›
›
›

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Ứớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

docx 29 trang Hoài Anh 18/05/2022 4822
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Ứớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_6_chuyen_de_uoc_chung_lon_nhat.docx

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Ứớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

  1. CHUYÊN ĐỀ : ƯCLN – BCNN 1. Quy tắc tìm UCLN. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố Tìm các thừa số nguyên tố chung Lâp tích các thừa số nguyên tố chung đĩ, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. 2. Quy tắc tìm BCNN. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố Tìm các thừa số nguyên tố chung, và riêng Lâp tích các thừa số nguyên tố chung và riêng đĩ, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. a b 12 Bài tập1. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 2 Ta co a,b 2 a2 a 2n (n N*) vab2 b 2m (m N*) (m,n) 1 Ta co a b 12 2n 2m 12 m n 6 Vì a và b cĩ vai trị như nhau giả sử a > b suy ra n > m m 1 n 5 a 10 b 2 Vậy a = 10, b = 2 Hoặc a = 2 , b = 10 a b 42 Bài tập 2. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 3 Ta co a,b 3 a3 a 3n (n N*) vab3 b 3m (m N*) (m,n) 1 Ta co a b 42 3n 3m 42 m n 14 Vì a và b cĩ vai trị như nhau giả sử a > b suy ra n > m n 13 11 9 m 1 3 5 a 39 33 27 b 3 9 15 Vậy (a,b) (39;3);(33;9);(27;15) va cac hoanvi a b 120 Bài tập 3. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 5
  2. Ta co a,b 5 a5 a 5n (n N*) vab5 b 5m (m N*) (m,n) 1 Ta co a b 120 5n 5m 120 m n 24 Vì a và b cĩ vai trị như nhau giả sử a > b suy ra n > m n 23 19 17 13 m 1 5 7 11 a 115 95 85 65 b 5 25 35 55 Vậy a,b (115;5);(95;25);(85;35);(65;55)va cac hoanvi a b 90 Bài tập 4. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 3 Ta co a,b 3 a3 a 3n (n N*) vab3 b 3m (m N*) (m,n) 1 Ta co a b 90 3n 3m 90 m n 30 Vì a và b cĩ vai trị như nhau giả sử a > b suy ra n > m n 29 23 19 17 m 1 7 11 13 a 87 69 57 51 b 3 21 33 39 a,b (87;3);(69;21);(57;33);(51;39)va cac hoanvi a. b 180 Bài tập 5. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 3 Ta co a,b 3 a3 a 3n (n N*) vab3 b 3m (m N*) (m,n) 1 Ta co a.b 180 3n.3m 180 mn 20 Vì a và b cĩ vai trị như nhau giả sử a > b suy ra n > m n 20 5 m 1 4 a 60 15 b 3 12 a,b (60;3);(15;12)va cac hoanvi a. b 360 Bài tập 6. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 2 Ta co a,b 2 a2 a 2n (n N*) vab2 b 2m (m N*) (m,n) 1 Ta co a.b 360 2n.2m 360 m.n 90
  3. Vì a và b cĩ vai trị như nhau giả sử a > b suy ra n > m n 90 45 18 10 m 1 2 5 9 a 180 90 36 20 b 2 4 10 18 Vậy: (a;b) (180;2);(90;4);(20;18);(36;10)va cac hoanvi a. b 720 Bài tập 7. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 3 Ta co a,b 3 a3 a 3n (n N*) vab3 b 3m (m N*) (m,n) 1 Ta co a.b 720 3n.3m 720 mn 80 Vì a và b cĩ vai trị như nhau giả sử a > b suy ra n > m n 80 16 m 1 5 a 240 48 b 3 15 a. b 720 Bài tập 8. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 6 a. b 4050 Bài tập 9. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 3 a b 480 Bài tập 10. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 12 a b 900 Bài tập 11. Tìm hai số tự nhiên a và b biết (a,b) 10 DẠNG 1: Tìm tập hợp BC Bài 1: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN (60;280) b, BCNN(84;108) c, BCNN(13;15) d, BCNN(10;12;15)
  4. Bài 2: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN(8;9;11) b, BCNN(24;40;168) c, BCNN(40;52) d, BCNN(42;70;180) Bài 3: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN(770;220)b, BCNN(154;220) c, BCNN(12;36) d, BCNN(28;56;560) Bài 4: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN(25;39) b, BCNN(100;120;140) Bài 5: Tìm BCNN của: a, 51 ; 102 và 153; b, 15 ; 18 và 120; c, 600 ; 840 và 37800; d, 72 ; 1260 và 2520. Bài 6: Cho a = 15, b = 25. Hãy tìm: a, BCNN của (a; b); b, BC (a; b) nhỏ hơn 300 Bài 7: Cho các số tự nhiên 16 , 25 và 32. So sánh a, BCNN (16; 25) và BCNN (16; 32); b, BCNN (16; 25) và BCNN (25; 32); c, BCNN (16; 32) và BCNN (25; 32). Bài 8: Trong các số sau đây, BCNN gấp mấy lần UCLN a, 42; 63 và 105; b, 80; 120 và 1000? Bài 9: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15 và a 18 Bài 10: Tìm các BC nhỏ hơn 200 của 30 và 45 Bài 11: Tìm số tự nhiên x biết rằng x 12, x 21 và x 28 và 150<x<300 Bài 12: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 126 và a 198 Bài 13: Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 Bài 14: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng: a 40 ,a 220 và a 24 Bài 15: Tìm các bội chung cĩ ba chữ số của 50,125 và 250 Bài 16: Tìm các BC lớn hơn 100 nhưng nhỏ hơn 400 của 8 và 15 Bài 17: Tìm các BC cĩ 3 chữ số của 21 ,35 và 175 Bài 18: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khác 0, biết rằng: x 126 và x 198. Bài 19: Tìm BCNN (a, b, c), biết rằng a là số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 2 chữ số, b là số tự nhiên lớn nhất cĩ ba chữa số và c là số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 4 chữ số.
