Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 2: Tổng và hiệu hai vectơ

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 2: Tổng và hiệu hai vectơ

1. §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng hai vectơ r r a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a; b . Từ điểm A uuur r tùy ý vẽ = rồi từ B uuur Ar B a uuur r B vẽ BC = b khi đó vectơ AC được gọi là tổng r r r a r r b của hai vectơ a; b . uuur r r a b Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) r r C A a + b Hình 1.9 b) Tính chất : r r r r + Giao hoán : + = + ra rb rb ra r r + Kết hợp : (a + b)+ c = a + (b + c) r r r r + Tính chất vectơ – không: a + 0 = a, " a 2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ. r r Vectơ đối của vectơ là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ r a a Kí hiệu - a r r r r uuur uuur Như vậy a + (- a)= 0, " a và AB = - BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r r r r r Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí hiệu là a- b = a + (- b) 3. Các quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + = AB BC AC uuur uuur uuur Quy tắc hình bình hành : Nếu là hình bình hành thì + = ABCD uuur uuur AuBuur AD AC Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB- OA= AB Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A , A , , A thì uuuuur uuuuur uuuuuuur uuuuur 1 2 n A1A2 + A2 A3 + + An- 1An = A1An B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ. 1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ • Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó. • Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ. · 0 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 30 và BC = a 5 . B D uuur uuur Tính độ dài của các vectơ AB+ AC . A. a 2 B. a 5 C. a 7 D. a 3 Lời giải: (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur • + = AB BC AC A C · AC Mà sin ABC = Hình 1.10 BC
2. · 0 a 5 Þ AC = BC.sin ABC = a 5.sin 30 = 2 uuur uuur uuur a 5 Do đó AB+ BC = AC = AC = uuur uuur uuur uur uuur 2 • AC - BC = AC + CB = AB 5a2 a 15 Ta có AC2 + AB2 = BC2 Þ AB = BC2 - AC2 = 5a2 - = 4 2 uuur uuur uuur a 15 Vì vậy AC - BC = AB = AB = 2 • Gọi là điểm sao cho tứ giác là hình bình hành. D ABDuuCur uuur uuur Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB+ AC = AD Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD = BC = a 5 uuur uuur uuur Vậy AB+ AC = AD = AD = a 5 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uur uuur uuur a) Tính AB+ AD , OA- CB , CD- DA uuur uuur uuur uur A. AB+ AD = a 2 B. OA- CB = a uuur uuur C. CD- DA = a 2 D.Cả A, B, C đều đúng r uuur uuur uuur uuuur r b) Chứng minh rằng u = MA + MB- MC - MD không phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài vectơ u A.2aB.3aC.aD.4a Lời giải: (hình 1.11) uuur uuur uuur a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB+ AD = AC uuur uuur uuur Suy ra AB+ AD = AC = AC . Áp dụng định lí Pitago ta có AC2 = AB2 + BC2 = 2a2 Þ AC = 2a uuur uuur C' Vậy AB+ AD = a 2 uuur uuur + Vì O là tâm của hình vuông nên = suy ra uuur uur uuur uur uuur OA CO OA- CB = CO- CB = BC uuur uur uuur Vậy OA- CB = BC = a A B uuur uuur + Do là hình vuông nên = suy ra uuur AuuBurCDuuur uuur uuur CD BA CD- DA = BA + AD = BD uuur uuur uuur O Mà BD = BD = AB2 + AD2 = a 2 suy ra CD- DA = a 2 b) Theo quy tắc phép trừ ta có D C r uuur uuur uuur uuuur uuur uuur Hình 1.11 u = (MA- MC)+ (MB- MD)= CA + DB r Suy ra u không phụ thuộc vị trí điểm M . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . A DB BC C' uuur uuuur Khi đó tứ giác là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra = r uuur ADuuBuurC' uuur DB AC' Do đó u = CA + AC' = CC' r uuur Vì vậy u = CC' = BC + BC' = a + a = 2a 3. Bài tập luyện tập.
