Đề kiểm tra môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Archimedes Academy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Archimedes Academy (Có đáp án)

1. Sản phẩm của Group: Nhóm 3-Toán THCS THCS ARCHIMEDES ACADEMY ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 9 TỔ TOÁN Ngày: 11/5/2019 Năm học: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2.0 điểm) 4 x 8x x 1 2 Cho biểu thức P: với x 0;x 4 2 x4 x x. x 2 x a) Rút gọn P 1 1 b) Tính giá trị của P khi 2 2.x 2 1 2 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q x 3 .P 4 x 1 Câu 2. (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình: Một cửa hàng nhập 20 quyển vở và bán với giá niêm yết tăng 20% so với giá nhập vào. Sau khi bán được 10 quyển vở, chủ cửa hàng muốn bán nhanh hơn nên đã bán nốt 10 quyển vở còn lại với giá khuyến mãi giảm 10% so với giá niêm yết. Biết rằng sau khi bán hết 20 quyển vở chủ cửa hàng lãi 28 nghìn đồng. Hỏi giá nhập vào mỗi quyển vở là bao nhiêu? Câu 3. (2.0 điểm) xy 5 1) Giải hệ phương trình: y 2 2x 1 2 2x 1 y 2 2) Cho Parabol (P) y x 2 và đường thẳng (d): y = x – m. a) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm A, B nằm ở hai phía của trục tung. b) Với m = 2. Tìm tọa độ điểm M nằm trên (P) (M thuộc cung nhỏ AB) sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất Câu 4. (3.5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không cắt đường tròn. E là hình chiếu vuông góc của O xuống d và M là điểm di động trên d (M khác E). Từ M vẽ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A và B. Đường thẳng AB cắt OE tại H. a) Chứng minh năm điểm O,B,E,M,A cùng thuộc một đường tròn. 2 b) Chứng minh rằng: OH.OE=R c) Gọi C, D, K lần lượt là hình chiếu của E xuống MA, MB, AB và F là giao điểm của DK và OE. Chứng minh rằng: EOM DKE và ba điểm D,C,F thẳng hàng. d) Chứng minh đường thẳng KD luôn đi qua điểm cố định khi M di động trên d. Câu 5. (0.5 điểm) Cho hai số thực bất kì a, b thỏa mãn a2 a 3 b 2 b 2 . a 2 b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 ab Hết TRANG 1
2. Sản phẩm của Group: Nhóm 3-Toán THCS HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: a) với x 0;x 4 . Ta có: 4x 8 x x 1 2 P : 2 x4 x x ( x 2) x 4x (2 x ) 8 x x 1 2( x 2) : (2 x )(2 x ) (2 x )(2 x ) x ( x 2) x ( x 2) 8x 4 x 8 x x 1 2 x 4 : (2 x )(2 x ) x ( x 2) 4x (2 x ) x ( x 2) . (2 x )(2 x ) 3 x 4x . x 3 b) Ta có 1 1 2 1 2 1 2 2.x 2 2. x 2 1 2 1 2 1 2 2.x 2 2 x 1 4.1 4 Thay x =1 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào P ta được P 2 1 3 2 1 1 Vây giá trị biểu thức P khi 2 2.x là -2. 2 1 2 1 c) Ta có Q ( x 3). P 4 x 1 ( dk x 1) 4x (x 3). 4 x 1 x 3 4x 4 x 1 4x 4 Với x 1 x 1 0 4 x 1 0 4x 4 Dâu "=" xảy ra khi x 1( tmdk ) x 1 0 Vậy GTNN của Q là 4 khi x 1. Câu 2: TRANG 2
3. Sản phẩm của Group: Nhóm 3-Toán THCS Gọi giá tiền mỗi quyển vở khi nhập vào là x ( nghìn đồng , x > 0) Giá tiền nhập 20 quyển vở là : 20x (nghìn đồng) +) Mỗi quyển có giá niêm yết là : x 20% x 1,2 x (nghìn đồng) Giá tiền bán 10 quyển vở theo niêm yết là : 10.1,2x 12 x ( nghìn đồng ) +) Mỗi quyển vở có giá khuyến mãi giảm 10% so với giá niêm yết là : 90%.1,2x 1,08 x (nghìn đồng) Giá tiền bán 10 quyển vở với giá khuyến mãi là : 10.1,08x 10,8 x ( nghìn đồng ) +) Vì sau khi bán hết 20 quyển vở, chủ cửa hàng lãi 28 nghìn đồng nên ta có phương trình : 12x 10,8 x 20 x 28 2,8x 28 x 10 (tmđk) Vậy giá nhập vào mỗi quyển vở là 10 nghìn đồng. Câu 3. ĐK: x,y ≠0 xy 5 (1) y 2 2 x 1 2 (2) 2x 1 y 2 y 2 1 2 1) Đặt a (2) a 2 a 1 0 a 1 2x 1 a y 2 1 y 2 x 3 (3) 2x 1 5 5 Từ (1) y ( do x 0) . Thế vào (3) ta được: 2x 3 2 x2 3 x 5 0 x x 5 x y 2 ( tmd k x,y 0) 12 1 x2 1 y 2 5( tmd k x,y 0) 5 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ;2 và 1; 5 . 2 2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 x m x 2 x m 0 TRANG 3
