Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 9 (Có đáp án)

1. Đề 9 Câu 1 (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức A 2 1 22 1 24 1 2256 1 1 . b) Cho x2 y2 z2 . Chứng minh rằng 5x 3y 4z 5x 3y 4z 3x 5y 2 Câu 2 (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a10 a5 1 . x y 2 x y b) Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng 0 . y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Câu 3 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh: 1 1 1 a) . OI AB CD 2 1 1 b) . IJ AB CD Câu 4 (1 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB, biết diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2 . Câu 5 (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau x2 y xy y 1
2. ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức A 2 1 22 1 24 1 2256 1 1 . b) Cho x2 y2 z2 . Chứng minh rằng 5x 3y 4z 5x 3y 4z 3x 5y 2 Hướng dẫn a) Ta có: A 1. 2 1 22 1 24 1 2256 1 1 A 2 1 2 1 22 1 24 1 2256 1 1 A 22 1 22 1 24 1 2256 1 1 A 24 1 24 1 2256 1 1 A 2256 1 2256 1 1 2512 1 1 2512 . b) Ta có: 5x 3y 4z 5x 3y 4z 5x 3y 2 16z2 25x2 30xy 9y2 16z2 25x2 30xy 9y2 16 x2 y2 (vì x2 y2 z2 ) 25x2 30xy 9y2 16x2 16y2 9x2 30xy 25y2 3x 5y 2 . Câu 2 (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a10 a5 1 . x y 2 x y b) Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng 0 . y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Hướng dẫn a) a10 a5 1 a10 a9 a8 a9 a8 a7 a7 a6 a5 a6 1 a8 a2 a 1 a7 a2 a 1 a5 a2 a 1 a3 1 a3 1 a8 a2 a 1 a7 a2 a 1 a5 a2 a 1 a 1 a2 a 1 a3 1 a2 a 1 a8 a7 a5 a4 a3 a 1 . b) Ta có: x y y3 1 x3 1 4 4 2 2 x4 x y4 y x y x y x y x y x y x y y3 1 x3 1 y3 1 x3 1 y 1 y2 y 1 x 1 x2 x 1 Vì x y 1 y 1 x và x 1 y , do đó ta có:
3. x y x y x2 y2 x y xy y2 y 1 x2 x 1 x y x2 y2 x y (vì x y 1 ) xy x2 y2 y2 x y2 yx2 xy y x2 x 1 x y x2 y2 1 x y x2 x y2 y xy x2 y2 xy x y x2 y2 xy 2 xy x2 y2 x y 2 2 x y x x 1 y y 1 x y x y y x 2 2 2 2 xy x y 3 xy x y 3 x y 2xy 2 x y 2 2 2 2 xy x y 3 x y 3 x y 2 x y Do đó 0 . y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Câu 3 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh: 1 1 1 a) . OI AB CD 2 1 1 b) . IJ AB CD Hướng dẫn A B J I O D C a) Ta có: OI CI OI // AB, xét tam giác OIC ta có: (1). AB CB OI BI OI // CD, xét tam giác BDC ta có: (2). CD BC Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: OI OI CI BI BC 1 1 1 1 (3). AB CD BC BC BC OI AB CD 1 1 1 b) Chứng minh tương tự ta có (4). OJ AB CD 1 1 1 1 Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có: 2 OI OJ AB CD
4. OJ DO OI 2 1 1 Lại có OJ OI , do đó ta có: . AB DB AB IJ AB CD Câu 4 (1 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB, biết diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2 . Hướng dẫn A D O B C Ta chứng minh được SAOD .SBOC SAOB .SOCD mà SAOB SDOC 2 2 2 Do đó S AOB 169.196 182 SAOB 182cm Câu 5 (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau x2 y xy y 1 Hướng dẫn x2 y xy y 1 2 2 2 1 3 y x x 1 1 vì x x 1 x 0 với mọi x nên phương trình có nghiệm 2 4 nguyên dương khi: y 1 y 1 2 x x 1 1 x 1