Đề cương ôn tập Toán Lớp 7 - Học kỳ 2 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Hoàng Liệt

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Lớp 7 - Học kỳ 2 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Hoàng Liệt

1. 1/2 2 Toán h ọc là đam mê Trường THCS Hoàng Liệt ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 7 –HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2017-2018 PHẦN ĐẠI SỐ I/ Trắc nghiệm: Hãy chọn phương án trả lời đúng 12 Câu 1. Dạng thu gọn của đơn thức: x2 y. x 2 y 2 là: 23 1 1 1 1 A. xy43. B. xy44. C. xy43 D. xy43. 3 3 3 5 Câu 2. Giá trị của biểu thức: xy22 x y với: xy 3; 2 là: A. 39 . B. 30 . C. 11. D. 11. Câu 3. 3) Bậc của đơn thức: P 6 xy25 z là: A. 7 . B. 5 . C. 8 . D. 9 . 11 Câu 4. Đa thức: X x4 y 23 xy 2 xyz x 2 yz 3 có bậc là: 42 A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 7 . 11 Câu 5. Cho đa thức: H 4 x3 x 4 3 x 2 x 2 Có hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức H lần lượt 22 là: 1 1 A. 4;2 . B. 4; 2 . C. ;2 . D. ;2. 2 2 Câu 6. Nghiệm của đa thức: f x 23 x là 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Câu 7. Nếu đa thức: P x 2 ax2 3 x 4 có: P 13 Thì a có giá trị: A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1. Câu 8. Xác định đơn thức X biết: 23x4 y 3 X x 4 y 3 . A. xy43. B. 5xy43. C. xy43. D. 5xy43. II/ Tự luận: Bài 1. Tính giá trị của biểu thức:
2. 2/2 2 Toán h ọc là đam mê 1 a) A 2 x32 3 x 5 tại: x ; x22 1 0; x 3 x 2 b) B 3 x3 y 2 2 x 2 y 3 2 x Tại: xy 2; 1 Bài 2. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) A( x ) 5 x 3 b) B( x ) (2 x 3)(7 x) 1 c) C( x ) x2 3 x d) D( x ) 2 x 5 6 3 e) E( x ) x2 2 f) F( x ) x2 2 x 3 A 4 x22 5 xy 2 x 5 y 3 y Bài 3. Cho các đa thức B 3 x22 2 xy 5 y y 22 C x 3 xy 2 x 2 y Hãy tính: ABABCABCABC ; ; ; 2 3 5 . Bài 4. Cho đa thức: P( x ) 2 x4 2 x 3 4 4 x 2 4 x 3 2 x 4 Q()6 x x4 124 x 4 2 x 3 2 x 2 34 x x 3 2 x 2 2 x a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa của biến x . b) Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của Px( ),Q(x). c) Tìm đa thức Fx()biết Fx( ) P(x) Q(x). d) Tìm đa thức Gx()biếtGx( ) P(x) Q(x) . e) Tính F 2 . d) Tìm x biết Gx( ) 36 . Bài 5. Cho đa thức: M( x ) 5 x2 5 x 5 ; N( x ) 2 x2 1 3 x; P( x ) 3 4 x2 x a) Tính H( x ) M (x) N (x) P(x) . 1 b) Tìm giá trị của Hx()tại x . 2 c) Cho Qx 3xx2 2 8 . Tìm K( x ) H ( x ) Q (x) d) Tìm nghiệm của đa thức Hx()và đa thức Kx(). 1 e) Tìm số nguyên x để C đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Kx() Bài 6. Cho các đa thức (biến x ): A x x2 a 2 x 4 x 3 x 2 3 x 5 x 2 1 B x x4 b 1 x 3 3 x 2 x 2 4 x x 2 3
