Đề cương ôn tập học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Lý Thường Kiệt

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Lý Thường Kiệt

1. TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK II A.SỐ HỌC : PHẦN I: TOÁN RÚT GỌN Bài 1: Cho biểu thức: 2 x + 3 x 2 x + 3 A = và B = 15 ― + : với x > 0 và x ≠ 25 3 + x x - 25 x + 5 x ― 5 a) Tính giá trị của biểu thức A với x = 9 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị của x để A + B nhận giá trị nguyên. x + 1 x ― 1 Bài 2: Cho biểu thức: 3 x + 1 ( x x 1) A = x ― 1 + x + 1 ― x - 1 ≥ 0; ≠ a) Rút gọn A 2 + 1 2 b) Tính giá trị của A trong các trường hợp sau: x = 9; x = 7 - 4 3; x = ; x = 2 ― 1 2 ― 3 1 c) Tìm các giá trị của x để A = 3 d) Tìm các giá trị của x để A < 1 e) Tìm các giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên. x - x + 1 f) Tìm các giá trị của x để A = x + 1 g) So sánh A với 2 1 x + 3 h) Với x . Tìm giá trị nhỏ nhất của M = A ≠ 4 2 x ― 1 ∙ i) Tìm m để phương trình : mA= x – 2 có hai nghiệm phân biệt. x x 1 1 Bài 3: Cho biểu thức: P = x + 3 + 2 ― x + : + ( x + 2)( x ― 1) x ― 1 x + 1 x ― 1 (x ≥ 0; x ≠ 1) a) Rút gọn P 1 b) Tìm x để x + 1 P ― 8 ≥ 1 Bài 4: Cho biểu thức:
2. 2 – 5 x x x 3x + 9 x A = và B = + 2 – ∙ ― 2 + 1 (x ≥ 9 ; x ≠ 0) x + 1 x + 3 x ― 3 x – 9 3 a) Tính A tại x = 16 b) Rút gọn biểu thức B c) Gọi M = A . B. So sánh M với 1 x + 3 x ― 1 Bài 5: Cho biểu thức: 5 x ― 2 A = x ― 2 và B = x + 2 ― 4 – x với x ≥ 0; x ≠ 4 a) Tính giá trị của A tại x = 16 b) Rút gọn B c) Đặt P = A : B. Tìm giá trị của x thỏa mãn: P . x + x ― 1 = 2 3x +2 x ― 2 x x 5 x – 4 Bài 6: Cho biểu thức: A = x + 2 và B = x – 1 ― x + 2 + x + x ― 2 với x ≥ 0 ; x ≠ 1 1 a) Tính giá trị của A tại x = 4 b) Rút gọn B c) Đặt P = A : B. Chứng minh P > P với mọi x >1 PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT, HPT TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Bài 1:Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và đuổi theo trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của mỗi người biết vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20km/h. Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận ttocs đã định và thời gian dự định. Nếu vận tốc tang them 20km/h thì ô tô đến B sớm hơn so với dự định là 1 giờ. Nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì ô tô đến B chậm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB. Bài 3: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô con khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đường ấy, đi được 2 giờ thì gặp ô tô khách. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc ô tô cobn lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h.
