Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác

1. CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Định lý1 : Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền Định lý 2 : Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền Định lý 3 : Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng Định lý 4 : Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông 1.2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn + Định nghĩa : Xét một góc nhọn trong một tam giác vuông : ạ푛ℎ đố푖 ạ푛ℎ đố푖 ạ푛ℎ ề Sin = , cos = canhke , tg = , cotg = ạ푛ℎ ℎ ề푛 canhhuyen ạ푛ℎ ề ạ푛ℎ đố푖 Nhận xét : 0 < sin < 1 , 0 < cos < 1, tg và cotg là hai giá trị nghịch đảo của nhau . Ta có tg .cotg = 1 + Tỉ số lượng giác của hai góc nhọn phụ nhau : Định lý : Nếu hai góc nhọn phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotg góc kia Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt : 300 450 600 1 2 3 sin 2 2 2 cos 3 2 1 2 2 2 tg 3 1 3 3 cotg 3 3 1 3 + Các công thức lượng giác đơn giản : 표푠 ∝ 2 2 푠푖푛 ∝ sin + cos = 1 , tg .cotg = 1 , tg = 표푠 ∝ , cotg = 푠푖푛 ∝ 2 1 2 1 1 + tg = 표푠2 ∝ , 1 + cotg = 푠푖푛2 ∝
2. + Nhận xét : Khi góc tăng từ 00 đến 900 thì sin và tg tăng còn cos và cotg giảm ∝ 표푠훽 ∝ 표푡 훽 + Tìm tỉ số lượng giác và góc bằng máy tính bỏ túi casio fx -570 1.3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác : Định lý : Trong một tam giác vuông, mổi cạnh góc vuông bằng : - Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề - Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề 2. Một số dạng toán thường gặp +) Tính độ dài, góc, diện tích, chu vi +) Chứng minh đẳng thức +) Chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất 2.1. Ví dụ Ví dụ 1: Cho DEF biết DE 6 cm, DF 8 cm, EF 10 cm. a) Chứng minh DEF vuông. b) Vẽ đường cao DK . Hãy tính DK , EK . c) Giải tam giác vuông EDK d) Vẽ phân giác trong DM của DEF . Tính độ dài các đoạn thẳng ME , MF . e) Tínhsin F trong các tam giác vuông DFK , DEF . Từ đó suy ra ED.DF DK.EF . Lời giải a) Vì102 62 82 hay EF 2 DE 2 DF 2 DEF vuôngtại D (địnhlíPytagođảo) b) Xét DEF vuôngtại D có DK làđườngcao: + DK.EF DE.DF (hệthứclượng) Thaysố: DK.10 6.8 DK 4,8 (cm)
3. + FK.EF DF 2 Thaysố: FK.10 82 FK 6,4 (cm) c) Giải tam giácvuông EDK : KE EF KF 10 6,4 3,6 (cm) DK 4,8 sin Eµ Eµ 53o48' DE 6 E· DK 90o 53o48' 36o52' d) Xét DEF có DM làđườngphângiác EM DE (tínhchấtđườngphângiác) MF DF EM 6 3 MF 8 4 EM MF EM MF EF 10 3 4 3 4 7 7 (Ápdụngtínhchấtdãytỉsốbằngnhau) 30 40 EM (cm), MF (cm) 7 7 DE e) Xét tam giácvuông DEF cósin F EF DK Xét tam giácvuông DFK cósin F DF DE DK EF DF ED.DF DK.EF Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD và điểm E tùy ý trên cạnh BC . Tia Ax vuông góc với AE của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnhCD tại K . a) Chứng minh AE AF b) Chứng minh AKF  CAF và AF 2 KF.CF 3 c) Cho AB 4 cm, BE cm. Tính S . 4 AEF 1 1 d) AE kéo dài cắtCD tại I . Chứng minh không phụ thuộc vào vị trí điểm E . AE 2 AI 2 Lời giải
4. a) Ta có: F· AD D· AE E· AF 90o B· AE D· AE B· AD 90o F· AD B· AE Xét ADF và ABE có: ·ADF ·ABE 90o AD AB (do ABCD làhìnhvuông) F· AD B· AE (cmt) ADF ABE (g – c – g) AF AE (haicạnhtươngứng) b) Vì AC làđườngchéocủahìnhvuông ABCD CA làphângiáccủa B· CD . ·ACF B· CD : 2 90o : 2 45o Xét AEF có AE AF (cmt) AEF cântại A Mà AI làđườngtrungtuyếncủa AEF AI cũnglàđườngphângiáccủa E· AF F· AI E· AF : 2 90o : 2 45o Hay F· AK 45o Xét AKF và CAF có + chung ·AFC + F· AK ·ACF ( 45o ) AKF  CAF (g – g) AF KF (cáccặpcạnhtươngứng) CF AF
5. AF 2 CF.KF (tínhchấttỉlệthức) c) 3 3 AB 4 cm BC 4cm BE BC .4 3(cm) 4 4 Xét ABE vuôngtại B có: AE 2 AB2 BE 2 (địnhlíPytago) 42 32 52 AE 5 cm AF 5cm 1 1 S AE.AF .5.5 12,5 (cm2) AEF 2 2 d) Ta có: AE.AJ AF.AI (vì AE AF ) Xét AFJ vuôngtại A có AD  FJ AF.AJ AD.FJ (hệthứclượng) AF.AJ AD cógiátrịkhôngphụthuộcvàovịtrí E . FJ Ví dụ 3: Hsg Thanh Hóa 2014-2015 Lời giải
6. Ví dụ 4: HSG huyện Thạch Hà 2015-2016 Lời giải:
7. 2.2. Bài tập Bài 1: HSG Triệu Phong 2018-2019 Bài 2: HSG Cẩm Thủy 2011-2012 Bài 3: HSG Triệu Sơn 2011-2012 Bài 4: HSG Cẩm Giàng 2015-2016 Bài 5: HSG Kinh Môn 2015-2016
8. Bài 6: HSG Vũ Quang 2018-2019 Bài 7: HSG Từ Liêm 2018-2019 Bài 8: HSG Lục Nam 2018-2019