3. 3/2 Toán h ọc là đam mê a) Xác định ab, để hệ số bậc 4 của Ax là 1 và hệ số bậc 3 của Bx là 2 , rồi thu gọn và sắp xếp A x , B x theo lũy thừa giảm dần của biến x . b) Tìm đa thức Px biết P x A x B x . c) Tìm đa thức Qx biết Q x A x B x . Bài 7. Cho đa thức A x ax2 bx c ( abc,, là các hệ số; x là biến). a) Hãy tính A 1 biết a c b 8 . b) Tính abc,, biết AAA 0 4; 1 9; 2 14 . c) Biết 5a b 2 c 0. Chứng tỏ rằng AA 2 . 1 0 . Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức 2 Ax 41 ; Bx | 3 2 | 5; 4 Cx 12 2 ; Dx 5 2 1 ; E 3 x 3 42 y 1 2018 ; F 125 3| x2 4|2| x 2| ; 3 1 N ; P ; 2x 3 2 5 x 63 2 Hướng dẫn giải Bài 1: 1 a) A 2 x32 3 x 5 tại: x ; x22 1 0; x 3 x 2 32 1 1 1 1 3 11 + Tại x thì A 2. 3. 5 5 2 2 2 4 4 2 + Tại: x22 1 0 x 1 x 1 - Với: x 1 thì: A 2.132 3.1 5 2 3 5 6 32 - Với: x 1 thì: A 2.1 3.1 523510
4. 4/2 Toán h ọc là đam mê 22 x 0 + Tại: x 3 x x 3 x 0 x x 3 0 x 3 - Với: x 0 thì: A 2.032 3.0 5 0 0 5 5 - Với: x 3 thì: A 2.332 3.3 5 54 27 5 22 b) Ta có: B 3 xy3 2 2 xy 2 3 2 xxyyx 2 2 2 3 2 x xx 22 Tại; xy 2; 1 thì: B 222 .1 2.1 3.2 2.2 2. 4 4 12 22 Tại; xy 2; 1 thì: B ( 2) .1 . 2.1 3. 2 2.( 2) 2.8 4 20 Bài 2: a) A( x ) 5 x 3 3 A( x ) 0 5 x 3 0 x . 5 3 Vậy x là nghiệm của đa thức Ax(). 5 b) B( x ) (2 x 3)(7 x ) 3 2x 3 0 x B() x 0 (2 x 3)(7 x ) 0 2 70 x x 7  3 Vậy x ;7 là nghiệm của đa thức Bx(). 2 c) C( x ) x2 3 x 2 x 0 C( x ) 0 x 3 x 0 x ( x 3) 0 x 3 Vậy x 0;3  là nghiệm của đa thức Cx(). 1 d) D( x ) 2 x 5 6 3 1 1 1 D()0256025 x x x 625 x 6 3 3 3
5. 5/ Toán h ọc là đam mê 11 2xx 5 6 33 1 17 2xx 5 6 33 1 17 Vậy x ; là nghiệm của đa thức Dx(). 33 e) E( x ) x2 2 E x 0 x2 2 0 x  vì xx2 2 0  . f) F( x ) x2 2 x 3 2 x 3 F()0 x x 2 x 30 ( x 3)(1)0 x x 1 Vậy x 1; 3  là nghiệm của đa thức Fx(). Bài 3: ABx 42 5 xyxyy 2 5 3 2 3 x 2 2 xyyy 5 2 45253325x2 xyxyy 2 x 2 xyyy 2 7722 x 2 xyxy 2 ABC 45253325 x2 xyxyy 2 x 2 xyyyx 2 2 322 xyxy 2 4x 10 y 6 y2 ABCx 452532 xyxyy 2 325 x 2 xyyy 2 x 2 322 xyxy 2 45253325x2 xyxyy 2 x 2 xyyyx 2 2 322 xyxy 2 8x2 10 xy 235245253ABC xxyxyy2 2 3325 xxyyy 2 2 5 xxyxy 2 322 2 8x2 10 xyx 4 10 yy 6 2 9 x 2 6 xy 15 yy 3 2 5 x 2 15 xy 10 x 10 y 2 8xxx2 9 2 5 2 10 xyxyxy 6 15 4 xx 10 10 yy 15 6 yy2 3 2 10 y 2 4x22 19 xy 6 x 25 y y Bài 4: a)Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa của biến x . P( x ) 2 x432 6 x 4 x 2 x 8 Q( x ) 2 x432 6 x 4 x x 12 b) Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của Px( ),Q(x). Px()bậc 4 , hệ số cao nhất 2 , hệ số tự do 8.
