Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 8: Đa thức

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 8: Đa thức

1. CHUYÊN ĐỀ 8: ĐA THỨC Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các iớp chuyên toán,có bài toán xác định đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức tường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân chính là học sinh được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết nhưng rời rạc ở các khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng. Qua đây nhằm củng cố kiến thức về đa thức tong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 rèn kỹ năng giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS. 1. Xác định đa thức Ví dụ 1. Cho đa thức: f x a.x2 bx c , Xác định các hệ số a,b,c biết: f 0 2; f 1 7; f 2 14 Lời giải Theo bài ra ta có: f(0) = 2 0 c 2 c 2 f(1) = 0 a b 2 7 a b 5 (1) f(-2) = -14 4a 2b 2 14 2a b 8 (2) Từ (1) và (2) suy ra: a = -1 và b = 6. Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x2 + 6x + 2. Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số. Bài tập áp dụng: Xác định đa thức: P x a.x3 bx2 cx d , biết: P 0 2017,P 1 2,P 1 6,P 2 6033 Ví dụ 2. Tìm đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãi các điều kiện sau: P(-1) = 0 và P x P x 1 x x 1 2x 1 ,x R. Lời giải Với x = 0 thì P 0 P 1 0 Với x = - 1 thì P 1 P 2 0 Do đó P(x) nhận -1, 0, -2 là nghiệm. Đặt P x x x 1 x 2 ax b vớ a ≠ 0. Với x = 1 thì P(1) = P(0) + 6 = 6. Suy ra: a + b = 6 (1) 3 Với x = 2 thì P(2) = P(1) + 30 = 36. Suy ra: 2a b (2) 2 1 Từ (1) và (2) suy ra: a b 2 1 2 Vậy P x x 1 x 2 2
2. Bài tập áp dụng: Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x) Ví dụ 3. Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn: f(8) = 2003. Lời giải n n-1 Xét đa thức f(x) = anx + an –1x + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8. n n-1 Do f(8) = 2003 nên an.8 + an-1.8 + +a1.8 + a0 = 2003 Ở đây a0, a1, , an-1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệ ghi số cơ số 8. Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3 lại lấy thương chia cho 8, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3 Bài tập áp dụng: Tìm đa thức f(x) các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 5 và f(5) = 352 2. Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác Ví dụ 1. Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư bằng 14. Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3) Lời giải Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3 theo theo thứ tự là A(x) và B(x) Ta có: f(x) = (x – 1).A(x) + 4 với mọi x (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 vỡi mọi x (2) Gọi thương của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là C(x) và dư là R(x).Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên bậc của nó nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có dạng ax + b Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với mọi x (3) Thay x =1 vào (1) và (3) ta được : f(1) = a + b Thay x =3 vào (2) và (3) ta được : f(3) =14; f(3) = 3a + b a b 4 a 5 3a b 14 b 1 Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là 5x – 1 Cách 2: f(x) = (x – 1).A(x) + 4 nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2) Lấy (2) – (1) ta được: [(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3) nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – 2 A(x) B(x) f(x) = (x – 1)(x – 3). 5x 1 2 Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc số chia vậy số dư cần tìm là 5x – 1.
3. Ví dụ 4. Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia x 2 + 1 dư 2x + 3. Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho (x + 1).(x2 + 1) Lời giải Theo định lý Bơ du ta có f(-1) = 4 (1) Do bậc của đa thức chia(x + 1)(x2 +1) là 3 Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c f(x) = (x + 1)(x2 + 1). q(x) +ax2 + bx +c = [(x +1). q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a (2) mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 (3) Từ (1), (2), (3) ta có b = 2 (4) ; c – a = 3 (5) Mà f(-1) = 4 nên a – b + c = 4 hay a – 2 + c = 4 (6) 3 9 Từ (5) và (6) suy ra: a , c 2 2 3 9 Ta được đa thức cần tìm: x2 + 2x + 2 2 Ví dụ 5. Tìm đa thức dư của phép chia: x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 –1 Lời giải Cách1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia. Ta thấy xn – 1 chia hết cho x – 1 với mọi số tự nhiên n nên x2n – 1 chia hết cho x2 – 1; x6 – 1, chia hết cho x2 – 1. Ta có: x7 + x5 + x3 + 1 = x7 – x + x5 – x + x3 – x + 3x + 1 = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 Dư của phép chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 – 1 là 3x + 1 Cách 2: Xét giá trị riêng Gọi thương của phép chia là Q(x) dư là ax + b Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b với mọi x Đẳng thức đúng với x nên với x = 1 ta được: 4 = a + b (1) Với x = - 1 ta được –2 = - a + b (2) Từ (1), (2) a = 3; b = 1 Vậy dư của phép chia là: 3x + 1. Bài tập áp dụng: Câu 1. Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư 8. Chia cho (x + 3)(x – 3) thì được thương 3x và còn dư. Câu 2. Tìm đa thức dư của phép chia: x99 + x55 + x11 + x +7 cho x2 + 1 Chú ý: để chứng minh đa thức chia hết ta đi chứng minh đa thức dư là đa thức 0 3. Tính giá trị của đa thức Phương pháp: Có nhiều phương pháp để giải bài toán xác định đa thức chủ yếu là dùng đa thức thuần nhất; hai đa thức đồng nhất; định lý Bơ du; hệ số bất định khi xác định đa thức bậc n mà đã
