›
›
›

Đề cương ôn tập Toán Lớp 6 - Phần I: Số học

doc 39 trang thaodu 7490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Toán Lớp 6 - Phần I: Số học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_cuong_on_tap_toan_lop_6_phan_i_so_hoc.doc

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Lớp 6 - Phần I: Số học

  1. PhÇn I : Sè häc Ch­¬ng I: «n tËp vµ bæ tóc vÒ sè tù nhiªn Bµi 1: tËp hîp – phÇn tö cña tËp hîp A.LÝ THUYẾT 1. TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n kh«ng ®Þnh nghÜa 2. §Ó viÕt mét tËp hîp cã 2 c¸ch + LiÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp + ChØ ra tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cho c¸c phÇn cña tËp hîp 3. Mäi tËp hîp ®Òu lµ tËp hîp con cña chÝnh nã Quy ­íc: Þ A víi mäi A NÕu A= B  A  B vµ B  A 4. TËp hîp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi là giao của A và B Kí hiệu: C = A ∩ B = { x / x A, x B} B.BÀI TẬP Bài 1: Viết các tập hợp sau đây bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó a) A = { 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19} => A = { x/ x = 3n + 1 , n N, 0 ≤ n ≤ 6} b) B = { 1; 8; 27; 64; 125}=> B = { x/ x = n3 , n N; 1 ≤ n ≤ 5} c) C = { 2; 6; 12; 20; 30; 42} => C = { x/ x = n( n+1), n N; 1 ≤ n ≤ 6} Bài 2: Tìm số phần tử của các tập hợp sau: a) A = Þ A => có 1 phần tử b) B = { x N /x ⋮ 2 và 2 ≤ n ≤ 100} => B có 50 phần tử c) C = { x N /x + 1 = 0 } => C không có phần tử nào d) D = { x N /x ⋮ 3} => D có vô số phần tử. Bài 3: Có 60 khách du lịch vừa đi thăm quan ít nhất một trong 2 thành phố HN và HCM . Biết có ¼ trong số họ chỉ đi tham quan HN còn 1/6 du khách đi cả 2 TP. Hỏi có bao nhiêu người chi đi thăm HCM Giải 15 10 x Số người chỉ đi thăm HN là: 60 : 4 = 15 người Số người đi thăm cả 2 TP là: 60: 6 = 10 người Số người chỉ đi thăm HCM là : 60 – 15 – 10 = 35 người Bài 4: Trong 1 lớp học mỗi hs đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 người học tiếng Anh, 27 người học tiếng Pháp còn 18 người học cả 2 tiếng. hỏi lớp học có bao nhiêu người. Đs: 34 Bài 5: Xét tập hợp các số tự nhiên từ 100 -> 1000 a) Có bao nhiêu phần tử có đúng 3 chữ số giống nhau b) Có bao nhiêu phần tử có đúng 2 chữ số giống nhau Giải: a) Từ 100 - > 1000 có đúng 1 số có 4 chữ số trong đó có 3 chữ số giống nhau là số 1000. Các số có 3 chữ số giống nhau khác là 111; 222; .; 999 có 9 số. Vậy từ 100 đến 1000 có 10 phần tử có 3 chữ số giống nhau
  2. b) Từ 100 đến 1000 mà các số có đúng 2 chữ số giống nhau( vì 1000 có đến 3 chữ số giống nhau ) các số này có dạng abb, bba, bab với a và b là các chữ số và a b - Xét số abb có 9 cách chọn chữ số a , với mỗi cách chọn chữ số a có 9 cách chọn chữ số b vậy có 9.9 = 81 số - xét số bab có 9 cách chọn chữ số b, với mỗi cách chọn chữ số b có 9 cách chọn chữ số a. Vậy có 9 . 9 = 81 số Tương tự với mỗi số có dạng bba ta cũng có 81 số. Vậy tổng cộng có 81 . 3 = 243 số ( Chú ý: Xét số dạng abb. Nếu chọn a = 1 thì b có thể là 1 trong 9 chữ số còn lại. Ta được 9 số 100; 111;122; 199 . nếu chọn a = 2,3,4,5 9 . trong mỗi trường hợp chọn a ta được 9 số dạng abb. Vậy có tất cả 9.9 =81 số) Vậy có 243 phần tử trong tËp hîp c¸c sè tù nhiªn tõ 100 ®Õn 1000 mµ cã ®óng 2 ch÷ sè gièng nhau. Bµi 6: C¸c sè tù nhiªn tõ 1000 ®Õn 10 000 cã bao nhiªu sè cã ®óng 3 ch÷ sè gièng nhau Gi¶i: Sè cã 4 ch÷ sè trong ®ã cã ®óng 3 ch÷ sè gièng nhau cã d¹ng abbb, bbba, babb, bbab víi a vµ b lµ c¸c sè tù nhiªn vµ a kh¸c b. §S 324 Bµi 2: tËp hîp c¸c sè tù nhiªn – ghi sè tù nhiªn A. Lý thuyÕt I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1. tập hợp các số tự nhiên : Kh: N N = { 0; 1; 2;3 } N* = { 1; 2; 3 .} 2, §Æc ®iÓm cña ghi sè tù nhiªn trong hÖ thËp ph©n - Dïng 10 ch÷ sè 0; 1; 2; 3; 9 ®Ó ghi mäi sè tù nhiªn. - Cø 10 ®¬n vÞ cña mét hµng b»ng mét ®¬n vÞ cña hµng tr­íc. Số kí hiệu cách biểu diễn thËp phân Có 2 chữ số ab a.10+b 3 abc 100.a + 10.b + c 4 abcd 1000.a + 100.b + 10.c + d 3, So s¸nh 2 sè tù nhiªn. + a b khi a n»m ë bªn ph¶i sè b trªn tia sè 4, TÝnh ch½n lÎ: a, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0; 2; 4; 6; 8 lµ sè ch½n (2b;b N) b, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1; 3; 5; 7; 9 lµ sè lÎ (2b+1;b N) 5, Sè tù nhiªn liªn tiÕp. a, Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n kÐm nhau hai ®¬n vÞ. a; a+1 (a N) b, Hai sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp h¬n kÐm nhau hai ®¬n vÞ. 2b; 2b + 2 (b N) c, Hai sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp h¬n kÐm nhau hai ®¬n vÞ.
  3. 2b + 1 ; 2b + 3 (b N) 6) C«ng thøc vÒ d·y sè c¸ch ®Òu: Sè sè h¹ng = (sè cuèi – sè ®Çu) : kho¶ng c¸ch + 1 Tæng = (sè cuèi + sè ®Çu). Sè sè h¹ng : 2 T×m sè h¹ng thø n : Sn=a1+(n-1). Kho¶ng c¸ch B. Bµi tËp. Bµi tËp 1: Cã bao nhiªu ch÷ sè cã 4 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè b»ng 3? Gi¶i 3 = 0 + 0 + 3 = 0 + 1 + 1 + 1 = 1 + 2 + 0 + 0 3000 1011 2001 1002 1110 2100 1200 1 + 3 + 6 = 10 sè 1101 2010 1020 Bµi tËp 2: C¸c sè tù nhiªn tõ 1000 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè cã ®óng ba ch÷ sè gièng nhau? Gi¶i Cã duy nhÊt sè 10000 cã 5 ch÷ sè kh«ng tho¶ m·n ®Ò bµi vËy c¸c sè ®Òu cã d¹ng. abbb babb bbab bbba (a b) XÐt sè abbb ch÷ sè a cã 9 c¸ch chän (a b) Víi a ®· chän ta cã 9 c¸ch chän (b a) => Cã 9.9 = 81 sè cã d¹ng abbb T­¬ng tù: => Cã 81.4=324 sè Bµi tËp 3: ViÕt c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp tõ 1 ->100 tõ tr¸i sang ph¶i thµnh d·y. a, D·y trªn cã tÊt c¶ bao nhiªu ch÷ sè? b, Ch÷ sè thø 100 kÓ tõ tr¸i sang ph¶i lµ ch÷ sè nµo? Gi¶i a, Sè cã 1 ch÷ sè: 9 sè => 9.1 = 9 ch÷ sè Sè cã 2 ch÷ sè: 99 – 9 = 90 sè => 90.2 = 180 ch÷ sè Sè 3 ch÷ sè: 100 => 3 ch÷ sè VËy d·y trªn cã 9 + 180 + 3 = 192 ch÷ sè. b, Ch÷ sè thø 100 r¬i vµo kho¶ng sè cã 2 ch÷ sè B¾t ®Çu tõ 1011 lµ ch÷ sè thø 91 91 – 2.45 + 1 Sè thø 45 kÓ tõ 10 lµ: (45 - 1) + 10 = 54 VËy ch÷ sè thø 100 lµ ch÷ sè 5. Bµi tËp 4: ViÕt liªn tiÕp 15 sè tù nhiªn lÎ ®Çu tiªn t¹o thµnh mét sè tù nhiªn h·y xo¸ ®i 15 ch÷ sè ®Ó ®­îc. a, Sè lín nhÊt (9 923 252 729) b, Sè nhá nhÊt (1 111 111 122) Bµi tËp 5: NÕu sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i sè ®ã th× nã t¨ng 1112 ®¬n vÞ (abc =123) Bµi tËp 6: T×m sè cã 4 ch÷ sè. BiÕt r»ng nÕu xo¸ ®i ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ th× sè ®ã gi¶m ®i 4455 ®¬n vÞ.
  4. Gi¶i abcd -ab = 4455 => cd = 99.(45-ab ) cd (45-ab ) 45 - ab = 0 1 => NÕu ab = 45 => cd = 0 NÕu ab = 44 => cd = 99 VËy sè ph¶i t×m 4500 44996 Bµi tËp 7: T×m sè cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 5 lÇn tæng c¸c ch÷ sè cña nã. Gi¶i ab = 5(a+b) => 5a = 4b => b  5 => b = 0 5 NÕu b = 0 => a = 0 lo¹i NÕu b = 5 th× a = 4 => ab = 45 Bµi tËp 8: T×m sè cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng lÊy sè ®ã chia cho tæng c¸c ch÷ sè cña nã ®­îc th­¬ng lµ 5 d­ 12. Gi¶i ab = 5(a+b) + 12 => 5a = 4(b+3) => b + 3  5 => b = 2 7 NÕu b = 2 => a = 4 => ab = 42 NÕu b = 7 => a = 8 87 Bµi tËp 9: Kh«ng lµm phÐp tÝnh h·y kiÓm tra kÕt qu¶ phÐp tÝnh a, 136 . 136 – 42 = 1960 b, ab . ab - 8557 = 0 (ch÷ sè tËn cïng) Bµi tËp 10: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®­îc mét sè gÊp 26 lÇn sè ®ã (260) Bµi tËp 11: T×m sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu lÊy sè ®ã chia cho hiÖu cña ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ta cã th­¬ng lµ 26 d­ 1. Gi¶i ab = (a - b) . 26 + 1 => 27b = 16 a + 1 ab 16a ch½n => 16a + 1 lÎ => b lÎ => b = 3 => a = 5 ab = 53 Bµi tËp 12: T×m sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng c¸c sè cã 2 ch÷ sè kh¸c nhau lËp tõ 3 ch÷ sè cña sè ph¶i. Gi¶i abc = ab + ac + bc + ba + ca + cb => abc = 22(a + b + c) Bµi tËp 13: §iÒn ch÷ sè thÝch hîp thay cho c¸c ch÷ c¸i a, 1 ab + 36 = ab 1 b, abc - cb = ca c, abc + acc + dbc = bcc Bµi tËp 14:: Thay c¸c ch÷ bëi c¸c ch÷ sè thÝch hîp.
