Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 6 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 6 (Có đáp án)

1. Bài 1. Tìm n Z để n 26 và n 11 đều là lập phương của một số tự nhiên. Giải n 26 a3 Đặt a3 b3 37 3 n 11 b Ta có: a3 b3 37 a b a2 ab b2 37 a b 1 1 a2 ab b2 37 Suy ra a b 1 2 2 2 a ab b 37 a b 1 a b 1 a b 1 a b 1 b 3 Từ (1) ta có: 2 2 2 2 2 a ab b 37 b 1 b b 1 b 37 b b 12 0 b 4 a 4 Do đó a 3 Với a 4 n 38 Với a 3 n 53 a2 ab b2 37 Từ (2) ta có (Loại) a b 1 Bài 2. Cho biểu thức A x2 xy y2 3x 3y 2016 . Tìm giá trị của x, y để A đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Cách 1 Ta có: A x2 xy y2 3x 3y 2016 A x2 2x 1 y2 2y 1 xy x y 2014 A x 1 2 y 1 2 x y 1 y 1 2013 A x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 2013 2 2 2 y 1 y 1 3 y 1 A x 1 2 x 1 . 2013 2 4 4 2 2 y 1 3 y 1 A x 1 2013 2 4
2. 3 y 1 2 0 4 y 1 A 2013 Do đó min 2 y 1 x 1 x 1 0 2 Cách 2 Ta có: 4A 4x2 4xy 4y2 12x 12y 8064 4A 2x 2 2.2x.y 2.2x.3 2.y.3 y2 32 3y2 6y 3 8052 4A 2x y 3 2 3 y 1 2 8052 2 2x y 3 0 x 1 Do đó 4A 8052 2 y 1 3 y 1 0 x 1 Vậy Amin 2013 y 1 2 Bài 3. Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 Giải Ta có: 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 2 2 x2 4 y2 27 17 x4 y2 7 2 2 x4 8x2 y2 27 16 y2 27 17x4 17 y2 27 2 16x4 8x2 y2 27 y2 27 0 2 2 2 4x y 27 0 4x2 y2 27 0 4x2 y2 27 2x y 2x y 27 2x y 27 x 7 2x y 1 y 13 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A x2 2y2 2xy 2x 10y với x, y R . b) B x2 6y2 14z2 8yz 6xz 4xy . c) C x2 2y2 3z2 2xy 2xz 2x 2y 8z 2000 .