = 2 5 5
  18. 1+ cos 2x 4 2 cos2 x = = Þ cos x = - 2 5 5 Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 8 5 a) sin(a- b), cos(a + b), tan(a + b) khi sina = , tan b= và a, b là các góc nhọn. 17 12 21 10 21 1 140 1 2 10 2 21 140 21 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 221 221 220 221 221 220 221 221 220 221 221 220 æp ö 12 3p b) cosç - a÷khi sina = - , < a < 2p èç3 ø÷ 13 2 (5- 3) (5- 2 3) (5- 12 3) (5- 12 3) A. B. C. D. 26 26 6 26 æ pö 3 p c) tança + ÷khi sina = , < a < p èç 3÷ø 5 2 38- 25 3 38- 3 38- 2 3 3- 25 3 A. B. C. D. 11 11 11 11 Lời giải: 21 140 21 (5- 12 3) 38- 25 3 Bài 6.36: a) ; ; . b) c) 221 221 220 26 11 1 1 Bài 6.37: Cho 2cos(a + b)= cosa cos(p + b). Tính A = + . 2sin2 a + 3cos2 a 2sin2 b + 3cos2 b 5 38- 3 38- 2 3 6 A. B. C. D. 6 11 11 5 Lời giải: 3 Bài 6.37: Từ giả thiết ta có 2(cosa cosb - sina sin b)= - cosa cosb Þ tan b = . 2 tana 9 2 2 2 1+ 1+ tan a 1+ tan b 1+ tan a 2 Khi đó ta có: A = + = + 4 tan a 2 tan2 a + 3 2 tan2 b + 3 2 tan2 a + 3 9 2 + 3 4 tan2 a 1+ tan2 a 4 tan2 a + 9 10 tan2 a + 15 5 A = + = = 2 tan2 a + 3 6(2 tan2 a + 3) 6(2 tan2 a + 3) 6 m Bài 6.38: a) Cho tana = . Tính A = msin 2a + ncos 2a . n
  19. 2 tana 1- 2 tan2 a tana 1- tan2 a A. m + n B. m + n 1+ tan2 a 1+ tan2 a 1+ tan2 a 1+ tan2 a tana 1- 2 tan2 a 2 tana 1- tan2 a C. m + n D. m + n 1+ tan2 a 1+ tan2 a 1+ tan2 a 1+ tan2 a cos(a + b) m b) Cho = . Tính B = tana.tan b . cos(a - b) n n- m 2n- m n- 2m n- m A. B. C. D. 2 m+ n m+ n m+ n m+ n c) Cho tan(a + b)= m và tan(a - b)= n . Tính tan 2a . m+ 2n m+ n 2m+ n m+ n A. B. C. D. 1- mn 1- mn 1- mn 2- mn Lời giải: 2 tana 1- tan2 a Bài 6.38: a) A = msin 2a + ncos 2a = m + n 1+ tan2 a 1+ tan2 a b) Áp dụng công thức cộng ta có cosa cosb - sina sin b m 1- tana tan b m n- m = Û = Û tana tan b = cosa cosb + sina sin b n 1+ tana tan b n m+ n a + b + a - b é ù tan( ) tan( ) m+ n c) tan 2a = tan ê(a + b)+ (a - b)ú= = ë û 1- tan(a + b)tan(a - b) 1- mn 7 p 2a + 2015p Bài 6.39: Cho sina + cosa = và 0 < a < . Tính tan . 2 4 4 7 - 5 7 - 4 38- 2 3 7 + 5 A. B. C. D. 7 + 1 7 + 1 11 7 - 1 Lời giải: a 2t 1- t2 Bài 6.39: Đặt t = tan ta có sina = ,cosa = từ giả thiết ta có 2 1+ t2 1+ t2 é 7 - 2 2t 1- t2 7 êt = + = Û 7 + 2 t2 - 4t + 7 - 2 = 0 Û ê 2 2 ( ) ê 3 1+ t 1+ t 2 ê ëêt = 7 - 2 p a 7 - 2 Do 0 < a < nên t = tan = . 4 2 3 2a + 2015p æa pö æa pö Ta có tan = tanç + 504p - ÷= tanç - ÷ 4 èç2 4÷ø èç2 4ø÷
  20. a p 7 - 2 tan - tan - 1 7 - 5 = 2 4 = 3 = a p 7 - 2 7 + 1 1+ tan tan 1+ 2 4 3  DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN. 1. Phương pháp giải. Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác a làm cho biểu thức xác định thì 3 cos 4a a) sin4 a + cos4 a = + 4 4 5 3 b) sin6 a + cos6 a = + cos 4a 8 8 1- sin 2a p c) = cot2 ( + a) 1+ sin 2a 4 Lời giải: 2 1 a) Ta có sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a) - 2sin2 a cos2 a = 1- sin2 2a 2 1- cos 4a 3 cos 4a = 1- = + 4 4 4 b) Ta có 3 3 sin6 a + cos6 a = (sin2 a) + (cos2 a) + 3sin2 a cos2 a (sin2 a + cos2 a)- 3sin2 a cos2 a (sin2 a + cos2 a) 3 3 2 3 3 = (sin2 a + cos2 a) - 3sin2 a cos2 a = 1- (2sina cosa) = 1- sin2 2a = 1- (1- cos 4a) 4 4 8 5 3 = + cos 4a 8 8 2 1- sin 2a sin2 a + cos2 a - 2sina cosa (sina - cosa) c) Ta có = = 2 2 2 1+ sin 2a sin a + cos a + 2sina cosa (sina + cosa)
  21. 2 é æ pöù æ pö ê 2 cosça + ÷ú 2cos2 ça + ÷ ê ç ÷ú ç ÷ æ ö ë è 4øû è 4ø 2 p = = = cot ça + ÷ 2 æ ö ç ÷ é æ pöù 2 ç p÷ è 4ø ê ça + ÷ú 2sin ça + ÷ ê 2 sinç ÷ú èç 4ø÷ ë è 4øû p Ví dụ 2: Cho 0 0,sina > 0 èç2 4÷ø Đẳng thức tương đương với 2 æa pö ( 1+ cosa + 1- cosa ) = 4sin2 ç + ÷ èç2 4ø÷ é æ pöù Û + + a - a = ê - ça + ÷ú 2 2 1 cos 1 cos 2 ê1 cosç ÷ú ë è 2øû Û 1- cos2 a = sina Û 1- cos2 a = sin2 a Û sin2 a + cos2 a = 1(luôn đúng) Þ ĐPCM. 2 ( 1+ cosa + 1- cosa ) b) VT = ( 1+ cosa - 1- cosa )( 1+ cosa + 1- cosa ) 2 + 2 1+ cosa . 1- cosa 1+ 1- cos2 a 1+ sina = = = 2cosa cosa cosa Vì 0 0 do đó æ ö2 a a a a ç a a ÷ sin2 + cos2 + 2sin cos çsin + cos ÷ 1+ sina èç 2 2 ø÷ VT = = 2 2 2 2 = cosa 2 a 2 a æ a a öæ a a ö cos - sin çsin + cos ÷çcos - sin ÷ 2 2 èç 2 2 ÷øèç 2 2 ÷ø æ ö a a ça p÷ + 2 sinç + ÷ sin cos èç2 4ø÷ æa pö = 2 2 = = tanç + ÷= VP Þ ĐPCM. a a æa pö èç2 4÷ø cos - sin 2 cosç + ÷ 2 2 èç2 4ø÷ Ví dụ 3: Chứng minh rằng
  22. a) sin(a + b).sin(a - b) = sin2 a - sin2 b a b b) cot cot = 2 với sina + sin b = 3sin(a + b),a + b ¹ k2p 2 2 sina + sin b cos(a + b) c) = tan(a + b) cosa - sin b sin(a + b) Lời giải: 1 a) Ta có sin(a + b).sin(a - b) = - écos 2a - cos 2bù 2 ë û 1 é 2 2 ù 2 2 = - ê(1- 2sin a)- (1- 2sin b)ú= sin a - sin b 2 ë û a + b a - b a + b a + b b) Từ giả thiết ta có 2sin cos = 6sin cos 2 2 2 2 a + b a - b a + b Do a + b ¹ k2p Þ sin ¹ 0 suy ra cos = 3cos 2 2 2 a b a b æ a b a b ö Û cos cos + sin sin = 3çcos cos - sin sin ÷ 2 2 2 2 èç 2 2 2 2 ø÷ a b a b Û 2sin sin = cos cos 2 2 2 2 a b Û cot cot = 2 Þ ĐPCM 2 2 1 a + é a + b + - a ù sin ëêsin( 2 ) sin( )ûú sina + sin(a + 2b) c) Ta có VT = 2 = æ ö ç 1÷é ù cosa + cos(a + 2b) cosa - ç- ÷êcos(a + 2b)- cos(- a)ú èç 2ø÷ë û 2sin(a + b)cos(- b) = = tan(a + b)= VP Þ ĐPCM 2cos(a + b)cos(- b) Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức æ2p ö æ2p ö a) A = cos2 a + cos2 ç + a÷+ cos2 ç - a÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ 3 1 1 A. B. C. D.1 2 2 4 æ pö æ pö æ pö æ 3pö b) B = cosça - ÷.cosça + ÷+ cosça + ÷.cosça + ÷ èç 3ø÷ èç 4÷ø èç 6 ÷ø èç 4 ÷ø 3 2 - 6 1 A. B. C. D.1 2 4 4
  23. Lời giải: æ2p ö æ2p ö a) Ta có: A = cos2 a + cos2 ç + a÷+ cos2 ç - a÷= èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ 1 é æ4p ö æ4p öù = ê + a + ç + a÷+ ç - a÷ú ê3 cos 2 cosç 2 ÷ cosç 2 ÷ú 2 ë è 3 ø è 3 øû 1 é 4p ù 3 = ê3+ cos 2a + 2cos cos 2aú= 2 ëê 3 ûú 2 p æ pö p æ pö æ pö æ 3pö æ pö b) Vì a + = ça - ÷+ Þ cosça + ÷= - sinça - ÷ và cosça + ÷= - sinça + ÷ nên 6 èç 3ø÷ 2 èç 6 ø÷ èç 3ø÷ èç 4 ø÷ èç 4ø÷ æ pö æ pö æ pö æ pö B = cosça - ÷.cosça + ÷+ sinça - ÷.sinça + ÷ èç 3ø÷ èç 4ø÷ èç 3ø÷ èç 4ø÷ éæ pö æ pöù æ p pö æp pö = cos êça - ÷- ça + ÷ú= cosç- - ÷= cosç + ÷ êèç 3ø÷ èç 4ø÷ú èç 3 4ø÷ èç3 4ø÷ ë û p p p p 1 2 3 2 2 - 6 = cos cos - sin sin = . - . = 3 4 3 4 2 2 2 2 4 Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau: cos a + 2cos 2a + cos 3a a) A = sin a + sin 2a + sin 3a A. cot 2a B. tan 2a C. sin 2a D. cos 2a æ pö æ pö cosça + ÷+ cosça- ÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ b) B = a cot a- cot 2 1 A. cot 2a B.- 2 tan 2a C.- sin 2a D. cos 2a 2 c) C = cos a + cos(a + b)+ cos(a + 2b)+ + cos(a + nb) (n Î N) ænb ö ænb ö sin(2n+ 1)bcosç - a÷ sin(3n+ 1)bcosç - a÷ èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ A. C = B. C = b b sin sin 2 2 ænb ö ænb ö sin(n+ 1)bcosç - a÷ sin(4n+ 1)bcosç - a÷ èç 2 ø÷ èç 2 ÷ø C. C = D. C = b b sin sin 2 2 Lời giải:
  24. (cos a + cos 3a)+ 2cos 2a 2cos 2acos a + 2cos 2a 2cos 2a(cos a + 1) a) A = = = = cot 2a (sin a + sin 3a)+ 2sin 2a 2sin 2acos a + 2sin 2a 2sin 2a(cos a + 1) æ pö æ pö p b) Ta có cosça + ÷+ cosça- ÷= 2cos acos = cos a và èç 3ø÷ èç 3÷ø 3 æ ö a a a ça ÷ a cos sin cos a- cos sin a sinç - a÷ - sin a cos a èç2 ø÷ 1 cot a- cot = - 2 = 2 2 = = 2 = - 2 sin a a a a a sin a sin sin asin sin asin sin asin 2 2 2 2 cos a sin 2a Suy ra B = = - sin acos a = - . 1 - 2 sin a b b b b b c) Ta có C.2sin = 2sin cos a + 2sin cos(a + b)+ 2sin cos(a + 2b)+ + 2sin cos(a + nb) 2 2 2 2 2 æb ö æb ö æ3b ö æ b ö æ5b ö æ 3b ö = sinç + a÷+ sinç - a÷+ sinç + a÷+ sinç- - a÷+ sinç + a÷+ sinç- - a÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ(2n+ 1)b ö æ (2n- 1)b ö ç ÷ ç ÷ + + sinç + a÷+ sinç- - a÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ ö æ(2n+ 1)b ö æ ö çb ÷ ç ÷ çnb ÷ sinç - a÷+ sinç + a÷= 2sin(n+ 1)bcosç - a÷ èç2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ænb ö sin(n+ 1)bcosç - a÷ èç 2 ø÷ Suy ra C = b sin 2 1 1 Ví dụ 6: Cho sin(a + b)= 2cos(a- b). Rút gọn biểu thức M = + 2- sin 2a 2- sin 2b 4 1 1 A. B. C. D.1 3 2 3 Lời giải: 4- (sin 2a + sin 2b) 4- (sin 2a + sin 2b) Ta có M = = (2- sin 2a)(2- sin 2b) 4- 2(sin 2a + sin 2b)+ sin 2asin 2b Ta có sin 2a + sin 2b = 2sin(a + b)cos(a- b) Mà sin(a + b)= 2cos(a- b)Þ sin2 (a + b)= 4cos2 (a- b) nên + - - = - 2 + - é 2 - - ù cos 2(a b) cos 2(a b) 1 2sin (a b) ëê2cos (a b) 1ûú = - é 2 + + 2 - ù= - 2 - 2 2 ëêsin (a b) cos (a b)ûú 2 10cos (a b)
  25. 2 2 4- 4cos (a- b) 4- 4cos (a- b) 4 Suy ra = = = M 2 2 1 é 2 ù 3- 3cos (a- b) 3 4- 8cos (a- b)- .ê2- 10cos (a- b)ú 2 ë û Ví dụ 7: Chứng minh rằng æp ö æp ö a) sin 3a = 3sina - 4sin3 a = 4sina.sinç - a÷.sinç + a÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ a a a 1 æ a ö b) 3 + 3 + + n- 1 3 = ç n - a÷ sin 3sin 2 3 sin n ç3 sin n sin ÷. 3 3 3 4 èç 3 ø Lời giải: a) Ta có sin 3a = sin(2a + a)= sin 2a cosa + cos 2a sina = 2sina cos2 a + cos 2a sina = 2sina (1- sin2 a)+ (1- 2sin2 a)sina = 3sina - 4sin3 a (1) æp ö æp ö 1 æ 2p ö Mặt khác 4sina.sinç - a÷.sinç + a÷= - 4sina. çcos - cos(- 2a)÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ 2 èç 3 ø÷ æ 1 ö æ1 ö = - 2sina.ç- - cos 2a÷= 2sina ç + 1- 2sin2 a÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ = 3sina - 4sin3 a (2) Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM 3sina - sin 3a b) Theo câu a) ta có sin 3a = 3sina - 4sin3 a Þ sin3 a = 4 a a a a a 3sin - sina 3sin - sin 3sin - sin a a 2 a n n- 1 Do đó sin3 = 3 , sin3 = 3 3 , ,sin3 = 3 3 3 4 32 4 3n 4 a a a a a - - 3sin - sina 3sin 2 sin 3sin n sin n- 1 Suy ra VT = 3 + 3 3 3 + + 3n- 1 3 3 4 4 4 a 3sin sina n 1 æ a ö = - + n- 1 3 = ç n - a÷= Þ ĐPCM. 3 ç3 sin n sin ÷ VP 4 4 4 èç 3 ø Lưu ý: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được cos 3a = 4cos3 a - 3cosa , sin 3a = 3sina - 4sin3 a , hai công thức này được gọi là công thức nhân ba 3. Các bài tập luyện tập. Bài 6.40: Chứng minh rằng 3 1 1 a) sin4 a = - cos 2a + cos 4a 8 2 8
