›
›
›

Đề cương ôn tập Hình học Lớp 11

pdf 411 trang hangtran11 10/03/2022 5071
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Hình học Lớp 11", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_hinh_hoc_lop_11.pdf

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 11

  1. CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1. PHÉP BIẾN HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Đặt vấn đề: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuơng gĩc M’ của điểm M lên đường thẳng d. Ta đã biết rằng với mỗi điểm M cĩ một điểm M’ duy nhất là hình chiếu vuơng gĩc của điểm M trên đường thẳng d cho trước (hình 1.1). Ta cĩ định nghĩa sau: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đĩ được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Nếu H là một hình nào đĩ trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H ’ = F(H) là tập các điểm M’ F M , với mọi điểm M thuộc H. Khi đĩ ta nĩi F biến hình H thành hình H ’, hay hình H ’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nĩ được gọi là phép đồng nhất. 2. Biểu thức tọa độ Gọi Mx;y là điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta cĩ: Mʹ fM . xʹ gx;y Với Mʹ xʹ;yʹ sao cho: 1 yʹ hx;y Hệ (1) được gọi là biểu thức tọa độ của phép biến hình f. 3. Điểm bất động của phép biến hình Một điểm MP gọi là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu fM M. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 457 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  2. Nếu fM M với mọi điểm MP thì f được gọi là phép đồng nhất. B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ của phép biến hình. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M1;2 , M’ là ảnh của M qua phép biến hình f cĩ xʹ 2x y 1 biểu thức tọa độ: . Tìm tọa độ xʹ;yʹ của M’. yʹ xy2 Giải xʹ 2.1 2 1 1 Thay tọa độ điểm M vào biểu thức tọa độ của M’, ta được: yʹ 1225 Vậy Mʹ 1; 5 . Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d cĩ phương trình xy10 . Tìm ảnh xʹ 2x y của đường thẳng d qua phép biến hình cĩ biểu thức tọa độ là: . yʹ 3x 2y Giải xʹ 2x y x 2xʹ yʹ Ta cĩ: * yʹ 3x 2y y 3xʹ 2yʹ Thay (*) vào phương trình của d, ta được: 2xʹ yʹ 3xʹ 2yʹ 10 xʹ yʹ 10. Do đĩ, phương trình của d’, ảnh của đường thẳng d là: xy10 . Dạng 2. Tìm điểm bất động của phép biến hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ của phép biến hình. xʹ 2x y 1 Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình f cĩ biểu thức tọa độ là: . yʹ x2y1 Tìm các điểm bất động của phép biến hình f. Giải xʹ x Mx;y là điểm bất động khi Mʹ fM M. Do đĩ, nếu Mʹ xʹ;yʹ thì . yʹ y x2xy1 Thay vào biểu thức tọa độ, ta được: hay xy10 . yx2y1 Vậy các điểm bất động của f nằm trên đường thẳng cĩ phương trình xy10 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 458 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  3. C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN   Câu 1. Gọi f là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ được xác định bởi: OMʹ OM với O là điểm cố định. Hỏi f cĩ mấy điểm sao cho MfM A. Duy nhất 1 điểm B. Ít nhất một C. Ít nhất là hai D. khơng cĩ điểm nào Hướng dẫn giải Đáp án A    MfM  OMOMOM0OM . Vậy cĩ duy nhất 1 điểm cĩ ảnh là chính nĩ, đĩ là gốc tọa độ O.    Câu 2. Gọi f là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ được xác định bởi MMʹ v ( v là vectơ cho sẵn khác 0 ). Hỏi điểm nào nằm trên đoạn thẳng AB cĩ ảnh qua f là chính nĩ A. A B. B C. trung điểm của AB D. khơng cĩ điểm nào Hướng dẫn giải Đáp án D   Gọi M thuộc đoạn thẳng AB cĩ ảnh qua f là chính nĩ, ta cĩ MfM MMʹ v0 khơng cĩ điểm M nào. Câu 3. Cho đường thẳng cố định. Gọi f là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho MMʹ  taiH   Giả sử Aʹ fA,B ʹ fB. Khẳng định nào sau đây đúng MH MʹH A. AB AʹBʹ B. AB AʹBʹ C. AB AʹBʹ D. Chỉ A đúng Hướng dẫn giải Đáp án C Vì Aʹ fA và Bʹ fB nên là đường trụng trực của AAʹ và BB’. Trong hình thang ABB’A’, ta cĩ AʹBʹ AB. Câu 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, a1;2;Mx,y;M ʹ xʹ,yʹ . Biểu thức tọa độ của phép biến hình  f biến M thành M’ sao cho MMʹ a cĩ cơng thức nào sau đây: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 459 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  4. xʹ x1 xʹ x1 A. B. yʹ y2 yʹ y2 xʹ x2 xʹ y1 C. D. yʹ y1 yʹ x2 Hướng dẫn giải Đáp án A  xʹ x1 Vì MMʹ a nên yʹ y2 Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến Mx,y thành Mʹ xʹ,yʹ được xác định bởi xʹ x . Điểm nào sau đây cĩ ảnh qua f là chính nĩ yʹ 2y A. 0;0 B. 1; 0 C. 0;1 D. x,0 Hướng dẫn giải Đáp án D xx x M là ảnh qua f chính là M MfM y2y y0 Câu 6. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến Mx,y thành Mʹ xʹ,yʹ được xác định bởi xʹ x . Ảnh của :x y 0 qua f cĩ phương trình là: yʹ y 1 B. 1; 0 C. 0;1 D. x,0 A. yx 2 Hướng dẫn giải Đáp án C xʹ xxxʹ Từ thay vào xy0 yʹ yyy ʹ Ta cĩ: xʹ yʹ 0xy0 Câu 7. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến Mx,y thành Mʹ xʹ,yʹ được xác định bởi xʹ xy . Gọi A1;2 và B1;3 . Tính độ dài của AʹBʹ ta được: yʹ xy Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 460 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  5. A. 10 B. 3 C. 23 D. 10 Hướng dẫn giải Đáp án D xʹ xy x121 Vì nên A’ cĩ tọa độ Aʹ yʹ xy y213Aʹ Tương tự ta tìm được B4;2 . Do đĩ: AʹBʹ 10 Câu 8. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến Mx,y thành Mʹ xʹ,yʹ được xác định bởi 2 xʹ x x 2 . Ảnh của elip E: y 1 qua f là (E’) cĩ phương trình yʹ 2y 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 C. 2y2 1 D. x12 24 41 4 2 Hướng dẫn giải Đáp án A xx ʹ 2 2 2 xʹ x x 2 x y Vì nên yʹ thay vào E: y 1ta được 1 yʹ 2y y 2 24 2 Câu 9. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến Mx,y thành Mʹ xʹ,yʹ được xác định bởi xʹ x . Ảnh của đường trịn C:x 22 y 4 0 qua f cĩ phương trình yʹ 2y x2 y2 x2 y2 C. x2y122 y2 A. 1 B. 1 D. x42 24 21 4 Hướng dẫn giải Đáp án D xx ʹ 2 xʹ x 22 2 y Vì nên yʹ thay vào C:x y 4 0ta được x4 yʹ 2y y 4 2 Câu 10. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến Mx,y thành Mʹ xʹ,yʹ được xác định xʹ 2x bởi . Gọi Mʹʹ xʹʹ,yʹʹ là ảnh của M’ qua f. Tọa độ của M’’ tính theo x,y của M là: yʹ y Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 461 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  6. xʹʹ 4x xʹʹ 2x xʹʹ x xʹʹ 3x A. B. C. D. yʹʹ y yʹʹ y yʹʹ y yʹʹ y Hướng dẫn giải Đáp án A xʹ 2x xʹʹ 2xʹ xʹʹ 22x 4zx Vì nên . Suy ra: yʹ y yʹʹ yʹ yʹʹ y Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 462 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  7. BÀI 2. PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Khi đẩy một cánh cửa trượt sao cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy từng điểm của cánh cửa cũng được dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B (h.1.2). Khi đĩ  ta nĩi cánh cửa được tịnh tiến theo vectơ AB . I. Định nghĩa    Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MMʹ v  được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .   Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được ký hiệu là T,v được gọi là vectơ tịnh tiến. v   Như vậy: TM Mʹ MMʹ v v Phép tịnh tiến theo vectơ – khơng chính là phép đồng nhất. Ví dụ: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 463 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  8. II. Tính chất   Tính chất 1. Nếu TM  Mʹ,T N Nʹ thì MʹNʹ MN và từ đĩ suy ra MʹNʹ MN vv Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 464 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  9. Nĩi cách khác, phép tính tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Từ tính chất 1 ta chứng minh được tính chất sau. Tính chất 2 Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nĩ, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nĩ, biến tam giác thành tam giác bằng nĩ, biến đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính (h.1.7). III. Biểu thức tọa độ  Trong mặt phẳng Oxy cho điểm Mx;y và vectơ va;b . Gọi Mʹ xʹ;yʹ TM . Ta cĩ: v xʹ xa yʹ yb  Đây là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ v . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.  Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho v2;1 và đường thẳng d cĩ phương trình 5x 3y 1 0 . Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến T . v Giải Cách 1. Vì dʹ Td nên dʹ∥d . Do đĩ dʹ :5x 3y c 0. Lấy M1;2d . Khi đĩ v Mʹ TM 12;21 1;1. Mà Mʹ dʹ nên: 5.1 3.1 c 0 c 8 . Vậy v dʹ :5x 3y 8 0. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 465 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  10. xʹ x2 xx ʹ 2 Cách 2. Ta cĩ: yʹ y1 yy ʹ 1 Thế x, y vào phương trình của d’, ta được: 5. xʹ 23.y ʹ 1105x ʹ 3yʹ 80. Vậy phương trình đường thẳng dʹ :5x 3y 8 0. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn (C) cĩ phương trình xy4x2y4022 .  Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v3;2 . Giải xʹ x3 xxʹ 3 Cách 1. Biểu thức tọa độ của T là: . v yʹ y2 yyʹ 2 Thay vào phương trình của (C) ta được: 22 xʹ 3yʹ 24xʹ 32yʹ 240xʹ22yʹ 10xʹ 2yʹ 17 0 Vậy ảnh của (C) qua T là: Cʹ :x22 y 10x 2y 17 0. v Cách 2. Đường trịn cĩ tâm I2;1 và bán kính r3 . Ảnh Iʹ TI cĩ tọa độ v xʹ 23;yʹ 15;1 . Đường trịn ảnh (C’) cĩ tâm Iʹ 5;1 và bán kính rʹ r3 nên cĩ phương 22 trình: x5 y1 9 x22 y 10x2y170. Dạng 2. Dùng phép tịnh tiến để tìm tập hợp điểm di động Phương pháp giải: Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến. Ví dụ: Cho đường trịn (C) qua điểm A cố định và cĩ bán kính R khơng đổi. Một đường thẳng d cĩ phương khơng đổi đi qua tâm I của (C). Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm M và M’. Tìm tập hợp các điểm M và M’. Giải Tập hợp các điểm I là đường trịn (I), tâm A, bán kính R. I' Vì IM cĩ phương khơng đổi (phương của d) và IM R   M (khơng đổi) nên IM v (vectơ hằng). Do đĩ: v A MTI  . Vậy, tập hợp điểm M là đường trịn (I’), v I ảnh của (I) qua T . v M' I''   (C) Tương tự, IMʹ v nên Mʹ TI . Vậy tập hợp v những điểm M’ là đường trịn (I’’) ảnh của (I) qua T  . v Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 466 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  11. Dạng 3. Dùng phép tịnh tiến để dựng hình Phương pháp giải: Muốn dựng một điểm, N chẳng hạn, ta thực hiện các bước sau:  Bước 1. Xác định điểm M và phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho TM N. v Bước 2. Tìm cách dựng điểm M rồi suy ra N. Ví dụ: Cho hai điểm cố định A, B phân biệt và hai đường thẳng d;d12 khơng song song với nhau. Giả sử điểm M thuộc d1 và điểm N thuộc d2 sao cho ABMN là hình bình hành. Hãy dựng điểm N. Giải Giả sử bài tốn đã giải xong, ta cĩ Md,Nd 12 và d2 d ' d1 ABMN là hình bình hành. 2   Vì ABMN là hình bình hành nên NM AB , suy ra N M MT  N. AB Gọi d ʹ là ảnh của d qua T thì Md  dʹ . A B 2 2 AB 12 Cách dựng M: Dựng d ʹ Td . 22AB Gọi d21ʹ dM, M là điểm phải dựng. Vì d1 khơng song song với d2 (giả thiết) nên d2 ʹ cắt d1 tại một điểm duy nhất. Bài tốn luơn luơn cĩ một lời giải. Để dựng N, ta dựng ảnh của M trong T . BA C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho đường thẳng d. Cĩ bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Vectơ tịnh tiến cĩ giá song song với d. Câu 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Cĩ bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 467 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  12. C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Vì phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đĩ. Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Cĩ bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Vectơ tịnh tiến cĩ giá khơng song song với d. Câu 4. Cho hai đường thẳng song song a và a’, một đường thẳng c khơng song song với chúng. Cĩ bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ và biến đường thẳng c thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.  