Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 16 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 16 (Có đáp án)

1. Đề 16 Câu 1. (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 . x2 2x 2x2 1 2 b) Rút gọn biểu thức sau A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau: (2x2 x 2013)2 4(x2 5x 2012)2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012) b) Chứng minh với mọi m, n, p, q ta đều có m2 n2 p2 q2 1 m n p q 1 Câu 3. (2,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng AC 2EF . 1 1 1 d) Chứng minh rằng . AD2 AM 2 AN 2 Câu 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng không có các số dương thỏa mãn cả ba bất đẳng thức sau: 4a 1 b 1; 4b 1 c 1 ; 4c 1 a 1 Hướng dẫn BM 1 BE 1 AD Ta có:   (do BEC ~ ADC ) mà AD AH 2 (tam giác AHD BC 2 BC 2 AC BM 1 AD 1 AH 2 BH BH vuông vân tại H) nên   (do ABH ~ CBA) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó BHM ~ BEC(c.g.c). Suy ra: B·HM B·EC 1350 ·AHM 450 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. GB AB AB ED Suy ra: , mà ( ABC~ DEC) GC AC AC DC ED AH ED AH HD Ta lại có ED // AH => mà HD=HC DC HC DC HC HC GB HD GB HD GB HD => GC HC GC GB HC HD BC HC AH
2. Câu 5. Giả sử tồn tại các số a, b, c sao cho: 4a 1 b 1 ; 4b 1 c 1 ; 4c 1 a 1 Suy ra 1 a 0 ; 1 b 0 ; 1 c 0 Nhân theo từng vế của bất đẳng thức ta được: 64abc 1 a 1 b 1 c 1 (*) Ta có: 4a 1 a a 1 a 1 (1); 4b 1 b b 1 b 1 (2); 4c 1 c c 1 c 1 (3) Nhân theo từng vế của (1), (2) và (3) ta được: 64abc 1 a 1 b 1 c 1 ( ) mâu thẫu với (*) Do đó không có các số dương thỏa mãn cả ba bất đẳng thức sau: 4a 1 b 1; 4b 1 c 1 ; 4c 1 a 1
3. Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Hướng dẫn giải Điể Câu m (2.0 Câu 1 điểm ) Ta có x4 2013x2 2012x 2013 0,25 x4 x 2013x2 2013x 2013 1 2 2 0.25 (1.0 x x 1 x x 1 2013 x x 1 điểm) x2 x 1 x2 x 2013 0.25 Kết luận x4 2013x2 2012x 2013 x2 x 1 x2 x 2013 0.25 x 0 ĐK: 0.25 x 2 x2 2x 2x2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x 2 x2 2x 2x2 x2 x 2 2 2 2 0.25 (1.0 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x điểm) x2 2x 2x2 (x 1)(x 2) x(x 2)2 4x2 (x 1)(x 2) 0.25 2 2 2 2 2 2(x 4) (x 4)(2 x) x 2(x 2)(x 4) x x3 4x2 4x 4x2 x 1 x(x2 4)(x 1) x 1 . 0.25 2(x2 4) x2 2x2 (x2 4) 2x
4. x 1 x 0 Vậy A với . 2x x 2 (2.0 Câu 2 điểm ) a 2x2 x 2013 Đặt: 0.25 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: 0.25 1 a2 4b2 4ab (a 2b)2 0 a 2b 0 a 2b (1.0 Khi đó, ta có: 0.25 điểm) 2x2 x 2013 2(x2 5x 2012) 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x . 0.25 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x . 11 2 3 3 2 3 7 Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0.25 4 8 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 0.25 2 4 16 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + (1.0 0.25 điểm) 1 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: 0.25 (-1 ; 0) (2,0 Câu 3 điểm ) Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b . 0.25 Khi đó: f (x) (x2 4).( 5x) ax+b Theo đề bài, ta có: 1 7 f (2) 24 2a b 24 a 0.25 (1.0 2 f ( 2) 10 2a b 10 điểm) b 17 7 Do đó: f (x) (x2 4).( 5x) x+17 0.25 2 47 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f (x) 5x3 x 17. 0.25 2 2 Ta có: 2 2 2 0.25 (1.0 a(b c)(b c a) c(a b)(a b c) b(a c)(a c b) 0 (1)
5. điểm) x z a 2 a b c x x y Đặt: b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó, ta có: x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 0.25 VT(1) .y .x (x y)(x y).z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 (x2 y2 )z2 0.25 2 2 2 2 4 1 1 1 (x2 z2 ).y2 (z2 y2 ).x2 (x2 y2 ).z2 0.25 4 4 4 1 1 (x2 y2 ).z2 (x2 y2 ).z2 0 VP (đpcm) 0.25 4 4 (1) (3,0 Câu 4 điểm ) E A B H F C D M 1 N (1.0 điểm) Ta có D·AM = A· BF (cùng phụ B·AH ) AB = AD ( gt) 0.5 B·AF = A·DM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM 0.25 Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác.D· AE = 900 (gt)
6. Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH 0.25 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có H·AB = H· BC (cùng phụ A·BH ) 0.25 2 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) (1.0 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 điểm) = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = SΔEAH AE SΔEAH AE (2AE)2 0.25 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN 0.25 = = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC 0.25 3 = = hay = (1.0 AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 điểm) AD AD CN CM CN2 + CM2 MN2 + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 0.25 (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.25 AM AN AM AN AD Câu 5 1,0 điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta có 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 0 2 a2 b2 a b . ( ) 5 Câu x y x y 0 5: a2 y b2 x x y xy a b 2 1.0 2 điểm bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có
7. 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 Ta có: 3 3 3 a (b c) b (c a) c (a b) ab ac bc ab ac bc 0 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có . 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c 5 a b c (Vì abc 1 ) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 . 2 5 1 1 1 3 Vậy (đpcm) a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Điểm toàn bài ( 1 0 , 0 đ i ể m ) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.