  26. p 3p 5p 7p 3 b) sin4 + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 2 Lời giải: Bài 6.40: a) 1+ cos 4a 2 2 1- 2cos 2a + æ1- cos 2a ö 1- 2cos 2a + cos 2a 3 1 1 sin4 a = ç ÷ = = 2 = - cos 2a + cos 4a èç 2 ø÷ 4 4 8 2 8 b) Theo câu a ta có: 3 1 æ p 3p 5p 7pö 1æ p 3p 5p 7pö VT = 4. - çcos + cos + cos + cos ÷+ çcos + cos + cos + cos ÷ 8 2 èç 8 8 8 8 ø÷ 8 èç 4 4 4 4 ø÷ 3p 5p p 7p p 3p 5p 7p 3 Mà cos + cos = cos + cos = cos + cos = cos + cos = 0 nên VT = = VP 8 8 8 8 4 4 4 4 2 p sin y Bài 6.41: Cho sin x = 2sin(x + y),x + y ¹ + kp . Chứng minh tan(x + y)= . 2 cos y- 2 Lời giải: Bài 6.41: = é + - ù= + - + sin x sin ëê(x y) yûú sin(x y)cos y cos(x y)sin y Þ sin(x + y)cos y- cos(x + y)sin y = 2sin(x + y) Þ (cos y- 2)sin(x + y)= cos(x + y)sin y sin y Þ tan(x + y)= cos y- 2 Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau: a) 4(cos3 a sina - sin3 a cosa)= sin 4a 2sin(x + y) b) tan x + tan y = cos(x + y)+ cos(x- y) tan2 2x- tan2 x c) tan x.tan 3x = 1- tan2 2x.tan2 x Lời giải: Bài 6.42: a) VT = 4sina cosa (cos2 a - sin2 a)= 2sin 2a cos 2a = sin 4a = VP 2(sin xcos y + sin y cos x) b) VP = = tan x + tan y = VT 2cos xcos y (tan 2x + tan x)(tan 2x- tan x) c) VP = = tan(2x + x)tan(2x- x)= VT (1- tan 2x.tan x)(1+ tan 2x.tan x)
  27. Bài 6.44: Đơn giản biểu thức sau: 1- cosa + cos 2a a) A = sin 2a - sina A. cota B. tana C. sin 2a D. cos 2a 1 1 1 1 b) B = - + cosa (0 0, cos > 0 nên 2 2 1 1 a 1 1 a a a B = - cos2 = - cos = sin2 = sin 2 2 2 2 2 2 2 2 5a a 2cos sin - 2sin 4asin(- 3a)- 2sin 4asin 2a sin 3a- sin 2a 5a c) C = = = 2 2 = - cot 2sin 4acos 3a + 2sin 4acos 2a cos 3a- cos 2a 5a a 2 - 2sin sin 2 2 æ pö 2cos2 a- 2sin 2asinç- ÷ èç 6 ø÷ 2cos2 a + 4sin acos a d) D = = = cos a + 2sin a 2cos a 2cos a Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau: a) Nếu 2 tan a = tan(a + b) thì sin b = sin a.cos(a + b) b) Nếu 2 tan a = tan(a + b) thì 3sin b = sin(2a + b) c) Nếu tan(a + b).tan b = - 3 thì cos(a + 2b)+ 2cos a = 0
  28. d) Nếu 3sin(a + b)= cos(a- b) thì 8sin2 (a + b)= cos 2acos 2b Lời giải: Bài 6.45: a) 2 tan a = tan(a + b) Þ tan a = tan(a + b)- tan a sin b Þ tan a = Þ sin acos(a + b) = sin b cos(a + b)cos a sin(2a + b) b) 2 tan a = tan(a + b) Þ 3tan a = tan(a + b)+ tan a = cos(a + b)cos a Þ 3sin acos(a + b)= sin(2a + b) Theo câu a) ta có sin b = sin a.cos(a + b) suy ra 3sin b = sin(2a + b) c) tan(a + b).tan b = - 3 Þ sin(a + b)sin b = - 3cos(a + b)cosb Þ cos(a + b)cosb + sin(a + b)sin b = - 2cos(a + b)cosb Þ = - é + + ù cos a ëêcos(2a b) cos aûú Þ cos(a + 2b)+ 2cos a = 0 d) Từ giả thiết ta có 9sin2 (a + b)= cos2 (a- b) 1- cos 2(a + b) 1+ cos 2(a- b) Þ 9. = 2 2 Þ é - + ù= + + - 8 ëê1 cos 2(a b)ûú cos 2(a b) cos 2(a b) Þ 16sin2 (a + b)= 2cos 2acos 2b Hay 8sin2 (a + b)= cos 2acos 2b . ĐPCM. p 2p 4p p 5p 7p 3 Bài 6.46: Chứng minh rằng sin sin sin = cos cos cos = 9 9 9 18 18 18 8 Lời giải: æp ö æp ö æp ö æp ö Bài 6.46: Ta có sin 3a = 4sina.sinç - a÷.sinç + a÷, cos 3a = 4cosa.cosç - a÷.cosç + a÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ p 2p 4p 1 p 3 p 5p 7p 1 p 1 p 3 Suy ra sin sin sin = sin = ; cos cos cos = cos 3. = cos = 9 9 9 4 3 8 18 18 18 4 18 4 6 8 Bài 6.47: Chứng minh rằng sin 2x a) cos x = . 2sin x
  29. x x x sin x b) = cos cos 2 cos n . 2 2 2 n x 2 sin 2n Lời giải: sin 2x Bài 6.47: a) Ta có sin 2x = 2sin xcos x Þ cos x = 2sin x b) Áp dụng câu a ta có x x x sin sin sin x x x sin x 2 n- 1 sin x = = 2 2 2 = = VT cos cos 2 cos n . . VP 2 2 2 x x x x n x 2sin 2sin 2sin 2sin 2 sin 2 22 23 2n 2n 1 x Bài 6.48: Chứng minh rằng: a) = cot - cot x . sin x 2 1 1 1 a b) + + + = cot - cot 2n- 1a (2n- 1a ¹ kp) sina sin 2a sin 2n- 1a 2 Lời giải: x x x x cos sin xcos - cos xsin sin x cos x 1 Bài 6.48: a) VP = cot - cot x = 2 - = 2 2 = 2 = = VP 2 x sin x x x sin x sin sin xsin sin xsin 2 2 2 b) Áp dụng câu a ta có æ a ö a VT = çcot - cota÷+ (cota - cot 2a)+ + (cot 2n- 2 a - cot 2n- 1a)= cot - cot 2n- 1a = VP èç 2 ø÷ 2 Bài 6.49: Chứng minh rằng a) tan x = cot x- 2cot 2x 1 a 1 a 1 a 1 a b) .tan + .tan + + .tan = .cot - cot a 2 2 22 22 2n 2n 2n 2n Lời giải: cos x cos 2x cos2 x- cos 2x cos2 x- 2cos2 x + 1 sin2 x Bài 6.49: a) VP = - 2 = = = = tan x = VT sin x sin 2x sin xcos x sin xcos x sin xcos x b) Áp dụng câu a) ta có 1 æ a ö 1 æ a aö 1 æ a a ö = ç - ÷+ ç - ÷+ + ç - ÷ VT çcot 2cot a÷ 2 çcot 2 2cot ÷ n çcot n 2cot n- 1 ÷ 2 èç 2 ÷ø 2 èç 2 2ø÷ 2 èç 2 2 ø÷ 1 a = .cot - cot a = VP 2n 2n