4. Sản phẩm của Group: Nhóm 3-Toán THCS ta có =1 4m Để đường thẳng d cắt P tại hai điểm AB, nằm ở hai phía của trục tung thì phương trình hoành 0 1 4m 0 độ giao điểm phải thỏa mãn: m 0. P 0 m 0 b) với m 2 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P : 2 2 2 x 1 x 1 y 1 1 x x 2 x x 2 0 1 1 x 2 2 x2 3 y 2 3 9 Vậy tọa độ các giao điểm của d và P là AB 1; 1 , 2; 4 . Có AB 1; 1 , 2; 4 cố định nên độ dài đoạn thẳng AB không đổi, do đó SΔABC lớn nhất khi khoảng cách từ C đến đường thẳng d lớn nhất, khi đó C là tiếp điểm của đường thẳng d1 // d và d1 tiếp xúc P . Gọi phương trình đường thẳng d1 : y ax b . a a d1 d a 1 Do d// d nên 1 b b b 2 d1 d Suy ra d1 : y x b ( b 2) 2 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của d1 và P : x x b x x b 0 (*) (*) có Δ 12 4b 1 4 b 1 d tiếp xúc với P có nghiệm kép Δ 0 b (thỏa mãn). 1 4 2 1 2 1 1 1 1 Thay b vào (*) ta được: x x 0 x 0 x y 4 4 2 2 4 1 1 Vậy C ; là điểm cần tìm. 2 4 TRANG 4
5. Sản phẩm của Group: Nhóm 3-Toán THCS Bài 4: a)Tứ giác MAOB có: OAM OBM 900 (Vì MA, MB là tiếp tuyến của O ) OAM OBM 1800 Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp Do đó 4 điểm MAOB,,, thuộc đường tròn đường kính OM (1) Tứ giác MAOE có: OAM 900 (Vì MA là tiếp tuyến của O ) OEM 900 ( Vì OE d ) OAM OEM 1800 Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác MAOE nội tiếp Do đó 4 điểm MAOE,,, thuộc đường tròn đường kính OM (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm OBEMA,,,, cùng thuộc một đường tròn đường kính OM . b)Gọi I là giao điểm của OM và AB Ta có OAB cân tại O (vì OA OB R ) cóOM là đường phân giác của AOB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên OM đồng thời là đường trung trực của AB OM  AB tại I Xét OIH và OEM có: 0 OIH OEM 90  OIH OEM ( g g )  EOM chung  OI OH OH. OE OI . OM (3) OE OM Áp dụng hệ thức lượng vào OBM vuông tại B cóOB2 OI. OM (4) Từ (3) và (4) ta có OH. OE OB2 R 2 (vì OB R ) TRANG 5
6. Sản phẩm của Group: Nhóm 3-Toán THCS Vậy OH. OE R2 . c) Tứ giác BKED có: EDB 900 (Vì ED MB ) EKB 900 ( Vì EK AB ) EDB EKB 1800 Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác BKED nội tiếp Nên EKD EBD (2 góc nội tiếp cùng chắn ED ) Xét đường tròn đường kính OM có MOE MBE (2góc nội tiếp cùng chắn EM ) hay EBD EOM Vậy EOM DKE +)Xét tứ giác MCDE có: EDM ECM 900 (gt) Vì 2 đỉnh DC, kề nhau của tứ giác cùng nhìn đoạn ME dưới 2 góc bằng nhau nên Tứ giác MCDE nội tiếp EDC EMC 1800 (t/c tứ giác nội tiếp) Vì tứ giác MABE nội tiếp đường tròn đường kính OM nên AME KBE (vì cùng bù với ABE ) Mà tứ giác BKED nội tiếp do đó KBE KDE (góc nội tiếp cùng chắn KE ) KDE AME KDE CDE 1800 Vậy 3 điểm CDF,, thẳng hàng d) Ta có OH OE OI OM R2 không đổi, mà OE, cố định nên H cố định Tứ giác ACEK nội tiếp vì EKA ECA 1800 nên AEC AKC (góc nội tiếp cùng chắn AC ) (1) Mà EC// OA (vì cùng  MA ) Nên OAE AEC (2 góc so le trong) (2) OA OE Mặt khác : Xét OAH và OEAcó:OH. OE R2 OA 2 OH OA Lại có AOE chung TRANG 6
7. Sản phẩm của Group: Nhóm 3-Toán THCS Nên OAH  OEA ( g g ) OHA OAE mà OHA KHF (2 góc đối đỉnh) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra AKC KHE hay HKF KHE nên FKH cân tại F FH FK (4) Lại có : HKF FKE 900 KHF KEH 900 ( do HKE vuông tại K ) FKE FEK nên FKE cân tại F FK FE (5) Từ (4) và (5) suy ra FE FH mà F thuộc EH nên F là trung điểm của HE Do HE, cố định nên F cố định Vậy Khi M di động trên đường thẳng d thì KD luôn đi qua điểm F cố định. 2 Câu 5: Ta có aab232 bab 223 ab 55 2 ab 22 ab 55 4 ab 44 Áp dụng bất đẳng thức x y 2 4 xy ta có: 2 ab5 5 4 ab 5 5 4 ab 4 4 4 ab 5 5 4 ab 4 4 1 ab 0 mà 4a4 b 4 0 với mọi a,b + Nếu ab 0 1 ab 1 + Nếu ab 0 1 ab 0 Min 1 ab 0 Dấu “=” xảy ra a b 1. TRANG 7