  5. a, ab +bc + ca =abc ab =>ab + ca =a00 => ac aoo => a = 1 => b = 9 => c = 8 => 19 + 98 + 81 = 198 b, abc + ab + a = 874 => aaa + bb + c = 874 Do bb + c 874 aaa > 874 – 110 = 764 => a = 7 => bb + c = 874 – 777 = 97 Ta cã: 97 bb > 97 – 10 = 87 => bb = 88 => c = 9 Ta ®­îc: 789 + 78 + 7 = 874 Bµi tËp 15: §iÒn c¸c sè tõ 1 ®Õn 9 vµo ma ph­¬ng 3 x 3 sao cho tæng c¸c hµng thø tù lµ 6 ; 16; 23 vµ tæng c¸c cét 14; 12;19 Bµi tËp 16: Cho 9 sè 1; 3; 5; ; 17 cã thÓ chia 9 sè ®· cho thµnh 2 nhãm sao cho: a, Tæng c¸c sè nhãm I gÊp ®«i tæng c¸c sè nhãm II b, Tæng c¸c sè nhãm I b»ng tæng c¸c sè nhãm II. Gi¶i a, Cã thÓ: (chia hÕt cho 3) Nhãm I: 1 + 3 + 5 + 13 + 15 + 17 = 54 Nhãm II: 7 + 9 + 11 = 27 b, Kh«ng v× tæng ®ã kh«ng chia hÕt cho 2. Bµi tËp 17: Mét phÐp trõ cã tæng cña sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiÖu b»ng 490 hiÖu lín h¬n sè trõ lµ 129. T×m sè trõ vµ sè bÞ trõ. Gi¶i SBT = a ; ST = b; H = c => a – b = c (1) a + b + c = 490 (2) c – b + c 129 (3) (1) vµ (2) => a = 490 : 2 = 245 619 245 (2) vµ (3) => a + 2c = 619 => c= 187 => b = 245 – 187 = 58 2 Bµi tËp 18: Thay dÊu * bëi c¸c ch÷ sè thÝch hîp - = . BiÕt r»ng c¸c sè ®Òu kh«ng ®æi khi ®äc tõ ph¶i sang tr¸i hoÆc lµ tõ tr¸i sang ph¶i. Gi¶i * * * => ch÷ sè hµng ngh×n cña tæng lµ 1 => ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña + * * tæng còng b»ng 1 * * * * Ch÷ sè hµng tr¨m cña sè h¹ng thø nhÊt lµ 9 => Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè h¹ng thø nhÊt lµ 9 => Bµi tËp 19: Mét tr¨m sè tù nhiªn tõ 1 -> 100 chia thµnh 2 líp ch½n vµ lÎ a, Tæng c¸c sè cña 2 nhãm, nhãm nµo lín h¬n? b, Tæng c¸c ch÷ sè cña 2 nhãm, nhãm nµo lín h¬n? Gi¶i
  6. a) 1 3 5 7 9 99 2 4 6 8 10 100 b) 1 3 5 7 9 11 13 99 2 4 6 8 10 12 100 98 Bµi tËp 20: §em sè cã 4 ch÷ sè gièng nhau chia cho sè cã 3 ch÷ sè gièng nhau th× ®­îc th­¬ng lµ 16 vµ sè d­ lµ 1. NÕu sè bÞ chia vµ sè chia ®Òu bít ®i mét ch÷ sè th× th­¬ng kh«ng ®æi vµ sè d­ gi¶m 200 ®¬n vÞ, t×m c¸c sè ®ã? Gi¶i aaaa = 16 . bbb + r aaa = 16 . bb + (r - 200) Víi 200 r 1000 a = 1600 b + 200 => 5a = 8b + 1 => a = 5 vµ b = 3 Bµi tËp 21: §Ó ®¸nh sè trong mét cuèn s¸ch cÇn dïng 1995 ch÷ sè a, Cuèn s¸ch ®ã cã bao nhiªu trang ? b, Ch÷ sè thø 1000 ë trang nµo vµ lµ ch÷ sè nµo? Gi¶i a) §Ó viÕt c¸c sè cã 1 ; 2 ch÷ sè cÇn 1 . 9 + 2 . 90 = 189 ch÷ sè VËy sè trang lµ sè cã 3 ch÷ sè 1995 189 Sè c¸c sè cã 3 ch÷ sè lµ 602 3 Sè thø nhÊt cã 3 ch÷ sè lµ 100 . VËy sè thø 602 lµ 100 + 602 – 1 = 701 Cuèn s¸ch cã 701 trang b) Ch÷ sè thø 1000 thuéc sè cã 3 ch÷ sè (1000 – 189 = 811) 811 = 3 . 270 + 1 Sè thø 270 lµ 100 + 270 – 1 = 369 VËy ch÷ sè thø 1000 lµ ch÷ sè hµng tr¨m cña 370 (ch÷ sè 3) Bµi tËp 22: Khi viÕt c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 100 th× a, ch÷ sè 0 ®­îc biÕt bao nhiªu lÇn ? (11 lÇn) b, ch÷ sè 1 ®­îc biÕt bao nhiªu lÇn ? (21 lÇn) c, ch÷ sè 2 ; 3 ®­îc biÕt bao nhiªu lÇn ? (20 lÇn) Bµi tËp 23: Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 100 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè mµ trong c¸ch viÕt cña chóng cã 3 ch÷ sè gièng nhau. Gi¶i Lo¹i cã 3 ch÷ sè:aaa cã 9 sè Lo¹i cã 4 ch÷ sè: aaab Cã 9 c¸ch chän; b cã 9 c¸ch chän vµ b cã 4 vÞ trÝ kh¸c. => cã 9 . 9 . 4 = 324 sè VËy cã 9 + 324 = 333 sè Bµi tËp 24: a, TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn lÎ tõ 1 -> 999 b, ViÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 999. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè
  7. Gi¶i 999 1 a, Sè h¹ng cña d·y lµ: 1 500 2 500 Tæng cña d·y lµ: (1 999) 250000 2 b, 999 lµ sè cã tæng c¸c ch÷ sè lµ 27 Ta thÊy 1 + 998 = 999 2 + 997 = 999 Cã 499 cÆp => Tæng c¸c ch÷ sè lµ 27.500 = 13500 Bµi tËp 25: Trong c¸c sè tù nhiªn cã 3 d·y sè. Cã bao nhiªu sè kh«ng chøa ch÷ sè 9 Gi¶i C¸c sè tù nhiªn ph¶i ®Õm cã d¹ng a cã 8 c¸ch chän tõ 1 -> 8 . b cã 9 c¸ch chän tõ 0 -> 8 c cã 9 c¸ch chän tõ 0 -> 8 VËy cã: 8 . 9 . 9 = 648 (sè lÎ chøa ch÷ sè 9) Bài tập 26: Tìm số có 2 chữ số biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm được 3154. Số nhỏ trong 2 số đó thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27 Giải: Gọi số phải tìm là ab ( a,b ba ta có ba – ( b + a ) = 27 => 10.b+a – b – a = 27 => 9.b=27 => b= 3 mà a.3 . 3.a = 3154 vì a.3 có tận cùng bằng 4 nên a = 8 Thử lại có 83 .38 =3154 và 38 – ( 3+ 8) = 27 Vậy số phải tìm là 83. Bài tập 27: Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng nếu viết thêm 1 chữ số vào đằng sau số đó thì được số lớn gấp 3 lần số có được nếu viết thêm chính chữ số ấy vào đằng trước số đó. Giải Gọi abcde = X là số có 5 chữ số phải tìm, y là chữ số thêm vào Ta có: abcdey = 3. yabcde hay Xy = 3.(100 000y +X) => 10X +y = 300 000y+3X  7X = 299 999y => X = 42 857 y Do X có 5 chữ số nên y chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 Với y = 1 => x = 42 867 Với y = 2 => x = 85 714 Bài tập 28. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 đằng trước số đó thì được số lớn gấp 5 lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 7 vào đằng sau số đó Giải: Cách 1: Gọi số cần tìm là abcde. Đặt abcde = x ta có cách làm tương tự bài 27. ĐS x = 14 285 Cách 2: gọi số cần tìm là abcde ta có abcde7 x 5 7abcde 5 . 7 tận cùng bằng e do đó e = 5 ( nhớ 3)
  8. 5.e +3=5.5+3 tận cùng bằng d do đó d = 8 ( nhớ 2) 5.d +2 = 5.8+2 tận cùng bằng c do đó c = 2 nhớ 4 5.c +4 = 5.2+4 tận cùng bằng b do đó b= 4 nhớ 1 5.b +1 = 5.4+1 tận cùng bằng a do đó a = 1 nhớ 2 5.a +2 = 5.1+2 tận cùng bằng 7 đúng Vậy số đó là 14 285 Bài tập 29: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó có chữ số tận cùng là 6. Nếu chuyển chữ số 6 này lên đầu tiên bên trái thì được số lớn gấp 4 lần số ban đầu Đs: 153 846 Bài tập 30: Để đánh số trang bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 cần viết tất cả bao nhiêu chữ số. Giải: Số trang có 1 chữ số là : 9 Số trang có 2 chữ số là : 49 – 10+1 = 40 Số chữ số cần viết là: 1.9 + 2.40 = 89 Bài tập 31: Để đánh số các trang của một cuấn sách dùng tất cả 89 chữ số. Hỏi cuấn sách có bao nhiêu trang. Giải: Số trang có 1 chữ số là : 9 Số chữ số để viết các trang có 2 chữ số là: 89 – 1.9 = 80 Số trang có 2 chữ số là: 80: 2 = 40trang Số trang của cuấn sách là : 9 +40 = 49 ( trang) Bài tập 32: Để đánh số các trang của một cuấn sách dùng tất cả 1992 chữ số. Hỏi cuấn sách có bao nhiêu trang. chữ số thứ 1 000 ở trang nào và là chữ số gì? ĐS: có 700 trang và chữ số thứ 1000 ở trang 370 và là chữ số 3 Bài 33: a) Bạn Tâm phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 100 b) Bạn Lâm đánh số trang một cuấn sách dầy 284 trang bằng dãy số chẵn 2; 4; 6; 8; Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang sách. Giải: a) Bạn Tâm phải dùng 9 + 90.2+ 1.3 = 192 chữ số b) Dãy 2, 4, 6, 8 có 4 số gồm 4 chữ số - Dãy 10; 12; 14 . 98 có ( 98-10):2+1 = 45 số có 2 chữ số gồm 45.2 = 90 chữ số. - Dãy 100,102,104 .284 có ( 284 – 100):2+1=93 (số) có 3 chữ số gồm 93.3=297( chữ số) Do đó bạn Lâm phải viết tất cả 4+ 90+297 = 373 chữ số Hết 373 giây hay 6 phút 13 giây. Bài 34: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuấn sách có tất cả là a) 358 tr b) 1031 tr Giải: a) Muốn đánh số từ 1 đến 358 ( kể cả 358) ta phải dùng 9 số có 1 chữ số (99-10) + 1 = 90 số có 2 chữ số ( 358 – 100 ) + 1 = 259 số có 3 chữ số Vậy ta phải dùng 9.1+90.2+259.3=966 (chữ số) b) đ.số 3017 chữ số Bài 35 : Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên 123456 Hỏi chữ số chỉ đơn vị của số