  5. DẠNG 2: BÀI TỐN VỀ BC Bài 1: Một số sách khi xếp thành từng bĩ 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ, biết số sách trong khoảng 500 đến 200 HD: Gọi số sách cần tìm là x (cuốn) ĐK: x N,200 x 500 Theo bài ra ta cĩ: x  10 => x B(10) x  12 => x B(12) x  18 => x B(18) => x BC( 10 ;12 ; 18) = { 0 ;180 ;360 ;540 : } Vì số sách trong khoẳng từ 200 đến 500 nên x = 360 Vậy số sách ban đầu là 360 Bài 2: Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ 8 ngày đến thư viện một lần, Hải 10 ngày một lần,Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào 1 ngày.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện? HD : Gọi x ( ngày) là số ngày hai bạn Tùng và hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 và x nhỏ nhất Khi đĩ ta cĩ : x  8 => x B(8) x  10 => x B(10) => x BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; ) Vì x là nhỏ nhất khác khơng nên x = 40 Vậy sau 40 ngày thì hai bạn lại cùng đến thư viện vào 1 ngày Bài 3: Học sinh lớp 6A khi xếp hàng 2, 3, 4, 8 đều vừa đủ, biết số học sinh lớp trong khoảng từ 35 đến 60, Tính số học sinh? HD: Gọi x ( học sinh) là số học sinh lớp 6A :=> x > 0 và 35 x B(2) x  3 => x B(3) x  4 => x B(4) x  8 => x B(8) => x BC( 2 ;3 ;4 ;8) = { 0; 24; 48 ; 72 ; ) Vì x trong khoẳng từ 35 đến 60 nên x = 48 Vậy lớp 6A cĩ 48 học sinh Bài 4: Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ 10 ngày lại trực nhật cịn Bách 12 ngày lại trực nhật. Hỏi sau bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật? HD: Gọi x ( ngày) là số ngày hai bạn Tùng và hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 và x nhỉ nhất Khi đĩ ta cĩ : x  8 => x B(8) x  10 => x B(10) => x BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; ) Vì x là nhỏ nhất khác khơng nên x = 40
  6. Vậy sau 40 ngày thì hai bạn lại cùng đến thư viện vào 1 ngày Bài 5: Số học sinh của 1 trường là số cĩ 3 chữa số và lớn hơn 900, mỗi lần xếp hàng 3, 4, 5 đều đủ. Hỏi trường đĩ cĩ bao nhiêu học sinh? HD : Gọi số học sinh của trường là x( học sinh) => x N,900 x 1000 Theo bài ra ta cĩ : x 3, x 4, x 5 => x BC(3 ;4 ;5) = B(60) B(60) = {0 ; 60 ; ; 600 ; 660 ; 840 ; 900 ; 960 ;1020 ; } Vì 900 x>0 và x nhỏ nhất Khi đĩ ta cĩ : x  5 => x B(5) x  10 => x B(10) x  8 => x B(8) => x BC( 8; 10 ;5 ) = { 0; 40; 80; 120; ) Vì x là nhỏ nhất khác khơng nên x = 40 Vậy sau 40 ngày thì ba bạn lại cùng trực nhật vào 1 ngày Bài 7: Một trường THCS xếp hàng 20,25,30 đều dư 15 học sinh, nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ, Tính số học sinh của trường đĩ biết rằng số học sinh của trường đĩ chưa đến 1000. HD : Gọi số học sinh của trường là x=> (0 x - 15 B(20) x - 15  25 => x - 15 B(25) x - 15  30 => x - 15 B(30) => x - 15 BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; ) => x { 15; 315; 615;915; 1215; ) Thêm nữa, khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên x 41, Trong các số trên (0 x - 13 B(20) x - 13  25 => x - 13 B(25) x - 13  30 => x - 13 B(30) => x - 13 BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; ) => x { 13; 313; 613; 913; 1213; )
  7. Thêm nữa, khi xếp hàng 45 thì cịn dư 28 học sinh nên x - 28 phải chia hết cho 45, Trong các giá trị trên từ 13 đên 913 thì chỉ cĩ: 613 là chia cho 45 dư 28 học sinh Vậy số học sinh của trường là 613 học sinh Bài 9: Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2, 3, 4, 5 đều thừa 1 người, Tính số đội viên biết số đĩ nằm trong khoảng 100 đến 150? HD: Gọi số thiếu niên của đội là x => (100 x - 1 B(2) x - 1  3 => x - 1 B(3) x - 1  4 => x - 1 B(4) x - 1  5 => x - 1 B(5) => x - 1 BC ( 2; 3; 4; 5 ) = { 0; 60; 120; 180; ) => x { 1; 61; 121; 181; ) Vì 100 (0 x + 1 B(2) x + 1  3 => x + 1 B(3) x + 1  4 => x + 1 B(4) x + 1  5 => x + 1 B(5) x + 1  6 => x + 1 B(6) => x + 1 BC( 2; 3; 4; 5;6 ) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; ) => x {-1; 59; 119; 179; 239; 299; 359; ) Bên cạnh đĩ khi xếp hàng 7 vừa đủ nên x chia hết cho 7 Và 0 (200 x - 5 B(12) x - 5  15 => x - 5 B(15) x - 5  18 => x - 5 B(18) => x - 5 BC( 12; 15; 18) = { 0; 180; 360; 540; ) => x {5; 185; 365; 545; ) Và 200 < x < 400 nên chỉ cĩ số 365 là thỏa mãn Vậy số học sinh khối 6 của trường là 365 học sinh Bài 12: Hai dội cơng nhân, Trồng 1 số cây như nhau, mỗi cơng nhân đội I phải trồng 8 cây, đội II phải trồng 9 cây, Tính số cây mỗi đội phải trồng biết rằng số cây đĩ trong khoảng từ 100 - 200
  8. HD: Gọi x là số cây mỗi đội phải trồng => 100 x B(8) x  9 => x B(9) => x BC( 8; 9 ) = { 0; 72; 144; 216; ) Vì 100 800 x B(5) x  6 => x B(6) x  7 => x B(7) x  8 => x B(8) => x BC( 5; 6 ;7; 8 ) = { 0; 840; 1680; ) Vì 800 100 x B(7) x  8 => x B(8) x  6 => x B(6) => x BC( 7 ; 8; 6 ) = { 0 ; 168 ; 336 ; ) Vì 100 < x < 200 nên x = 168 Vậy số cây phải trồng của mỗi đội là 168 cây Bài 16: Một cơng ty vận tải hàng hĩa dùng ba ca nơ để chở hàng, ca nơ thứ nhất 7 ngày cập bến 1 lần, ca nơ thứ hai 6 ngày cập bến 1 lần, ca nơ thứ ba 8 ngày cập bến 1 lần. Hỏi nếu ba ca nơ cùng đang cập bến, thì ít nhất sau bao nhiêu ngày sau : a, Ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ hai cùng cập bến ? b, Ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến ? c, Ca nơ thứ hai và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến ? d, Cả ba ca nơ cùng cập bến ?
