Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 13: Góc và đường tròn

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 13: Góc và đường tròn

1. CHUYÊN ĐỀ 13: GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. Góc nội tiếp 1.1. Lý thuyết cơ bản Định nghĩa Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp. Lưu ý: Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn. Định lý Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Hệ quả Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 1.2. BÀI TẬP O O Bài 1. Cho đường tròn và điểm I không nằm trên . Qua điểm I vẽ hai dây AB và CD ( A nằm giữa I và B , C nằm giữa I và D ) · · · a) So sánh các cặp góc ACI và ·ABD ; ACI và CDB b) Chứng minh các tam giác IAC và IDB đồng dạng c) Chứng minh IA.IB IC.ID Lời giải a) Có A , B ,C , D cùng thuộc đường tròn O ABDC là tứ giác nội tiếp ·ACD ·ABD 180 Mà ·ACD ·ACI 180 ( hai góc kề bù ) ·ACI ·ABD b) Xét IAC và IDB có : ·ACI ·ABD (cmt)
2. ·AIC chung IAC” IDB (g_g) c) IAC” IDB (cmt) IA IC (các cạnh tương ứng) ID IB IA.IB IC.ID (ĐPCM) Bài 2. Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Lấy M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn ( M khác A và B ). Kẻ MH vuông góc với AB ( H AB ) . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn O vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 , đường kính AH và tâm O2 đường kính BH . Đoạn MA và MB cắt nửa đường tròn O1 vào O2 lần lượt tại P và Q . Chứng minh rằng: a) MH PQ b) MPQ đồng dạng với MBA c) PQ là tiếp tuyến của đường tròn O1 và O2 Lời giải a) Chứng minh MH PQ · · Ta có M thuộc đường tròn đường kính AB nên AMB 90 hay MPH 90 · · Ta có P thuộc đường tròn đường kính AH nên APH 90 MPH 90 · · Ta có Q thuộc đường tròn đường kính HB nên HQB 90 MQH 90 · Tứ giác MPHQ có MPH 90 · MPH 90 · MQH 90 Tứ giác MPHQ là hình chữ nhật MH PQ ( tính chất hình chữ nhật)
3. b) Chứng minh MPQ đồng dạng với MBA · Ta có APH 90 HP  AM · HQB 90 HQ  MB Xét MAH vuông tại H có HP là đường cao MH 2 MP.MA (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Xét MBH vuông tại H có HQ là đường cao MH 2 MQ.MB (hệ thức lượng trong tam giác vuông) MP MQ Suy ra MP.MA MQ.MB MB MA Xét MPQ và MAB có MP MQ MB MA P· MQ chung MPQ ” MBA (c-g-c) c) Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn O1 và O2 · · O2 HQ cân tại H ( vì O2Q O2 H ) O2 HQ O2QH · · Mà O2 HQ PAB ( hai góc đồng vị) Và M· QP P· AB ( MPQ ” MBA) · · MQP O2QH · · · · MQP PQH O2QH PQH · · O2QP MQP 90 PQ  O2Q Mà Q O2 PQ là tiếp tuyến của O2 Chứng minh tương tự PQ là tiếp tuyến của O1 Vậy PQ là tiếp tuyến chung của O1 và O2 . Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O . M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC . Tia AM cắt BC tại N . Chứng minh rằng: a) AB2 AM.AN b) ·ACM ·ANC c) Qua A kẻ dây AD sao cho dây AD cắt dây BC tại E . Chứng minh AD.AE AM.AN Lời giải
4. Chứng minh a) Chứng minh AB2 AM.AN ABC cân tại A suy ra AB AC Xét đường tròn O có AB AC nên »AB »AC ·AMB ·ABN ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Xét MAB và NAB có ·AMB ·ABN (cmt) M· AB chung BNA ” MBA(g-g) AB AM AN AB AB2 AM.AN b) Chứng minh ·ACM ·ANC Xét ANC và ACM có ·AMC ·ACN (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) N· AC chung ANC ” ACM (g-g) ¼ACN ¼AMC (hai góc tương ứng) c) Chứng minh AD.AE AM.AN Xét ABE và ADB có ·ADB ·ABE (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) D· AB chung ABE ” ADB (g-g) AB AD AE AB AB2 AD.AE
