Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 8 - Chương III: Phương trình bậc nhất một ẩn

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 8 - Chương III: Phương trình bậc nhất một ẩn

1. CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình bậc nhất một ẩn: Bài 1: Xét xem x0 cĩ là nghiệm của phương trình hay khơng? 3 a) 3(2 x) 1 4 2x ; x 2 b) 5x 2 3x 1; x 0 0 2 c) 3x 5 5x 1; x0 2 d) 2(x 4) 3 x ; x0 2 e) 7 3x x 5 ; x0 4 f) 2(x 1) 3x 8 ; x0 2 g) 5x (x 1) 7; x0 1 h) 3x 2 2x 1; x0 3 Bài 2: Xét xem x0 cĩ là nghiệm của phương trình hay khơng? 2 2 a) x 3x 7 1 2x ; x0 2 b) x 3x 10 0 ; x0 2 2 c) x 3x 4 2(x 1) ; x0 2 d) (x 1)(x 2)(x 5) 0 ; x0 1 2 2 e) 2x 3x 1 0 ; x0 1 f) 4x 3x 2x 1; x0 5 Bài 3: Tìm giá trị k sao cho phương trình cĩ nghiệm x0 được chỉ ra: a) 2x k x –1; x0 2 b) (2x 1)(9x 2k) –5(x 2) 40 ; x0 2 c) 2(2x 1) 18 3(x 2)(2x k) ; x0 1 d) 5(k 3x)(x 1) – 4(1 2x) 80 ; x0 2 VẤN ĐỀ II. Số nghiệm của một phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau: Phương trình A(x) B(x) vơ nghiệm A(x) B(x),x
2. • Phương trình A(x) B(x) cĩ vơ số nghiệm A(x) B(x),x Bài 1. Chứng tỏ các phương trình sau vơ nghiệm: a) 2x 5 4(x 1) 2(x 3) b) 2x 3 2(x 3) c) x 2 1 d) x2 4x 6 0 Bài 2. Chứng tỏ rằng các phương trình sau cĩ vơ số nghiệm: a) 4(x 2) 3x x 8 b) 4(x 3) 16 4(1 4x) c) 2(x 1) 2x 2 d) x x e) (x 2)2 x2 4x 4 f) (3 x)2 x2 6x 9 Bài 3. Chứng tỏ rằng các phương trình sau cĩ nhiều hơn một nghiệm: a) x2 4 0 b) (x 1)(x 2) 0 c) (x 1)(2 x)(x 3) 0 d) x2 3x 0 e) x 1 3 f) 2x 1 1 VẤN ĐỀ III. Chứng minh hai phương trình tương đương Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta cĩ thể sử dụng một trong các cách sau: • Chứng minh hai phương trình cĩ cùng tập nghiệm. • Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia. • Hai qui tắc biến đổi phương trình: – Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta cĩ thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đĩ. – Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta cĩ thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Bài 1. Xét xem các phương trình sau cĩ tương đương hay khơng? a) 3x 3 và x 1 0 b) x 3 0 và 3x 9 0
3. c) x 2 0 và (x 2)(x 3) 0 d) 2x 6 0 và x(x 3) 0 Bài 2. Xét xem các phương trình sau cĩ tương đương hay khơng? a) x2 2 0 và x(x2 2) 0 b) x 1 x và x2 1 0 x 1 1 c) x 2 0 và 0 d) x2 x và x2 x 0 x 2 x x e) x 1 2 và (x 1)(x 3) 0 f) x 5 0 và (x 5)(x2 1) 0 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc nhất một ẩn: Định nghĩa: PT bậc nhất một ẩn là phương trình cĩ dạng ax + b = 0, trong đĩ a, b là hai số tùy ý và a ≠ 0. Phương pháp giải: - Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương: + Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta cĩ thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đĩ. + Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. - Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luơn cĩ một nghiệm duy nhất x = - - Phương trình ax + b = 0 được giải như sau: ax + b = 0 ax = - b x = Tập nghiệm S = { } Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 3x - 9 = 0
4. + Chuyển - 9 từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu, ta được 3x = 9 + Nhân cả 2 vế với , ta được 3x . = 9. x = 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3 } b) - 7x + 15 = 0 - 7x = -15 x = x = Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { } VẤN ĐỀ I. Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất Phương pháp chung: - Quy đồng mẫu hai vế - Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu - Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia. - Thu gọn về dạng ax + b = 0 và giải. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2x - ( 5 - 3x ) = 3 ( x + 2 ) b) + x = 1 + 2x - 5 + 3x = 3x + 6 = 2x + 3x - 3x = 6 + 5 . 6 = . 6 2x = 11 2. ( 8x - 2 ) = 3. ( 5 - 5x ) x = 16x - 4 = 15 - 15x
5. 16x + 15x = 15 + 4 11 Phương trình cĩ tập nghiệm S 31x = 19 2  x = Phương trình cĩ tập nghiệm S = { } Trường hợp phương trình thu gọn cĩ hệ số của ẩn bằng 0 + Dạng 1: 0x = 0 + Dạng 2: 0x = c ( c ≠ 0 ) Phương trình cĩ vơ số nghiệm Phương trình vơ nghiệm S = R S =  Ví dụ: Giải phương trình: a) 2( x + 3 ) = 2( x - 4 ) + 14 b) 2( x - ) + 4(1 - x) = 1 2x + 6 = 2x - 8 + 14 2x - 1 + 4 - 2x = 1 2x - 2x = -8 + 14 - 6 2x - 2x = 1 + 1 - 4 0x = 0 0x = -2 Phương trình cĩ vơ số nghiệm Phương trình vơ nghiệm S = R S =  Sai lầm của học sinh giáo viên cần sửa: Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng 0x = -2 x = = 0 Nâng cao: Giải và biện luận phương trình: + = ( 1) Giải: PT ( 1 ) . 20 + . 20 = . 20 2( mx + 5 ) + 5 ( x + m ) = m
6. 2mx + 10 + 5x + 5m = m ( 2m + 5)x = m - 5m -10 ( 2m + 5) x = -2( 2m +5 ) + Nếu 2m + 5 ≠ 0 m ≠ , phương trình cĩ nghiệm x = -2 + Nếu 2m + 5 = 0 m = , phương trình cĩ dạng 0x = 0 hay phương trình cĩ vơ số nghiệm. Kết luận: + Với m ≠ , tập nghiệm của phương trình là S = { -2 } + Với m = , tập nghiệm của phương trình là S = R Nhận xét: Phương trình (1) gọi là phương trình chứa tham số m Sau khi thu gọn về dạng ax + b = 0 hoặc ax = -b, ta phải biện luận 2 trường hợp: + Trường hợp a ≠ 0: phương trình cĩ một nghiệm x = + Trường hợp a = 0, ta xét tiếp: nếu b ≠ 0, phương trình vơ nghiệm Nếu b = 0, PT vơ số nghiệm BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 4x –10 0 b) 7 –3x 9 x c) 2x –(3 –5x) 4(x 3) d) 5 (6 x) 4(3 2x) e) 4(x 3) 7x 17 f) 5(x 3) 4 2(x 1) 7 g) 5(x 3) 4 2(x 1) 7 h) 4(3x 2) 3(x 4) 7x 20 5 13 5 ĐS: a) x b) x 1 c) x 5 d) x e) x f) x 8 2 9 11 g) x 8 h) x 8 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) (3x 1)(x 3) (2 x)(5 3x) b) (x 5)(2x 1) (2x 3)(x 1) c) (x 1)(x 9) (x 3)(x 5) d) (3x 5)(2x 1) (6x 2)(x 3) e) (x 2)2 2(x 4) (x 4)(x 2) f) (x 1)(2x 3) 3(x 2) 2(x 1)2
7. 13 1 1 ĐS: a) x b) x c) x 3 d) x e) x 1 f) vơ nghiệm 19 5 33 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) (3x 2)2 (3x 2)2 5x 38 b) 3(x 2)2 9(x 1) 3(x2 x 3) c) (x 3)2 (x 3)2 6x 18 d) (x –1)3 – x(x 1)2 5x(2 – x) –11(x 2) e) (x 1)(x2 x 1) 2x x(x 1)(x 1) f) (x –2)3 (3x –1)(3x 1) (x 1)3 10 ĐS: a) x 2 b) x 2 c) x 3 d) x 7 e) x 1 f) x 9 Bài 4. Giải các phương trình sau: x 5x 15x x 8x 3 3x 2 2x 1 x 3 a) 5 b) 3 6 12 4 4 2 2 4 x 1 x 1 2x 13 3(3 x) 2(5 x) 1 x c) 0 d) 2 2 15 6 8 3 2 3(5x 2) 7x x 5 3 2x 7 x e) 2 5(x 7) f) x 4 3 2 4 6 x 3 x 1 x 7 3x 0,4 1,5 2x x 0,5 g) 1 h) 11 3 9 2 3 5 30 53 ĐS: a) x b) x 0 c) x 16 d) x 11 e) x 6 f) x 7 10 28 6 g) x h) x 31 19 Bài 5. Giải các phương trình sau: 2x 1 x 2 x 7 x 3 x 1 x 5 a) b) 1 5 3 15 2 3 6 2(x 5) x 12 5(x 2) x x 4 3x 2 2x 5 7x 2 c) 11 d) x 3 2 6 3 5 10 3 6 2(x 3) x 5 13x 4 3x 1 1 4x 9 e) f) x 7 3 21 2 4 8 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vơ nghiệm e) vơ nghiệm f) vơ nghiệm
8. Bài 6. Giải các phương trình sau: (x 2)(x 10) (x 4)(x 10) (x 2)(x 4) (x 2)2 (x 2)2 a) b) 2(2x 1) 25 3 12 4 8 8 (2x 3)(2x 3) (x 4)2 (x 2)2 7x2 14x 5 (2x 1)2 (x 1)2 c) d) 8 6 3 15 5 3 (7x 1)(x 2) 2 (x 2)2 (x 1)(x 3) e) 10 5 5 2 123 1 19 ĐS: a) x 8 b) x 9 c) x d) x e) x 64 12 15 Bài 7. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1 x 3 x 5 x 7 a) (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử) 35 33 31 29 x 10 x 8 x 6 x 4 x 2 b) (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 1994 1996 1998 2000 2002 x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994 2 4 6 8 10 x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999 c) 9 7 5 3 1 x 9 x 7 x 5 x 3 x 1 (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 1991 1993 1995 1997 1999 x 85 x 74 x 67 x 64 d) 10 (Chú ý: 10 1 2 3 4 ) 15 13 11 9 x 1 2x 13 3x 15 4x 27 e) (HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử) 13 15 27 29 ĐS: a) x 36 b) x 2004 c) x 2000 d) x 100 e) x 14 . Bài 8. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1 x 3 x 5 x 7 x 29 x 27 x 17 x 15 a) b) 65 63 61 59 31 33 43 45
9. x 6 x 8 x 10 x 12 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x c) d) 4 0 1999 1997 1995 1993 91 93 95 91 x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 e) 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980 29 27 25 23 21 19 ĐS: a) x 66 b) x 60 c) x 2005 d) x 2000 e) x 1999 . VẤN ĐỀ II. Phương trình tích Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình cĩ dạng A(x).B(x) M(x) = 0 Trong đĩ A(x), B(x), , M(x) là các đa thức biến x Để giải phương trình tích, ta áp dụng cơng thức: A(x) 0 A(x).B(x) A(x) 0 hoặc B(x) 0 B(x) 0 Ta giải hai phương trình A(x) 0 và B(x) 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) ( 3x - 2)( 4x + 5) = 0 b) 2x( x-3 ) + 5( x - 3 ) = 0 3x - 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 ( x - 3 )( 2x + 5 ) = 0 +) 3x - 2 = 0 x = x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 +) 4x + 5 = 0 x = +) x - 3 = 0 x = 3 Vậy tập nghiệm của pt S = { ; } +) 2x + 5 = 0 x = Vậy tập nghiệm của pt S = { ;3 } BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: a) (5x 4)(4x 6) 0 b) (3,5x 7)(2,1x 6,3) 0
10. c) (4x 10)(24 5x) 0 d) (x 3)(2x 1) 0 e) (5x 10)(8 2x) 0 f) (9 3x)(15 3x) 0 4 3 5 5 1 ĐS: a) x ; x b) x 2; x 3 c) x ; x d) x 3; x 5 2 2 24 2 e) x 2; x 4 f) x 3; x 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) (2x 1)(x2 2) 0 b) (x2 4)(7x 3) 0 c) (x2 x 1)(6 2x) 0 d) (8x 4)(x2 2x 2) 0 1 3 1 ĐS: a) x b) x c) x 3 d) x 2 7 2 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) (x 5)(3 2x)(3x 4) 0 b) (2x 1)(3x 2)(5 x) 0 c) (2x 1)(x 3)(x 7) 0 d) (3 2x)(6x 4)(5 8x) 0 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 6) 0 f) (2x 1)(3x 2)(5x 8)(2x 1) 0 3 4 1 2  1  3 2 5 ĐS: a) S 5; ;  b) S ; ; 5 c) S ;3; 7 d) S ; ;  2 3 2 3  2  2 3 8 1 2 8 1 e) S 1; 3; 5;6 f) S ; ; ;  2 3 5 2 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) (x 2)(3x 5) (2x 4)(x 1) b) (2x 5)(x 4) (x 5)(4 x) c) 9x2 1 (3x 1)(2x 3) d) 2(9x2 6x 1) (3x 1)(x 2) e) 27x2(x 3) 12(x2 3x) 0 f) 16x2 8x 1 4(x 3)(4x 1) 1 1 4 ĐS: a) x 2; x 3 b) x 0; x 4 c) x ; x 2 d) x ; x 3 3 5 4 1 e) x 0; x 3; x f) x 9 4
11. Bài 5. Giải các phương trình sau: a) (2x 1)2 49 b) (5x 3)2 (4x 7)2 0 c) (2x 7)2 9(x 2)2 d) (x 2)2 9(x2 4x 4) e) 4(2x 7)2 9(x 3)2 0 f) (5x2 2x 10)2 (3x2 10x 8)2 10 13 ĐS: a) x 4; x 3 b) x 4; x c) x 1; x d) x 1; x 4 9 5 23 1 e) x 5; x f) x 3; x 7 2 Bài 6. Giải các phương trình sau: a) (9x2 4)(x 1) (3x 2)(x2 1) b) (x 1)2 1 x2 (1 x)(x 3) c) (x2 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x2 4)(x 5) d) x4 x3 x 1 0 e) x3 7x 6 0 f) x4 4x3 12x 9 0 g) x5 5x3 4x 0 h) x4 4x3 3x2 4x 4 0 2 1 7 ĐS: a) x ; x 1; x b) x 1; x 1 c) x 1; x 2; x 3 2 5 d) x 1 e) x 1; x 2; x 3 f) x 1; x 3 g) x 0; x 1; x 1; x 2; x 2 h) x 1; x 1; x 2 Bài 7. Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ) a) (x2 x)2 4(x2 x) 12 0 b) (x2 2x 3)2 9(x2 2x 3) 18 0 c) (x 2)(x 2)(x2 10) 72 d) x(x 1)(x2 x 1) 42 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 297 0 f) x4 2x2 144x 1295 0 ĐS: a) x 1; x 2 b) x 0; x 1; x 2; x 3 c) x 4; x 4 d) x 2; x 3 e) x 4; x 8 f) x 5; x 7
12. VẤN ĐỀ III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Định nghĩa: Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình cĩ dạng: = Trong đĩ A(x); B(x); C(x); D(x) là các đa thức biến x Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được. Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ: Giải các phương trình: a) = (1) +) ĐKXĐ của phương trình: x ≠ 0 và 5x -1 ≠ 0 x ≠ 0 và x ≠ PT (1) = (5x - 1)( x + 3) = x( 5x -3 ) 5x2 + 14x - 3 = 5x2 + 3x 5x2 + 14x - 5x2 - 3x = 3 11x = 3 x = Ta thấy x = thõa mãn ĐKXĐ của pt nên tập nghiệm của (1) là S = { } b) - =3x( 1 - ) (2) +) ĐKXĐ của phương trình: x -1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0 x ≠1 và x ≠ -1
13. Quy đồng và khử mẫu ta được: PT(2) (x + 1)2 - (x - 1)2 = 3x( x - 1)( x+1 - x + 1 ) x2 + 2x + 1 - x2 + 2x - 1 = 6x ( x - 1 ) 4x = 6x2 - 6x 6x2 - 10 = 0 2x( 3x - 5 ) = 0 2x = 0 hoặc 3x - 5 = 0 x = 0 hoặc x = Ta thấy x = 0 và x = thõa mãn ĐKXĐ của phương trình (2). Vậy tập nghiệm của (2) là S = { 0; } BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: 4x 3 29 2x 1 4x 5 x a) b) 2 c) 2 x 5 3 5 3x x 1 x 1 7 3 2x 5 x 12x 1 10x 4 20x 17 d) e) 0 f) x 2 x 5 2x x 5 11x 4 9 18 136 11 41 ĐS: a) x b) x c) x 3 d) x 17 8 4 5 e) x f) x 2 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 11 9 2 14 2 x 3 5 a) b) x x 1 x 4 3x 12 x 4 8 2x 6 12 1 3x 1 3x x 5 x 25 x 5 c) d) 1 9x2 1 3x 1 3x x2 5x 2x2 50 2x2 10x x 1 x 1 16 x 1 x 1 x 1 e) f) 1 (x 2) x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1
14. ĐS: a) x 44 b) x 5 c) x 1 d) vơ nghiệm e) x 4 f) x 3 Bài 3. Giải các phương trình sau: 6x 1 5 3 2 x 1 x 4 a) b) 0 x2 7x 10 x 2 x 5 x2 4 x(x 2) x(x 2) 1 1 x (x 1)2 1 6 5 c) d) 3 x x 1 x 3 x2 2x 3 x 2 x 3 6 x2 x 2 2x2 16 5 x 1 x 1 2(x 2)2 e) f) x 2 x3 8 x2 2x 4 x2 x 1 x2 x 1 x6 1 9 3 ĐS: a) x b) vơ nghiệm c) x d) x 4 4 5 5 e) vơ nghiệm f) x 4 Bài 4. Giải các phương trình sau: 8 11 9 10 x x x x a) b) x 8 x 11 x 9 x 10 x 3 x 5 x 4 x 6 4 3 1 2 3 6 c) 1 0 d) x2 3x 2 2x2 6x 1 x 1 x 2 x 3 x 6 19 9 6 12 ĐS: a) x 0; x b) x 0; x c) x 0; x 3 d) x ; x 2 2 5 5 III. GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Các bước giải tốn bằng cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. – Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết. – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình
15. Bước 3: Trả lời Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào khơng, rồi kết luận. VẤN ĐỀ I. Loại so sánh Trong đầu bài thường cĩ các từ: – nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, : tương ứng với phép tốn cộng. – ít hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, : tương ứng với phép tốn trừ. – gấp nhiều lần: tương ứng với phép tốn nhân. – kém nhiều lần: tương ứng với phép tốn chia. Bài 1. Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng –87. ĐS: 18; 17 . Bài 2. Một phân số cĩ tử số nhỏ hơn mẫu số là 8. Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số và bớt mẫu số đi 3 đơn vị thì ta 3 được phân số bằng . Tìm phân số đã cho. 4 7 ĐS: 15 Bài 3. Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho 2 thì bốn kết quả đĩ bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu. ĐS: 8; 12; 5; 20. Bài 4. Thương của hai số là 3. Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30. Tìm hai số đĩ. ĐS: 24; 8. 1 Bài 5. Một đội cơng nhân sửa một đoạn đường trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đội sửa được đoạn đường, ngày 3 4 thứ hai đội sửa được một đoạn đường bằng đoạn được làm được trong ngày thứ nhất, ngày thứ ba đội 3 sửa 80m cịn lại. Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa. ĐS: 360m.
16. Bài 6. Hai phân xưởng cĩ tổng cộng 220 cơng nhân. Sau khi chuyển 10 cơng nhân ở phân xưởng 1 sang phân 2 4 xưởng 2 thì số cơng nhân phân xưởng 1 bằng số cơng nhân phân xưởng 2. Tính số cơng nhân của 3 5 mỗi phân xưởng lúc đầu. ĐS: Phân xưởng 1 cĩ 120 cơng nhân, phân xưởng 2 cĩ 90 cơng nhân. Bài 7. Hai bể nước chứa 800 lít nước và 1300 lít nước. Người ta tháo ra cùng một lúc ở bể thứ nhất 15 lít/phút, 2 bể thứ hai 25 lít/phút. Hỏi sau bao lâu số nước ở bể thứ nhất bằng số nước ở bể thứ hai? 3 ĐS: 40 phút. Bài 8. Trước đây 5 năm, tuổi Dung bằng nửa tuổi của Dung sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Dung hiện nay. ĐS: 14 tuổi. Bài 9. Tìm một số cĩ chữ số hàng đơn vị là 2, biết rằng nếu xố chữ số 2 đĩ thì số ấy giảm đi 200. ĐS: 222. Bài 10. Gia đình Đào cĩ 4 người: bố, mẹ, bé Mai và Đào. Tuổi trung bình của cả nhà là 23. Nếu viết 9 thêm chữ số 0 vào bên phải tuổi bé Mai thì được tuổi của bố, tuổi của mẹ bằng tuổi bố và gấp 3 lần 10 tuổi của Đào. Tìm tuổi của mỗi người trong gia đình Đào. ĐS: Tuổi của bố, mẹ, bé Mai và Đào lần lượt là: 40, 36, 4, 12. Bài 11. Nhân ngày 1 tháng 6, một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi đội viên trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, đội trưởng đã đề xuất cách chia như sau: 1 – Bạn thứ nhất nhận một viên kẹo và được lấy thêm số kẹo cịn lại. 11 1 – Sau khi bạn thứ nhất lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận 2 viên kẹo và được lấy thêm số kẹo cịn 11 lại. 1 Cứ như thế đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo và được lấy thêm số kẹo cịn lại. 11 Hỏi phân đội đĩ cĩ bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu viên kẹo. ĐS: 10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo. Bài 12. Một người bán số sầu riêng thu hoạch được như sau:
17. 1 – Lần thứ nhất bán 9 trái và số sầu riêng cịn lại. 6 1 – Lần thứ hai bán 18 trái và số sầu riêng cịn lại mới. 6 1 – Lần thứ ba bá 27 trái và số sầu riêng cịn lại mới, v.v 6 Với cách đĩ thì bán lần sau cùng là vừa hết và số sầu riêng bán mỗi lần đều bằng nhau. Hỏi người đĩ đã bán bao nhiêu lần và số sầu riêng thu hoạch được là bao nhiêu trái? ĐS: 225 trái, bán 5 lần. Bài 13. Ba lớp A, B, C gĩp sách tặng các bạn học sinh vùng khĩ khăn, tất cả được 358 cuốn. Tỉ số số 6 7 cuốn sách của lớp A so với lớp B là . Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là . Hỏi mỗi lớp 11 10 gĩp được bao nhiêu cuốn sách? ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn. Bài 14. Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người. Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây dân số của tỉnh A là bao nhiêu? ĐS: 600000 người. Bài 15. Trong một trường học, vào đầu năm học số học sinh nam và nữ bằng nhau. Nhưng trong học kì 1, trường nhận thêm 15 học sinh nữ và 5 học sinh nam nên số học sinh nữ chiếm 51% số học sinh của trường. Hỏi cuối học kì 1, trường cĩ bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ? ĐS: 245 nam, 255 nữ. VẤN ĐỀ II. Loại tìm số gồm hai, ba chữ số • Số cĩ hai chữ số cĩ dạng: xy 10x y . Điều kiện: x,y N,0 x 9,0 y 9 . • Số cĩ ba chữ số cĩ dạng: xyz 100x 10y z . Điều kiện: x,y,z N,0 x 9,0 y,z 9 . Loại tốn tìm hai số. + Hướng dẫn học sinh trong dạng bài này gồm các bài tốn như: - Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng. - Tốn về tìm số sách trong mỗi giá sách, tính tuổi cha và con, tìm số cơng nhân mỗi phân xưởng.
18. - Tốn tìm số dịng một trang sách, tìm số dãy ghế và số người trong một dãy. + Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau: 1.Tốn tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số. Bài tốn 1: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đĩ. Phân tích bài tốn: Cĩ hai đại lượng tham gia vào bài tốn, đĩ là số bé và số lớn. Nếu gọi số bé là x thì số lớn biểu diễn bởi biểu thức nào? x x 12 Yêu cầu học sinh điền vào các ơ trống cịn lại ta cĩ thương thứ nhất là 7 , thương thứ hai là 5 Giá trị Thương x Số bé x 7 x 12 Số lớn x + 12 5 Lời giải: Gọi số bé là x. Số lớn là: x +12. x Chia số bé cho 7 ta được thương là : . 7 x 12 Chia số lớn cho 5 ta được thương là: 5 Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta cĩ phương trình: x 12 x - = 4 5 7 Giải phương trình ta được x = 28
19. Vậy số bé là 28. Số lớn là: 28 +12 = 40. Bài tốn 2: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nĩ là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm hai đơn vị thì được phân số . Tìm phân số đã cho. Hướng dẫn hs bằng cách đặt lần lượt các câu hỏi: - Để tìm phân số đã cho, ta phải tìm các thành phần nao? ( tử và mẫu ) - Biết tử số, cĩ thể tìm được mẫu số và ngược lại? - Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta cĩ phân số mới nào ? Như vậy, cĩ thể chon ẩn là tử hoặc mẫu của phân số Giải Gọi tử của phân số đã cho là x ( x ≠ 0) thì mẫu của phân số đĩ là x + 2 Tăng tử thêm 2 đơn vị thì ta được tử mới là: x + 2 Tăng mẫu thêm 2 đơn vị thì được mẫu mới là: x + 3 + 2 = x +5 Theo bài ra ta cĩ phương trình : = ĐKXĐ: x ≠ -5 2( x + 2 ) = x + 5 2x - x = 5 - 4 x = 1 ( thõa mãn mãn điều kiện) Vậy phân số đã cho là = Bài tốn 3: Một số tự nhiên cĩ hai chữ số, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đĩ.
20. Hướng dẫn: Chữ số hàng Chữ số hàng Phương trình Giá trị chục đơn vị Số đã cho 3x x 10.3x + x 10.3x + x -18 = 10.x + 3x Số mới x 3x 10.x + 3x Giải: Gọi chữ số hàng đơn vị của số phải tìm là x ( x N và 0 < x 3 ) Thì chữ số hàng chục là 3x Số đã cho là 10.3x + x Số mới sau khi đổi vị trí là : 10.x + 3x Theo bài ra ta cĩ phương trình: 10.3x + x -18 = 10.x + 3x Giải phương trình: 10.3x + x -18 = 10.x + 3x 31x - 18 = 13x 31x - 13x = 18 18x = 18 x = 1 Kiểm tra thấy x = 1 thõa mãn điều kiện. Vậy số cần tìm là 13 Lưu ý: Đối với dạng tốn liên quan đến số học, yêu cầu hs hiểu mối quan hệ giữa các đại lượng như hàng chục, hàng trăm, biểu diễn được dạng chính tắc của nĩ: ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c Khi đổi chỗ các chữ số, hoặc thêm bớt các chữ số, ta cũng biểu diễn tương tự 2. Tốn về tìm số sách trong mỗi giá sách, tìm tuổi, tìm số cơng nhân của phân xưởng.