  30. kp tan 3x æp ö æp ö Bài 6.50: Chứng minh rằng nếu x ¹ ,k Î Z thì = tanç - x÷tanç + x÷ 6 tan x èç3 ÷ø èç3 ÷ø Áp dụng tính A = tan 6o tan 54o tan 66o . Lời giải: 3tan x- tan3 x ( 3 - tan x)( 3 + tan x) Bài 6.50: = = tan 3x 2 tan x. 1- 3tan x (1- 3 tan x)(1+ 3 tan x) æ ö æ ö 3 - tan x 3 + tan x çp ÷ çp ÷ = .tan x. = tanç - x÷.tan x.tanç + x÷ 1+ 3 tan x 1- 3 tan x èç3 ø÷ èç3 ÷ø 5 - 1 A = 10 + 2 5 Bài 6.51: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 1 1 1 + + + = cot10 - cot n0 sin10 sin 20 sin 20 sin 30 sin(n- 1)0 sin n0 Lời giải: é 0 ù 0 0 Bài 6.51: Ta có sin10 = sin ê(k + 1) - k0 ú= sin(k + 1) cos k0 - cos(k + 1) sin k0 ë û 0 sin1 0 = 0 - + 0 cot k cot(k 1) sin k0 sin(k + 1) sin10 sin10 sin10 Do đó + + + sin10 sin 20 sin 20 sin 30 sin(n- 1)0 sin n0 0 = cot10 - cot 20 + cot 20 - cot 30 + + cot(n- 1) - cot n0 1 1 1 Suy ra + + + = cot10 - cot n0 sin10 sin 20 sin 20 sin 30 sin(n- 1)0 sin n0 Bài 6.52: Chứng minh rằng 2sin 20 + 4sin 40 + + 178sin1780 = 90cot10 Lời giải: Bài 6.52: 2sin 20.sin10 + 2(2sin 40.sin10 )+ + 89(2sin1780.sin10 )= 90cos10 0 Vì 2sin 2k0 sin10 = cos(2k - 1) - cos(2k + 1) nên
  31. VT = cos10 - cos 30 + 2(cos 30 - cos 50 )+ + 89(cos1770 - cos1790 ) = cos10 + cos 30 + + cos1770 - 89cos1790 = cos10 + (cos 30 + cos1770 )+ + (cos890 + cos910 )+ 89cos10 = 90cot10 = VP  DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. - Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết. - Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc. - Sử dụng kết quả sina £ 1, cosa £ 1 với mọi số thực a 2. Các ví dụ điển hình. p Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0 0 Vì 0 0 (*) Û 2cos2 a ³ sin 2a + cos2 a - sin2 a Û 1³ sin 2a (đúng) ĐPCM. p æ 1 öæ 1 ö Ví dụ 2: Cho 0 < a < . Chứng minh rằng çsina + ÷çcosa + ÷³ 2 2 èç 2cosa ø÷èç 2sina ø÷ Lời giải:
  32. æ 1 öæ 1 ö 1 Ta có çsina + ÷çcosa + ÷= sina cosa + + 1 èç 2cosa ø÷èç 2sina ø÷ 4sina cosa p Vì 0 0 . 2 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 1 1 sina cosa + ³ 2 sina cosa. = 1 4sina cosa 4sina cosa æ 1 öæ 1 ö Suy ra çsina + ÷çcosa + ÷³ 2 ĐPCM. èç 2cosa ø÷èç 2sina ÷ø Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 0 £ a £ p thì 2 æa pö (2cos 2a - 1) - 4sin2 ç - ÷> ( 2sina - 2)(3- 2cos 2a). èç2 4ø÷ Lời giải: Bất đẳng thức tương đương với 2 é æ pöù Û 2cos 2a - 1 - 2 ê1- cosça - ÷ú+ 2 3- 2cos 2a > 2sina é3- 2 1- 2sin2 a ù ( ) ê ç ÷ú ( ) ëê ( )ûú ë è 2øû Û 4cos2 2a - 8cos 2a + 5+ 2sina > 2sina (4sin2 a + 1) 2 Û 4(1- cos 2a) + 1+ 2sina > 2sina (4sin2 a + 1) Û 16sin4 a + 2sina + 1> 2sina (4sin2 a + 1) Đặt 2sina = t , vì 0 £ a £ p Þ 0 £ t £ 2 . Bất đẳng thức trở thành t8 + t2 + 1> t(t4 + 1)Û t8 - t5 + t2 - t + 1> 0 (*) + Nếu 0 £ t 0 đúng vì 1- t > 0, 1- t3 > 0,t2 ³ 0 và t8 ³ 0 . + Nếu 1£ t £ 2 : (*) Û t5 (t3 - 1)+ t(t - 1)+ 1> 0 đúng vì t5 (t3 - 1)³ 0, t(t - 1)³ 0 . Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau: a) A = sin x + cos x A. max A = 2 và min A = - 2 .B. max A = 3 và min A = - 3 .C. max A = 2 2 và min A = - 2 2 .D. max A = 2 và min A = - 2 . b) B = sin4 x + cos4 x 1 1 A. max B = 2 , min B = B. max B = 2 , min B = - 2 2
  33. 1 1 C. max B = 1 , min B = - D. max B = 1 , min B = 2 2 Lời giải: 2 a) Ta có A2 = (sin x + cos x) = sin2 x + cos2 x + 2sin xcos x = 1+ sin 2x Vì sin 2x £ 1 nên A2 = 1+ sin 2x £ 1+ 1= 2 suy ra - 2 £ A £ 2 . p 3p Khi x = thì A = 2 , x = - thì A = - 2 4 4 Do đó max A = 2 và min A = - 2 . 2 2 æ1- cos 2xö æ1+ cos 2xö 1- 2cos 2x + cos2 2x 1+ 2cos 2x + cos2 2x b) Ta có B = ç ÷ + ç ÷ = + èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 4 4 2 + 2cos2 2x 2 + 1+ cos 4x 3 1 = = = + .cos 4x 4 4 4 4 1 3 1 1 Vì - 1£ cos 4x £ 1 nên £ + .cos 4x £ 1 suy ra £ B £ 1 . 2 4 4 2 1 Vậy max B = 1 khi cos 4x = 1 và min B = khi cos 4x = - 1. 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất A = 2- 2sin x- cos 2x 1 1 1 3 A. min A = - B. min A = C. min A = D. min A = 2 3 2 2 Lời giải: Ta có A = 2- 2sin x- (1- 2sin2 x)= 2sin2 x- 2sin x + 1 Đặt t = sin x, t £ 1 khi đó biểu thức trở thành A = 2t2 - 2t + 1 Xét hàm số y = 2t2 - 2t + 1 với t £ 1. Bảng biến thiên: t 1 - 1 2 1 y 5 1 1 2 Từ bảng biến thiên suy ra max A = 5 khi t = - 1 hay sin x = 1. 1 1 1 min A = khi t = hay sin x = . 2 2 2
  34. 3. Bài tập luyện tập. p Bài 6.53: Cho 0 0 Bài 6.53: 0 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có tan x + cot x ³ 2 tan x.cot x = 2 . Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B = cos 2x + 1+ 2sin2 x A. max B = 3 , min A = 3 - 1 B. max B = 2 , min A = 3 - 2 C. max B = 2 , min A = 3 - 1 D. max B = 3 , min A = 3 - 3 Lời giải: Bài 6.54: Ta có B = cos 2x + 1+ 1- cos 2x = cos 2x + 2- cos 2x Đặt t = 2- cos 2x Þ cos 2x = 2- t2 , vì - 1£ cos 2x £ 1Þ 1£ t £ 3 Biểu thức trở thành B = 2- t2 + t . Xét hàm số y = - t2 + t + 2 với 1£ t £ 3 . Bảng biến thiên t 1 3 y 2 3 - 1 Từ bảng biến thiên suy ra max B = 2 khi t = 1 hay cos 2x = 1 . min A = 3 - 1 khi t = 3 hay cos 2x = - 1. Bài 6.55: Chứng minh rằng cos x(sin x + sin2 x + 2) £ 3 Lời giải: Bài 6.55: Ta có: 3sin2 x + cos2 x 3cos2 x + sin2 x + 2 3P = 3 sin x.cos x + 3 cos x. sin2 x + 2 £ + = 3 2 2 Vậy: P £ 3 Bài 6.56: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2sin x + sin 2x .
