Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 33 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 33 (Có đáp án)

1. 4xy 1 1 Câu 1. Cho biểu thức A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nêu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn 3x2 y2 2x 2y 1 , hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Câu 2 a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu a x2 yz ; b y2 xz ; c z2 xy thì ax by cz chia hết cho a b c b) Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 . Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì A 0 Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB, AC (E AB , F AC ) a) Chứng minh FC.BA CA.BE AB2 b) Chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. c) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất d) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định Câu 4 a) Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 xy 2014x 2015y 2016 0 Câu 5. Cho hai số không âm a và b thoả mãn a b 1 . a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S . a 1 b 1
2. Hướng dẫn Câu 1 a) Điều kiện: x y; y 0 b) A = 2x(x+y) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2 1 x y 1 0 x 2 + A = 2 khi 2x x y 2 3 x y;y 0 y 2 (x y 1)2 1 + A = 1 khi 2x x y 1 x y;y 0 2 1 x 2 Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: 2 3 y 2 Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 Câu 2 a) Ta có ax x3 xyz ; by y3 xyz ; cz z3 xyz ax by cz x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y 3xyz z3 ax by cz x y z x y 2 x y z z2 3xy x y z 2 2 2 ax by cz x y z x 2xy y xz yz z 3xy x y z ax by cz x y z x2 2xy y2 xz yz z2 3xy ax by cz x y z x2 y2 z2 xz yz xy ax by cz x y z a b c Vậy ax by cz chia hết cho a b c b) Ta có A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2 A 4a2b2 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2a2c2 2ab 2 a2 b2 c2 A 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 A a b 2 c2 c2 a b 2 A a b c a b c c a b c a b
3. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên A 0 Câu 3 B E M A F C a) Chứng minh FC.BA CA.BE AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất c) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định BE EM a) Xét BEM ~ BAC BE.AC AB.EM AB.BE (vì EM BE ) AB AC CF FM CFM ~ CAB CF.AB FM.CA AE.AB (vì MF AE ; AB AC ) CA AB FC.BA CA.BE AB.BE AE.AB AB BE AB AB.AB AB2 PMEAF 2 AE EM 2 AE BE 2AB không đổi b) Ta có SMEAF AE.EM vì AE BE AE EM AB không đổi nên AE.EM lớn nhất AE EM AE BE khi đó E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC Cách khác Ta có 2 2 AB S AE.EM mà AE EM 4AE.EM AE.EM MEAF 4 AB2 Vậy MaxS AE EM AE BE MEAF 4 d) Câu 4 2 2 a) a4 4 a2 4a2 4 4a2 a2 2 2a 2 a2 2a 2 a2 2a 2 Vì a2 2a 2 a 1 2 1 ; a2 2a 2 a 1 2 1 1 với mọi a Để a4 4 là số nguyên tố thì a2 2a 2 1 hoặc a2 2a 2 1 . Từ đó tìm được a 1 hoặc a 1 b) Ta có x2 xy 2014x 2015y 2016 0 x x y 1 2015 x y 1 1 x y 1 x 2015 1 Từ đó tìm được x, y
4. Câu 5 Ta có a b 1 1 4 4 2 S 2 2 2 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 3 3 2 1 Vậy MaxS x y 3 2