21. Bài tốn 2 Hai thư viện cĩ cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện. Phân tích bài tốn: Cĩ hai đối tượng tham gia vào bài tốn: Thư viện 1 và thư viện 2. Nếu gọi số sách lúc đầu của thư viện 1 là x, thì cĩ thể biểu thị số sách của thư viện hai bởi biểu thức nào? Số sách sau khi chuyển ở thư viện 1, thư viện 2 biểu thị như thế nào? Số sách lúc đầu Số sách sau khi chuyển Thư viện 1 x x - 3000 Thư viện 2 15000 - x (15000 - x) + 3000 Lời giải: Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương. Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 - x (cuốn) Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: x - 3000 (cuốn) Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là: (15000 - x)+ 3000 = 18000-x (cuốn) Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta cĩ phương trình: x - 3000 = 18000 - x Giải phương trình ta được: x = 10500 (thỏa mãn điều kiện). Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn. Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 - 10500 = 4500 cuốn. Bài tốn 3: Số cơng nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 cơng nhân, xí nghiệp 2
22. thêm 80 cơng nhân. Do đĩ số cơng nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. Tính số cơng nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay. Phân tích bài tốn: Cĩ hai đối tượng tham gia trong bài tốn, đĩ là xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2. Nếu gọi số cơng nhân của xí nghiệp 1 là x, thì số cơng nhân của xí nghiệp 2 biểu diễn bằng biểu thức nào? Học sinh điền vào các ơ trống cịn lại và căn cứ vào giả thiết: Số cơng nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 để lập phương trình. Số cơng nhân Trước kia Sau khi thêm Xí nghiệp 1 x x + 40 4 4 Xí nghiệp 2 x x 3 3 + 80 Lời giải: Cách 1: Gọi số cơng nhân xí nghiệp I trước kia là x (cơng nhân), x nguyên, dương. 4 Số cơng nhân xí nghiệp II trước kia là 3 x (cơng nhân). Số cơng nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x_+ 40 (cơng nhân). 4 Số cơng nhân hiện nay của xí nghiệp II là: 3 x_+ 80 (cơng nhân). Vì số cơng nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta cĩ phương trình: 4 x 80 x 40 3 8 11 Giải phương trình ta được: x = 600 (thỏa mãn điều kiện). Vậy số cơng nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 cơng nhân. 4 Số cơng nhân hiện nay của xí nghiệp II là: 3 .600 + 80 = 880 cơng nhân. Bài tốn 4:
23. Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất. Phân tích bài tốn: Cĩ hai đối tượng tham gia vào bài tốn: người thứ nhất và người thứ hai, cĩ 3 mốc thời gian: cách đây 10 năm, hiện nay và sau 2 năm.Từ đĩ hướng dẫn học sinh cách lập bảng. Tuổi Hiện nay Cách đây10 năm Sau 2 năm Người I x x - 10 x + 2 x 10 x 2 Người II 3 2 Nếu gọi số tuổi của người thứ nhất là x, cĩ thể biểu thị số tuổi của người thứ nhất cách đây 10 năm và sau đây 2 năm. Sau đĩ cĩ thể điền nốt các số liệu cịn lại vào trong bảng. Sau đĩ dựa vào mối quan hệ về thời gian để lập phương trình. Lời giải: Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương. Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: x - 10 (tuổi). x 10 Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: (tuổi). 3 Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: x + 2 (tuổi). x 2 Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: (tuổi). 2 Theo bài ra ta cĩ phương trình phương trình như sau: x 2 x 10 10 2 2 3 Giải phương trình ta được: x = 46 (thỏa mãn điều kiện). Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là: 46 tuổi. 46 2 Số tuổi hiện nay của ngườ thứ hai là: 2 12 tuổi. 2 3. Dạng tốn tìm số dãy ghế và số người trong một dãy.
24. Bài tốn 5: Một phịng họp cĩ 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đĩ, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phịng họp lúc đầu cĩ mấy dãy ghế? Phân tích bài tốn: Bài tốn cĩ hai tình huống xảy ra: Số ghế ban đầu và số ghế sau khi thêm. Nếu chọn số ghế lúc đầu là x, ta cĩ thể biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và cĩ thể điền được vào các ơ trống cịn lại. Dựa vào giả thiết: Mỗi dãy ghế phải kê thêm 2 người ngồi, ta cĩ thể lập được phương trình:
25. Số dãy ghế Số ghế của mỗi dãy 100 Lúc đầu x x 144 Sau khi thêm x + 2 x 2 Lời giải: Gọi số dãy ghế lúc đầu là x ( dãy), x nguyên dương. Số dãy ghế sau khi thêm là: x + 2 (dãy). 100 Số ghế của một dãy lúc đầu là: (ghế). x 144 Số ghế của một dãy sau khi thêm là: (ghế). x 2 Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta cĩ phương trình: 144 100 2 x 2 x Giải phương trình ta được x=10 (thỏa mãn đk) Vậy phịng họp lúc đầu cĩ 10 dãy ghế. BÀI TẬP Bài 1. Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số là 12 – Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đĩ là 36. ĐS: 48 Bài 2. Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số là 10 – Nếu viết số đĩ theo thứ tự ngược lại thì được một số mới nhỏ hơn số đĩ là 36. ĐS: 73 Bài 3. Một số tự nhiên cĩ 5 chữ số. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải hay bên trái số đĩ ta được một số cĩ 6 chữ
26. số. Biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đĩ thì được một số lớn gấp ba lần số nhận được khi ta viết thêm vào bên trái số đĩ. Tìm số đĩ. ĐS: 42857. Bài 4. Một số cĩ hai chữ số, trong đĩ chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số ta được một số cĩ hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đĩ. ĐS: 31. Bài 5. Một số tự nhiên cĩ hai chữ số cĩ tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được một số cĩ 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đĩ. ĐS: 25.
27. VẤN ĐỀ III. Loại làm chung - làm riêng một việc • Khi cơng việc khơng được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi tồn bộ cơng việc là một đơn vị cơng việc, biểu thị bởi số 1. • Năng suất làm việc là phần việc làm được trong một đơn vị thời gian. Gọi A là khối lượng cơng việc, n là năng suất, t là thời gian làm việc. Ta cĩ: A nt . • Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. VD 1: Hai đội cơng nhân làm chung 6 ngày thì xong cơng việc. Nếu làm riêng, đội 1 phải làm lâu hơn đội 2 là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải mất bao lâu mới hồn thành cơng việc. Hướng dẫn: Hai đội làm chung trong 6 ngày xong cơng việc nên một ngày 2 đội làm được cơng việc Lập phương trình theo bảng: Đội 1 Đội 2 Phương trình Số ngày làm riêng xong x ( x > 5) x - 5 cơng việc + = Phần cơng việc làm trong 1 ngày VD 2 :Một số tự nhiên có hai chữ số .Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục .Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370 .Tìm số ban đầu . Số ban đầu là 48 VD 3 :Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản suất 50 sản phẩm .Khi thực hiện , mỗi ngày tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm .Do đó tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm .Hỏi theo kế hoạch , tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm ?
28. Năng suất 1 ngày Số ngày (ngày) Số sản phẩm (sản sản phẩm /ngày ) phẩm ) Kế hoạch x Thực hiện x x 13 Phương trình : 1 50 57 d) Dạng tốn về năng suất, tỉ số phần trăm: VD: Một xí nghiệp hợp đồng sản xuất một số tấm len trong 20 ngày, do năng suất làm việc vượt dự tính là 20% nên khơng những xí nghiệp hồn thành kế hoạch trước 2 ngày mà cịn sản xuất thêm được 24 tấm len. Hỏi theo hợp đồng xí nghiệp phải dệt bao nhiêu tấm len? Hướng dẫn: Tổng sản Năng suất Phương trình phẩm Kế hoạch x ( x > 0) + . = Thực tế x + 24 BÀI TẬP 3 Bài 1. Hai người cùng làm một cơng việc trong 24 giờ thì xong. Năng suất của người thứ nhất bằng năng 2 suất của ngwịi thứ hai. Hỏi nếu mỗi người làm một mình cả cơng việc thì phải mất thời gian bao lâu? ĐS: 40 giờ; 60 giờ. Bài 2. Một bồn chứa cĩ đặt hai vịi nước chảy vào và một vịi tháo nước ra. – Bồn trống khơng, nếu mở riêng vịi thứ nhất thì sau 4 giờ bồn đầy nước. – Bồn trống khơng, nếu mở riêng vịi thứ hai thì sau 6 giờ bồn đầy nước. – Bồn trống khơng, nếu đồng thời mở cả ba vịi thì sau 7 giờ 12 phút bồn đầy nước. Hỏi nếu bồn chứa đầy nước, mở riêng vịi tháo nước thì sau bao lâu sẽ tháo hết nước ra? ĐS: 3 giờ 36 phút.
29. Bài 3. Một cơng nhân phải làm một số sản phẩm trong 18 ngày. Do đã vượt mức mỗi ngày 5 sản phẩm nên sau 16 ngày anh đã làm xong và làm thêm 20 sản phẩm nữa ngồi kế hoạch. Tính xem mỗi ngày anh đã làm được bao nhiêu sản phẩm. ĐS: 75 sản phẩm. VẤN ĐỀ IV. Loại chuyển động đều • Gọi d là quãng đường động tử đi, v là vận tốc, t là thời gian đi, ta cĩ: d vt . • Vận tốc xuơi dịng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dịng nước • Vận tốc ngược dịng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dịng nước Loại tốn chuyển động: Loại tốn này cĩ rất nhiều dạng, tuy nhiên cĩ thể phân ra một số dạng thường gặp như sau: 1, Tốn cĩ nhiều phương tiện tham gia trên nhiều tuyến đường. 2,Tốn chuyển động thường. 3,Tốn chuyển động cĩ nghỉ ngang đường. 4,Tốn chuyển động ngược chiều. 5,Tốn chuyển động cùng chiều. 6,Tốn chuyển động một phần quãng đường. Hướng dẫn học sinh lập bảng từng dạng: - Nhìn chung mẫu bảng ở dạng tốn chuyển động gồm 3 cột: Quãng đường, vận tốc, thời ian. - Các trường hợp xảy ra như: Quãng đường đầu, quãng đường cuối, nghỉ, đến sớm, đến muộn hoặc các đại lượng tham gia chuyển động đều được ghi ở hàng ngang. - Đa số các bài tốn đều lập phương trình ở mối liên hệ thời gian. 1. Tốn cĩ nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường.
30. Bài tốn 1: Đường sơng từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nơ đi từ A đến B mất 3h20',ơ tơ đi hết 2h. Vận tốc ca nơ nhỏ hơn vận tốc ơ tơ là 17km/h. Tính vận tốc của ca nơ và ơ tơ? Phân tích bài tốn: Bài cĩ hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nơ và Ơ tơ.Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dịng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế cĩ thể chọn vận tốc của ca nơ hay ơ tơ làm ẩn x(x>0). Từ đĩ điền các ơ thời gian, quãn đường theo số liệu đã biết và cơng thức nêu trên. Vì bài tốn đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường. t(h) v(km/h) S(km) = v.t 3h20'= 3h + 20/60h 10x Ca nơ 10 x = h 3 3 Ơ tơ 2 x+17 2(x+17) Cơng thức lập phương trình: Sơtơ -Scanơ = 10 Lời giải: Gọi vận tốc của ca nơ là x km/h (x>0). Vận tốc của ơ tơ là: x+17 (km/h). 10 Quãng đường ca nơ đi là: x (km). 3 Quãng đường ơ tơ đi là: 2(x+17)(km). Vì đường sơng ngắn hơn đường bộ 10km nên ta cĩ phương trình: 10 Sơtơ -Scanơ = 10 2(x+17) - x =10 3 Giải phương trình ta được x = 18.(nhận).
31. Vậy vận tốc ca nơ là 18km/h. Vận tốc ơ tơ là 18 + 17 = 35(km/h). Bài tốn 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đĩ đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30'? S(km) v(km/h) t(h) 33 Lúc đi 33 x x 62 Lúc về 33+29 = 62 x+3 x 3 Hướng dẫn tương tự bài 6. 3 - Cơng thức lập phương trình: tvề - tđi =1h30' (= h ). 2 - Phương trình là: 62 33 3 x 3 x 2 2. Chuyển động thường: Với các bài tốn chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ cơng thức: . vxuơi = vthuyền + vnước . vngược = vthuyền - vnước Bài tốn 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sơng dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20'. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dịng nước là 4km/h.
32. v(km/h) S(km) t(h) Tàu: x Nước: 4 80 Xuơi 80 x + 4 x 4 80 Ngược 80 x - 4 x 4 Phân tích bài tốn: Vì chuyển động dưới nước cĩ vận tốc dịng nước nên cột vận tốc được chia làm hai phần ở đây gọi vận tốc thực của tàu là x km/h (x>4) 25 Cơng thức lập phương trình: t xuơi + t ngược = 8h20' (8h+20/60h h ) 3 Lời giải: Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0) Vận tốc của tàu khi xuơi dịng là: x + 4 km/h Vận tốc của tàu khi ngược dịng là: x - 4 km/h 80 Thời gian tàu đi xuơi dịng là: h x 4 80 Thời gian tàu đi ngược dịng là: h x 4 25 Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20' = h nên ta cĩ phương trình: 3
33. 80 80 25 x 4 x 4 3 80(x 4) 80(x 4) 25 .(x 4)(x 4) (x 4)(x 4) (x 4)(x 4) 3 25 80(x 4) 80(x 4) .(x2 42 ) 3 3.80(x 4) 3.80(x 4) 25.(x2 42 ) 240x 960 240x 960 25x2 400 25x2 480x 400 0 25x2 500x 20x 400 0 25x x 20 20(x 20) 0 (x 20)(25x 20) 0 4 Giải phương trình ta được: x1 = (loại) ;x2 = 20 (nhận) Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h 5 3. Chuyển động cĩ nghỉ ngang đường. Học sinh cần nhớ: .tdự định =tđi + tnghỉ .Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi Bài tốn 4: Một Ơtơ đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nĩ dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ơtơ phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km. Phân tích bài tốn: 163km 43km Hà nội Lạng sơn Vì Ơtơ chuyển động trên những quãng đường khác nhau, lại cĩ thời gian nghỉ, nên phức tạp. Giáo viên cần vẽ thêm sơ đồ đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu, dễ tìm thấy số liệu để điền vào các ơ của bảng. Giáo viên đặt câu hỏi phát vấn học sinh: Thời gian dự định đi? Thời gian đi quãng đường đầu, quãng đường cuối? Chú ý học sinh đổi từ số thập phân ra phân số cho tiện tính tốn.