4. biết n + 1 giá trị của nó. Song có nhiều bài toán không thể tìm được đa thức bằng cách trực tiếp mà phải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để xác định đa thức hoặc tính giá trị riêng của đa thức. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = f(12) + f(-8) 30. Tính: +15 10 Phân tích bài toán: - Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x). - Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x). Thuật toán tìm đa thức phụ. Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x) Trong đề bài bậc của h(x) nhỏ hơn 3 nghĩa là: g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Bước 2: Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0. 0 =1+ a + b + c Tức là: 0 = 20 + 4a + 2b + c 0 = 30 + 9a + 3b + c Giải hệ phương trình được : a = 0; b = -10; c = 0 Theo phương pháp hệ số bất định: Suy ra: h(x) = - 10x Hay: g(x) = f(x) – 10x Lời giải Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x g(1) = g(2) = g(3) = 0 Do bậc f(x) là bậc 4 nên bậc của g(x) là 4 và g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3 suy ra: g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12 = 11.10.9. (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12] f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8) = (-11).(-10).(-9). (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8] Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8] = 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0) = 10.1984 f(12) + f(-8) Ta tính được: +15 =1984 +15 =1999 10
5. Ví dụ 2. Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6) Phân tích bài toán: - Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x). - Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x). Lời giải + Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = 0 a, b, c là nghiệm của hệ phương trình 0 = 3+ a + b + c 0 =11+ 9a + 3b + c 0 = 27 + 25a + 5b + c Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2 + Tính giá trị f(x): Bậc f(x) là bậc 4 nên g(x) là bậc 4 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) 2 2 f (x) g(x) ( x 2) (x 1)(x 3)(x 5)(x x0 ) x 2 Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112 Ví dụ 3. Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x 3 là một số nguyên, thoả mãn f(1999) = 2000 và f(2000) = 2001. Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số. Phân tích bài toán: - Đa thức bậc 3 mà mới biết hai giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x). - Bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x). Lời giải + Tìm đa thức phụ. Đặt g(x) = f(x) + ax + b. Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 tương đương với a, b là nghiệm 0 = 2000 +1999.a + b của hệ: 0 = 2001+ 2000.a + b Giải hệ ta được : a = b = - 1 Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1 + Tính giá trị của f(x): Giả sử k Z là hệ số của x 3 của đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên: g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1) f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 1 Ta có f(2001) = k . 2 . 1 . 2001 + 2002 = 2k . 2001 + 2002 f(1998) = k. (-1) . (-2) . 1998 + 1999 = 2k . 1998 + 1999
6. f(2001) – f(1998) = 2k . 2001 + 2002 – 2k . 1998 + 1999 Tính được f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) Vì 3(2k + 1) là hợp số. Vậy f(2001) – f(1998) là hợp số. Ví dụ 11. Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – 3 đều dư 6 và f(-1) = -18. Phân tích bài toán: - Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 đều dư 6, theo định lý Bơ du ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6. Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc là 2. - Bậc của f(x) là 3, có ba giá trị của đa thức nên hệ số của f(x) phụ thuộc vào tham số. Lời giải + Tìm đa thức phụ: Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6 Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0 0 6 a b c a,b,c là nghiệm của hệ 0 6 4a 2b c 0 6 9a 3b c Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – 6 Với g(1) = g(2) = g(3) = 0 + Xác định f(x): Do bậc f(x) là 3 nên bậc g(x) là 3 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) g(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) (n là hệ số của x3 trong đa thức f(x)). f(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) + 6 Mặt khác f(-1)= -18 n = 1 f(x) = x3 – 6x2 + 11x. Ví dụ 12. Tìm đa thức bậc 3 biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1 Lời giải Cách 1: Đã giải ở dạng 1 Cách 2: +Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) =f(x) +ax2 +bx + c 0 10 c Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = 0 a, b, c là nghiệm của hệ 0 12 a b c 0 4 4a 2b 2 Hệ ta được: a = 5, b = -7, c = -10 Nên đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10 Với g(x) = g(1) = g(2) = 0 + Xác định f(x) Do bậc f(x) là 3 và bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho x; x – 1; x – 2 Gọi m là hệ số của x3 của đa thức f(x) thì g(x) = mx(x – 1)(x – 2)
7. f(x) mx(x 1)(x 2) 5x2 7x 10 0 5 Mặt khác; f(3) = 1 m = 2 5 25 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x 3 - x 2 12x 10 2 2 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Câu 1. Cho đa thức P(x) ax2 bx c a  * thỏa mãn P 9 P 6 2019. Chứng minh P 10 P 7 là một số lẻ. (Trích đề chuyên Phan Bộ Châu năm 2019-2020) Câu 2. Xác định các hệ số a và b để đa thức P x x4 2x3 3x2 ax b là bình phương của một đa thức. (Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) 1 Câu 3. Cho các đa thức P x và Q x thoả mãn P x Q x Q 1 x x ¡ . Biết rằng 2 các hệ số của P x là các số nguyên không âm và P 0 0 . Tính P 3P 3 P 2 . (Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Câu 4. Cho các đa thức P x x3 ax2 bx c; Q x x2 2016x 2017 thỏa mãn các điều kiện P x 0 có ba nghiệm thực phân biệt và P Q x 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng P 2017 10086. (đề 22) (Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Câu 5. Cho đa thức P(x) ax2 bx c. Biết P(x) chia cho x + 1 dư 3, P(x)chia cho x dư 1 và P(x)chia cho x – 1 dư 5. Tìm các hệ số a, b, c. (Trích đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2015-2016) Câu 6. Tìm các số thực a, b, sao cho đa thức 4x4 11x3 2ax2 + 5bx – 6 chia hết cho đa thức x2 – 2x – 3 . (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Câu 7. Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư 1; f(x) chia cho x – 4 dư 8; f(x) chia cho (x + 3)(x – 4) thì được 3x và còn dư. Câu 8. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư 6 và P(- 1) = - 18. 200 100 Câu 9. Chứng minh rằng đa thức f x x 3 x 2 1 chia hết cho đa thức g x x2 5x 6 Câu 10. Cho đa thức P(x) ax2 bx c . Biết P x chia cho x + 1 dưa 3, P x chia cho x dư 1 và P x chia cho x – 1 dư 5. Tìm các hệ số a, b, c.
8. Câu 11. Cho đa thức f(x) x2 a 3 x a . Xác định a để f(x) chia hết cho (x – 2). Câu 12. Cho đa thức f(x) x2 2 a 1 x b 1. Xác định a, b để f(x) chia hết cho (x – 1) và và đa thức (x + 2). Câu 13. Cho đa thức bậc 3 dạng: f x = x3 ax2 bx c chia hết cho (x – 2) và khi chia cho (x2 – 1) dư 2x. 1 Câu 14. Cho đa thức f(x) có bậc 2002 thỏa mãn điều kiện: f n với x = 1; 2; 3; ;2001. Tính n giá trị của f(2002) Câu 15. Cho đa thức: P x x4 ax3 bx2 cx d thỏa mãn P 1 3,P 3 11,P 5 27. Tính giá trị của: S P 2 7.P 6 . h 2 7 Câu 16. Thì các đa thức g(x) và h(x) với hệ số nguyên sao cho: 2 . g 2 7 x3 Câu 17. Cho f x . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 3x 3x2 1 2 2010 2011 A f f f f 2012 2012 2012 2012 Bài 18. Cho đa thức P(x) thỏa mãn: 1 1 P 1 1;P P x ,x 0; P x1 x2 P x1 P x2 ,x1 ,x2 R. x x2 5 Tính P 7 Bài 19. Cho đa thức P x x3 x và Q x x81 x49 x25 x9 x 1. a) Tìm số dư trong phép chia Q(x) cho P(x) b) Tìm x để Q x P x Câu 20. Cho đa thức P x ax2 bx c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì thì P(x) là số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là số nguyên và b là số chẵn. Câu 21. Cho hàm số f x xác định với mọi x thuộc R, biết rằng với mọi x ta đều có:
9. 1 2 f x 3 f x , Tính f 2 3 Câu 22. CMR đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm, biết : x 6 P x x 1 P x 4 Câu 23. Cho f x a.x3 4x x2 1 8 và g x x3 4x bx 1 c 3 , Trong đó a, b, c là các hằng số, Xác định a, b, c để f x g x Câu 24. Cho P x a.x2 bx c , CMR nếu: 5a b 2c 0 thì P 2 .P 1 0 100x Câu 25. Cho hàm số f x , CMR : nếu a,b là hai số thỏa mãn : a + b = 1 thì 100x 10 f a f b 1 Câu 26. Cho f x a.x2 bx c có tính chất f(1),f(4),f(9) là các số hữu tỉ, CMR khi đó a,b,c là các số hữu tỉ Câu 27. Tính tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc : 2008 2009 P x 8x2 3x 10 8x2 x 10 Câu 28. Cho đa thức : P(x) a.x2 bx c Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(2) ; P(2) có ít nhất 1 số âm, ít nhất 1 số không dương 3 x 3 x 5 4 x 1 x 5 5 x 1 x 3 Câu 29. Giải phương trình: 3x 2. 1 3 1 5 3 1 3 5 5 1 5 3