Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2: Số hữu tỉ - Số vô tỉ

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2: Số hữu tỉ - Số vô tỉ

1. CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ HỮU TỈ - SỐ VÔ TỈ 1. Lí thuyết: a +) Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng ; với a;b Z,b 0 . Tập hợp các số hữu tỉ được kí b hiệu là Q . +) Số vô tỉ là tập hợp các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp số vô tỉ kí hiệu là I. +) Nhận xét: . -Một số thực bất kì nếu không là số hữu tỉ thì là số vô tỉ và ngược lại. - Tổng, hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ( Số chia khác 0) là một số hữu tỉ. -Tổng, hiệu, tích, thương của hai số vô tỉ không kết luận được là một số vô tỉ. -Tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. +) Kiến thức bổ sung: 1/ Nếu a là số nguyên dương không chính phương thì a là số vô tỉ. Tổng quát: Nếu a là số nguyên dương mà a không là lũy thừa bậc n của bất kì số nguyên dương nào khác thì n a là số vô tỉ( n 2,n ¥ ). 2/ Cho hai số nguyên dương n và k ( k 2,k ¥ ), nếu k n là số hữu tỉ thì n là lũy thừa bậc k của một số nguyên dương. * Đặc biệt: Nếu n là số nguyên dương, mà n là số hữu tỉ thì n là số chính phương. 2. Một số dạng bài tập 2.1. Chứng minh số hữu tỉ, số vô tỉ Phương pháp giải : Để chứng minh một số là số vô tỉ ta thường dùng phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ 1. Cho 3 số x, y và x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số hữu tỉ Lời giải:
2. Đặt x y a , x y b (1) thì a,b Q . a) Nếu b 0 thì x y 0 , do đó x , y Q . x y a a b) Nếu b 0 thì x y Q (2). x y b b Từ (1) và (2) suy ra: 1 a 1 a x b Q ; y b Q 2 b 2 b . Ví dụ 2.(Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) 2 Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn a2 b2 2 a b +(1 ab)2 4ab Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ Lời giải Ta có: 2 2 (GT) a b 2(ab 1) (a b)2 1 ab 0 4 a b 2(a b)2 (1 ab) (1 ab)2 0 2 2 a b (1 ab) 0 (a b)2 -(1 ab)=0 (a b)2 1 ab a b 1 ab Q; do: a;b Q 2 Ví dụ 3. Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x3 đều là các số hữu tỉ. Chứng minh x là số x hữu tỉ. Lời giải Cách 1: 2 2 2 4 2 2 4 Ta có x ¤ suy ra x 2 4 x ¤ x 2 ¤ . x x x x 3 8 3 8 2 2 4 Cũng có x ¤ suy ra 3 ¤ suy ra x 3 x x 2 2 ¤ x x x x 4 4 2 Do x2 ¤ x2 2 ¤ nên suy ra x ¤ . x2 x2 x 2 2 Vậy 2x x x ¤ suy ra x ¤ (điều phải chứng minh) x x
3. Cách 2: 2 Ta có: x là số hữu tỉ x x4 2x2 Q x3 Mà: x3 Q x4 2x2 Q (1) 2 x2 1 Q (2) 2 x 2 2 Ta lại có: Q; x2 x2 2 Q x x2 2 Q x 2 x 2 2 3 .x x2 2 Q x2 2 Q (3) x 3 2 Từ (2) và (3): x2 2 3 x2 1 Q 3 x2 1 3 x2 1 1 Q 3 x2 1 3 x2 1 Q 2 x2 1 x2 1 3 Q x2 1 Q x2 2 Q 2 x 2 2 x Mà: Q x 2 . 2 x Q x x 2 2.2. Bài tập 1 1 1 Bài 1. Cho x y z 0; x, y,z 0 và x, y,z Q . C/m: là số hữu tỉ x 2 y 2 z 2 Bài 2. Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau 1 1 1 c/m: M là 1 số hữu tỉ (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài 3. Chứng minh là số hữu tỉ 12 22 32 12 32 42 12 20192 20202 1 1 1 Bài 4. Cho a b 0, a, b Q, a 0, b 0 c/m: M Q a2 b2 (a b)2
4. 2 2 2 Bài 5.Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ t/m ab bc ca 1c/m (a 1)(b 1)(c 1) là số hữu tỉ Phương pháp: 2.2. Tìm điều kiện, tìm số thỏa mãn yêu cầu cho trước 2.2.1. Ví dụ Ví dụ 1. Tìm các số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn a b 3 2 c 3 4 0 . (3) Lời giải: Nếu c = 0 thì từ (3), ta có: a b 3 2 0 a b 0 (vì 3 2 là số vô tỉ ). 3 a b 3 a b Nếu c 0 thì từ (3), ta có: 4 2 = p q 3 2 (với p Q ; q ¤ ) c c c c 2 p 3 2 q 3 4 2 p 3 2 q p q 3 2 pq 2 p q2 3 2 0 Þ pq- 2 = q + q2 = 0 Þ q3 + 2 = 0 Þ q = - 3 2 Þ pq- 2 = q + q2 = 0 Þ q3 + 2 = 0 Þ q = - 3 2 là số vô tỉ. Mâu thuẫn, vì q là số vô tỉ. Vậy : a = b = c = 0 Ví dụ 2. (Chuyên NT - Hải Dương 2007-2008) 3 2 Tìm các số hữu tỉ a và b thỏa mãn: 7 20 3 . a b 3 a b 3 Lời giải: ĐKXĐ: a b 3 ; a,b Î ¤ . 3 2 Ta có: 7 20 3 a b 3 a b 3 3(a b 3) 2(a b 3) 7 20 3 (a b 3)(a b 3) 3a 3b 3 2a 2b 3 7 20 3 a 5b 3 (a2 3b2 )(7 20 3) a2 3b2 a 5b 3 7a2 20a2 3 21b2 60b2 3
5. (60b2 20a2 5b) 3 a 7a2 21b2 a 7a2 21b2 Nếu 60b2 20a2 5b 0 , thì: 3 ¤ , vô lí. 60b2 20a2 5b 60b2 20a2 5b 0 Do đó: 2 2 a 7a 21b 0 Giải hệ ta được (a;b) = (7;4) Thỏa mãn Vậy cặp số duy nhất (a;b) = (7;4) hỏa mãn đề bài. 2.2.2. Bài tập Bài 1:(Đề HSG - Hải Dương 2006-2007) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: a 7 b 7 11 7 28 (1) Bài 2: Tìm các số hữu tỉ y, z thỏa mãn: y 3 - z 3 = 2 3 3 . Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình x 2 3 = y + z Bài 4: Hỏi có tồn tại hay không các số hữu tỉ x, y, z sao cho: 2n 2n x y 2 (z t 2) 5 4 2 với n là số tự nhiên nào đó? 2 Bài 5: Chứng minh rằng: không tồn tại hai số a,b ¢ sao cho: a b 2 2008 2009 2 Bài 6: Xác định các số nguyên a,b sao cho một trong các nghiệm của phương trình 3x3 a x2 bx 12 0 là 1 3 .