3. Bài 4: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau 1 khi đi được quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10km mỗi giờ trên quãng 3 đường còn lại. Tìm vận tốc dự định, biết người đó đến B sớm hơn 24 phút. Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với vận tốc và thời gian dự định. Nhưng khi đi được nửa quãng đường, xe bị hỏng phải dừng lại mất 30 phút để sửa. Do đó để đến B đúng hạn, người đó phải tăng vận tốc them 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường. Bài 6: Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 8km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết rằng vận tốc của dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Bài 7: Hai ô tô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ô tô thứ nhất bắt đầu xuất phát, sau đó 15 phút ô tô thứ hai xuất phát và đi với tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất 10km/h. Trên đường đi ô tô thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô và hai ô tô đến B lúc mấy giờ, biết chúng đến B cùng một lúc. Bài 8: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ ô tô bị chắn đường bởi tàu hỏa mất 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tang vận tốc them 6km/h trên quãng đường còn lại. tính vận tốc lúc đầu của ô tô. TOÁN NĂNG SUẤT Bài 1: Một côn g nhân được giao khoán 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lí hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán được giao đã được người công nhân hoàn thành sớm hơn 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của người công nhân đó. Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 400 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm? Bài 3: Một công nhân dự kiến sẽ hoàn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Lúc đầu người đó làm theo năng suất dự kiến. Sau khi làm được một nửa số lượng được
4. giao, nhờ hợp lí hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm them được 3 sản phẩm nữa, do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 30 phút. Tính năng suất dự kiến. Bài 4: Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến. Bài 5: Một công nhân dự định làm 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng 1 sau khi làm được số sản phẩm dự định, người đó nghỉ 40 phút. Do đó, để hoàn thành 3 số sản phẩm còn lại đúng thời hạn người công nhân đó phải tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi giờ. Tính năng suất dự định. Bài 6: Một công nhân dự định làm 80 sản phẩm với năng suất dự kiến. Nhưng thực tế khi làm người đó được giao 100 sản phẩm. Dù đã tăng năng suất mỗi giờ thêm 2 sản phẩm nhưng người đó vẫn hoàn thành kế hoạch chậm hơn dự kiến 20 phút. Tính năng suất dự kiến? Biết rằng năng suất không vượt quá 15 sản phẩm mỗi giờ. Bài 7: Một công nhân được giao làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Khi còn 30 sản phẩm cuối cùng người đó thấy nếu cứ giữ nguyên năng suất thì chậm 30 phút, nếu tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ thì sẽ xong sớm hơn dự định 30 phút. Tính năng suất người thợ lúc đầu. TOÁN CHUNG RIÊNG Bài 1: Hai vòi nước cùng chảy vào bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhan h hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình đầy bể trong bao lâu? Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu 3 mở riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ và vòi thứ hai trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi 5 chảy một mình sau bao lâu sẽ đầy bể? Bài 3: Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu người thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu? Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 1 giờ 12 phút nữa bể mới đầy. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
5. Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu mở 2 vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được bể. Hỏi mỗi vòi 15 chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở 1 vòi thứ nhất trong 15 phút và vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉ được bể. Hỏi mỗi vòi 5 chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể? TOÁN VỀ SỰ THAY ĐỔI THỪA SỐ CỦA MỘT TÍCH Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có kích thước xác định. Nếu tăng chiều dài thêm 8m và giảm chiều rộng 3m thì diện tích hình chữ nhật giảm 54m 2. Nếu giảm chiều dài 4m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích hình chữ nhật tăng 32m 2. Tính các kích thước của mảnh vườn. Bài 2: Một mảnh đất hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài 2m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng thêm 120m 2. Nếu giảm chiều dài 3m và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 60m2. Tính diện tích mảnh đất đó. Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 40m. Nếu chiều rộng của hình chữ nhật giảm đi 2m và chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm 4m thì diện tích của hình chữ nhật không thay đổi. Tính diện tích của hình chữ nhật. Bài 4: Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng xếp nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế, mỗi hàng có bao nhiêu ghế? TOÁN PHÂN CHIA NĂNG SUẤT ĐỀU Bài 1: Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 270 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác, nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 3 sản phẩm. Hỏi lúc đầu trong tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau. Bài 2: Một đội xe theo kế hoạch phải chở 30 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành, đội được điều động thêm 5 xe nữa nên mỗi xe chở giảm đi 0,2 tấn so với quy định. Hỏi theo kế hoạch, đội đó định dung bao nhiêu xe để chở và mỗi xe phải chở bao nhiêu tấn, biết tất cả các xe đều cùng một loại và chở số lượng bằng nhau. TOÁN PHẦN TRĂM
