›
›
›

Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn

docx 26 trang Hoài Anh 20/05/2022 5212
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_cuong_on_thi_mon_toan_lop_9_chuong_2_duong_tron.docx

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn

  1. Chương 2: Đường tròn Chương 2 ĐƯỜNG TRÒN Bài 1 Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn. Tóm tắt lý thuyết 1. 1 Định nghĩa đường tròn Định nghĩa . Đường tròn tâm O bán kính R (với R 0 ) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng không đổi bằng R . Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là (O; R) , ta cũng có thể kí hiệulà (O) khi không cần chú ý đến bán kính. Nhận xét. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M . Khi đó  M nằm trên (O; R) khi và chỉ khi OM R .  M nằm bên trong (O; R) khi và chỉ khi OM R .  M nằm bên ngoài (O; R) khi và chỉ khi OM R . 1.2 Cách xác định đường tròn 1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó. 2. Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó. 3. Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. 1.3 Tính chất đối xứng của đường tròn Tính chất 2. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. Tính chất 3. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. 1
  2. Chương 2: Đường tròn ! Đường tròn có một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng. Các ví dụ  Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tai A. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay Lời giải Gọi M là trung điểm của BC . BC Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM . 2 BC Suy ra MA MB MC . 2 BC Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là điểm M và bán kính R . 2  Ví dụ 2. Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông. Lời giải Xét tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn O đường kính BC . Ta có OA OB OC (vì là bán kính của O ) . BC Lúc đó OA là trung tuyến ứng với cạnh BC và AO . 2 Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A. ! Đường tròn qua ba đỉnh của một tam giác vuông thì nó có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng phân nửa độ dài cạnh huyền. Ngược lại, một đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác nhận một canh của tam giác đó là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.  Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Tính bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh 2
  3. Chương 2: Đường tròn của tam giác ABC . Lời giải Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Dựng các đường trung trực của các cạnh AB, BC, AC , các đường trung trực này đồng quy tại O , suy ra O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC . Bán kính của O là R OA OB OC . Vì tam giác ABC là tam giác đều nên các đường trung trực này cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC . Suy ra O cũng là trọng tâm của tam giác ABC . 2 2 2 2 a a 3 Trong tam giác ABM vuông tại M ta có AM AB BM a . 2 2 2 2 a 3 a 3 Lại có OA AM  . 3 3 2 3 a 3 Vậy bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC là R . 3 Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay  Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 12cm, BC 5 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B,C,D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD.Khi đó O là trung điểm của AC, BD. Mà ABCD là hình chữ nhật nên AC BD . Do đó OA OB OC OD hay bốn điểm A, B,C,D cùng thuộc một AC đường tròn (O) , bán kính R OA . 2 AC Tam giác ABC vuông tại B nên AC AB2 BC 2 122 52 13 . Suy ra R 6,5 cm . 2 Vậy bốn điểm A, B,C,D cùng thuộc một đường tròn (O) bán kính R 6,5 cm ! Đường tròn qua bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính của nó bằng một nửa độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó.  Ví dụ 5. Cho (O) với hai đường kính AC và DB vuông góc với nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông. Lời giải 3