Giả sử c cắt a và a’ tại A và A’. Vectơ tịnh tiến phải là AAʹ . Câu 5. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đĩ aa∥∥ʹ,b bʹ và a cắt b. Cĩ bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ và biến mỗi đường thẳng b và b’ thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.  Giả sử b cắt a và a’ tại A và A’. Vectơ tịnh tiến phải là AAʹ . Câu 6. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đĩ aa∥∥ʹ,b bʹ và a cắt b. Cĩ bao nhiêu phép tịnh tiến biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’? Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 468 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  13. A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.  Giả sử a và b cắt nhau tại M, a’ và b’ cắt nhau tại M’. Vectơ tịnh tiến phải là MMʹ . Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị của hàm số ysinx . Cĩ bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đĩ thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Các phép tịnh tiến theo vectơ 2k , với k là số nguyên.   Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u3;1 . Phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm M1;4 thành: A. điểm Mʹ 4; 5 B. điểm Mʹ 2; 3 C. điểm Mʹ 3; 4 D. điểm Mʹ 4;5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.   Phải cĩ MMʹ u . Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A3;2 thành điểm Aʹ 2;3 thì nĩ biến điểm B2;5 thành: A. điểm Bʹ 5;2 B. điểm Bʹ 1; 6 C. điểm Bʹ 5;5 D. điểm Bʹ 1;1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.   Phải cĩ BBʹ AAʹ. Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm M4;2 thành điểm Mʹ 4;5 thì nĩ biến điểm A2;5 thành: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 469 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  14. A. điểm Aʹ 5;2 B. điểm Aʹ 1; 6 C. điểm Aʹ 2;8 D. điểm Aʹ 2;5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.   Phải cĩ AAʹ MMʹ .  Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ u4;6 biến đường thẳng a cĩ phương trình xy10 thành: A. đường thẳng xy90 B. đường thẳng xy90 C. đường thẳng xy90 D. đường thẳng xy90 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Phép tịnh tiến đĩ biến điểm Mx;y thành điểm Mʹ xʹ;yʹ sao cho xʹ x4 và yʹ y6 hay xx ʹ 4 và yy ʹ 6 . Nếu Ma thì xy10 nên xʹ 4y ʹ 610 hay xʹ yʹ 90. Vậy M’ nằm trên đường thẳng xy90 . Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A2;1 thành điểm Aʹ 3;0 thì nĩ biến đường thẳng nào sau đây thành chính nĩ? A. xy10 B. xy1000 C. 2x y 4 0 D. 2x y 1 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.   Vectơ tịnh tiến là uAA ʹ 1;1 , đường thẳng biến thành chính nĩ khi và chỉ khi nĩ cĩ vectơ chỉ  phương là u . Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A2;1 thành điểm Aʹ 1; 2 thì nĩ biến đường thẳng a cĩ phương trình 2x y 1 0 thành đường thẳng cĩ phương trình: A. 2x y 1 0 B. 2x y 0 C. 2x y 6 0 D. 2x y 1 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Lấy điểm M0;1 nằm trên a, M biến thành Mʹ 1; 4 mà M’ nằm trên đường thẳng cĩ phương trình 2x y 6 0 nên đĩ là đường thẳng ảnh của a. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 470 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  15. Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a’ lần lượt cĩ phương trình 3x 2y 0 và 3x 2y 1 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến đường thẳng a thành đường thẳng a’?     A. u1;1 B. u1;1 C. u1;2 D. u1;2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Lấy điểm O0;0 nằm trên a, một điểm Mx;y nằm trên a’ nếu 3x 2y 1 0 .    Vectơ tịnh tiến là uOMx;y với điều kiện 3x 2y 1 0 . Vectơ u1;1 ở phương án A thỏa mãn điều kiện đĩ. Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a’ lần lượt cĩ phương trình 2x 3y 1 0 và 2x 3y 5 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây khơng biến đường thẳng a thành đường thẳng a’?     A. u0;2 B. u3;0 C. u3;4 D. u1;1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.  Nếu vectơ tịnh tiến là ua;b thì điểm Mx;y biến thành điểm Mʹ xʹ;yʹ sao cho xʹ xa , yʹ yb hay xx ʹ a, y yʹ b. Vậy đường thẳng 2x 3y 1 0 biến thành đường thẳng 2x ʹ a3yʹ b10 hay 2xʹ 3yʹ 2a 3b 1 0 . Muốn đường thẳng này trùng với đường  thẳng aʹ :2x 3y 5 0 ta phải cĩ 2a 3b 1 5 hay 2a 3b 6 . Vectơ u ở phương án D khơng thỏa mãn điều kiện đĩ. Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a’ lần lượt cĩ phương  trình 3x 4y 5 0 và 3x 4y 0 . Phép tịnh tiến theo u biến đường thẳng a thành đường thẳng  a’. Khi đĩ độ dài bé nhất của vectơ u bằng bao nhiêu? A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng a và a’. Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng a cĩ phương trình 3x 2y 5 0 . Phép tịnh  tiến theo vectơ u1;2 biến đường thẳng đĩ thành đường thẳng a’ cĩ phương trình: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 471 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  16. A. 3x 2y 4 0 B. 3x 2y 0 C. 3x 2y 10 0 D. 3x 2y 7 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Phép tịnh tiến cĩ biểu thức tọa độ xʹ x1;y ʹ y2. Như vậy xx ʹ 1; y yʹ 2 , thay vào phương trình của a ta được phương trình của a’ là 3x ʹ 12y ʹ 250 , vậy a’ cĩ phương trình 3x 2y 4 0 . Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol cĩ đồ thị yx 2 . Phép tịnh tiến theo vectơ  u2;3 biến parabol đĩ thành đồ thị của hàm số: A. yx 2 4x1 B. yx 2 4x1 C. yx 2 4x1 D. yx 2 4x1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Phép tịnh tiến biến điểm Mx;y thành điểm Mʹ xʹ;yʹ mà xx ʹ 2; y yʹ 3 nếu M thuộc 2 parabol đã cho thì yʹ 3x ʹ 2 hay yʹ xʹ2 4xʹ 1. Vậy M thuộc parabol cĩ đồ thị như phương án B. Câu 19. Cho hai đường thẳng song song a và b. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Khơng tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng a thành đường thẳng b. B. Cĩ duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b. C. Cĩ đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b. D. Cĩ vơ số phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Trên các đường thẳng a và b ta lần lượt lấy các điểm M và N b N bất kì.   a Ta thấy ngay phép tịnh tiến theo vectơ uMN biến đường M thẳng a thành đường thẳng b. Câu 20. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:   A. Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ u và phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép đồng nhất.     B. Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ u và v là một phép tịnh tiến theo vectơ uv . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 472 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  17.  C. Phép tịnh tiến theo vectơ u0 là một phép dời hình khơng cĩ điểm bất động.  D. Phép tịnh tiến theo vectơ u0 luơn biến đường thẳng thành một đường thẳng song song với nĩ. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.  Giả sử ta cĩ phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm M thành điểm M1 và phép tịnh tiến theo vectơ      v biến điểm M1 thành điểm M2 . Ta cĩ: MM1 u và MM12 v.        Do đĩ MM112 M M u v MM 2 u v .   Như thế phép tịnh tiến theo vectơ uv biến M thành M2 .     Vậy: Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ u và v là một phép tịnh tiến theo vectơ uv .   + Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ u và phép tịnh tiến theo vectơ u theo kết quả trên là phép   tịnh tiến theo vectơ uu0 , đĩ là một phép đồng nhất.  + Câu D sai vì: Nếu là đường thẳng song song với giá của vectơ u thì ảnh của là chính nĩ.  Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , ta xét phép tịnh tiến T theo vectơ ua;b biến điểm Mx;y thành điểm Mʹ xʹ;yʹ . Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến này là: xʹ xb xʹ xa xx ʹ a xʹ ya A. B. C. D. yʹ ya yʹ yb yy ʹ b yʹ xb Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Câu 22. Trong hệ tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm Mx;y thành điểm Mʹ xʹ;yʹ sao cho xʹ 2x; yʹ y2. Phép biến hình f biến đường thẳng :x 3y 5 0 thành đường thẳng d cĩ phương trình là: A. x2y40 B. x6y220 C. 2x 4y 5 0 D. 3x 2y 4 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. xʹ Từ giả thiết suy ra: x và yy ʹ 2 . 2 xʹ Thế vào phương trình của ta được: 3y ʹ 250x ʹ 6yʹ 22 0 . 2 Vậy ảnh của là đường thẳng cĩ phương trình x6y220 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 473 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  18. Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm Mx;y thành điểm Mʹ xʹ;yʹ sao cho xʹ x2y;yʹ 2x y 1. Gọi G là trọng tâm của ABC với A1;2,B 2;3,C4;1 . Phép biến hình f biến điểm G thành điểm G’ cĩ tọa độ là: A. 5;1 B. 3;4 C. 8;3 D. 0;6 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Trọng tâm của ABC là G1;2 . Gọi G’ là ảnh của G ta cĩ: Gʹ 1 2.2; 2.1 2 1 5;1 . Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm Mx;y thành điểm Mʹ xʹ;yʹ sao cho xʹ x2y;yʹ 2x y 1. Xét hai điểm A1;2 và B5;4 . Phép biến hình f biến trung điểm I của đoạn thẳng AB thành điểm I’ cĩ tọa độ là: A. 8;0 B. 3;2 C. 6; 8 D. 8;2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Trung điểm của đoạn thẳng AB là I2;3 . Gọi I’ là ảnh của I ta cĩ: Iʹ 22.3;2.231 8;0 . Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình 4x y 3 0 .  Ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến T theo vectơ u2;1 cĩ phương trình là: A. 4x y 5 0 B. 4x y 10 0 C. 4x y 6 0 D. x4y60 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. xʹ x2 xxʹ 2 Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: yʹ y1 y yʹ 1 Thế vào phương trình của ta được: 4x ʹ 2y ʹ 1304x ʹ yʹ 60. Vậy ảnh của là đường thẳng ʹ cĩ phương trình: 4x y 6 0 . Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, parabol (P) cĩ phương trình yx 2 . Phép tịnh tiến T  theo vectơ u3;2 biến (P) thành parabol (P’) cĩ phương trình là: A. yx 2 6x11 B. yx 2 4x3 C. yx 2 4x6 D. yx 2 2x4 Hướng dẫn giải Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 474 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  19. ĐÁP ÁN A. xʹ x3 xxʹ 3 Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: yʹ y2 yyʹ 2 2 Thế vào phương trình của (P) ta được: yʹ 2x ʹ 3y ʹ xʹ2 6xʹ 11 . Vậy ảnh của (P) là parabol (P’) cĩ phương trình: yx 2 6x11.  Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho T là một phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm Mx;y thành điểm Mʹ xʹ;yʹ với biểu thức tọa độ là: xx ʹ 3; y yʹ 5 . Tọa độ của vectơ tịnh  tiến u là: A. 5; 3 B. 3;5 C. 3;5 D. Một kết quả khác Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Từ giả thiết ta cĩ: xx ʹ 3; y yʹ 5x ʹ x3;yʹ y5 .  Suy ra: u3;5 . Câu 28. Cho hai hình vuơng H1 và H2 bằng nhau. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Luơn cĩ thể thực hiện được một phép tịnh tiến biến hình vuơng này thành hình vuơng kia. B. Cĩ duy nhất một phép tịnh tiến biến hình vuơng này thành hình vuơng kia. C. Cĩ nhiều nhất hai phép tịnh tiến biến hình vuơng này thành hình vuơng kia. D. Cĩ vơ số phép tịnh tiến biến hình vuơng này thành hình vuơng kia. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Gọi I và J là tâm của H1 và H2 . + Nếu H1 và H2 cĩ các cạnh khơng song song thì khơng tồn tại phép tịnh tiến nào biến hình vuơng này thành hình vuơng kia.   + Nếu H1 và H2 cĩ các cạnh tương ứng song song thì các phép tịnh tiến theo các vectơ IJ và JI sẽ biến hình vuơng này thành hình vuơng kia. + Khơng thể cĩ nhiều hơn hai phép tịnh tiến biến hình vuơng này thành hình vuơng kia. Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol: P:y x2 và Q:y x2 2x2. Để chứng minh cĩ một phép tịnh tiến T biến (Q) thành (P), một học sinh lập luận qua ba bước như sau: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 475 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  20.  1. Gọi vectơ tịnh tiến là ua;b , áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: xʹ xa xxʹ a yʹ yb yyʹ b 2. Thế vào phương trình của (Q) ta được: 2 yʹ bx ʹ a2x ʹ a2 yʹ xʹ22 21 axʹ a2ab2 Suy ra ảnh của (Q) qua phép tịnh tiến T là parabol (R) yx 22 21axa 2ab2 21 a 0 a1 3. Buộc (R) trùng với (P) ta được hệ: 2 a2ab20 b 1 Vậy cĩ duy nhất một phép tịnh tiến biến (Q) thành (P), đĩ là phép tịnh tiến theo vectơ  u1;1 . Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào? A. Lập luận hồn tồn đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, ta xét phép biến hình f biến điểm Mx;y thành điểm xʹ ya Mʹ xʹ;yʹ định bởi: , trong đĩ a và b là các hằng số. yʹ xb Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f biến gốc tọa độ O thành điểm Aa;b . B. f biến điểm Ib;a thành gốc tọa độ O. C. f là một phép biến hình khơng cĩ gì đặc sắc. D. f là một phép dời hình. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Ta thấy ngay hai câu (A) và (B) đều đúng. Gọi M;  và Nu;v là hai điểm bất kì; Mʹʹ ;ʹ và Nʹ uʹ;vʹ là các ảnh của M, N qua phép biến hình f. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 476 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  21.  ʹ a uʹ va Từ giả thiết ta cĩ: và  ʹ b vʹ ub 22 Do đĩ: MʹNʹ2  va a ub b 2222 MʹNʹ22  vu u v  MN Suy ra: MʹNʹ MN Vậy f là một phép dời hình. Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình 3x 4y 1 0 . Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên phải một đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. 3x 4y 5 0 B. 3x 4y 2 0 C. 3x 4y 3 0 D. 3x 4y 10 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên phải một đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ i1;0 . Do đĩ đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình: 3x 1 4y1 0 3x4y2 0. Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình 2x y 3 0 . Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên trái hai đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. 2x y 7 0 B. 2x y 2 0 C. 2x y 8 0 D. 2x y 6 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên trái 2 đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh  tiến theo vectơ u2;0 . Do đĩ đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình: 2x 2 y 3 0 2xy 7 0. Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình y5x3 . Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. y5x4 B. y5x12 C. y5x D. y5x7 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 477 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  22. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh  tiến theo vectơ u0;3 . Do đĩ đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình: y35x3 y5x . Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình y4x3 . Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 4 đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. y4x14 B. y4x1 C. y4x2 D. y4x1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 4 đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh  tiến theo vectơ u0;4 . Do đĩ đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình: y4 4x3 y 4x1. Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình 5x y 1 0 . Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về phía trái 2 đơn vị, sau đĩ tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. 5x y 14 0 B. 5x y 7 0 C. 5x y 5 0 D. 5x y 12 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.  Từ giả thiết suy ra ʹ là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ u2;3 . Do đĩ đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: 5x 2 y 3 1 0 5xy 140. Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình y3x2 .   Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u1;2 và v3;1 , đường thẳng biến thành đường thẳng d cĩ phương trình là: A. y3x1 B. y3x5 C. y3x9 D. y3x15 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.   Từ giả thiết suy ra d là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ auv .   Ta cĩ: auv 13;21 a 2;3 Do đĩ đường thẳng cĩ phương trình là: y3 3x2 y 3x9 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 478 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  23. Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình yx 2 2x3. Phép  tịnh tiến theo vectơ u1;2 biến parabol (P) thành parabol (P’) cĩ phương trình là: A. yx 2 4 B. yx 2 43 C. yx 2 2x2 D. yx 2 4x5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. xʹ x1 xxʹ 1 Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, ta cĩ: yʹ y2 yyʹ 2 2 Thế vào phương trình của (P) ta được: yʹ 2x ʹ 12x ʹ 13 yʹ xʹ2 4 . Vậy phương trình của (P’) là: yx 2 4. Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình y2xx1 2 . Phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên phải 2 đơn vị, biến parabol (P) thành parabol (P’) cĩ phương trình là: A. y2x9x11 2 B. y2xx3 2 C. y2x3x2 2 D. y2x5x6 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên phải 2 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ  2 u2;0 . Do đĩ phương trình của (P’) là: y 2x2 x2 1 y 2x9x112 . Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình yx2x3 2 . Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về dưới 3 đơn vị, biến parabol (P) thành parabol (P’) cĩ phương trình là: A. yx2x 2 B. yx5x2 2 C. yx3x4 2 D. yx7x5 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về bên dưới 3 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ  u0;3 . Do đĩ phương trình của (P’) là: y3 x22 2x3 y x 2x. Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình yx 2 . Phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về phía trái 3 đơn vị, sau đĩ tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 1 đơn vị. Ảnh của (P) là một parabol (Q) cĩ phương trình là: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 479 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  24. A. yx 2 4x3 B. yx 2 6x8 C. yx 2 2x3 D. yx 2 8x5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.  Từ giả thiết suy ra: (Q) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến theo vectơ u3;1 . 2 Do đĩ phương trình của (P’) là: y1 x3 yx 2 6x8 . Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình yx 2 x1. Thực   hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u1;2 và v2;3 , parabol (P) biến thành parabol (Q) cĩ phương trình là: A. yx 2 7x14 B. yx 2 3x2 C. yx 2 5x2 D. yx 2 9x5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.   Từ giả thiết ta suy ra, (Q) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến theo vectơ auv .   Ta cĩ: auv 3;1. 2 Do đĩ phương trình của (Q) là: y1 x3 x3 1 yx 2 7x14 . Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P) và (Q) cĩ phương trình lần lượt là yx 2 và yx 2 2x3. Chọn câu sai trong các câu sau: A. Khơng thể thực hiện được một phép tịnh tiến nào biến parabol này thành parabol kia. B. Cĩ duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia. C. Cĩ đúng hai phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia. D. Cĩ vơ số phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Theo giả thiết (P): yx 2 và (Q): yx 2 2x3. 2 Phương trình của (Q) cĩ thể viết lại thành: yx12 Parabol (P) cĩ đỉnh là gốc tọa độ O và parabol (Q) cĩ đỉnh là I1;2 . Như thế, phép tịnh tiến theo     vectơ uOI biến (P) thành (Q) và phép tịnh tiến theo vectơ uIO biến (Q) thành (P). Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 480 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  25. Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (T) cĩ phương trình  xy2x8022 . Phép tịnh tiến theo vectơ u3;1 , biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy8x2y8022 B. x22 y 4xy50 C. xy4x4y3022 D. xy6x4y2022 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. xʹ x3 xxʹ 3 Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: yʹ y1 yyʹ 1 22 Thế vào phương trình của (T) ta cĩ: xʹ 3y ʹ 12x ʹ 380xʹ22yʹ 8xʹ 2yʹ 80. Vậy phương trình của (T’) là: xy8x2y8022 . Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (T) cĩ phương trình  xy4x2y022 . Gọi I là tâm của (T). Phép tịnh tiến theo vectơ u5;1 biến điểm I thành điểm I’ cĩ tọa độ là: A. 7;2 B. 7;0 C. 3; 2 D. 5;3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. 22 Phương trình đường trịn (T) viết lại: x2 y1 5. Như thế (T) cĩ tâm I2;1 .  Suy ra, phép tịnh tiến theo vectơ u5;1 biến điểm I thành điểm Iʹ 7;0 . Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn T1 và T2 bằng nhau cĩ 22 22 phương trình lần lượt là x1 y2 16 và x3 y4 16. Giả sử f là phép tịnh tiến   theo vectơ u biến T1 thành T2 , khi đĩ tọa độ của u là: A. 4;6 B. 4; 6 C. 3; 5 D. 8; 10 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Hai đường trịn T1 và T2 cĩ tâm lần lượt là: I1;21 và I3;42 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 481 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  26.   Vậy phép tịnh tiến T biến T1 thành T2 là phép tịnh tiến theo vectơ uII 12 4;6. Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (T) cĩ phương trình xyx2y3022 . Phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên phải 4 đơn vị, biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy9x2y17022 B. xy4x2y4022 C. xy5x4y5022 D. xy7x2y1022 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Phép tịnh tiến theo phương của trục hồnh về bên phải 4 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ  u4;0 . Phép tịnh tiến này biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình: 2 x4 y222 x4 2y30 x y 9x2y170 . Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (T) cĩ phương trình xyx2y3022 . Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về dưới 2 đơn vị, biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy2y9022 B. xy2x6y2022 C. xyx4y5022 D. xy2x7022 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 2 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ  u0;2 . Phép tịnh tiến này biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình: 2 xy22x4y230xy2x70222 . Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (T) cĩ phương trình  xy4x6y5022 . Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u1;2 và  v1;1 . Đường trịn (T) biến thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy18022 B. xyx8y2022 C. xyx6y5022 D. xy4y4022 Hướng dẫn giải Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 482 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  27. ĐÁP ÁN A.   Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u1;2 và v1;1 tức là thực hiện theo   phép tịnh tiến vectơ auv .   Ta cĩ: auv 11;21 2;3 . Phép tịnh tiến này biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình: 22 x2 y3 4x2 6y3 50 x22 y 180. Câu 49. Cho đường trịn O;R và hai điểm A, B phân biệt. Một điểm M thay đổi trên đường trịn    (O). Khi đĩ tập hợp các điểm N sao cho MN MA MB là tập nào sau đây? A. Tập  . B. Đường trịn tâm A bán kính R.   C. Đường trịn tâm B bán kính R. D. Đường trịn tâm I bán kính R với OI AB . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Từ giả thiết ta cĩ:         O I MN MA MB MN MB MA MN AB   M N Như thế phép tịnh tiến theo vectơ uAB biến điểm M thành điểm N. A B Vậy khi M thay đổi trên đường trịn O;R thì quỹ tích   của N là đường trịn I;R với OI AB . Câu 50. Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng khơng song song với đường thẳng AB. Một điểm    M thay đổi trên . Khi đĩ tập hợp các điểm N sao cho AN AB AM là tập nào sau đây? A. Tập  . B. Đường thẳng qua A song song với . C. Đường thẳng qua B song song với .  D. Đường thẳng ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ AB . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 483 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  28. Từ giả thiết ta cĩ: Δ         AN AB AM AN AM AB MN AB   M N Như thế phép tịnh tiến theo vectơ uAB biến điểm M thành điểm N. A B Vậy khi M thay đổi trên đường thẳng thì quỹ tích của N là đường thẳng ʹ ảnh của qua phép tịnh tiến trên. Câu 51. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu cĩ hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau thi luơn tồn tại một phép tịnh tiến biến đoạn thẳng này thành đoạn thẳng kia. B. Nếu cĩ hai tam giác đều ABC và DEF bằng nhau thì luơn tồn tại một phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia. C. Nếu cĩ hai hình vuơng ABCD và MNPQ bằng nhau thì luơn tồn tại một phép tịnh tiến biến hình vuơng này thành hình vuơng kia. D. Nếu cĩ hai đường trịn O;R và Oʹ;Rʹ bằng nhau thì luơn tồn tại một phép tịnh tiến biến đường trịn này thành đường trịn kia. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. + Nếu hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau và nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì mới thực hiện được một phép tịnh tiến biến đoạn thẳng này thành đoạn thẳng kia. + Nếu cĩ hai tam giác đều ABC và DEF bằng nhau và cĩ các cặp cạnh nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì mới thực hiện được phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia. + Trường hợp hai hình vuơng bằng nhau cũng giống như hai tam giác bằng nhau. + Với hai đường trịn bằng nhau O;R và Oʹ;R ta luơn thực hiện được hai phép tịnh tiến theo   vectơ OOʹ hoặc vectơ OʹO biến đường trịn này thành đường trịn kia. Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A1;4,B 2;1 ,  C7;1 . Nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ u biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì vectơ  u cĩ tọa độ là: A. 9;3 B. 5; 4 C. 9; 2 D. 8;5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 484 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  29.   Dễ thấy phép tịnh tiến theo vectơ uBC9;2 A B biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD. I D C Câu 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A1;4,B8;2 và  giao điểm của hai đường chéo AC và BD là I3;2 . Nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ u biến  đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì vectơ u cĩ tọa độ là: A. 3;12 B. 5;3 C. 3; 2 D. 7; 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. x2xx615 Do I là trung điểm của AC nên ta cĩ: CIA C5;0 y2yyCIA 440   Phép tịnh tiến theo vectơ uBC3;2 biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD. Câu 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng song song a và b cĩ phương  trình lần lượt là 2x y 4 0 và 2x y 1 0 . Nếu phép tịnh tiến T theo vectơ um;3 biến đường thẳng a thành đường thẳng b thì giá trị của m bằng: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.  Trên đường thẳng a ta lấy điểm A0;4 . Phép tịnh tiến T theo vectơ um;3 biến điểm A thành xʹ 0m điểm A’ định bởi: Aʹ m;1 . yʹ 43 Vì T biến a thành b nên: Aʹ b2m20m1 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 485 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  30. BÀI 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Định nghĩa 1. – Cho đường thẳng d. Phép đối xứng qua đường thẳng d, kí hiệu là Đd , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua d (Khi đĩ d là đường trung trực của đoạn MM’). - Phép đối xứng qua đường thẳng cịn gọi đơn giản là phép đối xứng trục. - Đường thẳng d gọi là trục của phép đối xứng, hay đơn giản là trục đối xứng.   - Gọi M0 là hình chiếu vuơng gĩc của M trên d. Ta cĩ: Đd MM' MM00ʹ MM. 2. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu Đd biến (H) thành chính nĩ. Khi đĩ (H) gọi là hình cĩ trục đối xứng. II. Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng Oxy, gọi Mx;y và M' Đd M x';y' . xʹ x Nếu d là trục Ox thì: . yʹ y xʹ x Nếu d là trục Oy thì: . yʹ y III. Tính chất Phép đối xứng trục: 1. Bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 2. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm tương ứng. 3. Biến một đường thẳng thành đường thẳng. 4. Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. 5. Biến một đường trịn thành đường trịn cĩ bán kính bằng bán kính của đường trịn đã cho. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M4;3 và đường thẳng d cĩ phương trình: x12t . Tìm ảnh của M và d qua phép đối xứng trục cĩ trục đối xứng là d1 là đường thẳng y1t 2x y 1 0 . Giải Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 486 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  31.   Gọi d' Đ d . Vectơ chỉ phương của d là u2;1 , vectơ chỉ phương của d là u1;2 . d1 1 1   Ta cĩ: u.u11  0 d d . Vậy: dʹ  d1 và d’ trùng với d. Gọi là đường thẳng vuơng gĩc với d:2xy1 1 0, thì :x 2y c 0. Cho qua M4;3 , ta cĩ: x10 . Vậy :x 2y 10 0. 2x y 1 0 Gọi I là giao điểm của và d1 thì tọa độ của I là nghiệm của hệ: . x2y100 821 427 Suy ra I; . Mà I là trung điểm của MM’ nên Mʹ ; . 55 55 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn (C) cĩ phương trình: xy2x4y4022 và đường elip E:x22 4y 1. a. Tìm ảnh của (C) qua Đd với d:x y 0. b. Tìm ảnh của (E) qua ĐOy . Giải a. Ảnh của (C) qua Đd : Gọi là đường thẳng qua I1;2 và vuơng gĩc với d:x y 0, ta cĩ :x y 3 0. 33 Tọa độ giao điểm H của và d là: H; . 22 xʹ 2xH x xʹ 2 Gọi I' Đd I , ta cĩ: . yʹ 2yH y y 1 Do đĩ: Iʹ 2;1 . 22 Mặt khác, (C’) cĩ bán kính Rʹ 3 nên Cʹ :x 2 y 1 9. xʹ xxxʹ b. Ảnh (E’) của (E) qua ĐOy : Biểu thức tọa độ của ĐOy là: . yʹ yyyʹ 2 Do đĩ, Eʹ :x ʹ 4yʹ2 1 hay x4y122 . 22 Cách khác: (E) cĩ trục đối xứng là Oy, nên (E) khơng đổi qua ĐOy . Do đĩ Eʹ :x 4y 1. Dạng 2. Tìm trục đối xứng của một hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa trục đối xứng của một hình, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Chỉ ra một đường thẳng d là trục đối xứng của hình (H). Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 487 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  32. Bước 2. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc hình (H), ảnh M’ của M qua Đd cũng thuộc (H). Ví dụ 1: Tìm các trục đối xứng của hình thoi. Giải Cho hình thoi ABCD. Đặt ABCD là (H) và đường thẳng AC là A d, ta cĩ: M' M Với mọi điểm M thuộc cạnh AB thì MH . D O B Vì d là trung trực của đoạn thẳng BD nên ảnh M’ của M qua Đ thuộc cạnh AD. Do đĩ, Mʹ H . d C d Tương tự,, nếu MBCM ʹ DC Mʹ H . Tĩm lại với mọi M thuộc hình thoi ABCD thì ảnh M’ của M qua ĐAC thuộc hình thoi ABCD. Vậy, AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD. Hồn tồn tương tự, ta chứng minh BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD. Tĩm lại, hình thoi cĩ hai trục đối xứng, đĩ là hai đường chéo của nĩ. Ví dụ 2. Tìm các trục đối xứng của một hình trịn. M Giải d Gọi d là một đường thẳng đi qua tâm đường trịn. Với mọi điểm M thuộc O M' đường trịn ta vẽ dây MMʹ  d thì M’ là ảnh của M qua Đd . Suy ra, d là trục đối xứng của đường trịn. Dạng 3. Tìm tập hợp điểm Phương pháp giải: Bước 1. Chọn Đ:Md M'. Bước 2. Xác định tập hợp điểm M, suy ra tập hợp điểm M’. Ví dụ: Cho hình vuơng ABCD cĩ A và C cố định, B di động trên một đường trịn (C) cho trước. Tìm tập hợp những điểm D. Giải Ta cĩ: Đ:BDAC . Mà BC nên DC ʹ , ảnh của (C) qua ĐAC . Vậy tập hợp những điểm D là đường trịn (C’), ảnh của (C) qua ĐAC . Dạng 4. Dùng phép đối xứng trục để dựng hình Phương pháp giải: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 488 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  33. Bước 1. Xác định Đ:Md M'. Bước 2. Xác định M, suy ra M’ (hoặc ngược lại) bằng Đd . Ví dụ: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d cố định và hai điểm A, B cố định, phân biệt nằm hai bên đường thẳng d. Hãy dựng điểm M trên d sao cho MA MB lớn nhất. Giải Gọi B' Đd B . Với điểm M tùy ý trên d, ta cĩ: MA MB MA MBʹ ABʹ . Do đĩ: MA MB MA MB ABʹ A, M, Bʹ thẳng hàng. max Cách dựng: - Dựng B' Đd B . - Giao điểm của d và AB’ là điểm phải dựng. Bài tốn cĩ một nghiệm duy nhất khi AB’ khơng song song với d. C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Trục của phép đối xứng là d hoặc bất kì đường thẳng nào vuơng gĩc với d. Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đĩ thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Trục đối xứng là bất kì đường thẳng nào vuơng gĩc với d và d’. Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 489 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  34. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Trục đối xứng là đường thẳng song song và cách đều d và d’. Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Trục đối xứng là hai đường phân giác của các gĩc tạo bởi hai đường thẳng d và d’. Câu 5. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c vuơng gĩc với chúng. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đĩ thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Phép đối xứng qua đường thẳng d. Câu 6. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c vuơng gĩc với chúng. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và biến c thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Trục đối xứng là đường thẳng song song, cách đều d và d’. Câu 7. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c khơng vuơng gĩc với chúng cũng khơng song song với chúng. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đĩ thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 490 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  35. ĐÁP ÁN A. Câu 8. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c khơng vuơng gĩc và cũng khơng song song với chúng. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và biến c thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Câu 9. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đĩ aa∥∥ʹ,b bʹ và a cắt b. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng trục biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’? A. Khơng cĩ phép nào B. Cĩ một phép duy nhất C. Chỉ cĩ hai phép D. Cĩ vơ số phép Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Chỉ cĩ một phép đối xứng trục biến a thành a’, nhưng phép đĩ khơng biến b thành b’. Câu 10. Trong các hình dưới đây, hình nào cĩ một và chỉ một trục đối xứng? A. Đường elip. B. Đường trịn. C. Đường hypebol. D. Đường parabol. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Câu 11. Trong các hình dưới đây, hình nào cĩ ba trục đối xứng? A. Đoạn thẳng. B. Đường trịn. C. Tam giác đều. D. Hình vuơng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Câu 12. Trong các hình dưới đây, hình nào cĩ bốn trục đối xứng? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi. D. Hình vuơng. Hướng dẫn giải Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 491 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  36. ĐÁP ÁN D. Câu 13. Trong các hình dưới đây, hình nào khơng cĩ trục đối xứng? A. Hình gồm hai đường trịn khơng bằng nhau. B. Hình gồm một đường trịn và một đoạn thẳng tùy ý. C. Hình gồm một đường trịn và một đường thẳng tùy ý. D. Hình gồm một tam giác cân và đường trịn nội tiếp. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Câu 14. Trong các hình dưới đây hình nào khơng cĩ vơ số trục đối xứng? A. Đường trịn. B. Đường thẳng. C. Hình gồm hai đường thẳng song song. D. Hình đa giác đều n cạnh. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Hình đa giác đều n cạnh cĩ n trục đối xứng. Câu 15. Trong các hình dưới đây hình nào khơng cĩ trục đối xứng? A. Đồ thị của hàm số ysinx . B. Đồ thị của hàm số ycosx . C. Đồ thị của hàm số ytanx . D. Đồ thị của hàm số yx . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục biến điểm A2;1 thành Aʹ 2;5 cĩ trục đối xứng là: A. Đường thẳng y3 . B. Đường thẳng x3 . C. Đường thẳng y6 . D. Đường thẳng xy30 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Trục đối xứng là trung trực của AA’. Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm M1;4 thành điểm Mʹ 4;1 thì nĩ cĩ trục đối xứng là: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 492 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  37. A. Đường thẳng xy0 . B. Đường thẳng xy0 . C. Đường thẳng xy10 . D. Đường thẳng xy10 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Trục đối xứng là trung trực của MM’. Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm M2;3 thành điểm Mʹ 3; 2 thì nĩ biến điểm C1;6 thành điểm: A. Cʹ 6;1 . B. Cʹ 1; 6 . C. Cʹ 6; 1 . D. Cʹ 6;1 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Trục của phép đối xứng là đường thẳng yx . Phép đối xứng đĩ biến điểm Ma;b thành điểm Mʹ b;a . Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm M3;1 thành điểm Mʹ 1; 3 thì nĩ biến điểm N3;4 thành điểm: A. Nʹ 3;4 . B. Nʹ 3; 4 . C. Nʹ 4; 3 . D. Nʹ 4;3 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Trục của phép đối xứng là đường thẳng yx . Phép đối xứng đĩ biến điểm Ma;b thành điểm Mʹ b; a . Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm A0;1 thành điểm Aʹ 1; 0 thì nĩ biến điểm B5;5 thành điểm: A. B5;5 . B. Bʹ 5;5 . C. Bʹ 5; 5 . D. Bʹ 1;1 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 493 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  38. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng qua đường thẳng xy0 biến đường thẳng 4x 5y 1 0 thành đường thẳng cĩ phương trình: A. 4x 5y 1 0 . B. 5x 4y 1 0 . C. 5x 4y 1 0 . D. 4x 5y 1 0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua đường thẳng xy0 là xʹ y và yʹ x . Bởi vậy từ phương trình 4x 5y 1 0 ta suy ra 4yʹ 5xʹ 10. Vậy đường thẳng 4x 5y 1 0 biến thành đường thẳng 5x 4y 1 0 . Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng qua đường thẳng xy0 biến đường trịn cĩ phương trình xy2x1022 thành đường trịn cĩ phương trình: A. xy2y1022 . B. xy2x1022 . C. xy2y1022 . D. xy2x1022 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng đã cho là xʹ y và yʹ x . Bởi vậy, từ phương trình xy2x1022 ta suy ra yʹ22 xʹ 2yʹ 10, đĩ là tập hợp những điểm xʹ;yʹ thỏa mãn phương trình đường trịn xy2y1022 . Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) cĩ phương trình x22 y 2x 3y 1 0 . Phép đối xứng qua trục Ox biến đường trịn đĩ thành đường trịn (C’) cĩ phương trình: A. x22 y 2x 3y 1 0 . B. x22 y 2x 3y 1 0 . C. x22 y 2x 3y 1 0 . D. x22 y 2x 3y 1 0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Chỉ việc thay y bằng y trong phương trình đường trịn đã cho. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 494 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  39. Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) cĩ phương trình x22 y 2x 3y 1 0 . Phép đối xứng qua trục Oy biến đường trịn đĩ thành đường trịn (C’) cĩ phương trình: A. x22 y 2x 3y 1 0 . B. x22 y 2x 3y 1 0 . C. x22 y 2x 3y 1 0 . D. x22 y 2x 3y 1 0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Chỉ việc thay x bằng x trong phương trình đường trịn đã cho. Câu 25. Quan sát các hình dưới đây, hãy cho biết kết luận nào là đúng? H1 H2 H3 H4 A. Hình H1 khơng cĩ trục đối xứng, hình H2 cĩ 1 trục đối xứng, hình H3 cĩ 5 trục đối xứng và hình H4 cĩ 2 trục đối xứng. B. Hình H1 cĩ 1 trục đối xứng, hình H2 cĩ 2 trục đối xứng, hình H3 cĩ 5 trục đối xứng và hình H4 cĩ 2 trục đối xứng. C. Hình H1 cĩ 1 trục đối xứng, hình H2 cĩ 2 trục đối xứng, hình H3 cĩ 5 trục đối xứng và hình H4 cĩ 4 trục đối xứng. D. Hình H1 khơng cĩ trục đối xứng, hình H2 cĩ 2 trục đối xứng, hình H3 cĩ 5 trục đối xứng và hình H4 cĩ 4 trục đối xứng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Câu 26. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Phép đối xứng trục là một phép dời hình. B. Phép đối xứng trục cĩ vơ số điểm bất động. C. Một tam giác nào đĩ cĩ thể cĩ đúng hai trục đối xứng. D. Một hình cĩ thể khơng cĩ trục đối xứng nào, cĩ thể cĩ một hay nhiều trục đối xứng. Hướng dẫn giải Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 495 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  40. ĐÁP ÁN C. Ta thấy ngay các câu A, B, D đều đúng. Câu C sai vì: Một tam giác thường khơng cĩ trục đối xứng nào, một tam giác cân (khơng đều) chỉ cĩ 1 trục đối xứng, một tam giác đều cĩ 3 trục đối xứng. Câu 27. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Qua phép đối xứng trục Đa , ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’ song song với d. B. Qua phép đối xứng trục Đa , ảnh của tam giác đều aBC cĩ tâm Oa (tâm đường trịn ngoại tiếp) là chính nĩ. C. Qua phép đối xứng trục Đa , ảnh của một đường trịn là chính nĩ. D. Qua phép đối xứng trục Đa , ảnh của đường thẳng d vuơng gĩc với a là chính nĩ. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. - Qua phép đối xứng trục Đa , ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’ song song với d, điều này chỉ đúng khi da∥ . - Câu B chỉ đúng khi a đi qua đường cao của tam giác đều ABC. - Câu C chỉ đúng khi a đi qua tâm của đường trịn. - Câu D đúng. Vì nếu lấy M là một điểm bất kì thuộc d thì ảnh của M qua phép đối xứng Đa là điểm Mʹ d . Vậy ảnh của d là chính nĩ. Câu 28. Ta xem các mẫu tự in I, J, H, L, P như các hình. Những hình nào cĩ đúng hai trục đối xứng? A. I, J B. I, H C. J, L D. H, P Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Câu 29. Chọn câu sai trong các câu sau: A. Đường trịn cĩ vơ số trục đối xứng. B. Đa giác đều n cạnh cĩ đúng n trục đối xứng. C. Hình thoi cĩ hai trục đối xứng. D. Một tam giác nào đĩ cĩ thể cĩ đúng hai trục xứng. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. - Ta thấy ngay các câu A, B, C đều đúng. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 496 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  41. - Theo câu 2, khơng cĩ tam giác nào cĩ hai trục đối xứng. Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình 2x 3y 6 0 . Đường thẳng đối xứng của qua trục hồnh cĩ phương trình là: A. 2x 3y 6 0 . B. 2x 3y 6 0 . C. 4x y 6 0 . D. 3x 2y 6 0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Hai điểm Mx;y và Mʹ x; y thì đối xứng với nhau qua trục hồnh. Do đĩ đường thẳng đối xứng của :2x 3y 6 0 qua trục hồnh cĩ phương trình là: 2x 3y 6 0 . Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình 5x y 3 0 . Đường thẳng đối xứng của qua trục tung cĩ phương trình là: A. 5x y 3 0 . B. 5x y 3 0 . C. x5y30 . D. x5y30 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Hai điểm Mx;y và Mʹ x; y thì đối xứng với nhau qua trục tung. Do đĩ đường thẳng đối xứng của :5x y 3 0 qua trục tung cĩ phương trình là: 5x y 3 0 5x y 3 0 Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng cĩ phương trình 2x y 1 0 và điểm A3;2 . Trong các điểm dưới đây, điểm nào là điểm đối xứng của A qua đường thẳng ? A. M1;4 . B. N2;5 . C. P6;3 . D. Q1;6 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Đường thẳng :2x y 1 0 cĩ vectơ chỉ phương a1;2 . Gọi d là đường thẳng qua A3;2 vuơng gĩc với thì a là vectơ pháp tuyến của d. Phương trình của d là: 1x 3 2y 2 0 x 2y 7 0. Tọa độ của điểm H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên nghiệm đúng hệ phương trình: 2x y 1 0 x 1 H1;3 . x2y70 y3 Gọi B là điểm đối xứng của A qua , thì H là trung điểm của AB nên: x2xx 1 BHA B1;4 . y2yy4BHA Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 497 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  42. Chú ý: Vì đây là bài tập trắc nghiệm, nên để chọn câu đúng cho nhanh ta chỉ cần kiểm tra các lựa chọn. Ví dụ nếu chọn M1;4 ta thấy ngay trung điểm của AM là I1;3 , sau đĩ chỉ cần kiểm  tra vectơ AM vuơng gĩc với vectơ chỉ phương a1;2 của . Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình yx 2 2x3. Phép đối xứng trục ĐOx biến parabol (P) thành parabol (P’) cĩ phương trình là: A. yx 2 2x3. B. yx 2 2x3. C. yx2x3 2 . D. yx4x3 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Lí luận như câu 2 phương trình của (P’) là: yx2x3 2 . Chú ý: Cĩ thể dùng kiến thức sau: đồ thị của hai hàm số yfx và yfx thì đối xứng với nhau qua trục hồnh. Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình y2xx5 2 . Phép đối xứng trục ĐOy biến parabol (P) thành parabol (P’) cĩ phương trình là: A. y2xx5 2 . B. y2xx5 2 . C. y2xx5 2 . D. y2xx5 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Hai điểm Mx;y và Mʹ x; y thì đối xứng với nhau qua trục tung. Do đĩ phương trình của (P’) 2 là: y2x x 5 y2xx52 . Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (T) cĩ phương trình 22 xy2xy50 . Phép đối xứng trục ĐOx biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy2xy5022 . B. xy2xy5022 . C. xy2xy5022 . D. xyx2y5022 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Thay y bởi y ta được phương trình của đường trịn (T’) là: xy2xy5022 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 498 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  43. Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (T) cĩ phương trình 22 x2 y3 16. Phép đối xứng trục ĐOy biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: 22 22 A. x3 y2 16. B. x2 y3 16. 22 22 C. x2 y3 16. D. x2 y3 16. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Thay x bởi x ta được phương trình của đường trịn (T’) là: 22 22 x2 y3 16x2 y3 16 Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất. Phép đối xứng trục Đa biến điểm A4;3 thành điểm A’ cĩ tọa độ là: A. 4; 3 . B. 4; 3 . C. 4;3 . D. 3;4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Ta cĩ thể chứng minh được rằng: hai điểm Mx;y và Mʹ y;x thì đối xứng nhau qua a là đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy. Suy ra: Aʹ 3;4 . Ghi chú: Đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất là đường thẳng cĩ phương trình yx . Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường phân giác của gĩc phần tư thứ hai. Phép đối xứng trục Đb biến điểm P5;2 thành điểm P’ cĩ tọa độ là: A. 5;2 . B. 5; 2 . C. 2; 5 . D. 2;5 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Ta cĩ thể chứng minh được rằng: Hai điểm Mx;y và Mʹ y; x thì đối xứng qua b là đường phân giác của gĩc phần tư thứ hai của hệ tọa độ Oxy. Suy ra: Pʹ 2; 5 . Ghi chú: Đường phân giác của gĩc phần tư thứ hai là đường thẳng cĩ phương trình yx . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 499 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  44. Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất. Ta 22 xét đường trịn (T) cĩ phương trình x2 y3 9. Phép đối xứng trục Đa biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: 22 22 A. x3 y2 9. B. x2 y3 9. 22 22 C. x3 y2 9. D. x3 y2 9. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trình của (T’) là: 22 22 y2 x3 9 x3 y2 9. Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất. Ta xét đường thẳng cĩ phương trình 3x 4y 5 0 . Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. 4x 3y 5 0 . B. 3x 4y 5 0 . C. 4x 3y 5 0 . D. 3x 4y 5 0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trình của ʹ là: 3y 4x 5 0 4x 3y 5 0 . Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường phân giác của gĩc phần tư thứ hai. Ta 22 xét đường trịn (T) cĩ phương trình xy6x4y20 . Phép đối xứng trục Đb biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy6x4y2022 . B. xy4x6y2022 . C. xy6x2y2022 . D. xy4x6y2022 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trìn của (T’) là: 22 y x 6y 4x 20 x22 y 4x6y20. Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường phân giác của gĩc phần tư thứ hai. Ta xét đường thẳng cĩ phương trình y5x3 . Phép đối xứng trục Đb biến đường thẳng thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 500 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  45. 13 13 C. y5x3 . D. y5x3 . A. yx . B. yx . 55 55 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. 13 Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trình của ʹ là: x5y3y x . 55 Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường thẳng cĩ phương trình x20 . Phép đối xứng trục Đa biến điểm M4;3 thành điểm M’ cĩ tọa độ là: A. 6; 3 . B. 8; 3 . C. 8;3 . D. 6;3 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Trước hết ta nhận thấy rằng: hai điểm Mx;y và Mʹ 2x0 x;y thì đối xứng qua đường thẳng cĩ phương trình xx 0 . Phương trình của a viết lại: x2x 0 2. Do đĩ, với điểm M4;3 thì điểm M’ đối xứng của M qua a cĩ hồnh độ là xʹ 22 4 8. Suy ra: Mʹ 8; 3 . Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường thẳng cĩ phương trình y30 . Phép đối xứng trục Đb biến điểm P2;5 thành điểm P’ cĩ tọa độ là: A. 2; 5 . B. 2; 5 . C. 2;1 . D. Một kết quả khác. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Trước hết ta nhận thấy rằng: hai điểm Mx;y và Mʹ x;2y0 y thì đối xứng qua đường thẳng cĩ phương trình yy 0 . Phương trình của b viết lại: y3 . Do đĩ, với điểm P2;5 thì điểm M’ đối xứng của M qua b cĩ tung độ là: yʹ 2.3 5 1 . Suy ra: Mʹ 2;1 . Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt là xx 1 và xx 21 x x 2; Mx;y là một điểm bất kì. Phép đối xứng trục Đa biến điểm M Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 501 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  46. thành điểm M’ và phép đối xứng trục Đb biến điểm M’ thành điểm M’’. Như thế phép biến hình   biến điểm M thành điểm M’’ là một phép tịnh tiến theo vectơ u . Tọa độ của vectơ u là: A. 2x 12 x ;0. B. 2x 21 x ;0. C. xx;012 . D. xx;021 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Gọi Ix;0 1 và J x;02 là các giao điểm của hai đường thẳng a và b với trục hồnh.   Như thế phép biến hình biến điểm M thành điểm M’’ là một phép tịnh tiến theo vectơ u2IJ .   Ta cĩ: u2IJ2xx;0 21 . Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt là yy 1 và yy 21 y y 2; Mx;y là một điểm bất kì. Phép đối xứng trục Đa biến điểm M thành điểm M’ và phép đối xứng trục Đb biến điểm M’ thành điểm M’’. Như thế phép biến hình   biến điểm M thành điểm M’’ là một phép tịnh tiến theo vectơ u . Tọa độ của vectơ u là: A. 0;2 y21 y . B. 0;2 y21 y . C. 0;y21 y . D. 0;y21 y . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.  Lí luận như câu 45 ta được u0;2yy 21. Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt là x2 và x5 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa và Đb (theo thứ tự). Điểm M2;6 biến thành điểm N cĩ tọa độ là: A. 4;6 . B. 5;6 . C. 4;6 . D. 9;6 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Theo bài 46 thì phép biến hình biến điểm M thành điểm N là phép tịnh tiến theo vectơ:   u2.52;0u6;0 . Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được N4;6 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 502 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  47. Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt là y1 và y3 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa và Đb (theo thứ tự). Điểm P7;1 biến thành điểm Q cĩ tọa độ là: A. 7;6 . B. 7; 5 . C. 7;3 . D. 7;9 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.   Phép biến hình biến điểm P thành điểm Q là phép tịnh tiến theo vectơ: u0;2.31 u0;8 Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được: Q7;9 . Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt là x2 và x3 ; là đường thẳng cĩ phương trình 2x y 0 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa và Đb (theo thứ tự), đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. 2x y 10 0. B. 2x y 5 0. C. 2x y 20 0 . D. Một kết quả khác. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng ʹ là phép tịnh tiến theo vectơ:   u2.32;0u10;0 . Phép tịnh tiến này biến thành ʹ cĩ phương trình: 2x 10 y 0 2xy 200 . Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt là y2 và y3 ; là đường thẳng cĩ phương trình 3x 2y 1 0 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa và Đb (theo thứ tự), đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ cĩ phương trình là: A. 3x 2y 5 0 . B. 3x 2y 5 0 . C. 3x 2y 10 0 . D. Một kết quả khác. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng ʹ là phép tịnh tiến theo vectơ:   u0;2.32 u0;2 . Phép tịnh tiến này biến thành ʹ cĩ phương trình: 3x 2 y 2 1 0 3x 2y 5 0 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 503 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  48. Câu 51. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt 22 là x4 và x2 ; (T) là đường trịn cĩ phương trình x1 y2 4. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa và Đb (theo thứ tự), đường trịn (T) biến thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: 22 22 A. x3 y2 4. B. x3 y2 4. 22 22 C. x1 y4 4. D. x5 y1 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Phép biến hình biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) là phép tịnh tiến theo vectơ:   u2.24;0u 4;0 . Phép tịnh tiến này biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình: 22 22 x41 y2 4 x3 y2 4. Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b cĩ phương trình lần lượt là y1 và y2 ; (T) là đường trịn cĩ phương trình xy2x6y1022 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa và Đb (theo thứ tự), đường trịn (T) biến thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy2x6y1022 . B. xy2x8y4022 . C. xy2x12y4022 . D. xy4x12y1022 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Phép biến hình biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) là phép tịnh tiến theo vectơ:   u0;2.21 u0;6 . Phép tịnh tiến này biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình: 2 xy62x6y610xy2x6y10222 . Câu 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A2;6 , B1;2,C6;1 . Gọi G là trọng tâm của ABC . Phép đối xứng trục ĐOx biến điểm G thành điểm G’ cĩ tọa độ là: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 504 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  49. 2 B. 3; 3 . 7 4 A. ;4 . C. ;3 . D. ;4 . 3 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. 77 Từ giả thiết suy ra: G;3G ʹ ;3 . 33 Câu 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A1;5 , B1;2,C6;4 . Gọi G là trọng tâm của ABC . Phép đối xứng trục ĐOy biến điểm G thành điểm G’ cĩ tọa độ là: A. 2; 1 . B. 2; 4 . C. 0; 3 . D. 2;1 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Từ giả thiết suy ra: G2;1 Gʹ 2;1 . Câu 55. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A0;4 , B2;3,C6;4 . Gọi G là trọng tâm của ABC và a là đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất. Phép đối xứng trục Đa biến điểm G thành điểm G’ cĩ tọa độ là: 4 4 4 4 A. ;1 . B. ;1 . C. 1; . D. 1; . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. 44 Ta cĩ: G;1G ʹ 1; . 33 Câu 56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, các đường cĩ phương trình sau đây, đường nào nhận trục hồnh làm trục đối xứng: A. yx 2 2x. B. y4x3 . C. xy4x1022 . D. xy4x12y1022 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 505 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  50. Khi thay y bởi y thì phương trình xy4x10*22 khơng thay đổi nên đường trịn cĩ phương trình (*) nhận trục hồnh làm trục đối xứng. Câu 57. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào cĩ đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng? A. y5x3 . B. yx 2 4x5. C. yx 42 x 1. D. ysinx . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Do phương trình yx 42 x 1 khơng thay đổi khi ta thay x bởi x nên đồ thị của hàm số này nhận trục tung làm trục đối xứng. Câu 58. Cho hai điểm B và C cố định trên đường trịn O;R . Điểm A thay đổi trên O;R . Gọi H là trực tâm của ABC và H’ là điểm đối xứng của H qua đường thẳng BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. H’ luơn nằm trên đường trịn Oʹ;R đối xứng của O;R qua đường thẳng BC. B. H’ luơn nằm trên một đường thẳng cố định song song với BC. C. H’ luơn nằm trên đường trung trực của cạnh BC. D. H’ luơn nằm trên đường trịn O;R . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm H qua một A cạnh của nĩ thì nằm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác đĩ. Đây là một kiến thức cơ bản. Tuy nhiên ta cĩ thể chứng minh lại bài tốn này như sau: N Kẻ các đường cao AM, BN, CP và gọi D là điểm đối xứng P O của H qua BC. H Ta cĩ tứ giác ANHP là một tứ giác nội tiếp, suy ra: B M C o o PAN PHN 180 hay BAC BHC 180 . D Mặt khác, cĩ D là điểm đối xứng của H qua BC nên BDC BHC . o Do đĩ: BAC BDC 180 . Suy ra D nằm trên đường trịn (O) ngoại tiếp ABC . Câu 59. Trong mặt phẳng cho đường thẳng và hai điểm A, B phân biệt nằm cùng một bên đường thẳng . Một điểm M thay đổi trên , khi đĩ vị trí của M để MA MB đạt giá trị nhỏ nhất là: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 506 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  51. A. M trùng với hình chiếu vuơng gĩc của A trên . B. M trùng với hình chiếu vuơng gĩc của B trên . C. M trùng với giao điểm của và đường trung trực của AB. D. M trùng với giao điểm của và đường thẳng BA’ với A’ là điểm đối xứng của A qua . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Đây là bài tốn cơ bản về giá trị nhỏ nhất. B A Do A’ là điểm đối xứng của A qua nên: MA MAʹ Do đĩ: MA MB MAʹ MB AʹB Δ I M Như thế: min MA MB AʹB A' Xảy ra khi: A’, B, M thẳng hàng, khi đĩ M trùng với điểm I là giao điểm của A’B và . Câu 60. Cho đoạn thẳng AB và là đường thẳng cố định song song với BC. Trên lấy điểm M bất kì. Khi đĩ vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất là: A. M trùng với hình chiếu vuơng gĩc của A trên . B. M trùng với hình chiếu vuơng gĩc của B trên . C. M trùng với hình chiếu vuơng gĩc của I trên với I là trung điểm của AB. D. Khơng thể xác định được vị trí của M. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Chu vi của MAB là: pMAMBAB . A Mà AB cố định nên p đạt giá trị nhỏ nhất khi và K M Δ chỉ khi MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Theo bài 59, khi đĩ M ở vị trí K với K là giao điểm của và A’B, A’ là điểm đối xứng của A A' I B qua . Câu 61. Cho gĩc nhọn xOy và một điểm A nằm trong gĩc đĩ. Một điểm M thay đổi trên tia Ox và một điểm N thay đổi trên tia Oy. Để xác định vị trí của M và N sao cho AMN cĩ chu vi nhỏ nhất, một học sinh chứng minh qua ba bước như sau: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 507 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  52. Bước 1: Gọi p là chu vi tam giác AMN ta cĩ: B x pAMANMN I M Bước 2: Thực hiện phép đối xứng trục ĐOx điểm A biến A thành điểm B. Suy ra AM BM , và thực hiện phép đối O N J xứng trục ĐOy điểm A biến thành điểm C. Suy ra y AN CN . C Do đĩ: pBMMNCN Bước 3: Như thế p đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi các điểm B, M, N, C thẳng hàng. Khi đĩ M trùng với điểm I giao điểm của Ox và BC, N trùng với điểm J giao điểm của Oy và BC. Hỏi cách chứng minh trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào? A. Chứng minh chính xác. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Câu 62. Cho hai đường thẳng song song a và b; A P và B là hai điểm hai bên đường thẳng b trong đĩ điểm A nằm trong dãy định bởi a và b (A và B đều M0 M a khơng nằm trên a và b). Muốn dựng một đoạn thẳng Q MN vuơng gĩc với cả a, b với Ma và Nb sao A cho AM MN NB cĩ độ dài nhỏ nhất. Một học N0 sinh lập luận qua ba bước như sau: N b B Bước 1: Trước hết ta thấy rằng MN cĩ độ dài khơng đổi, nên ta chỉ cần xác định vị trí của M, N để AM BN nhỏ nhất.   