  9. HD : a, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ hai lại cùng cập bến Khi đĩ ta cĩ : x  7 => x B(7) x  6 => x B(6) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN( 6; 7) = 42 => Vậy sau 42 ngày thì ca nơ 1 và ca nơ 2 giặp nhau tại bến b, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến Khi đĩ ta cĩ : x  7 => x B(7) x  8 => x B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 7) = 56 => Vậy sau 56 ngày thì ca nơ 1 và ca nơ 3 giặp nhau tại bến c, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ hai và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến Khi đĩ ta cĩ : x  6 => x B(7) x  8 => x B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 6) = 24 . Vậy sau 24 ngày thì ca nơ 2 và ca nơ 3 giặp nhau tại bến d, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ hai và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến Khi đĩ ta cĩ : x  6 => x B(6) x  7 => x B(7) x  8 => x B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 6 ; 7) = 168. Vậy sau 168 ngày thì cả ba ca nơ giặp nhau tại bến Bài 17: Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh tham quan, Tính số học sinh biết nếu xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ HD : Gọi số học sinh của trường đi tham quan là x=> 800 x B(35) x  40 => x B(40) => x BC(35 ; 40) = {0 ; 280 ; 560 ; 840 ; 1120 ; } Mà 800 (x x - 15 B(20) x - 15  25 => x - 15 B(25) x - 15  30 => x - 15 B(30) => x - 15 BC( 20; 25; 30) = { 0; 300; 600; 900;1200; ) => x {15; 315; 615; 915; 1215; )
  10. Mặt khác khi xếp hàng 41 thì vừa đủ và x x B(75) Tương tự ta cũng cĩ với các xe thứ hai và xe thứ ba x  60 => x B(60) x  50 => x B(50) Và x phải nhỏ nhất nên x = BCNN (75; 60; 50) =300 phút =5h Vậy sau 5h thì ba xe lại lại cùng xuất phát Bài 21: Một buổi tập đồng diễn thể dục cĩ khoảng từ 350 đến 500 người tham gia. Khi tổng chỉ huy cho xếp 5,6,8 hàng thì thấy lẻ 1 người, Khi cho đồn xếp hàng 13 thì vừa vặn khơng thừa người nào. Hỏi số người tham gia tập đồng diễn là bao nhiêu ? HD : Gọi số người tham gia tập diễn là x => ( 350 x - 1 B(5) x - 1  6 => x - 1 B(6) x - 1  8 => x - 1 B(8) => x - 1 BC( 5; 6; 8) = { 0; 120; 240; 360; 480; 600; ) => x {1; 121;241; 361; 481; 601; ) Mặt khác khi xếp hàng 13 thì vừa đủ và 350 < x < 500 nên trong các số trên cĩ 481 là thỏa mãn Vậy số người tham gia tập diễn là 481 người Bài 22: Số học sinh tham gia nghi thức đội là 1 số cĩ ba chữ số lớn hơn 800 , Nếu xếp hàng 20 thì dư 7 em, nếu xếp hàng 25 thì dư 18 em, và xếp hàng 15 thì thiếu 8 em, hỏi cĩ tất cả bao nhiêu hs dự thi? Bài 23: Hai lớp 6A và 6B cùng thu nhặt 1 số giấy vụn bằng nhau, Trong lớp 6A, một bạn thu được 26kg, cịn lại mỗi bạn thu được 11 kg, Trong lớp 6B 1 bạn thu được 25kg cịn lại mỗi bạn thu được 10kg, Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200-300kg
  11. HD: Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (kg): x 2611 Khi đĩ: x 15 BC 10;11 Ngồi ra 200 x 300 x 235 x 2510 Bài 24: Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11; 26 đều được dư là 1 Bài 25: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 3 chữ số biết rằng số đĩ chia cho 4; 6; 7 đều được dư là 3 Bài 26: Tìm số tự nhiên n lớn nhất cĩ 3 chữ số sao cho chia nĩ cho 3; 4; 5; 6; 7 được các số dư theo thứ tự là 1; 2; 3; 4; 5 Bài 27: Nhân ngày 1- 6, Chị phụ trách chia kẹo như sau, Nếu chia mỗi gĩi 10 cái thì một gĩi chỉ cĩ 9 cái, nếu chia mỗi gĩi 9 cái thì 1 gĩi 8 cái, nếu chia mỗi gĩi 7 cái thì 1 gĩi cĩ 6 cái, nếu chia mỗi gĩi 2 cái thì thừa 1 cái, biết số kẹo từ 2000 – 3000 cái, Hỏi cĩ bao nhiêu kẹo?
  12. DẠNG 3: Bài tốn BC cĩ dư Bài 1: Bạn Nam nghĩ 1 số cĩ 3 chữa số, nếu bớt số đĩ đi 8 thì được 1 số  7, nếu bớt số đĩ đi 9 thì được 1 số  8, nếu bớt số đĩ đi 10 thì được 1 số  9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào? HD: Gọi x là số bạn Nam đã nghĩ, ĐK: 99 2a = 106 => a = 53 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 53 Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5, 7, 9 cĩ số dư theo thứ tự là 3, 4, 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta cĩ: a 5m 3 2a 10m 6 2a 15 a 7n 4 m,n, p N 2a 14n 8 2a 17 2a 1 BC(9;5;7) a 9 p 5 2a 18p 10 2a 19 Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 = BCNN( 9; 5; 7) = 315 => 2a = 316 => a = 158 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 158 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, 4, 5 cĩ số dư là 1, 3, 1 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta cĩ: a 3m 1 2a 6m 2 2a 23 a 4n 3 m,n, p N 2a 8n 6 2a 24 2a 2 BC(3;4;5) a 5p 1 2a 10 p 2 2a 25 Vì a nhỏ nhất nên 2a - 2 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 2 = BCNN( 3;4;5) = 60 => 2a = 62=> a = 31 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 31
  13. DẠNG 4: Tìm tập hợp Ước chung Bài 1: Tìm các tập hợp sau: a, UCLN (12;30) b, UCLN (8;9) c, UCLN (8;12;15)d,UCLN (24;16;8 ) Bài 2: Tìm các tập hợp sau: a, UCLN (56;140) b, UCLN (24;84;180) c, UCLN (60;180) d,UCLN (15;19) Bài 3: Tìm các tập hợp sau: a, UCLN (16;80;176) b, UCLN (18;30;77) c, UCLN (180;234) d, UCLN (60;90;135) Bài 4: Tìm các tập hợp sau: a, UC(8;12) b, UC(40;60) c, UC(28;39;25) d, UC(36;60;72) Bài 5: Tìm số tự nhiên a lớn nhất sao cho 420 a và 700  a Bài 6: Tìm các ước lớn hơn 20 của 144 và 192 Bài 7: Tìm số tự nhiên x biết rằng 112 x , 140 x và 10 20
  14. DẠNG 5: Bài tốn về UC Bài 1: Lan cĩ một tấm bìa HCN, kích thước 75cm và 105cm,Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuơng bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết khơng cịn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng? HD: Gọi độ dài cạnh các mảnh của hình vuơng là a (cm) ĐK: a N,a 75 Theo bài ta ta cĩ: 75  a và 105  a và a phải là số lớn nhất Nên a = UCLN(75 ; 105) Bài 2: Hùng muốn cắt một tấm bìa HCN cĩ kích thước 60 và 96cm, thành các mảnh nhỏ hình vuơng bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết. Tính độ dài lớn nhất cạnh của hình vuơng? HD : Gọi độ dài cạnh các mảnh của hình vuơng là a (cm) ĐK: a N,a 60 Theo bài ta ta cĩ: 60  a và 96  a và a phải là số lớn nhất Nên a = UCLN(60 ; 196) Bài 3: Đội văn nghệ của một trường cĩ 48 nam và 72 nữ về 1 hyện để biểu diễn, đội đã chia các tổ gồm cả nam và nữ, biết số nam, số nữ được chia đều vào các tổ vậy cĩ thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ, mỗi tổ cĩ bao nhiêu nam, bao nhiêu nữa? HD : Gọi số tổ cĩ thể chia được nhiều nhất là a ( tổ) ĐK : a N,a 48 Theo bài ra ta cĩ: 48  a và 72  a và a là số lớn nhất Nên a = UCLN( 48 ; 72) Sau khi tìm được a, ta lấy 48 :a là ra số nam trong tổ, và 72 : a là ra số nữ trong mỗi tổ Bài 4: Một đội y tế cĩ 24 bác sĩ và 108 y tá,cĩ thể chia đội y tế đĩ thành nhiều nhất mấy tổ để các bác sĩ,y ts được chia đều vào các tổ HD : Gọi số tổ cĩ thể chia được nhiều nhất là a ( tổ) ĐK : a N,a 24 Theo bài ra ta cĩ: 24 a và 108 a và a là số lớn nhất Nên a = UCLN( 24 ; 108 ) Bài 5: Trong một buổi liên hoan ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo và 36 cái bánh và được chia đều ra các đĩa gồm cả kẹo và bánh, cĩ thể chia được nhiều nhất bào nhiêu đĩa, mỗi đĩa cĩ bao nhiêu bánh bao nhiêu kẹo? HD : Gọi a ( chiếc ) là số đĩa cĩ thể chia được ĐK : a N,a 36 Theo bài ra ta cĩ: 96 a và 36 a và a là số lớn nhất Nên a = UCLN(96 ; 36) Sau khi tìm được a, ta lấy 96 :a là ra số kẹo trong mỗi đĩa, và 36 : a là ra số bánh trong mỗi đĩa Bài 6: Lớp 6A cĩ 54 học sinh, 6B cĩ 42 và 6C cĩ 48 học sinh, trong ngày khai giảng ba lớp cùng xếp thành 1 số hàng dọc như nhau, mà khơng cĩ người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất cĩ thể sếp được? HD : Gọi a là số hàng dọc cĩ thể xếp được ĐK : a N,a 42 Theo bài ra ta cĩ : 54 a và 42 a và 48 a đồng thời a là số lớn nhất
  15. Khi đĩ a = UCLN(54 ; 42 ; 48) Bài 7: Cĩ 48 bút chì, 64 quyển vở, cơ giáo muốn chia số bút và số vở thành 1 số phần thưởng như nhau,cĩ thể chia được nhiều nhất bào nhiêu phần thưởng,số bút số vở ở mỗi phần thưởng? HD : Gọi a là số phần thưởng cĩ thể chia theo yêu cầu đầu bài ĐK : a N,a 48 Theo bài ra ta cĩ : 48 a và 64 a đồng thời a là số lớn nhất Khi đĩ a = UCLN(48 ; 64) Sau khi tìm được a ta lấy 48 chia a là ra số bút chì trong mỗi phần thưởng Và lấy 64 chia cho a là ra số quyển vở trong mỗi phần thưởng Bài 8: Một khu đất HCN cĩ chiều dài 60m rộng 24 m, người ta muốn chia thành những khu đất hình vuơng bằng nhau để trồng hoa cĩ thể chia được bao nhiêu mảnh đất hình vuơng để diện tích là lớn nhất? HD : Gọi a(m) là cạnh những khu đất hình vuơng cần phải chiaĐK : a N,a 24 Theo bài ra ta cĩ : 60 a và 24 a, đồng thời để hình vuơng cĩ diện tích lớn nhất thì a phải lớn nhất Hay a = UCLN( 60 ; 24) Bài 9: Bạn Lan cĩ 48 viên bi đỏ, 30 viên bi xanh, 66 bi vàng, Lan muốn chia đều số bi vào các túi sao cho mỗi túi đều cĩ 3 loại bi, Hỏi Lan cĩ thể chia được nhiều nhất bao nhiêu túi, mỗi túi cĩ bao nhiêu viên bi đỏ? HD : Gọi a là số túi mà Lan cĩ thể chia ĐK : a N,a 30 Theo yêu cầu bài tốn thì 48 a, và 30 a và 66 a, Đồng thời a là số lớn nhất nên a = UCLN(48; 30; 66) Sau khi tìm được a thì lấy 48 : a sẽ tìm ra được số bi đỏ trong mỗi túi Bài 10: Linh và Mai cùng mua một số hộp bút chì màu, số bút đựng trong mỗi hộp bằng nhau và lớn hơn 1. Kết quả Linh cĩ 15 bút chì màu và Mai cĩ 18 bút chì màu hỏi mỗi hộp cĩ bao nhiêu chiếc bút? HD: Gọi số bút trong mỗi hộp là a ĐK : a vàN, aa>1 15 Theo bài ra ta cĩ : 15 a và 18 a, Nên a là 1 ước chung của 15 và 18 Và a phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn 15 => kết quả được a=3 Bài 11: Hai lớp 6A và 6B tham gia phong trào tết trồng cây, mỗi em trịng 1 số cây như nhau, kết quả lớp 6A trồng được 132 cây vag 6B được 135 cây. Hỏi mỗi lớp cĩ bao nhiêu học sinh. HD: Gọi số cây mỗi em trồng được là a, ĐK : a N,a 132,a và1 a>1 Theo bài ra ta cĩ: 132 a và 135 a khi đĩ ta thấy a UC(132;135) 1;3 Vậy a = 3, Khi đĩ lớp 6A cĩ 132 : 3 = 44 học sinh và lớp 6B cĩ 135 : 3 = 45 học sinh Bài 12: Trong cuộc thi HSG cấp tỉnh coa ba mơn Tốn Văn Anh ,số học sinh tham gia như sau:Văn cĩ 96 học sinh, Tốn cĩ 120 học sinh và Anh cĩ 72 học sinh.Trong buổi tổng kết các bạn được tham gia phân cơng đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng cĩ số bạn thi mỗi mơn bằng nhau.Hỏi cĩ thể phân học sinh đứng thành ít nhất bao nhiêu hàng?
