Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 5: Hệ phương trình

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 5: Hệ phương trình

1. 1 CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I LÝ THUYẾT CHUNG: f x,y 0 Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng: g x,y 0 Trong đó f(x, y) và g(x, y) là các đa thức đối xứng. Nghĩa là: f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y,x) Hay hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có vai trò x, y hoàn toàn như nhau trong mỗi phương trình, nếu ta hoán đổi vị trí x và y trong hệ thì hệ x y 2xy 21 phương trình không thay đổi. Ví dụ: 2 2 2x 2y xy 7 Tính chất: Nếu hệ có nghiệm là (x0 ; y0 ) thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là (y0 ;x0 ) . PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi các phương trình của hệ đưa về ẩn S và P mà: S = x + y, P = x.y. Giải được S và P . Khi đó x,y là nghiệm của phương trình: X2 – S.X + P = 0 Một số hằng đẳng thức hay được được sử dụng: 2 x2 y2 x y 2xy S2 2P 2 x2 xy y2 x y 3xy S2 3P 2 x2 xy y2 x y xy S2 P 3 x3 y3 x y 3xy x y S3 3PS 2 2 2 2 x4 y4 x2 y2 2x2y2 x y 2xy 2x2y2 S2 2P 2P2 2 x4 x2y2 y4 x2 y2 xy x2 y2 xy S2 2P P2 1 1 x y S ; x y xy P 1 1 x2 y2 S2 2P ; x2 y2 x2y2 P2 x y x2 y2 S2 2P y x xy P THÍ DỤ MINH HỌA x y xy 1  Thí dụ .Giải hệ phương trình 2 2 x y xy 7 Lời giải
2. 2 (x y) xy 1 Hệ 2 (x y) 3xy 7 x y S S P 1 S 1, P 2  2 Đặt x, y S 4P ta được 2 xy P S 3P 7 S 4, P 3 S 1 x y 1 x 1, y 2 TH 1. P 2 xy 2 x 2, y 1 S 4 x y 4 x 1, y 3 TH 2. . P 3 xy 3 x 3, y 1 Vậy tập nghiệm của hệ là: S = ( 1; 2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1) BÀI TẬP x3 x3y3 y3 17 Bài 1. Giải hệ phương trình x xy y 5 xy(x y) 2 Bài 2. Giải hệ phương trình 3 3 3 3 x y x y 7 x 1 y 1 31 (Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019) 1.2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II KHÁI NIỆM f x,y 0 Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng: f y,x 0 Trong đó: f(x, y) là đa thức không đối xứng. Hay hệ đối xứng kiểu hai là hệ đối xứng giữa hai phương trình của hệ, nếu ta hoán đổi vị trí của x và y trong phương trình thứ nhất sẽ được phương trình thứ hai của 2 x 2y 1 1 hệ. Ví dụ: 2 khi thay hoán đổi vị trí của x và y ở phương trình (1) ta y 2x 1 2 được y2 2x 1 đây chính là phương trình (2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được nhân tử chung (x – y) nhóm lại và đưa về phương tích và sau đó xét hai trường hợp: x y (x y).A(x,y) 0 A(x,y) 0 Việc trừ theo vế thường phải sử dùng hằng đẳng thức hoặc liên hợp nếu chứa căn:
3. 3 a2 b2 a b a b a3 b3 a b a2  ab b2 a b a b a b a b 3 a 3 b 3 a2  3 ab 3 b2 THÍ DỤ MINH HỌA x2 x 2y Thí dụ.Giải hệ phương trình 2 y y 2x Lời giải Điều kiện: x,y 0 . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được: x2 x y2 y 2 y x x y x y x y 1 2 x y 0 Vì x y x y 1 2 x y 0 nên phương trình đã cho tương đương với: x y . x 0 Hay x2 2x x 0 x2 x 2x x x 1 x x 1 0 x 1 3 5 x 2 3 5 3 5 Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: x; y 0;0 , 1;1 , ; 2 2 BÀI TẬP x3 3x 1 2x 1 y Bài 1.Giải hệ phương trình 3 y 3y 1 2y 1 x 2 2 x 1 y 6 y x 1 Bài 2.Giải hệ phương trình 2 2 y 1 x 6 x y 1 1.3. HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP LÝ THUYẾT CHUNG: k f x, y c1 + Là những hệ có dạng: k g x, y c2 1 Trong đó f(x, y) và g(x, y) là các đa thức bậc k của x và y (k = , 1, 2, 3, .) và 2 không chứa thành phần nhỏ hơn k.
4. 4 + Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp. Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như: ax2 bxy cy2 d + , 2 2 ex gxy hy k ax2 bxy cy2 dx ey + , 2 2 gx hxy ky lx my ax2 bxy cy2 d + 3 2 2 3 gx hx y kxy ly mx ny PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp chung để giải hệ dạng này là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n : n n k k n a1x akx .y an y 0 Từ đó ta xét hai trường hợp: y 0 thay vào để tìm x x + y 0 ta đặt t thì thu được phương trình: a tn a tn k a 0 y 1 k n + Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x,y Chú ý: ( Ta cũng có thể đặt y tx ) THÍ DỤ MINH HỌA 2 2 2x 3xy y 12 1 Thí dụ .Giải hệ phương trình 2 2 x xy 3y 11 2 (Trích đề thi thử Chuyên Nguyễn Huệ năm 2015-2016) Lời giải 22x2 33xy 11y2 121 HPT 10x2 45xy 25y2 0 2x2 9xy 5y2 0 3 2 2 12x 12xy 36y 121 - Ta thấy y = 0 không là nghiệm của phương trình. 2 x x Chia hai vế phương trình (3) cho y2 ta được 2. 9. 5 0 y y 1 y x t x Đặt t = ( t > 0) Khi đó: 2t 2 9t 5 0 2t 1 t 5 0 2 2 y t 5 x 5y y Với x thay vào (1) ta được: 2 y2 3 x 1 x 1 y2 y2 12 y2 4 y 2 ; 2 2 y 2 y 2
5. 5 Với x 5y thay vào (1) ta được: 5 3 5 3 x x 2 2 2 2 3 3 3 50y 15y y 12 36y 12 y ; 3 3 3 y y 3 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 5 3 3 5 3 3 x; y 1; 2 , 1; 2 , ; , ; 3 3 3 3 BÀI TẬP x2 2y2 1 Bài 1. Giải hệ phương trình 3 3 2x y 2y x (Trích đề Chuyên Vũng Tàu năm 2019-2020) 2 x 2 y 2 y Bài 2.Giải hệ phương trình 3 2x x y 4 xy (Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm 2019-2020) 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 PHƯƠNG PHÁP THẾ NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: - Hệ gồm hai phương trình, trong đó từ một phương trình ta có thể rút được một ẩn theo ẩn còn lại và thế vào phương trình kia tạo ra phương trình đa thức bậc cao một ẩn có thể giải được. Đôi khi ta cũng thực hiện phép thế hằng số hoặc thế một biểu thức vào phương trình còn lại. Dấu hiệu nhận biết: - Trong hai phương trình của hệ có ít nhất một phương trình bậc nhất của x và y. - Có thể rút một biến theo biến còn lại từ một phương trình của hệ. THÍ DỤ MINH HỌA 2x 3y 5 (1)  Thí dụ .Giải hệ phương trình 2 2 3x y 2y 4 (2) Lời giải 5 3y Từ (1) ta có x thế vào (2) ta được 2 2 5 3y 2 3 y 2y 4 0 2 3(25 30y 9y2 ) 4y2 8y 16 23y2 82y 59 0 y 1 y 1 23y 59 0 59 y 23
6. 6 Với y = 1 thay vào (1) ta được: 2x 3 5 x 1 59 59 31 Với y thay vào (1) ta được: 2x 3. 5 x 23 23 23 31 59  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1;1 ; ;  23 23  Nhận xét:Ở bài toán này ta rút x theo y vì phương trình (2) của hệ chưa nhiều ẩn y hơn so với x, khi thế x theo y chúng ta sẽ nhẹ nhàng hơn trong việc tính toán. BÀI TẬP xy 2x y 14 Bài 1. Giải hệ phương trình 3 2 x 3x 3x y 1 x2 x y 1 Bài 2. Giải hệ phương trình: 3 2 2 x x y x xy x y 2 x4 2x3y x2y2 2x 9 Bài 3.Giải hệ phương trình 2 x 2xy 6x 6 * 2 y xy 1 0 1 Bài 4.Giải hệ phương trình 2 2 x y 2x 2y 1 0 2 x3 xy2 10y 0 Bài 5.Giải hệ phương trình: 2 2 x 6y 10 (Trích đề chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2015-2016) 3 3 x 8x y 2y Bài 6.Giải hệ phương trình: 2 2 x 3 3 y 1 2.2. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Phân tích thành tích A x,y 0 Hệ có dạng B x,y 0 Trong đó có một phương trình của hệ đưa được về dạng tích Chẳng hạn: A(x, y) = a(x, y).b(x, y) = 0 thông thường A(x) là phương trình đa thức 2 ẩn, hoặc phương trình đẳng cấp, tìm được mối quan hệ các biến trong phương trình. A x,y 0 a x,y .b x,y 0 a x,y 0 b x,y 0 Ta biến đổi:  B x,y 0 B x,y 0 B x,y 0 B x,y 0 Dấu hiệu thường gặp: - Có một phương trình trình là phương trình đa thức, nhưng đôi khi có thể là bậc cao chẳng hạn bậc 4 hoặc 6, chúng ta giải xuống bằng cách đặt ẩn phụ (t = x2, t = x3) - Hệ có phương trình đẳng cấp, hoặc có thể dùng phép thế để kết hợp 2 hệ chuyển được về phương trình đẳng cấp.