34. S(km) v(km/h) t(h) 163 Lạng sơn- Hà nội 163 x x 43 S 43 x đầu x 2 Dừng 40' h 3 6 100 S 120 1,2x h cuối 5 x Cơng thức lập phương trình: tđầu + tdừng + tcuối = tdự định Lời giải: Gọi vận tốc lúc đầu của ơ tơ là x km/h (x>0) Vận tốc lúc sau là 1,2 x km/h 163 Thời gian đi quãng đường đầu là: h x 100 Thời gian đi quãng đường sau là: h x Theo bài ra ta cĩ phương trình 43 2 100 163 x 3 x x Giải phương trình ta được x = 30 (tmđk) Vậy vận tốc lúc đầu của ơ tơ là 30 km/h. Bài tốn 5: Một Ơ tơ dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được 1h Ơtơ bị chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đĩ để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc lên 6km/h. tính vận tốc của Ơtơ lúc đầu. S(km) v(km/h) t(h)
35. 120 S 120 x AB x Sđầu x x 1 1 Nghỉ 10' h 6 120 x S 120-x x+6 sau x 6 Hướng dẫn tương tự bài 9. Cơng thức lập phương trình: tđi + tnghỉ = tdự định Phương trình của bài tốn là: 1 120 x 120 1 6 x 6 x Đáp số: 48 km. 4. Chuyển động ngược chiều: Học sinh cần nhớ: + Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = S + Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 (khơng kể thời gian đi sớm). Bài tốn 6: Hai Ơ tơ cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30' với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau? Bài này học sinh cần lưu ý: Vì chuyển động ngược chiều đi để gặp nhau nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường: S = S1 + S2
36. S(km) v(km/h) t(h) 3 3 Xe 1 30 x 30 x 2 2 Xe 2 35x 35 x Lời giải: Gọi thời gian đi của xe 2 là x h (x > 0) 3 Thời gian đi của xe 1 là x h 2 Quãng đường xe 2 đi là: 35x km 3 Quãng đường xe 1 đi là: 30(x ) km 2 Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta cĩ phương trình: 3 30(x ) + 35x = 175 2 Giải phương trình ta được x = 2 (tmđk) Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1. 5. Chuyển động cùng chiều: Học sinh cần nhớ: + Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau. + Cùng khởi hành: tc/đ chậm - tc/đ nhanh = tnghỉ (tđến sớm) + Xuất phát trước sau: tc/đ trước - tc/đ sau = tđi sau tc/đ sau + tđi sau + tđến sớm = tc/đ trước
37. Bài tốn 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sơng A, sau đĩ 5h20' một chiếc ca nơ cũng chạy từ bến sơng A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nơ chạy nhanh hơn thuyền 12km/h. Phân tích bài tốn: Chuyển động của thuyền và ca nơ nhưng khơng cĩ vận tốc dịng nước vì thế các em làm như chuyển động trên cạn. Cơng thức lập phương trình: tthuyền - tca nơ = tđi sau S(km) v(km/h) t(h) 20 Thuyền 20 x x 20 Ca nơ 20 x+12 x 12 Lời giải: Gọi vận tốc của thuyền là x km/h Vận tốc của ca nơ là x = 12 km/h 20 Thời gian thuyền đi là: x 20 Thời gian ca nơ đi là: x 12 Vì ca nơ khởi hành sau thuyền 5h20' và đuổi kịp thuyền nên ta cĩ phương trình: x 20 16 20 x 12 3 Giải phương trình ta được: x1 = -15 x2 = 3 (tmđk) Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h. Bài tốn 8:
38. Một người đi xe đạp tư tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đĩ 1h30' một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1h. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp. Hướng dẫn lập bảng: Bài tốn gồm hai đại lượng xe đạp và xe máy, trong thực tế xe đạp đi chậm hơn xe máy, cần tìm vận tốc của chúng nên gọi vận tốc của xe đạp là x km/h thuận lợi hơn. Vì đã biết quang đường nên các em chỉ cịn tìm thời gian theo cơng thức: t= S . Đi cùng quãng đường, xe máy xuất phát v sau lại đến sớm hơn vì vậy ta cĩ: txe đạp= txe máy + tđi sau + tvề sớm S(km) v(km/h) t(h) 50 Xe đạp 50 x x 50 20 5x Xe máy 50 2,5x = 5x x 2 2 Lời giải: Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x km/h (x>0) 5x Vận tốc người đi xe máy là: km/h 2 50 Thời gian người đi xe đạp đi là: h x 20 Thời gian người đi xe máy đi là: h x Do xe máy đi sau 1h30' và đến sớm hơn 1h nên ta cĩ phương trình: 50 20 3 1 x x 2 Giải phương trình ta được x = 12 (tmđk) Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h. 6. Chuyển động một phần quãng đường:
39. - Học sinh cần nhớ: +, tdự định = tđi +tnghỉ + tvề sớm +,tdự định = tthực tế - tđến muộn +,tchuyển động trước -tchuyển động sau = tđi sau ( tđến sớm) x x 2x 2x - Chú ý cho các em nếu gọi cả quãng đường là x thì một phần quãng đường là , , , 2 3 3 4 Bài tốn 9: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đĩ vì xe hỏng nên người đĩ chờ ơ tơ mất 20 phút và đi ơ tơ với vận tốc 36km/h do vậy người đĩ đến sớm hơn dự định 1h40'. Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh? S(km) v(km/h) t(h) x S x 12 AB 12 1 x x 12 3 SAB 3 36 1 Nghỉ 20' = h 3 2 2x x 36 3 SAB 3 52 5 Sớm 1h40' h 3 Phân tích bài tốn: 1 2 Đây là dạng tốn chuyển động , quãng đường của chuyển động, cĩ thay đổi vận tốc và đến sớm, cĩ 3 3 nghỉ. Bài yêu cầu tính quãng đường AB thì gọi ngay quãng đường AB là x km (x>0). Chuyển động của người đi xê đạp sảy ra mấy trường hợp sau:
40. 1 + Lúc đầu đi quãng đường bằng xe đạp. 3 + Sau đĩ xe đạp hỏng, chờ ơ tơ (đây là thời gian nghỉ) 2 + Tiếp đĩ người đĩ lại đi ơ tơ ở quãng đường sau. 3 + Vì thế đến sớm hơn so với dự định. - Học sinh cần điền thời gian dự định đi, thời gian thực đi hai quãng đường bằng xe đạp, ơ tơ, đổi thời gian nghỉ và đến sớm ra giờ. - Cơng thức lập phương trình: tdự định = tđi + tnghỉ + tđến sớm . - Phương trình là: x x x 1 5 12 36 52 3 3 1 Đáp số: 55 Km. 17 Bài tốn 10: 1 Một người dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được quãng đường với vận tốc 3 đĩ, vì đường khĩ đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên quãng đường cịn lại. Do đĩ ơ tơ đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB? S(km) v(km/h) t(h) SAB x 50 x tdự định 50 2 2x 50 x tthực tế 3 SAB 3 75 1 x 40 x 3 SAB 3 120
41. Muộn 1 t 30'= h muộn 2 Bài tốn này hướng dẫn học sinh tương tự như bài 21, chỉ khác là chuyển động đến muộn so với dự định. Giáo viên cần lấy ví dụ thực tế để các em thấy: tdự định = tthực tế - tđến muộn Phương trình là: x x x 1 50 75 120 2 Đáp số: 300 Km. Bài tốn 11: Một người đi xe đạp với vận tốc 15km/h. Sau đĩ một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h. Nếu khơng cĩ gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe đạp ở B.Nhưng sau khi đi được 1 quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h. Nên hai người gặp nhau tại điểm C cách B 2 10 km. Tính quãng đường AB? Phân tích bài tốn: 1 Bài tập này thuộc dạng chuyển động, quãng đường của hai chuyển động cùng chiều gặp nhau. Đây là 2 dạng bài khĩ cần kẻ thêm nhiều đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu hơn. Sau khi đã chọn quãng đường AB là x(km), chú ý học sinh: + Xe máy cĩ thời gian đi sau và thời gian thực đi. + Xe đạp thay đổi vận tốc trên hai nửa quãng đường nên cĩ hai giá trị về thời gian. + Thời gian xe đạp đi sớm hơn thời gian xe máy. Từ đĩ hướng dẫn học sinh lập phương trình: txe đạp - txe máy = tđi sau S(km) v (km/h) t(h) x S x Xe máy: 30 Xe máy: AB 30
42. x Xe đạp: 15 Xe đạp: 15 x x x 15 30 30 Xe máy x 10 x - 10 30 30 x x 15 2 30 Xe đạp x x 20 10 12 2 24 Phương trình là: x x 20 x 10 x 30 24 30 30 Đáp số: 60 km. Bài tốn 12: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đã đi 3 được quãng đường AB, xe con tăng thêm vận tốc 5km/h trên quãng đường cịn lại. 4 Tính quãng đường AB? Biết rằng : xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút. Phân tích bài tốn: 3 Bài tốn này tương tự như bài tốn trên, nhưng hai xe cùng xuất phát một lúc. Chỉ lưu ý: xe con đi quãng 4 1 đường đầu với vận tốc 45kn/h, đi quãng đường sau với vận tốc 50km/h và xe con đến tỉnh B sớm hơn 4 xe tải 1giờ 20 phút. Quãng đường Vận tốc Thời gian
43. x 30 x Xe tải 30 3 45 x x 4 60 Xe con 1 50 x x 4 200 Từ đĩ hướng dẫn học sinh lập phương trình: txe tải - txe con = tđến sớm Nếu gọi quãng đường AB là xkm (x>0), thì phương trình là: x x x 1 2 30 60 200 3 Đáp số: 200 Km BÀI TẬP Bài 1. Một xe vận tải đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, rồi từ B quay ngay về A với vận tốc 40 km/h. Cả đi và về mất một thời gian là 5 giờ 24 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B. ĐS: 120km . Bài 2. Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h. Sau đĩ 3 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 50 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp? ĐS: 2 giờ. Bài 3. Một người đi xe gắn máy, đi từ địa điểm A đến địa điểm B trên một quãng đường dài 35km . Lúc trở về người đĩ đi theo con đường khác dài 42km với vận tốc kém hơn vận tốc lượt đi là 6 km/h. Thời gian lượt 3 về bằng thời gian lượt đi. Tìm vận tốc lượt đi và lượt về. 2 ĐS: Vận tốc lượt đi là 30 km/h; vận tốc lượt về là 24 km/h. Bài 4. Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường cịn lại giảm cịn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B. ĐS: 80km .
44. Bài 5. Lúc 6 giờ 15 phút, một ơ tơ đi từ A để đên B với vận tốc 70 km/h. Khi đến B, ơ tơ nghỉ 1 giờ rưỡi, rồi quay về A với vận tốc 60 km/h và đến A lúc 11 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB. ĐS: 105 km. Bài 6. Hàng ngày Tuấn đi xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h. Sáng nay do dậy muộn, Tuấn xuất phát chậm 2 phút. Tuấn nhẩm tính, để đến trường đúng giờ như hơm trước thì Tuấn phải đi với vận tốc 15 km/h. Tính quãng đường từ nhà Tuấn đến trường. ĐS: 2 km. Bài 7. Một người đi xe máy từ thành phố Thanh Hố và thành phố Vinh. Nếu chạy với vận tốc 25 km/h thì sẽ muộn so với dự định là 2 giờ. Nếu chạy với vận tốc 30 km/h và giữa đường nghỉ 1 giờ thì cũng muộn mất 2 giờ. Hỏi để đến nơi đúng giờ mà dọc đường khơng nghỉ thì xe phải chạy mỗi giờ bao nhiêu kilơmet? ĐS: 37,5 km. Bài 8. Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc để đi từ Huế và Đà Nẵng. Vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60 km/h. Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa giờ rồi quay lại Huế thì gặp xe thứ nhất ở cách Đà Nẵng 10 km. Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng. ĐS: 110 km. Bài 9. Quãng đường AD dài 9 km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dốc. Một người đi bộ từ A đến D rồi quay trở về A hết tất cả 3 giờ 41 phút. Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc của người đĩ là 4 km/h, lúc xuống dốc là 6 km/h và lúc đi trên đường nằm ngang là 5 km/h. ĐS: 4 km. Bài 10. Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đĩ một thời gian, một xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 60 km/h và nếu khơng cĩ gì thay đổi thì đuổi kịp xe tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc lên 75 km/h, nên sau đĩ 1 giờ thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB. ĐS: 450 km. Bài 11. Một đị máy xuơi dịng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dịng từ B về A mất 5 giờ. Vận tốc của dịng nước là 2 km/h. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B. ĐS: 80km . Bài 12. Một ca nơ xuơi dịng từ A đến B mất 5 giờ và ngược dịng từ B đến A mất 6 giờ. Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dịng nước là 2 km/h. ĐS: 120 km.
45. Bài 13. Hai bến sơng A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nơ xuơi dịng từ bến A, cĩ một chiếc bè trơi từ bến A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, ca nơ trở về bêbs A ngay và gặp bè khi bè đã trơi được 8 km. Tính vận tốc của ca nơ. ĐS: 27 km/h. Bài 14. Một chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B hết 5 giờ, từ bến B đến bến A hết 7 giờ. Hỏi một đám béo trơi theo dịng sơng từ A đến B hết bao lâu? ĐS: 35 giờ. VẤN ĐỀ V. Loại cĩ nội dung hình học • Hình chữ nhật cĩ hai kích thước a, b. Diện tích: S ab ; Chu vi: P 2(a b) 1 • Tam giác vuơng cĩ hai cạnh gĩc vuơng a, b. Diện tích: S ab 2 VD : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m. Chiều dài hơn chiều rộng 11 m. Tính diện tích khu vườn. Giải : Gọi x là chiều dài của khu vườn (x > 0, m). Chiều rộng của khu vườn: x – 11. Chu vi của khu vườn là 82m nên ta có phương trình: 2.[x +( x -11)] = 82 4x-22=82 4x = 104 x = 26 Vậy chiều dài của khu vườn: 26 m, chiều rộng 15m. Diện tích: 26*15 = 390 m2 BÀI TẬP Bài 1. Chu vi một khu vườn hình chữ nhật bằng 60m , hiệu độ dài của chiều dài và chiều rộng là 20m . Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật. ĐS: 5m;25m .