  16. HD : Gọi số hs đứng ở mỗi hàng là a,ĐK : a N và,a a>172 Vì mỗi hàng cĩ số học sinh mỗi mơn bằng nhau nên ta cĩ: 96 a ;120 a và 72 a , Để cĩ ít nhất bao nhiêu hàng thì số học sinh phải là lớn nhất hay a lớn nhất Hay a = UCLN ( 96 ; 120 ; 72) = 24, Vậy số hàng cần tìm là : (96 + 120 + 72) : 24 = 12 hàng Bài 13: Một mảnh đất hình chữ nhật cĩ chiều dài 120m, chiều rộng 36m, người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi gĩc vườn cĩ 1 cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Hỏi số cây phải trồng ít nhất là bao nhiêu cây? HD: Muốn số cây phải trồng ít nhất thì khoảng cách giữa hai cây phải lớn nhất, Gọi khoảng cách này là a ĐK : a N,a 36 Khi đĩ 120  a và 36 a và a là lớn nhất nên a = UCLN( 120 ; 36) => a = 12, Chu vi của vườn là P = 312 nên số cây cần ít nhất là 312: 12 = 26 cây Bài 14: Một lớp có 28 HS nam và 24 HS nữ . Khi phân tổ, GVCN muốn phân chia sao cho số HS nam và số HS nữ ở mỗi tổ đều bằng nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ , cách chia nào để mỗi tổ có số HS ít nhất HD : Gọi a là sơ tổ cĩ thể chia theo yêu cầu bài tốnĐK : a và a>1N,a 24 Theo bài ra ta cĩ : 28  a và 24  a Khi đĩ UC(28 ; 24) ={ 1 ; 2 ; 4 ) Như vậy ta cĩ hai cách chia Cách 1 là chia làm 2 tổ khi đĩ mỗi tổ sẽ cĩ : ( 28+24) : 2 =26 học sinh Cách 2 chi làm 4 tổ, khi đĩ mỗi tổ sé cĩ 13 học sinh Để số học sinh trong tổ ít nhất thì ta chia theo cách thứ hai, chia làm 4 tổ Bài 15: Ba khối 6- 7- 8 theo thứ tự cĩ 300, 276, 252 học sinh xếp hàng dọc để diễu hành, sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau, Hỏi cĩ thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều khơng cĩ ai lẻ hàng, Khi đĩ ở mỗi khối cĩ bao nhiêu hàng ngang HD : Gọi x là số hàng dọc cĩ thể xếp được nhiều nhất Khi đĩ : x UCLN 300;276;252 , Tìm x suy ra số hàng ngang Bài 16: Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành 1 số phần qua như nhau, Hỏi cĩ thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng Bài 17: Cĩ 760 quả Cam, Táo, Chuối. Biết số Chuối nhiều hơn số Táo là 80 quả, Táo nhiều hơn Cam là 40 quả, Người ta muốn chia số Cam, Táo, Chuối vào các đĩa sao cho mỗi đĩa đều bằng nhau, Hỏi cĩ bao nhiêu cách chia ? HD : Theo đề bài Chuối hơn Táo 80 quả nên số chuối nhiều hơn Cam là 80+40=120 quả : Số chuối và số Táo hơn Cam là : 40+120 =160 quả Như vậy 3 lần số Cam sẽ là : 760- 160=600 => Số Cam là 200, Táo là 240, Chuối là 320
  17. DẠNG 3: Bài tốn UC cĩ dư Bài 1: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 24 cho a thì dư 3,và khi chia 38 cho a cũng dư 3 HD : Vì 24 chia a mà dư 3 thì 24 - 3 = 21 chia hết cho a => a U(21) và a > 3 Tương tự 38 chia a cũng dư 3 nên 38 - 3 = 35 chia hết cho a => a U(35) và a > 3 Như vậy a UC(21 ;35) và a > 3 Bài 2: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia a dư 12 và 280 chia a dư 10 HD: Vì 156 : a dư 12 nên 156-12=144 chia hết cho a và a > 12 Và 280 chia a dư 10 nên 280 - 10 = 270 chia hết cho a và a > 10 Như vậy a UC(144 ; 270) đồng thời a > 12 Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết 288 chia n dư 38 và 414 chia n dư 14 HD: Vì 288 : a dư 38 nên 288 - 38 = 250 chia hết cho a và a > 38 Và 414 chia a dư 14 nên 414 - 14 = 400 chia hết cho a và a > 14 Như vậy a UC(38 ;400) đồng thời a > 38 Bài 4: Tìm số tự nhiên a lớn nhất thỏa mãn 543, 4539, 3567 đều chia cho a dư 3 HD: Vì 543 chia a dư 3 nên 543 - 3 = 540 chia hết cho a hay a U(540) Tương tự thì a U(4536) và a U(3564), và vì a là số tự nhiên lớn nhất nên: a = UCLN( 540 ; 4536 ; 3564) Bài 5: Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia a dư 38, 450 chia a dư 18 HD: Vì 398 chia a dư 38 nên 398 - 38 = 360 chia hết cho a hay a U(360) và a > 38 Tương tự thì a U(432) và a > 18, do đĩ a UC( 360; 432) và a > 38 Bài 6: Tìm số tự nhiên a biết rằng 350 chia a dư 38 và 320 chia a dư 26 HD: Vì 350 chia a dư 38 nên 350 - 38= 312 chia hết cho a hay a U(312) và a > 38 Tương tự thì a U(304) và a > 18, do đĩ a UC( 312; 304) và a > 38 Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43 HD: Vì 264 chia a dư 24 nên 264 - 24 =240 chia hết cho a hay a U(240) và a > 24 Tương tự thì a U(320) và a > 43, do đĩ a UC( 240; 320 ) và a > 43 Bài 8: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 111 cho a thì dư 15 cịn khi chia 180 cho a thì dư 20 HD: Vì 111 chia a dư 15 nên 111 - 15 = 96 chia hết cho a hay a U(96) và a > 15 Tương tự thì a U(160 ) và a > 20, do đĩ a UC( 96; 160 ) và a > 20 Bài 9: Nếu ta chia 2 số 3972 và 170 cho cùng 1 số thì sẽ được số dư tương ứng là 4 và 42. Hỏi số chia là bao nhiêu? HD:
  18. Gọi số chia cần tìm là a, Ta cĩ số chia là ước của (3972 - 4) và (170 - 42) a 64 Hay a UC 3968;128 , đồng thời 42 a 170 a 128 Bài 10: Tìm số tự nhiên a biết rằng: 398 : 9 thì dư 38, cịn 450 chia cho a thì dư 18 HD: Vì 147 chia a dư 17 nên 147 - 17 = 130 chia hết cho a hay a U(130) và a > 17 Tương tự thì a U(182 ) và a > 11, do đĩ a UC( 130; 182 ) và a > 17 Bài 11: Tìm 1 số tự nhiên n biết rằng khi chia 147 và 193 cho n thì cĩ số dư lần lượt là 17 và 11 Bài 12: Tìm số tự nhiên a biết rằng, 350 chia cho a dư 14, cịn 320 chia cho a dư 26 Bài 13: Nếu ta chia 2 số 3972 và 170 cho cùng 1 số thì sẽ được số dư tương tứng là 4 và 42, Hỏi số chia là bao nhiêu? Bài 14: Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho khi chia 364, 414, 539 cho n ta được 3 số dư bằng nhau HD: Ta cĩ: Vì 3 số 364, 414, 539 chia n cĩ cùng số dư, nên hiệu 2 số chia hết cho số đĩ: 414 364n 539 414n n UCLN 125;50;175 539 364n Bài 15: Tìm số tự nhiên a biết 1960, 2002 chia a cĩ cùng số dư là 28
  19. DẠNG 4. Tìm hai số khi biết tổng và UCLN Bài 1: Tìm hai số tự nhiên a và b biết rằng a+b=48 và UCLN (a;b)=6 HD: a 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 6b1 a b 48 6a1 6b1 48 6 a1 b1 48 Nên a1 b1 8 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta cĩ bẳng sau: a1 1 3 5 7 a 6 18 30 42 b1 7 5 3 1 b 42 30 18 6 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 42), (18 ; 30), (30 ; 18), và (42 ; 6) Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a và b cĩ tổng bằng 224, biết rằng UCLN của chúng bằng 28 HD: a 28a1 Vì UCLN( a; b) = 28 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 28b1 a b 224 28a1 28b1 224 28 a1 b1 224 Nên a1 b1 8 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta cĩ bẳng sau: a1 1 3 5 7 a 28 84 140 196 b1 7 5 3 1 b 196 140 84 28 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (28 ; 196), (84 ; 140), (140 ; 84), và (196 ; 28) Bài 3: Tìm hai số tự nhiên biết rằng UCLN của chúng bằng 36 và tổng của chúng bằng 432 HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta cĩ: a 36a1 Vì UCLN( a; b) = 36 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 36b1 a b 432 36a1 36b1 432 36 a1 b1 432 Nên a1 b1 12 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta cĩ bẳng sau: a1 1 5 7 11 a 36 180 252 396 b1 11 7 5 1 b 396 252 180 36
  20. Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (36 ; 396), (180 ; 252), (252 ; 180), và (396 ; 36) Bài 4: Tìm hai số tự nhiên biết rằng UCLN của chúng bằng 6 và tổng bằng 66,đồng thời cĩ 1 số chia hết cho 5 HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta cĩ: a 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 6b1 a b 66 6a1 6b1 66 6 a1 b1 66 Nên a1 b1 11 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta cĩ bẳng sau: a1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 b1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 Tuy nhien vì 1 trong hai số chia hết cho 5 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 60), (30; 36), (36; 30), và (60; 6) Bài 5: Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng bằng 864 và UCLN của nĩ là 6 HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta cĩ: a 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 6b1 a.b 864 6a1.6b1 864 36.a1.b1 864 Nên a1.b1 24 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta cĩ bẳng sau: a1 1 3 8 24 a 6 18 48 144 b1 24 8 3 1 b 144 48 18 6 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 144), (18 ; 48), (48 ; 18), và (144 ; 6) Bài 6: Tìm hai số tự nhiên a,b (a>b)cĩ tích bằng 1994 và UCLN của chúng bằng 18 HD : a 18a1 Vì UCLN( a; b) = 18 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 18b1 a.b 1944 18a1.18b1 1944 324a1.b1 1944 Nên a1.b1 6 Mà ( a1:b1) = 1 và a> b nên a1 b1 Do đĩ ta cĩ bẳng sau: a1 6 3 a 108 54 b1 1 2
  21. b 18 36 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (108 ; 18), (54; 36) Bài 7: Tìm hai số tự nhiên khác 0 biết rằng a+b=224 và UCLN (a;b) =56 HD : a 56a1 Vì UCLN( a; b) = 56 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 56b1 a b 224 56a1 56b1 224 56 a1 b1 224 Nên a1 b1 4 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta cĩ bẳng sau: a1 1 3 a 56 168 b1 3 1 b 168 56 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (56 ; 168), (168; 56) Bài 8: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b= 6144 và UCLN (a;b)=32 HD: a 32a1 Vì UCLN( a; b) = 32 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 32b1 a.b 6144 32a1.32b1 6144 a1.b1 6 Mà ( a1:b1) = 1 và a> b nên a1 b1 Do đĩ ta cĩ bẳng sau: a1 1 2 3 6 a 32 64 96 192 b1 6 3 2 1 b 192 96 64 32 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (32; 192), (64; 96), (96 ; 64), (192 ; 32) Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b =72 và UCLN (a;b)=6 HD : a 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 6b1 a.b 72 6a1.6b1 72 a1.b1 2 Mà ( a1:b1) = 1 và a> b nên a1 b1 Do đĩ ta cĩ bẳng sau: a1 1 2 a 6 12 b1 2 1 b 12 6 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 12), (12 ; 6)