  9. a) 53 đứng ở hàng thứ mấy b) 328 đứng ở hàng thứ mấy c) 1587 đứng ở hàng thứ mấy Giải Từ số 1 đến số 53 ( kể cả 53) có 9+ (53 -10 +1).2 =97 chữ số Vậy 3 ở hàng thứ 97 Vậy 8 ở hàng thứ 876 Vậy 7 ở hàng thứ 5241 Bài 36 : Tính số trang của một cuấn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuấn sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số Giải: Phải dùng 9+90.2+900.3 = 2889 chữ số để viết tất cả các trang có 1, 2 và 3 chữ số. Vì 2889 < 3897 nên số phải tìm là số có 4 chữ số. tất cả các số có 4 chữ số đã viết là (3897-2889):4=252 số. Cách 1: Số thứ nhất có 4 chữ số là 1000. Vậy số 252 có 4 chữ số là 1000 +252 - 1=1251 Cách 2: 9+90+900+252=1251 Bài 37: Bạn Lâm đánh số trang 1 cuấn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2; 4; 6; 8 chữ số 300 của dãy trên là chữ số nào? Giải: Viết dãy số chẵn từ 2 đến 98 phải dùng 4+ 90 =94 chữ số Còn lại 300 – 94 =206 Để viết các số chẵn có 3 chữ số kể từ 100 Ta thấy 206:3 =68 dư 2 Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là : 100 + (68-1).2 = 234 Hai chữ số tiếp theo là 2 và 3 thuộc số 236 Vậy chữ số thứ 300 của dãy là chữ số 3 thuộc số 236 Bài 38 : Để đánh số trang của một cuấn sách phải dùng 600 chữ số. Hỏi cuấn sách có bao nhiêu trang. Đs: 236 tr Baì 39 :Quyển sách GK toán 6 tập 1 có 132 trang. hai trang đầu không đánh số. Hỏi nếu phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này. Giải: Từ trang 3 đến trang 9 có 9-3+1=7 trang có 1 chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có : 99-10+1 = 90 trang có 2 chữ số. Từ trang 100 đến trang 132 có 33 trang có 3 chữ số Số chữ số cần dùng là : 7.1 + 90.2 +33.3 = 286 chữ số. Bµi 3: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT A : lý thuyÕt - Dãy cộng là dãy số có mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một số đơn vị Ví dụ: Dãy số tự nhiên : 1; 2; 3; 4 Dãy số lẻ: 1; 3; 5 Dãy các số chia cho 3 dư 1: 1;4;7 .
  10. - Nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy ( kí hiệu an ) ta có: an = a1 + ( n-1).d và n gọi là số số hạng của dãy cộng Ví dụ: a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy : 1 ; 3; 5 ;7 . b) Tìm số hạng thứ 80 của dãy: 4; 7; 10; Giải : a) Số hạng thứ 100 của dãy : 1 ; 3; 5 ;7 . Là: a100 = 1+ ( 100 – 1).2 = 99 b) Số hạng thứ 80 của dãy: 4; 7; 10; là a80 = 241 - Nếu một dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a1 , số hạng cuối là an thì tổng của n số hạng đó là: a a .n Sn = n 1 2 n 1 .n Chú ý : Tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 bằng 1+2+3+ .+n = 2 B: BÀI TẬP Bài 1 : Tính tổng của các số hạng của dãy : 4+7+10+13+ +31( gồm 10 số) 4 31 .10 S= 175 2 Bài 2 : Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật: a) 3 ; 8 ; 15; 24; 35 b) 3; 24; 63; 120; 195; c) 1;3;6;10; 15 d) 2; 5; 10; 17; 26 . Giải: - Dãy 1 có thể viết dưới dạng 1.3; 2.4; 3.5; 4.6; 5.7 mỗi số hạng của dãy 1 là tích của 2 thừa số. thừa số thứ 2 lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. các thừa số thứ nhất làm thành một dãy 1; 2; 3; 4; 5; 6 dãy này có số hạng thứ 100 là 100. số hạng thứ 100 của dãy 1 bằng 100.102 = 10200. - Dãy 2 có thể viết dưới dạng 1.3; 4.6; 7.9;10.12 . số hạng thứ 100 của dãy 1,4,7,10,13 là 1+ ( 100 – 1).3 = 298. số hạng thứ 100 của dãy 2 bằng 289.300=89400 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 - Dãy 3 có thể viết dưới dạng ; ; ; ; 2 2 2 2 2 100.101 Số hạng thứ 100 của dãy 3 bằng 5050 2 - Dãy 4 có thể viết dưới dạng : 1+12; 1+22; 1+32; 1+42 ; 1+52 số hạng thứ 100 của dãy 4 là 1 + 1002 =10001 Bài 3 : Viết liên tiếp dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A Giải: Theo đề bài ta có: A = 12345678910111213 .99100 Hay A = 0123456789 99100 Từ 0 đến 99 có 100 số ghép thành 50 cặp số ( 0 và 99) ; ( 1 và 98) . Mỗi cặp số có tổng các chữ số bằng18 Tổng các chữ số của 50 cặp số đó bằng 18.50=900 Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1 Vậy tổng các chữ số của số A là : 900 +1 = 901 Bài 4:
  11. a) Tính tổng các số lẻ có 2 chữ số b )Tính tổng các số chẵn có 2 chữ số Đs: a)2475; b)2430 Bài 5: Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 12345 hỏi chữ số 1 ở hàng đơn vị của số 1991 đứng ở hàng thứ bao nhiêu Giải : Từ 1 đến số 1991 có 9 số có 1 chữ số, 90 số có 2 chữ số, 900 số có 3 chữ số và 1991 -1000 +1= 992 số có 4 chữ số. Số chữ số phải dùng để viết các số từ 1 đến 1991 là : 9+ 2.90+3.900+4.992=6857 Vậy chữ số 1 ở hàng đơn vị của số 1991 đứng ở hàng thứ 6857 trong dãy số trên. Bài 6: Viết liên tiếp các số chẵn thành dãy 246810121416 hỏi chữ số thứ 2000 là chữ số gì: Giải: Từ 2 đến 1000 ( không kể 1000) có 4 số chẵn có 1 chữ số, 45 số chẵn có 2 chữ số; 450 số chẵn có 3 chữ số, do đó số chữ số phải dùng để viết các số chẵn từ 2 đên 1000 ( không kể 1000) là : 4 + 2.45 + 3.450 =1444 Vì 1444< 2000 nên chữ số thứ 2000 thuộc vào số chẵn có 4 chữ số. số chữ số còn lại để viết các số chẵn có 4 chữ số là : 2000-1444=556 Vì số 556 :4 =139 nên với 556 chữ số này ta có thể viết 139 số chẵn đầu tiên có 4 chữ số Số chẵn thứ 139 có 4 chữ số là 1000+(139-1).2 = 1276 Vậy chữ số thứ 1000 là chữ số 6 của số 1276 Bài 6: Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 1234 . Hỏi chữ số thứ 1001 của dãy là chữ số gì: Đs: chữ số 7 Bài 7 : Cho dãy số : 4; 7; 10; 13 . a) Tìm số thứ 100 , số thứ n của dãy đó b) Các số 45723 và 3887 có mặt trong dãy đó không Giải: a) Số thứ n của dãy : an = a1 + (n-1).d = 4+ 3(n-1)= 3n+1 b) Các số thuộc dãy số đã cho đều có dạng 3n+1 nhưng 45723 = 3.15241 và 3887= 3.1295+2 nên cả 2 số này đều không có mặt trong dãy Bài 8: Cho dãy số 7; 12; 17; 22; 27 .Tìm số thứ 1000 của dãy trên Các số 38246 và 795 841 có mặt trong dãy đó không Bài 9 : Viết các số tự nhiên từ 1 đến 100 kế tiếp nhau từ trái sang phải liền thành dãy 1,2,3,4,5 99;100 a) Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số b) Chữ số thứ 100 kể từ trái sang phải là chữ số nào Bài 10: Dùng 7 chữ số 0;1;2; 6 . có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số khác nhau. Giải: Gọi các số cần lập có dạng abcdefg Chữ số a có 6 cách chọn Chữ số b có 6 cách chọn Chữ số c có 5 cách chọn Chữ số d có 4 cách chọn Chữ số e có 3 cách chọn
  12. Chữ số f có 2 cách chọn Chữ số g có 1 cách chọn Vậy viết được tất cả 6.6.5.4.3.2.1= 4320 số. Bài 11: Dùng 6 chữ số 0,1,2, 5 có thể viết được bao nhiêu số có 6 chữ số. các chữ số khác nhau: Ds: 600 Bài 12: Dùng 6 chữ số có thể viết được bao nhiêu số có 6 chữ số, các chữ số khác nhau Gợi ý : xét trường hợp có 1 chữ số 0 và xét trường hợp không có chữ số 0 Đs : th1:600 số; th2: 6.5.4.3.2.1 =720 số Bài 13 : Cho một số có 3 chữ số là abc ( a,b,c khác nhau và khác 0). Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy, kể cả số ban đầu. Bài 14: Cho 4 chữ số a,b,c,d khác nhau và khác 0. lập số tự nhiên lớn nhất và số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số ấy . tổng của 2 số này bằng 11330 . Tìm tổng các chữ số a+b+c+d. Giải: giả sử a>b>c>d>0 nên số lớn nhất có dạng abcd và số nhỏ nhất là dcba. Theo đề bài ta có: abcd +dcba 11330 Ta có: d+a =10 và c+b = 12 Nên d+a+c+b = 10+12 =22 Bµi 15: T×m sè h¹ng thø n cña c¸c d·y sè sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, HD: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n(n 1) 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) n(n 3) 2 h) (n 1)(n 2) 2 i) n(n 1)(n 2) 2