  4. Chương 2: Đường tròn Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và DB là đường kính của đường tròn (O) nên ABCD là hình chữ nhật. Lại có AC  BD . Vậy ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau nên ABCD là hình vuông.  Ví dụ 6. Cho hình thang cân ABCD với AB // CD và AB CD . Chứng minh rằng bốn điểm A, B,C,D cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Do ABCD là hình thang cân với hai đáy AB,CD nên MN là đường trung trực của AB,CD. Gọi P là trung điểm của BC. Qua P dựng đường trung trực của BC cắt MN tại O . Ta cần chứng minh OA OB OC OD. Thật vậy, vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA OB . Mà MN cũng là trung trực của CD nên OC OD . Hơn nữa, O nằm trên đường trung trực của BC nên OB OC . Từ đó suy ra OA OB OC OD . Vậy bốn điểm A, B,C,D cùng thuộc một đường tròn (O) bán kính R OA. Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay  Ví dụ 7. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A 1; 1 , B 1; 2 , C 2; 2 đối với đường tròn tâm O bán kính 2. Lời giải OA là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng 1nên OA 12 12 2 2, suy ra A nằm bên trong O;2 .  OB là cạnh huyền trong tam giác vuông có hai cạnh là1 ; 2 nên OB 12 22 5 2, suy ra B nằm bên ngoài O;2 . OC là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng 2 2 2 nênOC 2 2 2, suy ra C nằm trên O;2 . 4
  5. Chương 2: Đường tròn  Ví dụ 8. Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax . Dựng đường O đi qua hai điểm B và C sao cho tâm nằm trên tia Ay . Lời giải Giả sử đã dựng được (O) thỏa mãn đề bài. Khi đó OB OC bằng bán kính, nên O nằm trên đường trung trực d của BC. Lại có O thuộc Ay nên O là giao điểm của d và Ay. Cách dựng: Dựng đường trung trực d của BC cắt Ay tại O . Dựng đường tròn tâm O bán kính OB thì đó là đường tròn phải dựng (như hình vẽ).  Ví dụ 9. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó. Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay Lời giải. Cách 1. Trên đường tròn của tấm bìa lấy ba điểm A , B , C không trùng A nhau. Nối A với B và B với C . Dựng các đường trung trực của AB và BC chúng cắt nhau tại O , khi đó O O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC hay O là tâm của tấm bìa hình tròn. B C Cách 2. Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là A một đường kính. D Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai. O Giao điểm của hai đường kính này là tâm của tấm bìa hình tròn. C B  Ví dụ 10. Cho tứ giác ABCD có Cµ + Dµ = 90°. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BD , DC , CA . Chứng minh rằng bốn điểm M , N , P , Q cùng thuộc một đường tròn. Lời giải 5
  6. Chương 2: Đường tròn Gọi I là giao điểm của AD và BC . I Vì Cµ + Dµ = 90° nên D· IC = 90° . 1 2 B M Do M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , A 1 2 BD , DC và CA nên MN , NP , PQ , QM lần Q lượt là đường trung bình của tam giác ABD , BCD , N ACD , ABC . Suy ra MN // AD , PQ // AD , MQ // BC , NP // BC D P C do đó MN // PQ , NP // MQ . Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành. M¶ Iµ 1 1 · ¶ ¶ µ µ Lại có: (góc đồng vị). Khi đó NMQ M1 M 2 I1 I2 90 . ¶ µ M 2 I2 Do đó MNPQ là hình chữ nhật. Theo ví dụ 4 thì bốn điểm M , N , P , Q cùng thuộc một đường tròn. Luyện tập  Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A , BC 12cm , chiều cao AH 4cm . Tính bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC . Lời giải Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường A trung trực của đoạn BC . M B C Qua truing điểm M của AB kẻ đường trung trực của AB cắt H đường thẳng AH tại O . Khi đó O là tâm của đường tròn đi qua O ba đỉnh của tam giác ABC . Bán kính của đường tròn (O) là R = OA = OB . 2 2 2 2 2 æBC ö 2 Tam giác BOH vuông tại H nên BO = BH + OH Û BO = ç ÷ + (OA- AH ) èç 2 ø÷ Û R2 = 36+ (R- 4)2 Û 8R = 52 Û R = 6,5 . Vậy bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC bằng 6,5 cm . Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay 6