5. 2 Mà AB AM.AN (cm câu a) AD.AE AM.AN (đpcm) Câu 4. Cho nửa đường tròn O đường kính AB và C là điểm chính giữa cung AB . Lấy điểm M thuộc cung BC và điểm N thuộc cung AM sao cho AM BN . Kẻ dây CD song song với AM . a) Chứng minh: ACN BCM . b) Chứng minh: CMN vuông cân. c) Tứ giác ANCD là hình gì ? Vì sao ? Lời giải: C a) Xét ACN và BCM ta có : D AN BM (gt) ; N· AC M· BC (do C là 4 2 1 3 µ ¶ điểm chính giữa cung AB ) ; C1 C3 N M (do AN BM »AN B¼M ) suy ra ·ANC B· MC 1 Vậy ACN BCM g c g . b) ACN BCM g c g (chứng A B minh trên), suy ra AC CB Ta có ·ACM 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Vậy CMN vuông cân tại C . µ ¶ 1 » c) Tứ giác ANDC có: A1 C4 sd ND (góc nội tiếp cùng chắn cung ND của đường tròn 2 O ) Mà A,C là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn cạnh ND . Vậy tứ giác ANDC là tứ giác nội tiếp. Câu 5. Cho đường tròn O;R và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau ( C thuộc cung nhỏ AB , A thuộc cung nhỏ CD ). Vẽ đường kính DE . Chứng minh rằng: a) MA.MB MC.MD . b) Tứ giác ABEC là hình thang cân. c) Tổng MA2 MB2 MC 2 MD2 có giá trị không đổi. Lời giải a) Xét MCA và MBD có: ¶ ¶ µ µ 1 » M1 M 2 90 ; C1 B1 sd AD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD của O ). 2 MC MA E Suy ra MCA# MBD g g MB M D MC.MD MA.MB . C 2 B · · 1 » 1 1 b) Ta có: CAB CDB sdCB (góc nội tiếp cùng 2 1 chắn cung CB của O ). 2 A M O Mà D· BE 90 (do DE là đường kính của O ), suy · µ · ra ABE 90 B1 CDB Vậy C· AB E· BA . D
6. Mặt khác : E· CD 90 (góc chắn nửa đường tròn), suy ra EC / / AB . Vậy tứ giác CABE là hình thang cân. c) Vì MAC : M¶ 90 nên MA2 MC 2 AC 2 , mà AC BE nên MA2 MC 2 BE 2 vì MDB : M¶ 90 nên MB2 MD2 BD2 Suy ra: MA2 MB2 MC 2 MD2 DB2 BE 2 Mặt khác D· BE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên DB2 BE 2 DE 2 2R 2 4R2 Vậy MA2 MB2 MC 2 MD2 4R2 . Câu 6. Cho đường tròn O;R và O';R' cắt nhau tại A và B ( R R' ). Vẽ cát tuyến CAD vuông góc với AB (C O ; D O' ). Tia CB cắt O' tại E , tia DB cắt O tại F . Chứng minh: a) C· AF D· AE . b) AB là tia phân giác của E· AF . c) CA.CD CB.CE . d) CD2 CB.CE DB.DF Lời giải · · 1 » a) Ta có: CAF CBF sdCF (góc nội tiếp chắn cung CF ). 2 Mà C· BF E· BD (đối đỉnh) · · 1 » Lại có EBD EAD sd DE (góc 2 nội tiếp chắn cung DE ) A D Vậy C· AF D· AE . C b) Vì BA  CD nên C· AF F· AB D· AE E· AB 90 O O' mà C· AF D· AE (c/m trên) suy ra B· AF B· AE hay AB là tia B E phân giác của E· AF . c) Xét CAE và CBD có: Cµ chung; · · 1 » CDB CEA sd AB 2 F CA CE nên CAE# CBD g g suy ra hay CA.CD CB.CE 1 (đpcm). CB CD d) C/m tương tự ý c) ta cũng có DA.DC DB.DF 2 từ 1 và 2 suy ra: CA.CD DA.DC CB.CE DB.DF DC CA AD CB.CE DB.DF CD2 CB.CE DB.DF (đpcm). Câu 7. Cho ABC có AD là tia phân giác trong của góc A . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E và đường thẳng song song với AC cắt AB ở F. a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? b) Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại các điểm M và N. Chứng minh MN //EF . Lời giải
