Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 10 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 10 (Có đáp án)

1. Đề 10 Câu 1 (2 điểm) a2 3a+2 a2 a 1 1 Cho M 2 . a a 2 a 1 a 1 a 1 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M. 1 a 1 1 b) Tìm a sao cho . M 8 4 Câu 2 (2 điểm) a) Giải phương trình 2x 8x 1 2 4x 1 9 . b) Với mọi n ¥ thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Câu 3 (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F. a) Chứng minh SAOD SBOC . 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF. Câu 4 (2 điểm) x2 y2 1 Cho x4 y4 1 a b a b x2014 y2014 2 Chứng minh rằng . a1007 b1007 a b 1007 Câu 5 (1 điểm) x 4 x 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B với x 0 . x
2. Đáp án Câu 1 (2 điểm) a2 3a+2 a2 a 1 1 Cho M 2 . a a 2 a 1 a 1 a 1 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M. 1 a 1 1 b) Tìm a sao cho . M 8 4 Hướng dẫn a2 a 2 0 a 1 a) ĐKXĐ a 1 0 a 1 a 1 0 a2 3a+2 a2 a 1 1 Ta có M 2 . a a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a2 a a 1 a 1 M . a 1 a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a2 a 2a M . a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2a M . a 1 a 1 a 1 2a 2a M a 1 1 a 1 a 1 1 b) Ta có a 0 M 8 4 1 a 1 1 2a 8 4 1 a 1 a a 1 1 2a 8 4 4 4a a2 a 1 8a 4 a2 5a 4 1 8a 4 4a2 20a 16 8a 4a2 12a 16 0 4 a2 3a 4 0 a2 3a 4 0 a 1 a 4 0 4 a 1 vì a 1,a 0 nên 4 a 0,0 a 1
3. Câu 2 (2 điểm) a) Giải phương trình 2x 8x 1 2 4x 1 9 . b) Với mọi n ¥ thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Hướng dân a) 2x 8x 1 2 4x 1 0 8x 1 2 8x2 2x 9 16x2 16x 1 64x2 16x 72 Đặt 64x2 16x t , ta có: t 8 t t 1 72 , do đó t 9 Từ đó tìm được các giá trị của x. b) Xét hiệu: n5 n n n4 1 n n2 1 n2 1 n 1 n n 1 n2 4 5 Vậy n 1 n n 1 n2 4 5 M2 (1) n 1 n n 1 n2 4 5 n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 Vì n 2 n 1 n n 1 n 2 chia hết cho 5, 5 n 1 n n 1 chia hết cho 5. Vậy n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 M5 (2) Từ (1) và (2) suy ra n5 n chia hết cho 2, 5 mà 2,5 1 n5 nM10 Vậy n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Câu 3 (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F. a) Chứng minh SAOD SBOC . 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF. Hướng dẫn
4. A B K E F O I M N D C a) Ta có SADB SABC vì có cùng chiều cao hạ từ D và C xuống AB (do AB // CD) và cạnh đáy AB. SABD SAOB SABC SAOB hay SAOD SBOC . EO AO AB AO b) V× EO // DC . MÆt kh¸c AB // CD . DC AC DC OC AB AO AB AO EO AB AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 . 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dụng trung tuyến EM M DF . Dựng EN // MK N DF , nối K với N. KN là đường thẳng phải dựng. Chứng minh Ta có SEDM SEMF (1). Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE SIMN (chứng minh phần a). Từ (1) và (2) suy ra SEDNI SIMN SKIMF SIKE SEDNI SIKE SKIMF SIMN Vậy SEDNK SKNF . Câu 4 (2 điểm) x2 y2 1 Cho x4 y4 1 a b a b x2014 y2014 2 Chứng minh rằng . a1007 b1007 a b 1007 Hướng dẫn Ta có: 2 2 2 x4 y4 1 x4 y4 x y (vì x2 y2 1 ) a b a b a b a b a b bx4 ay4 ab x4 2x2 y2 y4 abx4 a2 y4 b2 x4 aby4 abx4 2abx2 y2 aby4 a2 y4 2abx2 y2 b2 x4 0
5. 2 ay2 bx2 0 x2 y2 ay2 bx2 a b Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x2 y2 x2 y2 1 a b a b a b x2 1 y2 1 , a a b b a b 1007 1007 1007 1007 x2014 y2014 x2 y2 1 1 2 Vậy 1007 1007 1007 . a b a b a b a b a b Câu 5 (1 điểm) x 4 x 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B với x 0 . x Hướng dẫn Ta có: x 16 x 9 x2 25x 144 144 C x 25 x x x 144 Vì x và là các số dương có tích không đổi nên có tổng nhỏ nhất x 144 x x 12 x Vậy min C 49 x 12 .