3. uuur uuur uuur uuur Bài 1.14: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính độ dài của các vectơ sau AB- AC, AB+ AC . uuur uuur uuur uuur A. AB- AC = a B. AB+ AC = a 3 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai Lời giải: Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có uuur uuur uur uuur uuur C A' AB- AC = CB Þ AB- AC = BC = a Gọi là đỉnh của hình bình hành và là tâm O A' uuurABuAuur'C uuuOur hình nình hành đó. Khi đó ta có AB+ AC = AA' . A B a2 a 3 Ta có AO = AB2 - OB2 = a2 - = Hình 1.45 4 2 uuur uuur Suy ra AB+ AC = AA' = 2AO = a 3 Bài 1.15: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur a) Tính AB+ OD , AB- OC + OD uuur uuur a 2 uuur uuur uuur A. AB+ OD = B. AB- OC + OD = a 2 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai uuur uuur uuur uuuur b) Tính độ dài vectơ MA- MB- MC + MD uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur A. MA- MB- MC + MD = a B. MA- MB- MC + MD = 3a uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur 3a C. MA- MB- MC + MD = 2a D. MA- MB- MC + MD = 2 Lời giải: Bài 1.15. (Hình 1.46) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Ta có OD = BO Þ AB+ OD = AB+ BO = AO B' A B uuur uuur AC a 2 AB+ OD = AO = = 2 2 uuur uuur O Ta có = suy ra uuur uOuuCr uAuuOr uuur uuur uuur uuur uuur r AB- OC + OD = AB- AO + OD = OB+ OD = 0 D C uuur uuur uuur Þ AB- OC + OD = 0 Hình 1.46 b) Áp dụng quy tắc trừ ta có uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur MA- MB- MC + MD = (MA- MB)- (MC - MD)= BA- DC = BA- DC Lấy là điểm đối xứng của qua B' uuur uuur uuur Buuur uAuur uuur uuur Khi đó - DC = AB' Þ BA- DC = BA + AB' = BB' uuur uuur uuur uuuur uuur Suy ra MA- MB- MC + MD = BB' = BB' = 2a · 0 Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD = 60 . Gọi O là tâm hình thoi. uuur uuur uuur uuur Tính AB+ AD , OB- DC . uuur uuur uuur uuur a 3 A. AB+ AD = a 3, B. OB- DC = 2 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai Lời giải:
4. uuur uuur uuur Bài 1.16: Ta có AB+ AD = AD = 2acos 300 = a 3, uuur uuur uuur a 3 OB- DC = CO = acos600 = 2 uuur uuur uuur Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ OA, OB, OC cùng bằng a và uuur uuur uuur r OA + OB+ OC = 0 a) Tính các góc AOB, BOC, COA · 0 · 0 A. AOB = 120 B. BOC = 60 · · · 0 · 0 C. AOB = BOC = COA = 120 D. COA = 30 uuur uuur uuur b) Tính OB+ AC - OA uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. OB+ AC - OA = a 3 B. OB+ AC - OA = 2a 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. OB+ AC - OA = 3a 3 D. OB+ AC - OA = a Lời giải: Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều nhận O làm trọng tâm do đó · · · 0 AOB = BOC = COA = 120 3 b) Gọi I là trung điểm BC. Theo câu a) DABC đều nên AI = a 2 uuur uuur uuur OB+ AC - OA = a 3 uuur uuur Bài 1.18: Cho góc Oxy . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của A,B sao cho OA + OB nằm trên phân giác của góc Oxy . 1 A. OA = OB B. OA = OB C. 2OA = OB D. OA = 2OB 2 Lời giải: uuur uuur uuur Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB. Khi đó: + = uuur OA OB OD Vậy OD nằm trên phân giác góc xOy Û OACB là hình thoi Û OA = OB .  DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải. • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E . Khẳng định nào đúng? a) uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur 1 uur uuur A. AB+ CD + EA = 2 CB+ ED B. AB+ CD + EA = CB+ ED ( ) 2 ( ) uuur uuur uuur 3 uur uuur uuur uuur uuur uur uuur C. AB+ CD + EA = CB+ ED D. AB+ CD + EA = CB+ ED 2 ( ) b)