7. A E F N M C B D a) Ta có: AF // DE (gt) AE // DF (gt)  AEDF là hình bình hành (DHNB) Mặt khác: AD là phân giác của E¶AF  AEDF là hình thoi (DHNB) b) Vì AEDF là hình thoi (cmt) nên AD EF A· FE F·AD 900 (1) Xét đường tròn đường kính AD: - M nằm trên đường tròn, ta có: A· MD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) A· MN N· MD 900 - N· MD N· AD (góc nội tiếp cùng chắn cung ND) A· MN N· AD 900 (2) Mặt khác: Do AD là phân giác của E¶AF N· AD F·AD (tính chất tia phân giác của một góc) (3) Từ (1) (2) (3) A· FE A· MN, mà hai góc ở vị trí đồng vị EF //MN (DHNB) Câu 8. Cho nửa đường tròn O đường kính AB và C là điểm chính giữa cung của AB. Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC, kẻ CH  AM . a) Chứng minh HCM vuông cân và OH là tia phân giác của C·OM; b) Gọi I là giao điểm của OH với BC và D là giao điểm của MI với nửa đường tròn O . Chứng minh MC // BD . Lời giải
8. C I M D H A O B a) Xét O ta có: C là điểm chính giữa cung AB nên sđ AºC 900 1 C· MH sđ AºC 450 2 Xét CMH ta có: C·HM 900 nên CHM vuông tại H, mà C·MH 450 (cmt) CMH là tam giác vuông cân tại H. Ta có: HC HM (do CMH vuông cân tại H) H trung trực của CM OC OM R O trung trực của CM OH là trung trực của CM Mặt khác: OCM cân tại O, có OH là trung trực của CM OH đồng thời là phân giác của C·OM b) Vì I OH nên I trung trực của CM IC IM ICM cân tại I. I·CM I·MC (TC tam giác cân) Xét O ta có: M· CI M· DB (góc nội tiếp chắn cung MB ) , hai góc này ở vị trí so le trong CM//BD (DHNB) Câu 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. a) Tứ giác BFCH là hình gì ? b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng; 1 c) Chứng minh OM AH. 2
9. A D E O H B M C F Lời giải a) Xét O ta có: A· CF A· BF 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) FC  AC; FB  AB Ta có: FC  AC (cmt); BD  AC (gt) FC //BH FB  AB (cmt); CE  AB (gt) FB //CH BFCH là hình bình hành (DHNB) b) Vì BFCH là hình bình hành (cmt) BC và HF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (TC hình bình hành) Mà M là trung điểm của BC (gt) M cũng là trung điểm của HF Hay H; M; F thẳng hàng c) Ta có: M là trung điểm của HF (cmt) ; O là trung điểm của AF (gt) OM là đường trung bình trong tam giác FHA 1 OM AH (TC đường trung bình trong tam giác) 2 Bài 10. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn và cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn ở M , CB cắt nửa đường tròn ở N . Gọi H là giao điểm của AN và BM . a) Chứng minh CH  AB . b) Gọi I là trung điểm của CH . Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) . Lời giải
10. C I N M H A K O B a) Ta có ·AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BM  AC Ta có ·ANB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AN  BC Xét ABC ta có: BM  AC , AN  BC BM cắt AN tại H H là trực tâm của ABC CH  AB b) Gọi CH cắt AB tại K CK  AB Xét HMC vuông ta có: MI là đường trung tuyến MI IH IC IMH cân tại I I·MH I·HM K· HB I·HM (hai góc đối đỉnh) I·MH B· HK (1) Có OM OB OBM cân tại O O· BM O· MB (2) KHB vuông tại K K· HB K· BH 900 (3) Từ (1), (2), (3) I·MH O· MB 900 I·MO 900 IM  MO , M (O) MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) . Bài 11. Qua điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến ABC và ADE với đường tròn đó, ( B nằm giữa A và C , D nằm giữa A và E ) kẻ dây B F / / DE . Chứng minh rằng: a) D· BF B· CE b) ACE ” DCF . Lời giải
