Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 27 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 27 (Có đáp án)

1. Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 2017x2 2016x 2017 b) x2 y2 z2 x y z 2 xy yz xz 2 Câu 2 a) Một số điện thoại có 10 chữ số là 098716abcd . Hãy tìm bốn số cuối của bốn số điện thoại đó, biết rằng bốn số này tạo thành một số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương. 1 1 1 1 9 b) Chứng minh rằng với n ¥ , n 1 , ta có 5 13 25 n2 n 1 2 20 Câu 3 x2 xy y2 1 a) Chứng minh rằng với x, y ¡ , ta luôn có x2 xy y2 3 b) Cho a b c 9 và a,b,c 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Câu 4 a) Tìm các số nguyên x, y, z biết x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 b) Phân tích đa thức x2 x 2015.2016 Câu 5 1) Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Khi đó tứ giác ADME có thể đạt được diện tích lớn nhất là bao nhiêu? 2) Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình vuông. Chứng minh rằng: AC a) S MN NP PQ QM ABCD 4 b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất c) Xác định vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất
2. Hướng dẫn Câu 1 b) Đặt x2 y2 z2 a ; xy yz zx b , ta có B a a 2b b2 a b 2 Câu 2 a) Theo đề bài ta có: 2 abcd n (31 m,n 100 ) 2 a 1 b 1 c 1 d 1 m 2 2 m n 11 m 56 m n 1111 11.101 1111.1 m n 101 n 45 Vậy số điện thoại cần tìm là 0987162025 b) Ta có 1 1 1 1 1 1 2 2 n2 n 1 2n 2n 1 2n n 1 2 n n 1 1 1 1 1 1 2 2 13 2 3 2 2 3 1 1 1 1 1 2 2 25 3 4 2 3 4 1 1 1 1 1 2 2 n2 n 1 2n 2n 1 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 5 13 25 n2 n 1 5 2 2 3 3 4 n n 1 5 4 20 Câu 4 a) x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 0 x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 1 (vì x, y, z là các số nguyên) 2 2 y y 2 x 3 1 z 1 0 2 2 x 1 y 2 z 1 b) x2 x 2015.2016 x2 2016x 2015x 2015.2016 x x 2016 2015 x 2016 x 2016 x 2015 Câu 5 1)
3. A x E D B M C Đặt AE x (0 x 6 ) BE EM 6 x EM 4 Ta có EM 6 x AB AC 6 8 3 4 4 2 4 2 4 2 4 4 2 SADME AE.AD x. 6 x 6x x x 6x x 3 9 9. x 3 3 3 3 3 3 3 Vậy minSADME 12 x 3 M là trung điểm của BC 2) A M B J N I Q K D P C a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ ta có 1 1 1 1 BJ MN ; IJ QM ; KI PN ; DK PQ 2 2 2 2 AC AC AC.BD MN NP PQ QM BJ JI IK KD S 4 2 2 ABCD b) Theo phần a) chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất khi đường gấp khúc BJIKD trùng với đoạn BD, tức là khi MN / / AC / /PQ và MQ / /BD / /NP lúc đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Vậy với mọi hình chữ nhật nội tiếp hình vuông đã cho đều có chu vi bằng nhau và chu vi đó nhỏ nhất so với chu vi tất cả các tứ giác nội tiếp hình vuông này. c) A M B F E N Q G H D P C Từ các đỉnh M, N, P, Q ta dựng các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông. Các đường thẳng đó hoặc trùng nhau hoặc song song.
4. Nếu chúng song song từng đôi thì giao điểm của chúng sẽ tạo thành hình chữ nhật. Ta có SMNPQ SMHQ SQGP SPFN SMEN SEFGH 1 1 1 1 SMNPQ SAMHQ SQGPD SPFNC SEFGH SMEBN SABCD SEFGH SABCD 2 2 2 2 Do đó SMNPQ đạt giá trị nhỏ nhất SEFGH 0 EF  HG hoặc HE  FG Vậy tứ giác nội tiếp hình vuông có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai đường chéo của nó song song với cạnh của hình vuông