46. Bài 2. Một thửa đất hình chữ nhật cĩ chu vi là 56m . Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài 4m thì diện tích tăng thêm 8m2 . Tìm chiều rộng và chiều dài thửa đất. ĐS: 12m;16m . Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chiều dài bằng 3 lần chiều rộng. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích khu vườn tăng thêm 385m2 . Tính độ dài các cạnh của khu vườn. ĐS: 18m;54m . Bài 4. Hiệu số đo chu vi của hai hình vuơng là 32m và hiệu số đo diện tích của chúng là 464m2 . Tìm số đo các cạnh của mỗi hình vuơng. ĐS: cạnh hình vuơng nhỏ là 25m ; cạnh hình vuơng lớn là 33m . 1 Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi là 450m . Nếu giàm chiều dài đi chiều dài cũ và tăng chiều 5 1 rộng thêm chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật khơng đổi. Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn. 4 ĐS: 100m;125m . Bài 6. Một khu đất hình chữ nhật cĩ chiều dài hơn chiều rộng là 10m. Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm đi 3m thì diện tích mới tăng hơn diện tích cũ là 12m2 . Tính các kích thước của khu đất. ĐS: 20m, 30m. BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III Bài 1. Giải các phương trình sau: 2(x 4) 3 2x 1 x a) 6x2 5x 3 2x 3x(3 2x) b) x 4 10 5 2x 3x 5 3(2x 1) 7 6x 5 10x 3 2x 1 c) d) 2x 3 4 2 6 2 4 2 e) (x 4)(x 4) 2(3x 2) (x 4)2 f) (x 1)3 (x 1)3 6(x2 x 1) 3 17 1 2 ĐS: a) x b) x 5 c) x d) x e) x 14 f) x 2 19 2 3 Bài 2. Giải các phương trình sau:
47. a) (4x 3)(2x 1) (x 3)(4x 3) b) 25x2 9 (5x 3)(2x 1) c) (3x 4)2 4(x 1)2 0 d) x4 2x3 3x2 8x 4 0 e) (x 2)(x 2)(x2 10) 72 f) 2x3 7x2 7x 2 0 3  3 4 2  ĐS: a) S ; 2 b) S ;  c) S ;6 d) S 1; 2;2 4  5 3 5  1 e) S 4;4 f) S 2; 1;  2 Bài 3. Giải các phương trình sau: x 2 x 4 x 6 x 8 x 2 2x 45 3x 8 4x 69 a) b) 98 96 94 92 13 15 37 9 ĐS: a) x 100 b) x 15 Bài 4. Giải các phương trình sau: 2 3 4 2x 18 2x 5 a) b) 2x 1 2x 1 4x2 1 x 1 x2 2x 3 x 3 1 2x2 5 4 c) x 1 x3 1 x2 x 1 9 ĐS: a) x b) x 1 c) x 0 2 Bài 5. Thương của hai số bằng 3. Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị và giảm số chia đi một nửa thì số thứ nhất thu được lớn hơn số thứ hai thu được là 30. Tìm hai số ban đầu. ĐS: 24 và 8. Bài 6. Chu vi của một hình chữ nhật bằng 140 m, hiệu giữa số đo chiều dài và chiều rộng là 10 m. Tìm số đo các cạnh của hình chữ nhật. ĐS: 30 m và 40 m. Bài 7. Thùng thứ nhất đựng 40 lít dầu, thùng thứ hai đựng 85 lít dầu. Ở thùng thứ hai lấy ra một lượng dầu gấp 3 lần lượng dầu lấy ra ở thùng thứ nhất. Sau đĩ lượng dầu cịn lại trong thùng thứ nhất gấp đơi lượng dầu cịn lại trong thùng thứ hai. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu? ĐS: 26 lít và 78 lít.
48. Bài 8. Chu vi bánh xe lớn của một đầu máy xe lửa là 5,6 m và của bánh xe nhỏ là 2,4 m. Khi xe chạy từ ga A đến ga B thì bánh nhỏ đã lăn nhiều hơn bánh lớn là 4000 vịng. Tính quãng đường AB. ĐS: 16800 m. Bài 9. Hai vịi nước cùng chảy trong 12 giờ thì đầy một hồ nước. Cho hai vịi cùng chảy trong 8 giờ rồi khố vịi thứ nhất lại và cho vịi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đơi thì phải mất 3 giờ 30 phút nữa mới đầy hồ. Hỏi mỗi vịi chảy một mình với lưu lượng ban đầu thì phải mất bao lâu mới đầy hồ. ĐS: Vịi thứ nhất chảy trong 28 giờ, vịi thứ hai chảy trong 21 giờ. Bài 10. Một ơ tơ đi quãng đường dài 60 km trong một thời gian đã định. Ơ tơ đi nửa quãng đường đầu với vận tốc hơn dự định là 10 km/h và đi nửa quãng đường cịn lại với vận tốc thấp hơn dự định là 6 km/h nhưng ơ tơ đã đến đúng thời gian đã định. Tính thời gian ơ tơ đã dự định đi quãng đường trên. ĐS: 2 giờ. Bài 11. Một xe ơ tơ đi từ Hà Nội về Thanh Hố. Sau khi đi được 43 km thì dừng lại 40 phút. Để về đến Thanh Hố đúng giờ đã định nĩ phải đi với vận tốc bằng 1,2 lần vận tốc trước đĩ. Tính vận tốc lúc đầu, biết rằng quãng đường Hà Nội - Thanh Hố dài 163 km. ĐS: 30 km. Bài 12. Hai người đi bộ cùng khởi hành từ A để đến B. Người thứ nhất đi nửa thời gian đầu với vận tốc 5 km/h, nửa thời gian sau với vận tốc 4 km/h. Người thứ hai đi nửa quãng đường đầu với vận tốc 4 km/h và nửa quãng đường sau với vận tốc 5 km/h. Hỏi người nào đến B trước? ĐS: Người thứ nhất đến trước. MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ I I/ TRẮC NGHIỆM: (3 điểm) Hãy khoanh trịn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn? 1 A. 2 0 B. 0 x 5 0 C. 2x2 + 3 = 0 D. –x = 1 x Câu 2: Phương trình 2x – 4 = 0 tương đương với phương trình: A. 2x + 4 = 0 B. x – 2 = 0 C. x = 4 D. 2 – 4x = 0
49. x 2 Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình 5 là: x(x 2) A. x 0 B. x 0; x 2 C. x 0; x -2 D. x - 2 Câu 4: Phương trình bậc nhất 3x – 1 = 0 cĩ hệ a, b là: A. a = 3; b = - 1 B. a = 3 ; b = 0 C. a = 3; b = 1 D. a = -1; b = 3 Câu 5: Tập nghiệm của phương trình (x2 + 1)(x – 2) = 0 là: A. S = 1;1;2 B. S = 2 C. S = 1;2 D. S =  Câu 6: Phương trình –x + b = 0 cĩ một nghiệm x = 1, thì b bằng: A. 1 B. 0 C. – 1 D. 2 II. TỰ LUẬN: (7 điểm) Bài 1: (4 điểm). Giải các phương trình sau: x 3 x2 1/ 4x - 12 = 0 2/ x(x+1) - (x+2)(x - 3) = 7 3/ = x 1 x2 1 Bài 2: (2 điểm). Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Đến B người đĩ nghỉ 15 phút rồi quay về A với vận tốc 40km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 2 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB. x 3 x 2 x 2012 x 2011 Bài 3: (1 điểm). Giải phương trình : 2011 2012 2 3 ĐÁP ÁN I/ TRẮC NGHIỆM: (3 điểm) 1 2 3 4 5 6 D B C A B A (Mỗi câu đúng ghi 0,5 điểm) II/ TỰ LUẬN: (7 điểm)
50. Giải các phương trình 0,5 1/ 4x - 12 = 0 0,5 4x = 12 x = 3 0,5 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 3 2/ x(x+1) - (x+2)(x - 3) = 7 0,5 x2 + x – x2 + 3x – 2x + 6 = 7 0,5 2x = 1 1 x = 2 0,5 Bài 1 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  2 x 3 x2 3/ (ĐKXĐ : x 1 ) x 1 x2 1 0,25 Qui đồng và khử mẫu phương trình ta được: (x – 3)(x – 1) = x2 x2 4x 3 x2 0,25 3 x 4 4 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  3 0,25 1 5 15phút=(h) ; 2 giờ 30 phút = (h) 4 2 Bài 2 Gọi x là quãng đường AB (x>0) 0,25 x Thời gian đi : (h) 50 0,25
51. x Thời gian về : (h) 40 0,25 Theo đề bài ta cĩ phương trình : x x 1 5 50 40 4 2 0,5 Giải phương trình ta được : x = 50 0,5 ĐVậy quãng đường AB là 50 km. 0,25 x 3 x 2 x 2012 x 2011 Giải phương trình : 2011 2012 2 3 x 3 x 2 x 2012 x 2011 1 1 1 1 2011 2012 2 3 0,25đ x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 2011 2012 2 3 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 0 2011 2012 2 3 1 1 1 1 0,25đ x 2014 0 2011 2012 2 3 Bài 3 1 1 1 1 x – 2014 = 0 vì 0 2011 2012 2 3 x = 2014 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2014 0,25đ 0,25đ
52. ĐỀ II ĐỀ BÀI Bài 1: (2 điểm) a) Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? 0x+7= 0 ; 2x - 8 = 0 ; 9x2 = 2 b) Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai phương trình sau cĩ tương đương nhau hay khơng? Vì sao? x x 4 Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình: x 1 x 1 a) Tìm điều kiện xác định của phương trình trên b) Giải phương trình trên. Bài 3: (3 điểm) Giải các phương trình sau: a) 4x + 20 = 0 b) 2x – 3 = 3(x – 1) + x + 2 c) (3x – 2)(4x + 5) = 0 Bài 4: (2 điểm) Một ơtơ đi từ A đến B với vận tốc 45km/h và quay từ B về A với vận tốc 40km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian đi hÕt ít hơn thời gian về là 1giờ 30 phút. x 3 x 2 x 2016 x 2015 Bài 5: (1 điểm) Giải phương trình: 2015 2016 2 3 ĐÁP ÁN Bài Nội dung Điểm a) Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình 2x -8 = 0 1đ b) Hai phương trình tương đương là hai phương trình cĩ cùng tập nghiệm 1 0,5đ Hai PT đã cho tương đương với nhau vì chúng cĩ cùng tập nghiệm 0,5đ S = {-2/3} 2 a) ĐKXĐ: : x ≠ 1 và x ≠ -1. 1đ
53. b) Quy đồng và khử mẫu ta được PT: 0,25đ x(x + 1) = (x – 1)(x +4) 0,25đ x2 +x = x2 +4x– x -4 0,25đ x - 4x +x = -4 -2x = -4 x = 2(thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25đ Vậy PT cĩ tập nghiệm S = {2} a) 4x + 20 = 0 0,5đ 4x 20 0,25đ x 5 0,25đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S 5 b) 2x – 3 = 3(x – 1) + x + 2 2x - 3 = 3x - 3 + x + 2 0,25 đ 2x -3x - x = -3 + 2 + 3 0,25 đ 2x 2 x 1 3 0,25 đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S 1 0,25 đ c) (3x – 2)(4x + 5) = 0 0,25 đ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 0,25 đ • 3x – 2 = 0 => x = 3/2 • 4x + 5 = 0 => x = - 5/4 0,25 đ 5 3 0,25 đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S ;  4 2 3 1 giờ 30 phút = h. Gọi x(km) là quãng đường AB (x>0) 0,25đ 4 2
54. x x 0,5đ Thời gian đi : (h) . Thời gian về : (h) 45 40 x x 3 Theo đề bài ta cĩ phương trình : 40 45 2 0,25đ Giải phương trình ta được : x = 540 (thỏa mãn ĐK) 0,75đ Vậy quãng đường AB là 540 km. 0,25đ x 3 x 2 x 2016 x 2015 0,5đ 2015 2016 2 3 x 2018 x 2018 x 2018 x 2018 2012 2013 2 3 5 0,25đ 1 1 1 1 x 2018 0 x 2015 . 2015 2016 2 3 0,25đ Vậy PT cĩ tập nghiệm S = {2015} ĐỀ III Bài 1: (1,5đ) Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai phương trình sau cĩ tương đương nhau hay khơng? Vì sao? 3x + 2 = 0 và 15x + 10 = 0 Bài 2: (5đ) Giải các phương trình sau: a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) b) 2x(x – 3) + 5(3 – x) = 0 2 x -5 3x -5 c) - = -1 d) 2x2 – 5x + 3 = 0 x - 2 x -1 Bài 3: (2,5 đ) Một ơtơ đi từ A đến B với vận tốc 45km/h và quay từ B về A với vận tốc 40km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian đi hÕt ít hơn thời gian về là 1giờ 30 phút. x 3 x 2 x 2013 x 2012 Bài 4: (1đ) Giải phương trình: a) 2012 2013 2 3 b) x2 + 2x + y2 – 4y + 5 = 0 ĐÁP ÁN
55. Bài Nội dung Điểm Hai phương trình tương đương là hai phương trình cĩ cùng tập nghiệm 1đ 1 Hai PT đã cho tương đương với nhau vì chúng cĩ cùng tập nghiệm 1đ S = {-2/3} a) PT 5 – x + 6 = 12 – 8x -x + 8x = 12 – 5 – 6 x = 1/7 1đ Vậy PT cĩ tập nghiệm S = {1/7} b) PT (x – 3)(2x – 5) = 0 x = 3 hoặc x = 5/2. 1đ Vậy PT cĩ tập nghiệm S = {3; 5/2} c) ĐKXĐ: x ≠ 1 ; x ≠ 2. 2 Quy đồng và khử mẫu ta được PT: (2x – 5)(x – 1) – (3x – 5)(x – 2) = (x – 1)(x – 2) 1đ 2x2 – 7x + 5 – 3x2 + 13x – 10 = x2 – 3x + 2 9x = 7 x = 7/9 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT cĩ tập nghiệm S = {7/9} d) PT (x – 1)(2x – 3) = 0 x = 1 hoặc x = 3/2 1đ 3 1 giờ 30 phút = h. Gọi x(km) là quãng đường AB (x>0) 0,25đ 2 x x Thời gian đi : (h) . Thời gian về : (h) 45 40 0,75đ 3 x x 3 Theo đề bài ta cĩ phương trình : 40 45 2 1đ Giải phương trình ta được : x = 540 (thỏa mãn ĐK) 0,25đ Vậy quãng đường AB là 540 km. 0,25đ x 3 x 2 x 2013 x 2012 4 a) 0,5đ 2012 2013 2 3
56. x 2015 x 2015 x 2015 x 2015 2012 2013 2 3 1 1 1 1 x 2015 0 x 2015 . Vậy PT cĩ tập nghiệm S = 2012 2013 2 3 {2015} b) PT (x + 1)2 + (y – 2)2 = 0 x = 1 ; y = 2 1đ ĐỀ IV Bài 1: (0, 5đ) Cho ví dụ về hai phương trình tương đương? Bài 2: (2,5đ) Giải các phương trình sau: a/ 4x + 20 = 0 b/ 2x – 3 = 3(x – 1) + x + 2 x x 4 Bài 3: (1 đ) Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: x 1 x 1 Bài 4: (2đ)Giải các phương trình sau: a/ (3x – 2)(4x + 5) = 0 b/ 2x(x – 3) – 5(x – 3) = 0 Bài 5: (1,5đ) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 100, nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ 2. Bài 6: (1,5đ) Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài 5m tăng chiều rộng 3m thì diện tích giảm 40 m2. Tính các kích thước ban đầu của khu vườn. Bài 7: (1đ) Giải phương trình: 1 1 1 1 x 1 x 2 x 2 x 1 ĐÁP ÁN Bài 1: - Lấy ví dụ đúng 0,5 đ
57. Bài 2: (2,5đ) a/ 4x + 20 = 0 0,5 đ 4x 20 0,25 đ x 5 0,25 đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S 5 0,25 đ b/ 2x – 3 = 3(x – 1) + x + 2 0,25 đ 2x - 3 = 3x - 3 + x + 2 2x -3x - x = -3 + 2 + 3 0,25 đ 2x 2 0,25 đ x 1 0,25 đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S 1 0,25 đ Bài 3: Phương trình đã cho xác định khi và chỉ khi x 1 0 và x 1 0 0,25 đ * x 1 0 x 1 0,25 đ * x 1 0 x 1 0,25 đ Vậy phương trình đã cho xác định khi x 1 0,25 đ Bài 4: a/ (3x – 2)(4x + 5) = 0 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 0,25 đ • 3x – 2 = 0 => x = 3/2 0,25 đ • 4x + 5 = 0 => x = - 5/4 0,25 đ 5 3 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S ;  4 2 0,25 đ b/ 2x(x – 3) – 5(x – 3) = 0 => (x – 3)(2x -5) = 0 => x – 3 = 0 hoặc 2x – 5 = 0 0,25 đ
58. * x – 3 = 0 => x = 3 0,25 đ * 2x – 5 = 0 => x = 5/2 5  0,25 đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S ;3 2  0,25 đ Bài 5: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng 0.25đ - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương trình đúng 0.5 đ - Giải đúng phương trình 0,5 đ - Kết luận đúng 0,25đ Bài 5: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng 0.25đ - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương trình đúng 0.5 đ - Giải đúng phương trình 0,5 đ - Kết luận đúng 0,25đ Bài 7: - Quy đồng khử mẫu đúng 0.25 đ - Giải đúng phương trình 0.5đ - So sánh kết quả với điều kiện xác định và kết luận đúng 0.25 đ Ghi chú: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. ĐỀ V Bài 1: (0,5đ) Cho ví dụ về hai phương trình tương đương?
