Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 3: Khoảng cách và góc

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 3: Khoảng cách và góc

1. Đ3. KHOẢNG CÁCH VÀ GểC 1. Khoảng cỏch từ một điểm tới đường thẳng : a) Cụng thức tớnh khoảng cỏch từ một điểm tới đường thẳng : Cho đường thẳng D : ax + by + c = 0 và điểm M(x0 ; y0 ). Khi đú khoảng cỏch từ M đến (D) được tớnh ax + by + c bởi cụng thức: d(M,(D)) = 0 0 . a2 + b2 b) Vị trớ của hai điểm đối với đường thẳng. 1 m2 9 ổ 3 3ử Cho đường thẳng V: ax + by + c = 0 và - > 0 Û m2 0 - M, N khỏc phớa với D Û (axM + byM + c)(axN + byN + c)< 0 Chỳ ý: Phương trỡnh đường phõn giỏc của gúc tạo bởi hai đường thẳng : D 1 : a1x + b1y + c1 = 0 và D 2 : a2x + b2 y + c2 = 0 là: D . 2. Gúc giữa hai đường thẳng: a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn gúc. Số đo nhỏ nhất của cỏc gúc đú được gọi là số đo của gúc giữa hai đường thẳng a và b , hay đơn giản là gúc giữa ổ ử ổ ử ỗ - 6 - 6m ữ ỗ 6 6m ữ Bỗ ; ữ; Dỗ ; ữ và D ^ D ' . Khi a song song hoặc trựng với b , ta ỗ 2 2 ữ ỗ 2 2 ữ ốỗ 9- 4m 9- 4m ứữ ốỗ 9- 4m 9- 4m ứữ quy ước gúc giữa chỳng bằng 00 . b) Cụng thức xỏc định gúc giữa hai đường thẳng. Gúc xỏc định hai đường thẳng 9m2 - 4 = 9- 4m2 Û m = ± 1 và m = ± 1 cú phương trỡnh Oxy và y2 = 8x được xỏc định bởi cụng thức D .  DẠNG 1. Bài toỏn liờn quan đến khoảng cỏch từ một điểm tới một đường thẳng. 1.Phương phỏp giải. Để tớnh khoảng cỏch từ điểm Ox đến đường thẳng Fx ta dựng cụng thức Ft 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Cho đường thẳng D a) Tớnh khoảng cỏch từ điểm A(- 1; 3) đến đường thẳng D
2. 1 2 3 5 A. B. C. D. 34 34 34 34 b) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng song song a và V': 5x + 3y + 8 = 0 13 12 11 15 A. B. C. D. 34 34 34 34 Lời giải: 5.(- 1)+ 3.3- 5 1 a) Áp dụng cụng thức tớnh khoảng cỏch ta cú: d(B,D) = = 52 + 32 34 5.1+ 3.0 + 8 13 b) Do M(1;0)ẻ V nờn ta cú d(D;D ')= d(M,D ') = = 52 + 32 34 Vớ dụ 2: (ĐH – 2006A): Cho 3 đường thẳng cú phương trỡnh V1: x + y + 3 = 0; V2 : x- y- 4 = 0; V3 : x- 2y = 0 Tỡm tọa độ điểm M nằm trờn V3 sao cho khoảng cỏch từ M đến V1 bằng 2 lần khoảng cỏch từ M đến V2 . A. M(- 22;- 11) B. M(2;1) C. M1 (- 22;- 11), M2 (2;1) D. M(0;0) Lời giải: M ẻ D 3 ị M(2t;t) Khoảng cỏch từ M đến V1 bằng 2 lần khoảng cỏch từ M đến V2 nờn ta cú 2t + t + 3 2t - t - 4 d(M;D 1)= 2d(M;D 2 )Û = 2 2 2 ộ3t + 3 = 2(t - 4) ột = - 11 Û ờ Û ờ ờ + = - - ờ = ởờ3t 3 2(t 4) ở t 1 Vậy cú hai điểm thỏa món là M1 (- 22;- 11), M2 (2;1) Vớ dụ 3: Cho ba điểm A(2;0), B(3; 4) và P(1;1). Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua P đồng thời cỏch đều A và B A. D : 2x- 3y + 1= 0 B. MPNQ và D 2 : 2x- 3y- 21= 0 C. MPNQ và D 2 : 2x- 3y + 3 = 0
3. D. MPNQ và D 2 : 2x- 3y + 1= 0 Lời giải: Đường thẳng D đi qua P cú dạng d : y = x + m hay ax + by- a- b = 0 D cỏch đều A và B khi và chỉ khi a- b 2a + 3b d(A;D)= d(B;D)Û = a2 + b2 a2 + b2 ộa- b = 2a + 3b ộa = - 4b Û ờ Û ờ ờ ờ ởờb- a = 2a + 3b ở3a = - 2b x2 y2 + Nếu DABC , chọn + = 1 suy ra D : 4x- y- 3 = 0 9 4 + Nếu 3a = - 2b . chọn D 2 suy ra MPNQ Vậy cú hai đường thẳng thỏa món bài toỏn là MPNQ và D 2 : 2x- 3y + 1= 0 Vớ dụ 4: Cho tam giỏc ABC cú A(1;- 2), B(5; 4), C(- 2,0) . Hóy viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong gúc A. A. 5x + y- 3 = 0 B. 2x + y = 0 C. 3x + y- 1= 0 D. 4x + y- 2 = 0 Lời giải: Cỏch 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC cú phương trỡnh AB: 3x- 2y- 7 = 0 , AC: F1 , F2 Ta cú phương trỡnh đường phõn giỏc gúc A là F1 2 2 Ta thấy AF1 nờn 2 điểm B,C nằm về cựng 1 phớa đối với đường thẳng F2 . Vậy ABF2 : x - 4y = 20 là phương trỡnh đường phõn giỏc trong cần tỡm. Cỏch 2: Gọi D : x- 3y = 0 là chõn đường phõn giỏc hạ từ A của tam giỏc ABC uuur AB uuur Ta cú BD = DC AC Mà AB = 2 13, AC = 13 uuur uuur r M(0; 2) suy ra 3MA- 5MB = 0 y + 2 x- 1 Ta cú phương trỡnh đường phõn giỏc AD: = hay 5x + y- 3 = 0 4 1 + 2 - 1 3 3
4. Cỏch 3: Gọi M(x; y) thuộc đường thẳng D là đường phõn giỏc gúc trong gúc A Ta cú D uuur uuuur uuur uuuur Do đú cos(AB, AM) = cos(AC, AM) (*) uuur uuur uuuur Mà AB = (4;6) ; AC = (- 3; 2) ; AM = (x- 1; y + 2) thay vào (*) ta cú 4(x- 1)+ 6(y + 2) - 3(x- 1)+ 2(y + 2) = 42 + 62 (x- 1)2 + (y + 2)2 (- 3)2 + 22 (x- 1)2 + (y + 2)2 Û 2(x- 1)+ 3(y + 2) = - 3(x- 1)+ 2(y + 2) Û 5x + y- 3 = 0 Vậy đường phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh là: 5x + y- 3 = 0 Vớ dụ 5: Cho điểm C(- 2; 5) và đường thẳng D : 3x- 4y + 4 = 0 . Tỡm trờn D hai điểm A, B đối xứng ổ 5ử với nhau qua Iỗ2; ữ và diện tớch tam giỏc ABC bằng 15 . ốỗ 2ứữ ổ52 50ử ổ 8 5 ử ổ 8 5 ử ổ52 50ử A. Aỗ ; ữ, Bỗ- ; ữ hoặc Aỗ- ; ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ12 12ứữ ốỗ 12 12ứữ ốỗ 12 12ứữ ốỗ12 12ứữ ổ52 50ử ổ 8 5 ử ổ 8 5 ử ổ52 50ử B. Aỗ ; ữ, Bỗ- ; ữ hoặc Aỗ- ; ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ11 11ứữ ốỗ 11 11ứữ ốỗ 12 12ứữ ốỗ12 12ứữ ổ52 50ử ổ 8 5 ử ổ 8 5 ử ổ52 50ử C. Aỗ ; ữ, Bỗ- ; ữ hoặc Aỗ- ; ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ13 13ứữ ốỗ 11 11ữứ ốỗ 11 11ứữ ốỗ13 13ứữ ổ52 50ử ổ 8 5 ử ổ 8 5 ử ổ52 50ử D. Aỗ ; ữ, Bỗ- ; ữ hoặc Aỗ- ; ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ11 11ứữ ốỗ 11 11ữứ ốỗ 11 11ứữ ốỗ11 11ứữ Lời giải: r Dễ thấy đường thẳng D đi qua M(0;1) và nhận u(4; 3) làm vectơ chỉ phương nờn cú phương trỡnh tham ùỡ x = 4t số là ớù ợù y = 1+ 3t Vỡ A ẻ D nờn A(4t;1+ 3t), t ẻ R . ùỡ + ù 4t xB ổ ử ù 2 = ùỡ = - ỗ 5ữ ù 2 ù xB 4 4t Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua Iỗ2; ữ suy ra ớ Û ớ ốỗ 2ứữ ù 5 1+ 3t + y ù y = 4- 3t ù = B ợù B ợù 2 2 Do đú B(4- 4t; 4- 3t) 2 2 3.(- 2)- 4.5+ 4 22 Ta cú AB = (4- 8t) + (3- 6t) = 5 2t - 1 và d(C;D)= = 5 5
5. 1 1 22 Suy ra S = AB.d(C;D)= .5 2t - 1 . = 11 2t - 1 ABC 2 2 5 15 13 2 Diện tớch tam giỏc ABC bằng 15 Û 11 2t - 1 = 15 Û 2t - 1= ± Û t = hoặc t = - . 12 11 11 13 ổ52 50ử ổ 8 5 ử Với t = ị Aỗ ; ữ, Bỗ- ; ữ 11 ốỗ11 11ứữ ốỗ 11 11ứữ 2 ổ 8 5 ử ổ52 50ử Với t = - ị Aỗ- ; ữ, Bỗ ; ữ 11 ốỗ 11 11ứữ ốỗ11 11ứữ ổ52 50ử ổ 8 5 ử ổ 8 5 ử ổ52 50ử Vậy Aỗ ; ữ, Bỗ- ; ữ hoặc Aỗ- ; ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ11 11ứữ ốỗ 11 11ứữ ốỗ 11 11ứữ ốỗ11 11ứữ  DẠNG 2: Bài toỏn liờn quan đến gúc giữa hai đường thẳng. 1.Phương phỏp giải: • Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , gúc giữa hai đường thẳng D 1 ;D 2 cú phương trỡnh 2 2 (D 1 ) : a1x + b1y + c1 = 0, (a1 + b1 ạ 0) 2 2 (D 2 ) : a2x + b2 y + c2 = 0, (a2 + b2 ạ 0) được xỏc định theo cụng thức: a a + b b cos(D ,D )= 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 • Để xỏc định gúc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết vộc tơ chỉ phương( hoặc vectơ phỏp tuyến ) ur uur uur uur của chỳng D D = = . cos( 1 , 2 ) cos(u1 ,u2 ) cos(n1 ,n2 ) 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Xỏc định gúc giữa hai đường thẳng trong cỏc trường hợp sau: ỡ ù x = t a) D 1 : 3x- 2y + 1= 0; D 2 :ớ (t ẻ R) ợù y = 7 - 5t 0 0 0 0 A. (D 1 ;D 2 )= 45 B. (D 1 ;D 2 )= 55 C. (D 1 ;D 2 )= 60 D. (D 1 ;D 2 )= 30 ỡ ỡ ù x = 1- t ù x = 2- 4t' b) D 1 :ớ (t ẻ R) D 2 :ớ (t' ẻ R) ợù y = 1+ 2t ợù y = 5- 2t' 0 0 0 0 A. (D 1 ;D 2 )= 90 B. (D 1 ;D 2 )= 55 C. (D 1 ;D 2 )= 60 D. (D 1 ;D 2 )= 30 Lời giải:
6. uur uur a) n1 (3;- 2), n2 (5;1) lần lượt là vectơ phỏp tuyến của đường thẳng D 1 và D 2 suy ra 3.5- 2.1 2 cos(D 1 ,D 2 )= = do đú Ox 13. 26 2 ur uur b) u1 (- 1; 2), u2 (- 4;- 2) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D 1 và D 2 suy ra x2 y2 + = 1(a > b > 0) do đú F(c;0) a2 b2 1 1 Vớ dụ 2: Tỡm D để gúc hợp bởi hai đường thẳng + và FM FN x2 y2 + = 1(a > b > 0) một gúc bằng F , F a2 b2 1 2 2 6 4 1 A. m = - B. m = - C. m = - D. m = - 3 3 3 3 Lời giải: ã Ta cú: F1MF2 0 Theo bài ra gúc hợp bởi hai đường thẳng F1F2 bằng 30 nờn m 3 - 1 3 m 3 - 1 cos 300 = Û = Û 3(m2 + 1) = m 3 - 1 2. m2 + 1 2 2. m2 + 1 Hay F1 , F2 Vậy A1 , A2 là giỏ trị cần tỡm. Vớ dụ 3: Cho đường thẳng d : 3x- 2y + 1= 0 và M(1; 2). Viết phương trỡnh đường thẳng D đi qua M và tạo với d một gúc 45o . A. D 1 : 2x- y = 0 và D 2 : 5x + y- 7 = 0 B. D 1 : x- 5y + 9 = 0 và D 2 : 3x + y- 5 = 0 C. D 1 : 3x- 2y + 1= 0 và D 2 : 5x + y- 7 = 0 D. D 1 : x- 5y + 9 = 0 và D 2 : 5x + y- 7 = 0 Lời giải: Đường thẳng D đi qua M cú dạng D : a(x- 1)+ b(y- 2)= 0, a2 + b2 ạ 0 hay ax + by- a- 2b = 0 Theo bài ra D tạo với d một gúc 450 nờn:
7. 3a + (- 2b) 2 3a- 2b cos 450 = Û = 32 + (- 2)2 . a2 + b2 2 13. a2 + b2 ộa = 5b Û 2 + 2 = - Û 2 - - 2 = Û ờ 26(a b ) 2 3a 2b 5a 24ab 5b 0 ờ ở5a = - b + Nếu a = 5b , chọn a = 5, b = 1 suy ra D : 5x + y- 7 = 0 + Nếu 5a = - b , chọn a = 1, b = - 5 suy ra D : x- 5y + 9 = 0 Vậy cú 2 đường thẳng thoả món D 1 : x- 5y + 9 = 0 và D 2 : 5x + y- 7 = 0 Vớ dụ 4: Cho 2 đường thẳng a . Viết phương trỡnh đường thẳng D qua gốc toạ độ sao cho D tạo với D 1 2 ã 0 và y = 16x tam giỏc cõn cú đỉnh là giao điểm A(1; 4) và BAC = 90 . A. D 1 : 3x + y = 0 và D 2 : x- 3y- 1= 0 B. D 1 : 3x + y- 1= 0 và D 2 : x- 3y = 0 C. D 1 : 3x + y- 1= 0 và D 2 : x- 3y- 1= 0 D. D 1 : 3x + y = 0 và D 2 : x- 3y = 0 Lời giải: Đường thẳng HI = k.HM, 0 < k < 1 qua gốc toạ độ cú dạng ax + by = 0 với y2 = 4x Theo giả thiết ta cú M ạ O hay T ạ O, OT + Nếu Oxy, , chọn (P) : y2 = 4x suy ra D : 3x + y = 0 + Nếu d , chọn OAB suy ra D : x- 3y = 0 Vậy cú hai đường thẳng thỏa món là D 1 : 3x + y = 0 và D 2 : x- 3y = 0