  13. Bµi 4: c¸c phÐp to¸n vÒ sè tù nhiªn a. lý thuyÕt I. Phép cộng và phép nhân 1, phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ: (a – b) .c = a.c – b.c 2, kí hiệu n ! = 1.2.3.4.5 n ( nhN*) II. phép trừ và phép chia 1, điều kiện để thực hiện phép trừ là a – b thực hiện a≥b 2, điều kiện để a⋮b là a = b.q với( a,b,q hN và b khác 0) 3 , trong phép chia có dư a= b.q+ r ( b khác 0 , 0 a=0 hoặc b= 0 Nếu a=0 => 4.b=41 => b= 41:4 nên ko có số tự nhiên bhN Nếu b=0 => a = 41 Ví dụ 2: Tìm 2 số biết tổng của chúng là 176 , mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại. Giải: Gọi số thứ nhất là ab thí số thứ 2 là ba Ta có ab+ ba = 176 Từ cột hàng chục ta thấy a+b >10 nên ở hàng đơn vị có b+a =16 Vì b khác a nên a= 9 , b= 7 hoặc a= 7 ,b= 9 Hai số cần tìm là 97 và 79 Ví dụ 3: Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0 a) chứng tỏ rằng có thể lập được 4! Số có 4 chữ số khác nhau b) có thể lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho Giải: đs: 4.3.2.1 = 4! b) có 4 cách chọn chữ số hàng chục , 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị, nên có tất cả 4.3=12 số. Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức: a) A = (100 -1) .(100-2).(100-3) .(100-n) với ( n N*) tích trên có đúng 100 thừa số b) B= 13a+19b+4a-2b với a+b = 100 => B = 17a+17b = 17(a+b) = 17.100 = 1700 Ví dụ 5: Không tinh giá trị cụ thể so sánh: a) A= 199.201 và B = 200.200 b) C= 35.53-18 và D =35+53.34 Giải: a) A =199(200+1) = 199.200+199 B= 200.(199 +1) = 199.200+200 Nên A<B
  14. b) C= (34 +1) .53 -18 =34.53 +53 -18 =34.53 +35 = D b. bµi tËp Bµi tËp 1: TÝnh b»ng c¸ch nhanh chãng. a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 = 29 + (132 + 868) + (237 + 763) = 29 + 1000 + 1000 = 2029 b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15 = 700 + 400 + 15 = 1115 Bµi tËp 2 Một số có 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới lớn hơn số cũ bao nhiêu lần. Giải: Gọi số có 3 chữ số là abc với a,b,c là 3 số tự nhiên liên tiếp. vậy c –a = 2. số viết theo thứ tự ngược lại là cba ta có: cba – abc = 100.c + 10.b + a) – (100.a + 10.b +c ) = 100c +10.b + a – 100.a -10.b –c = 99c – 99a = 99. (c - a) = 99.2 = 188 Bµi tËp 3 Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được các số dư khác nhau. Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3 Giải: Gọi hai số đó là a và b Giả sử a chia cho 3 dư 1 và b chia cho 3 dư 2 ta có: a = 3 . m + 1 và b = 3.n + 2 nên a + b = 3.m +1 + 3.n + 2 = 3 .( m+ n) + 3 = 3. ( m+n+1) chia hết cho 3 Bµi tËp 4 Cho M = { 1; 13; 21; 29;52} tìm x, y M biết 30 30 nên x>30 => x= 52 Vì x-y >30 hay 50 – y > 30 => y y> 12 (2) Từ (1 ) và (2) => 12 y= 13 hoặc x = 52 và y = 21 Bµi tËp 5 Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lý nhất: a) ( 44.52.60) : (11.13.15) b) 123.456 456 – 456 .123.1001 = 0 Bµi tËp 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = 2003 – 1003 .( 999 –x) với x N Giải: B có giá trị nhỏ nhất  1003: (999 – x) có giá trị lớn nhất 999 – x có giá trị nhỏ nhất  999 –x = 1( vì số bị chia khác 0)  x = 998 lúc đó B = 1000 Bµi tËp 7 Trong một phép chia có số bị chia là 155, số dư là 12 . tìm số chia và thương. Giải: Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là a,b,q,r ta có: A = b.q + r ( b khác 0, r<b) b.q = a – r = 155 -12 = 143 = 143. 1 =13.11
  15. vì b > 12 nên chọn b = 143, q = 1 hoặc b =12 ,q = 11 Bµi tËp 8 Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150 , chia cho 7 dư 3 A = { x N/ x = 7.q + 3 , q N; x ≤ 150} a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn b) Tính tổng các phần tử của A Bµi tËp 9 Hiệu của hai số tự nhiên bằng 57, chữ số hàng đơn vị của số bị trừ là 3. nếu bỏ chữ số hàng đơn vị của số bị trừ ta được số trừ. Tìm hai số đó Giải: Giả sử số trừ là A . khi thêm 3 vào bên phải A ta được số bị trừ , điều này nghĩa là A tăng gấp 10 lần cộng thêm 3 ta có 10. A + 3 – 57 = A  A = 6 vậy 2 số cần tìm là 63 và 6 Bµi tËp 10 Một số có chữ số hàng đơn vị là 2. nếu gạch bỏ chữ số 2 thì số đó giảm đi 1802 . tìm số đó. Giải: Giả sử số sau gạch bỏ đi 2 là A khi viết thêm 2 vào bên phải ta đã làm A tăng lên 10 lần cộng thêm 2 Ta có : 10.A + 2 = 1802 + A => 9A = 1800 = > A = 200 Vậy số cần tìm là 2002 Bµi tËp 11 Cho 2 số tự nhiên có dạng bbb và ab thỏa mãn bbb: ab = ab. Xác định 2 số đó: Giải: bbb: ab = a.b => bbb = a.b . ab => bbb: b = a.ab=> 111 = a. ab = 3 .37 => a= 3 và b= 7 Vậy số cần tìm là 777 và 37 Bµi tËp 12 Cho một số có 3 chữ số mà chữ số cuối cùng lớn hơn chữ số đầu. nếu viết chữ số cuối cùng lên trước thì được một số mới lớn hơn số đã cho là 765 . tìm số đã cho Giải : Cách 1: phải tìm số abc biết cba – abc = 765 và c> a≥1 đặt ab = M có đẳng thức ( 100.c + M ) – ( 10 M + c) = 765 hay 100c + M = 765 + 10 M + c => 99c = 765 + 9M => 11c= 85 + M => M = 11c – 85(*) Vì c>a ≥1 nên c = 2;3;4;5; .8;9 Vì M là số có 2 chữ số tức là nó # 0 nên (*) đúng khi 11c số phải tìm là149 cách 2: phải tìm số abc biết cba – abc = 765 (1) và c>a≥1 từ (1) ta có : cba = abc + 765 - Cộng các chữ số ở hàng trăm với nhau ta thấy c> 7 nghĩa là c = 8 hoặc c = 9 - Cộng các chữ số ở hàng đơn vị với nhau ta thấy nếu c = 8 thì b = 3 và nếu c = 9 thì b = 4 - Cộng các chữ số ở hàng chục với nhau ta thấy nếu b = 3 thì a = 0 ( trái gt) nếu b = 4 thì a = 1 Vậy số phải tìm là 149 Bµi tËp 13:
  16. Một số chẵn có 4 chữ số, trong đó số tạo bởi chữ số hàng trăm và hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng nghìn và gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị. tìm số đó Giải: Gọi số có 4 chữ số phải tìm là abcd ( a,b,c,d là chữ số và a# 0) theo đề bài ta có: bc + 3a = 2d vì số cần tìm là số chẵn nên d h {0;2;4;6;8} do đó bc là số chẵn và bc ≤16 đồng thời bc ⋮ 3 nên bc = 00 ; 06; 12 bc = 00 thì a = 0 trái đk a# 0 bc = 06 thì a = 3 khi đó 2d = 3a = 9 là số lẻ vô lí bc = 12 thì a=4 => d = 6 vậy số phải tìm là 4126 Bµi tËp 14 Khi chia một số tự nhiên cho 4 thì được số dư là 3. nếu chia số ấy cho 5 thì được số thương giảm đi 2 đơn vị nhưng số dư vẫn là 3. Tìm số tự nhiên đó Gọi số đó là a ; chia a cho 4 được thương là q và dư 3, chia a cho 5 được thương là q-2 và dư 3 Ta có: a = 4.q+3 = 5.( q-2) + 3 => q = 10 và a = 43 Bµi tËp 15 Tìm thương của một phép chia biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi. Gi¶i Gọi a và b là số bị chia và số chia lúc đầu , x và r là thương và số dư của phép chia đó Ta có : a= b.x + r (1) a + 15 = ( b+ 5) .x +r (2) 2 – 1 => 15 =5.x => x = 3 Bµi 5: Luü thõa víi sè mò tù nhiªn a. lý thuyÕt I. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1, §Þnh nghÜa: an = a . a a (a, n N ; n 1 ) Với a là cơ số và n là số mũ VÝ dô: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 5 . 5 . 5 = 53 Quy ­íc: a0 = 1 (a 0) a 1 = a 2, Nh©n hai luü thõa cïng c¬ sè (chia) a, am . an = am+n b, am : an = am-n (a 0 ; m n ) VÝ dô: 35 . 32 = 35+2 = 37 2 . 22 . 23 = 21+2+3 = 26 2 2-1 a : a = a4 = a (a 0) 139 : 135 = 134 3, Lòy thõa cña mét tÝch. VÝ dô: TÝnh: ( 2 . 3)2 = (2 . 3) (2 . 3) = (2 . 2) (3 . 3) = 22 . 32
