Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 46 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 46 (Có đáp án)

1. Câu 1 a) Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 với n là số tự nhiên khác 0 Chứng minh rằng 4S 1 là số chính phương b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x2 2y2 2xy y 2 (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2015-2016) x5 4x3 17x 9 x 1 Câu 2. Tính giá trị biểu thức P với x4 3x2 2x 11 x2 x 1 4 (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2015-2016) Câu 3. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a b c 2016 và 1 1 1 1 thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2016 a b c 2016 Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh AEF ~ ABC b) Chứng minh BF.BA CE.CA BC 2 c) Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH 2OM 2016x 3780 Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Hướng dẫn
2. Câu 1 a) Ta có S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 4S 4.1.2.3 4.2.3.4 4.3.4.5 4.n n 1 n 2 4S 1.2.3.4 2.3.4. 5 1 3.4.5. 6 2 n n 1 n 2 n 3 n 1 4S 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 n n 1 n 2 n 3 n 1 n n 1 n 2 4S n n 1 n 2 n 3 Do đó 4S 1 n n 1 n 2 n 3 1 n2 3n n2 3n 2 1 2 2 2 2 2 4S n 3n 2 n 3n 1 n 3n 1 b) Ta có x2 2y2 2xy y 2 x2 2xy y2 y2 y 2 x y 2 2 y y 1 Vì x y 2 0 2 y y 1 0 1 y 2 mà y ¢ y  1;0;2 Với y 1 x 1 Với y 0 x2 2 (loại) Với y 2 x 2 Câu 2 x 1 Từ x2 3x 1 0 x2 x 1 4 Ta có x4 3x2 2x 11 x4 3x3 x2 3x3 2x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x3 2x2 2x 11 x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x3 9x2 3x 11x2 x 11 x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x x2 3x 1 11x2 x 11 x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x x2 3x 1 11x2 33x 11 32x x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x x2 3x 1 11 x2 3x 1 32x x4 3x2 2x 11 x2.0 3x.0 11.0 32x 32x x5 4x3 17x 9 x5 3x4 x3 3x4 5x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x4 5x3 17x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x4 9x3 3x2 4x3 3x2 17x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x3 3x2 17x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x3 12x2 4x 9x2 21x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x x2 3x 1 9x2 21x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x x2 3x 1 9 x2 3x 1 6x x5 4x3 17x 9 x3.0 3x2.0 4x.0 9.0 6x 6x 32x 16 Vậy P 6x 3 Câu 4
3. A E F H O B C D M K a) b) c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HK. Lại có O là trung điểm của AK suy ra OM là đường trung bình của của tam giác AHK nên AH 2OM Câu 5 2 2016x 3780 252x2 252 252x2 2016x 4032 504 x 4 A 252 252 x2 1 x2 1 x2 1