Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo Cẩm Giàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo Cẩm Giàng (Có đáp án)

1. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản UBND HUYỆN CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2019- 2020 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu1. (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 2 x 3 x 4 x 5 120 x 2 1 10 x2 b) Rút gọn biểu thức: rồi tìm x sao A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 cho A A Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: x x+1 x+2 x+3 a) + + + =x +2016 2020 2019 2018 2017 2 b) 3x 4 x 1 6x 7 6 Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = 0 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. AE AB · · a) Chứng minh: ; và AEF CED . AF AC b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D. Giao điểm của EF với AM là N. Chứng minh: HN.AD=AN.DM. c) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng. Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị lớn nhất của a b c biểu thức: P = bc a 1 ca b 1 ab c 1 Hết
2. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC: 2019 - 2020 MÔN: TOÁN 8 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Nội dung Điểm a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120 0,25 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120 = (x2 + 7x + 11)2 - 112 0,25 2 2 = (x + 7x )( x + 7x + 22) 0,25 = x(x + 7)( x2 + 7x + 22) 0,25 2 x 2 1 10 x 0,25 b) A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 x 2(x 2) x 2 (x 2)(x 2) 10 x2 A : (2 điểm) (x 2)(x 2) x 2 x 2x 4 x 2 x2 4 10 x2 A : (x 2)(x 2) x 2 0,25 6 x 2 1 A  (x 2)(x 2) 6 x 2 1 0,25 Vậy A với x 2 x 2 1 0,25 A A A 0 0 x 2 0 x 2 x 2 x x+1 x+2 x+3 a) + + + =x +2016 0,25 2020 2019 2018 2017 x x+1 x+2 x+3 +1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4 2020 2019 2018 2017 x+2020 x+2020 x+2020 x+2020 + + + =x +2020 2 2020 2019 2018 2017 0,25 (2 điểm) 1 1 1 1 ( x 2020)( + + + 1) 0 2020 2019 2018 2017 1 1 1 1 0,25 x + 2020 = 0 vì + + + 1 0 2020 2019 2018 2017 x = -2020 0,25 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=- 2020.
3. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản b) (3x 4)(x 1)(6x 7)2 6 (6x 8)(6x 6)(6x 7)2 72 (*) 0,25 Đặt 6x + 7 = t, ta có: 0,25 (*) (t 1)(t 1)t 2 72 t 4 t 2 72 0 t 3 2 0,25 - Với t = 3, ta có 6x 7 3 x 3 5 - Với t = -3, ta có 6x 7 3 x 3 0,25 2 5 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x ;x 3 3 a) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0 0,25 (x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – 7 = 0 (x+1)2 - (y + 2)2 = 7 0,25 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 0,25 x = 3 ; y = 1 0,25 Vậy phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y) =(3;1) 3 b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 0,25 (2 điểm) = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì 0,25 B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z 0,25 x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy B là số chính phương. 0,25 4 Vẽ hình đúng phần a : 0,25 (3 điểm)
4. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản A E N F H K B D C I M a) Xét V AEB và V AFC có : E·AB chung 0,25 A·EB A· FC( 900 ) AE AB Do đó V AEB VAFC( g.g) 0,25 AF AC Xét V AEF và V ABC có : B·AC chung AE AF AE AB (vì ) 0,25 AB AC AF AC Do đó V AEF V ABC (c.g.c) A· EF A·BC · · · · Chứng minh tương tự ta được : CED CBA . Do đó : AEF CED 0,25 b) Vì B· EF A· EF B·ED C·ED 900 nên B· EF B·ED EB là tia phân 0,25 giác của góc DEF HN EN Tam giác NED có EH là tia phân giác của D·EN nên: (1) HD ED Vì EA EH nên EA là tia phân giác ngoài tại đỉnh E của V DEN. AN EN 0,25 (2) AD ED HN AN Từ ( 1) và (2) suy ra : , mà HD=DM ( Do M là điểm đối xứng HD AD 0,25 của H qua D) HN AN Nên HN.AD AN.DM DM AD 0,25
5. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản HN AN AN HN AH AN AH 0,25 c) DM AD AD DM AM AD AM AF AH VAMI có HF//MI( cùng  AB ) (định lí Ta lét), AI AM AN AH AF AN Mà nên FN / /ID (định lí Ta lét đảo (3)) 0,25 AD AM AI AD AE AH VAMK có HE//MK (cùng  AC ) (định lí Ta lét), AK AM AF AH AE 0,25 VAIK có IK / /FE ( Định lí Ta lét đảo) (4) AI AM AK Từ (3) và (4) suy ra I, K, D thẳng hàng 4 1 1 Chứng minh được với mọi m, n dương. m n m n 0,25 Dấu bằng xảy ra khi m = n. Áp dụng ta có: a a a a 1 1 ; bc a 1 abc bc ab bc ca bc 4 ab bc ca bc 0,25 dấu bằng xảy ra khi b = c b b 1 1 Tương tự: dấu bằng xảy ra khi c = a ca b 1 4 ab ca bc ca c c 1 1 dấu bằng xảy ra khi a = b ab c 1 4 ab bc ca ab 5 Suy ra a b c (1 điểm) bc a 1 ca b 1 ab c 1 a 1 1 b 1 1 c 1 1 0,25 4 ab bc ca bc 4 ab ca bc ca 4 ab bc ca ab a b c bc a 1 ca b 1 ab c 1 1 1 1 1 1 1 . a c . a b . b c 4 ab bc 4 bc ca 4 ca ab a b c 1 1 1 1 bc a 1 ca b 1 ab c 1 4 a b c a b c 1 bc a 1 ca b 1 ab c 1 4 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 0,25
6. Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản Vậy GTLN của P= 1 khi a = b = c = 3 4 * Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.