7. 7 - Hệ có căn thức cũng rất thường xuyên có thể chuyển về dạng tích bằng cách sử dụng lượng liên hợp, đặt ẩn phụ, hoặc đánh giá hàm số. Biến đổi 2 phương trình Đối với nhiều hệ phương trình chúng ta không thể bắt đầu khai thác từng phương trình của hệ mà phải kết hợp cả 2 phương trình của hệ mới tạo ra được muối liên hệ giữa các ẩn. Các bài toán dạng này thường không có phương pháp chung chúng ta phải linh hoạt trong từng bài toán. THÍ DỤ MINH HỌA: 2 6x 3xy x 1 y 1  Thí dụ .Giải hệ phương trình: 2 2 x y 1 2 (Trích đề chuyên Yên Bái 2012-2013) Lời giải Biến đổi phương trình (1) của hệ ta được: 6x2 3xy x 1 y 6x2 3xy x y 1 0 6x2 3xy 3x 2x y 1 0 3x 2x y 1 2x y 1 0 3x 1 2x y 1 0 3x 1 0 2x y 1 0 1 x 3 y 2x 1 1 Với x thế vào (2) ta được: 3 2 1 2 2 8 2 2 y 1 y y 3 9 3 Với y 2x 1 thế vào (2) ta được: x 0 y 1 2 2 2 x 2x 1 1 5x 4x 0 x 5x 4 0 4 3 x y 5 5 1 2 2 1 2 2 4 3  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là ; ; ; ; 0;1 ; ;  3 3 3 3 5 5  Nhận xét: Đối các hệ phương trình có một phương trình có dạng là một tam thức bậc 2 đối với 2 ẩn như phương trình (1) của hệ trên việc chúng ta phải làm kiểm tra xem phương trình này có thể chuyển về phương trình tích để rút một ẩn theo ẩn kia và thếvào phương trình còn lại. Tuy nhiên đôi khi việc chuyển về phương trình tích là tương đối khó, ta có thể một ẩn là tham số như sau:
8. 8 6x2 3xy x 1 y 6x2 3y 1 x y 1 0 1 2 2 2 2 1 3y 1 4.6 y 1 9y 6y 1 24y 24 9y 30y 25 3y 5 3y 1 3y 5 y 1 3y 1 3y 5 1 x ; x 1 12 2 2 12 3 Từ đây chúng ta dễ dành đưa phương trình của hệ về dạng tích. Trong trường hợp dental không là số chính phương thì hệ đó không giải được bằng cách đưa phương trình đó của hệ về dạng tích, ta nên nghĩ tớ việc tìm liên hệ giữa các ẩn bằng phương trình kia của hệ, hoặc có thể là phải kết hợp cả 2 phương trình cử hệ mới tìm được quan hệ giữa các ẩn. Để minh họa điều này ta đến ví dụ sau: BÀI TẬP 2 x x 3 2x y 5 x 16 1 Bài 1.Giải hệ phương trình: x 2 x y 3 y 2 (Trích đề chuyên Nam Định 2015-2016) x 1 y 1 3 1 Bài 2.Giải hệ phương trình: 2 2 xy x y x 2y 2 x2 3y2 3x 1 0 Bài 3.Giải hệ phương trình 2 2 x y x 4y 5 0. (Trích đề Chuyên Nam Định năm 2016-2017) x2 5xy x 5y2 42 Bài 4.Giải hệ phương trình . 2 7xy 6y 42 x (Trích đề Chuyên Tây Ninh năm 2019-2020) 2 2 2x x y 3 1 Bài 5.Giải hệ phương trình: 2 2 x y 1 2 2 2 x y 1 2 Bài 6.Giải hệ phương trình: 2 2 2 x y xy 1 3x 2 2 x y xy 1 4y 1 Bài 7.Giải hệ phương trình: 2 2 y x y 2x 7y 2 2 x2 y2 4x 2y 3 Bài 8.Giải hệ phương trình 2 2 x 7y 4xy 6y 13. (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2019-2020) 2 2 2 2 (x xy y ) x y 185 Bài 9.Giải hệ phương trình 2 2 2 2 (x xy y ) x y 65 (Trích đề HSG huyện Quảng Điền năm 2016-2017)
9. 9 x 3y x 3 1 x2 y2 Bài 10.Giải hệ phương trình y 3x y 2 2 0 2 x y 2.3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: Phương pháp thường xuyên được sử dụng để giải hệ phương trình nhất là việc sử dụng ẩn phụ. Tùy dạng của hệ mà ta có phép đặt ẩn phụ phù hợp. Dấu hiệu thường gặp: - Hệ đối xứng loại I - Hệ có các nhân tử lập lại trong hai phương trình của hệ - Đối với các hệ chứa căn thức chung ta cũng nên chú ý tới việc đặt ẩn phụ - Các hệ chứa tổng và hiệu (x + y), (x – y) - Đối với một số trường hợp đặt ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng loại I và loại II THÍ DỤ MINH HỌA: 2x y 3 x 1 y 1 Thí dụ 1.Giải hệ phương trình: x 3y 1 x 1 y 1 (Trích đề Chuyên Hòa Bình năm 2010-2011) Lời giải Điều kiện: x 1,y 1 x u x 1 + Đặt , Khi đó hệ phương trình trở thành: y v y 1 2u v 3 2u v 3 2u v 3 u 2 u 3v 1 2u 6v 2 5v 5 v 1 x 2 x 2 u 2 x 1 x 2x 2 Do đó: 1 v 1 y y y 1 y 1 2 y 1 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm: x,y 2; 2 x2 y2 x2y2 1 2xy Thí dụ 2.Giải hệ phương trình: 2 2 x x y xy xy y 1. Lời giải