  7. Chương 2: Đường tròn  Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O). Đường cao AH cắt (O)ở D . Biết BC 24 cm , AC 20 cm . Tính chiều cao AH và bán kính đường tròn (O). Lời giải Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường trung A trực của đoạn BC , suy ra H là trung điểm của đoạn BC và tâm O của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường cao AH . O Tam giác ACH vuông tại H nên B H C AH AC 2 CH 2 202 122 16 cm D Vì AD là đường kính của đường tròn O nên tam giác ACD vuông tại C . Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ACD ta có AC 2 202 AC 2 = AD.AH Û AD = Þ AD = = 25 (cm). AH 16 AD 25 Vậy AH 16 cm và bán kính đường tròn (O) là R = = cm . 2 2  Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (với AD // BC ) có AB = 12 cm , AC = 16 cm , BC 20 cm . Chứng minh rằng A , B , C , D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AD , BC nên A D AB = CD = 12 cm và BD = AC = 16 cm . Gọi O là trung điểm của BC . Xét tam giác ABC có: B O C AB2 + AC 2 = 122 + 162 = 400ïü ýï Þ ABC vuông tại A . 2 2 ï BC = 20 = 400 þï Do tam giác ABC vuông tại A nên ba đỉnh của tam giác ABC cùng thuộc đường tròn O . Tương tự ta cũng có tam giác BCD vuông tại D nên ba đỉnh của tam giác BCD cùng thuộc đường tròn O . BC Vậy bốn điểm A , B , C , D cùng thuộc đường tròn O có bán kính R 10 cm . 2  Bài 4. Cho đường tròn O đường kính AB , M , N thuộc O sao cho AM BN và M , N nằm trên hai nửa đường tròn khác nhau. Chứng minh MN là đường kính của O . Lời giải 7
  8. Chương 2: Đường tròn Vì M , N thuộc O đường tròn đường kính AB nên tam giác ABM , M ABN là các tam giác vuông lần lượt tại M , N . ABM vuông tại M và ABN vuông tại N có cạnh huyền AB A B chung và AM BN nên ABM ABN , suy ra BM AN . O Tứ giác AMBN có AM BN và BM AN nên AMBN là hình bình hành. N Lại có ·AMB 90 nên tứ giác AMBN là hình chữ nhật. Do đó MN là đường kính của đường tròn O . Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay KURp2eh3SOP?usp=sharing  Bài 5. Cho tứ giác ABCD có Bµ = Dµ = 90° . 1. Chứng minh bốn điểm A , B , C , D cùng thuộc một đường tròn. 2. Nếu AC BD thì tứ giác ABCD là hình gì? Lời giải 1. Gọi O là trung điểm của AC . B Vì tam giác ABC vuông tại B nên ba đỉnh A , B , C cùng thuộc đường tròn O . A C O Vì tam giác ADC vuông tại D nên ba đỉnh A , D , C cùng thuộc đường tròn O . D Vậy bốn điểm A , B , C , D cùng thuộc đường tròn O có B đường kính AC . 2. Nếu BD AC thì BD là đường kính của đường tròn O , suy A C ra B· AD = 90° . O Khi đó tứ giác ABCD có µA = Bµ = Dµ = 90° nên ABCD là hình chữ nhật. D  Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD , vẽ tam giác AEC vuông tại E . Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Lời giải 8
  9. Chương 2: Đường tròn Gọi O là trung điểm của AC . Vì tam giác ABC vuông tại B nên ba điểm A, B, C cùng thuộc E đường tròn O đường kính AC . D C Vì tam giác ADC vuông tại D nên ba điểm A, D, C cùng thuộc đường tròn O đường kính AC . O Vì tam giác AEC vuông tại E nên ba điểm A, E, C cùng thuộc đường tròn O đường kính AC . A B Vậy năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn O đường kính AC .  Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Từ M là điểm bất kì trên cạnh BC kẻ MD  AB , ME  AC . Chứng minh năm điểm A , D , M , H , E cùng nằm trên một đường tròn. Lời giải Vì MD  AB và MC  AB nên MD // AE . A Vì ME  AC và AB  AC nên ME // AD . Từ hai điều trên suy ra ADME là hình bình hành. D Mà D· AE = 90° nên ADME là hình chữ nhật, suy ra bốn O E điểm A , D , M , E thuộc đường tròn O đường kính AM (với O là trung điểm của đoạn AM ). Lại có tam giác AHM vuông tại H nên ba điểm A , H , B H M C M thuộc đường tròn O đường kính AM . Vậy năm điểm A , D , M , H , E cùng nằm trên một đường tròn O đường kính AM .  Bài 8. Cho tam giác ABC có AQ , BK , CI là ba đường cao và H là trực tâm. 1. Chứng minh A, B, Q, K cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. 2. Chứng minh A, I, H, K cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. Lời giải 1. Gọi O là trung điểm AB . A Vì tam giác ABQ vuông tại Q nên ba điểm A, B, Q thuộc đường tròn (O) đường kính AB . Vì tam giác ABK vuông tại K nên ba điểm A, B, O' K K thuộc đường tròn (O) đường kính AB . O Từ đó suy ra bốn điểm A, B, Q, K cùng thuộc I đường tròn (O) đường kính AB . H 2. Gọi O¢ là trung điểm AH . Vì tam giác AHI vuông tại I nên ba điểm A, H, B Q C I thuộc đường tròn (O¢) đường kính AH . Vì tam giác AHK vuông tại K nên ba điểm A, H, K thuộc đường tròn (O¢)đường kính AH . Từ đó suy ra bốn điểm A, I, H, K cùng thuộc đường tròn (O¢) đường kính AH . 9
  10. Chương 2: Đường tròn  Bài 9. Cho tam giác đều ABC có AM , BN, CP là ba đường trung tuyến. Chứng minh B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Tam giác ABC là tam giác đều nên ba đường trung tuyến A AM , BN, CP cũng là các đường cao của tam giác ABC . Suy ra các tam giác BPC , BNC là các tam giác vuông. Vì tam giác BPC vuông tại P nên ba điểm B, P, C thuộc P N đường tròn M đường kính BC . Vì tam giác BNC vuông tại N nên ba điểm B, N, C thuộc B C đường tròn M đường kính BC . M Vậy bốn điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn M đường kính BC .  Bài 10. Cho tứ giác ABCD có AC  BD . Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC ,CD , DA . Chứng minh bốn điểm M , N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Gọi I là giao điểm của AC và BD . B · µ µ Do AC  BD nên BIC = I1 + I2 = 90°. Vì M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , M N BC ,CD , DA nên MN , NP , PQ , QM lần lượt là đường 2 1 trung bình của tam giác ABC , BCD , CDA, DAB . I 1 A 2 C Suy ra MN // AC // PQ , MQ // BD // NP . Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành. Q P D ïì µ ¶ ï I1 = N1 Lại có íï (góc so le trong của cặp đường thẳng song song) ï µ ¶ îï I2 = N2 · ¶ ¶ µ µ Khi đó MNP = N1 + N2 = I1 + I2 = 90° . Do đó MNPQ là hình chữ nhật. Vậy bốn điểm M , N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.  Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A . 1. Nêu cách dựng đường tròn O đi qua A và tiếp xúc với BC tại B . 2. Nêu cách dựng đường tròn O đi qua A và tiếp xúc với BC tại C . Lời giải 10
  11. Chương 2: Đường tròn 1. Giả sử đã dựng được đường tròn (O) thỏa mãn đề bài. d' Khi đó OA = OB bằng bán kính, nên O nằm trên đường trung trực d của AB . d A Lại có (O) tiếp xúc với BC tại B nên OB ^ BC , suy ra O nằm trên đường thẳng d¢ đi qua B và vuông góc với BC . O Do đó O là giao điểm của d và d¢. Cách dựng. Dựng đường trung trực d của AB . Dựng đường thẳng d¢ vuông góc với BC tại B . Gọi O là giao B C điểm của d và d¢. Dựng đường tròn tâm O bán kính OA thì đó là đường tròn phải dựng (như hình vẽ). 2. Giả sử đã dựng được đường tròn (O¢) thỏa mãn đề bài. Khi đó O¢A = O¢C bằng bán kính, nên O¢ nằm trên d2 đường trung trực d1 của AC . d1 Lại có O¢ tiếp xúc với BC tại C nên O¢C ^ BC , suy ( ) O' A ra O¢nằm trên đường thẳng d2 đi qua C và vuông góc với BC . Do đó O¢là giao điểm của d1 và d2 . Cách dựng. Dựng đường trung trực của AC . Dựng d1 B C đường thẳng d2 vuông góc với BC tại C . Gọi O¢ là giao điểm của d1 và d2 . Dựng đường tròn tâm O¢ bán kính O¢A thì đó là đường tròn phải dựng (như hình vẽ). Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay XGvKURp2eh3SOP?usp=sharing  Bài 12. Cho năm điểm A, B, C, D, E . Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường tròn. Hỏi qua cả năm điểm A, B, C, D, E có thể vẽ được một đường tròn không? Lời giải Gọi O là đường tròn đi qua đỉnh của tam giác ABC . Với giả thiết: Bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn O1 , suy ra O1  O . Bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn O2 , suy ra O2  O . Vậy cả năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn O .  Bài 13. Cho đường tròn O; R đường kính BC . Điểm A di động trên O , gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB và AC . 1. Chứng minh PQ có độ dài không đổi khi A di động trên O . 2. Tìm quỹ tích trung điểm M của PQ . 11