  17. Tæng qu¸t: (a . b )n = an . bn 4, Luü thõa cña luü thõa. VÝ dô: TÝnh (32)3 = 32 . 32 . 32 = 32.3 = 36 Tæng qu¸t: (am)n = am.n VÝ dô: 93 . 32 = (32)3 . 32 = 36 . 33 . 38 = 93 . 9 = 94 6, Thø tù thùc hiÖn phÐp tÝnh. N©ng luü thõa – Nh©n, chia – céng trõ. Chú ý: a) 10 n = 1000 00 ( n chữ số 0) b) ( a: b)n = an : b n a) Ph©n tÝch c¸c c¬ sè ra thõa sè nguyªn tè. VÝ dô 1: ViÕt biÓu thøc sau d­íi d¹ng mét luü thõa (b»ng nhiÒu c¸ch nÕu cã). a) 410 . 815 b) 82 . 253 Bµi gi¶i: a) 410. 815 = (22)10 . (23)15 = 220 . 245 = 265 Ta thÊy 265 = (25)13 = 3213 265 = (213)5 = 81925 VËy ta cã 3 c¸ch viÕt lµ: 410 . 815 = 265 410 . 815 = 3213 410 . 815 = 81925 b) 82 . 253 = (23)2. (52)3 = 26. 56 = 106 Ta thÊy 106 = (102)3 = 1003 106 = (103)2 = 10002 VËy ta cã 3 c¸ch viÕt lµ: 82 . 253 = 106 82 . 253 = 1003 82 . 253 = 10002 b) Nhãm c¸c thõa sè mét c¸ch thÝch hîp. VÝ dô 2: ViÕt biÓu thøc sau d­íi d¹ng mét luü thõa. ( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) Bµi gi¶i: (2a3.x3y ) . (8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) = (2.8.16) (a3. a2. a3) . ( x2x3 x3) . (y.y4.y3) = 28 .a8. x8. y8 = (2axy)8 b. bµi tËp 1. ViÕt biÓu thøc d­íi d¹ng mét luü thõa: Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biÓu thøc sau b»ng c¸ch dïng luü thõa. a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 = 33 . 42 b, a . a . a + b . b . b . b = a3+ b4 Bài tập 2 : viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số. a) 25 . 84 = 217 b) 25 6 .125 3 = 521 c) 6255 : 257 = 56 d) 123. 33 Bµi tËp 3: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
  18. a, 38 : 34 + 22 . 23 = 34 + 25 = 81 + 32 = 113 b, 3 . 42 – 2 . 32 = 3 . 16 – 2 . 9 = 30 4 6.34.95 (2 2 ) 6 .34.(32 ) 5 212.34.310 c, 32 9 612 (2.3)12 212.312 212.14.125 (2.7) 2 .2.7.53 32.7 2.2.7.53 d, 3 3536 (5.7) 3 .2.3 53.7 3.2.3 453.20 4.18 2 (5.32 ) 3 .(5.2 2 ) 4 .(2.32 ) 2 57.310 210 e, = 5 2 25 1805 (2 2.32.5) 5 55.310.210 213 25 25 (28 1) 25 g, 23 8 210 2 2 2 2 (28 1) 2 2 Bài tập 4: Tính giá trị biểu thức 11.322.37 915 210.13 210.65 723.542 A = 2 B = 8 E = 4 2.314 2 .104 108 10 10 10 10 C =3 .11 3 .5 D = 8 4 39.24 84 411 F= (1 + 2 + + 100)(12 + 22 + + 102)(65 . 111 – 13 . 15 . 37) Bµi tËp 5: ViÕt c¸c tæng sau thµnh mét b×nh ph­¬ng a, 13 + 23 = 32 b, 13 + 23 + 33 = 42 c, 13 + 23 + 33 + 43 = 52 Bµi tËp 6: ViÕt kÕt qu¶ sau d­íi d¹ng mét luü thõa a, 166 : 42 = 166: 16 = 165 b, 278: 94= (33)8 : (32)4 = 324 : 38 = 316 c, 1254 : 253= (53)4 : (52)3 = 512 : 56 = 56 d, 414 . 528 = (22)14 . 528= 228 . 528 = 1028 e, 12n: 22n = (3.4)n : (22)n = 3n . 4n : 4n = 3n Bµi tËp 7: Viết kết quả dưới dạng một lũy thừa a) 420 . 810 b) 415 . 526 c) 2715: 910 d) ( 0,125)3.512 e) 920 : ( 0,375) 40 ĐS : a) 270 ; b) 100 13 c) 325 d) 19 e) 840 Bµi tËp 8: T×m x N biÕt a, 2x . 4 = 128 => 2x = 32 => 2x = 25=> x = 5 b, x15 = x => x = 0; x = 1 c, (2x + 1)3 = 125 => (2x + 1)3 = 53 => 2x + 1 = 5 => 2x = 4 => x = 2 d, (x – 5)4 = (x - 5)6 => x – 5 = 0 => x = 5 x – 5 = 1 x = 6 Bài tËp 9: Tìm x Є N biết 2.x 1 1 1 a) 2x.4 = 128 b) c) ( 2. x – 3) 3 = 343 2 8 d) ( 2.x – 3 ) 2 = 9 e) (x – 3)6 = ( x – 3) 7 f) x 100 = x Giải e) (x - 3)6 = ( x - 3)7 TH1: x – 3 = 0 => x = 3 TH2: x – 3 # 0 => chia 2 vế cho x – 3 => x – 3 = 1 => x = 4
  19. Bµi tËp 10: T×m n N sao cho: a) 50 3.A – A = 2. A = 32009 – 3 => 2.A + 3 = 32009 – 3 + 3= 32009 Mặt khác: 2.A + 3 = 3x => 32009 = 3x => x = 2009 Phương pháp giải: Tổng quát: A = n + n2 + n3 + .+ nk nk 1 n => n.A – A = nk+1 – n => A = ( n,k N, n>1; k≥1) n 1 Bµi tËp 16: Cho A = 1 + 2 + 22 + +230 ViÕt A + 1 d­íi d¹ng mét lòy thõa Bµi tËp 17: Tìm x, y biết: a) ( x – 3)2 + ( y + 2)2 = 0 b) ( x – 12 + y)200 + ( x – 4 – y) 200 = 0 c) 2.x + 2x+3 = 136 d) 5x. 5x+15x+2 ≤ 1000 00: 218 ( với 10 chữ số 0) Giải: a) ( x – 3)2 ≥ 0 với mọi x; ( y+ 2)2 ≥ 0 với mọi y Để ( x – 3)2 + ( y+ 2)2 = 0  ( x - 3) = 0 và ( y + 2 ) = 0 => x = 3 và y = -2 b) tương tự như câu a => x = 8 và y = 4 c) Vì 136 = 2.4 + 27 => 2.x = 4 và 2x+3 =27 => x = 4 d) 53x+3 ≤ 1018 :218 => 53x +3 ≤ 518 => 3x+3 ≤ 18 => x≤ 5 Bµi tËp 18 : Tìm x, y biết: a) 2x+1.3y = 12x b) 10x: 5y = 20y c) 8.23x. 7y = 562x .5x-1 Giải: a) 2x+1.3y = 12x => 2x+1.3y = ( 22.3)x => 2x+ 1 .3y = 22x .3x => x = 1; và y = 8 b) 10x : 5y = 20y => 10x = 20y.5y => 10 x = 102y => x = 2y3 c) 8.23x. 7y = 562x .5x-1 => 23.23x.7y = ( 23.7)2.x. 5x-1 => 23.x+3 . 7y = 26x.72x.5x-1 => 3x+3 = 6x; y – 2x; x – 1 = 0 => y = 2 và x = 1
  20. Bµi tËp 19: T×m x N biÕt a) 4x = 2x+1 b) 16 = (x -1)4 Bµi gi¶i: a) 4x = 2x + 1 => (22)x = 2 x + 1 => 22x = 2x+ 1 => 2x = x +1 => 2x- x = 1 => x = 1 b) 16 = ( x -1)4 => 24 = (x -1)4 => 2= x - 1 => x = 2+1 => x = 3 Bµi tËp 20: T×m x N biÕt a) x10 = 1x b) x10 = x c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 d) x2 x10 = 110 => x = 1 b) x10 = x => x10 - x = 0 => x.( x9 - 1) = 0 Ta cã: x = 0 hoÆc x9 -1 = 0 Mµ x9 -1 = 0 => x9 = 19 => x = 1 VËy x = 0 hoÆc x =1 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 V× hai luü thõa b»ng nhau, cã c¬ sè b»ng nhau, sè mò kh¸c nhau ( 0) Suy ra 2x - 15 = 0 hoÆc 2x - 15 = 1 + NÕu 2x - 15 = 0 x = 15 : 2  N ( lo¹i) + NÕu 2x - 15 = 1 2x = 15 + 1 x = 8 d) Ta cã x2 x2  0; 1 ; 2 ; 3 ; 4  MÆt kh¸c x2 lµ sè chÝnh ph­¬ng nªn x2  0 ; 1; 4  hay x2  02 ; 12 ; 22  x  0; 1 ; 2  Bài 4. Rút gọn các phân số sau: 125 198 3 103 ; ; ; 1000 126 243 3090 Hướng dẫn 125 1 198 11 3 1 103 1 ; ; ; 1000 8 126 7 243 81 3090 30 Rút gọn các phân số sau: 23.34 24.52.112.7 a/ ; 22.32.5 23.53.72.11 121.75.130.169 b/ 39.60.11.198 1998.1990 3978 c/ 1992.1991 3984 Hướng dẫn 23.34 23 2.34 2 18 22.32.5 5 5 a/ 24.52.112.7 22 23.53.72.11 35
  21. 121.75.130.169 112.52.3.13.5.2.132 11.52.132 b/ 39.60.11.198 3.13.22.3.5.11.2.32 22.33 1998.1990 3978 (1991 2).1990 3978 1992.1991 3984 (190 2).1991 3984 c/ 1990.1991 3980 3978 1990.1991 2 1 1990.1991 3982 3984 1990.1991 2 Bài 5. Rút gọn 310.( 5)21 a/ ( 5)20.312 115.137 b/ 115.138 210.310 210.39 c/ 29.310 511.712 511.711 d/ 512.712 9.511.711 Hướng dẫn 310.( 5)21 5 a/ ( 5)20.312 9 210.310 210.39 4 c/ 29.310 3 bµi 6 : so s¸nh hai lòy thõa A. Lý thuyÕt I. KiÕn thøc c¬ b¶n: §Ó so s¸nh hai luü thõa ta th­êng ®­a chóng vÒ d¹ng hai luü thõa cã cïng c¬ sè hoÆc cïng sè mò råi so s¸nh Víi m,n Є N* vµ m>n ; vµ a ≥0 Với a > 1 nếu m > n thì am > an Với am = an thì m = n hoặc nếu an = bn thì a = b Nếu a > b thì an >bn ( n> 0) Nếu 0 90 và 2> 1 nên 2100 > 290 => 450> 820 17 2 17 34 12 3 12 36 1  1  1 1  1  1 b)   và   9  3  3 27  3  3
  22. 34 36 17 12 1 1 1 1 1 1 Vì 34 n trong đó m, n là số lẻ, a an Ví dụ: So sánh 25 13 1 1 a) ( -27) 27 và ( -243) 13 b) và 8 128 Giải: 27 13 a) ( -27)27 = 3 3  ( 3)81 và 243 13  3 5  ( 3)65 Vì số mũ 85 > 65 ( là số lẻ và cơ số -3 (-27)27 75 và cơ số là 1 0 nên 2 2 128 8 *D¹ng 2: Đưa về 2 luỹ thừa cùng số mũ Với m,n Є N* và a,b Є R +) Nếu a b thì am > bm Ví dụ: So sánh 10 40 16 3 a) 3230 và 975 b) và 25 7 Giải: 3230 = (25)30 = 2150 975 = (32)75 = 3150 Vì 2 3230 1614 = 256