  35. 3 3 3 3 3 2 3 A. P £ B. P £ C. P £ D. P £ 4 2 4 4 Lời giải: Bài 6.56: Ta có P = 2sin x + 2sin xcos x = 2sin x(1+ cos x) 2 Suy ra P2 = 4sin2 x(1+ cos x) = sin2 x(1+ 2cos x + cos2 x) 2 æ 1ö 1 Ta có çcos x- ÷ ³ 0 Þ cos2 x + ³ cos x suy ra èç 2ø÷ 4 æ 1 ö æ3 ö P £ sin2 xç1+ 2cos2 x + + cos2 x÷= sin2 xç + 3cos2 x÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ æ ö2 çx + y÷ Mặt khác theo bất đẳng thức xy £ ç ÷ , " x, y Î R ta có èç 2 ø÷ 2 é æ3 öù ê3sin2 x + ç + 3cos2 x÷ú æ5 ö 1 æ3 ö 1 ê èç2 ø÷ú 27 2 ç + 2 ÷= 2 ç + 2 ÷£ ê ú = sin xç 3cos x÷ .3sin xç 3cos x÷ .ê ú è4 ø 3 è2 ø 3 ê 2 ú 16 ê ú ë û 3 3 Suy ra P £ . 4 A B C Bài 6.57: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = sin sin sin . 2 2 2 3 3 3 5 A. max P = B. max P = C. max P = D. max P = 7 6 9 9 Lời giải: A C 1 æ A + C A- Cö 1 A- C 1 A + C Bài 6.57: Ta có sin sin = - çcos - cos ÷= cos - cos 2 2 2 èç 2 2 ø÷ 2 2 2 2 A + C B A- C A C 1 1 B Vì cos = sin và cos £ 1 nên sin sin £ - sin 2 2 2 2 2 2 2 2 1 æ Bö B Do đó P £ ç1- sin ÷. sin 2 èç 2 ø÷ 2 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
  36. æ ö æ öæ ö ç B÷ B 1 ç B÷ç B÷ B ç1- sin ÷. sin = ç1- sin ÷ç1- sin ÷2sin èç 2 ø÷ 2 2 èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 2 æ ö3 ç B B B ÷ ç1- sin + 1- sin + 2sin ÷ 1 ç 2 2 2 ÷ 1 8 2 3 £ ç ÷ = = 2 ç 3 ÷ 2 27 9 èç ø÷ 1 2 3 3 Suy ra P £ . = . 2 9 9 ì ï A- C ì ï cos = 1 ï A = C ï 2 ï Dấu bằng xảy ra khi í Û í B 1 . ï B B ï sin = ï 1- sin = 2sin îï 2 3 îï 2 2 3 Vậy max P = . 9  DẠNG TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: A B C a) sin A + sin B+ sinC = 4cos cos cos 2 2 2 b) sin2 A + sin2 B+ sin2 C = 2(1+ cos Acos BcosC) c) sin 2A + sin 2B+ sin 2C = 4sin Asin BsinC Lời giải: A + B A- B C C a) VT = 2sin cos + 2sin cos 2 2 2 2 A + B p C Mặt khác trong tam giác ABC ta có A + B+ C = p Þ = - 2 2 2 A + B C C A + B Suy ra sin = cos , sin = cos 2 2 2 2 C A- B A + B C C æ A- B A + Bö Vậy VT = 2cos cos + 2cos cos = 2cos çcos + cos ÷ 2 2 2 2 2 èç 2 2 ø÷ C A B = 4cos cos cos = VP Þ ĐPCM. 2 2 2 1- cos 2A 1- cos 2B cos 2A + cos 2B b) VT = + + 1- cos2 C = 2- - cos2 C 2 2 2
  37. = 2- cos(A + B)cos(A- B)- cos2 C Vì A + B+ C = p Þ cos(A + B)= - cosC nên = + - + + = + é - + + ù VT 2 cosC cos(A B) cosC cos(A B) 2 cosC ëêcos(A B) cos(A B)ûú = 2 + cosC.2cos Acos B = 2(1+ cos Acos BcosC) = VP Þ ĐPCM. c) VT = 2sin(A + B)cos(A- B)+ 2sinC cosC Vì A + B+ C = p Þ cosC = - cos(A + B), sin(A + B)= sinC nên = - - + = é - - + ù VT 2sinC cos(A B) 2sinC cos(A B) 2sinC ëêcos(A B) cos(A B)ûú = é- - ù= = Þ ĐPCM. 2sinC.ëê 2sin Asin( B)ûú 4sin Asin BsinC VP Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có: a) tan A + tan B+ tanC = tan A.tan B.tanC b) cot A.cot B+ cot B.cotC + cotC.cot A = 1 Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với tan A + tan B = tan A.tan B.tanC - tanC Û tan A + tan B = tanC(tan A tan B- 1) (*) p Do tam giác ABC không vuông nên A + B ¹ 2 sin Asin B sin Asin B- cos Acos B cos(A + B) Þ tan A tan B- 1= - 1= = - ¹ 0 cos Acos B cos Acos B cos Acos B tan A + tan B tan A + tan B Suy ra (*)Û = tanC Û = - tanC Û tan(A + B)= - tanC tan A tan B- 1 1- tan A tan B Đẳng thức cuối đúng vì A + B+ C = p Þ ĐPCM. b) Vì A + B+ C = p Þ cot(A + B)= - cotC Theo công thức cộng ta có: 1 1- 1 1- tan A tan B cot Acot B- 1 cot(A + B)= = = cot Acot B = + + 1 1 + tan(A B) tan A tan B + cot A cot B cot A cot B cot Acot B- 1 Suy ra = - cotC Þ cot Acot B- 1= - cotC(cot A + cot B) cot A + cot B Hay cot A.cot B+ cot B.cotC + cotC.cot A = 1 ĐPCM. Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
  38. 3 a) cos A + cos B+ cosC £ 2 3 3 b) sin A + sin B+ sinC £ 3 c) tan A tan BtanC ³ 3 3 với ABC là tam giác nhọn. Lời giải: A + B A- B a) Ta có cos A + cos B+ cosC = 2cos cos + cosC 2 2 A + B p C A + B C Vì = - nên cos = sin 2 2 2 2 2 C Mặt khác cosC = 1- 2sin2 do đó 2 C A- B C æ C C A- B 1ö cos A + cos B+ cosC = 2sin cos + 1- 2sin2 = - 2çsin2 - sin cos - ÷ 2 2 2 èç 2 2 2 2÷ø æ C C 1 A- B 1 A- Bö 1 A- B = - 2çsin2 - 2sin . cos + cos2 ÷+ 1+ cos2 èç 2 2 2 2 4 2 ø÷ 2 2 2 æ C 1 A- Bö 1 A- B = - 2çsin + cos ÷ + 1+ cos2 èç 2 2 2 ÷ø 2 2 A- B A- B Vì cos £ 1Þ cos2 £ 1 nên 2 2 1 3 cos A + cos B+ cosC £ 1+ = Þ ĐPCM. 2 2 b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: sin x + sin y x + y Nếu 0 £ x £ p, 0 £ y £ p thì £ sin . 2 2 x + y x + y x- y Thật vậy, do 0 £ £ p Þ sin > 0 và cos £ 1 nên 2 2 2 sin x + sin y x + y x- y x + y = sin cos £ sin 2 2 2 2 p p sinC + sin C + sin A + sin B A + B Áp dụng bổ đề ta có: £ sin , 3 £ sin 3 2 2 2 2 æ ö p p ç p ÷ sinC + sin C + ç C + ÷ sin A + sin B 3 A + B 3 1 çA + B 3 ÷ p Suy ra + £ sin + sin £ 2sin ç + ÷= 2sin 2 2 2 2 2 ç 2 2 ÷ 3 ç ÷ èç ÷ø