11. C B F O A D E · · a) Ta có: B F / / DE (gt) EBF BED (hai góc so le trong) Xét đường tròn (O) ta có : E· BF là góc nội tiếp chắn E¼ F , E· BF là góc nội tiếp chắn E¼ F Mà E· BF B· ED ¼ » E F BD Ta có D»F D»E E»F , B»E B»D D»E Mà E¼ F B»D nên D»F B»E Xét đường tròn (O) ta có : D· BF là góc nội tiếp chắn D¼ F , B· CE là góc nội tiếp chắn B»E Mà D»F B»E Nên D· BF B· CE b) Ta có : ·ACE B· CD D· CE , D· CF D· CE E· CF Mà B· CD E· CF (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau của đường tròn (O) . Nên ·ACE D· CF Xét ACE và DCF ta có : ·AEC D· FC ( hai góc nội tiếp cùng chắn D»C ) ·ACE D· CF (cmt) ACE ” DCF (g.g) Bài 12. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R) . Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC ( M A, M C ).Kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB,CD lần lượt tại E, F a) Chứng minh M· FO 2.M· BO b) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AC sao cho F· EO 300 . Khi đó, tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, E F theo R. Lời giải
12. F C M B E A O D Ta có: OM OB ( R) MOB cân tại O O· MB O· BM Có M· OE O· MB O· BM (Góc ngoài tại đỉnh O của OMB ) M· OE 2.M· BO (1) EMO vuông tại M M· EO M· OE 900 EOF vuông tại O M· FO M· EO 900 M· OE M· FO (2) Từ (1) và (2) M· FO 2.M· BO b) F C M 30° B E A O D EMO vuông tại M F· EO M· OE 900 Có F· EO 300 M· OE 600 Có OA OM MOA cân tại O MOA đều OA OM AM R Vậy điểm M trên cung nhỏ AC sao cho AM R thì F· EO 300 Xét MEO vuông tại M ta có: MO R 1 R sin MEO sin 300 OE 2R OE OE 2 OE OE 2R 3 2R 4R 4 3R cos FEO cos300 EF E F EF 2 EF 3 3
13. Có OE 2 ME 2 MO2 (ĐL Py ta go) 4R2 ME 2 R2 ME 2 3R2 ME R 3 . 2. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Bài 1. Cho nửa đường tròn O đường kính AB 2R . Gọi M là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến Bx của O . Nối AM cắt O tại N . Gọi I là trung điểm của AN . a) Chứng minh AIO∽ BNM , OBM ∽ INB . b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích AIO có giá trị lớn nhất. Lời giải x M N I B A H O a) Vì I là trung điểm của AN OI  AN A· IO A· NB 900 1 Bx là tiếp tuyến của O tại B N· BM I·AO sdB»N 2 Do đó : AIO∽ BNM ( g.g) · · 0 Mặt khác OIM OBM 90 nên các điểm B,O, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO · · ¼ BOM BIM (cùng chắn BM ) Xét OBM và INB có: O· BM I·NB B· OM B· IN OBM ∽ INB (g.g) b) Kẻ IH  AO 1 S AO. IH Ta có: AIO 2
14. Vì AO không đổi nên S AIO lớn nhất IH lớn nhất Mà khi M chuyển động trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đường kính AO Do đó IH lớn nhất khi IH là bán kính của đường tròn · 0 AIO vuông cân tại I IAH 45 ABM vuông cân tại B nên BM BA 2R 2 Vậy khi M Bx sao cho BM R thì S AIO lớn nhất. Bài 2. Cho hai đường tròn O và O' tiếp xúc ngoài với nhau tại M . Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với O tại A và cắt O' tại B và C ( B nằm giữa A và C ). Gọi D là giao điểm của CM và O . Chứng minh rằng: a) MA là phân giác B· MD ; b) MA2 MB. MD . Lời giải x A B C O' O M D a) Kẻ tiếp tuyến chung Mx của hai đường tròn O và O' Ta có: B· AM A· Mx ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn A¼M của O ) B· Mx B· CM ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn B¼M của O' ) Mặt khác: A· MD là góc ngoài của AMC A· MD M· AB M· CB A· MD A· Mx B· Mx A· MB Vậy MA là phân giác B· MD b) Xét MAD và MBA có : A· MD A· MB (cmt) 1 A· DM B· AM sdA¼M 2 MAD∽ MBA(g.g)
