Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - Trần Kim Oanh

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - Trần Kim Oanh

1. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI 1.1. Kiến thức cần nhớ 1.1.1Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy a. Dạng tổng quát + Cho x1, x2, x3 , , xn là các số thực không âm ta có: x x x Dạng 1: 1 2 n n x .x x n 1 2 n n Dạng 2: x1 x2 x n n. x1.x2 x n n x x x Dạng 3: 1 2 n x .x x 1 2 n n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 x n + Cho x1, x2, x3 , , xn là các số thực dương ta có: 1 1 1 n2 Dạng 1: x1 x2 x n x1 x2 x n 1 1 1 Dạng 2: x x x n2 1 2 n x x x 1 2 n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 x n b. Một số dạng đặc biệt N n 2 n 3 Điều kiện x, y 0 x, y, z 0 x y x y z Dạng 1 xy 3 xyz 2 3 2 3 x y x y z Dạng 2 xy xyz 2 3 1 1 4 1 1 1 9 Dạng 3 x y x y x y z x y z x, y 0 x, y, z 0 1 1 1 1 1 x y 4 x y z 9 Dạng 4 x y x y z x, y 0 x, y, z 0 Đẳng thức xẩy ra x y x y z 1.1.2. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy 2 + x2 y2 2xy; 2 x2 y2 x y ; 2 x y x y 2 3 x y + x2 y2 xy 4 + x2 y2 z2 xy yz zx 2 + 3 x2 y2 z2 x y z 3 xy yz zx
2. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO + x2y2 y2z2 z2y2 xyz x y z 2 + 3 x 4 y4 z4 xy yz zx 3xyz x y z 1.2. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy 1.2.1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 1 Bài toán 1. Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a a 1 1 Sai lầm thường gặp là: A a 2 a  2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2. a a 1 Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ nhất của A là 2 a a 1, điều này không xẩy ra vì theo a giả thiết thì a 2. Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăng thì A càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a 2. Khi đó ta nói A đạt giá trị nhỏ nhất tại “Điểm rơi a 2”. Ta 1 không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và vì không thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Vì a 1 vậy ta phải tách a hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Giả a a 1 a 1 sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , sao cho tại “Điểm rơi a 2” thì , ta có k a k a sơ đồ sau: a 1 2 1 a 2 k a k 4 1 1 k 2 a 2 1 a 3a 1 Khi đó ta được A a và ta có lời giải như trên. a 4 4 a Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5 A a 2  1 a 4 a 4 4 a 4 4 2 5 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . 2 a 1 1 k Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số , ta có thể chọn các các cặp số sau: ka, hoặc a, hoặc k a a a 1 a, . ka 1 Bài toán 2. Cho số thực a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a a2 Bài toán 3. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 A ab ab 18 Bài toán 4. Cho số thực a 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a2 a
3. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO Bài toán 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 9 4 A a b c a 2b c Bài toán 6. Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn ab 12; bc 8 . Chứng minh rằng: 1 1 1 8 121 a b c 2 ab bc ca abc 12 Bài toán 7. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a b ab A ab a b Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c b c c a a b A b c c a a b a b c Bài toán 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 A a2 b2 2ab Bài toán 10. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 A 1 a2 b2 2ab Bình luận: Qua các bài toán trên ta thấy, khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức thì các đánh giá trung gian phải được bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên việc xác định đúng vị trí điểm rơi xẩy ra sẽ tránh cho ta sử dụng các đánh giá trung gian sai lầm. Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm rơi đúng sẽ chỉ cho ta cách chọn các đánh giá hợp lí trong chuỗi các đánh giá mà ta cần phải sử dụng. Bây giờ ta đi tìm hiểu kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thông qua một số ví dụ sau. Bài 11: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 8a2b2c2 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c. Trong bất đẳng thức trên thì vế trái có các đại lượng a2 b2; b2 c2; c2 a2 và vế phải chứa đại lượng 8a2b2c2 . Để ý ta nhận thấy 8a2b2c2 2ab.2bc.2ca, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân a2 b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a2 2ca . Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x2 y2 2 x2y2 2 xy , ta có: a2 b2 2 ab 0 2 2 b c 2 bc 0 c2 a2 2 ca 0 Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được: a2 b2 b2 c2 c2 a2 8 a2b2c2 8a2b2c2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét: - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. - Để ý rằng ta sử dụng cách đánh giá x2 y2 2 x2y2 2 xy khi chưa xác định được x, y âm hay dương.
4. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO - Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Bài 12: Cho a, b là các số thực dương không âm tùy ý. Chứng minh rằng: 8 2 a b 64ab a b Bài 13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1. Chứng minh rằng: 1 1 4ab 7 a2 b2 ab a2 2 Bài 14: Cho số thực a bất kì. Chứng minh rằng: 2 a2 1 1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện a b c 1. Chứng minh rằng: a b b c c a 6 Sai lầm thường gặp: 2. a b.1 a b 1 a b 2 2 2. b c.1 b c 1 b c 2 2 2. c a.1 c a 1 c a 2 2 2 a b c 3 5 a b b c c a 6 . 2 2 Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì? Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b b c c a 1 a b c 2. Điều này trái với giả thiết. Phân tích tìm lời giải: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau - Đẳng thức xẩy ra tại đâu? - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số nào? Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ 1 2 là a b c , từ đó ta có a b b c c a . Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc hai nên để 3 3 2 phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số là a và , . Đến đây ta có lời giải đúng như sau: 3 Lời giải x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy cho hai số không âm ta có: 2
5. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO 2 a b 3 2 3 a b . a b . . 3 2 3 2 2 2 b c 3 2 3 3 b c . b c . . 2 3 2 2 2 c a 3 2 3 c a . c a . . 3 2 3 2 2 2 2 a b c 3. 3 a b b c c a . 3 6 2 2 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện a b c 1. Chứng minh rằng: 3 a b 3 b c 3 c a 3 18 Sai lầm thường gặp 3 a b 1 1 a b 3 a b .1.1 3 3 b c 1 1 b c 3 b c .1.1 3 c a 1 1 3 c a 3 c a .1.1 3 2 a b c 6 8 3 a b 3 b c 3 c a 3 18 . 3 3 Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì? Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b b c c a 1 a b c 2. Điều này trái với giả thiết. Phân tích tìm lời giải: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau - Đẳng thức xẩy ra tại đâu? - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số? Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ 1 2 là a b c , từ đó ta có a b b c c a . Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để 3 3 2 2 phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là a, và , . Đến đây ta có lời giải đúng như sau: 3 3 Lời giải x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 3 xyz cho các số thực dương ta được 3
6. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO 2 2 a b 9 2 2 9 3 a b 3 .3 a b . . 3 . 3 3 4 3 3 4 3 2 2 b c 3 9 2 2 9 3 3 b c 3 .3 b c . . 3 . 4 3 3 4 3 2 2 c a 3 9 2 2 9 c a 3 .3 c a . . 3 . 3 3 4 3 3 4 3 9 2 a b c 4 Suy ra 3 a b 3 b c 3 c a 3 . 3 18 4 3 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 3 a b 2c 3 b c 2a 3 c a 2b 33 3 1 1 1 Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 4. Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 1 2a b c a 2b c a b 2c Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a b c 2 b c c a a b Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a b b c c a 2 a2 b2 6c b2 c2 6a c2 a2 6b Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 c 2 ab a 2 bc b 2 ca Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab bc ca 0. Chứng minh rằng: a b c b c a c a b 2 a2 bc b2 ca c2 ab Ví dụ 9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 6 . Chứng minh rằng: a b c 2 b3 1 c3 1 a3 1 Ví dụ 10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: bc ca ab 1 a bc b ca c ab 2 1.2.3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản. Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau:
7. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO - Dạng 1: Chứng minh X Y Z A B C . Ý tưởng 1: Nếu ta chứng minh được X Y 2 XY 2A . Sau đó tương tự hóa để chỉ ra Y Z 2B; Z X 2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có: X Y Z A B C Ý tưởng 2: Nếu ta chứng minh được X A 2 XA 2B Sau đó tương tự hóa để chỉ ra Y Z 2C; Z X 2A (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh. - Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với X, Y, Z 0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A 2 . Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ B2; ZX C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có XYZ A 2B2C2 = ABC ABC. Chú ý một số cách ghép đối xứng: 2 x y z x y y z z x Phép cộng: x y y z z x x y z 2 2 2 2 2 2 x y z xy . yz . zx Phép nhân: x, y, z 0 xyz xy. yz. zx Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca a b c c a b Phân tích: Bài toán này có dạng X Y Z A B C , trong đó ab bc ca X , Y ,Z , A a, B b,C c. c a b ab bc Để ý rằng hai biểu thức và là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như nhau). Do đó sử c a ab bc dụng kỹ thuật ghép cặp ta sẽ thử chứng minh 2b . c a Lời giải ab bc ab bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2  2b c a c a ca ab bc ac Tương tự ta có 2a; 2c b c a b ab bc ca Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được a b c c a b Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abc b c a c a b a b c
8. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO Phân tích: Nếu b c a c a b a b c 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Ta xét trường hợp b c a c a b a b c 0 . Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ ABC , vì vậy sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh b2 a b c b c a . Lời giải Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng quát ta giả sử a b c , Khi đó a b c 0 và a c b 0. + Nếu b c a 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. + Nếu b c a 0. Khi này ta có b c a; c a b; a b c là các số dương. 2 Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x y 4xy , suy ra 2 a b c b c a a b c b c a b2 4 2 b c a c a b b c a c a b c2 4 2 c a b a b c c a b a b c a2 4 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c. Nhận xét: Khi chưa xác định được các số không âm mà áp dùng ngay bất đẳng thức Cauchy thì sẽ dẫn đến sai lầm. Trong tình huống đó ta có thể chia nhỏ thành các trường hợp riêng để chứng minh bài toán. Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 b c a b2 c2 a2 a b c Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: b c c a a b a b c 3 a b c Ví dụ 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 p a p b p c abc 8 Ví dụ 6: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng: 10a2 10b2 c2 4 Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 5. Chứng minh rằng: 3a2 3b2 c2 10 Ví dụ 9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãnab 12, bc 8 . Chứng minh rằng: 1 1 1 8 121 a b c 2 ab bc ca abc 12 Ví dụ 10: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
9. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO a b c 2 a b c 1 1 1 2 b c a 3 abc 1.2.4. Kỹ thuật thêm bớt Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một bài toán. Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc giải quyết vấn đề. Ngay từ đây chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với kỹ thuật này với những ví dụ mà cách đánh giá nó tương đối đa dạng. Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c b c a Phân tích: Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương và cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên bây giờ ta sẽ áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bài toán. Dễ dàng nhận ra không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cũng không thể sử dụng kĩ thuật ghép đối xứng để giải quyết bài toán. Ta dự đoán a2 b2 c2 đẳng thức xẩy ra tại a b c. Bên vế trái xuất hiện các đại lượng ; ; và bên vế phải có đại b c a lượng a b c, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp sau a2 b2 c2 , b ; , c ; , a b c a Để sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp trên, trước hết ta cần phải thêm vào vế trái một tổng a b c rồi mới tiến hành ghép theo cặp. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có a2 b2 c2 b 2a; c 2b; a 2c b c a Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c a 2a 2b 2c a b c b c a b c a Bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c b c a c b a 2 Phân tích: Áp dụng ý tưởng như trên, tuy nhiên ở đây ta cần triệt tiêu b c ở dưới mẫu nên ta thêm cho a2 b c một số và chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c nên ta tìm được k 4 . Do đó ta b c k có lời giải như sau. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có a2 b c b2 c a c2 a b a; b; c b c 4 c a 4 a b 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a2 b c b2 c a c2 a b a b c b c 4 c a 4 a b 4
10. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO a2 b2 c2 a b c Suy ra b c c a a b 2 Bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4 Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 b c 2 c a 2 a b 2 Ví dụ 5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c c a b b c a 1 3c 3b 3a Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng b2c c2a a2b 1 1 1 1 3 3 3 a b c b c a c a b 2 a b c Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a3 b3 c2 b a b c a c a b b c 2 Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 b c a Ví dụ 9: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a b c a b c b c c a a b a b b c a c Ví dụ 10: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng : a b c ab bc ca 1.2.5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán bất đẳng thức, một sai lầm thường gặp đó là sau một loạt các đánh giá ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm không ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta bình tĩnh suy nghĩ một chút thì thấy với đánh giá ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì lập tức đánh giá đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó. Chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với một số ví dụ sau Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a2 1 b2 1 c2 1 2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức không ít bạn sẽ đánh giá a2 1 2a , áp dụng tương tự khi đó ta được bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 a2 1 b2 1 c2 1 2a 2b 2c Tuy nhiên bất đẳng thức thu được lại bị ngược chiều. Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải. Ta vẫn phải đánh giá mẫu nhưng nếu có thể thêm được dấu âm trước đánh giá đó thì tốt biết mấy. Điều ta mong muốn sẽ được giải quyết bằng phép biến đổi sau đây
11. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO 1 a2 a2 a 1 1 1 a2 1 a2 1 2a 2 Đến đây thì ta có thể đánh giá mẫu mà không sợ bị ngược chiều nữa Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy ta được 1 a2 a2 a 1 1 1 a2 1 a2 1 2a 2 1 b 1 c Hoàn toàn tương tự ta có: 1 ; 1 b2 1 2 c2 1 2 Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 a b c 3 3 a2 1 b2 1 c2 1 2 2 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 ab 1 bc 1 ca 2 Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp ta thu được 1 1 1 1 1 1 3 1 ab 1 bc 1 ca 2 ab 2 bc 2 ca 2 Do đó ta sẽ áp dụng bất đẳng Cauchy theo ý tưởng như trên Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 ab ab ab 1 1 1 1 ab 1 ab 2 ab 2 1 bc 1 ca Tương tự ta có 1 ; 1 1 bc 2 1 ca 2 Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 3 ab bc ca 1 ab 1 bc 1 ca 2 1 1 a b b c c a a b c 3 Để ý là ab bc ca 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 Do đó ta được 1 ab 1 bc 1 ca 2 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế của một đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với -1. Khi đó bất đẳng thức ban đầu sẽ không bị đổi chiều. Dưới đây là một số ví dụ tương tự. Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a b c 3 b2 1 c2 1 a2 1 2 Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng:
12. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO a 1 b 1 c 1 3 b2 1 c2 1 a2 1 1.2.6. Kỹ thuật đổi biến số Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn” Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này. Ví dụ 1: Cho a, b là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng: 4a2b2 a2 b2 3 2 2 2 a2 b2 b a Phân tích: Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất. Vì vậy ta thử phân tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đoán hay không. 2 2 2 a2 b2 a4 b4 2a2b2 2a2b2 a b 2 b2 a2 a2b2 a2b2 Với kết quả như vậy ta có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn. Lời giải Để ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành 2 2 2 4a2b2 a b 5 2 2 2 a2 b2 a b 2 2 2 a b 4a2b2 4 Đặt t ta có t 4. Từ đó suy ra 2 2 2 a b a2 b2 t Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t t 2 5t 4 t 1 t 4 t 5 0 0 4 t t Bất đẳng thức cuối cùng đúng do t 4 . Bài toán được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1 1 1 Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c 2 thỏa mãn 1. Chứng minh rằng : a b c a 2 b 2 c 2 1 Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2a 1 2b 1 2c 1 Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc 1. chứng minh rằng: 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a b 1 b c 1 c a 1 3 abc 1 3 abc
13. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO 2. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 2.1. Kiến thức cần nhớ 2.1.1. Dạng tổng quát + Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; a3; ; an và b1; b2; b3; ; bn . Khi đó ta có: 2 Dạng 1: a2 a2 a2 b2 b2 b2 a b a b a b 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n Dạng 2: a2 a2 a2 b2 b2 b2 a b a b a b 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a a - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: 1 2 n b1 b2 bn Dạng 3: a2 a2 a2 b2 b2 b2 a b a b a b 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a a - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: 1 2 n 0 b1 b2 bn Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; ; an và x1; x2; ; x n với x1; x2; ; x n 0 2 2 2 2 a a a a1 a2 an Khi đó ta có 1 2 n x1 x2 x n x1 x2 x n a a a - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: 1 2 n 0 x1 x2 x n Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. 2.1.2. Một số dạng đặc biệt n 2 n 3 2 2 a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz 2 2 a2 b2 a b a2 b2 c2 a b c x y x y x y z x y z x, y 0 x, y 0 a b a b c Đẳng thức xẩy ra khi Đẳng thức xẩy ra khi x y x y z 2.2. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2.2.1. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng 2 a b a b a b về đại lượng a2 a2 a2 b2 b2 b2 hoặc ngược lại. Để 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n rõ hơn ta xét một số ví dụ sau
14. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO Ví dụ 2.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a. b. c. 9 a b c a b c a b c 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Ví dụ 2.2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng: a b b c c a 6 a b c a b c a b c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được a b b c c a a b c a b c a b c 2 2 2 a b b c c a 1 1 1 6 a b c a b c a b c a b b c c a Do đó ta được 6 a b c a b c a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: a b c b c a c a b a b c Phân tích: Để ý là a b c b c a 2b . Do đó ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng x y 2 x2 y2 , ta được 2 a b c b c a 2 a b c b c a 4b Do đó ta được a b c b c a 2 b , tương tự ta có b c a c a b 2 c; c a b a b c 2 a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a b c b c a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c. Ví dụ 2.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c 2 b c c a a b Phân tích: Để ý nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành
15. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO a2 b2 c2 a b c b c c a a b 2 Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản xem sao. a2 b2 c2 Ta cần đánh giá đại lượng a b c sao cho xuất hiện , do đó ta viết b c c a a b a b c a b c thành b c c a a b , đến đây ta áp dụng bất đẳng thức b c c a a b Bunhiacopxki dạng cơ bản. Lời giải a b c Ta có a b c . b c . c a . a b b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được a b c . b c . c a . a b b c c a a b 2 2 2 a b c 2 2 2 b c c a a b b c c a a b 2 2 2 2 a b c Do đó ta có a b c 2 a b c b c c a a b a2 b2 c2 Suy ra ta được a b c 2 b c c a a b Bất đẳng thức được chứng minh.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Ví dụ 2.5: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 1. Chứng minh rằng: a 1 a b 1 b 2 2 Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 4 4 4 4 4 4 a 3b b 3c c 3a a b c 4 4 4 Ví dụ 2.7: Cho các số thực a;b;c 0; 1 . Chứng minh rằng: abc 1 a 1 b 1 c 1 Ví dụ 2.8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 3 a b c a2 2 b2 2 c2 2 . Ví dụ 2.9: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 ab bc ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 Ví dụ 2.10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 16. Chứng minh rằng: 3 ab ac ad bc bd cd abcd 5 2.2.2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức. Ví dụ 3.1: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
16. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO a2 b2 c2 a b c b c c a a b 2 Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 a2 b2 c2 a b c a b c a b c b c c a a b a b c a a b 2 a b c 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c Ví dụ 3.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 a2 2bc b2 2ca c2 2ab Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 a2 b2 c2 a b c 1 a2 2bc b2 2ca c2 2ab a2 b2 c2 2 ab bc ac Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 1 1 Nhận xét: Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi , , thì ta thu được bất đẳng thức a b c bc ca ca 1 bc 2a2 ca 2b2 ca 2b2 bc 2a2 Để ý ta lại thấy 1 , khi đó ta được bất đẳng thức bc 2a2 bc 2a2 a2 b2 c2 1 bc 2a2 ca 2b2 ca 2b2 Ví dụ 3.3: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a b c 1 2b c 2c a 2a b Phân tích: Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế mà áp dụng thì không được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. a b c a2 b2 c2 Để ý là . 2b c 2c a 2a b a 2b c b 2c a c 2a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 a b c a2 b2 c2 a b c 2b c 2c a 2a b a 2b c b 2c a c 2a b 3 ab bc ca 2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a b c 3 ab bc ca Tuy nhiên đánh giá trên ta một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi khi và chỉ khi a b c
17. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO Ví dụ 3.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a2 b2 c2 a 2b b 2c c 2a 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 2 2 a3 b3 c3 a b c 2 a 2b b 2c c 2a a b c 1 2 Ta lại có a2 b2 c2 a b c 3 a3 b3 c3 a2 b2 c2 Do đó ta được a 2b b 2c c 2a 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Ví dụ 3.5: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a4 b4 c4 abc a b c 1 a2b 1 b2c 1 c2a 1 abc Ví dụ 3.6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 b c c a a b 3 b2 c2 a b c c2 a2 b c a a2 b2 c a b Ví dụ 3.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 4a2 b2 c2 a2 4b2 c2 a2 b2 4c2 2 Ví dụ 3.8: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: b c c a a b 1 1 1 a2 bc b2 ca c2 ab a b c Ví dụ 3.9: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b 3 Ví dụ 3.10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 1. Chứng minh rằng: bc ca ab 3 a2 1 b2 1 c2 1 4 2.2.3. Kỹ thuật thêm bớt Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các ví dụ sau để minh họa cho điều đó. Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 2 b2 2 c2 2 Phân tích: Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức
18. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO 1 1 1 1 1 1 1 6 2 2 2 2 2 2 a 2 b 2 c 2 9 a b c 1 1 1 Để hoàn thành phép chứng minh ta cần đánh giá được 3. Tuy nhiên để ý là đại a2 b2 c2 1 1 1 lượng trội nhất nên không thể đánh giá về đại lượng trội hơn a2 b2 c2 Do đó ta không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính đến phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là 1 1 a2 2 a2 1 a2 2 Như vậy ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 3 2 1 a2 2 b2 2 c2 2 a2 2 b2 2 c2 2 Đến đây ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để đánh giá bất đẳng thức a2 b2 c2 1 a2 2 b2 2 c2 2 Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với 1 1 1 3 2 1 2 2 2 a 2 b 2 c 2 a2 b2 c2 Hay 1 a2 2 b2 2 c2 2 Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu kết hợp với giả thiết ta được 2 2 a2 b2 c2 a b c a b c 1 a2 2 b2 2 c2 2 a2 b2 c2 6 a2 b2 c2 2 ab bc ca Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Ví dụ 4.2: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ca 1 c2 2ab a2 2bc b2 2ca Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với c2 a2 b2 1 c2 2ab a2 2bc b2 2ca Đến đây ta có thể áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được. Lời giải Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với ab bc ca 3 2 1 2 2 2 c 2ab a 2bc b 2ca c2 a2 b2 Hay 1 c2 2ab a2 2bc b2 2ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được
19. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO 2 c2 a2 b2 a b c 1 c2 2ab a2 2bc b2 2ca a2 b2 c2 2 ab bc ca Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. 1 1 1 Ví dụ 4.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c. Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 1 2 a2 2 b2 2 c2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 1 2 a2 2 b2 2 c2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 a2 b2 c2 a b c 2 a2 2 b2 2 c2 6 a2 b2 c2 Ta cần chứng minh 2 a b c 2 1 a b c 6 a2 b2 c2 ab bc ca 3. 6 a2 b2 c2 Từ giả thiết của bài toán ta được abc a b c ab bc ca và từ đánh giá quen thuộc 2 ab bc ca 3abc a b c , suy ra ta được 2 ab bc ca 3 ab bc ca ab bc ac 3. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 1. Ví dụ 4.4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 1 ab 1 bc 1 ca 2 Lời giải 1 1 1 Đặt P . 1 ab 1 bc 1 ca Xét P 3 1 1 1 1 1 1 ab bc ca 2 2 2ab 2 2 2bc 2 2 2ca 2 2 2ab 2 2bc 2 2ca ab bc ca 2 a2 b2 c2 2ab 2 a2 b2 c2 2bc 2 a2 b2 c2 2ca ab bc ca a2 b2 2c2 2a2 b2 c2 a2 2b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
20. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO ab bc ca a2 b2 2c2 2a2 b2 c2 a2 2b2 c2 2 2 2 1 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a b 2c 2a b c a 2b c 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a c b c a b a c b c a b 4 P 3 3 9 Do đó ta được P 2 4 2 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c . 3 Ví dụ 4.5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab Ví dụ 4.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3. Chứng minh rằng: a 2b b 2c c 2a 1 2a 4b 3c2 2b 4c 3a2 2c 4a 3b2 Ví dụ 4.7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca a2 ab bc b2 bc ca c2 ca ab Ví dụ 4.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 2 a 2 b 2 c Ví dụ 4.9: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: a b c 1 3a b c 3b c a 3c a b Ví dụ 4.10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 5a 3b 5b 3c 5c 3a 4 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b 2.2.4. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) a; b; c ; ; ; ; ; ; ; ; ; x y z xy yz zx xy yz zx 2) a; b; c yz; zx; xy ; yz; zx; xy ; 3) a; b; c y z; z x; x y ; y z x; z x y; x y z ; Với một số bất đẳng thức có giả thiết là abc 1 ta có thể đổi biến
21. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO 1 1 1 1 1 1 1) a; b; c ; ; ; ; ; ; x y z x y z x y z b c a x y z 2) a; b; c ; ; ; ; ; ; ; ; ; y z x a b c y z x yz zx ab x2 y2 z2 3) a; b; c ; ; ; ; ; ; 2 2 2 x y z yz zx xy yz zx xy x y z 4) a; b; c ; ; ; ; ; ; x y z yz zx xy Ví dụ 5.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c 2abc ab2 2abc bc2 2abc ca2 3 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ac ab bc abc a b c 2ac ab 2ab bc 2bc ca 3 Để ý ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lai của các đại lương ab; bc; ca và chú ý ta nhận thấy abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab . Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến là x ab; y bc;z ca. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ac ab bc abc a b c 2ac ab 2ab bc 2bc ca 3 Đặt x ab; y bc;z ca, khi đó ta được x y z 3,bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y z x xy yz zx 2y z 2z x 2x y 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được y z x y2 z2 x2 2y z 2z x 2x y y 2y z z 2z x x 2x y 2 x y x 2 x2 y2 z2 xy yz zx 2 x y x xy yz zx Ta cần chứng minh 2 x2 y2 z2 xy yz zx 3 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 9 x y x 3 xy yz zx 2 x2 y2 z2 xy yz zx 4 x y x 3 xy yz zx 2 x2 y2 z2 xy yz zx 2 Đặt A x2 y2 z2; B xy yz zx suy ra A 2B x y z 9, khi đó ta cần 2 chứng minh A 2B 3B 2A B A 2 B2 2AB .
22. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 1. Ví dụ 5.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a b c 3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Phân tích: Bất đẳng thức được viết lại thành a2 b2 c2 3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến phép đổi biến x a2; y b2; z c2 , khi đó bất đẳng thức trở thành x y z 3 x y y z z x 2 Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa. Lời giải Đặt x a2; y b2; z c2 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z 3 x y y z z x 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 x y z x y y z z x 2 x x z y y x z z y x y x z y z y x z x z y x y z 2 x y z x y x z y z y x z x z y 4 x y z xy yz zx x y y z z x 4 x y z xy yz zx 9 Ta cần chứng minh x y y z z x 2 Hay 8 x y z xy yz zx 9 x y y z z x Hay 8xyz x y y z z x Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c. Ví dụ 5.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc. Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 b c a a b c Ví dụ 5.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: ab bc ca 3 c 3 ab a 3 bc b 3 ca 4 Ví dụ 5.5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc. Chứng minh rằng:
23. GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO a bc b ca c ab abc a b c Ví dụ 5.6: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab bc ca abc. Chứng minh rằng: b2 2a2 c2 2b2 a2 2ac 3 ab cb ac Ví dụ 5.7: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: bc ca ab 1 1 1 1 2 2 2 a b c b c a c a b 2 a b c 1 1 1 Ví dụ 5.8: Cho các số thực a, b, c 1 thỏa mãn 2. Chứng minh rằng: a b c a b c a 1 b 1 c 1 Ví dụ 5.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 2 abc. Chứng minh rằng: 2 ab bc ca a b c 6 Ví dụ 5.10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc. Chứng minh rằng: b c a 3 a b2 1 b c2 1 c a2 1 2