  39. p 3 3 Do đó sin A + sin B+ sinC £ 3sin hay sin A + sin B+ sinC £ ĐPCM. 3 3 c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tan A > 0, tan B > 0, tanC > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tan A + tan B+ tanC ³ 3 3 tan A.tan B.tanC Theo ví dụ 2 ta có tan A + tan B+ tanC = tan A.tan B.tanC nên æ 2 ö tan A tan BtanC ³ 3 3 tan A.tan B.tanC Û 3 tan A.tan B.tanC ç3 (tan A tan BtanC) - 3÷³ 0 èç ÷ø 2 Û 3 (tan A tan BtanC) ³ 3 Û tan A tan BtanC ³ 3 3 ĐPCM. Ví dụ 4: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: A B C a) sin A + sin B+ sinC £ cos + cos + cos 2 2 2 A B C b) cos Acos BcosC £ sin sin sin 2 2 2 A B C c) tan A + tan B+ tanC ³ cot + cot + cot Với tam giác ABC không vuông. 2 2 2 Lời giải: A + B C A- B A + B A- B C a) Vì sin = cos > 0 và cos £ 1 nên sin A + sin B = 2sin cos £ 2cos 2 2 2 2 2 2 A B Hoàn toàn tương tự ta có sin B+ sinC £ 2cos , sinC + sin A £ 2cos 2 2 Công vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được A B C sin A + sin B+ sinC £ cos + cos + cos . ĐPCM. 2 2 2 p p p b) +TH1: Nếu tam giác ABC tù: không mất tính tổng quát giả sử A > Þ B 0, cosC > 0 A B C cos Acos BcosC 0 do đó bất đẳng thức luôn đúng. 2 2 2 1 é ù + TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: cos Acos B = êcos(A + B)+ cos(A- B)ú. 2 ë û 1 C Vì cos(A + B)= - cosC và cos(A- B)£ 1 nên cos Acos B £ (1- cosC)= sin2 . 2 2 A B Chứng minh tương tự ta có cos BcosC £ sin2 , cosC cos A £ sin2 . 2 2 Do các vế đều không âm nên nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
  40. C A B (cos Acos B)(cos BcosC)(cosC cos A)£ sin2 sin2 sin2 2 2 2 A B C Û cos Acos BcosC £ sin sin sin ĐPCM. 2 2 2 sin(A + B) 2sin(A + B) c) Ta có tan A + tan B = = cos Acos B cos(A + B)+ cos(A- B) Mà sin(A + B)= sinC, cos(A + B)= - cosC nên C C 4sin cos 2sinC 2sinC C tan A + tan B = ³ = 2 2 = 2cot - cosC + cos A- B 1- cosC 2 C 2 ( ) 2sin 2 A B Tương tự ta có tan B+ tanC ³ 2cot , tanC + tan A ³ 2cot 2 2 Công vế với vế và rút gọn ta được A B C tan A + tan B+ tanC ³ cot + cot + cot ĐPCM. 2 2 2 Nhận xét: + Để chứng minh x + y + z ³ a + b + c ta có thể đi chứng minh x + y ³ 2a (hoặc 2b, 2c ) rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự. Cộng vế với vế suy ra đpcm. + Để chứng minh xyz ³ abc với x, y,z,a,b,c không âm ta đi chứng minh xy ³ a2 (hoặc b2 , c2 ) rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự. nhân vế với vế suy ra đpcm. Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: 3 a) sin A + sin B + sinC £ 3 2 3 æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 2 ö ç + ÷ç + ÷ç + ÷³ ç + ÷ b) ç1 ÷.ç1 ÷.ç1 ÷ ç1 ÷ èç sin Aø÷èç sin Bø÷èç sinCø÷ èç 3 ø÷ Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức x + y £ 2(x2 + y2 ) với mọi x, y không âm ta có A + B A- B A + B sin A + sin B £ 2(sin A + sin B) = 2.2sin cos £ 2 sin 2 2 2 p 1 æ pö Tương tự ta có sinC + sin £ 2 sin çC + ÷ 3 2 èç 3ø÷ æ ö p ç A + B 1 æ pö÷ Công vế với vế ta được + + + £ ç + ç + ÷÷ sin A sin B sinC sin 2ç sin sin çC ÷÷ 3 èç 2 2 è 3ø÷ø
  41. A + B 1 æ pö éA + B 1 æ pöù æp pö p Mà + ç + ÷£ ê + ç + ÷ú= ç + ÷= sin sin çC ÷ 2 sin ê çC ÷ú 2 sinç ÷ 2 sin 2 2 è 3ø ë 2 2 è 3øû è2 6 ø 3 p p Suy ra sin A + sin B + sinC + sin £ 4 sin 3 3 p 3 Hay sin A + sin B + sinC £ 3 sin = 3 ĐPCM. 3 2 æ 1 ö æ 1 ö 1 1 1 b) Ta có ç1+ ÷.ç1+ ÷= 1+ + + . èç sin Aø÷èç sin Bø÷ sin A sin B sin Asin B 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức + ³ với mọi x, y dương ta có x y x + y 1 1 4 4 2 + ³ = = sin A sin B sin A + sin B 2 sin Asin B sin Asin B 2 æ 1 ö æ 1 ö 2 1 æ 1 ö ç + ÷ç + ÷³ + + = ç + ÷ Do đó ç1 ÷.ç1 ÷ 1 ç1 ÷ èç sin Aø÷èç sin Bø÷ sin Asin B sin Asin B èç sin Asin B ø÷ Mặt khác 1 é ù 1 é ù sin Asin B = - êcos(A + B)- cos(A- B)ú= êcos(A + B)+ cos(A- B)ú 2 ë û 2 ë û cos(A + B)+ 1 A + B ³ = sin2 2 2 æ ö2 ç ÷ æ ö æ ö ç ÷ ç 1 ÷ç 1 ÷ ç 1 ÷ Nên ç1+ ÷.ç1+ ÷³ ç1+ ÷ (1) èç sin Aø÷èç sin Bø÷ ç A + B ÷ ç sin ÷ èç 2 ø÷ æ ö2 æ ÷ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ 1 ö ç 1 ÷ ç 1 ÷ Tương tự ta có ç1+ ÷.ç1+ ÷³ ç1+ ÷ (2) ç ÷ç ÷ ç æ ö÷ è sinCø ç p ÷ ç 1 ç p÷÷ ç sin ÷ ç sin çC + ÷÷ è 3 ø èç 2 èç 3ø÷ø÷ Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được 2 2 æ ö æ ÷ö æ ÷ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç1+ ÷.ç1+ ÷.ç1+ ÷.ç1+ ÷³ ç1+ ÷ ç1+ ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç æ ö÷ è sin Aø è sin Bø è sinCø ç p ÷ ç A + B ÷ ç 1 ç p÷÷ ç sin ÷ ç sin ÷ ç sin çC + ÷÷ è 3 ø è 2 ø èç 2 èç 3ø÷ø÷ 2 æ ö 2 æ öæ ÷ö ç ÷ æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 1 ÷ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç 1 ÷ Ta lại có ç1+ ÷ç1+ ÷³ ç1+ ÷ = ç1+ ÷ ç A + B ÷ç 1 æ pö÷ ç 1 éA + B 1 æ pöù÷ ç p ÷ ç sin ÷ç sin çC + ÷÷ ç ê + ç + ÷ú÷ ç sin ÷ èç ø÷ç ç ÷÷ ç sin ê çC ÷ú÷ èç ø÷ 2 è 2 è 3øø èç 2 ë 2 2 è 3øûø÷ 3
