Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 44 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 44 (Có đáp án)

1. x2 3x 3 1 6x Bài 1. Cho biểu thức P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Rút gọn biểu thức P b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên tố. Bài 2 x2 yz y2 xz a) Chứng minh rằng nếu với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1 thì x 1 yz y 1 xz xy xz yz xyz x y z b) Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn 2m2 m 3n2 n . Chứng minh 3 m n 1 là số chính phương. Bài 3 x5 x4 7x3 5x2 x a) Chứng minh rằng: P luôn luôn là một số tự nhiên với 120 12 24 12 5 mọi x. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử xy x y yz y z zx z x Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh AE AF và tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF 2 FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương và a b c 1 a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b c c a a b
2. Hướng dẫn Bài 2 x2 yz y2 xz a) Ta có x 1 yz y 1 xz x2 yz y 1 xz y2 xz x 1 yz x2 y x3 xy y2 z xy2 z2 xy2 xy3 z x2 z x2 yz2 x2 y x3 xy y2 z xy2 z2 xy2 xy3 z x2 z x2 yz2 0 xy x y xyz x2 yz xz y2 z x2 y2 0 x y xy xyz x y z z x y 0 Vì x y x y 0 xy xyz x y z z x y 0 xy xz yz xyz x y z b) Ta có 2 2 2 2 2m m 3n n 3 m n m n m n m m n 3 m n 1 m (*) Gọi d là ƯCLN m n;3m 3n 1 , suy ra m nMd ; 3m 3n 1Md 3m 3n 3m 3n 1Md 6m 1Md Từ (*) suy ra m2 Md mMd 6mMd 1Md d 1 Vậy m n và 3m 3n 1 nguyên tố cùng nhau nên 3 m n 1 là số chính phương. Bài 4 B E C K I 1 G D A 2 F a) ABF ADF (g.c.g) suy ra AE AF Tam giác AEF cân tại A mà AI là trung tuyến nên AI  EF hay GI  EF AEG AFG (c.g.c) nên GE GF mà GE / /GF (gt) nên tứ giác EGFK là hình bình hành mà GI  EF nên tứ giác EGFK là hình thoi. b) Xét AKF và CAF có Fµ chung C·AF ·ACF 450 AF KF Do đó AKF ~ CAF AF 2 CF.KF CF AF c) PEKC EC CK KE DK CK KF CD CD 2CD