  23. 3111 255 => 1714 > 3155 * D¹ng 4: Sử dụng tính chất bắc cầu a > b và b> c thì a> c * Dạng 5: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân Phương pháp: với a, b,c , d N* +) Nếu a > b và c > d thì a.c > b.d Ví dụ : so sánh : 1031 và 2100 Ta có: 1031 = 231. 531 và 2100 = 231.269 §ể so sánh 1031 và 2100 ta so sánh 531 và 269 531 = 53.528= 125 . 6257 269 = 26. 263 = 26. (29)7 = 5127 Vì 125> 64 và 6257 > 5277 nên 125.6257 > 64. 5127 => 531 > 269 hay 1031> 2100 * Dạng 6: So sánh các biểu thức có chứa luỹ thừa Ví dụ: so sánh 2 biểu thức A và B trong các trường hợp 1015 1 1016 1 a) A = và B 1016 1 1017 1 22008 3 22007 3 b)A và B 22007 1 22006 1 Giải: Ta có 1015 1 1016 10 1016 1 9 9 a) A 10.A 1 1016 1 1016 1 1016 1 1016 1 1016 1 1017 10 1017 1 9 9 B 10.B 1 1017 1 1017 1 1017 1 1017 1 9 9 9 9 Vì 1016+1 1 1 10A 10B A B 1016 1 1017 1 1016 1 1017 1 22008 3 1 1 22008 3 22008 3 1 A A . 1 b) 2007 2007 2008 2008 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 22007 3 1 1 22007 3 22007 3 1 B B 1 2006 2006 2007 2007 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Vì 22008 – 2> 22007-2=> 1 1 A B A B 22008 2 22007 2 22008 2 22007 2 2 2 Chú ý: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng Với a, m, n ,k N* a a a a - Nếu m>n thì K K và K K m n m n a a a a - Nếu m<n thì K K và K K m n m n Còn gọi là phương pháp so sánh phần bù Ví dụ: So sánh 3 7 7 3 M và N 83 84 83 84
  24. Ta có: 3 7 3 3 4 3 3 4 ) 83 84 83 84 84 83 84 84 7 3 3 4 3 3 3 4 ) 83 84 83 83 84 83 84 83 4 4 3 3 4 3 3 4 Vì ( ) => M 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 (0,5điểm) 975 > 875 nên: 3150 > 2225 .Vậy: 3151 > 3150 > 2225 (0,25điểm) *Dạng tìm số các chữ số của một luỹ thừa (0,25điểm) Ví dụ: Tìm các chữ số của các số n và m sau: a) n = 83.155 b) m = 416.525 Giải: a) Ta có: n = 83.155 = (23)3.( 3.5)5 = 29.35.55=24.35.(2.5)5= 16.243.105=3888.105 (0,25điểm) Số 388.105 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này gồm 9 chữ số. Vậy n có 9 chữ số. b) Ta có: m= 416.525 = (22)16.525 =232.525=(2.5)25.27=27.1025= 128.1025 Số 128 .1025 gồm 128 và 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã bao nhiªu ch÷ sè khi tÝnh gi¸ trÞ cña nã. Bµi tËp 12: So s¸nh: a, 3500 vµ 7300 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100 V× 243100 3500 85 3032 2 . 810 => 321 > 231 g, 111979 1331660 => 371320 > 111979 b) x x 1 x 2 x 30 1240 x x 1 x 2 x 30 1240
  25. x x x 1 2 30 1240    31 So hang 30. 1 30 31x 1240 2 31x 1240 31.15 775 x 25 31 2 3.4.216 11.213.411 169 2 2 2 3.4.216 3.22.216 32. 218 c) 13 11 9 11 9 13 22 36 11.2 .4 16 11.213. 22 24 11.2 .2 2 32.236 32.236 32.236 32.2 2 11.213.222 236 11.235 236 235 11 2 9 C©u 4 : ( 1 ®iÓm ) Mét sè tù nhiªn chia cho 120 d- 58, chia cho 135 d- 88. T×m a, biÕt a bÐ nhÊt ? a 120.q1 58 9a 1080q1 522 C©u 4; Ta cã (q1, q2 N ) a 135.q2 88 8a 1080.q2 704 Tõ ( 2 ) , ta cã 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 ) KÕt hîp ( 1 ) víi ( 2 ) , ta ®-îc a = 1080 . q – 180 V× a nhá nhÊt, cho nªn, q ph¶i nhá nhÊt => q = 1 => a = 898 C©u 2: So s¸nh c¸c sè sau: a. 291 vµ 5 35 b. 544 Vµ 21 12 C©u 2: a) 291 290 (25 )18 3218 2518 556 535 . VËy 291 535 544 644 (43 ) 412 2112 b) .VËy 2112 544 Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A = 1500 - {52 . 23 - 11.[72 - 5.23 + 8.(112 - 121)]} b) B = 32 . 103 - [132 - (52.4 + 22.15)] . 103 c) C = 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + + 2008 + 2009 - 2010 - 2011. d) D = 1 - 3 + 5 - 7 + + 2005 - 2007 + 2009 - 2011
  26. a) A = 1500 - {52 . 23 - 11.[49 - 40 + 0]} A = 1500 - {200 - 11. 9} A = 1500 - 101 A= 1399 b) B = 32 . 103 - [169 - 160] . 103 B = 9 . 103 - 9 . 103 B = 0 c) C = (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ +(2005-2006 - 2007 +2008) +2009-2010-2011 (có 502 ngoặc, có tổng =0) C = 2009-2010-2011 C = -2012 d) D = (1 - 3) + (5 - 7) + + (2005 - 2007) + (2009 - 2011) D = (-2)+(-2)+(-2)+ +(-2) có 503 số -2 D = - 1006
  27. Bµi 7: t×m ch÷ sè tËn cïng A. Lý thuyÕt I. Tìm một chữ số tận cùng Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta số có chữ số tận cùng là 5. Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Chó ý: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa tích: + Tích caùc soá leõ laø moät soá leõ. + Tích cuûa moät soá taän cuøng baèng 5 vôùi baát kyø soá leõ naøo cuõng taän cuøng baèng 5. + Tích cuûa moät soá chaún vôùi baát kyø soá töï nhieân naøo cuõng laø moät soá chaún. + Tích cuûa moät soá taän cuøng baèng 0 vôùi baát kyø soá töï nhieân naøo cuõng taän cuøng baèng 0. Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 342008 b) 735 c) 22005 d) 82007 e ) 42k ; f) 42k + 1. g) 92k ; h) 92k + 1 ( k N ) i) 32006 j) 72007 Giải: a) 342008 = (34)1004.2 = (342)1004 = ( .6)1004 =( 6) b) 735 = 74.8+3 = (74)8.73 = ( .1)8.243 = ( 3) c) 22005= (24 )501 .2 = ( 6)501 .2 = ( 2) d) 82007 = (84)501.83 = ( 6)501.2 =( .2) k e) 42k = (42)k = 6 6 f) 42k + 1 = (42)k .4 = 6.4 4 g) 92k = 1 h) 92k + 1 = 9 i) 32006 = (34)501 . 32 = ( 1) 501 .9 9 j) 72007 = (74)501 . 73 = ( 1 )501.3 = 3 Ví duï 2:
  28. 1) Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa caùc soá sau: 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 . 2) CMR 8102 – 2 102 Chia heát cho 10. Giaûi: 1) Coù : 7430 = 744.7.742 = ( 6). ( 6) = ( 6); 4931 = ( .9); 8732 = 874.8 = ( 1); 5833 = 5832. 58 = 584.8. 58 = ( 6). 58 = ( 8); 2335 = 2332. 233 = ( 1) .( 7) = ( 7). 2) 8102 = 8100.82 = 84.25.82 = ( 6). 64 = .4 2 102 = 2100.22 = 24.25.22 = ( 6) . 4 = .4. Vaäy 8102 – 2 102 coù taän cuøng baèng 0 neân chia heát cho 10. VÝ dô 3: 1) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n: a) 74n - 1 chia heát cho 10. b) 34n+1 + 2 chia heát cho 5. c) 24n+1 + 3 chia heát cho 5 d) 24n+2 + 1 chia heát cho 5 e) 92n+1 + 1 chia heát cho caû 2 vaø 5. 2) Tìm caùc soá töï nhieân n ñeå n10 + 1 chia heát cho 10. 3) Bieát raèng soá töï nhieân n chia heát cho 2 vaø n2 - n chia heát cho 5. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa n? Giaûi: 1) a/ Coù 74n - 1 = ( 1) – 1 = ( 0) neân chia heát cho 10. b/ 34n+1 + 2 = 34n.3 + 2 = ( 1). 3 + 2 = ( 3) + 2 = 5 neân chia heát cho 5. c/ 24n+1 + 3 = 24n. 2 + 3 = ( 6). 2 + 3 = ( 2) + 3 = ( 5) neân chia heát cho 5. d/ 24n+2 + 1 = 24n.22 + 1 = ( 6). 4 + 1 = ( 4) + 1 = ( 5) neân chia heát cho 5. e/ 92n+1 + 1 = ( 9) + 1 = ( 0) neân chia heát cho 10. ( vì 2n + 1 laø soá leõ). 2) Coù n10 + 1 chia heát cho 10 => n10= n5.2= (n5)2 coù taän cuøng baèng 9. => n5 taän cuøng baèng 3 hoaëc 7 => n taän cuøng baèng 3 hoaëc 7. 3) Coù n2 – n = n.(n – 1) chia heát cho 5 neân n hoaëc n – 1 chia heát cho 5 Do ñoù n taän cuøng laø 0 ; 5 hoaëc n – 1 taän cuøng laø 0 ; 5 => n taän cuøng laø 0 ; 5 hoaëc 1; 6 . Vì n chia heát cho 2 . Vaäy n taän cuøng laø 0; 6. VÝ dô 4: 1) CMR A = 51n + 47102 (n N) Chia heát cho 10. 2) Chöùng toû raèng 175 + 244 – 1321 chia heát cho 10. Giaûi: 1) 51n = .1 47102 = 47100.472 = 474.25.472 = ( .1).( 9) = 9 Vaäy A = .1 + .9 = .0 neân chia heát cho 10.