  12. Chương 2: Đường tròn Lời giải 1. Khi A không trùng với các điểm B, C thì PQ là đường trung A BC bình của tam giác ABC . Do đó PQ R (không đổi). 2 P Q M Khi A  B thì P  B và Q  O nên PQ OB R (không đổi). Khi A  C thì Q  C và P  O nên PQ OC R (không đổi). B O C Vậy PQ có độ dài không đổi (luôn bằng R ) khi A di động trên O . 2. Vì O, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC nên OP, OQ là các đường trung bình của tam giác ABC , suy ra OP // AQ , OQ // AP . Do đó tứ giác APOQ là hình bình hành, nên AO , PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, AO R suy ra M là trung điểm của AO . Khi đó OM (không đổi). 2 2 æ Rö Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn çO; ÷. èç 2 ø÷  Bài 14. Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE . Trên cạnh AC lấy điểm M . Kẻ tia Cx vuông góc với tia BM tại F. Chứng minh rằng năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Gọi O là trung điểm BC . A Vì tam giác BCD vuông tại D nên ba điểm B, C, D cùng thuộc x D đường tròn (O) đường kính BC . E F Vì tam giác BCE vuông tại E nên ba điểm B, C, E cùng thuộc M đường tròn (O) đường kính BC . Vì tam giác BCF vuông tại F nên ba điểm B, C, F cùng thuộc B C O đường tròn (O) đường kính BC . Vậy năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC .  Bài 15. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Lấy M , N thuộc tia BC sao cho MN BC và M nằm giữa B, C . Gọi D là hình chiếu của M lên AC và E là hình chiếu của N lên AB . Chứng minh rằng các điểm A, D, E, H cùng thuộc một đường tròn. Lời giải 12
  13. Chương 2: Đường tròn Gọi K là giao điểm của MD, NE . A Ta thấy HB // MK do cùng vuông góc AC suy ra cặp góc đồng vị H· BC = K· MN . Tương tự H· CB = K· NM . Kết hợp giả thiết BC MN suy ra tam giác BHC MKN . E D Do đó SBHC SMKN , suy ra HK // BC . Mà AH  BC nên AH  HK , suy ra H thuộc đường tròn đường kính AK . H K Vì tam giác ADK vuông tại D nên ba điểm A , D , K thuộc đường tròn đường kính AK . B M C N Vì tam giác AEK vuông tại E nên ba điểm A , E , K thuộc đường tròn đường kính AK . Vậy các điểm A , D , E , H cùng thuộc đường tròn đường kính AK .  Bài 16. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại H . Gọi A2 , B2 , C2 lần lượt thuộc đoạn thẳng AA , BB , CC sao cho S S S S . Chứng minh 1 1 1 A2BC B2CA C2 AB ABC rằng A2 , B2 , C2 , H cùng thuộc một đường tròn. Lời giải A B1 B2 C1 H C2 A2 B P C A1 D Qua B2 , C2 lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với BB1 , CC1 chúng cắt nhau tại P . Dựng hình bình hành ABCD . Vì B2 , C2 lần lượt thuộc BB1, CC1 nên P nằm ở miền trong hình bình hành ABCD . Ta dễ thấy PB2 // CA, PC2 // AB nên S S và S S . 2.1 PCA B2CA PAB C2 AB 13
  14. Chương 2: Đường tròn Nếu P nằm ở miền trong tam giác BCD thì S S S S S vô lý vì trái với giả B2CA C2 AB PCA PAB ABC thiết, vậy P nằm ở miền trong tam giác ABC . Khi đó kết hợp giả thiết có: S S S S S S S . PCA PBA PBC ABC A2BC B2CA C2 AB Theo 2.1 suy ra S S , suy ra PA // BC hay PA  AA . PBC A2BC 2 2 1 Từ đây dễ thấy A2 , B2 , C2 thuộc đường tròn đường kính PH hay A2 , B2 , C2 , H cùng thuộc một đường tròn. 14