  22. Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b =3750 và UCLN (a;b)=25 HD: a 25a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 25b1 a.b 3750 25a1.25b1 3750 a1.b1 6 Mà ( a1:b1) = 1 Do đĩ ta cĩ bẳng sau: a1 1 2 3 6 a 25 50 75 150 b1 6 3 2 1 b 650 75 50 25 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (25 ;650) ,(50 ; 75), ( 75 ; 50), (150 ;25) Bài 11: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b bằng 24300 và UCLN (a;b)=45 HD: a 45a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 45b1 a.b 24300 45a1.45b1 24300 a1.b1 12 Mà ( a1:b1) = 1 Do đĩ ta cĩ bẳng sau: a1 1 3 4 12 a 45 135 180 540 b1 12 4 3 1 b 540 180 135 45 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (45 ; 540) ,(135; 180), ( 180 ; 135), (540 ;45) Bài 12: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng hiệu của chúng bằng 84 và UCLN của chúng là 12 HD: a 12a1 Vì UCLN( a; b) = 12 nên và ( a1:b1) = 1, Giả sử a > b=> a1 > b1 b 12b1 Mà: a b 84 12a1 12b1 84 a1 b1 7 Vì a1 b1 , Nên cĩ vơ số a, b thỏa mãn đầu bài sao cho: a1 b1 7 Vậy hai số đĩ cĩ dạng (12b1 84;12b1) Với ( a1:b1) = 1 Bài 13: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho: a , a+b=120, UCLN (a;b)=12 b , a.b=6936, UCLN (a;b) = 34 c , a.b=6936, BCNN (a;b)=204 HD :
  23. a 12a1 a, Vì UCLN( a; b) = 12 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 12b1 a b 120 12a1 12b1 120 12 a1 b1 120 Nên a1 b1 10 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta cĩ bẳng sau: a1 1 3 7 9 a 12 36 84 108 b1 9 7 3 1 b 108 84 36 12 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (12 ; 108), (36; 84), (84 ; 36), (108 ; 12) a 34a1 b, Vì UCLN( a; b) = 34 nên và ( a1:b1) = 1, Mà: b 34b1 a.b 6936 34a1.34b1 6936 a1.b1 6 Mà ( a1:b1) = 1 Do đĩ ta cĩ bẳng sau: a1 1 2 3 6 a 34 68 102 204 b1 6 3 2 1 b 204 102 68 34 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (34 ; 204), (68 ; 102), (102 ; 68), (204 ; 34) Bài 14: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn: 10 x; y 30 và x UCLN(2y 5;3y 2) HD : Vì UCLN(2y+5 ;3y+2)=x nên ta cĩ : 2y 5x 3 2y 5 2 3y 2 x 11x x U 11 1;11 3y 2x Vì x>10 nên x=11, Với x=11 và ta lại cĩ y 2y+5 y=3=> 3y+2=11 11, Thỏa mãn TH2 : Với 2y+5=22=> 2y=17=> (Loại) TH3 : Với 2y+5=33=> y=14=> 3y+2=44 11,Thỏa mãn TH4 : Với 2y+5=44=> 2y=39=> (Loại) TH5 : Với 2y+5=55=> y=25=> 3y+2=77 11, Thỏa mãn Vậy x=11 và y {3 ;14 ;25} Bài 15: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng là 84 và UCLN của chúng là 28, các số đĩ trong khoảng 300 đến 440 HD : Gọi 2 số cần tìm là a,b và a > b,
  24. a 28a1 Theo bài ra ta cĩ : a b 84,UCLN a;b 28 a1 b1 3 b 28b1 Mà 300 a 440 28.10 28a1 28.16 a1 11;12;13;14;15 TH1 : a1 11 b1 8 a 308,b 224 l TH2 : a1 12 b1 9 l , Vì a1,b1 1 TH3 : a1 13 b1 10 a 364,b 280 l Vì 280 0, biết a.b 216,UCLN a;b 6 Bài 19: Tìm 2 số tự nhiên a,b>0 biết a b 128,UCLN a;b 16 Bài 20: Tìm 2 số tự nhiên a,b>0 biết: a b 128,UCLN a;b 16 và chúng cĩ các chữ số hàng đơn vị giống nhau Bài 21: Tìm 2 số tụ nhiên a,b biết a b 288,UCLN a;b 24 Bài 22: Tìm 2 số tự nhiên a,b biết rằng a b 192,UCLN a;b 18 Bài 23: Tìm 2 số tự nhiên a,b nhỏ hơn 56, biết hiệu của chúng là 28 và UCLN(a; b) = 14 Bài 24: Giả sử 2 số tự nhiên cĩ hiệu 84, UCLN của chúng là 12, Tìm 2 số đĩ, biết 2 số đĩ nhỏ hơn 200 Bài 25: Cho 2 số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng là 90, và UCLN chủa chúng là 15, tìm 2 số đĩ Bài 26: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 180 và UCLN củ chúng là 3 Bài 27: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 8748 và UCLN của chúng là 27 Bài 28: UCLN của 2 số là 45, Số lớn là 270, Tìm số nhỏ? HD: Gọi số cần tìm là a (a 8) và UCLN a;8 4 , mà a1 2, a1;2 1 8 4.2 a1 2k 1 Vậy số cần tìm cĩ dạng : 4 2k 1 ,k N * Bài 30: Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng là 272 và UCLN là 34 Bài 31: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết :
  25. a, a b 72,UCLN a;b 8 b, a.b 448,UCLN a;b 4 c, a b 96,UCLN a;b 16 d, a b 30,UCLN a;b 15
