Đề đề xuất thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề đề xuất thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án)

1. Đề xuất đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phương trình: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phương trình trên với m=1. 5 2) Tìm m để phương trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt x ; 2 2 Bài 2: 1) Giải phương trình (Sin )x + (tg )x = ( )x (với x là tham số, 0 16039 Bài 5: Cho tứ diện ABCD 1) Gọi i (i= 1, 2, , 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lượt là các cạnh của tứ diện 6 Chứng minh: Cos i 2 . i 1 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. 2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng ( ) quay quanh AG, cắt DB tại M và cắt DC tại N. Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN. Chứng minh: 4 V 1 1 9 V 2 3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lượt là: Sa, Sb, Sc, Sd. I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh:     Sa .IA Sb .IB Sc .IC Sd .ID 0 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán. Bảng A Câu Nội dung Điểm Bài 1 5 1 3 Cosx 0 1 Với m =1; Phương trình 2 4Cos x 2Cosx 2 0 x= k Cosx 0 2 Cosx 1 x k2 1 2 Cosx x k2 2 3 2 2 2 Cosx 0 Phương trình 2 4Cos x 2Cosx m 3 0 3 * Cosx =0 Có 2 nghiệm: x ; x= 0,5 2 2 * Ycbt 4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0 Cosx t (-1 t 1) 2 f (t) 4t 2t m 3 0,5 1 t1 0 t2 1: (a) Có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0<t<1=t2 (b) * Trường hợp (b) loại (vì nếu t2=1 thì t1<0) 0,5 f ( 1). f (0) 0 * Trường hợp (a) 1< m < 3 f (0). f (1) 0 Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3 0,5 Bài 2 4 1 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. x x Sin tg Phương trình 1 0,5 0,5 Chứng minh: u 0, có Sinu VP Khi đó x > Vậy0: V phươngT > VP trình vô nghiệm 0,5 x VP  2 2 Đặt Sina -1 =m (-2 m 0) 2 x 4x 6 2 ta luôn có: x R thì: nên TXĐ của phương trình là R 0,5 2 x-m 2 2 2 x m 2 x2 4 x 6 2 Ta có phương trình ( 3) .log (x 4x 6) 3 log (2 x m 2) 0,25 t Xét hàm số: f(t) = 3 log (t) : 2; + là hàm số đồng biến với x [2; + ) 0,5 nên phương trình x2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*) x2 2x 2m 4 0 : (1) 2 x 6x 4 2m 0 : (2) Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt 0,25 (1) có nghiệm kép x0 ;(2) có 2 nghiệm x0 (2) có nghiệm kép x0 ;(1) có 2 nghiệm x1 (1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau 0,25 0,25 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 3 m 2 5 m 2 (loại) m 2 Vậy theo yêu cầu bài toán: a=- k2 6 3 Sina 1 5 2 a - k '2 6 0,25 Sina 1 2 a - k "2 2 Có 3 họ giá trị của a cần tìm Bài 3 2 A C A C 0,5 Mọi ABC có 0 Cos 1 (1) 4 4 4 4 3 1 mà: 0 k. B B 3B 3 4 3 4 2 3 0,5 nên: Cosk. B Cos B 0 (2) 3 4 3 Ta có: 1 A C B C A C A C 2B C os C os C os .Cos 2 2 2 4 4 A C 3B A C 3 C os Cos C os Cos B Cosk. B Cosk B : (a) 4 4 4 4 3 3 3 0,5 Chứng minh tương tự có: 1 B C C A C os C os Cosk C : (b) 2 2 2 3 1 C A A B và C os C os Cosk A : (c) 2 2 2 3 Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm) Dấu "=" khi A=B = C= ABC đều 3 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 0,5 Bài 4 2 Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3 .) Thì 2 2 1 1 Si+1 = (ai+1+ bi+1 ) = ai bi : (i=1,2, ) ai bi 2 2 1 1 1 1 = ai bi +2 ai bi ai bi ai bi 2 0,5 2 1 1 2 ai bi 8 ai bi 8 ai bi 0,5 2 nên ta có: (a1 + b1) > 0 2 (a2 +b2) > 0 2 2 (a2 +b2) > (a1 + b1) + 8 . 2 2 (a2006 +b2006) > (a2005 + b2005) + 8 Cộng các bđt trên, ta có: 0,5 2 (a2006 +b2006) > 8 . 2005 = 16040 > 16039 0,5 Bài 5 7 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. A D1 I B D A1 M C Hạ IA1  (BCD); ID1  (ABC) IB1  (ACD); IC1  (ABD) D1M  BC Dựng A1M  BC IM  BC nên ãA MD (Tương tự với ) 1 1 1 2 6 1,0     2 IA1 IB1 IC1 ID1 0     4r 2 2 IA .IB IC .ID 0 1 1 1 1 1,0 Ta có: 2 2 4r 2r (Cos 1 Cos 2 Cos 6 ) 0 6 Cos i 2 : (dpcm) i=1 1,0 2 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. A G D M B A' O N C – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
9. A' là trọng tâm BCD Gọi: O là trung điểm BC DM DN Đặt: x và y DB DC V DM DN DA Ta có: DAM N . . xy (1) VABCD DB DC DA dt(DM A') DM DA ' 2dt(DM A ') 2 Có: . x : (a) dt(DBO) DB DO dt(DBC ) 3 0,5 2dt(DN A ') 2 Tưong tự y : (b) dt(DBC ) 3 dt(DM N ) x y Từ (a), (b) suy ra: dt(DBC ) 3 dt(DM N ) DM DN m à . xy x+y=3xy dt(DBC ) DB DC 1 x y(3x-1) =x: (x ) y= 3 3x-1 1 x 0 va x 3 1 0,5 và 0 y 1 x 1 1 2 x 2 1 Tưong tự, suy ra: x; y 1 2 2 V1 x 1 Vậy: xy f ( x ) : ;1 V 3 x 1 2 3x 2 2 x 2 Có: f'(x) = =0 x= 0,5 (3 x 1) 3 và: x 1 2 1 2 3 f'(x) - 0 + f(x) 1 4 1 2 9 2 4 V 1 1 9 V 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
10. 0,5 3 2 D P' M' N' I C A N M P B M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI) Gọi N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI) P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI) vì I ở trong tứ diện, nên: M, M', . thuộc các cạnh của tứ diện. Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên: d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)] MB dt( AMB) V dt( DAB) S DAMB c MC dt( AMC) VDAMC dt( DAC) Sb  S  điểm M đoạn BC; nên: MB c .MC 0,5 Sb       Sb .MB Sc .MC 0 Sb (IB IM) Sc (IC IM) 0    0,5 Sb .IB Sc .IC (Sb Sc ).IM : (1) Chứng minh tương tự:    Sd .ID Sa .IA (Sd Sa ).IM : (2) Mặt khác: I MM' = (AMD)  (BCM')    nên các vecto IM;IM ';MM '; song song – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
11. Vậy gọi vecto:     v (Sa .IA Sb IB Sc .IC Sd .ID) thì    0,5 v (Sa Sb )IM (Sc Sd ).IM ') song song với MM '   Chứng minh tương tự: v // NN ' và v // PP'    Nhưng MM ' ; NN' ; PP'; không đồng phẳng 0,5 nên: v 0 (đpcm) Chú ý: 1)Điểm toàn bài là điểm tổng cộng sau khi đã làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5) 2) Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng chính xác thì cho điểm tối đa của câu đó. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất