Đề khảo sát học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Trường TH và THCS Sơn Lễ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Trường TH và THCS Sơn Lễ (Có đáp án)

1. TRƯỜNG TH&THCS SƠN LỄ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Đề thi chính thức NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) ĐỀ BÀI. x 3 3x x 4 Câu 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức A = x 1 x2 x 1 x3 1 a) Tìm ĐKXĐ; Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1 Câu 2 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Với mọi x Q thì giá trị của đa thức: M = x 2 x 4 x 6 x 8 16 là bình phương của một số hữu tỉ. b) Giải phương trình x 1 x(x 1) Câu 3: (4,0 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng: 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b) Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. a 2 b 2 c 2 c b a Câu 5 (2,0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: b 2 c 2 a 2 b a c
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN: Toán 8 Câu Đáp án Điểm 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 2,0 a/ A = = x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 = x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 1 1 3 2 x x x 1 2 4 b/ Với mọi x ≠ - 1 thì A = = 2 2 2,0 x x 1 1 3 x 2 4 2 2 1 3 1 3 Vì x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 2 4 2 4 a/ Ta có: M = x2 10x 16 x2 10x 24 16 1,0 Đặt a = x2 + 10x + 16 1,0 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = (a+ 4)2 M = ( x2 + 10x + 20 )2 (đpcm) 2 b/ x 1 x(x 1) 1,0 x(x 1) x 1 0 x . x 1 x 1 0 x 1 ( x 1) 0 x 1 0 x 1 0 x 1 1,0 x 1 0 x 1 x 1 a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 2,0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) Do: (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 3 Nên: (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x, y, z) = (1, 3, -1). a b c ayz+bxz+cxy 2,0 b/ Từ: 0 0 x y z xyz x y z x y z ayz + bxz + cxy = 0 Ta có: 1 ( )2 1 a b c a b c
3. x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz x2 y2 z2 2 1 1(dfcm) a2 b2 c2 abc a2 b2 c2 B M N 0,5 A D I C a/ Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 1,0 Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 1,0 4 4 3 8 3 1,0 2,0 b/ (2,0 điểm)Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 4 3 AM = BD cm Tính được NI = AM = cm 0,5 2 3 3 8 3 1 4 3 0,5 DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 0,5 Tính được AI = cm 3 Áp dụng BĐT: x2 + y2 2xy, Dấu bằng xẩy ra khi x = y a 2 b 2 a b a a 2 c 2 a c c c 2 b 2 c b b 2. . 2. ; 2. . 2. ; 2. . 2. b 2 c 2 b c c b 2 a 2 b a b a 2 c 2 a c a 5 2,0 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có a 2 b 2 c2 a c b a 2 b 2 c2 a c b 2( ) 2( ) b 2 c2 a 2 c b a b 2 c2 a 2 c b a