  29. 2) Coù 175 + 244 – 1321 = 174.17 + ( 6) – (132)10. 13 = ( 1).17 + ( 6) – ( 9)10.13 = ( 7) + ( 6) – ( 1). 13 = ( 7) + ( 6) – ( 3) = ( 3) + ( 3) = ( 0). Vaäy soá 175 + 244 – 1321 chia heát cho 10. VÝ dô 5: Ta ñaõ bieát ngoaøi döông lòch, AÂm lòch ngöôøi ta coøn ghi lòch theo heä ñeán CAN CHI, chaúng haïn Nhaâm Ngoï, Quyù Muøi, Giaùp Thaân, Chöõ thöù nhaát chæ haøng CAN cuûa naêm. Coù 10 can laø: Haøng Giaùp Aát Bính Ñinh Maäu Kæ Canh Taân Nhaâm Quyù can Maõ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (0) soá Muoán tìm haøng CAN cuûa moät naêm ta duøng coâng thöùc ñôn giaûn sau ñaây roài ñoái chieáu keát quaû vôùi baûng treân: Haøng CAN = Chöõ soá taän cuøng cuûa naêm döông lòch _ 3 (Neáu chöõ soá taän cuøng cuûa naêm döông lòch nhoû hôn 3 thì ta möôïn theâm 10). Baây giôø baïn haûy tìm haøng CAN cuûa caùc naêm Ngoï quan troïng trong lòch söû giaønh ñoäc laäp cuûa daân toäc ta trong theá kæ XX ñoù laø naêm 1930 naêm Ñaûng CSVN ra ñôøi vaø naêm 1954 chieán thaéng Ñieän Bieân Phuû. Giaûi : 10 _ 3 = 7 CANH ; 1930 laø naêm CANH NGOÏ 4 _ 3 = 1 GIAÙP ; 1954 laø naêm GIAÙP NGOÏ B. Bµi tËp: Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 799 b) 141414 c) 4567 Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 99 − 1 = (9 − 1)(98 + 97 + + 9 + 1) chia hết cho 4 99 = 4k + 1 (k N) 799 = 74k + 1 = 74k.7 Do 74k có chữ số tận cùng là 1 799 có chữ số tận cùng là 7. b) Dễ thấy 1414 = 4k (k N) 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6. 67 67 567 4k + 1 4k 4k c) Ta có 5 − 1  4 5 = 4k + 1 (k N) 4 = 4 = 4 .4 4 có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số: 4 9 a) 71993 b) 21000 c) 31993 d) 4161 e) 23 g) 99 1945 1930 h) 198 i) 32 Bài 3: Chứng minh rằng: 102 102 5 4 21 43 17 a) 8 − 2  10 b) 17 + 24 − 13  10 c) 43 − 17  10 10 Bài 4: Tìm các số tự nhiên n để n + 1  10 Bài 5: Có tồn tại hay không số tự nhiên n để n2 + n + 2 chia hết cho 5? Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của C = 1.3.5.7 99 Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + + 20048009.
  30. Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 1, n {2, 3, , 2004}). Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011. Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 3 7 có chữ số tận cùng là 7 ; 4 11 có chữ số tận cùng là 4 ; Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Vậy: chữ số tận cùng của tổng T là 9. Bài 9: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n 2 + n + 1 có chia hết cho 5 không? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0; 2; 6 n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7 n2 + n + 1 không chia hết cho 5. Vậy: không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được Bài sau: Bài 10: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương: a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9” Bài 11: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: p8n +3.p4n − 4 chia hết cho 5. Bài 12: Tìm số dư của các phép chia: a) 21 + 35 + 49 + + 20038005 cho 5 b) 23 + 37 + 411 + + 20038007 cho 5 Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của X, Y: X = 22 + 36 + 410 + + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + + 20048016 Bài 14: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau: U = 21 + 35 + 49 + + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + + 20058015 Bài 15: Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. Bài 16: Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa caùc soá sau 5n ( n > 1 ). Bài 17:. Chöùng toû raèng caùc toång, hieäu sau khoâng chia heát cho 10. a) A = 98 . 96 . 94 .92 _ 91 . 93 . 95 . 97 b) B = 405n + 2405 + m2 (m,n є N ; n ≠ 0). Bài 18: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa caùc soá sau : a) 234567 ; b) 579675
  31. 7. Tích caùc soá leû lieân tieáp coù taän cuøng laø 7. Hoûi tích ñoù coù bao nhieâu thöøa soá ? Tích A = 2 . 22. 23 210 x 52 . 54 . 56 514 taän cuøng baèng bao nhieâu chöõ soá 0 ? Bài 19: Cho S = 1 + 31 + 32 +33 + + 330. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa S, töø ñoù suy ra S khoâng phaûi laø soá chính phöông. II. Tìm hai chữ số tận cùng - Các số có tận cùng là 01; 25; 76; dù nâng lên luỹ thừa nào (≠0) cũng có tận cùng là chính nó. - Các số 320 ( hay 815) ;74; 512; 992 có tận cùng là 01 - Các số 220 ; 65 ; 184 ; 242 ; 684 ; 742 ; có tận cùng là 76 - số 26n ( n>1) có tận cùng là 76 Ví dụ 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) 2100 b) 72007 c) 71991. Giải: a) Nhận xét: 210 = 1024 Bình phương của số có tận cùng là 24 thì tận cùng là 76 Số có tận cùng là 76 nâng lên luỹ thừa nào cũng có tận cùng là 76 Do đó 2100 = (210)10 = 102410 =(10242)5 =( .76)5 =( .76) b) Vì 74 = 2401 do đó 72007 =(74)501 .73 = (2401)501 .343 = ( .01).43 = ( 43) Vậy 72007có 2 chữ số tận cùng là 43 c) 74 = 2401. Soá coù taän cuøng baèng 01 naâng leân luõy thöøa naøo (khaùc 0) cuõng taän cuøng baèng 01. Do ñoù: 7 1991 = 71998.73 = (74)497. 343 = ( 01)497. 343 = ( 01). 343 = 43. Vaäy 71991 coù taän cuøng baèng 43 VÝ dô 2: 1) Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa: 99 a) 5151 ; b) 6666 ; c) 14101. 16101; d) 9999 ; e) 5n, vôùi n > 1 Giaûi: 25 1) a) 5151 = (512)25 . 51 = 01 .51 01 .51 51 ; b) 6666 = (65)133. 6 = ( 76)133 . 6 = ( 76) . 6 = 56 c) 14101. 16101 = (14 . 16)101 = 224101 = (2242)50 .224 = ( 76)50 .224 = ( 76) .224 = 24; 99 d) 9999 992k 1 (992 )k .99 ( 01)k .99 ( 01).99 99 ; e) 5n = .25. (n > 1). Nhận xét: Nếu x N và x = 100k + y, trong đó k; y N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m như sau:
  32. m m n − 1 Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = a  2 . Gọi n là số tự nhiên sao cho a  25. n q Viết m = p + q (p ; q N), trong đó q là số nhỏ nhất để a  4 ta có: x = am = aq(apn − 1) + aq. n − 1 pn q pn Vì a  25 a − 1  25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên a (a − 1)  100. Vậy hai chữ số tận cùng của a m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a q. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. n − 1 Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a  100. n m v un v n un Viết m = u + v (u ; v N, 0 ≤ v 74 − 1  100. Mặt khác: 9 − 1  4 => 9 = 4k + 1 (k N) Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k − 1) + 7 = 100q + 7 (q N) tận cùng bởi hai chữ số 07. Bài 2: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25. Giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm n số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3 − 1  100. 10 5 10 20 10 10 Ta có 3 = 9 = 59049 3 + 1  50 3 − 1 = (3 + 1) (3 − 1)  100. 16 16 17 16 517 20k + 5 5 20k Mặt khác: 5 − 1  4 5(5 − 1)  20 5 = 5(5 − 1) + 5 = 20k + 5 3 = 3 = 3 (3 − 1) + 35 = 35(320k − 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng. Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4. Một câu hỏi đặt ra là: Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây: 20 Tính chất 4: Nếu a  N và (a, 5) = 1 thì a − 1  25. Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng: 2002 2002 2002 2002 a) S1 = 1 + 2 + 3 + + 2004 2003 2003 2003 2003 b) S2 = 1 + 2 + 3 + + 2004 Giải: a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 − 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a N và (a, 5) = 1 ta có a 100 − 1  25. 2 100 Vậy với mọi a N ta có a (a − 1)  100. 2002 2 2000 2 2000 2 2 2 Do đó S1 = 1 + 2 (2 − 1) + + 2004 (2004 − 1) + 2 + 3 + + 2004 .
  33. 2 2 Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S 1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 32 + + 20042. áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 12 + 22 + + 20042 = 2005 4009 334 = 2684707030, tận cùng là 30. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. 2003 3 2000 3 2000 3 3 b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S 2 = 1 + 2 (2 − 1) + + 2004 (2004 − 1) + 2 + 3 + 3 3 3 3 2004 . Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 1 + 2 + 3 + 2 n(n 1) + 20043. Áp dụng công thức: 13 23 33 n3 (1 2 n)2  2  13 + 23 + + 20043 = (2005 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu: + A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ; + A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ; + A có hai chữ số tận cùng là lẻ. Bài 4: Cho n N và n − 1 không chia hết cho 4. CMR: 7n + 2 không thể là số chính phương. 4 Giải: Do n − 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r {0, 2, 3}). Ta có 7 − 1 = 2400  100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k − 1) + 7r + 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7 n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4. III. Tìm ba chữ số tận cùng + Caùc soá coù taän cuøng baèng 001; 376; 625 naâng leân luõy thöøa naøo khaùc 0 cuõng taän cuøng baèng 001; 376; 625. + Soá coù taän cuøng baèng 0625 naâng leân luõy thöøa naøo khaùc 0 cuõng taän cuøng baèng 0625. + Moät soá chính phöông thì khoâng coù taän cuøng laø 2; 3; 7; 8 Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x). Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = a m chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho a n − 1 chia hết cho 125. Viết m = pn + q (p ; q N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có: x = am = aq(apn − 1) + aq. Vì an − 1 chia hết cho 125 => apn − 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên aq(apn − 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a q. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1 chia hết cho 1000. Viết m = un + v (u ; v N, 0 ≤ v aun − 1 chia hết cho 1000.