15. MA MD MA2 MB. MD MB MA Bài 3. Cho điểm C thuộc nửa đường tròn O đường kính AB . Từ điểm D thuộc đoạn AO kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt các đường thẳng AC và BC lần lượt tại E và F . Tiếp tuyến tại C với nửa đường tròn cắt EF tại M và cắt AB tại N . a) Chứng minh M là trung điểm của EF b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn O sao cho ACN cân tại C . Lời giải F M C E B A D O N 1 a) Ta có: M· CA sdA»C ( góc tạo bơi tia tiếp tuyến và dây cung) (1) 2 1 1 Mà M· EC A· ED 900 E· AD 900 sdB»C sdA»C (2) 2 2 Từ (1), (2) suy ra M· EC M· CE MEC cân tại M MC ME Chứng minh tương tự ta có MC MF Vậy ME MF hay M là trung điểm của EF . b) ACN cân tại C C· AN C· NA Vì MN là tiếp tuyến của O tại C nên OC  MN C· NA 900 C· OB 900 2.C· AN Do đó: C· AN C· NA C· AN 900 2.C· AN 3.C· AN 900 C· AN 300 sdB»C 600 Vậy ACN cân tại C khi C nằm trên nửa đường tròn O sao cho sdB»C 600 Câu 7. Cho ABC nội tiếp đường tròn O AB AC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2 MB.MC . Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đường tròn O . Lời giải
16. MA MC MA2 MB.MC MB MA Mà M¶ chung MAC# MBA (c.g.c) M· CA M· AB MA là tiếp tuyến của đường tròn O . Câu 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC tại I . IB AB a) Chứng minh IC AC b) Tính IA, IC biết rằng AB 20 cm, AC 28 cm, BC 24 cm . Lời giải I chung  IA AB a) 1  IAB# ICA (g.g) I·AB I·CA »AB IC CA 2  IA IB AB 5 IA IB b) IAB# ICA IB BC IA AC 7 (IB IA) BC 5 IA IB 120 7 IA IB IA IB 10 IA 35 IB 25 IC 49 Câu 9. Cho hai điểm A, B cố định trên đường thẳng d . Hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại M và N , O tiếp xúc với đường thẳng d tại A , O ' tiếp xúc với đường thẳng d tại B . Gọi I là giao điểm của MN và đường thẳng d . Chứng minh rằng: a) IA2 IM.IN b) I là điểm cố định khi hai đường tròn thay đổi.
17. Lời giải I chung  IA IM 2 a) 1  IAM# INA (g.g) IA IM.IN ·AMI I·AN »AN IN IA 2  I chung  IB IM 2 b) 1  IBM# INB (g.g) IB IM.IN B· MI I·BN B»N IN IB 2  IA IB I là trung điểm AB Câu 10. Cho đường tròn O; R với A là điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với O và lấy M là điểm bất kì thuộc tia Ax . Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn O . Gọi I là trung điểm MA , K là giao điểm của BI với O . a) Chứng minh các tam giác IKA và IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB ; b) Giả sử MK cắt O tại C . Chứng minh BC song song MA . Lời giải
18. x M K I B A O C a) Chứng minh IKA∽ IAB . +) Xét IKA và IAB có: ·AIB góc chung. I·AK I·BA (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung »AK ) Suy ra IKA∽ IAB g.g IK IA +) Theo chứng minh trên ta có IKA∽ IAB g.g suy ra IA IB IK IM Mà IA IM (gt), suy ra . IM IB +) Xét IKM và IMB có: M· IB góc chung. IK IM (chứng minh trên) IM IB Suy ra IKM ∽ IMB c.g.c . b) Chứng minh BC // MA. +) Theo câu a) ta có IKM ∽ IMB c.g.c suy ra I·MK I·BM +) Ta lại có: B· CK M· BK (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung B»K ) Câu 11. Cho hai đường tròn O và O tiếp xúc ngoài tại điểm A . Đường thẳng d quay quanh A cắt đường tròn O tại B và cắt đường tròn O tại C . Kẻ hai dây cung BD và CE của đường tròn O và O sao cho BD // CE . Chứng minh rằng:
19. a) sđ »AD sđ »AE (cung nhỏ); b) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. Lời giải B E O A O' C D a) Chứng minh rằng: sđ »AD sđ »AE (cung nhỏ); 1 +) Ta có: ·ABD sđ »AD (góc nội tiếp) 2 1 ·ACE sđ »AE (góc nội tiếp) 2 Mà ·ABD ·ACE (so le trong), suy ra sđ »AD sđ »AE . b) Chứng minh rằng: Ba điểm D, A, E thẳng hàng. +) Vì O và O tiếp xúc ngoài tại điểm A nên ba điểm O, A, O thẳng hàng. +) Ta có: ·AOD sđ »AD (góc ở tâm) và ·AO E sđ »AE (góc ở tâm) Mà sđ »AD sđ »AE nên ·AOD ·AO E . 180 ·AOD +) AOD cân tại O nên O· AD ; 2 180 ·AO E +) AO E cân tại O nên O· AE 2 Suy ra O· AD O· AE , mà O· AD D· AO 180 O· AE D· AO 180 D· AE 180 Hay ba điểm D, A, E thẳng hàng. 3. Bài tập tổng hợp
20. Câu 1. Cho ABC nội tiếp (O) . Vẽ phân giác trong AD của góc A ( D (O) ). Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC . Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và K . Nối DE cắt AC tại J . Chứng minh rằng:. a) B· ID ·AJE b) AI.JK IK.EJ Câu 2. Cho (O) đường kính AB . Lấy điểm C (O) sao cho sđ »AC 22. Trên nửa đường tròn còn lại không chứa điểm C lấy D là điểm chính giữa của »AB và lấy điểm E sao cho sđ B»E 56 . Gọi I là giao điểm của BD và CE , K là giao điểm của BE và CD , H là giao điểm của AB và CD a) Tính B· IC ; B· KC b) Chứng minh BKH cân. c) Chứng minh BE.HO BO.KE Câu 3. Cho ABC nội tiếp (O) . Các tia phân giác của góc A và B cắt nhau tại I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E . Chứng minh: a) BDI là tam giác cân b) DE là trung trực của IC c) IF //BC ( trong đó F là giao điểm của DE và AC ) Câu 4. Cho hai đường tròn O và O ở ngoài nhau. Đường thẳng OO cắt O và O lần lượt tại các điểm A , B ,C , D . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn, E O , F O Gọi M là giao điểm của AE và DF , N là giao điểm của EB và FC . Chứng minh: a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật; b) MN  AD ; c) ME.MA MF.MD . Câu 5. Từ một điểm A bên ngoài đường tròn O , vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD . Tia phân giác của góc B· AC cắt BC và BD lần lượt tại E và F . Vẽ dây BM vuông góc với EF , cắt EF tại H , cắt CD tại I . Chứng minh: a) Tam giác BEF cân; b) MD2 MI.MB . Câu 6. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn O , vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với A , B , C O . Phân giác góc B· AC cắt BC tại D , cắt O tại N . Chứng minh: a) MA MD ; b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M và luôn cắt đường tròn. Chứng minh MB.MC không đổi; c) NB2 NA.ND . Câu 7. Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O) . Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC . Nối AB cắt CI tại M , AC cắt BI tại N . Chứng minh rằng: a) BC 2 BM.CN b) ·AIN có số đo không đổi. Câu 8. Cho ABC , phân giác AD . Vẽ đường tròn (O) đi qua A , D và tiếp xúc với BC tại D . Đường tròn này cắt AB , AC lần lượt tại E , F . Chứng minh: a) EF //BC b) AD2 AE.AC c) AE.AC AB.AF
21. Câu 9. Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (I) . Các tia AI , BI ,CI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D, E, F. Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M , N . Chứng minh: a) DI DB b) AM AN