6. 6/2 2 Toán h ọc là đam mê Qx()bậc 4 , hệ số cao nhất 2 , hệ số tự do 12 . c) P( x ) 2 x432 6 x 4 x 2 x 8; Q ( x ) 2 x432 6 x 4 x x 12 F( x ) P(x) Q(x) 4 x4 12 x 3 8 x 2 x 20 . d) P ( x ) 2 x432 6 x 4 x 2 x 8; Q( x ) 2 x432 6 x 4 x x 12 G( x ) P(x) Q(x) 3 x 4 . e) Tính F 2 . F 2 4.( 2)4 12.( 2) 3 8.( 2) 2 ( 2) 2 0 106 d) Tìm x biết Gx( ) 36 . 32 G( x ) 36 3 x 4 36 x . 3 Bài 5: a) Tính H( x ) M (x) N (x) P(x) . M( x ) 5 x2 5 x 5 N( x ) 2 x2 3 x 1 P( x ) 4 x2 x 3 H( x ) M (x) N (x) P(x) 3 x2 7 x 1 1 b) Tìm giá trị của Hx()tại x . 2 1 x 1 2 x 2 1 x 2 1 1 1 15 H ( ) 3( )2 7. 1 2 2 2 4 1 1 1 13 H ( ) 3( )2 7.( ) 1 2 2 2 4 c) Cho Qx 3xx2 2 8 . Tìm K( x ) H ( x ) Q (x) H( x ) 3 x2 7 x 1 Qx 3xx2 2 8 K(x ) H (x) Q(x) 9 x 9
7. 7/2 Toán h ọc là đam mê d) Tìm nghiệm của đa thức Hx()và đa thức Kx(). H(x) 0 37x2 x 1 0 Kx() 0 9xx 9 0 1 Nghiệm của đa thức Kx()là 1. 1 e) Tìm số nguyên x để C đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Kx() 11 C K( x ) 9 x 9 C đạt giá trị nhỏ nhất thì Kx() đạt giá trị lớn nhất hay 99x đạt giá trị lớn nhất Không tìm được x Bài 6: aa 2 1 3 a) Từ đề bài có . bb 1 2 3 Khi đó: Axxxxxxx 2 4 3 23 5 2 1 xxxx 4 3 3 2 3 1 Bxxxxxxx 42 3 3 2 2 4 2 3 xxxx 4 2 3 3 2 7 3 b) Ta có: Px Ax Bx Px Ax Bx P x x4 x 33 x 2 3 x 1 x 4 2 x 3 3 x 2 7 x 3 P x 3 x32 6 x 4 x 2 c) Ta có: Qx Ax Bx Qx Bx Ax Q x x42 x 3 3 x 2 7 x 3 x 4 x 3 3 x 2 3 x 1 Q x 2 x43 x 10 x 4 Bài 7:
8. 8/2 Toán h ọc là đam mê a) Từ a c b 88 a b c . Ta được: A 18 a b c . b) Ta có: Ac 0 4 1 A 1 9 a b c 2 A 2 4 a 2 b c 14 3 Từ 1 , 2 ta được: ab 54 Từ 1 , 3 ta được: 4a 2 b 10 2 a b 5 5 Từ 4 , 5 ta được: ab 0, 5 Vậy ta được a 0, b 5, c 4 . c) Từ 5a b 2 c 0 b 5 a 2 c Do đó: A 242 abca 42.52 accac 63 3.2 ac A 1 abcaaccac 5 2 6 3 3. 2 ac Suy ra: A 2 . A 1 9. 2 a c 2 0 Bài 8: +) Ta có: x 4 22 0 x 4 1 1 A 1. Dấu "=" xảy ra khi xx 4 0 4 Vậy GTNN A 1 khi x 4 +) Ta có: |3x2|0 |3x2|5 5 B 5 2 Dấu "=" xảy ra khi 3xx 2 0 3 2 Vậy GTNN B 5 khi x 3