Bước 2: Thực hiện phép tịnh tiến T theo vectơ uNM , điểm B biến thành điểm Q; suy ra BN QM . Thực hiện phép đối xứng trục Đa điểm A biến thành điểm P, suy ra AM PM. Do đĩ: AM BN PM QM PQ . Bước 3: Đẳng thức xảy ra khi điểm M nằm trên đoạn thẳng PQ, như thế M trùng với điểm M0 là giao điểm của PQ và đường thẳng a; khi đĩ N trùng với điểm N0 là hình chiếu vuơng gĩc của M0 trên đường thẳng b.   Để ý rằng khi thực hiện phép tịnh tiến T theo vectơ uNM mà điểm Q trùng với điểm A thì ta kết luận ngay vị trí của điểm M cần xác định là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên đường thẳng a. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 508 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  53. Tĩm lại bài tốn luơn thực hiện được. Hỏi cách chứng minh trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào? A. Chứng minh chính xác. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Câu 63. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O. Nhận định nào sau đây là đúng? A. Khơng cĩ phép đối xứng trục nào biến a thành b. B. Cĩ duy nhất một phép đối xứng trục biến a thành b. C. Cĩ đúng hai phép đối xứng trục biến a thành b. D. Cĩ vơ số phép đối xứng trục biến a thành b. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Gọi p và q là phân giác của các gĩc tạo bởi hai đường thẳng q a a và b. Ta thấy ngay cĩ hai phép đối xứng trục biến a thành b là các phép đối xứng trục Đp và Đq . p O b Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 509 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  54. BÀI 4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Phép đối xứng tâm 1. Định nghĩa Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với   M qua O, cĩ nghĩa là OM OMʹ 0 .   ĐMO M'OMOM'0 Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng, hay đơn giản là tâm đối xứng. Phép đối xứng qua một điểm cịn gọi đơn giản là phép đối xứng tâm. 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm Ia;b . Phép đối xứng tâm ĐI biến điểm Mx;y thành điểm xʹ 2a x Mʹ xʹ;yʹ thì: . yʹ 2b y Cơng thức này gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ĐI . 3. Tâm đối xứng của một hình Điểm O gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng ĐO biến hình H thành chính nĩ, nghĩa là ĐHO H. Ví dụ: a. Các hình như hình bình hành, hình vuơng, hình chữ nhật, hình thoi đề cĩ tâm đối xứng. Đĩ là giao điểm của hai đường chéo của mỗi hình. b. Đường trịn cĩ một tâm đối xứng, đĩ là tâm của nĩ. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. tìm ảnh của 1 điểm, một đường qua phép đối xứng tâm 1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I : 1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1) 2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3) 3) C(2;4) , I(3;1) C (4; 2) Giải :   a) Gỉa sử : AĐA I ( ) IAIAx ( 1; y 2) ( 3;1) xx 13 4 A (4;1) yy 21 1 Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 510 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  55. 2 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I : 1) ( ) :xy 2 5 0, I (2; 1) ( ) : xy 2 5 0 2) ( ) :xy 2 3 0, I (1;0) ( ) :xy 2 1 0 3) ( ) : 3xy 2 1 0, I (2; 3) ( ) : 3 xy 2 1 0 Giải PP : Có 3 cách Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ Cách 2 : Xác định dạng // , rồi dùng công thức tính khoảng cách d( ; ) . Cách 3 : Lấy bất kỳ A,B , rồi tìm ảnh A ,B  AB Đ xxxx 44 1) Cách 1: Ta có : M(x;y) II M yyyy 22 Vì M(x;y) x 2 y 5 0 (4 x ) 2( 2 y ) 5 0 x 2 y 5 0 M (x ;y ) :xy 2 5 0 Đ Vậy : (  )I I ( ) :xy 2 5 0 Cách 2 : Gọi = ĐI ( ) song song : x + 2y + m = 0 (m 5) . |5| | m | m 5 (loại) Theo đề : d(I; ) = d(I; ) 5 |m | m 5 1222 12 22 ( ) :xy 2 5 0 Cách 3 : Lấy : A(  5;0),B( 1; 2)AB (9; 2), (5;0) ABxy : 2 5 0 3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm : 1) (Cx ) :22 ( y 2) 1, E (2;1) ( C ) : ( x 4) 22 y 1 2) (C) :xy22 4 xy 2 0, F (1;0) ( Cxy ) : 22 8 xy 2 12 0 22 3) (P) : y = 2x xPx 3 , tâm O(0;0) ( ) : y = 2x 3 HD: a ) Có 2 cách giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ . Đ Cách 2 : Tìm tâm IIE IR , R ( đã cho) . b) Tương tự . Dạng 2. Chứng minh một hình H cĩ tâm đối xứng Phương pháp giải: Bước 1. Xác định điểm cố định O. Bước 2. Chứng minh rằng, với mọi điểm M thuộc H, điểm M' ĐO M cũng thuộc H. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 511 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  56. 1 Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, gọi (C) là đồ thị của hàm số y . Chứng minh rằng (C) cĩ tâm đối x xứng là O, gốc của hệ tọa độ Oxy. Giải 1 Gọi Mx;y C thì cĩ: y . x     xx ʹ Gọi Mʹ xʹ;yʹ là ảnh của M qua ĐO thì từ MO OMʹ 0 , ta cĩ: OM OMʹ yy ʹ 11 Thay vào (1) ta được: yʹ yʹ . Hệ thức này chứng tỏ Mʹ C . xʹ xʹ Tĩm lại, với mọi điểm M thuộc (C), M’ là ảnh của M qua ĐO cũng thuộc (C). Vậy, (C) cĩ tâm đối xứng là O. Ví dụ 2: Cho hai điểm cố định A và B cĩ AB 2 . Tìm tập hợp những điểm M’ sao cho    MA MB MM' , biết rằng MA22 MB 4 . Giải Đề tìm tập hợp những điểm M’ ta phải tìm tập hợp những điểm M. AB2 Ta cĩ MA22 MB 4 . Gọi O là trung điểm của AB thì O cố định. Mà MA22 MB 2MO 2 2 AB2 nên 2MO2 4 2 MO 1. Do đĩ, tập hợp những điểm M là đường trịn (C) tâm O cĩ bán 2 kính R1 . Bây giờ ta tìm tập hợp những điểm M’.    Ta cĩ: MA MB MM' (giả thiết) (1)    Mà O là trung điểm của AB nên: MA MB 2MO (2)     Từ (1) và (2) ta cĩ: MMʹ 2MO OM OMʹ 0 . Do đĩ M' ĐO M . Theo trên, M thuộc (C) nên M’ thuộc (C’) là ảnh của (C) qua ĐO . Mà (C’) chính là (C). Vậy tập hợp những điểm M’ là đường trịn tâm O, trung điểm của AB, bán kính R1 . Dạng 3. Dùng phép đối xứng tâm để dựng hình Phương pháp giải: Muốn dựng điểm N, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Xác định hai điểm M và O sao cho NĐM O . Bước 2. Tìm các dựng điểm M suy ra N. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 512 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  57. Ví dụ: Dựng hình bình hành ABCD, biết rằng hai đỉnh B và D cố định, đỉnh A thuộc một đường trịn (I) đã cho và đỉnh C thuộc một đường thẳng d đã cho. Giải Gọi O là trung điểm của BD thì O cố định và ĐO AC . (I) I Ta dựng A trước. Vì CĐ O A nên AĐC O . Mà Cd d' A nên Ad ʹ , ảnh của d qua ĐO . Do đĩ: AId  ʹ . B D Đã cĩ A, ta dựng CĐ O A . O Tĩm lại: Hình bình hành ABCD đã dựng xong. d C Bài tốn cĩ 2; 1; 0 lời giải tùy theo d’ và (I) cĩ 2; 1; 0 giao điểm. C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng a cho trước thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Tâm đối xứng là điểm bất kì nằm trên a. Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đĩ thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Tâm đối xứng phải nằm trên cả d và d’ nên khơng cĩ. Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d’? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 513 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  58. Tâm đối xứng là các điểm cách đều d và d’. Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đĩ thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Tâm đối xứng là giao điểm của d và d’. Câu 5. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng tâm biến đường thẳng d thành d’? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Vì phép đối xứng tâm biến d thành đường thẳng song song hoặc trùng với d. Câu 6. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c khơng song song với chúng. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng tâm biến đường thẳng a thành đường thẳng b và biến đường thẳng c thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Giả sử c cắt a và b lần lượt tại A và B. Phép đối xứng tâm cần tìm là phép đối xứng qua trung điểm của AB. Câu 7. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đĩ aa∥∥ʹ,b bʹ và a cắt b. Cĩ bao nhiêu phép đối xứng tâm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 514 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  59. Đĩ là phép đối xứng qua tâm hình bình hành tạo thành bởi bốn đường thẳng đã cho. Câu 8. Trong các hình dưới đây hình nào khơng cĩ tâm đối xứng? A. Đường elip. B. Đường hypebol. C. Đường parabol. D. Đồ thị của hàm số ysinx . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Câu 9. Trong các hình dưới đây, hình nào khơng cĩ tâm đối xứng? A. Hình gồm một đường trịn và một hình chữ nhật nội tiếp. B. Hình gồm một đường trịn và một tam giác đều nội tiếp. C. Hình lục giác đều. D. Hình gồm một đường trịn và một hình vuơng nội tiếp. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Câu 10. Trong các hình dưới đây, hình nào khơng cĩ vơ số tâm đối xứng? A. Đồ thị của hàm số ysinx . B. Đồ thị của hàm số ysinx1 . C. Đồ thị của hàm số ytanx . 1 D. Đồ thị của hàm số y . x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. 1 Đồ thị của hàm số y là đường hypebol, chỉ cĩ duy nhất một tâm đối xứng là điểm gốc tọa độ. x Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng tâm biến điểm A5;2 thành điểm Aʹ 3;4 thì nĩ biến điểm B1;1 thành điểm: A. Bʹ 1; 7 B. Bʹ 1; 6 C. Bʹ 2;5 D. Bʹ 1; 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Trung điểm của BB’ phải là trung điểm của AA’. Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm cĩ tâm là điểm gốc tọa độ. Khi đĩ nĩ biến đường thẳng 3x 4y 13 0 thành đường thẳng: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 515 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  60. A. 3x 4y 13 0 B. 3x 4y 13 0 C. 3x 4y 13 0 D. 3x 4y 13 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Phép đối xứng qua O biến điểm Mx;y thành điểm Mʹ x; y . Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm với tâm là điểm I1;1 . Khi đĩ nĩ biến đường thẳng 2x 3y 5 0 thành đường thẳng: A. 2x 3y 7 0 B. 2x 3y 7 0 C. 2x 3y 7 0 D. 2x 3y 4 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Điểm I phải cách đều đường thẳng đã cho và ảnh của nĩ. Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt cĩ phương trình 3x 4y 1 0 và 3x 4y 5 0 . Nếu phép đối xứng tâm biến a thành b thì tâm đối xứng phải là điểm nào trong các điểm sau đây? A. I2;2 B. I2;2 C. I2;2 D. I2;0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Tâm đối xứng phải cách đều hai đường thẳng đã cho.; Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm Ia;b . Thực hiện phép đối xứng tâm I biến điểm Mx;y thành Mʹ xʹ;yʹ . Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm này là: xʹ 2b x xʹ 2a x xʹ a2x xʹ a2y A. B. C. D. yʹ 2a y yʹ 2b y yʹ b2y yʹ b2x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình yx 2 x. Phương trình của parabol (Q) đối xứng với (P) qua gốc tọa độ O là: A. yxx 2 . B. yx 2 x. C. yxx 2 . D. yx 2 2x. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 516 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  61. Hai điểm Mx;y và Mʹ x; y thì đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. Do đĩ phương trình của 2 parabol (Q) là: yx xyxx 2 . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I2;1 và đường thẳng cĩ phương trình x2y20 . Ảnh của qua phép đối xứng tâm ĐI là đường thẳng cĩ phương trình: A. x2y20 . B. x2y30 . C. x2y60 . D. 2x y 4 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. xʹ 4x x4x ʹ Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm, ta cĩ: yʹ 2y y 2yʹ Thế vào phương trình của ta được: 4x ʹ 22y ʹ 20 xʹ 2yʹ 20 xʹ 2yʹ 20 Vậy phương trình ảnh của là: x2y20 . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I2;1 và đường trịn (T) cĩ phương trình 22 xy9 . Phép đối xứng tâm ĐI biến đường trịn (T) thành đường trịn (T’) cĩ phương trình là: A. xy8x4y11022 . B. xy4x6y5022 . C. xy2x4y022 . D. xy6x2y2022 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. xʹ 4x x4x ʹ Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm, ta cĩ: yʹ 2y y 2yʹ 22 Thế vào phương trình của (T) ta được: 4x ʹ 2yʹ 9x ʹ22 yʹ 8xʹ 4yʹ 11 0 . Vậy phương trình của (T’) là: xy8x4y11022 . Câu 19. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào cĩ đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng? 2 3 3 A. y2x3x1 . B. yx x5. C. yxtanx . D. ysinxx 2 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 517 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  62. Ta đã biết đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Trong các hàm số dưới đây chỉ cĩ hàm số ysinxx 2 1 là hàm số lẻ, nên đồ thị của hàm số này nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) cĩ phương trình xy8x10y32022 . Phương trình của đường trịn (C’) đối xứng của (C) qua gốc tọa độ O cĩ phương trình là: 22 22 A. x4 y5 9. B. x4 y5 16. 22 D. Một phương trình khác. C. x4 y5 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Thay x bởi x và y bởi y ta được phương trình của (C’) là: 22 xy8x10y320x422 y59. Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình yx 2 2x và điểm I3;1 . Phép đối xứng tâm ĐI biến parabol (P) thành parabol (P’) cĩ phương trình là: A. yx14x46 2 . B. yx14x5 2 . C. yx7x12 2 . D. yx6x3 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. xʹ 6x x 6xʹ Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm, ta cĩ: yʹ 2y y2y ʹ 2 Thế vào phương trình của (P) ta được: 2y ʹ 6xʹ 26x ʹ yʹ xʹ2 14xʹ 46 . Vậy phương trình của (P’) là: yx14x46 2 . Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I2;1 và tam giác ABC với A1;4 , B2;3,C7;2 . Phép đối xứng tâm ĐI biến trọng tâm G của tam giác ABC thành điểm G’ cĩ tọa độ là: A. 2;5 . B. 2; 5 . C. 1; 4 . D. 0; 5 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 518 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  63. Trọng tâm của ABC là G2;3 . Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm, ta được Gʹ 0; 5 . Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 519 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  64. BÀI 5. PHÉP QUAY A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Cho điểm O và gĩc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và gĩc lượng giác (OM’ OM’) bằng được gọi là phép quay tâm O gĩc (h.1.27). Điểm O được gọi là tâm quay cịn được gọi là gĩc quay của phép quay. Phép quay tâm O gĩc thường được kí hiệu là QO; Ví dụ 1. Trên hình 1.28 ta cĩ các điểm A’, B’, O tương ứng là ảnh của các điểm A, B, O qua phép quay tâm O, và gĩc quay 2 Nhận xét: Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 520 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  65. 1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường trịn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. II. TÍNH CHẤT Quan sát chiếc tay lái (vơ lăng) trên tay người lái xe ta thấy khi người lái xe quay tay lái một gĩc nào đĩ thì hai điểm A và B trên tay lái cũng quay theo. (h.1.34). Tuy vị trí A và B thay đổi nhưng khoảng cách giữa chúng khơng thay đổi. Điều đĩ được thể hiện trong tính chất sau của phép quay. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 521 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  66. Tính chất 1. Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. (Phép quay tâm O, gĩc (OA; OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’. Khi đĩ, ta cĩ: A’B’ = AB) Tính chất 2. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nĩ, biến tam giác thành tam giác bằng nĩ, biến đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính (h.1.36). Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 522 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  67. Nhận xét Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 523 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  68. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng minh điểm M’ là ảnh của điểm M trong một phép quay Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm một điểm cố định O và một gĩc khơng đổi. OM OMʹ Bước 2. Chứng minh: OM,OMʹ Ví dụ 1: Cho ABC là tam giác đều (các đỉnh được ghi theo chiều dương). Hãy xác định phép quay biến C thành A). Giải Gọi O là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta cĩ: A OA OC o OC,OA 120 120o o O Vậy QO;120 :C A. B C Ta cịn cĩ phép quay QB;60:C o A. Ví dụ 2: Cho hai đường trịn O;R và Oʹ;R cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua B, cắt O;R tại M cắt Oʹ;R tại M’. Chứng minh rằng M’ là ảnh của M trong phép quay tâm A, gĩc quay OAOʹ . Giải   Xét tam giác MAM’ ta cĩ: MO11 ; M11ʹ O ʹ (gĩc nội A  tiếp và nửa gĩc ở tâm cùng chắn một cung). Mà OO11 ʹ M O  O' (vì OAOʹ cân tại A), suy ra MM11 ʹ . Vậy, tam giác MAM’ cân tại A, suy ra: AM AMʹ 1 B M' Mặt khác: OMA OʹMʹA c.c.c , suy ra MAO MʹAOʹ . Mà: MAMʹ MAO OAMʹ MʹAOʹ OAMʹ OAOʹ. Do đĩ: MAMʹ 2 . AM AMʹ Từ (1) và (2) suy ra: AM,AMʹ Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 524 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  69. Vậy M’ là ảnh của M trong phép quay tâm A, gĩc quay OAOʹ . Dạng 2. Tìm ảnh của một đường thẳng, đường trịn qua một phép quay Phương pháp giải: Tìm ảnh của một đường thẳng qua một phép quay QI; . Bước 1. Lấy trên đường thẳng một điểm cố định M0 và điểm di động M. Bước 2. Gọi M0 ʹ và M’ lần lượt là ảnh của M0 và M trong phép quay QI; . Bước 3. Chứng minh rằng M’ thuộc một đường thẳng d’ cố định. Kết luận: d’ chính là ảnh của d qua phép quay QI; . Tìm ảnh của một đường trịn qua một phép quay QI; . Bước 1. Gọi O’ là ảnh của O, tâm đường trịn đã cho, qua QI; , ta cĩ O’ cố định. Bước 2. Lấy điểm M tùy ý trên đường trịn (O). Gọi M’ là ảnh của M qua QI; , chứng minh rằng OʹMʹ OM . Bước 3. Chứng minh rằng M’ thuộc đường trịn Oʹ;R . Kết luận: Oʹ;R chính là ảnh của O;R qua QI; . Ví dụ 1: Cho phép quay tâm O, gĩc quay 60o và đường thẳng d. Tìm ảnh của d qua QI; . Giải Gọi H là hình chiếu của O lên d, ta cĩ H cố định. Gọi H’ là ảnh của H qua QO;60 o . Ta cĩ: OHʹ OH o 1 OH,OHʹ 60 Mặt khác, gọi M là điểm di động trên d và M’ là ảnh của M qua QO;60 o , ta cĩ: OM OMʹ o 2 OM,OMʹ 60 Từ (1) và (2), ta cĩ: d' OH OHʹ  M' O OM OMʹ  OHʹMʹ OHM c.g.c 60o HOM HʹOMʹ H' 60o o d Do đĩ: OHʹMʹ 90 H M Vậy tập hợp điểm M’ là đường thẳng d’ vuơng gĩc với Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 525 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  70. OH’ tại H’. Lưu ý: 1. Gĩc của d và d’ bằng 60o . HM HʹMʹ 2. o HM,HʹMʹ 60 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuơng cân tại A, cĩ A cố định (các đỉnh được vẽ theo chiều dương). Biết rằng C thuộc đường trịn I;R cho sẵn. Tìm ảnh của đường trịn I;R qua phép quay QA;90 o . Giải Vì tam giác ABC vuơng cân tại A, cĩ các đỉnh ghi A AC AB theo chiều dương nên: o AC,AB 90 B Suy ra B là ảnh của C qua QA;90 o . C I I' Gọi I’ là ảnh của I qua phép quay QA;90 o , ta cĩ AI AIʹ I’ cố định và: o AI,AIʹ 90 II ʹ  Mặt khác: QA;90 o : IʹBIC. Do đĩ IʹBR (bán kính của I;R ) CB  Tĩm lại, ta cĩ: I’ cố định, IʹBR (khơng đổi) nên tập hợp những điểm B là đường trịn tâm I’, bán kính R. Đĩ là ảnh của đường trịn I;R . Dạng 3. Dựng hình bằng phép quay Phương pháp giải: Muốn dựng điểm N qua phép quay, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Xác định điểm M và phép quay QO; :M N. Bước 2. Tìm cách dựng điểm M, suy ra điểm N bằng phép quay trên. Ví dụ: Cho tam giác đều ABC cĩ các đỉnh được vẽ theo chiều dương. Lấy điểm P trên cạnh AB.   Hãy dựng điểm Q trên cạnh CA sao cho CQ AP . Giải Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 526 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  71.   Giả sử bài tốn đã dựng xong ta cĩ: QAC sao cho CQ AP . A Trước hết ta phải xác định phép quay biến C thành A và Q thành   P. Ta cĩ: CQ AP CQ AP 1 P Q Mặt khác, PAB và QCA nên: O 120°     CQ,AP CA,AB 120o 2 B C CQ AP Từ (1) và (2) suy ra: o CQ,AP 120 OC OA 3 Gọi O là tâm của phép quay biến C thành A và Q thành P, ta cĩ: o OC,OA 120 4 Từ (3) suy ra O thuộc đường trung trực của CA; từ (4) suy ra O thuộc cung chứa gĩc 120o vẽ trên dây CA. Mà ABC là tam giác đều nên O chính là trọng tâm của nĩ. Tĩm lại, ta đã xác định được phép quay tâm O, gĩc quay 120o , biến C thành A, biến Q thành P. Suy ra QO;120 o :P Q và OO , nên biến OP thành OQ. Vậy Q là giao điểm của cạnh CA và OQ là ảnh của đường thẳng OP qua phép quay QO;120 o . Bài tốn chỉ cĩ một nghiệm hình. C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hai đường thẳng bất kì d và d’. Cĩ bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Tâm của phép quay là điểm cách đều hai đường thẳng d và d’. Câu 2. Cho hai đường thẳng song song a và a’, một đường thẳng c khơng song song với chúng. Cĩ bao nhiêu phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ và biến đường thẳng c thành chính nĩ? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 527 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  72. Phép quay gĩc quay 180o , tâm quay là trung điểm của đoạn thẳng do a và a’ chắn ra trên c. Câu 3. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đĩ aa∥∥ʹ,b bʹ và a cắt b. Cĩ bao nhiêu phép quay biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’? A. Khơng cĩ phép nào. B. Cĩ một phép duy nhất. C. Chỉ cĩ hai phép. D. Cĩ vơ số phép. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Phép quay gĩc quay 180o , tâm quay là tâm hình bình hành tạo bởi bốn đường thẳng đã cho. Câu 4. Cho tam giác đều ABC với trọng tâm G. Phép quay tâm G với gĩc quay nào dưới đây biến tam giác ABC thành chính nĩ? A. 30o . B. 45o . C. 60o . D. 120o . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Câu 5. Cho hình vuơng ABCD cĩ tâm O. Phép quay tâm O với gĩc quay nào dưới đây biến hình vuơng ABCD thành chính nĩ? A. 30o . B. 45o . C. 90o . D. 120o . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A1;0 thành điểm Aʹ 0;1 . Khi đĩ nĩ biến điểm M1;1 thành điểm: A. Mʹ 1; 1 . B. Mʹ 1;1 . C. Mʹ 1;1 . D. Mʹ 1; 0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Câu 7. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay QO; và QO;  là phép đồng nhất? A. Khi  90o . B. Khi  k , với k nguyên. C. Khi  2k , với k nguyên. D. Khơng khi nào. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 528 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
  73. Hợp thành là phép quay tâm O gĩc quay . Câu 8. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay QO; và QO;  là phép đối xứng tâm? A. Khi  0o . B. Khi  k , với k nguyên. C. Khi  2k , với k nguyên. D. Khơng khi nào. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B. Hợp thành là phép quay tâm O gĩc quay . Câu 9. Cho phép quay QO; biến điểm A thành điểm A’ và biến điểm M thành điểm M’. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:   A. AM AʹMʹ . B. OA,OAʹ OM,OMʹ .   C. AM,AʹMʹ . D. AM AʹMʹ . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, ta xét phép quay QO; . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu 90o thì Q biến trục hồnh x’Ox thành trục tung y’Oy. B. Nếu 270o thì Q biến trục tung y’Oy thành trục hồnh x’Ox. C. Nếu 90o thì Q biến trục tung y’Oy thành trục hồnh x’Ox. D. Nếu 180o thì Q biến trục hồnh x’Ox thành chính nĩ. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Ta thấy ngay các câu A, B, C đều đúng. Nếu 180o thì Q biến trục hồnh x’Ox thành trục ngược hướng với trục x’Ox. Câu 11. Trong câu này ta chỉ xét các phép quay với gĩc quay thỏa điều kiện 0oo 180 . Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Khơng tồn tại phép quay nào biến đường thẳng a thành đường thẳng b. B. Cĩ duy nhất một phép quay biến đường thẳng a thành đường thằng b. Giáo viên cĩ nhu cầu sở hữu file word vui lịng Trang 529 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133