6. Bài 1: Hai đội công nhân theo kế hoạch phải hoàn thành 300 sản phẩm. Nhưng khi làm đội I hoàn thành 110% kế hoạch đội II hoàn thành 120% kế hoạch của mình, do đó tổng cộng cả hai đội đã làm được 340 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà mỗi đội phải làm theo kế hoạch. Bài 2: Hai tổ sản xuất trong tháng thứ nhất làm được 1000 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, do cải tiến kĩ thuật nên tổ I vượt mức 20% tổ II vượt mức 15% so với tháng thứ nhất. Vì vậy tháng thứ hai cả hai tổ sản xuất được 1170 sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Bài 3: Hai trường A và B có 500 em học sinh dự thi vào lớp 10. Trường A tỉ lệ đỗ 84%, trường B tỉ lệ đỗ 80%, vì vậy cả hai trường có 420 học sinh đỗ vào lớp 10. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường? Bài 4:Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm trong thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phảm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu? Bài 5: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 500 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, tổ I làm vượt mức 6%, tổ II làm hụt 8% so với tháng đầu, vì vậy cả hai tổ làm được 488 sản phẩm. Tính số sản phẩm của mỗi tổ làm được ở mỗi tháng? PHẦN III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 2( ― ) + + 1 = 4 2 1 a) + = 2 ( ― ) ― 3 + 1 = ― 5 | ― 2| e) 4 1 6 2 + = 9 ― = 1 ― 1 + 1 | ― 2| b) 2 3 | ― 1| + 2 + 1 = 4 ― = 1 f) ― 1 + 1 2| ― 1| ― + 1 = 3 2( + ) + ― 1 = 9 ( + 2)( ― 1) = + 3 c) g) 3( + ) ― 2 ― 1 = 3 ( ― 2)( ― 3) = + 5 2 2 + 1 ― 3 ― 2 = 5 + ― 2 = 7 h) + 1 4 + 1 + ― 2 = 17 d) 1 1 1 ― 2 ― 2 = ― 4 + = + 1 4 i) 10 1 ― = 1
7. mx + y = 2 Bài 2: Cho hệ phương trình : x - my = - 2 a) Chứng tỏ hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 0 c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho x + y đạt giá trị nhỏ nhất? ( m - 1)x - my = 3m - 1 Bài 3: Cho hệ phương trình: 2x - y = m + 5 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn S = x2 + y2 min x + my = 1 Bài 4: Cho hệ phương trình : mx + 4y = 2 a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất mà x = y + 2 PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 2)x - 2m – 5 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m sao cho x1 + x2 = 18 Bài 2: Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để (2 + x1 – x2)(2 – x1 + x2) = 0 Bài 3: Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 4 = 0 ( m là tham số) a) Giải phương trình với m = 1 2 2 b) Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 + x2 nhỏ nhất. Bài 4: Cho phương trình: x2 – 4x – m2 + 4 = 0 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm. 3 2 b) Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 sao cho x2 = x1 + 4x1 nhỏ nhất.
8. Bài 5: Cho phương trình: x2 – mx – m – 1 = 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình: a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. d) Có hai nghiệm cùng dấu. 3 3 e) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 + x2 = -1 f) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: |x1 ― x2| ≥ 3 g) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 – 5x2 = -2 PHẦN V: MỐI QUAN HỆ GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Cho hàm số y = -x2 (P) và y = mx – 1 (d) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm 2 2 giá trị của m để: x1 x2 + x2 x1 – x1x2 = 3 Bài 2: Cho hàm số: y = x2 (P) và y = x – m + 1 (d) a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (d) khi m = 2 b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung. 1 1 Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – m2 + m + 1 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A; B của (d) và (P) b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 sao cho |x1 ― x2| = 2 Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 a) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B b) Gọi x1; x2 là hoành độ của điểm A và B. Tìm m để |x1 ― x2| = 2 c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên trái trục tung. Bài 5: Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx + n a) Tìm n để (d) đi qua M(-1; -2)