  26. DẠNG 5. Chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau Bài 1: Chứng minh rằng 2 số n+1 và 3n+4 (n N) là hai số nguyên tố cùng nhau HD: Gọi d = UCLN(n+1;3n+4) => d N*, nên ta cĩ n 1d 3n 3d nên (3n+4)-(3n+3)  d => 1 d 3n 4d 3n 4d Vậy hai số : n+1 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau với (n N) Bài 2: Cho n N, Chứng minh rằng UCLN (n;n+1)=1 HD : Gọi d=UCLN(n ; n+1),=> d N* Khi đĩ ta cĩ : nd (n 1) nd 1d n 1d Vậy hai số n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 3: Chứng minh rằng 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau HD : Gọi d=UCLN( 2n+1 ; 2n+3)=> d N* 2n 1d Khi đĩ ta cĩ : 2n 3 2n 1 d 2d d U 2 1;2 2n 3d Mà ta lại cĩ 2n+1 d mà 2n+1 là số lẻ nên d=2( loại), do đĩ d=1 Vậy hai số 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 31: Cho (a, b) = 1. Tìm: a. (a + b, a - b) b.(7a + 9b, 3a + 8b) HD : b, Gọi d =UCLN (7a+9b; 3a+8b)=> d N* 7a 9bd 3(7a 9b)d 21a 27bd Nên: 29bd d=1 hoặc d=29 3a 8bd 7(3a 8b)d 21a 56bd Tương tự: 7a 9bd 8(7a 9b)d 56a 72bd 291d d=1 hoặc d=29 3a 8bd 9(3a 8b)d 27a 72bd Vì UCLN(a; b) =1 nên UCLN( 7a+9b; 3a+8b)=1 hoặc 29 Vậy d=1 hoặc d=19 Bài 32: Tìm n để 18n+3 và 21n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau: HD: 18n 3d Gọi d UCLN 18n 3;21n 7 21d d U 21 1;3;7;21 21n 7d Nếu d 3 21n 73 (Vơ lý) Nếu d 1;7 , để 2 số trên là nguyên tố thì d 7 18n 3 7 18n 3 21 7 n 1 7 n 7k 1 Vậy với n 7k 1 k N thì 2 số trên nguyên tố cùng nhau Bài 33: Tìm số tự nhiên n để 4n 3,2n 3 nguyên tố cùng nhau HD:
  27. Giả sử: 4n 3 và 2n 3 cùng chia hết cho số nguyên tố d, thì 2 2n 3 4n 3 d 3d d 1;3 Để 2 số trên nguyên tố cùng nhau thì d 3 4n 3 3 4n  3 n  3 n 3k k N Bài 34: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n 13 và 2n 4 HD: Giả sử: 7n 3 và 2n 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d, Ta cĩ: 7 2n 4 2 7n 13 d 2d d 1;2 Để 2 số trên nguyên tố cùng nhau thì d 2 7n 12 2 n là số chẵn Bài 35: Chứng minh rằng: cĩ vơ số số tự nhiên n để n 15 và n 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau HD: Gọi d UC n 15;n 72 57d , Do n 15d,57d , Nên tồn tại n sao cho n 15 57k 1 thì d = 1, Với k=1; 2; 3; Vậy cĩ vơ số n Bài 36: CMR: UCLN 12n 1;30n 1 1 với mọi số tự nhiên n HD : Gọi UCLN ( 12n+1 ; 30n+1)= d, => d N* khi đĩ ta cĩ : 12n 1d 5 12n 1 d 60n 5d 3d d 1;3 30n 1d 2 30n 1 d 60n 2d Vì 12n+1 là 1 số khơng chia hết cho 3 nên d=3 loại Vậy d=1, khi đĩ UCLN( 12n+1 ; 30n+1) =1 Bài 37: Cho m,n là hai số tự nhiên, Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n, B là tập hợp các ước số chung của 11m 5n và 9m 4n , CMR: A=B HD : Gọi d=UCLN( 11m+5n ;9m+4n) =>d N* 11m 5nd 9 11m 5n d 99m 45nd Khi đĩ ta cĩ : nd (1) 9m 4nd 11 9m 4n d 99m 44nd 11m 5nd 4 11m 5n d 44m 20nd Tương tự ta cĩ : md (2) 9m 4nd 5 9m 4n d 45m 20nd Từ (1) và (2) ta cĩ : d UC(m;n) => d U(A) và B U(d)=U(A), Vậy A=B
  28. CHUYÊN ĐỀ VỀ UCLN VÀ BCNN Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 900 và UCLN(a; b) = 10 HD : Do a và b cĩ vai trị như nhau, Giả sử a b a 10a1 Vì UCLN(a; b) =10=> a1 b1 , a1;b1 1 b 10b1 Lại cĩ: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 900.10 10a1.10b1 a1.b1 90 Ta cĩ bảng sau: a1 90 45 18 10 a 900 450 180 100 b1 1 2 5 9 b 10 20 50 90 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (900; 10), (450; 20), (180; 50), (100; 90) và (10; 900), (20; 450), (50; 180), (90; 100) Bài 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 240 và UCLN(a; b)= 16 HD: Do a và b cĩ vai trị như nhau, Giả sử a b a 16a1 Vì UCLN(a; b) =16 => a1b1 , a1;b1 1 b 16b1 Lại cĩ: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 240.16 16a1.16b1 a1.b1 15 Ta cĩ bảng sau: a1 15 5 a 240 80 b1 1 3 b 16 48 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (240; 16), (80; 48) và (16; 240), (48; 80) Bài 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a.b = 4320 và BCNN(a; b)= 360 HD: a.b Từ UCLN(a; b). BCNN(a; b) = a.b => UCLN a;b 4320 :360 12 BCNN(a;b) Khi đĩ ta cĩ: Giả sử a b a 12a1 UCLN(a; b) = 12 => a1 b1 , a1;b1 1 b 12b1 Lại cĩ: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 12.360 12a1.12b1 a1.b1 30 Ta cĩ bảng sau: a1 30 15 10 6 a 360 180 120 72 b1 1 2 3 5 b 12 24 36 60
  29. Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (360; 12), (180; 24), (120; 36), (72; 60) và đảo ngược a Bài 4: Tìm hai số nguyên dương a, b biết 2,6 và UCLN(a; b)= 5 b HD: Từ đầu bài ta cĩ: a > b a 5a1 Từ UCLN( a; b) =5 => a1,b1 1, a1 b1 b 5b1 a 13 a 13 a1 13 1 mà 2,6 a1;b1 1 b 5 b1 5 b1 5 Nên a = 65 và b = 25