59. Bài 2: (2,5đ) Giải các phương trình sau: a/ 5x – 25 = 0 b/ 3 – 2x = 3(x + 1) – x – 2 2 1 Bài 3: (1đ) Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: 1 x 1 x 2 Bài 4: (2đ) Giải các phương trình sau: a/ (3x + 2)(4x – 5) = 0 b/ 2x(x + 3) + 5(x + 3) = 0 Bài 5: (1,5đ) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 100, nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ 2. Bài 6: (1,5đ) Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài 3m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích khu vườn giảm 16 m2. Tính các kích thước lúc đầu của khu vườn . Bài 7: (1đ) Giải phương trình: 1 1 1 1 x 1 x 2 x 2 x 1 ĐÁP ÁN Bài 1: - Lấy ví dụ đúng 0,5 đ Bài 2: (2,25đ) a/ 5x – 25 = 0 4x 25 0,5 đ x 5 0,25 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S 5 đ b/ 3 – 2x = 3(x + 1) – x – 2 0,25 đ
60. 3 2x 3x 3 x 2 0,25 2x 3x x 3 2 3 đ 4x 2 1 0,25 x 2 đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S 1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 3: Phương trình đã cho xác định khi và chỉ khi x 1 0 và x 1 0 0,25 đ * x 1 0 x 1 0,25 * x 2 0 x 2 đ Vậy phương trình đã cho xác định khi x 1 và x 2 0,25 đ 0,25 đ Bài 4: a/ (3x + 2)(4x – 5) = 0 3x + 2 = 0 hoặc 4x – 5 = 0 0,25 đ • 3x + 2 = 0 => x = –3/2 • 4x – 5 = 0 => x = 5/4 0,25 3 5 đ Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S ;  2 4 0,25 b/ 2x(x +3) + 5(x + 3) = 0 đ
61. => (x + 3)(2x +5) = 0 0,25 đ => x + 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 * x + 3 = 0 => x = –3 * 2x + 5 = 0 => x = –5/2 0,25 5 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S 3;  2 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 5: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng 0.25đ - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương 0.5 đ trình đúng 0,5 đ - Giải đúng phương trình 0,25đ - Kết luận đúng Bài 5: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng 0.25đ - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương trình đúng 0.5 đ - Giải đúng phương trình 0,5 đ
62. - Kết luận đúng 0,25đ Bài 7: - Quy đồng khử mẫu đúng 0.25 đ - Giải đúng phương trình 0.5đ - So sánh kết quả với điều kiện xác định và kết luận đúng 0.25 đ
63. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ 1 Bài 1: (2 điểm): Hãy chọn câu trả lời đúng: 1. Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất 1 ẩn là: 2 1 A. - 3 = 0; B. x + 2 = 0 ; C. x + y = 0 ; D. 0x + 1 = 0 x 2 2. Giá trị x = - 4 là nghiệm của phương trình: A. -2,5x + 1 = 11; B. -2,5x = -10; C. 3x – 8 = 0; D. 3x – 1 = x + 7 1 3. Tập nghiệm của phương trình (x + )(x – 2 ) = 0 là: 3 1 1  1  A. S =  ; B. S = 2 ; C. S = ; 2 ; D. S = ;2 3  3  3  x x 1 4. Điều kiện xác định của phương trình 0 là: 2x 1 3 x 1 1 1 A. x hoặc x 3 ; B. x ; C. x và x 3 ; D. x 3 ; 2 2 2 Bài 2: (4,5 điểm ) .Giải các phương trình sau 2 2x 10 2 3x 1 2x 5 4 5 15 x 1 1 a) ; b) 3 2 ; c) 2 1 12 4 6 x 1 x 1 x x 1 x 3 x 4 x 4 3 x 3 Bài 3: ( 3,5 điểm ) . Giải bài tốn bằng cách lập phương trình . Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h . Đến B người đĩ làm việc trong 3 giờ rồi quay về A với vận tốc 30km/h . Biết thời gian tổng cộng hết 6 giờ 30 phút . Tính quãng đường AB . ĐỀ 2 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3đ) Khoanh trịn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: 1. Trong các cặp phương trình sau, cặp phương trình nào tương đương: A. x = 1 và x(x – 1) = 0 B. x – 2 = 0 và 2x – 4 = 0
64. C. 5x = 0 và 2x – 1 = 0 D. x2 – 4 = 0 và 2x – 2 = 0 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? A. x2 - 2x + 1 B. 3x -7 = 0 C. 0x + 2 = 0 D.(3x+1)(2x-5) = 0 3. Với giá trị nào của m thì phương trình m(x – 3) = 6 cĩ nghiệm x = 5 ? A. m = 2 B. m = – 2 C. m = 3 D. m = – 3 4. Giá trị x = 0 là nghiệm của phương trình nào sau đây: A. 2x + 5 +x = 0 B. 2x – 1 = 0 C. 3x – 2x = 0 D. 2x2 – 7x + 1 = 0 5. Phương trình x2 – 1 = 0 cĩ tập nghiệm là: A. S =  B. S = {– 1} C. S = {1} D. S = {– 1; 1} x 2 5 6. Điều kiện xác định của phương trình 1 là: x x 3 A. x ≠ 0 B. x ≠ – 3 C. x ≠ 0; x ≠ 3 D. x ≠ 0; x ≠ – 3 II. PHẦN TỰ LUẬN (7đ) Câu 1 (4 đ) Giải các phương trình sau: 2x 3 1 x 1 3 5 a. 2 b. 3x – 6 + x = 9 – x c. 4 6 2x 3 x(2x 3) x Câu 2 ( 3đ) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đĩ làm việc trong 1 giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB. ĐỀ 3 A. Trắc nghiệm: (4 điểm) Khoanh trịn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.
65. Câu 1:(NB) Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 2x5 – 5x2 + 3 = 0 ? A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 Câu 2(TH) Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 2x – 6 = 0 A. x = 3 B. x = -3 C. x = 2 D. x = -2 Câu 3: (NB) Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn. A. x2 + 2x + 1 = 0 B. 2x + y = 0 C. 3x – 5 = 0 D. 0x + 2 = 0 1 Câu 4:(TH) Nhân hai vế của phương trình x 1 với 2 ta được phương trình nào sau 2 đây? A. x = 2 B. x = 1 C. x = -1 D. x = -2 Câu 5:(VD) Phương trình 3x – 6 = 0 cĩ nghiệm duy nhất A. x = 2 B. x = -2 C. x = 3 D. x = -3 x 2 Câu 6: (NB)Điều kiện xác định của phương trình 4 là: x 5 A. x 2 B. x 5 C. x -2 D. x -5 Câu 7: (NB)Để giải phương trình (x – 2)(2x + 4) = 0 ta giải các phương trình nào sau đây? A. x + 2 = 0 và 2x + 4 = 0 B. x + 2 = 0 và 2x – 4 = 0 C. x = 2 = 0 và 2x – 4 = 0 D. x – 2 = 0 và 2x + 4 = 0 Câu 8:(TH) Tập nghiệm của phương trình 2x – 7 = 5 – 4x là A. S 2 B. S 1 C. S 2 D. S 1 B. Tự luận: (6 điểm) Câu 9: (3,75 đ) Giải các phương trình sau đây 2x x2 x 8 a/ 5x + 10 = 3x + 4 ; b/ x(x – 2) – 3x + 6 = 0 ; c/ x 1 (x 1)(x 4)
66. Câu 10: (2,25đ) Giải bài tốn sau đây bằng cách lập phương trình Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 180km đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe đi từ A cĩ vận tốc lớn hơn xe đi từ B 10 km/h. ĐỀ 4 Bài 1: (3 điểm) 1. Thế nào là phương trình tương đương ? 2. Xét các cặp phương trình sau cĩ tương đương với nhau khơng ? Giải thích a) x2 – 9 = 0 (1) và (x – 3)(4x + 12 ) = 0 (2). 1 1 b) 2x – 10 = 0 (3) và x + 5 (4) x 5 x 5 Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau 2x 10 2 3x a) 5 4 6 b) (x – 3 )(3 – 4x) + (x2 – 6x + 9 ) = 0 c) + = x 15 d) + + + + = 15 17 Bài 3: (3 điểm) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình . Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h . Đến B người đĩ làm việc trong 3 giờ rồi quay về A với vận tốc 30km/h . Biết thời gian tổng cộng hết 6 giờ 30 phút . Tính quãng đường AB . ĐỀ 5 A. Trắc nghiệm: (2 điểm) Hãy chọn câu trả lời đúng: 1. Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất 1 ẩn là:
67. 2 A. 3y + 1 = 0 ; B. 1 0 ; C. 3x2 – 1 = 0; D. x + y = 0 x 2. Phương trình 2x + 4 = 0 tương đương với phương trình: A. 6x + 4 = 0 ; B. 2x – 4 = 0; C. 4x + 8 = 0; D. 4x – 8 = 0 3. Phương trình 7 + 2x = 22 – x cĩ tập nghiệm là: 1 A. S = 3 ; B. S =  ; C. S = 3 ; D. S = 5 3 x 3 x 2 4. Điều kiện xác định của phương trình 0 là: x 3 x 2 9 A. x 3; B. x 9; C. x 3 hoặc x -3; D. x 3 và x -3 B. Tự luận: (8 điểm) Câu 1: (3 điểm): Giải phương trình: 10x 3 6 8x a) 1 12 9 b) 2x3 – 5x2 + 3x = 0 x x 2x c) 0 2x 6 2x 2 (x 1)(x 3) Câu 2: (3 điểm): Bạn Sơn đi xe đạp từ nhà đến thành phố Hà Nội với vận tốc trung bình là 15 km/h. Lúc về Sơn đi với vận tốc trung bình là 12 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 22 phút. Tính độ dài quãng đường từ nhà bạn Sơn đến thành phố Hà Nội Câu 3: (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5 .
68. CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. BẤT ĐẲNG THỨC 1. Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 2. Tính chất Điều kiện Nội dung a 0 a bc (2b) a 0, c > 0 a 0 a > b (6a) a b 3. Một số bất đẳng thức thơng dụng ab b (6b) a) a2 0, a . Dấu "=" xảy ra a = 0a. b a2 b2 2ab . Dấu "=" xảy ra a = b. b) Bất đẳng thức Cơ–si: a b Với a, b 0, ta cĩ: ab . Dấu "=" xảy 2 ra a = b. Hệ quả: – Nếu x, y > 0 cĩ S = x + y khơng đổi thì P = xy lớn nhất x = y. – Nếu x, y > 0 cĩ P = x y khơng đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
69. Điều kiện Nội dung x 0, x x, x x x a a x a a > 0 x a x a x a d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác a b a b a b Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta cĩ: + a, b, c > 0. + a b c a b ; b c a b c ; c a b c a . 4. Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh một BĐT là lập luận để khẳng định tính đúng đắn của BĐT đĩ. Để chứng minh một BĐT ta thường sử dụng: – Tính chất của quan hệ thứ tự các số. – Tính chất của bất đẳng thức. – Một số BĐT thơng dụng. VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản • Để chứng minh một BĐT ta cĩ thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. • Một số BĐT thường dùng: + A2 0 + A2 B2 0 + A.B 0 với A, B 0. + A2 B2 2AB Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đĩ ta cĩ thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. 1. So sánh hai số thực
70. ▪ Cho hai số thực bất kỳ a , b bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau : ➢ a b ; “ a nhỏ hơn b ” ➢ a b ; “ a bằng b ” ➢ a b . “ a lớn hơn b ”. Hệ quả : ▪ “ a khơng nhỏ hơn b ” thì “ a lớn hơn b ” hoặc “ a bằng b ” ký hiệu : a b . ▪ “ a khơng lớn hơn b ” thì “ a nhỏ hơn b ” hoặc “ a bằng b ”, ký hiệu : a b . ▪ Cho số thực bất kỳ a bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau : ➢ a 0 : ta gọi a là số thực âm; ➢ a 0 : ta gọi a là số thực khơng; ➢ a 0 : ta gọi a là số thực dương. 2. Định nghĩa : Ta gọi hệ thức a b ( hay a b , a b , a b ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. Tính chất : a b a c ( tính chất bắc cầu ) b c a b a b a b Tương tự : a c a c a c b c b c b c a b a c b c Khi ta cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Tương tự : a b a c b c a b a c b c a b a c b c a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
71. a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 Tương tự : a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 Ghi nhớ ▪ Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số 0. ▪ Bất cứ số âm nào cũng nhỏ hơn số 0. ▪ Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số âm. ▪ Trong hai số dương số nào cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đĩ lớn hơn. ▪ Trong hai số âm số nào cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đĩ nhỏ hơn. ▪ Trong hai phân số cĩ cùng mẫu dương, phân số nào cĩ tử lớn hơn thì phân số đĩ lớn hơn. ▪ Với mọi số thực a bao giờ ta cũng cĩ : a2 0 “ bình phương của một số thực bao giờ cũng là một số khơng âm ”. Ví dụ 1 : Cho m bất kỳ, chứng minh : a) m 3 m 4 b) 2m 5 2m 1 c) 7 3m 3 3 m Bài giải a) Vì 3 4 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số m bất kỳ ” Ta được m 3 m 4 . b) Vì 5 1 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2m bất kỳ ” Ta được 2m 5 2m 1 . c) Vì 7 9 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 3m bất kỳ ” Ta được 7 3m 9 3m 7 3m 3 3 m . Ví dụ 2 : Cho a b 0 chứng minh 1) a2 ab 2) ab b2 3) a2 b2 Bài giải 1) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số a 0 ” a.a ab a2 ab , (1). 2) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số b 0 ”
72. a.b b.b ab b2 , (2). 3) Từ (1) và (2) ta cĩ a2 b2 . Ví dụ 3 : Cho x y hãy so sánh : x y a) 2x 1 và 2y 1 b) 2 3x và 2 3y c) 5 và 5 3 3 Bài giải a) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ” 2x 2y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ” 2x 1 2y 1 . b) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm 3 ” 3x 3y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2 ” 2 3x 2 3y . 1 c) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương ” 3 x y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ” 3 3 x y 5 5 . 3 3 Ví dụ 4 : Cho a b chứng minh : a) 2a 3 2b 3 b) 2a 5 2b 8 c) 7 3a 3 3 b Bài giải a) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ” 2a 2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : 3 ” 2a 3 2b 3 2a 3 2b 3 .
73. b) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ” 2a 2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : 5 ” 2a 5 2b 5 2a 5 2b 5 Vì 5 8 nên 2b 5 2b 8 , theo tính chất bắc cầu ta cĩ 2a 5 2b 8 . c) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm : 3 ” 3a 3b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ” 7 3a 7 3b Vì 7 9 nên 7 3b 9 3b theo tính chất bắc cầu ta cĩ 7 3a 3 3 b . Ví dụ 5 : So sánh hai số x , y nếu : a) 3x 5 3y 5 b) 7 4x 7 4y Bài giải a) 3x 5 3y 5 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ” 1 3x 5 5 3y 5 5 3x 3y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương ” 3 1 1 .3x .3y x y . 3 3 b) 7 4x 7 7 4y 7 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ” 1 4x 4y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm ” 4 1 1 . 4 x . 4 y x y . 4 4 Ví dụ 6 : Cho a, b bất kỳ, chứng minh : a2 b2 1) a2 b2 2ab 0 2) ab 3) a2 b2 ab 0 . 2 Bài giải
74. 2 1) Với a, b bất kỳ ta cĩ a b 0 a2 b2 2ab 0 . a2 b2 2) a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab ab . 2 2 2 2 2 2 2 2 b b 2 b b 3b 3) a b ab 0 a 2.a. b 0 a 0 . 2 2 2 2 4 BÀI TẬP Bài 1. Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 1 ab a b c) a2 b2 c2 3 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) a2 e) a4 b4 c2 1 2a(ab2 a c 1) f) b2 c2 ab ac 2bc 4 g) a2(1 b2 ) b2(1 c2 ) c2(1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d2 e2 a(b c d e) HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0 d) (a b c)2 0 2 2 2 2 2 2 a e) (a b ) (a c) (a 1) 0 f) (b c) 0 2 g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 0 2 2 2 2 a a a a h) b c d e 0 2 2 2 2 Bài 2. Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 3 a b a2 b2 a3 b3 a b a) ab b) ; với a, b 0 2 2 2 2 c) a4 b4 a3b ab3 d) a4 3 4a
75. a6 b6 e) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > 0. f) a4 b4 ; với a, b 0. b2 a2 1 1 2 g) ; với ab 1. h) (a5 b5)(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > 0. 1 a2 1 b2 1 ab 2 2 a b (a b)2 a2 b2 a b (a b)2 HD: a) ab 0 ; 0 2 4 2 2 4 3 b) (a b)(a b)2 0 c) (a3 b3)(a b) 0 d) (a 1)2(a2 2a 3) 0 8 e) Chú ý: a3 b3 (a b)3 3a2b 3ab2 . 2 2 2 BĐT (a b c) a b c (ab bc ca) 0 . (b a)2(ab 1) f) (a2 b2 )2(a4 a2b2 b4 ) 0 g) 0 (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) h) ab(a b)(a3 b3) 0 . Bài 3. Cho a, b, c, d R. Chứng minh rằng a2 b2 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a4 b4 c4 d4 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d2 4) 256abcd HD: a) a4 b4 2a2b2; c2 d2 2c2d2 ; a2b2 c2d2 2abcd b) a2 1 2 a ; b2 1 2 b ; c2 1 2 c c) a2 4 4 a ;b2 4 4 b ;c2 4 4 c ;d2 4 4 d a a a c Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu 1 thì (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng b b b c thức sau: a b c a b c d a) 1 2 b) 1 2 a b b c c a a b c b c d c d a d a b a b b c c d d a c) 2 3 a b c b c d c d a d a b
76. HD: BĐT (1) (a – b)c 0. a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
77. 1 1 1 b) 1; với a, b, c > 0 và abc = 1. a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 1 1 1 c) 1; với a, b, c > 0 và abc = 1. a b 1 b c 1 c a 1 HD: (1) (a2 b2 )(a b) 0 . 1 1 a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) . a3 b3 abc ab(a b c) Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b, c) Sử dụng a). Bài 7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 <2(ab bc ca) b) abc (a b c)(b c a)(a c b) c) 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c4 0 d) a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2 a3 b3 c3 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta cĩ: a b c a2 b2 2bc c2 . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b) Ta cĩ: a2 a2 (b c)2 a2 (a b c)(a b c) . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. c) (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 0 . d) (a b c)(b c a)(c a b) 0 . Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 a) ; ; cũng là độ dài các cạnh của một tam giác khác. a b b c c a 1 1 1 1 1 1 b) . a b c b c a c a b a b c
78. HD: a) Sử dụng tính chất phân số và BĐT các cạnh trong tam giác. 1 1 1 1 2 1 Ta cĩ: > a b b c a b c a b c c a c a c a Tương tự, chứng minh các BĐT cịn lại. 1 1 4 b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > 0 ta cĩ: . x y x y 1 1 4 2 Ta cĩ: . a b c b c a (a b c) (b c a) b Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội Dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. • Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 u2 un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak 1 Khi đĩ: S = a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 • Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 un ak Ta biến đổi các số hạng uk về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak 1 a a a a Khi đĩ: P = 1 . 2 n 1 a2 a3 an 1 an 1 Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1, ta cĩ: 1 1 1 1 3 1 1 1 a) b) 1 2 n 1 1 2 n 1 n 2 n n 4 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 c) 1 2 d) 1 22 32 n2 1.2 2.3 3.4 (n 1).n
79. 1 1 1 HD: a) Ta cĩ: , với k = 1, 2, 3, , n –1. n k n n 2n 1 2 2 b) Ta cĩ: 2 k 1 k , với k = 1, 2, 3, , n. k 2 k k k 1 1 1 1 1 c) Ta cĩ: , với k = 2, 3, , n. k 2 k k 1 k 1 k 1 1 1 d) Ta cĩ: , với k = 2, 3, , n. (k 1).n k 1 k VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cơ–si 1. Bất đẳng thức Cơ–si: a b + Với a, b 0, ta cĩ: ab . Dấu "=" xảy 2 ra a = b. cm Vì a 0 , b 0 nên tồn tại a , b và a b R thế thì : 2 2 2 a b a b 0 a 2 a b b 0 a b 2 ab ab . 2
80. 2. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > 0 cĩ S = x + y khơng đổi thì P = xy lớn nhất x = y. + Nếu x, y > 0 cĩ P = x y khơng đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y. Bài 1. Cho a, b, c 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a b)(b c)(c a) 8abc bc ca ab b) a b c ; với a, b, c > 0. a b c ab bc ca a b c c) ; với a, b, c > 0. a b b c c a 2 a b c 3 d) ; với a, b, c > 0. b c c a a b 2 HD: a) a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca đpcm. bc ca abc2 ca ab a2bc ab bc ab2c b) 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm a b ab b c bc c a ac ab ab ab bc bc ca ca c) Vì a b 2 ab nên . Tương tự: ; . a b 2 ab 2 b c 2 c a 2 ab bc ca ab bc ca a b c (vì ab bc ca a b c ) a b b c c a 2 2 a b c d) VT = 1 1 1 3 b c c a a b 1 1 1 1 9 3 = (a b) (b c) (c a) 3 3 . 2 b c c a a b 2 2 • Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. 1 x y z x z y 1 3 Khi đĩ, VT = 3 (2 2 2 3) . 2 y x x z y z 2 2
81. Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3 3 3 1 1 1 2 a) (a b c ) (a b c) a b c b) 3(a3 b3 c3) (a b c)(a2 b2 c2 ) c) 9(a3 b3 c3) (a b c)3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 HD: a) VT = a2 b2 c2 . b a c b a c a3 b3 Chú ý: 2 a2b2 2ab . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. b a b) 2(a3 b3 c3) a2b b2a b2c bc2 c2a ca2 . Chú ý: a3 b3 ab(a b) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. c) Áp dụng b) ta cĩ: 9(a3 b3 c3) 3(a b c)(a2 b2 c2 ) . Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm. 1 1 4 Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a b a b 1 1 1 1 1 1 a) 2 ; với a, b, c > 0. a b c a b b c c a 1 1 1 1 1 1 b) 2 ; với a, b, c > 0. a b b c c a 2a b c a 2b c a b 2c 1 1 1 1 1 1 c) Cho a, b, c > 0 thoả 4 . Chứng minh: 1 a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab bc ca a b c d) ; với a, b, c > 0. a b b c c a 2 2xy 8yz 4xz e) Cho x, y, z > 0 thoả x 2y 4z 12 . Chứng minh: 6 . x 2y 2y 4z 4z x f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 . p a p b p c a b c
82. 1 1 HD: (1) (a b) 4 . Hiển nhiển suy từ BĐT Cơ–si. a b 1 1 4 1 1 4 1 1 4 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: ; ; . a b a b b c b c c a c a Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a). 1 1 1 1 1 1 c) Áp dụng a) và b) ta được: 4 . a b c 2a b c a 2b c a b 2c 1 1 1 1 ab 1 d) Theo (1): (a b) . a b 4 a b a b 4 Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12 đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. 1 1 4 4 Áp dụng (1) ta được: . p a p b (p a) (p b) c Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. 1 1 1 9 Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a b c a b c 2 2 2 1 1 1 3 a) (a b c ) (a b c) . a b b c c a 2 x y z b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = . x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1. Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1 P = . a2 2bc b2 2ac c2 2ab 1 1 1 1 d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1. Chứng minh: 30 . a2 b2 c2 ab bc ca
83. 1 1 1 HD: Ta cĩ: (1) (a b c) 9. Dễ dàng suy từ BĐT Cơ–si. a b c 1 1 1 9 a) Áp dụng (1) ta được: . a b b c c a 2(a b c) 9(a2 b2 c2 ) 3 3(a2 b2 c2 ) 3 VT . (a b c) 2(a b c) 2 a b c 2 Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ). b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: x 1 1 y 1 1 z 1 1 1 1 1 P = = 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 9 9 3 Ta cĩ: . Suy ra: P 3 . x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 4 4 Chú ý: Bài tốn trên cĩ thể tổng quát như sau: Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN của x y z biểu thức: P = . kx 1 ky 1 kz 1 9 9 c) Ta cĩ: P 9 . a2 2bc b2 2ca c2 2ab (a b c)2 1 9 d) VT a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 1 7 = a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 9 7 9 7 30 (a b c)2 ab bc ca 1 1 3 1 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 . 3 3 Bài 5. Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
84. x 18 x 2 a) y ; x 0 . b) y ; x 1. 2 x 2 x 1 3x 1 x 5 1 c) y ; x 1. d) y ; x 2 x 1 3 2x 1 2 x 5 x3 1 e) y ; 0 x 1 f) y ; x 0 1 x x x2 x2 4x 4 2 g) y ; x 0 h) y x2 ; x 0 x x3 3 HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = khi x = 3 2 3 6 30 1 30 1 c) Miny = 6 khi x = 1 d) Miny = khi x = 2 3 3 2 5 5 3 e) Miny = 2 5 5 khi x f) Miny = khi x = 3 2 4 3 4 5 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = khi x = 5 3 5 27 Bài 6. Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y (x 3)(5 x); 3 x 5 b) y x(6 x); 0 x 6 5 5 c) y (x 3)(5 2x); 3 x d) y (2x 5)(5 x); x 5 2 2 1 5 x e) y (6x 3)(5 2x); x f) y ; x 0 2 2 x2 2 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 121 1 625 5 c) Maxy = khi x = d) Maxy = khi x = 8 4 8 4 1 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = khi x = 2 ( 2 x2 2 2x ) 2 2
85. II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1. Định nghĩa Bất phương trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0,ax b 0,ax b 0 ), trong đĩ a, b là hai số đã cho, a 0, đgl bất phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Hai qui tắc biến đổi bất phương trình • Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đĩ. • Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đĩ dương. – Đổi chiều bất phương trình nếu số đĩ âm. Ví dụ 1 : Trong các số 1, 0, 1, 2, 3 số nào là nghiệm của mỗi bất phương trình sau : a) 3x 2 0 b) 4 3y 2y 1 c) t 2 0 d) 5 2m 3m 2 Bài giải a) x 1 3 1 2 0 1 0 bất đẳng thức sai nên x 1 khơng thể là nghiệm của bất phương trình 3x 2 0 . x 0 3.0 2 0 2 0 bất đẳng thức đúng nên x 0 là nghiệm của bất phương trình 3x 2 0 . Tương tự x 1 , x 2 , x 3 là nghiệm của bất phương trình 3x 2 0 . b) y 1 4 3. 1 2. 1 1 7 1 bất đẳng thức sai nên y 1 khơng thể là nghiệm của bất phương trình 4 3y 2y 1 . y 0 4 3.0 bất2.0 đẳng 1 thức4 1sai nên khơng thể lày nghiệm0 của bất phương trình 4 3y 2y 1.