  42. æ ö æ ö4 ç ÷ ç ÷ æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç 1 ÷ç 1 ÷ç 1 ÷ç 1 ÷ ç 1 ÷ Suy ra ç1+ ÷.ç1+ ÷.ç1+ ÷.ç1+ ÷³ ç1+ ÷ èç sin Aø÷èç sin Bø÷èç sinCø÷ç p ÷ ç p ÷ ç sin ÷ ç sin ÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷ æ ö3 ç ÷ æ ö æ ö æ ö ç ÷ æ ö3 ç 1 ÷ç 1 ÷ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç 2 ÷ Hay ç1+ ÷.ç1+ ÷.ç1+ ÷³ ç1+ ÷ = ç1+ ÷ ĐPCM. èç sin Aø÷èç sin Bø÷èç sinCø÷ ç p ÷ èç ø÷ ç sin ÷ 3 èç 3 ø÷ Nhận xét: Cho tam giác ABC và hàm số f æpö æA + Bö • Để chứng minh f (A)+ f (B)+ f (C)³ 3 f ç ÷. Ta đi chứng minh f (A)+ f (B)³ 2 f ç ÷ èç3ø÷ èç 2 ø÷ æ ö ç p ÷ æ ö çC + ÷ çp÷ ç 3 ÷ khi đó f (C)+ f ç ÷³ 2 f ç ÷ từ đó suy ra èç3ø÷ ç 2 ÷ ç ÷ èç ÷ø é æ p öù ê çC + ÷ú æpö ê æA + Bö ç ÷ú æpö + + + ç ÷³ ç ÷+ ç 3 ÷ ³ ç ÷ f (A) f (B) f (C) f ç ÷ 2 êf ç ÷ f ç ÷ú 4 f ç ÷ è3ø ê è 2 ø ç 2 ÷ú è3ø ê ç ÷ú ëê è øûú æpö Do đó f (A)+ f (B)+ f (C)³ 3 f ç ÷. èç3ø÷ æpö æA + Bö • Để chứng minh f (A) f (B) f (C)³ f 3 ç ÷. Ta đi chứng minh f (A) f (B)³ f 2 ç ÷ èç3÷ø èç 2 ø÷ æ p ö æ p ö ç + ÷ ç + ÷ æpö çC ÷ æpö æ + ö çC ÷ æpö ç ÷ 2 ç 3 ÷ ç ÷ 2 çA B÷ 2 ç 3 ÷ 4 ç ÷ khi đó f (C) f ç ÷³ f ç ÷ từ đó suy ra f (A) f (B) f (C) f ç ÷³ f ç ÷f ç ÷³ f ç ÷ èç3ø÷ ç 2 ÷ èç3ø÷ èç 2 ø÷ ç 2 ÷ èç3ø÷ ç ÷ ç ÷ èç ÷ø èç ø÷ æpö Do đó f (A) f (B) f (C)³ f 3 ç ÷. èç3ø÷ A B- C Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos cos(B- C)+ cos Acos = 0 . 2 2 Chứng minh rằng cos 2B+ cos 2C £ 1. Lời giải: Từ giả thiết ta có A æ B- C ö B- C æ A ö cos ç2cos2 - 1÷+ cos ç2cos2 - 1÷= 0 2 èç 2 ø÷ 2 èç 2 ø÷ A B- C æ B- C Aö æ A B- Cö Û 2cos cos çcos + cos ÷- çcos + cos ÷= 0 2 2 èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷
  43. æ A B- Cöæ A B- C ö Û çcos + cos ÷ç2cos cos - 1÷= 0 (1) èç 2 2 ø÷èç 2 2 ø÷ A p A p B- C p B- C Vì 0 0 , - 0 và 2 2 2 2 2 2 2 B+ C p A A B+ C = - Þ cos = sin nên 2 2 2 2 2 A B- C B+ C B- C (1) Û 2cos cos - 1= 0 Û 2sin cos = 1 Û sin B+ sinC = 1 2 2 2 2 2 2 (x + y) (sin B+ sinC) 1 Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 ³ suy ra sin2 B+ sin2 C ³ = 2 2 2 1 Do đó cos 2y + cos 2z = 2- 2(sin2 y + sin2 z)£ 2- 2. = 1 ĐPCM. 2 Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có A B B C C A 3 3 sin cos + sin cos + sin cos £ 2 2 2 2 2 2 4 Lời giải: p A B C Do A,B,C bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử A ³ B ³ C Þ > ³ ³ > 0 2 2 2 2 A B C A B C Suy ra sin ³ sin ³ sin > 0,cos ³ cos ³ cos > 0 2 2 2 2 2 2 æ A Böæ B Cö Þ çsin - sin ÷çcos - cos ÷³ 0 èç 2 2 ø÷èç 2 2 ø÷ A B A C B B B C Û sin cos - sin cos - sin cos + sin cos ³ 0 2 2 2 2 2 2 2 2 A B B C A C B B Û sin cos + sin cos £ sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A C C A B B Do đó sin cos + sin cos + sin cos £ sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C C A B B æA Cö B B B B B Mà sin cos + sin cos + sin cos = sinç + ÷+ sin cos = cos + sin cos (1) 2 2 2 2 2 2 èç2 2 ø÷ 2 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: B 3 3 B B B B B B B B cos2 + ³ 2 cos2 = 3 cos , 3sin2 + cos2 ³ 2 3sin2 cos2 = 2 3 sin cos 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 æ B 3ö æ B Bö B B B Suy ra 2çcos2 + ÷+ ç3sin2 + cos2 ÷³ 2 3 cos + 2 3 sin cos èç 2 4ø÷ èç 2 2 ø÷ 2 2 2
  44. æ B B Bö 3 æ B Bö 9 Hay 2 3çcos + sin cos ÷£ + 3çsin2 + cos2 ÷= èç 2 2 2 ø÷ 2 èç 2 2 ÷ø 2 B B B 3 3 Þ cos + sin cos £ (2) 2 2 2 4 A B B C C A 3 3 Từ (1) và (2) ta có sin cos + sin cos + sin cos £ ĐPCM. 2 2 2 2 2 2 4 2. Bài tập luyện tập. Bài 6.58: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a) sinC = sin A.cos B+ sin B.cos A sinC b) = tan A + tan B (A,B ¹ 900 ) cos A.cos B cosC cos B c) cot B+ = cotC + (A ¹ 90o ) sin B.cos A sinC.cos A A B C A B C A B C A B C d) cos .cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C e) sin2 + sin2 + sin2 = 1+ 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Lời giải: æA B Cö Bài 6.58: c) VT = VP = tanAd) Khai triển cosç + + ÷ èç2 2 2 ø÷ æA B Cö e) Khai triển sinç + + ÷. èç2 2 2 ø÷ æB Cö A B C A B C Chú ý: Từ cosç + ÷= sin cos .cos = sin + sin .sin èç2 2 ø÷ 2 2 2 2 2 2 A B C A A B C sin .cos .cos = sin2 + sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 Bài 6.59: Cho tam giác ABC . Chứng minh: a) tan A + tan B+ tanC ³ 3 3, " DABC nhọn b) tan2 A + tan2 B+ tan2 C ³ 9, " DABC nhọn c) tan6 A + tan6 B+ tan6 C³ 81, " DABC nhọn A B C d) tan2 + tan2 + tan2 ³ 1 2 2 2 A B C e) tan + tan + tan ³ 3 2 2 2