  15. Chương 2: Đường tròn Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa 4  Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt cùng nằm trên A một đường tròn.  Dây cung đi qua tâm của đường tròn gọi là đường kính của O đường tròn. N  Một dây cung sẽ chia đường tròn thành hai phần, tương ứng với B hai cung của đường tròn (cung lớn và cung nhỏ). M Định lí 6. Trong các dây cung của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. Định lí 7. Trong một đường tròn 1) Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây đó. 2) Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm của đường tròn thì vuông góc với dây đó. Các ví dụ Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay  Ví dụ 1. Cho đường tròn O;10 . Lấy một điểm A tùy ý thuộc O . Vẽ dây MN vuông góc với OA tại trung điểm của OA . 1. Chứng minh OMAN là hình thoi. 2. Tính độ dài dây MN . Lời giải 1. Gọi H là trung điểm của OA . Vì MN  OA tại H nên M H cũng là trung điểm của MN , do đó OMAN là hình thoi. 2. Xét OHM vuông tại H có OH 5 và OM 10 do đó O A HM OM 2 OH 2 102 52 75 5 3 H MN 2MH 10 3 N 15
  16. Chương 2: Đường tròn Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay  Ví dụ 2. Cho đường tròn O; R và điểm M nằm trong đường tròn O . Vẽ dây MN vuông góc với OA tại trung điểm của OA . 1. Hãy nêu cách dựng dây AB của đường tròn O nhận M làm trung điểm. 2. Tính độ dài AB ở câu a) biết R 5 cm và OM 1,4 cm . Lời giải 1. Dựng đường thẳng đi d qua M và vuông góc với OM . Giả sử d cắt đường tròn (O) tại A, B . Khi đó ta có M là trung điểm của AB O 2. Xét AOM vuông tại M có 2 d AM = AO2 - OM 2 = 52 - 1,4 = 4,8 ( ) A M B Þ AB = 9,6 cm  Ví dụ 3. Trong hình vẽ bên có AB  CD , AE 2, EB 6, EC 4 và ED 3 . Tính độ dài đường kính của đường tròn O . Lời giải Ta có AB AE EB 2 6 8 cm , CD CE ED 4 3 7 cm Kẻ OI  AB tại I và OH  CD tại H . Khi đó I, H lần lượt là trung điểm của AB, CD . AB CD 7 C Do vậy IA IB 4 cm và HC HD cm . 2 2 2 7 1 Ta có OI HE CE CH 4 cm H O 2 2 A B E I 2 2 2 æ1ö 2 65 Do đó OB = OI + IB = ç ÷ + 4 = Þ 2R = 65 cm . D èç2ø÷ 2  Ví dụ 4. Cho đường tròn O và dây AB 2a sao cho khoảng cách từ tâm O đến AB bằng h . Gọi I là trung điểm của AB . Tia IO cắt đường tròn O tại C . 1. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C . 2. Tính khoảng cách từ O đến BC . Lời giải 1. Vì OA OB và I là trung điểm AB nên OI  AB . Lại có CI  AB nên CI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến 16
  17. Chương 2: Đường tròn trong tam giác CAB tam giác ABC cân tại C . 2. Hạ OH  BC tại H H là trung điểm của BC , do đó BC HB HC 2 Xét tam giác OIB vuông tại I có IB a,OI h nên OB OI 2 IB2 a2 h2 . Mà CI CO OI h a2 h2 . Xét tam giác IBC vuông tại I có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC CI IB h a h a 2 a h h a h . 1 Do đó HB 2 a2 h2 h a2 h2 2 Xét tam giác HOB vuông tại H có 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 OH OB HB a h 2 a h h a h 2 a2 h a2 h2 h2 . 2  Ví dụ 5. Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OA,OB. Trên các bán kính OA,OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM ON. Vẽ dây CD di qua M và N ( M nằm giữa C và N) 1. Chứng minh rằng CM DN . 2. Giả sử ·AOB 90 và CM MN ND , hãy tính độ dài OM theo R . Lời giải 1 . Hạ OE  AB tại E và OE cắt CD tại F . Trong tam giác OAB cân tại O , ta có OM ON MN // AB OF  MN và MF NF OA OB Vì OF  MN nên OF  CD F là trung điểm CD , do vậy FC FD . Ta có CM CF MF DF NF DN (dpcm) 2. Đặt MF x CF CM MF 3MF 3x . Vì tam 17
  18. Chương 2: Đường tròn giác OAB vuông cân tại O và M N // AB nên tam giác OMN vuông cân tại O OF MF x . Xét tam giác OCF vuông tại F , ta có R OF2 OC2 CF2 x2 R2 9x2 x 10 R Khi đó OM ON OF 2 . 5 R Vậy với OM ON sẽ thỏa mãn đề bài. 5  Ví dụ 6. Cho đường tròn (O ; R ) và hai dây AB R 3, AC R 2 ( B,C nằm về hai phía đối với đường thẳng AO ) . Hãy tính các góc của tam giác ABC. Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay Lời giải Xét tam giác OAC có OA OC R, AC R 2 nên VOAC vuông cân tại O O· CA O· AC 45 R 3 OI  AB tại I IA IB . Kẻ 2 Xét tam giác OIB vuông tại I có IB 3 cosO· BI O· AI O· BI 30 ·AOB 180 230 120 OB 2 Do vậy C· AB 45 30 75 . Lại có 360 C· OA ·AOB C· OB C· OB 360 90 120 150 Xét tam giác OBC cân tại O , ta có 1800 150 O· BC O· CB 15 2 Do đó ·ACB 45 15 60 và ·ABC 30 15 45 . 18