10. 10 2 x2 y2 x2y2 1 2xy x y x2y2 1 Ta có: 2 2 x x y xy xy y 1 x y xy x y xy 1 Đặt x – y = u, xy = v hệ phương trình trở thành: 2 u2 v2 1 u v 2uv 1 1 u uv v 1 2 u v 2uv 2 2 2 u v 1 Cộng (1) và (2) theo vế ta được: u v 2 u v 3 0 u v 3 u 1 u 0 Với u v 1 uv 0  v 0 v 1 Từ đó ta được nghiệm: (x, y) = (1; 0), (0; -1), (1; 1), (-1, -1). 2 Với u v 3 uv 4 . Khi đó 9 u v 4uv 16 (vô lý) Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là : (x, y) = (1; 0), (0; -1), (1; 1), (-1, -1). 8 2 3x y 3 Thí dụ 3.Giải hệ phương trình: 6 x 3 2 y (Trích đề Chuyên Nghệ An năm 2009-2010) Lời giải 2 3 Đặt z . Hệ đã cho trở thành 2 3x z 3 y 2 3z x 3 x z z3 x3 x z x2 xz z2 3 0 x z (vì x2 xz z2 3 0, x,z ). 3 x 1 Từ đó ta có phương trình: x 3x 2 0 x 2 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x,y) ( 1; 2), 2,1 BÀI TẬP x3 4y y3 16x Bài 1.Giải hệ phương trình 2 2 1 y 5(1 x ) (Trích đề Chuyên Ninh Bình năm 2015-2016) 1 2x x y 2 Bài 2.Giải hệ phương trình 3x 3y 2x y 2 2x y 2x 6 y
11. 11 3 6x 13 x y Bài 3. Giải hệ phương trình: . 9 12 x2 xy y2 85 2 x y (Trích đề Chuyên Hà Tĩnh năm 2016-2017) x2 y2 xy xy y Bài 4. Giải hệ phương trình: 2 2 x y 3 x2 2x 6 y 1 Bài 5. Giải hệ phương trình: 2 2 x xy y 7 2.4 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: Đối với nhiều hệ phương trình việc đánh giá các phương trình của hệ là mấu chốt để giải bài toán một cách nhanh gọn, trong nhiều bài toán gần như là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình. Chúng ta thường dùng bất đẳng thức, tính đơn điệu tăng giảm của các vế của phương trình, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2, nói chung nói đến phương pháp đánh giá chúng cần hết sức linh hoạt, càng đánh giá sát và chặt thì việc giải quyết hệ phương trình càng giảm bớt các trường hợp đồng thời không bỏ soát nghiệm. THÍ DỤ MINH HỌA: x 2012 y 2012 Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: 2012 x y 2012 (Trích đề HSG huyện Thanh Oai năm 2012-2013) Lời giải 0 x 2012 Điều kiện : 0 y 2012 Từ 2 phương trình của hệ ta có: x 2012 y 2012 x y x 2012 x y 2012 y Nếu x > y thì : 2012 x 2012 y => VT > VP (mâu thuẫn) Tương tự nếu x VT x = y x y 1 Do đó: Hệ x 2012 x 2012 2 2 x 2012 x 2 x 2012 x 2012 x 2012 x 0 x 0  x 2012 Vậy nghiệm của hệ (x;y) = (0;0),(2012;2012) 2 2 2 (2x y)(x y ) 2x 6x xy 3y (1) Thí dụ 2.Giải hệ phương trình: 2 2 2 3(x y) 7 5x 5y 14 4 2x x (2)
12. 12 (Trích đề Chuyên Đăk Lăk năm 2018-2019) Lời giải Phương trình (1): (2x y)(x2 y2 x 3) 0 2x y . Thế vào (2): 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 * . Đánh giá vế trái của (*): 3(x 1)2 4 5(x 1)2 9 5 . Và đánh giá vế phải của (*): 4 2x x2 5 (x 1)2 5 . Dấu bằng xảy ra khi x 1 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) ( 1; 2). Chú ý: có thể sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để đánh giá Một số bất đẳng thức Cổ điển thường được sử dụng như: 1. Bất đẳng thức Cauchy (tên quốc tế là AM – GM) a a a a Nếu a ,a ,a , ,a là các số thực không âm thì: 1 2 3 n a .a .a a 1 2 3 n n 1 2 3 n Đẳng thức xảy ra khi a1 a2 a3 an 2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số thực bất kì a1,a2 ,a3 , ,an và b1,b2 ,b3 , ,bn ta có 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn a1b2 a2b2 a3b3 anbn Đẳng thức xảy ra khi tồn tại số thực k k 0 sao cho ai kbi với i = 1, 2, 3, , n. Một số bất đẳng thức phụ cần nhớ: 1 1 4 1. Với a, b dương ta ta có: a b a b Dấu “=” xảy ra khi a = b. 1 1 2 2. Với ab 1 thì . Với ab 1 thì bất đẳng thức đổi chiều. 