  45. Lời giải: Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B+ tanC = tan A.tan B.tanC và BĐT Cô–si A B B C C A d) Sử dụng a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca và tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1 2 2 2 2 2 2 2 æ A B Cö e) Khai triển çtan + tan + tan ÷ và sử dụng câu c) èç 2 2 2 ø÷ Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có 1+ cos Acos BcosC ³ 3 sin Asin BsinC Lời giải: Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: (sin2 A + sin2 B+ sin2 C)(sin A + sin B+ sinC) ³ 3 3 sin2 Asin2 Bsin2 C.3 3 sin Asin BsinC hay (sin2 A + sin2 B+ sin2 C)(sin A + sin B+ sinC) ³ 9sin Asin BsinC 3 3 Mặt khác: sin A + sin B+ sinC £ nên 2 3 3 (sin2 A + sin2 B+ sin2 C) ³ 9sin Asin BsinC 2 Mà theo ví dụ 1 thì sin2 A + sin2 B+ sin2 C = 2(1+ cos Acos BcosC) 3 3 2(1+ cos Acos BcosC) ³ 9sin Asin BsinC 2 Do đó 1+ cos Acos BcosC ³ 3 sin Asin BsinC . ĐPCM Cách 2: Theo ví dụ 1 ta có sin 2A + sin 2B+ sin 2C = 4sin Asin BsinC và cos 2A + cos 2B+ cos 2C = 3- 2(sin2 A + sin2 B+ sin2 C) = 3- 4(1+ cos Acos BcosC) = - 1- 4cos Acos BcosC Do đó bất đẳng thức tương đương với 4- 1- (cos 2A + cos 2B+ cos 2C) ³ 3(sin 2A + sin 2B+ sin 2C) 3 1 3 1 3 3 Û ( sin 2A + cos 2A)+ ( sin 2B+ cos 2B)+ ( sin 2C + cos 2C) £ 2 2 2 2 2 2 p p p 3 Û cos(2A- )+ cos(2B- )+ cos(2C - ) £ (*) 3 3 3 2 æ pö æ pö æ pö Ta có ç2A- ÷+ ç2B- ÷+ ç2C - ÷= 2(A + B+ C)- p = p nên èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷
  46. æ pö æ pö æ pö ç2A- ÷, ç2B- ÷, ç2C - ÷ là ba góc của một tam giác do đó bất đẳng thức (*) đúng theo ví dụ 3 èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ Þ ĐPCM Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với 1- (cos2 A + cos2 B+ cos2 C) 1+ - 3. (1- cos2 A)(1- cos2 B)(1- cos2 C) ³ 0 ( ) 2 áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 3 2 2 2 æ 2 2 2 ö 3- (cos A + cos B+ cos C) ç3- (cos A + cos B+ cos C)÷ VT( )³ - 3. ç ÷ 2 èç 3 ø÷ 3 đặt t = cos2 A + cos2 B+ cos2 C dễ thấy 3 ³ t ³ 4 3 3- t æ3- tö æ1 1 ö 3 VT( )³ - 3. ç ÷ = (3- t)ç - 3- t÷³ 0 vì từ điều kiện 3 ³ t ³ 2 èç 3 ø÷ èç2 3 ø÷ 4 1 1 1 1 3 ta có 3- t ³ 0, - 3- t ³ - 3- = 0 Þ ĐPCM 2 3 2 3 4 A B C Cách 4: Đặt x = tan , y = tan , z = tan 2 2 2 ïì xy + yz + zx = 1 Bài toán trở thành : cho íï chứng minh: îï x, y,z > 0 1- x2 1- y2 1- z2 2x 2y 2z 1+ . . ³ 3 . . ( ) 1+ x2 1+ y2 1+ z2 1+ x2 1+ y2 1+ z2 Ta có : (4) Û (1+ x2 )(1+ y2 )(1+ z2 )+ (1- x2 )(1- y2 )(1- z2 ) ³ 8 3xyz Khai triển rút gọn ta có: ( ) Û x2 y2 + y2z2 + z2x2 + 1³ 4 3xyz áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và côsi ta có 1 1 x2 y2 + y2z2 + z2x2 ³ (xy + yz + zx)2 = 3 3 æ ö3 çxy + yz + zx÷ 1 xyz = xy.yz.zx £ ç ÷ = èç 3 ø÷ 27 1 1 Nên x2 y2 + y2z2 + z2x2 + 1³ 1+ = 4 3. ³ 4 3xyz 3 27 Þ ĐPCM
  47. A B C Bài 6.71: Cho DABC . Chứng minh rằng 2sin A + 3sin B+ 4sinC £ 5cos + 3cos + cos . 2 2 2 Lời giải: A + B A- B C Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = 2sin cos £ 2cos 2 2 2 5 A 3 B Tương tự (sin B+ sinC)£ 5cos , (sinC + sin A)£ 3cos 2 2 2 2 A B C Cộng vế với vế ta được 2sin A + 3sin B+ 4sinC £ 5cos + 3cos + cos 2 2 2 Bài 6.72: Cho DABC . Chứng minh rằng x2 - 2(cos B+ cosC)x + 2- 2cos A ³ 0 " x . Đẳng thức xảy ra khi nào ? Lời giải: Bài 6.72: Ta thấy VT của BĐT là một tam thức bậc hai có hệ số a = 1> 0 . Do đó để chứng minh ta chỉ cần chứng minh: D £ 0 . Ta có: B+ C B- C A D ' = (cos B+ cosC)2 - 2(1- cos A) = 4cos2 .cos2 - 4sin2 2 2 2 A æ B- C ö A B- C = 4sin2 çcos2 - 1÷= - 4sin2 .sin2 £ 0 . 2 èç 2 ø÷ 2 2 ì ï B- C ì ï sin = 0 ï B = C Đẳng thức có Û í 2 Û í . ï îï x = 2cos B îï x = cos B+ cosC Bài 6.73: Cho DABC nhọn . Chứng minh bất đẳng thức sau: A (tan B+ tanC)x2 - 4x + 2 tan ³ 0 " x . Đẳng thức xảy ra khi nào ? 2 Lời giải: sin(B+ C) Bài 6.73: VT của bất đẳng thức là một tam thức có : a = tan B+ tanC = cos B.cosC 2sin A 2sin A A = ³ = 2cot > 0 (do DABC nhọn). Nên để chứng minh (1) ta chỉ cos(B+ C)+ cos(B- C) 1- cos A 2 cần chứng minh D ' £ 0 . A A A Ta có: D ' = 4- 2 tan (tan B+ tanC) £ 4- 2 tan .cot = 0 2 2 2 ì ì ï cos(B- C) = 1 ï B = C ï ï Đẳng thức xảy ra Û í 2 Û í 1 ï x = ï x = îï tan B+ tanC îï tan B