9. b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A;B. c) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung. d) Gọi A(x1; y1); B(x2; y2). Tìm các giá trị của m để Q = x1 + y1 + x2 + y2 lớn nhất. B. HÌNH HỌC: Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) (AB < CD); gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Hai dây DI và CI lần lượt cắt AB tại M và N. Các tia DA và CI cắt nhau tại E, tia CB và tia DI cắt nhau tại F. a) CMR: tứ giác CDEF nội tiếp. b) CMR: EF// AB c) CMR: AI2 = IM. ID và IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AMD. d) A; B cố định; C và D di động. Gọi R1 và R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMD và tam giác BMD. CMR: R1 + R2 không đổi. Bài 2: Cho (O;R) có hai đường kính AB và CD cố định vuông góc với nhau. M là một điểm bất kì thuộc AB (M khác A, B, O); tia CM cắt (O) tại N khác C, kẻ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với AB, qua N kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng d tại P. a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp. b) Chứng minh CM . CN không đổi. c) Tứ giác CMPO là hình gì? Vì sao? d) Chứng minh khi M di chuyển trên AB thì P di chuyển trên một đường thẳng cố định. Bài 3: Cho (O;R) và dây BC cố định ( BC không đi qua tâm ). Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC và H là hình chiếu của M lên BC. Điểm E thuộc cung lớn BC. Nối ME cắt BC tại D. Từ C kẻ CI vuông góc với đường thẳng ME tại I. a) Chứng minh : M ; I; H; C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: MD . ME = MB2. c) Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED. d) Gọi A là giao điểm của đường thẳng CI và BE. Xác định vị trí của E trên cung lớn BC để diện tích tam giác MAC lớn nhất. Bài 4: Cho (O;R) kẻ đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A, C là một điểm bất kì trên d(C khác A). Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CM với (O) (M là tiếp điểm). MH
10. vuông góc với AB tại H. Gọi E là giao điểm của CO và MA, K là giao điểm của CB và MH. a) Chứng minh: Tứ giác OACM nội tiếp. b) Chứng minh: EA . MH = EO . HA c) Kéo dài BM cắt d tại N. Chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB. d) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt các tia CA và CM theo thứ tự tại P và Q. Xác định vị trí của C trên đường thẳng d để diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất. Bài 5: Cho (O;R), kẻ đường kính AB. Điểm M bất kì thuộc (O) sao cho MA < MB ( M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Vẽ đường tròn tâm I đường kính MH cắt MA; MB theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh: MH2 = MF . MB và ba điểm E; F; I thẳng hang. b) Kẻ đường kính MD của (O). MD cắt (I) tại điểm thứ hai là N (N khác M). Chứng minh: Tứ giác BONF nội tiếp. c) MD cắt EF tại K. Chứng minh MK vuông góc với EF và MHK = MDH d) Đường tròn (I) cắt (O) tại điểm thứ hai là P (P khác M). Chứng minh ba đường thẳng MP; EF; BA đồng quy tại một điểm. Bài 6: Cho (O) và dây BC cố định không qua O. Trên tia đối của tia BC lấy A bất kì. Kẻ các tiếp tuyến AM; AN tới (O) (M;N là các tiếp điểm). Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AO; BC thứ tự tại H và K. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: AH . AO = AB . AC = AM2 b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp. c) Giả sử NI cắt (O) tại P. Chứng minh : MP // BC d) Khi A di động trên tia đối của tia BC , chứng minh rằng trọng tâm của tam giác MBC chạy trên một đường tròn cố định Bài 7: Cho (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA; MB với (O) (A;B là tiếp điểm). Qua M kẻ một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm N và P ( N nằm giữa M và P). Gọi K là trung điểm của NP. a) Chứng minh5 điểm : M; A; K; O; B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh KM là tia phân giác AKB c) Gọi Q là giao điểm thứ hai của BK với (O). Chứng minh : AQ // NP. d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh : MA2 = MH . MO = MN . MP
11. e) Chứng minh 4 điểm: N; H; P; O cùng thuộc một đường tròn. f) Gọi E là giao điểm của AB và OK, F là giao điểm của AB và NP. Chứng minh : AB2 = 4HE . HF g) Chứng minh tứ giác KEMH nội tiếp từ đó suy ra tích OK . OE không đổi h) Đoạn OM cắt (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. i) Chứng minh AE . BF = AF . BE j) Chứng minh rằng khi d thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAP luôn chạy trên một đường tròn cố định. k) Giả sử MA = R 3. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA; OB và cung nhỏ AB. C. CÁC BÀI NÂNG CAO THAM KHẢO 1 1 1 Bài 1: Cho x; y; z > 0 và x + y + y + z + z + x = 6 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3x + 3y + 2x + 3y + 3z + 2x + 3z + 3x + 2y Bài 2: Cho x; y; z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x + y + y + z + z + x Bài 3: Cho x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 3 zy y - 1 + zx y - 2 + xy z - 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = xyz x2 2 Bài 4: Cho x > 1; y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = y y - 1 + x - 1 1 1 1 Bài 5: Với các số x; y; z > 0 thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu xy + yz + zx = 1. x y z thức : Q = yz(1 + x2) + zx(1 + y2) + xy(1 + z2)