Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 41 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 41 (Có đáp án)

1. x5 x2 Bài 1. Cho biểu thức A x3 x2 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A A 0 c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2 a) Tìm các số x, y, z biết x2 y2 z2 xy yz zx và x2015 y2015 z2015 32016 b) Chứng minh rằng với n ¥ thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau Bài 3 1 4 1 4 1 4 1 1 3 5 29 4 4 4 4 a) Tính giá trị biểu thức A 4 1 4 1 4 1 4 1 2 4 6 30 4 4 4 4 x y b) Chứng minh bất đẳng thức 2 với x, y cùng dấu (với x 0 ; y 0 ) y x x2 y2 x y Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 2 3 5 (x 0 ;y 0 ) y x y x Bài 4 Cho hình thang ABCD (AB / /CD ) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên theo thứ tự tại M và N. a) Chứng minh OM ON 1 1 2 b) Chứng minh rằng AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB 2015 (đvdt); SCOD 2016 (đvdt); Tính SABCD . Bài 5. Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B xy yz xz
2. Hướng dẫn Bài 1 HS tự làm Bài 3 2 4 1 2 1 2 2 1 2 1 a) Ta có a a a a a a a 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3 29 29 29 29 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 4 4 4 30 30 30 30 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Mặt khác k 1 k 1 k 2 k 2 2 1 12 1 1 Vậy A 2 1 302 30 1861 2 x y 2 b)Vì x, y cùng dấu nên xy 0 , do đó 2 (*) x2 y2 2xy x y 0 ( ) y x Bất đẳng thức ( ) đúng nên bất đẳng thức (*) đúng. x y x2 y2 Đặt t t 2 2 , khi đó ta có: y x y2 x2 P t 2 3t 3 t 2 t 1 1 Nếu x, y cùng dấu nên t 2 t 2 0 ; t 1 0 t 2 t 1 0 P 1 Vậy P 1 t 2 x y (1) x y Nếu x, y trái dấu thì 0 ; 0 t 0 t 1 0 ;t 2 0 y x t 1 t 2 0 P 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi x 0 ; y 0 thì P 1 t 2 x y Vậy minP 1 x y Bài 4 A B M N O D C OM AO ON BN AO BN a) Ta có MO / /DC ; NO / /DC ; ON / / AB DC AC DC BC AC BC OM ON Do đó OM ON DC DC b) Ta có
3. OM DM OM AM 1 1 DM AM DM AM AD ; OM 1 AB AD DC AD AB CD AD AD AD AD ON CN ON BN 1 1 CN BN CN BN BC ; ON 1 AB CB CD BC AB CD CB BC BC BC 1 1 1 1 1 1 2 . OM ON 2 .MN 2 AB CD AB CD AB CD MN SAOB OB SBOC OB SBOC SAOB c) Ta có ; ; SBOC .SAOD SAOB .SDOC SAOD OD SDOC OD SDOC SAOD 2 Mà SAOD SBOC SAOB .SDOC SAOD , khi đó ta có 2 2 2 2015 .2016 SAOD SAOD 2015.2016 2 2 2 SABCD SAOB SAOD SBOC SCOD SAOB 2SAOD SCOD 2015 2.2015.2016 2016 4031 Bài 5 Cách 1 Ta có x2 y2 z2 xy yz zx x2 y2 z2 xy yz zx 0 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 (luôn đúng) Ta có 9 x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 3 xy yz zx 9 xy yz zx 3 3 Vậy maxB 3 x y z 1 Cách 2 Ta có B xy yz xz xy z x y xy 3 x y x y B xy 3 x y x y 2 x2 y2 xy 3x 3y 2 2 2 y 3 3y 6y 9 y 3 3 2 B x x y 1 3 3 2 4 2 4 Vậy maxB 3 x y z 1