9. 9/2 Toán h ọc là đam mê +) Ta có x2 0 x 2 0 12 x 2 12 C 12 Dấu "=" xảy ra khi x 0 Vậy GTLN C 12 khi x 0 +) ta có 2x 1 4 0 2 x 1 4 0 5 2 x 1 4 5 1 Dấu "=" xảy ra khi 2xx 1 0 2 1 Vậy GTLN D 5 khi x 2 +) Ta có xx 3 44 0 3 3 0 và y 10 2 nên 3 x 3 4 y 1 2 0 3 x 3 4 y 1 2 2018 2018 E 2018 Dấu "=" xảy ra khi xx 3 0 3 và yy 1 0 1 Vậy GTNN E 2018 khi x 3 và y 1 +) Ta có: xx22 4 0 3 4 0 và xx 2 0 2 2 0 Suy ra 3x22 42 x 20 1253 x 42 x 2 125 F 125 Dấu "=" xảy ra khi x22 4 0 x 4 x 2 và xx 2 0 2 Suy ra x 2 Vậy GTLN F 125 khi x 2 22 11 +) Ta có 2xx 3 0 2 3 5 5 0 2x 3 2 5 5 33 2x 3 2 5 5 3 N 5 3 Dấu "=" xảy ra khi 2xx 3 0 2
10. 10/ 22 Toán h ọc là đam mê 3 3 Vậy GTNN N khi x 5 2 22 11 1 +) Ta có xx 6 0 6 3 3( 0) P x 63 2 3 3 Dấu "=" xảy ra khi xx 6 0 6 1 Vậy GTLN P khi x 6 . 3
11. 11/ 22 Toán h ọc là đam mê PHẦN HÌNH HỌC I/ Trắc nghiệm Câu 1. Chọn phương án trả lời đúng: a) Cho ABC có AB 6 cm , AC 8 cm , BC 5 cm . Ta có: A. ACB   . B. BCA   . C. BAC   . D. CBA   Hướng dẫn Có BC AB AC 5cm 6 cm 8 cm ACB   (Mối liên hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác).Vậy chọn A b) Cho MNP có góc M bằng 50 , góc N bằng 100. Ta có: A. MP PN MN . B. MN NP PM . C. NP PM MN . D. PM MN NP Hướng dẫn Xét MNP có MNPPMN   180   180    (Tổng ba góc trong một tam giác) P 180  50  100  P 30  Suy ra NMP   100 50  30  MP PN MN (Mối liên hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác). Vậy chọn A c) Bộ 3 đoạn thẳng nào sau đây có thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác: A. 3cm ,4 cm ,5 cm. B. 2cm ,3 cm ,6 cm . C. 2cm ,4 cm ,6 cm . D. 3cm ,2 cm ,5 cm. Hướng dẫn Theo bất đẳng thức trong tam giác Chọn A vì cạnh lớn nhất 5cm 3 cm 4 cm . d) Cho ABC có AB 1 cm , AC 10 cm , cạnh BC có độ dài là một số nguyên. Chu vi ABC là: A. 21cm . B. 12cm. C. 20cm . D. Một kết quả khác Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức trong ABC ta được AC AB BC AC AB
12. 12/ 22 Toán h ọc là đam mê 10cm 1 cm BC 10 cm 1 cm 9 cm BC 11 cm . Mà cạnh BC có độ dài là một số nguyên nên BC 10 cm Suy ra chu vi ABC là AB BC AC 1 cm 10 cm 10 cm 21 cm Vậy chọn A. e) Cho G là trọng tâm DEF với DM là đường trung tuyến. Khẳng định nào sau đây đúng: DG 1 DG GM 1 GM 2 A. . B. 3. C. . D. DM 2 GM DM 3 DG 3 Hướng dẫn GM 1 Vì G là trọng tâm DEF mà DM là đường trung tuyến nên . DM 3 Vậy chọn C. f) Cho góc xOy bằng 60 có Oz là tia phân giác, M là điểm nằm trên tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến cạnh Oy là 5cm . Khoảng cách từ M đến cạnh Ox là: A. 10 cm. B. 5 cm. C. 2,5cm. D. 12cm. Hướng dẫn Có M Oz là tia phân giác của góc xOy nên khoảng cách từ M đến cạnh Oy bằng khảng cách từ M đến cạnh Ox . Vậy chọn B. g) Cho MNK , các đường phân giác MP,, NQ KS cắt nhau tại D . Kết luận nào sau đây đúng? 2 A.GM GN GK . B. GM MP . C.GP GQ GS . D. Cả A, B, C đều sai. 3 Hướng dẫn Vì D là giao điểm của các đường phân giác trong MNK nên điểm D cách đều ba cạnh của MNK Chọn D. h) Cho ABC cân tại A , AH là đường phân giác H BC . Biết AB 10 cm , BC 16 cm . G là trọng tâm ABC . Kết luận nào sau đây đúng: A. AG= 4cm. B. GH= 2cm. C. AH= 6cm. D. Cả A,B,C đều đúng Hướng dẫn
13. 13/ 22 Toán h ọc là đam mê AH là đường cao trong ABC cân tại A nên AH đồng thời là đường trung tuyến hay H là trung điểm BC 11 BH BC .16 cm 8 cm 22 Xét ABH vuông tại H : AH2 AB 2 BH 2 10 2 8 2 6 2 (định lý Pitago) AH6 cm 22 Có G là trọng tâm ABC nên AG AH .6 cm 4 cm . Vậy chọn A. 33 i) Cho ABC vuông tại A . Trực tâm của ABC là điểm: A. Nằm bên trong tam giác. B. Nằm bên ngoài tam giác. C. Là trung điểm của cạnh huyền BC . D. Trùng với điểm A . Hướng dẫn Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao nên chọn D. j) Các phân giác trong của một tam giác cắt nhau tại điểm A , ta có: A. A là trọng tâm của tam giác. B. A là trực tâm của tam giác. C. A cách đều ba đỉnh của tam giác. D. A cách đều ba cạnh của tam giác. Hướng dẫn Các phân giác trong của một tam giác cắt nhau tại điểm cách đều ba cạnh của tam giác nên chọn D. Câu 2. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau: a) Nếu tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45 thì tam giác đó là tam giác vuông cân.→ Đúng b) Hai tam giác đều thì bằng nhau.→ Sai c) Nếu tam giác cân có cạnh đáy bằng cạnh bên thì đó là tam giác đều.→ Đúng. d) Góc ở đỉnh của một tam giác cân nhỏ hơn 90 .→ Sai. e) Góc ở đáy của tam giác cân luôn là góc nhọn.→ Đúng. f) Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.→ Đúng. g) Trọng tâm của tam giác đều cách đều ba đỉnh của tam giác đó.→ Đúng. h) Giao của ba đường trung trực trong tam giác là trực tâm của tam giác đó.→ Sai i) Trong tam giác cân, đường phân giác cũng đồng thời là đường trung tuyến.→ Sai.