86. y 1 4 3.1 bất2.1 đẳng1 thức1 3 đúng nên là nghiệm ycủa 1 bất phương trình 4 3y 2y 1 .Tương tự y 2 , y 3 là nghiệm của bất ph trình 4 3y 2y 1 . c) t 1 1 2 0 3 0 bất đẳng thức sai nên t 1 khơng thể là nghiệm của bất phương trình t 2 0. t 0 0 2 0 2 0 bất đẳng thức sai nên t 0 khơng thể là nghiệm của bất phương trình t 2 0 . t 1 1 2 0 1 0 bất đẳng thức sai nên t 1 khơng thể là nghiệm của bất phương trình t 2 0 . t 2 2 2 0 0 0 bất đẳng thức đúng nên t 2 là nghiệm của bất phương trình t 2 0 . Ví dụ 2 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nĩ trên trục số. a) 2x 4 0 b) 4 3x 0 c) 2x 3 2 3x d) 7x 3 8x 5 Bài giải a) 2x 4 0 “ chuyển 4 từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành 4” 2x 4 “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 2 ” x 2 ////////////////////////////// b) 9 3x 0 “chuyển từ3 xvế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành ”3x 3x 9 “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 3 ” x 3  ]//////////////////////// c) 2x 3 2 3x 2x 3x 2 3 5x 5 x 1 . d) 7x 3 8x 5 8x 7x 3 5 x 8 . Ví dụ 3 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nĩ trên trục số. a) 2 x 1 3x 2 x 3 1 x b) 2 2x 3 3x 3 x 2 2 1 x 1 2x x 1 x c) x 1 x 2 d) x 3 3 2 6 Bài giải
87. a) 2 x 1 3x 2 x 3 1 x 2x 2 3x 2 x 3 3x 4 x 4x 3 7 4x x 4 3 5x 7 x . 5  ////////////////////////// b) 2 2x 3 3x 3 x 2 2 1 x 4x 6 3x 3x 6 2 2x x 6 x 4 vơ nghiệm với mọi x . 1 7 c) x 1 x 2 x 1 3 x 2 x 1 3x 6 3x x 1 6 2x 7 x 3 2  ////////////// 2x x 1 x d) x 2.2 x 3 x 1 x 6 x 4x 3x 3 5x x 5x 3 3 2 6 3 1 6x 3 x x : ///////////////////////////////// 6 2 BÀI TẬP Bài 1. Giải các bất phương trình sau: a) 3(2x 3) 4(2 x) 13 b) 6x 1 (3x+9) 8x 7 (2x 1) c) 8x 17 3(2x 3) 10(x 2) d) 17(x 5) 41x 15(x 4) 1 e) 4(2 3x) (5 x) 11 x f) 2(3 x) 1,5(x 4) 3 x 4 3 83 4 18 ĐS: a) x 3 b) x c) x d) x e) x f) x 3 2 73 5 5 Bài 2. Giải các bất phương trình sau: 2x 1 x 6 5(x 1) 2(x 1) a) b) 1 3 2 6 3 3(x 1) x 1 3x 5 x 2 c) 2 3 d) 1 x 8 4 2 3
88. 1 2 1 1 3 x x x 2 2x 5 22 7x 5 2x 5x 2 e) 4 5 3 3 5 f) x 3 5 2 6 4 3 4 9 14 5 ĐS: a) x 20 b) x 15 c) x d) x 5 e) x f) x 5 19 2 Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) (2x 3)(2x 1) 4x(x 2) b) 5(x 1) x(7 x) x2 (2x 1)2 (3 x)2 c) (x 1)2 (x 3)2 x2 (x 1)2 d) 8 2 (x 2)2 3(x 1)2 x2 1 x(1,5x 1) (2 x)2 5x e) f) 2 5 10 2 6 4 2 3 5 9 7 3 ĐS: a) x b) x c) x d) x e) x f) x 2 4 2 10 4 7 Bài 4. Giải các bất phương trình sau: 8x 2x 1 1 a) 8x 3 5 3 b) 2x 3x 5 2 5 x 5 x 1 x 3 5x x x c) 1 d) x 3 6 3 2 6 3 6 x 7 2x x 7 e) 15 5 3 15 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vơ nghiệm e) vơ nghiệm Bài 5. Với những giá trị nào của x thì: a) Giá trị của biểu thức 7 3(x 1) khơng nhỏ hơn giá trị của biểu thức 2(x 3) 4 . x 2 b) Giá trị của biểu thức x 1 lớn hơn giá trị của biểu thức x 3 . 3 c) Giá trị của biểu thức (x 1)2 4 khơng lớn hơn giá trị của biểu thức (x 3)2 . 3 1 1 x 2 x d) Giá trị của biểu thức x 2 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4 2. 4 3
89. 14 3 ĐS: a) x b) x 2 c) x d) x 2 . 5 2 Bài 6. Giải các bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6 a) b) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6 c) d) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 ĐS: a) x 15 b) x 100 Bài 7. a) Một số cĩ hai chữ số cĩ chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Tìm số đĩ biết rằng nĩ lớn hơn 21 nhưng nhỏ hơn 36. b) Tìm số nguyên nằm trong khoảng từ 300 đến 400, biết số đĩ chia cho 3, 4, 5 đều cĩ số dư là 1. c) Tìm số nguyên nằm trong khoảng từ 500 đến 600, biết số đĩ chia cho 5, 8, 10 cĩ các số dư lần lượt là 2, 5, 7. ĐS: a) 31 b) 301 ( x 1 chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x 3 chia hết cho 5, 8, 10) III. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối a khi a 0 a a khi a 0 2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối C C 1 A 0 A 0 2 B 0 B 0 • Dạng A B hay hay A B A B A B A B • Dạng A B A B hay A B • Dạng phương trình cĩ chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
90. – Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ. – Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nĩi trên cĩ dấu xác định. – Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đĩ. – Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho. Ví dụ 1 : Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức a) A 3x 2 4x nếu x 0 hoặc x 0 b) B 5x 3x 12 nếu x 0 hoặc x 0 c) C x 3 x 5 nếu x 7 d) D 2x 3 2 x nếu x 2 hoặc x 2 . Bài giải a) x 0 4 x 0 4x 4. x A 3x 2 4x 3x 2 4x 2 x x 0 4x 0 4x 4x .A 3x 2 4x 3x 2 4x 7x 2 b) x 0 5x 0 5 x 5x 5x B 5x 3x 12 5 .x 3x 12 2x 12 x 0 5x 0 5 x 5x B 5x 3x 12 5x 3x 1 .2 12 8x c) x 7 x 7 0 x 3 0 B x 3 x 5 x 3 x 5 2x 8 . d) x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x x 1 x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x 3x 5 Ví dụ 2 : Giải phương trình a) 3x 2 4x 0 b) 5x 3x 12 3 c) x 3 x 5 x 2 d) 2x 3 2 x 3 x 1
91. Bài giải a) Với x 0 4 x 0 4x 4 x 3x 2 4x 0 3x 2 4x 0 2 x 0 x 2 giá trị này thỏa mãn điều kiện x 0 nên x 2 là nghiệm của phương trình. Với x 0 4x 0 4x 4x 3 x 2 4x 0 3x 2 4x 0 7x 2 0 2 2 x giá trị này thỏa mãn điều kiện x 0 nên x là nghiệm của phương trình. 7 7 2 Vậy S 2,  . 7  b) Với x 0 5x 0 5 x 5x 5x 5x 3x 12 3 5x 3x 12 0 2x 12 giáx trị này6 khơng thỏa mãn điều kiện nên xnĩ khơng0 là nghiệm. Với x 0 5x 0 5 x 5x 5x 3x 1 2 3 5x 3x 12 0 8x 12 12 3 x giá trị này khơng thỏa mãn điều kiện x 0 nên nĩ khơng là nghiệm. 8 2 Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. c) Với x 3 0 x 3 . x 3 x 5 x 2 x 3 x 5 x 2 2x 8 x 2 x 6 giá trị này thỏa mãn điều kiện x 3 nên nĩ là nghiệm của phương trình. Với x 3 0 x 3 . x 3 x 5 x 2 x 3 x 5 x 2 2 x 2 x 0 giá trị này thỏa mãn điều kiện x 3 nên nĩ là nghiệm của phương trình. Vậy S 0,6 . d) Với 2 x 0 x 2 . 2x 3 2 x 3 x 1 2x 3 2 x 3 x 1 x 1 3x 3 2x 4
92. x 2 giá trị này khơng thỏa mãn điều kiện x 2 nên nĩ khơng là nghiệm. Với 2 x 0 x 2 . 2x 3 2 x 3 x 1 2x 3 2 x 3 x 1 3x 5 3x 3 0.x 8 Phương trình này vơ nghiệm nên phương trình đã cho vơ nghiệm. Ví dụ 3 : Giải phương trình a) 2x 2 x 5 b) x 3 2x 5 c) x 2 x 1 3x 7 d) x 2 x 1 3x 2 Bài giải a) x 0 4 x 0 4x 4. x A 3x 2 4x 3x 2 4x 2 x x 0 4x 0 4x 4x .A 3x 2 4x 3x 2 4x 7x 2 b) x 0 5x 0 5 x 5x 5x B 5x 3x 12 5 .x 3x 12 2x 12 x 0 5x 0 5 x 5x B 5x 3x 12 5x 3x 1 .2 12 8x c) x 7 x 7 0 x 3 0 B x 3 x 5 x 3 x 5 2x 8 . d) x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x x 1 x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x 3x 5 BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 4x x 2 b) 2 x 2 3x c) 2x 3 5x 6 1 5x x 2 x 1 1 x 3 d) 2x 6x 7 x 8 e) 6 5x f) 3 2 3 4 6
93. 2 2 9 19  1 ĐS: a) S ;  b) S 0 c) S  d) S  e) S  f) S  5 3 7 20 8 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x2 2x x b) 2x2 5x 3 2x2 2 c) x2 4x 5 x2 1 d) 3x2 7x 2 x2 5x 6 1 ĐS: a) S 0;1;3 b) S 1;  c) S 3;1 d) S 2 4 Bài 3. Giải các phương trình sau: 3x 6 x2 6x 8 x 6 a) x 2 b) 2x 8 c) 2 1 2x x 3 x2 36 x2 4x 3 2x2 7x 4 x2 5x 4 d) x 3 e) 4 x f) x 4 5x2 7x 2 2x 1 x2 3x 2 4  13 3  ĐS: a) S 2 b) S ;4 c) S  d) S ;3 e) S 4 f) S 4 3  2  5  Bài 4. Giải các phương trình sau: a) 2x 1 x 1 b) 2 5x 3x 1 c) 1 4x 7x 2 0 d) 2x2 5x 10 2x2 1 e) x 3 4 6 f) x2 3x x2 1 1 3 1  9 9 1 ĐS: a) S 2;0 b) S ;  c) S ;1 d) S ;1;  e) S 1;5 f) S 1;  8 2 11  4 5 2 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) 2x 1 5x 2 3 b) 2 x x 3 1 0 c) x 2 x 3 1 d) x 1 2 x 1 x e) 2x 3 x x 1 0 f) x 1 x 1 0 1 3 1 ĐS: a) S  b) S 4 c) 2 x 3 d) S ;  e) S  f) S  2 2 2 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV
94. Bài 1. Giải các bất phương trình sau: a) 3x 8 5x+12 b) 4x 15 24 7x c) x 1 7 2x x 1 x 2 x 3 2x 1 x 1 x 2 x 3 d) 1 e) 2x (2x 1) f) x 2 3 4 2 2 3 4 11 1 ĐS: a) x 10 b) x 3 c) x 2 d) x e) x f) x 1 7 2 Bài 2. a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của bất phương trình: 11x 7 8x 2 b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên âm của bất phương trình: x2 2x 8 x2 x 1 x2 x 1 x 1 2 6 3 4 c) Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình: 4(2 3x) (5 x) 11 x d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình: 2(3 x) 1,5(x 4) 3 x ĐS: a) 1;2 b) 3; 2; 1 Bài 3. Giải các bất phương trình sau: x 5 x 15 x 2005 x 1995 1987 x 1988 x 27 x 28 x a) b) 4 2005 1995 5 15 15 16 1999 2000 1 1 1 1 1 1 c) x 1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110 ĐS: a) x 2010 . Trừ 2 vế cho 2 b) x 1972 . Trừ 2 vế cho 4 1 1 1 1 1 1 1 1 c) x 10 . Biến đổi , k(100 k) 100 k 100 k k(k 10) 10 k k 10 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x 3 5x 7 b) x 5 2x 9 c) 2x 11 x 8 7 4x 7x2 9x 2 x2 8x 15 d) 4x 7 9 e) 2 7x f) 3x 9 4x 7 5x 4 2x2 9x 5 5 14 3 15 1 2 ĐS: a) S  b) S 4;  c) S 1;19 d) S ;  e) S ;  f) S 3 3 3  4 4  2 7
95. Bài 5. Giải các phương trình sau: a) CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1. Tỉ số của hai đoạn thẳng Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. • Tỉ số của hai đoạn thẳng khơng phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo. 2. Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB và CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B và C D nếu cĩ tỉ lệ thức: AB A B AB CD hay CD C D A B C D 3. Định lí Ta-lét trong tam giác Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì nĩ định ra trên hai cạnh đĩ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.