  19. Chương 2: Đường tròn  Ví dụ 7. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB 10cm . Một dây MN 8cm có hai đầu mút di chuyển trên nửa đường tròn (O) (điểm Mnằm trên cung nhỏ »AN). Gọi E ; F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên đường thẳng MN . 1. Chứng minh EF và MN có trung điểm trùng nhau. 2. Chứng minh ME NF . 3. Xác định vị trí của MN để diện tích tứ giác ABFE lớn nhất. Lời giải 1. Kẻ OH  MN H là trung điểm của NM và AE //OH //BF (1) . Do O là trung điểm AB nên AE//OH //BF và cách đều nhau, do đó EH HF . (2) Từ (1) và (2) ta có EF và MN có trung điểm trùng nhau. 2. Ta có ME EH HM FH HN NF . Vậy ME NF . c) Vì H là trung điểm của MN nên HM HN 4 cm . Xét tam giác OMH vuông tại H có OH MO2 HM 2 25 16 3 cm Vì ABFE là hình thang có OH là đường trung bình nên AE BF 2OH 6 cm . Kẻ BK  AE tại K BK / /MN và BK AB . Do vậy ( AE BF )BK 6BK S 3BK 3AB 30 cm 2 ABFE 2 2 Dấu bằng xảy ra khi BK AB , hay MN//AB. Vậy khi MN//AB thì diện tích tứ giác ABFE lớn nhất. Luyện tập  Bài 1. Cho đường tròn (O;5 cm) và dây AB 8 cm . 1. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB . 2. Lấy điểm I trên dây AB sao cho AI 1 cm . Qua I kẻ dây CD vuông góc với AB . Chứng minh rằng AB CD . Lời giải 1. Kẻ OE  AB tại E . Khi đó E là trung điểm của AB , do vậy 19
  20. Chương 2: Đường tròn AB EA EB 4 2 2 2 Ta có OE OB EB 25 16 3 cm. 2. Kẻ OF  CD tại F F là trung điểm của CD . CD Do vậy FC FD . 2 Ta có IE AE Al 4 1 3 cm , suy ra OEIF là hình vuông. Do dó OF 3 cm . Xét tam giác OFD vuông tại F , ta có FD OD2 OF 2 25 9 4cm. Do vậy CD 2FD 8 cm , suy ra AB CD .  Bài 2. Trong hình vẽ bên có một mảnh giấy hình chữ nhật che khuất một phần của đường tròn (O) . Cho biết AB 1 cm, BC 4 cm và MN 2 cm . 1. Tính độ dài đoạn D N. 2. Cho AM 1 cm . Tính bán kính của đường tròn (O) . Lời giải 1. Kẻ OH  BC tại H , OH cắt DN tại I. Khi đó H , I lần lượt là trung điểm của BC, DN . BC Ta có HB HC 2 cm. Vì AMIH là hình chữ nhật 2 nên IM AH AB BH 1 2 3 cm Do đó IN IM MN 3 2 1 cm Vậy DN 2IN 2 cm. b) Xét tam giác OHB vuông tại H có OB OH 2 4 Xét tam giác OIN vuông tại I có OI OH HI OH 1, do đó ON OI 2 IN 2 (OH 1)2 1 Mà ON OB OH 2 4 (OH 1)2 1 OH 2 4 OH 2 2OH 2 OH 1 Khi đó OB 1 4 5 cm  Bài 3. Cho đường tròn (O ; O A) và đường kính AD 12, 5cm. Lấy điểm B thuộc đường tròn (O ; O A) sao cho AB 10cm. Kẻ dây BC vuông góc với đường kính AD. Tính các khoảng cách từ tâm O đến các dây AB và BC . 20
  21. Chương 2: Đường tròn Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay Lời giải Vì OA OD OB nên tam giác ABD vuông tại B , do đó BD AD 2 AB 2 12,52 102 7,5cm. BD Kẻ OH  AB tại H OH 3, 75 cm . 2 Gọi K là giao điểm của AD và BC , khi đó OK  BC . Xét tam giác ABD vuông tại B ta có 102 AB2 AK.AD AK 8cm 12,5 12, 5 Do đó OK AK AO 8 1, 75 cm . 2  Bài 4. Cho đường tròn (O) và đường kính AB . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của OA,OB . Qua M , N lần lượt vẽ các dây C D , EF song song với nhau (C, E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB) . 1. Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật 2. Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc 30 0 .Tính diện tích hình chữ nhật CDEF Lời giải 1. Kẻ OP  CD tại P P là trung điểm CD và OP  EF (do CD / /EF ) . Giả sử OP cắt EF tại Q Q là trung điểm của EF . Xét hai tam giác vuông OPM và OQN có OA OB OM ON và M· OP N· OQ nên 2 2 VOPM VOQN , do do OP OQ CD EF . Xét tứ giác CDEF có CD EF và CD //EF nên CDEF là hình bình hành. Lại có PQ là đường trung bình của hình bình hành CDEF và PQ  CE CD  CE Do đó CDEF là hình chữ nhật. 2. Xét tam giác OPM vuông tại P có O· MP 30 , suy ra 21