1 a2 1 b2 1 ab Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1. 1 4 x 1 1 x 1 x 1 y Thí dụ 3. Giải hệ phương trình: 1 y 2 xy y 2 y Lời giải x 1 Điều kiện: y 0 Cộng theo vế phương trình (1) và (2) ta được: 1 1 4 x 1 y 2 y x 1 I x 1 y x 1 y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
13. 13 x 1 y 2 y x 1 do x 1 0,y 0 3 Mặt khác với a, b dương ta ta có: 1 1 2 1 1 4 a b 2 ab. 4 * a b ab a b a b Dấu ”=” xảy ra khi a = b 1 1 4 Áp dụng (*) ta được: 4 x 1 y x 1 y Cộng (3) và (4) ta được: 1 1 4 x 1 y 2 y x 1 II x 1 y x 1 y Từ (I) và (II) suy ra để phương trình có nghiệm thì x + 1 = y Thay x + 1 = y và phương trình (2) ta được: 1 y 2y y y 1 y3 1 y 1 x 0 y Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (0, 1) 2.5. BÀI TẬP TỔNG HỢP 2 x x y y 4y 1 0 Câu 1.Giải hệ phương trình . 2 2 y x y 2x 7y 2 (Trích đề HSG huyện Hạ Hòa năm 2015-2016) 2 y 2xy 4 2x 5y Câu 2.Giải hệ phương trình . 2 4 5x 7y 18 x 4 (Trích đề Chuyên Bắc Ninh năm 2019-2020) 1 8xy 22y 12x 25 Câu 3.Giải hệ phương trình x3 . 3 y 3y x 5 x 2 (Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm 2019-2020) 2 x y xy 3y 1 (1) Câu 4.Giải hệ phương trình x2 y 1 x y (2) 1 x2 (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2019-2020) x y 4 Câu 5.Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 x y 4x 4y 12
14. 14 (Trích đề Chuyên Lâm Đồng năm 2019-2020) (x y)2 4 3y 5x 2 (x 1)(y 1) Câu 6.Giải hệ phương trình 3xy 5y 6x 11 5 x3 1 (Trích đề Chuyên Nam Định năm 2019-2020) x y 3 2x 3y 1 Câu 7.Giải hệ phương trình: . x y 1 4 x y 54 0 (Trích đề Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2019-2020) x 6y 13 Câu 8.Giải hệ phương trình: 2 2x x 2y 3 2 x (Trích đề Chuyên Quảng Trị năm 2019-2020) 3x y 1 y 1 3x 1 y 3x y Câu 9.Giải hệ phương trình: 2 2 x y 5 (Trích đề Chuyên Tiền Giang năm 2019-2020) x 3y 2 y(x y 1) x 0 Câu 10.Giải hệ phương trình 4y 2 3 8 x x 14y 8. y 1 1 (Trích đề Chuyên Nam Định năm 2018-2019) xy x y 5 Câu 11.Giải hệ phương trình: 1 1 2 2 2 x 2x y 2y 3 (Trích đề Chuyên Hà Tĩnh năm 2018-2019) 4 4 x y 3 x y Câu 12.Giải hệ phương trình: 6 x y 5 x y (Trích đề Chuyên Bình Định năm 2018-2019) 1 1 2 2 1 Câu 13.Giải hệ phương trình : x y 2 2 x 1 y 1 xy 2 (Trích đề Chuyên Lam Sơn năm 2018-2019) x2 y2 x y x 1 y 1 2 2 Câu 14.Giải hệ phương trình x y 1 y 1 x 1 (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019)
15. 15 Câu 15.(Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019) x 2y m 3 Cho hệ phương trình (I) (m là tham số) 2x 3y m a) Giải hệ phương trình (1) khi m 1 b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm x; y sao cho P 98 x2 y2 4m đạt giá trị nhỏ nhất (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019) x2 y2 5 Câu 16. Giải hệ phương trình : x y xy 5 (Trích đề Chuyên Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Câu 17.