  34. Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a v. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của av. Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. Tính chất 6: Nếu a N và (a, 5) = 1 thì a100 − 1 chia hết cho 125. 20 20 40 60 80 Chứng minh: Do a − 1  25 nên a , a , a , a khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 20 40 60 80 100 20 80 60 40 20 a + a + a + a + 1  5. Vậy a − 1 = (a − 1)( a + a + a + a + 1)  125. Bài 5: Tìm ba chữ số tận cùng của 123101. 100 Giải: Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 123 − 1  125 (1). 100 25 25 50 100 Mặt khác: 123 − 1 = (123 − 1)(123 + 1)(123 + 1) 123 − 1  8 (2). 100 Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 123 − 1  1000 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000k + 123 (k N). Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123. Bài 6: Tìm ba chữ số tận cùng của 3399 98. Giải: Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 − 1 chi hết cho 125 (1). Tương tự bài 11, ta có 9100 − 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 9100 − 1 chia hết cho 1000 3399 98 = 9199 9 = 9100p + 99 = 999(9100p − 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q N). Vậy ba chữ số tận cùng của 3 399 98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 9 99. Lại vì 9100 − 1 chia hết cho 1000 ba chữ số tận cùng của 9 100 là 001 mà 999 = 9100: 9 ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9 99 là 9, sau đó dựa vào phép nhân ???9 9 001để xác định ??9 889 ). Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 là 889. Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước: Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng. Bài 7: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200. Giải: do (2004, 5) = 1 (tính chất 6) 2004100 chia cho 125 dư 1 2004200 = (2004100)2 chia cho 200 200 125 dư 1 2004 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004  8 nên chỉ có thể tận cùng là 376. Bài tập vận dụng: Bài 1: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4. Bài 2: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 3999 b) 111213 Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của: S = 23 + 223 + + 240023 Bài 5: Tìm ba chữ số tận cùng của: S = 12004 + 22004 + + 20032004 Bài 6: Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a. Bài 7: Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng của A200. Bài 8: Tìm ba chữ số tận cùng của số: 199319941995 2000 Bài 9: Tìm sáu chữ số tận cùng của 521. . Bµi tËp 4
  35. Mét ngµy ®Çu n¨m 1992 Huy viÕt th- hái ngµy sinh cña Long vµ nhËn ®-îc th- tr¶ lêi: - M×nh sinh ngµy a th¸ng b, n¨m 1990 + c vµ ®Õn nay d tuæi. BiÕt r»ng a.b.c.d = 52377. Huy ®· tÝnh ®-îc ngµy sinh cña Long vµ kÞp viÕt th- mõng sinh nhËt b¹n. Hái Long sinh ngµy nµo ? Lêi gi¶i: Ta cã a.b.c.d = 52377 c + d = 92 vµ 1 a 31; 1 b 12. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè : a.b.c.d = 3. 13. 17.79. Trong c¸c -íc cña abcd chØ cã 2 sè 13 vµ 79 cã tæng b»ng 92 . Tuæi cña Long kh«ng thÓ lµ 79 v× vËy : d= 13, c = 79. Cßn l¹i a.b = 3.17. Do 1 b 12 nªn b = 3 vµ a = 17 VËy Long sinh ngµy 17 -3- 1979 Bµi 4. T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 62006, 72007 Bµi 4. T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 62006, 72007 Ta cã: 62 = 36 ≡ 6 (mod10), vËy 6n ≡ 6 (mod10)  sè nguyªn d-¬ng n => 62006 ≡ 6 (mod10) => ch÷ sè tËn cïng cña 62006lµ 6 74 = 2401 ≡ 1 (mod10), mµ 72007 = 74.501.73 (74)501 ≡ 1 (mod10) => ch÷ sè tËn cïng cña 72004 lµ 1, Mµ ch÷ sè tËn cïng cña 73 lµ 3 => ch÷ sè tËn cïng cña 72007 lµ 3 Bµi 5 (3 ®iÓm): Cho a1; a2; a3; ; a2007 lµ c¸c sè nguyªn, b1; b2; b3; ; b2007 lµ mét ho¸n vÞ (mét c¸ch s¾p xÕp theo mét thø tù kh¸c) cña c¸c sè a1; a2; a3; ; a2007. Chøng tá r»ng (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) lµ sè ch½n. Bµi 5 (3 ®iÓm): Gi¶ sö tÝch (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) lµ sè lÎ 0,5 ® Suy ra c¸c hiÖu a1- b1; a2- b2; a3 - b3; ; a2007 - b2007 (1) cïng lÎ Mµ (1) cã sè c¸c hiÖu lµ sè lÎ (2007 hiÖu) nªn ta cã: (a1- b1) + (a2- b2) + (a3 - b3) + + (a2007 - b2007) lµ sè lÎ (2) 0,5 ® Ta cã b1; b2; b3; ; b2007 lµ mét ho¸n vÞ cña c¸c sè a1; a2; a3; ; a2007. 0,25 ® Nªn a1 + a2 + a3 + + a2007 = b1+ b2 + b3 + + b2007 0,25 ® => (a1- b1) + (a2- b2) + (a3 - b3) + + (a2007 - b2007) = 0 0,5 ® => (a1- b1) + (a2- b2) + (a3 - b3) + + (a2007 - b2007) lµ sè ch½n (3) 0,25 ® Tõ kÕt qu¶ trªn ta thÊy (2) mÉu thuÉn víi (3) 0,25 ® Do ®ã ®iÒu gi¶ sö (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) lµ sè lÎ lµ sai 0,25 ® VËy (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) lµ sè ch½n 0,25 ®
  36. Bµi 3: (2 ®iÓm) 67 75 a) T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè 2345 ; 5796 n b) Cho n N. Chøng minh 5 - 1  4 Bµi 3: (2 ®iÓm) 67 75 a) (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè 2345 ; 5796 Sè 234 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 4 n©ng lªn lòy thõa bËc lÎ nªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 4. 67 VËy sè 2345 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 4. (0,5 ®iÓm) Sè 579 cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè 9 n©ng lªn lòy thõa bËc ch½n nªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1. VËy 75 sè 5796 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1. (0,5 ®iÓm) n a) (1 ®iÓm)Cho n N. Chøng minh 5 - 1  4 n Víi n = 0 th× 5 - 1 = 0  4 n Víi n = 1 th× 5 - 1 = 4  4 (0,5 ®iÓm) n n Víi n > 1 th× 5 cã tËn cïng b»ng 25, nªn 5 - 1 = 24  4 n VËy 5 - 1  4 (0,5 ®iÓm) C©u 4 (3 ®iÓm): Khi viÕt liÒn nhau hai sè 22008 vµ 52008 d-íi d¹ng hÖ thËp ph©n ta ®-îc sè cã bao nhiªu ch÷ sè? C©u 4 (3 ®iÓm) Khi viÕt liÒn nhau hai sè 22008 vµ 52008 d-íi d¹ng hÖ thËp ph©n ta ®-îc sè cã bao nhiªu ch÷ sè? Gi¶ sö sè 22008, 52008 khi viÕt d-íi d¹ng thËp ph©n cã x, y ch÷ sè (x, y > 0, x,y N) Ta cã 10x < 22008 < 10x+1 10y < 52008 < 10y+1 Do ®ã 10x+y < 22008.52008 < 10x+1.10y+1 Hay 10x+y < 102008 < 10x+y+2 x+y < 2008 < x+y+2 2006 < x+y < 2008 x+y= 2007 ( Do x+y N ) VËy khi viÕt liÒn nhau hai sè 22008 vµ 52008 d-íi d¹ng hÖ thËp ph©n ta ®-îc sè cã 2007 ch÷ sè C©u 6 (4 ®iÓm) Cho C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C? b) Dïng kÕt qu¶ cña c©u a h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: D = 22+42+62+ +982 Gi¶i: a) (2,5 ®iÓm) C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100 3C = 3.1.2+3.2.3+ + 3.99.100 =(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + + (99.100.101- 98.99.100) = 99.100.101 C= (99.100.101) : 3 C= 33.100.101= 36300 b) (2,5 ®iÓm) C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + + (97.98 + 98.99) + 99.100 = (1+3)2 + (3+5)4+ +(97+99)98 + 99.100
  37. = 2.2.2 + 2.4.4 + + 2.98.98 + 9900 = 2(22 + 42+ + 962+ 982) + 9900 VËy 2(22 + 42+ + 962+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400 22 + 42+ + 962+ 982= 13200 Bµi 4 (3 ®iÓm): B¹n Nam nghÜ ra mét sè cã 3 ch÷ sè. NÕu bít sè ®ã ®i 8 th× ®-îc sè chia hÕt cho 7. NÕu bít sè ®ã ®i 9 th× ®-îc sè chia hÕt cho 8. NÕu bít sè ®ã ®i 10 th× ®-îc sè chia hÕt cho 9. Hái b¹n Nam nghÜ sè nµo? Gäi sè mµ b¹n Nam nghÜ lµ a (100 a < 1000) Theo ®Ò bµi cã a - 8  7 , a - 9  8 , a - 10  9 a - 1  7 , a -1  8 , a - 1  9 hay a - 1 lµ BC (7, 8, 9) BCNN (7,8,9) = 504. BC (7,8,9) = 504;1008;1512;  KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 100 a < 1000 a - 1 = 504 a = 505. VËy sè b¹n Nam nghÜ lµ 505 Bài 5 (1 điểm) Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A Bài 5 (1 điểm) Rút gọn A ta có: A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) = (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1) = [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1) = (24-1).(24+1).(28+1).(216+1) = (28-1).(28+1).(216+1) = (216-1)(216+1) = 232 - 1 Biết 232 tận cùng là 2 A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS) SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. II. TÍNH CHẤT: 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
  38. 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N). 4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N). 5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.