Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Khối 6 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Khối 6 (Có đáp án)

1. ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 6 Câu I: (4.0 điểm). Thực hiện phép tính 5.(22.32 )9.(22 )6 - 2.(22.3)14.34 1) A = 5.228.318 - 7.229.318 é 12 12 12 5 5 5 ù ê12 - - - 5 + + + ú ê ú 158158158 2) B = 81.ê 7 289 85 : 13 169 91ú . ê 4 4 4 6 6 6 ú 711711711 ê 4 - - - 6 + + + ú ëê 7 289 85 13 169 91ûú Câu II: (4.0 điểm)1) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Biết P = + + và Q 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b. Câu III: (4.0 điểm) 1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y37 thì 13x + 18y37 2 3 4 2012 2013 æ ö æ ö æ ö æ ö 3 2) Cho 1 3 ç3÷ ç3÷ ç3÷ ç3÷ và B : 2 . Tính A = + + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + + ç ÷ B – A 2 2 èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ 2 Câu IV. (6.0 điểm) Chox Ay , trên tia Ax lấy điểm B sao choAB = 6 cm . Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm. 1) Tính BD. 2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết B CD = 80° ,B CA = 45° . Tính A CD 3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK Câu V: (2.0 điểm) x 3 1 1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: - = 9 y 18 10n - 3 2) Tìm số tự nhiên n để phân số B = đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n -10 - HẾT – 1
2. ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 6 KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Câu Nội dung Điểm 5.(22.32 )9.(22 )6 - 2.(22.3)14.34 0.5 a) Ta có: A = 5.228.318 - 7.229.318 5.218.318.212 - 2.228.314.34 = 0.5 5.228.318 - 7.229.318 30 18 29 18 5.2 .3 - 2 .3 = 28 18 2 .3 (5 - 7.2) 0.5 229.318(5.2 -1) 2.9 = = = -2 228.318(5 -14) -9 0.5 Câu 1 KL: b) Ta có: é 12 12 12 5 5 5 ù ê12 - - - 5 + + + ú 0.5 ê ú 158158158 B = 81.ê 7 289 85 : 13 169 91ú . ê 4 4 4 6 6 6 ú 711711711 ê 4 - - - 6 + + + ú ëê 7 289 85 13 169 91ûú é æ ö æ öù ê ç 1 1 1 ÷ ç 1 1 1 ÷ú 12ç1 - - - ÷ 5ç1 + + + ÷ ê èç 7 289 85÷ø èç 13 169 91ø÷ú 158.1001001 0.5 = 81.ê : ú . ê æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 öú 711.1001001 ê 4ç1 - - - ÷ 6ç1 + + + ÷ú ê ç ÷ ç ÷ú ëê è 7 289 85ø è 13 169 91øûú æ ö ç12 5÷ 158 18 2 324 1,0 = 81.ç : ÷. = 81. . = = 64,8 èç 4 6÷ø 711 5 9 5 2010 + 2011 + 2012 a) Ta có: Q = = 2011 + 2012 + 2013 Câu 2 2010 2011 2012 = + + 1.0 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2
3. ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 6 2010 2010 Ta có: Q 0.25 2011 2012 2013 b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có: + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m ; b = 21n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) 0.5 + VìBCNN (a,b) = 420 , nên theo trên, ta suy ra: 0.5 Þ BCNN(21m; 21n) = 420 = 21.20 Þ BCNN(m; n) = 20 (3) + Vì a + 21 = b , nên theo trên, ta suy ra: Þ 21m + 21 = 21n Þ 21. m + 1 = 21n Þ m + 1 = n 4 ( ) ( ) 0.5 Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3) ,thì chỉ có Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4) 0.5 3
4. ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 6 Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là: a = 21.4 = 84 ; b = 21.5 = 105 a) Ta có: 5(13x + 18y) - 4(7x + 4y) = 65x + 90y - 28x -16y 0.5 = 37x + 74y = 37(x + 2y)37 Hay 5(13x + 18y) - 4(7x + 4y)37 (*) 0.5 0.5 Vì 7x + 4y37 , mà (4;37) = 1 nên 4(7x + 4y)37 0.5 Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x + 18y)37 , mà (5; 37) = 1 nên 13x + 18y37 b) Ta có: 2 3 4 2012 æ ö æ ö æ ö æ ö 1 3 ç3÷ ç3÷ ç3÷ ç3÷ A = + + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + + ç ÷ 1 2 2 èç2ø÷ èç2ø÷ èç2÷ø èç2ø÷ ( ) 0.5 2 3 2013 æ ö æ ö æ ö æ ö 3 3 ç3÷ ç3÷ ç3÷ ç3÷ Þ A = + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + + ç ÷ (2) 2 4 èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ 0.5 Câu 3 Lấy (2) – (1) ta được: 2013 3 æ3ö 3 1 3 ç ÷ A - A = ç ÷ + - - 2 èç2ø÷ 4 2 2 0.5 2013 1 æ3ö 1 32013 1 ç ÷ A = ç ÷ + Þ A = 2012 + 2 èç2ø÷ 4 2 2 0.5 32013 32013 5 VậyB - A = - + 22014 22012 2 4
5. ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 6 Hình vẽ: y C 0.5 x D A B a) Vì B thuộc tia Ax , D thuộc tia đối của tia Ax 0.5 Þ A nằm giữa D và B 0.5 Þ BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm). KL: 0.5 b) Vì A nằm giữa D và B Þ Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD 0.5 0.5 Câu 4 Þ A CD + A CB = B CD 0.5 A CD = B CD – A CB = 80° – 45° = 35° KL: . 0.5 c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0.25 - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 0.25 - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm) 0.25 0.25 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 0.25 0.25 - Suy ra: KB = KA + AB 5
6. ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 6 KB = 6 + 2 = 8 (cm) 0.25 0.25 * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm x 3 1 x 1 3 2x -1 3 a) Từ - = Û - = Û = 9 y 18 9 18 y 18 y 0.25 Û (2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 Vì x là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước số lẻ của 54. Ta có bảng sau: 2x – 1 1 3 9 27 0.25 x 1 2 5 14 0.25 y 54 18 6 2 0.25 Câu 5 Vậy (x;y) = (1;54); (2;18); (5;6); (14;2) 10n - 3 22 0.25 b) B = = 2,5 + 4n -10 4n -10 22 22 Vì n Î nên B = 2,5 + đạt GTLN khi đạt GTLN. 0.25 4n -10 4n -10 22 Mà đạt GTLN 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất. 4n -10 11 - Nếu thì n  (loại) 4n – 10 = 1 4 0.25 0.25 - Nếu 4n – 10 = 2 thìn = 3 (thỏa mãn) Vậy GTLN của B = 13,5 khin = 3 . 6
7. ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 6 (Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) 7