(Trích đề Chuyên Bến Tre năm 2018-2019) x2 4y2 2 Giải hệ phương trình: x 2y 1 2xy 4 (Trích đề Chuyên Bến Tre năm 2018-2019) x3 y3 3x2 6x 3y 4 0 Câu 18.Giải hệ phương trình : 2 2 x y 3x 1 (Trích đề Chuyên Thái Bình năm 2018-2019) x2 y2 x y 18 Câu 19.Giải hệ phương trình: xy(x 1)(y 1) 72 (Trích đề Chuyên Lâm Đồng năm 2018-2019) x2 xy 6 Câu 20.Giải hệ phương trình: x,y ¡ 2 2 3x 2xy 3y 30 (Trích đề Chuyên Đồng Nai năm 2018-2019) x2 x y2 y 0 Câu 21.Giải hệ phương trình . 2 2 2x y x y 3 0 (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019) 3x2 xy 4x 2y 2 Câu 22.Giải hệ phương trình x x 1 y y 1 4 (Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2018-2019) x 3 x 1 y 2 x 3 Câu 23.Giải hệ phương trình 2 2 x 1 y 5y 8 y 2 (Trích đề Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2018-2019) x2 2x 2y 3 0 Câu 24.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình : 2 2 4 16x 8xy y 2y 4 0 (Trích đề Chuyên Tuyên Quang năm 2018-2019)
16. 16 x2 y2 3 4x Câu 25.Giải hệ phương trình : 3 3 2 x 12x y 6x 9 (Trích đề Chuyên Thái Nguyên năm 2018-2019) 2 2 x x 2x 2 1 y y 1 1 Câu 26.Giải hệ phương trình: 2 2 x 3xy y 3 (Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2016-2017) 2x2 xy y2 5x y 2 0 Câu 27.Giải hệ phương trình . 2 2 x y x y 4 0 (Trích đề Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019) 2x y 9 36 x2 0 Câu 28.Giải hệ phương trình 2 y xy 9 0 (Trích đề Chuyên Vĩnh Long năm 2018-2019) x2 y3 1 (1) Câu 29.Giải hệ phương trình: 2 5 3 2 x y x y (2) (Trích đề Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2018-2019) 2 x xy x 3y 6 0 Câu 30. Giải hệ phương trình 2 5x 6 16 3y 2x 2x y 4. (Trích đề Chuyên Bắc Giang năm 2018-2019) 3 27 8x 18 y3 Câu 31.Giải hệ phương trình 4x2 6x 2 1 y y (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019) 2 x 2y xy 2x Câu 32.Giải hệ phương trình: x y xy 2 (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019) x 3y 2 y x y 1 x 0 Câu 33.Giải hệ phương trình: 4y 2 3 8 x x 14y 8 y 1 1 (Trích đề Chuyên Nam Định năm 2018-2019) x 2y xy 2 Câu 34.Giải hệ phương trình 2 2 . x 4y 4 (Trích đề Chuyên Quảng Ngãi năm 2018-2019)
17. 17 x 16 xy - = y 3 Câu 35.Giải hệ phương trình: . y 9 xy - = x 2 (Trích đề Chuyên Quảng Ngãi năm 2018-2019) 4 x 2 2 3 x 4 3y y 1 10 Câu 36.Giải hệ phương trình: 3 2 x 2 x y y 1 2 (Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm 2018-2019) x2 4y2 2 Câu 37.Giải hệ phương trình:  x 2y 1 2xy 4 (Trích đề Chuyên Bến Tre năm 2018-2019) 2 2 x 1 y 1 10 Câu 38.Giải hệ phương trình : x y xy 1 3 (Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2018-2019) 2 2 2x y xy x y 0 Câu 39.Giải hệ phương trình 2x y 2 2 2x 0. (Trích đề Chuyên Nam Định năm 2016-2017) x2 y2 2y 1 Câu 40.Giải hệ phương trình: . xy x 1 (Trích đề Chuyên Trà Vinh năm 2018-2019) 2x2 xy y2 3y 2 Câu 41.Giải hệ phương trình 2 2 x y 3 (Trích đề Chuyên Tiền Giang năm 2018-2019) 2 x y xy 3y 1 Câu 42.Giải hệ phương trình x2 y 1 . x y 1 x2 (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019) x3 4y y3 16x Câu 43.Giải hệ phương trình 2 2 1 y 5(1 x ) (Trích đề Chuyên Ninh Bình năm 2015-2016) 1 x 2 2 x xy 2y (1) Câu 44.Giải hệ phương trình x y 2 x 3 y 1 x 3x 3 (2) (Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2015-2016)