5. uuur uuur uuur uuur uuur uur A. AC + CD- EC = 2(AE- DB+ CB) uuur uuur uuur uuur uuur uur B. AC + CD- EC = 3(AE- DB+ CB) uuur uuur uur uuur uuur uuur AE- DB+ CB C. AC + CD- EC = uuur uuur uuur uuur uu4ur uur D. AC + CD- EC = AE- DB+ CB Lời giải: a) Biến đổi vế trái ta có uuur uur uuur uuur uuur VT = (AC + CB)+ CD + (ED + DA) uur uuur uuur uuur uuur = (CB+ ED)+ (AC + CD)+ DA uur uuur uuur uuur = (CB+ ED)+ AD + DA uur uuur = CB+ ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uur uuur uuur r (AC - AE)+ (CD- CB)- EC + DB = 0 uuur uuur uuur uuur r Û + - + = uuurECuuurBDr EC DB 0 BD + DB = 0 (đúng) ĐPCM. Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? a) uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur A. + + = B. + + = BuuAur DuuAur uAuCur 0uuuuur BuuAur DuuAur AuuCur AuuBuur C. BA + DA + AC = 2AM D. BA + DA + AC = AM b) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuuur A. + + + = B. + + + = OuuAur OuuBur OuuCur OuuDur Or M OuuAur OuuBur OuuCur OuuDur 3uOuuMuur C. OA + OB+ OC + OD = 0 D. OA + OB+ OC + OD = 4OM c) . uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur MB+ MD A. MA + MC = 2MB+ 2MD B. MA + MC = 2 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur C. MA + MC = MB+ MD D. MA + MC = 3(MB+ MD) Lời giải: (Hình 1.12) uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Ta có BA + DA + AC = - AB- AD + AC uuur uuur uuur A = - (AB+ AD)+ AC B Theo quy tắc hình bình hành ta có uuur uuur uuur + = suy ra O uAuBur uAuDur uAuuCr uuur uuur r BA + DA + AC = - AC + AC = 0 D C Hình 1.12 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: = Þ + = + = uuur uuur r uuur uuur uuOurA uuCurO r OA OC OA AO 0 Tương tự: + = Þ + + + = . OB OD 0 OA OB OCuuurODuuur0 uuur uuur uuur uuur r c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = 0
6. uuur uuur uuur uuur uuuur uuur Þ MA + MC = MB+ BA + MD + DC uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur = MB+ MD + BA + DC = MB+ MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuuur uuur uuur uuur MA- MB = MD- MC Û BA = CD (đúng do ABCD là hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? a) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur A. BM + CN + AP = AB B. BM + CN + AP = AB uuur uuur uuur r uuur uuur uuur 2uuuur C. BM + CN + AP = 0 D. BM + CN + AP = 2AB b) uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 1AB uuur uuur uuur uuur BC A. AP + AN - AC + BM = B. AP + AN - AC + BM = uuur uuur uuur uuur uu2uur uuur uuur uuur uuur r2 C. AP + AN - AC + BM = AM D. AP + AN - AC + BM = 0 c) với O là điểm bất kì. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OM + ON + OP uuur uuur uuur OM + ON + OP A. OA + OB+ OC = B. OA + OB+ OC = C. uuur uuur uuur2 3 uuur uuur uuur OM + ON + OP uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB+ OC = D. OA + OB+ OC = OM + ON + OP 4 Lời giải: (Hình 1.13) a) Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên PN / /BM, MN / /BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành uuur uuur Þ BM = PN uuur uuur A N là trung điểm của AC Þ CN = NA Do đó theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur N BM + CN + AP = (PN + NA)+ AP P uuur uuur r = PA + AP = 0 b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình uuur uuur uuuur B C hành ta có + = , kết hợp với quy tắc trừ M uuur uuAurP uuAurN uuuArM uuuur uuur uuur uuur uuur Þ + - + = - + = + Hình 1.13 AuPuur AuNuur ACr BM AM AC BM CM BM Mà + = do là trung điểm của . CuMuur BuuMur u0uur Muuur r BC Vậy AP + AN - AC + BM = 0 . c) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB+ OC = (OP + PA)+ (OM + MB)+ (ON + NC) uuur uuur uuur uuur uuur uuur = (OM + ON + OP)+ PA + MB+ NC uuur uuur uuur uuur uuur uuur = (OM + ON + OP)- (BM + CN + AP) uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuur Theo câu a) ta có BM + CN + AP = 0 suy ra OA + OB+ OC = OM + ON + OP . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.19: Cho bốn điểm A,B,C,D . Tìm khẳng định đúng nhất? a) uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur DB- CB A. DA- CA = DB- CB B. DA- CA = 2
