Đề giao lưu học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

1. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm có 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M = (a+1).(a+3).(a+5).(a+7) +15 x y z a b c b) Cho 1 và 0 . (a, b, c, x, y, z khác 0) a b c x y z x2 y2 z2 Chứng minh rằng 1. a2 b2 c2 Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 1 1 1 1  x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 1 1 1 b) Tìm các cặp (x,y) nguyên dương thỏa mãn:  x y 3 Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1. b) Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n - 41 là hai số chính phương. Câu 4. (3,0 điểm) Cho ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của cạnh BC. Các điểm P thuộc cạnh AB và điểm Q thuộc cạnh AC thay đổi sao cho P·MQ ·ABC. BC 2 a) Chứng minh BP.CQ ; 4 S PQ b) Chứng minh MPQ , biết P·MQ 600 ; SABC 2BC c) Chứng minh chu vi APQ có giá trị không đổi khi P di chuyển trên cạnh AB và Q di chuyển trên cạnh AC sao cho P·MQ ·ABC. Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x2 y2 z2 3 . xy yz zx Chứng minh: 3. z x y (Học sinh không được sử dụng máy tính) Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: .
2. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản Họ và tên Giám thị giao đề: Chữ ký: PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang Câu 1 (2,0 điểm) ý Nội dung đáp án Điểm M=(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15=(a2+8a+7)(a2+8a+15)+15 = x(x+8) +15, với x= a2+8a+7 0,25 = x2+8x+15 =( x+3)(x+5) 0,25 a =(a2+8a+7+3) (a2+8a+7+5) =(a2+8a+10) (a2+2a+6a+12) 0,25 =(a2+8a+10) [a(a+2)+6(a+2)] =(a2+8a+10)(a+2)(a +6) 0,25 a b c ayz+bxz+cxy Từ 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 Ta có x y z x y z 1 ( )2 1 a b c a b c b 2 2 2 x y z xy xz yz 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc 0,25 x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc 0,25 x2 y2 z2 1 a2 b2 c2 0,25 Câu 2 (2,0 điểm) ý Nội dung đáp án Điểm 1 1 1 1 a x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25
3. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 0,25 18(x+7) - 18(x+4) = (x+7)(x+4) 18x+126 -18x -72 = x2+11x+28 x2+11x-26 = 0 x2+13x-2x-26 = 0 x(x+13) - 2(x+13)=0 (x+13)(x-2)=0 0,25 x=-13 hoặc x=2 (đều thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= {2;-13} 0,25 1 1 1 , x, y nguyên dương x y 3 Do vai trò của x và y như nhau, không mất tính tổng quát 1 1 1 1 1 giả sử x y . Từ ta có nên y 3 (1) x y 3 y 3 0,25 1 1 Mặt khác, do x y 1 nên . Do đó: x y 1 1 1 1 1 2 nên y 6 (2) 3 x y y y y b 0,25 Từ (1) và (2) ta có 4 y 6 1 1 1 1 - Với y = 4 ta được: nên x = 12 x 3 4 12 1 1 1 2 15 - Với y = 5 ta được: x (loại) x 3 5 15 2 (vì x không là số nguyên) 1 1 1 1 - Với y = 6 ta được: nên x = 6 0,25 x 3 6 6 Vậy (x;y) phải tìm là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) 0,25 Câu 3 (2,0 điểm) ý Nội dung đáp án Điểm Ta có n5 + 1 M n3 + 1, n -1 n5 + n2 - n2 + 1 M n3 + 1 n2(n3 + 1) - ( n2 - 1) M n3 + 1 (n - 1)(n + 1) M (n+1)(n2 - n + 1) a 0,25 n - 1 M n2 - n + 1 n(n - 1) M n2 - n + 1 n2 - n M n2 - n + 1 0,25 (n2 - n + 1) - 1 M n2 - n + 1
4. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản 1M n2 - n + 1 n2 - n + 1 Ư(1)={1;-1} Ta có hai trường hợp: 1) n2 - n + 1 = 1 n2 - n = 0 n.(n - 1) = 0 n = 0 hoặc n = 1, thử lại ta thấy cả 2 đều thoả mãn đề bài 2) n2 - n + 1 = - 1 n2 - n + 2 = 0 4n2 - 4n + 1+7 = 0 0,25 (2n -1)2 +7 = 0 - không có giá trị của n thoả mãn Vậy n {0;1} 0,25 Ta có n + 18 và n - 41 là hai số chính phương Đặt n + 18 = p2 và n - 41= q2, với p, q N, p > q p2 -q2 = n+18 - n-41 =59 p-q p+q =59 0,25 b p + q và p - q Ư(59) = { 1; 59}, p q 1 p 30 mà p + q > p - q >0 nên ta có: 0,25 p q 59 q 29 Từ p = 30 n +18 = 900 n = 882 0,25 Ta được n - 41= 882 - 41= 841( là số chính phương) Vậy với n = 882 thì n + 18 và n - 41 là hai số chính 0,25 phương Câu 4 (3,0 điểm) ý Nội dung đáp án Điểm A Q L a P T K B M C 0,25 Ta có B·MP P·MQ Q·MC 1800 0,25 B·MP M· BP B·PM 1800
5. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản Mà M· BP P·MQ Q·MC B·PM Xét BPM và CMQ có: P·BM M· CQ ( ABC cân tại A) B·PM Q·MC (chứng minh trên) BPM ∽ CMQ(g.g) 0,25 BP BM MC CQ 1 Mà BM=MC= BC (vì M là trung điểm của BC) 0,25 2 BC BC BC 2 BP.CQ MC.BM . 0,25 2 2 4 BP PM BP PM Ta có BPM ∽ CMQ hay CM MQ BM MQ Xét MBP và QMP có: BP PM BM MQ P·BM P·MQ MBP ∽ QMP (c-g-c) 0,25 B·PM M· PQ PM là tia phân giác của B·PQ Hạ ML  PQ;MT  AB ML MT b Xét MTP vuông tại T và MLP vuông tại L có: T·PM M· PL MP là cạnh chung 0,25 MTP MLP (Cạnh huyền, góc nhọn) Do P·MQ 60o ·ABC 60o ABC đều. 0,25 SABC 2.SMAB MT.AB MT.BC 1 1 S .ML.PQ .MT.PQ MPQ 2 2 SMPQ PQ 0,25 SABC 2BC Hạ MK  AC T, K cố định AT và AK có độ dài không đổi. 0,25 Chứng minh tương tự có MK ML . c MTP MLP PL=PT Chứng minh tương tự có KQ=LQ LP+LQ=TP+KQ 0,25 PQ=TP+KQ
6. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản Gọi chu vi APQ là PAPQ Ta có PAPQ AP AQ PQ AP AQ PT QK AP PT AQ QK = AT + AK là không đổi 0,25 Câu 5 (1,0 điểm) ý Nội dung đáp án Điểm Ta có: x2 y2 z2 3 ; xy yz zx 3 z x y 2 xy yz zx 9 z x y 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 2 2 2 2 2 2 2 x y z 9 z x y x2 y2 y2z2 z2x2 3 (*) z2 x2 y2 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: z2 x2 x2 y2 2x2 (1) y2 z2 x2 y2 y2z2 2y2 (2) z2 x2 y2 z2 z2 x2 2z2 (3) x2 y2 0,25 Cộng từng vế của (1), (2), (3) ta có: x2 y2 y2z2 z2x2 2( ) 2(x2 y2 z2 ) z2 x2 y2 x2 y2 y2z2 z2x2 x2 y2 z2 3 (*) đúng z2 x2 y2 0,25
7. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản xy yz zx Vậy 3. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 z x y 0,25 Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa ./.