Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề 4 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề 4 (Có đáp án)

1. Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 2xy y2 4x 4y 5 b) Chứng minh n N * thì n3 n 2 là hợp số. c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 2 x 1 x 2 x 3 x 2016 a) Giải phương trình 2016 2016 2015 2014 1 b) Cho a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 . Tính S a2 b2014 c2015 Câu 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 b) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh a b c a b c a b c a b c Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông. b) Chứng minh DF  CE và MAD cân. c) Tính diện tích MDC theo a. Bài tập tương tự câu 1b) 1. Tìm số tự nhiên n để n4 4 là số nguyên tố. 2 2. Cho biểu thức x2 8 36 . Tìm số tự nhiên n để biểu thức trên là số nguyên tố
2. Câu Ý Nội dung Điể m a. 1 = (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9 0.5 điểm = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1) 0,5 b. 1 Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) 0.25 điểm =(n+1)( n2 - n + 2) 0,25 Câu 1 n N * 2 3 3 Do nên n + 1 > 1 và n - n + 2 >1 Vậy n + n + 2 là hợp số 0.5 2 2 điểm c. 1 Gọi hai số lần lượt là a và (a+1) 0.25 điểm Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1 0.25 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 0.25 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ 0.25 a. Phương trình đã cho tương đương với: 1.5 x 1 x 2 x 3 x 2012 1 1 1 1 2012 2012 0.5 điểm 2012 2011 2010 1 0. 5 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 0 2012 2011 2010 1 0. 5 Câu 2 1 1 1 1 (x 2013)( ) 0 x = 2013 2 2012 2011 2010 1 điểm b. a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 a; b; c  1;1 0.5 3 3 3 2 2 2 2 2 2 0.25 điểm a + b + c - (a + b + c ) = a (a - 1) + b (b - 1) + c (c - 1) 0 a3 + b3 + c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1 b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1 0.25 a. 1 Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 0.25 điểm A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 0.25 A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1 0.25 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 0.25 b. vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; 0.5 a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 điểm y z x z x y ta có: x + y + z = a + b + c; a ;b ;c 0.25 2 2 2 Câu 3 ab bc ac (y z)(x z) (x z)(x y) (x y)(y z) 1.5 điểm a b c a b c a b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz ( 3x 3y 3z) 3(x y z) (2 2 2 ) 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y 3(x y z) ( ) ( ) ( ) 4 2 z x 2 z y 2 y x 0.25 1 3(x y z) x y z x y z 4 Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh
3. Câu 4 Hình A E B 3.5 vẽ 0. điểm 5 đ 0.5 F H M N C D G a. Chứng minh: EFGH là hình thoi 0. 5 1.25 Chứng minh có 1 góc vuông. 0. 5 điểm Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vuông 0.25 b. 1 VBEC VCFD(c.g.c) E·CB F·DC mà VCDF vuông tại C 0.25 điểm C·DF D· FC 900 D· FC E·CB 900 VCMF vuông tại M 0.25 Hay CE  DF. Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG  DF 0.25 GN//CM mà G là trung điểm DC nên N là trung điểm DM. Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD 0.25 cân tại A. c. 0.75 CD CM VCMD : VFCD(g.g) 0.25 điểm FD FC 2 2 SVCMD CD CD 0.25 Do đó : SVCMD .SVFCD SVFCD FD FD 1 1 Mà : S CF.CD CD2 . VFCD 2 4 CD2 1 Vậy : S . CD2 . VCMD FD2 4 Trong VDCF theo Pitago ta có : 0.25 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD .CD . 2 4 4 CD2 1 1 1 Do đó : S . CD2 CD2 a2 VMCD 5 CD2 4 5 5 4 Bài tập tương tự câu 1b) 1. Tìm số tự nhiên n để n4 4 là số nguyên tố. 2 2. Cho biểu thức x2 8 36 . Tìm số tự nhiên n để biểu thức trên là số nguyên tố 1. Ta có 2 2 n4 4 n2 4n2 4 4n2 n2 2 2n 2 n2 2n 2 n2 2n 2
4. Vì n2 2n 2 n 1 2 1 1 với mọi số tự nhiên n, do đó để n4 4 là số nguyên tố thì n2 2n 2 1 n 1 2. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 8 36 x 16x 64 36 x 20x 100 36x x 10 6x Lập luận tương tự như trên