Đề cương ôn tập học kì I môn Toán Lớp 9 - Đề 1 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kì I môn Toán Lớp 9 - Đề 1 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ SỐ 1 Câu 1. 1. Tính p √ p √ a) A = 5 + 2 6 + 5 − 2 6. p3 √ p √ b) B = 48 − 34 7 − 8√− 3 7. √  x + x  x − x 2. Rút gọn C = 1 + √ . 1 − √ , với x ≥ 0, x 6= 1. x + 1 x − 1 1 Câu 2. Cho hàm số y = x − 3. 2 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ Oxy. b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số. Câu 3. Cho tam giác ABC có ABC\ = 450, ACB\ = 750 và độ dài phân giác trong AD = 2. Tính độ dài các cạnh của tam giác. Câu 4. Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN không đi qua O. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MN tại H cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn ở P . a) Chứng minh PN tiếp xúc với (O; R). b) Vẽ đường kính NQ của đường tròn. Chứng minh MQ//OP . c) Giả sử tam giác MNP đều. Tính độ dài đoạn MN theo R. Câu 5. a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 (c − b) + b2 (b − c) + c2 (1 − c).  √  b) Giải phương trình: 2 x2 + 2x + 3 = 5 x3 + 3x2 + 3x + 2 . ——HẾT—— 1
2. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ SỐ 2 Câu 1. 1. Tính p √ p √ 5 5 a) A = 4 + 2 3 + 4 − 2 3 − √ √ − √ √ . 3 − 2 2 3 + 8 p √ p √ b) B = 6 + 2 5 + 8 − 2 15. √ √ √ √ x  2 x 2. Cho biểu thức P = x x − 2 + √ : . x + 2 x − 4 a) Rút gọn P . b) Tìm tất cả những giá trị của x để P > 4. Câu 2. Cho hàm số y = (m − 1) x + 2m − 5, với m 6= 1. 2 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = . Tính góc tạo 3 bởi đồ thị vừa vẽ với trục hoành (làm tròn đến phút). b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 1. Câu 3. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 4, CAB\ = 600. a) Chứng minh tam giác ABC vuông. √ b) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho BD = 2 3. Chứng minh rằng BD tiếp xúc với đường√ tròn ngoại√ tiếp tam giác ABC. Câu 4. Giải phường trình: x + 2 + x2 + 4x + 4 = 2x + 2. (x + y)2 (x + y)2 Câu 5. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của biểu thức Q = + . x2 + y2 xy ——HẾT—— 2
3. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ SỐ 3 Câu 1. 1. Tính √ √ √  √ √ a) A = 28 − 2 14 + 7 . 7 + 7 8. √ √ 2 √ b) B = 14 − 3 2 + 6 28. √ 1 1 x 2. Cho biểu thức P = √ − √ + √ . 2 x − 2 2 x + 2 1 − x a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. Rút gọn P . b) Tính giá trị của P khi x = 3. 1 c) Tìm tất cả những giá trị của x để |P | = . 2 Câu 2. Cho hàm số y = (m − 2) x + m + 3, m là tham số. a) Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên R. b) Tìm tất cả những giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : y = −x + 2 và d2 : y = 2x − 1. Câu 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) có AB = AC = 5, BC = 6. Tính bán kính R. Câu 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M nằm trên đường tròn, M không trùng với A và B. Lấy điểm N đối xứng với A qua M, đường thẳng BN cắt đường tròn tại điểm thứ hai C. Gọi D là giao điểm của AC và BM, E là điểm đối xứng với D qua M. Chứng minh a) AB ⊥ DN. b) Đường thẳng EA tiếp xúc với đường tròn (O). c) Đường thẳng NE tiếp xúc với đường tròn (B; BA). Câu 5. a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh √ √ √ √ 1 − ab + 1 − bc + 1 − ca ≥ 6 p √ p √ x + 5 b) Giải phương trình: x + 2 x + 1 + 2 + x − 2 x + 1 + 2 = . 2 ——HẾT—— 3
4. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ SỐ 4 Câu 1. 1. Thực√ hiện√ phép√ tính √ √ 45 − 20 + 5 10 − 15 a) √ b) √ √ 6 8 − 12 √ √ 1√ 2. Giải phương trình: x − 5 + 4x − 20 − 9x − 45 = 3. √ √5  x − 2 x + 2  (1 − x)2 Câu 2. Cho biểu thức P = − √ . , x − 1 x + 2 x + 1 2 với x > 0, x 6= 1. a) Rút gọn P . √ b) Tính giá trị của P khi x = 7 − 4 3. c) Tìm giá trị lớn nhất của P . Câu 3. Cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2, CAB\ = 1200. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt AC ở D. Tính diện tích tam giác CBD. Câu 4. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Vẽ một phần tư đường tròn tâm A, bán kính 1 nằm bên trong hình vuông. Xét điểm K thay đổi nằm trên cung tròn đó, K không trùng với B và D. Tiếp tuyến tại K của cung tròn cắt BC, CD lần lượt tại E, F . a) Chứng minh EAF\ = 450. b) Các đường thẳng BK, AE cắt nhau ở P . Các đường thẳng DK, AF cắt nhau ở Q. Chứng minh rằng P Q//BD và tính độ dài đoạn PQ. c) Xác định vị trí của K để độ dài đoạn EF ngắn nhất. Câu 5. a) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 2xy − 4 = x + y. Tìm giá trị 1 1 nhỏ nhất của biểu thức M = xy + + . x2 y2 √ √  √  b) Giải phương trình: x + 5 − x + 2
   1 + x2 + 7x + 10 = 3. ——HẾT—— 4
5. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ SỐ 5  x − 6 2 1   3  Câu 1. Cho biểu thức P = √ − √ + √ : 1 + √ . x − 2 x x x − 2 x − 2 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P . 1 b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để + 1 < 0. P Câu 2. Cho đường thẳng d : y = (m − 1) x + 2m + 3, m là tham số. a) Vẽ đường thẳng d khi m = −1. b) Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất. Câu 3. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD = 1, DC = 2 và CDA\= 1200. Tính độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. Câu 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB. ∆ là tiếp tuyến tại A của đường tròn. C một điểm nằm trên đường tròn không trùng với A và B. Phân giác của góc nhọn tại bởi AC và ∆ cắt BC ở D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. a) Chứng minh tam giác ABD cân. b) Gọi H là giao điểm của AC và BE. Chứng minh DH ⊥ AB. c) BE cắt ∆ tại K. Chứng minh tứ giác AKDH là hình thoi. Câu 5. √ √ √ a) Giải phương trình: x + 4 + 5 − x − 20 + x − x2 = 3. b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2018 Q = + x2 + y2 + z2 xy + yz + zx ——HẾT—— 5
6. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ SỐ 6 Câu 1. 1. Thực hiện phép tính  √ √ 2 √ √ 1 1 a) 2 3 − 3 2 + 2 6 + 3 24 b) √ − √ √ √ 3√− 7 3 + 7  x x  x + 1 2. Cho biểu thức P = √ − √ : , với x > 0, x 6= 1. x − 1 x − x x − 1 Tìm tất cả các giá trị của x để P 2 b + c c + a a + b ——HẾT—— 6
7. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM ĐỀ THI HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(3 điểm). Cho hai biểu thức √ √ √ 7 x − 2 x + 3 x − 3 36 A = √ và B = √ − √ − 2 x + 1 x − 3 x + 3 x − 9 , với x ≥ 0, x 6= 9. a) Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị của x để B = A. b) Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên dương. Câu 2(2,5 điểm). Cho đường thẳng d : y = m2 + 1
   x + m − 2, m là tham số. a) Khi m = 1, tính diện tích của tam giác tạo bởi d và hai trục tọa độ. b) Tìm m để d song song với đường thẳng d0 : y = 2x − 3. c) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho tam giác OAB vuông cân. Câu 3(3,5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên đoạn AB. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AC và đường tròn tâm K đường kính BC. Tia Cx vuông góc với AB tại C, cắt (O) tại M. Đoạn thẳng MA cắt đường tròn (I) tại E và đoạn thẳng MB cắt đường tròn (K) tại F . a) Chứng minh tứ giác MECF là hình chữ nhật và EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K). b) Cho AB = 4cm, xác định vị trí điểm C trên AB để diện tích tứ giác IEF K lớn nhất. c) Khi C khác O, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MECF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P , các đường thẳng PM và AB cắt nhau tại N. Chứng minh ∆MPF đồng dạng với ∆MBN. d) Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng. p √ √ Câu 4(0,5 điểm). Giải phương trình: x −√1 − 2 x√− 2 + x√− 2 = 1. Câu 5(0,5 điểm). Cho x, y ≥ −1 thỏa mãn x + 1+ y + 1 = 2 (x + y). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y. ——HẾT—— 7