Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 38 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 38 (Có đáp án)

1. Bài 1 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 a) x 1 4 x2 x 1 b) x8 98x4 1 x x 5 y y 5 2 xy 3 2. Tính giá trị biểu thức A với x y 2016 x x 6 y y 6 2xy Bài 2 14x2 8x 9 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 3x2 6x 9 b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c khác 0 và a b c 0 . a2 b2 c2 3 Chứng minh đẳng thức a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2 Bài 3 a) Cho n N * chứng minh rằng A 2n 11n 22n 32n chia hết cho 14 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2y 2 x x y 1 x 2 2y 2 xy Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H, trọng tâm G. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC. a) Chứng minh OMN ~ HAB b) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH 2GO Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2y 4z 12 . 2xy 8yz 4zx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y 2y 4z 4z x Gợi ý bài hình Hai góc gọi là có cạnh tương ứng song song nếu mỗi cạnh của góc này tương ứng song song với một cạnh của góc kia.
2. Hướng dẫn Bài 1 1) 2 2 2 a) x 1 4 x2 x 1 x 1 2 x x 1 1 2 2 x 1 4 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 2 2x x 1 1 2 x 1 4 x2 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 2x2 2x 1 2x2 2x 1 x2 2x 2 2 2 b) x8 98x4 1 x4 2x4 1 96x4 x4 1 96x4 2 x4 1 2. x4 1 .8x2 64x4 16x2 x4 1 32x4 2 2 x4 1 8x2 16x2 x2 1 2 2 x4 1 8x2 4x3 4x x4 4x3 8x2 4x 1 x4 4x3 8x2 4x 1 x x 5 y y 5 2 xy 3 2) A x x 6 y y 6 2xy 2 x y 5 x y 6 x y 6 x y 1 x y 1 2015 x y 2 6 x y x y 6 x y x y 2016 Bài 2 2 2 2 14x2 8x 9 2 x 2x 3 12x 12x 3 2 3 2x 1 2 a) Ta có A 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 3 x2 2x 3 3 b) Ta có a b c 0 a b c a2 b2 2bc c2 a2 b2 c2 2bc Tương tự ta có: b2 c2 a2 2ac ; c2 a2 b2 2ab , do đó a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2bc 2ac 2ab 2abc Mặt khác ta có a3 b3 c3 a b 3 3ab a b c3 a b c a b 2 a b c c2 3ab a b a3 b3 c3 0. a b 2 a b c c2 3ab c 3abc a2 b2 c2 3 Vậy a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2 Bài 3 a) Ta có A 2n 11n 22n 32n 2n 11n 4n 9n 11n 4n 9n 2n 11 4 .A 9 2 .B Vì 11n có tận cùng bằng 1, 9n có tận cùng bằng 1 hoặc 9 nên A chẵn Vì 2;7 1 nên A chia hết cho 14 b) Ta có 2y 2 x x y 1 x 2 2y 2 xy x2 2y2 xy 2y2 x x y 1 0
3. x2 x 2y2 2y2 x xy y 1 x x 1 2y2 x 1 y x 1 1 x 1 x 2y2 y 1 Bài 4 a) Chứng minh M· ON B·HA (hai góc có cạnh tương ứng song song) O·MN H· AB (hai góc có cạnh tương ứng song song) Do đó OMN ~ HAB OM MN 1 GM 1 b) Chứng minh OMG ~ HAG (c.g.c) vì ; ; H· AG O·MG AH AB 2 AG 2 từ đó chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng OG OM 1 Ta có OMG ~ HAG GH 2GO GH AH 2 Bài 5 1 1 4 1 1 1 1 Với x, y là các số dương, ta có x y x y x y 4 x y 2xy 8yz 4zx 1 2xy 2xy 8yz 8yz 4zx 4zx P x 2y 2y 4z 4z x 4 x 2y 2y 4z 4z x 2xy 8yz 4zx 1 1 P 4y 2x 8z .2 x 2y 8z 6 x 2y 2y 4z 4z x 4 4 x 4 Vậy maxP 6 y 2 z 1