14. 14/ 22 Toán h ọc là đam mê II/ Tự luận: Bài 1. Cho tam giác ABC có AB AC . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC . Trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD DE EC . a) CMR: ME ND . b) Gọi I là giao điểm của ME và ND . CMR: tam giác IDE cân. c) CMR: AI vuông góc với BC . Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH . Vẽ các điểm DE, sao cho các đường thẳng AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HD, HE . a) CMR: AD AE . b) Gọi MN, lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với AB, AC . CMR: HA là tia phân giác của MHN . c) CMR: DAE2  MHB . d) CMR: 3 đường thẳng AH, BN và CM đồng quy tại một điểm. Bài 3. Cho ABC vuông taị A ( AB AC ). Tia BE là tia phân giác của góc B E AC . Lấy HA BC sao cho BH BA . a) CMR: EH BC . b) KA KB. c) Đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại K. CMR: EK EC . d) CMR: AH// KC . e) CMR: AE EC và EC EA BC AB. Bài 4. Cho ABC vuông tại C có góc A bằng 600 . Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Hạ EK AB, BD AE . Chứng minh rằng: a) AC  AK, AE CK . b) KA KB. c) EB EC. d) Ba đường thẳng AC, BD , KE đồng quy. Bài 5. Cho ABC , trung tuyến AM và BN cắt nhau tạiG . Trên tia đối của tia MG lấy E sao cho ME MG, trên tia đối của tia NG lấy F sao cho NF NG a) Chứng minh G là trung điểm của AE và BF b) Chứng minh EC GF và EC// GF
15. 15/ 22 Toán h ọc là đam mê c) So sánh chu vi BGM và chu vi BCF d) Chứng minh nếu ABC cân tại C thì CE CF Bài 6. Cho ABC có góc A bằng 900 , đường cao AH , Trên cạnh BC lấy D sao cho BD BA . Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E , a) CMR: AE ED b) CMR: tia AD là tia phân giác của góc HAC c) Đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE tại K . Tính góc BAK d) CMR: AB AC BC AH e) So sánh HD và DC Hướng dẫn giải Bài 1: A 1 2 BD DE EC BC BE CD BC a) Theo đề ta có 3 3 AB AC( gt ), MA MB , NA NC BM CN Mà AB AC ABC cân tại A BC  Suy ra MBE NCD( cgc ) ME DN . M N b) Theo ý a) MBE NCD( cgc )  MEB  EDN I D E cân ở I. I c) IDE cân tại I nên B IFDE F , FD FE FB FC ,IF  BC F . C D F E Mà ABC cân ở A nên AFBC F A , I , F thẳng hàng AI  BC F. Bài 2: a) Vì AB là trung trực của đoạn thẳng HD nên AD AH. Vì AC là trung trực của đoạn thẳng HE nên AH AE .
16. 16/ 22 Toán h ọc là đam mê Suy ra AD AE . A b) Dễ dàng chứng minh được E DAM HAM()D cgc  A M  MHA . N HAN EA()E N cgc  AHN  A N M Mà AAAMANDEDE   Q D MHA  NHA I Suy ra hay HA là phân P giác của MHN . c) Xét AED ta có: B H C DAE 1800  A D M  A E N 1800 MHI  NIH 1800 90 0 MHB 90 0  NHC MHB  NHC Lại có: AHB  AHC,  AHM  AHN  MHB  NHC Suy ra: DAE2  MHB . Bài 3: a) CMR: EH BC . Xét BAE và BHE có: BA BH (gt) BB1 2 (gt) BE canh chung BAE BHE (c.g.c) BAE BHE 900 (2 canh t/u) EH BC. b) Ta có B BE mà BA BH (gt) BE là đường trung trực của AH (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
17. 17/ 22 Toán h ọc là đam mê c) Xét 2 tam giác vuông AEK và HEC có: EAK EKC 900 AE HE (do BAE BHE ) EE12 (dd) AEK HEC (g.c.g) EK EC (2 canh t/u) BC BH HC BA BH d) Ta có: mà BK KC BKC cân tại B . BK BA AK HC AK 1800 B Theo định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta suy ra được BCK (1) 2 Tương tự ta có BAH cân tại B (do BA BH ) 1800 B Theo định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta suy ra được BHA (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra: BCK BHA. AH// KC (đồng vị). e) Do AE EH mà BHE vuông tại H AE EH EC. Ta có EA EH (cmt) EC EA EC EH HC (định lí bất đẳng thức trong tam giác). (1) Ta lại có AB AH (gt) BC AB BC BH HC (định lí bất đẳng thức trong tam giác). (2) Từ (1) và (2) suy ra EC EA BC AB. Bài 4: a) CM AC  AK, AE CK . Xét 2 tam giác vuông ACE và AKE có:
18. 18/ 22 Toán h ọc là đam mê AA12 (gt) AE cạnh chung ACE AKE (ch gn ) AC AK (2 cạnh t/ư) Gọi H  AE CK Xét ACH và AKH có: AH là cạnh chung AA12 (gt) AC AK (cmt) ACH AKH (c.g.c) HH12(2 góc t/ư) 0 Mà HH12 180 (kề bù) HH 900 12 AE CK. b) CM KA KB. Xét 2 tam giác vuông AEK và BEK có: EK là cạnh chung 0 Ta có B1 30 (gt) 0 AA12 30 (gt) 0 BA11 30 BE 900 Mà 11 (tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông) 0 AE12 90
19. 19/ 22 Toán h ọc là đam mê 0 EE12 60 AEK BEK (g.c.g) KA KB (2 cạnh t/ư). c) CM EB EC. Xét tam giác vuông KEB có: EB EK Mà EK EC (do ACE AKE ) EB EC. d) Gọi G  AC BD Xét 2 tam giác vuông ADB và ADG có: AA12 (gt) AD cạnh chung ADB ADG (g.c.g) AG AB (2 cạnh t/ư) AGB cân mà GAB 600 AGB đều. CB AC hay CB AG Xét AGB có: AD BD hay AD GB Mà AD CB E E là trực tâm AGB Ta lại có EK AB mà KA KB (cmt) EK là đường trung trực AB Do AGB đều nên GK là đường trung trực AB EK trùng với GK (tính duy nhất) Vậy ba đường thẳng AC, BD , KE đồng quy tại G.