18. 18 2 4 x 1 xy y 4 0 1 Câu 45.Giải hệ phương trình : 2 2 2 x xy 1 3 x 1 xy 2 . (Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2017-2018) 1 1 x y 4 0 x y Câu 46.Giải hệ phương trình : 1 x y xy - 4 = 0 xy y x (Trích đề Chuyên Quốc Học Huế năm 2010-2011) x2 2xy x 2y 3 0 Câu 47. Giải hệ phương trình: 2 2 y x 2xy 2x 2 0. (Trích đề Chuyên Phan Bội Châu năm 2012-2013) x(x 4)(4x y) 6 Câu 48.Giải hệ phương trình: 2 x 8x y 5 (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2015-2016) x y 2a 1 a Câu 49. Cho hệ phương trình: 2 2 2 (với là tham số). x y 2a 4a 1 1. Giải hệ khi a 1 . 2. Tìm a để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thoả mãn tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất (Trích đề Chuyên Lam Sơn năm 2011-2012) x2 xy 2y2 0 Câu 50.Giải hệ phương trình . 2 xy 3y x 3 (Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm 2017-2018) (m 1)x (m 1)y 4m Câu 51.Cho hệ phương trình , với m R x (m 2)y 2 a. Giải hệ đã cho khi m –3 b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. (Trích đề Chuyên Gia Lai năm 2012-2013) x y 3 1 Câu 52.Giải hệ phương trình : y x 3 (Trích đề Chuyên Đồng Nai năm 2012-2013) m 1 x y 2 Câu 53.Cho hệ phương trình: (m là tham số) mx y m 1 1. Giải hệ phương trình khi m 2 ;
19. 19 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả mãn: 2 x + y 3. (Trích đề Chuyên Thái Bình năm 2009-2010) x + y + z = 1 Câu 54.Giải hệ phương trình: 2 . 2x + 2y - 2xy + z = 1 (Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2009-2010) 3 2 x x x y y Câu 55.Giải hệ phương trình: 2 x4 1 5 x y 2 0 (Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2009-2010) x y z 1 Câu 56.Giải hệ phương trình: 2 2x 2y 2xy z 1 (Trích đề Chuyên Tuyên Quang năm 2012-2013) x y 3 xy Câu 57.Giải hệ phương trình . 2 2 x y 18 (Trích đề Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2016-2017) 3x2 8y2 12xy 23 Câu 58.Giải hệ phương trình: 2 2 x y 2. (Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2010-2011) 2 2 x+ x +2012 y+ y +2012 2012 Câu 59.Giải hệ phương trình . 2 2 x + z - 4(y+z)+8 0 (Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2012-2013) Câu 60.Giải hệ phương trình: x2 y2 xy 3 2 xy 3x 4 (Trích đề Chuyên Hải Dương năm 2009-2010) 1 x x2 xy 2y2 (1) Câu 61.Giải hệ phương trình x y 2 ( x 3 y)(1 x 3x) 3 (2) (Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2015-2016) (x 2y 2)(2x y) 2x(5y 2) 2y Câu 62.Giải hệ phương trình: 2 x 7y 3 (Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2013-2014)
20. 20 mx y 2 Câu 63.Cho hệ phương trình: 3x my 5 a) Giải hệ phương trình khi m 2 . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức m2 x y 1 . m2 3 (Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm 2008-2009) 2 x 9 y 9 Câu 64.Giải hệ phương trình 2 y 9 x 9 (Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2011-2012) 2xy x 2y 20 Câu 65.Giải hệ phương trình 1 2 4 y x 3 (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2013-2014) x y 13 Câu 66.Giải hệ phương trình x 3 y 7 5. (Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm 2009-2010) x2 2y 3 y2 4x Câu 67. Giải hệ phương trình 2 2 x y 5 (Trích đề Chuyên Bình Phước năm 2012-2013) x2 xy 4x 6 Câu 68.Giải hệ phương trình: 2 y xy 1 (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm 2012-2013) 3 6 x 2 y Câu 69.Giải hệ phương trình: 8 3x 3 2. y (Trích đề HSG tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) 2 2 x 1 y 3 1 Câu 70.Giải hệ phương trình: x 1 y 3 x y 3. 3 (Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2018-2019) Câu 71.