  22. Chương 2: Đường tròn OM OA R R OP CE PQ 2OP . 2 4 4 2 Xét tam giác OPC vuông tại P , ta có R2 R 15 R 15 CP OC 2 OP2 R2 CD 2CP . 16 4 2 R R 15 R2 15 Từ (1) và (2) ta có S CD.CE . . CDFE 2 2 4  Bài 5. Cho đường tròn (O) và đường kính AB 13cm.Dây CD 12cm vuông góc với AB tại H . 1. Tính độ dài các đoạn H A, H B 2. Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu của H lên AC , BC . Tính diện tích tứ giác CMHN . Lời giải CD 1. Vì CD  AB tại H nên CH 6 cm . 2 Giả sử HA HB . Xét tam giác OCH vuông tại H có OH OC 2 HC 2 6.52 62 2,5 cm Do đó HA 6, 5 2, 5 4 cm và HB 13 4 9 cm 2. Vì VCHN ~VABC nên 2 2 SCHN CH 6 36 2 SABC AB 13 169 1 Mà S 13 6 39 cm 2 nên ABC 2 36 108 216 S 39  cm 2 S cm 2 CHN 169 13 CMHN 13  Bài 6. Cho đường tròn (O;5cm) và điểm Mcách O một đoạn là 3cm 1. Tính độ dài dây cung ngấn nhất của (O) di qua M. 2. Tính độ dài dây cung dài nhất của (O) di qua M. Lời giải Giả sử EF là một dây cung tùy ý qua M, CD là dây cung đi qua M và vuông góc với OM, AB là đường kính chứa M của đưòng tròn (O) . Kẻ OH  EF tại H H là trung điểm EF . 2 2 1. Ta có HE OE OH . Vì EF 2HE, OE 5 cm 22
  23. Chương 2: Đường tròn nên EF nhỏ nhất khi HE lớn nhất. Lại có tam giác OHM vuông tại H nên OH OM Dấu bằng chỉ xảy ra khi H  M EF  CD MC OC 2 OM 2 25 9 4 CD 8cm. Ta có Vậy EF nhỏ nhất bằng 8cm khi EF  OM. 2. Vì A B là đường kính đi qua M EF AB . Do vậy EF lớn nhất bằng 10 cm khi EF là đường kính đi qua M.  Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm bất kỳ trên cung tròn B»C không chứa A . Gọi D , E lần lượt là điểm đối xứng của Mqua AB , AC . Tìm vị trí của M để độ dài DE nhỏ nhất. Lời giải Gọi AA là đường kinh của đường tròn (O) . Vì D , E lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB , AC nên AD AM AE , do đó tam giác AED cân tại A . Lại có D· AE D· AM M· AE 2(B· AM M· AC) 2B· AC (không đổi). Vì vậy DE lớn nhất khi AD lớn nhất, tức là AM lớn nhất M  A r 23
  24. Chương 2: Đường tròn 24
  25. Chương 2: Đường tròn Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm Bài 3 đến dây Tóm tắt lý thuyết Định lí 8. Trong một đường tròn: 1) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. 2) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lí 9. Trong hai dây của một đường tròn: 1) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. 2) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. ! Cả hai định lý trên vẫn đúng với trường hợp hai đường tròn có bán kính bằng nhau (gọi là hai đường tròn bằng nhau). Các ví dụ  Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và bán kính 5cm, dây AB 8cm. 1. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB . 2. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI 1 cm . Kẻ dây CD qua I và vuông góc với AB Chứng minh rằng CD AB . Lời giải 25
  26. Chương 2: Đường tròn 1. Gọi H là trung điểm của AB , suy ra OH  AB . Khoảng cách từ O đến dây AB là OH OA2 HA2 52 42 3 cm 2. Kẻ OK  CD tại K . Suy ra OKIH là hình chữ nhật mà IH AH AI 3 cm IH OH . suy ra OKIH là hinh vuông OK OH . Do đó khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và CD bằng nhau, suy ra AB CD .  Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm (O) các dây MN và PQ bằng nhau, các tia MN và PQ cắt nhau tại điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của MN và PQ Chứng minh rằng: a) AE AF b) AN AQ Tài Liệu Toán 789 Siêu hay nhóm biên soạn tỉ mỉ công phu, thầy cô cần file Word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua ạ Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay Lời giải 1. Chứng minh AE AF . Vì E, F lần lượt là trung điểm của MN ; PQ nên OE  MN và OF  PQ Mặt khác, MN PQ OE OF . Suy ra AE OA2 OE2 OA2 OF 2 AF 2. Chứng minh AN AQ . Ta có AN AE NE và AQ AF FQ mà 1 1 NE MN PQ QF và AE AF 2 2 26