Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 43 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 43 (Có đáp án)

1. Bài 1 a) Cho a, b là hai số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng a2 b2 chia hết cho 8 b) Cho a, b, c là các số thực khác nhau. b c c a a b 2 2 2 Chứng minh rằng a b a c b c b a c a c b a b b c c a Bài 2 a) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. b) Giải phương trình 5x 3 3 2x 4 3 3x 1 3 Bài 3. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 1 chia hết cho 24. Bài 4. Tam giác ABC có BA BC , BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC DA BK b) 1 DE DF c) Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC Bài 5. Cho a 0 ; b 0 ; a và b thỏa mãn 2a 3b 6 ; 2a b 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A a2 2a b
2. Hướng dẫn Bài 1 a) Ta có a2 1 b2 1 a 1 a 1 b 1 b 1 Vì a 1 a 1 là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8, tương tự b 1 b 1 chia hết cho 8. Vậy a2 b2 chia hết cho 8 b) Ta có: b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c b c a b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b a b b c b c c a c a b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Bài 2 a) Gọi a, b, c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc 5 a b c . Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Giả sử a 5 được 5bc 5 5 b c bc 5 b c b 1 c 1 6 vì b, c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ: b 1 1 b 2 b 1 2 b 3 và (loại) c 1 6 c 7 c 1 3 c 4 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 b) Đặt 5x 3 a ; 2x 4 b , suy ra a3 b3 a b 3 Bài 3 Ta có p 1 p p 1 chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 (p nguyên tố) nên p 1 p 1 chia hết cho 3. Vì p lẻ nên p 2k 1 (k ¥ ) nên p 1 p 1 4k k 1 M8 Vậy p2 1 chia hết cho 24. Bài 4 B M K G F A D E C a) Xét BKC có BF vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên BF là trung tuyến, do đó F là trung điểm của KC suy ra DF / / AB Xét ABC có AD DC và DM / / AB nên M là trung điểm của BC. EA AB EA DE AB DF b) Vì DF / / AB (*) DE DF DE DF
3. Ta có AB BK AK ; AK 2DF nên từ (*) suy ra AD BK AK DF BK 2DF DF BK DF BK 1 ( ) DE DF DF DF DF GB BK GB GD BK DF DB BK c) Từ DF / /BK 1 GD DF GD DF GD DF DC BK DC DB Từ ( ) có 1 (vì DA DC ) suy ra GE / /BC DE DF DE DG Bài 5 Vì b 0 mà 2a b 4 nên a 2 , do đó A a2 2a b 0 Vậy maxA 0 a 2;b 0 2 Từ 2a 3b 6 b 2 a 3 2 2 2 2 22 22 Do đó A a 2a 2 a a 3 3 9 9 22 2 2 Vậy minA a ;b 9 3 3 Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = c, AC = b và BC= a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau tại O. Tính độ dài đoạn thẳng AE theo a, b, c. OB.OC 1 Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông khi = . BE.CF 2 A E F O B C BE là phân giác nên EA BA EA BA BA b.c EA .AC EC BC EA EC BA BC BA BC c a AO là phân giác của ABE nên: OB AB BO AB c c a . bc OE AE BE AB AE c a b c c a OC b a Tương tự: . OF a b c OB.OC 1 (c a)(b a) 1 Từ = được BE.CF 2 (a b c)2 2 2(c+a)(b+a) = (a+b+c)2 2cb + 2ca + 2ab + 2a2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 = b2 + c2. Vậy ABC vuông tại A (Theo pitago đảo)