21. 21 x y m 1 1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình (với m là tham số thực). 2x 3y m 3 Tìm m để biểu thức P x2 8y đạt giá trị nhỏ nhất. x2 y2 1 2) Giải hệ phương trình 3 3 (với x, y thuộc R). x y 1 (Trích đề HSG tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) x x2 1 2y 1 Câu 72.Giải hệ phương trình: 2 y y 1 2x 1 (Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) xy 2x y 6 Câu 73.Giải hệ phương trình: 2 2 x 1 y 2 8 (Trích đề HSG tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) x3 2xy2 12y 0 Câu 74.Giải hệ phương trình: 2 2 8y x 12 (Trích đề HSG tỉnh Sơn La năm 2018-2019) 2 (y 2x)(1 y x) 2x x Câu 75.Giải hệ phương trình: 3 2 x(y 1) x y 2 (Trích đề HSG tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) 2 x y 1 2 x y 1 4 Câu 76.Giải hệ phương trình: xy x y . 2 4x 5y x y 1 6 x 13 (Trích đề HSG tỉnh Nam Định năm 2018-2019) 2x y 1 3y 1 x x 2y Câu 77.Giải hệ phương trình: 3 3 2 x 3x 2 2y y (Trích đề HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) 2 x y 2x 1 2y 1 Câu 78.Giải hệ phương trình: 2 2 3x 2y y 1 4 x (Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2017-2018) (x y)2 (8x2 8y2 4xy 13) 5 0 Câu 79.Giải hệ phương trình: 1 2x 1 x y (Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018)
22. 22 m 1 x y 2 Câu 80. Cho hệ phương trình (với m là tham số và x, y là ẩn số). x 2y 2 Tìm các giá trị m nguyên để hệ phương trình có nghiệm x, y nguyên. (Trích đề HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017-2018) x2 y2 xy 2 Câu 81.Giải hệ phương trình: 3 x x y (Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2017-2018) x2 2 xy2 Câu 82.Giải hệ phương trình: 2 2 y 2 x y (Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017) 2 2 3 x xy xy y 0 Câu 83.Giải hệ phương trình 2 2 x 1 3 x y 1 y 0. (Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2016-2017) xy2 2x 4y 1 Câu 84.Giải hệ phương trình 2 3 2 x y 2xy 4x 3y 2 (Trích đề HSG tỉnh Quảng Nam năm 2016-2017) 2 x2 y 1 xy x 1 Câu 85.Giải hệ phương trình . 3 2x x y 1 (Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2016-2017) 2 2 y 2x 1 3 5y 6x 3 Câu 86.Giải hệ phương trình 4 2 2y 5x 17x 6 6 15x (Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2016-2017) x y 1 y x 1 6 Câu 87.Giải hệ phương trình x 1 y 1 1 (Trích đề HSG TP. Hồ Chí Minh năm 2016-2017) x2 4y2 3 4x Câu 88.Giải hệ phương trình 3 3 2 x 12x 8y 6x 9 (Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2015-2016) 4x2 1 y2 4x Câu 89.Giải hệ phương trình 2 2 x xy y 1 (Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) x3 y3 4 4x y Câu 90.Giải hệ phương trình . 2 2 y 5x 4
23. 23 (Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2015-2016) 2 2 2x y 3xy 4x 3y 2 0 Câu 91.Giải hệ phương trình 2 x y 3 y x 1 2 (Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2015-2016) 2x2 y2 xy y 5x 2 0 Câu 92.Giải hệ phương trình 2 2 x y x y 4 0 (Trích đề HSG tỉnh Phú Thọ năm 2015-2016) 2 y y x 1 1 x 1 0 Câu 93.Giải hệ phương trình 2 2 x y 7x 3 0. (Trích đề HSG tỉnh Nam Định năm 2015-2016) x 5y 20 Câu 94.Giải hệ phương trình 2 1 x 1 2x 1 3x 1 3y 1 3y 2x (Trích đề HSG tỉnh Đắc Lắc năm 2015-2016) 5x2 2y2 2xy 2x 4y 24 Câu 95.Giải hệ phương trình 3x 2x y 1 x y 1 11 (Trích đề HSG tỉnh Vĩnh Long năm 2015-2016) x y z 3 1 1 1 1 Câu 96.Giải hệ phương trình x y z 3 2 2 2 x y z 17 (Trích đề HSG TP Hà Nội năm 2015-2016) x2 xy zx 48 Câu 97.Giải hệ phương trình y2 xy yz 12 2 z zx yz 84 (Trích đề HSG tỉnh Đà Nẵng năm 2015-2016) x3 y 3 15y 14 3 2y2 x Câu 99.Giải hệ phương trình 3 4x 6xy 15x 3 0 (Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2014-2015) x2 y2 xy 2 Câu 100.Giải hệ phương trình 3 3 x y 2x 4y (Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2014-2015) 2 2 x 1 y y 1 x 2 xy 1 Câu 101.Giải hệ phương trình 2 2 4x y 2x y 6 0 (Trích đề HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015)
24. 24 x2 y2 2x2 y2 Câu 102.Giải hệ phương trình 2 2 (x y)(1 xy) 4x y (Trích đề HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2014-2015) Câu 103. mx 2y 2 Cho hệ phương trình (với m là tham số). 2x my 5 a) Giải hệ phương trình khi m 10; b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn 2015m2 14m 8056 x y 2014 . m2 4 (Trích đề HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2014-2015) 3x2 xy 4x 2y 2 Câu 104.Giải hệ phương trình x x 1 y y 1 4 (Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2014-2015) x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Câu 105.Giải hệ phương trình . 2 2 x y 10 (Trích đề HSG tỉnh Khánh Hòa năm 2014-2015) x3 2x y Câu 106.Giải hệ phương trình 3 y 2y x (Trích đề HSG tỉnh Hải Dương năm 2014-2015) 4x3 y3 x 2y Câu 107.Giải hệ phương trình 2 2 52x 82xy 21y 9 (Trích đề HSG tỉnh Hưng Yên năm 2014-2015) 3x2 2y2 4xy x 8y 4 0 Câu 108.Giải hệ phương trình 2 2 x y 2x y 3 0. (Trích đề HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015)