7. uuur uur uuur uur uuur uuur DB- CB uuur uuur DB- CB C. DA- CA = D. DA- CA = 4 3 b) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AD- CD + BA A. AC + DA + BD = AD- CD + BA B. AC + DA + BD = uuur uuur uuur uuur u2uur uuur uuur uuur uuur AD- CD + BA uuur uuur uuur AD- CD + BA C. AC + DA + BD = D. AC + DA + BD = 3 4 Lời giải: Bài 1.19: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur - = - Û - = - DAuuurCAuuurDB CB DA DB CA CB Û BA = BA (đúng) b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC + DA + BD = AD- CD + BA Û (DA + AC)+ BD = (BA + AD)- CD uuur uuur uuur uuur Û DC + BD = BD- CD (đúng) Bài 1.20: Cho các điểm A, B, C, D, E, F . Khẳng định nào đúng nhất? uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uur uur AE+ BF + CD uuur uur uur AE+ BF + CD A. AD + BE+ CF = B. AD + BE+ CF = uuur u2ur uuur 4 uuur uur uur AE+ BF + CD uuur uur uur uuur uur uuur C. AD + BE+ CF = D. AD + BE+ CF = AE+ BF + CD 3 Lời giải: Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với uuur uuur uur uur uur uuur r (AD- AE)+ (BE- BF)+ (CF - CD)= 0 uuur uur uuur r Û + + = EuuDr uFurE rDF 0 Û EF + FE = 0 (đúng) uuur uur uur uuur uuur uur uur uuur uuur Cách 2: VT = AD + BE+ CF = (AE+ ED)+ (BF + FE)+ (CD + DF) uuur uur uuur uuur uur uuur = AE+ BF + CD + ED + FE+ DF uuur uur uuur = AE+ BF + CD = VP Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng.Khẳng định nào đúng a) uuur uuur uuur uuur AC uuur uuur uuur uuuur A. AB+ OD + OC = B. AB+ OD + OC = 2AC uuur uuur uuur uu2ur uuur uuur uuur uuuur C. + + = D. + + = uuur uAuuBr uOuuDr uOuuCr AC AB OD OC 3AC b) + + = BA BuuCur OuuBur OuuuDr uuur uuur uuur uuur uuur A. + + = B. + + = BuuAur BuuCur OuuBur 3OuuDur BuuAur BuuCur OuuBur OuDuur C. + + = D. + + = uuur BuuAur BuuCur OuuBuur 4OuuDur BA BC OB 2OD c) BA + BC + OB = MO- MB uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur MO- MB uuur uuur uuur MO- MB A. BA + BC + OB = B. BA + BC + OB = 2 uuuur 3 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur MO- MB C. BA + BC + OB = MO- MB D. BA + BC + OB = 4 Lời giải:
8. uuur uuur Bài 1.21 a) Ta có = do đó uuur uuur uuur OuDuur BuuOur uuur uuur uuur uuur A AB+ OD + OC = AB+ BO + OC = AO + OC = AC B b) Theo quy tắc hình bình hành ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur + + = + = + = O BA BC OB BDuuur OBuuur OBuuur BDuuur OD c) Theo câu b) ta có + + = D BAuuuurBC uuuOr B uuOur D C Theo quy tắc trừ ta có - = uuur uuur uMuurO uuMur BuuurBOuuuur uuur Hình 1.47 Mà OD = BO suy ra BA + BC + OB = MO- MB Bài 1.22: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Khẳng định nào đúng? a) uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur A. + + = B. + + = NuuAur PuuBr MuuuCr uAuBur NuuAur PuuBr MuuuCr Br C C. NA + PB+ MC = AC D. NA + PB+ MC = 0 b) uuuur uuur uur uuur 1 uuur uur uuur uuur A. MC + BP + NC = BC B. MC + BP + NC = 2BC uuur uur uuur u2uuur uuur uur uuur uuur C. MC + BP + NC = 3BC D. MC + BP + NC = BC Lời giải: Bài 1.22: (Hình 1.48) uur uuur uuur uuur A a) Vì PB = AP, MC = PN nên uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r + + = + + = + = N NA uPuuBr MuuCur NA AP PN NP PN 0 P b) Vì MC = BM và kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur C MC + BP + NC = BM + BP + NC = BN + NC = BC B M Hình 1.48 Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C' D' có chung đỉnh A. Khẳng định nào đúng uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur r A. B' B+ CC'+ D' D = AC B. B' B+ CC'+ D' D = 0 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur BD C. B' B+ CC'+ D' D = BC D. B' B+ CC'+ D' D = 2 Lời giải: Bài 1.23: Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur B' B+ CC'+ D' D = (AB- AB')+ (AC'- AC)+ (AD- AD') uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = (AB+ AD)- AC - (AB'+ AD')+ AC = 0 uuur uuur uuur uuur uuur r Bài 1.24: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng OA + OB+ OC + OE+ OF = 0 Lời giải: r uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.24: Đặt = + + + + u OA OBuuur OCuuur OEuuur OFuuur uuur r uuur Vì ngũ giác đều nên vectơ + + + cùng phương với nên cùng phương với . r OAuuurOB OCr OrE OF u OF Tương tự cùng phương với suy ra = . u OE u 0uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD . Dựng AM = BA , MN = DA, NP = DC, PQ = BC . uuur r Chứng minh rằng: AQ = 0 . Lời giải: uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.25: Theo quy tắc ba điểm ta có AQ = AM + MN + NP + PQ = BA + DA + DC + BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Mặt khác BA + BC = BD,DA + DC = DB suy ra AQ = BD + DB = 0