20. 20/ 22 Toán h ọc là đam mê Bài 5: a) Chứng minh G là trung điểm của AE và BF Ta có AM và BN là hai đường trung tuyến của ABC A Mà AM và BN cắt nhau tại G . Nên G là trọng tâm của ABC 2 F Suy ra AG AM mà GM ME nên AG GE 3 2 G N Tương tự ta có BG BN , GN NF nên BG GF 3 Vậy G là trung điểm của AE và BF M B C b) Chứng minh EC GF và EC// GF Ta có G và N lần lượt là trung điểm của AE và AC Nên GN là đường trung bình của ABC E EC//// GN EC GF 1 GN EC , Mà GN NF nên EC GF 2 c) So sánh chu vi BGM và chu vi BCF Chu vi BGM là: BG GM MB Chu vi BCF là: BC CF FB Ta có G và M lần lượt là trung điểm của BF và BC, nên GM là đường trung bình của BCF 1 GM FC 2 1 BM BC ( M là trung điểm của BC) 2 1 GB BF ( B là trung điểm của GF) 2 1 Vậy PP BGM2 BCF d) Chứng minh nếu ABC cân tại C thì CE CF ABC cân tại C thì CA CB và AG BG AG FC (vì ANG FNC ) BG EC (vì BGM ENC ) Suy ra CE CF Bài 6:
21. 21 22 Toán h ọc là đam mê n m A K E I B D C H a) CMR: AE ED Xét AEB vuông tại A và DEB vuông tại D Ta có BE là cạnh huyền chung BA BD (gt) Vậy AEB = DEB (ch-cgv) Vậy AE ED b) CMR: tia AD là tia phân giác của góc HAC Ta có AH BC (gt) ED BC (gt) Suy ra AH / / ED Suy ra HAD ADE ( so le trong) Mà AE ED (cma) nên EAD ADE HAD EAD . Vậy AD là tia phân giác của góc HAC . c) Tính góc BAK Ta có BAn 1800 90 0 90 0 ( kề bù) Ta có Am là tia phân giác của BAn 900 nAm mAB 450 2 KAE 1800 90 0 45 0 45 0 BAK 900 45 0 135 0 d) Cách 1: Kẻ DI AC Suy ra AHD ADI (ch-gn) Nên AH AF Có DC IC ( đường xiên lớn hơn hình chiếu)
22. 22/ 22 Toán h ọc là đam mê AH DC AI IC AC Suy ra AH AB DC AB AC AH BC AB AC Cách 2: Ta có AH BC AB AC (1) AC2 AB 2 BC 2 (2) Mà (AH BC )2 AH 2 2 AH . BC BC 2 (3) (AB AC )2 AB 2 2 AB .A C AC 2 Từ (1), (2), (3) suy ra AB AC BC AH e) So sánh HD và DC Kẻ DI AC ta cm HD DI DC DI vậy DC HD .